matemática 1er año - conexos

Matemática 1año

Matemática 1año

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Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infi nitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces.

El aprendizaje signifi cativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzadoa otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.

Matemática 1er año© 2012 by Editorial Santillana, S.A.Editado por Editorial Santillana, S.A.

Nº de ejemplares: 18750

Av. Rómulo Gallegos, Edif. Zulia, piso 1. Sector Montecristo, Boleíta. Caracas (1070), Venezuela.Telfs.: 280 9400 / 280 9454www.santillana.com.ve

Impreso en Ecuador por: Imprenta Mariscal CIA. LTDA

ISBN: 978-980-15-0612-6Depósito legal: lf6332012372265

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización previa de los titularesdel Copyright, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción totalo parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidosla reprografía y el tratamiento informático, y la distribución de ejemplaresde ella mediante alquiler o préstamo público.

El libro Matemática de 1er año de Educación Media es una obra colectiva concebida, diseñada y elaborada por el Departamento Editorial de Editorial Santillana S.A., bajo la dirección pedagógica y editorial de la profesora Carmen Navarro.

En la realización de esta obra intervino el siguiente equipo de especialistas:

Edición general adjuntaInés Silva de Legórburu

Coordinación editorial Ciencias y Matemática José Manuel Rodríguez R.

Edición generalJosé Manuel Rodríguez R.

Textos• .N zednánreH .G leinaD

Licenciado en Educación, mención Matemática. Universidad Central de Venezuela

• oipraC ed ozoreP nylevE Profesora, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador

• azaM ed sederapalliV .C htebsiL Profesora, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador

• .P otirB .E aneroL Profesora, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador

• .M aícraG ailahtaN Licenciada en Educación, mención Matemática y Licenciada en Matemática. UniversidadCentral de Venezuela

Edición ejecutivaNathalia García M.Lisbeth C. Villaparedes de Maza

Edición de apoyoEvelyn Perozo de CarpioDaniel G. Hernández N.

Corrección de estiloMariví CoelloDina SelvaggiKarina HernándezJuan Luis ValdezSamuel González

Lectura especializadaHenry J. Martínez L.Profesor, mención Matemática. UniversidadPedagógica Experimental Libertador.Magíster en Ciencias, mención Matemática.Universidad Central de Venezuela

Coordinación de arteMireya Silveira M.

Diseño de unidad gráfi caMireya Silveira M.

Coordinación de unidad gráfi caMaría Elena Becerra M.

Diseño de portadaMireya Silveira M.

Ilustración de la portadaWalther Sorg

Diseño y diagramación generalaihccelignA anaiD , .M arreceB anelE aíraM

María Fernanda Guédez, María Alejandra GonzálezJosé Pérez Duin

Documentación gráfi caAmayra Velón

IlustracionesWalther Sorg, Oliver González,Fondo Documental Santillana

InfografíasWalther Sorg

FotografíasFondo Documental SantillanaArchivo El Universal (FAM)-Fundación Andrés Mata:Venancio Alcázeres, Vicente Correale

Retoque y montaje digitalEvelyn Torres

Reimpresión: 2014

Matemática 1año

SOLO PÁGINAS SELECCIONADAS PARA MUESTRA

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Estructura del libro

Logros esperados. Enunciados breves que describen los principales conocimientos, valores, habilidades y destrezas que se pretende consolidar con el desarrollo de los contenidos de la unidad.

Idea para la acción. Reseña de la actividad grupal para contribuir al desarrollo de proyectos, trabajos especiales o líneas de investigación, para ser llevada a cabo durante o al final de la unidad.

Infografía. Recurso gráfico que permite despertar el interés con relación a los temas de la unidad. Contiene datos y preguntas que favorecen la interacción, participación y reflexión para introducir los nuevos contenidos.

Inicio de unidad

Para reflexionar y debatir. Preguntas dirigidas a generar conclusiones a partir del análisis de la información y los datos planteados en la infografía.

Desarrollo de los temas

Pensamiento crítico. Actividades especiales que estimulan la capacidad de reflexión y la emisión de juicios de valor sobre los contenidos de los temas.

Información complementaria. Datos adicionales que enriquecen los temas, relacionados con diversas áreas del conocimiento, así como con aspectos de la vida cotidiana, como el trabajo, la tecnología, el ambiente y la diversidad cultural del país.

Actívate. Preguntas relacionadas con situaciones de la vida cotidiana, orientadas a evocar conocimientos previos vinculados con los temas o generar inquietudes acerca de los nuevos contenidos a desarrollar.

Contenido. Tema con información actualizada, presentada a través de textos e imágenes, organizadores y recursos gráficos novedosos.

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Infografías. Temas con una propuesta gráfica diferente y novedosa, que presentan la información a través de imágenes y textos asociados, para aprender de manera dinámica.

Actividades. Preguntas, ejercicios, casos y situaciones de análisis para validar, afianzar y reforzar los contenidos vistos. Estimulan la capacidad de razonamiento en el plano individual, y la interacción por medio del trabajo en equipo.

Idea para la acción. Desarrollo de la actividad anunciada al inicio de cada unidad, con sugerencias para su planificación, puesta en práctica y evaluación, como estrategia para la generación de conocimientos.

Conexos con… Datos informativos que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.

Cierre de unidad

Conexos con…que ponen en evidencia la relación de la Matemática con otras áreas del conocimiento y laborales, resaltando su aplicación e importancia.

Estrategia de resolución de problemas. Estrategias sistemáticas para resolver problemas, con base en el desarrollo del pensamiento lógico-matemático.

Actividades de refuerzo. Ejercicios, preguntas y casos de análisis, vinculados con los temas abordados en la unidad. Persiguen el desarrollo de las distintas habilidades del pensamiento.

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ÍndiceU1 Números naturales ...................... 6

Tema 1 Conjunto de números naturales (N) ......................... 8

Tema 2 Operaciones en N .................................................... 10

Tema 3 Ecuaciones en N ...................................................... 12

Tema 4 Solución de ecuaciones en N .................................. 14

Cierre Actividades de refuerzo ............................................ 18

Estrategia de resolución de problemas .................... 20

Idea para la acción: Reciclaje de papel ..................... 21

U3 Números racionales ..................... 76Tema 1 Conjunto de números racionales (Q) ....................... 78

Tema 2 Fracciones ................................................................. 80

Tema 3 Fracciones equivalentes ........................................... 82

Tema 4 Recta númerica y orden en Q .................................. 86

Tema 5 Adición y sustracción de números racionales con iguales denominadores ..................................... 90

Tema 6 Adición y sustracción de números racionales con diferentes denominadores ................................ 94

Tema 7 Propiedades de la adición en Q .............................. 98

Tema 8 Adición y sustracción combinadas en Q ................. 100

Tema 9 Multiplicación en Q y sus propiedades .................. 102

Tema 10 Potenciación en Q ................................................... 106

Tema 11 Propiedades de la poteciación en Q ....................... 110

Tema 12 División en Q y operaciones combinadas ............... 112

Tema 13 Operaciones combinadas con potencias en Q ........ 114

Tema 14 Ecuaciones en Q ...................................................... 116

Tema 15 Expresiones decimales ............................................. 120

Tema 16 Fracción generatriz ................................................... 122

Tema 17 Notación ciéntifica ................................................... 124

Tema 18 Operaciones básicas con expresiones decimales ...................................... 126

Tema 19 Operaciones con números en notación ciéntifica ............................................... 128



Idea para la acción: El trompo alimenticio ................ 133

U4 Geometría ................................... 134Tema 1 Circunferencia y círculo ............................................ 136

Tema 2 Figuras circulares ...................................................... 138

Tema 3 Ángulo al centro y rectas con respecto a una circunferencia ................................................. 140

Tema 4 Longitud de una circunferencia ................................ 142

Tema 5 Polígonos .................................................................. 144

U2 Números enteros ......................... 22Tema 1 Conjunto de números enteros (Z) ............................ 24

Tema 2 Valor absoluto y orden en Z ..................................... 28

Tema 3 Adición y sustracción en Z ...................................... 30

Tema 4 Propiedades de la adición en Z ............................... 34

Tema 5 Adición y sustracción combinadas en Z ................. 36

Tema 6 Multiplicación en Z y sus propiedades .................. 40

Tema 7 Potenciación en Z .................................................... 44

Tema 8 Propiedades de la potenciación en Z ...................... 46

Tema 9 Divsión en Z ............................................................ 50

Tema 10 Operaciones combinadas en Z ................................ 52

Tema 11 Ecuaciones en Z ...................................................... 54

Tema 12 Solución de problemas mediante ecuaciones en Z ...................................................... 56

Tema 13 Múltiplos y divisores ................................................ 58

Tema 14 Números primos y compuestos ................................ 60

Tema 15 Descomposición en factores primos ........................ 62

Tema 16 Mínimo común múltiplo (m.c.m.) y máximo común divisor (m.c.d.) .............................. 64

Tema 17 Aplicación del m.c.m. y m.c.d. ................................. 68



Idea para la acción: Deportes extremos a temperaturas extremas .............................................. 75

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U6 Informática ................................. 212Tema 1 Algoritmos ................................................................. 214

Tema 2 Procesamiento de datos e información .................... 216

Tema 3 La computadora ........................................................ 218

Tema 4 Aplicaciones de las computadoras .......................... 222



Idea para la acción: Computadora personal .............. 227

Solucionario ........................................................................... 228

Fuentes consultadas ............................................................. 240

U5 Probabilidad y estadística ............ 194Tema 1 Probabilidad .............................................................. 196

Tema 2 Diagrama de árbol .................................................... 198

Tema 3 Recolección y organización de datos ....................... 200

Tema 4 Distribución de frecuencias ..................................... 202

Tema 5 Intervalos de clase e histogramas ........................... 204



Idea para la acción: Fruto-estadística ...................... 211

Tema 6 Diagonales y ángulos interiores de un polígono ........................................................... 146

Tema 7 Trazado de polígonos regulares ............................... 148

Tema 8 Triángulos ................................................................. 150

Tema 9 Propiedades de los triángulos .................................. 152

Tema 10 Trazado de triángulos ............................................... 154

Tema 11 Rectas y puntos notables de un triángulo ............... 158

Tema 12 Cuadriláteros ............................................................ 162

Tema 13 Clasifi cación de cuadriláteros .................................. 164

Tema 14 Trazado de cuadrados ............................................... 166

Tema 15 Trazado de rectángulos ............................................ 168

Tema 16 Trazado de rombos ................................................... 170

Tema 17 Área de cuadriláteros ............................................... 172

Tema 18 Área de triángulos .................................................... 176

Tema 19 Área de polígonos regulares e irregulares .............. 178

Tema 20 Área del círculo ........................................................ 180

Tema 21 Área de la superfi cie exterior de un cuerpo geométrico ......................................... 182

Tema 22 Volumen y capacidad ............................................... 184

Tema 23 Relación entre volumen y capacidad ....................... 186

Tema 24 Volumen de cuerpos geométricos ............................ 188



Idea para la acción: Maqueta de poliedro ................. 193

A propósito del lenguaje de géneroSegún la Real Academia de la Lengua Española y su correspon-diente Academia Venezolana de la Lengua, la doble mención de sustantivos en femenino y masculino (por ejemplo: los ciudadanos y las ciudadanas) es un circunloquio innecesario en aquellos casos en los que el empleo del género no marcado sea sufi cientemente explícito para abarcar a los individuos de uno y otro sexo.

Sin embargo, desde hace varios años, en Editorial Santillana he-mos realizado un sostenido esfuerzo para incorporar la perspectiva de género y el lenguaje inclusivo, no sexista en nuestros bienes educativos, pues valoramos la importancia de este enfoque en la lucha por la conquista defi nitiva de la equidad de género.

En tal sentido, en nuestros textos procuramos aplicar el lenguaje de género, al tiempo que mantenemos una permanente preocu-pación por el buen uso, la precisión y la elegancia del idioma, fi nes en los que estamos seguros de coincidir plenamente con las autoridades académicas.

A propósito de las Tecnologías de la Información y la ComunicaciónEditorial Santillana incluye en sus materiales referencias y enlaces a sitios web con la intención de propiciar el desarrollo de las com-petencias digitales de docentes y estudiantes, así como para comple-mentar la experiencia de aprendizaje propuesta. Garantizamos que el contenido de las fuentes en línea sugeridas ha sido debidamente validado durante el proceso de elaboración de nuestros textos.

Sin embargo, dado el carácter extremadamente fl uido, mutable y dinámico del ámbito de la Internet, es posible que después de la llegada del material a manos de estudiantes y docentes, ocurran en esos sitios web cambios como actualizaciones, adiciones, supre-siones o incorporación de publicidad, que alteren el sentido original de la referencia. Esos cambios son responsabilidad exclusiva de las instituciones o particulares que tienen a su cargo los referidos sitios, y quedan completamente fuera del control de la editorial.

Por ello, recomendamos que nuestros libros, guías y Libromedias sean previa y debidamente revisados por docentes, padres, madres y representantes, en una labor de acompañamiento en la validación de contenidos de calidad y aptos para el nivel de los y las estudiantes.

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200 000 litros de agua

7 800 kilovatiosde energía

20 árboles

es lo que se necesitapara fabricar unatonelada de papel

Impresión y escritura:120 944 toneladas

Papel higiénico:182 792 toneladas

Bolsas y envoltorios:15 149 toneladas

Cartulina:181 172 toneladas

Otros:5 258 toneladas




Periódico:20 642 toneladas


Empaques de alimentos:1 814 toneladas

Embalaje(se recicla muchomás de lo consumido,producto de lasimportaciones)

69 384 toneladas

Aproximadamente

20%se recuperapara ser reciclado

toneladas 818 757



Embalaje (cartón medio corrugado):69 384 toneladas

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LOGROS eSPeRAdOS

NÚMEROS NATURALES

IdeA PARA LA AccIÓN

Reciclaje de papel

Al fi nal de esta unidad realizarán una campañade reciclaje de papel, como una estrategia de conservación del ambiente y de obtención de ingresos.

Para producir una tonelada de papel se talan unos 20 árboles,y se utiliza una energía que equivale a la que consumen 160 casas en un día. Pese a esto, en Venezuela se recicla aproximadamente 20% de los materiales fabricados con papel; el resto es desechado.

¿Cuánto papel se usa y se recicla?

• Reconocer informaciones numéricas en la vida cotidiana.

• Comprender el usode la matemática enexperiencias cotidianas.

• Aplicar nociones matemá-ticas básicas en diversos contextos.

U1Consumo de papel en Venezuela en 2010

6 Números Naturales

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200 000 litros de agua

7 800 kilovatiosde energía

20 árboles

es lo que se necesitapara fabricar unatonelada de papel



Bolsas y envoltorios:15 149 toneladas









Embalaje(se recicla muchomás de lo consumido,producto de lasimportaciones)

69 384 toneladas

Aproximadamente

20%se recuperapara ser reciclado

toneladas 818 757



Embalaje (cartón medio corrugado):69 384 toneladas

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Para refl exionar y debatir¿Cuántas toneladas de papel se consumieron en Venezuelaen 2010? ¿Cuántas fueron recicladas? Asumiendo que para generar las toneladas usadas en 2010 no se usaron fi bras recicladas, ¿cuántos árboles se talaron ese año para fabricartal cantidad de papel? ¿Qué puedes hacer para colaborarcon la conservación del ambiente?

Reciclaje de papelen Venezuela en 2010

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Conjunto de números naturales (N)ActívAte

¿Cómo puedes saber cuántos habitantes hay en un país? ¿A cuál conjunto numérico pertenecerían los elementos que usarías para identificar a cada persona?

En el conjunto de los números naturales se tiene que 0 , 1; 1 , 2; 2 , 3; 3 , 4… es decir 0 ,1 , 2 , 3 , 4…Por lo tanto, no hay números naturales entre 0 y 1, ni entre 1 y 2 ni entre ningún par de números naturales consecutivos.

Conjunto de los números naturales (N)Los números naturales sirven para contar y ordenar. Se pueden utilizar, por ejemplo, para contar los habitantes de un país, o indicar la posición que ocupa una persona en una competencia.Los siguientes casos son ejemplos del uso de los números naturales:• En Venezuela hay 43 parques nacionales y 30 monumentos naturales.• El Teatro Teresa Carreño, ubicado en Caracas, Distrito Capital,

tiene capacidad para albergar 2 900 personas.

El conjunto de números naturales es inf inito porque, dado un número natural, siempre es posible encontrar su consecutivo.

Orden en N Los números naturales sirven para contar y ordenar los elementos de un conjunto. Por ejemplo, en una carrera de fórmula 1, no solamente es necesario conocer cuántos carros terminan la carrera; también es importante saber el orden en que llegan a la meta. El orden resulta al comparar dos números naturales y determinar cuál es el menor y cuál es el mayor.Cuando se comparan dos números naturales a y b, se cumple una y solo una de las siguientes condiciones:• a es mayor que b. Esta relación se escribe a . b.• a es menor que b. Esta relación se escribe a , b.• a es igual a b. Esta relación se escribe a 5 b.Al comparar los números 42 y 37 se puede af irmar que 42 es mayor que 37, es decir, 42 . 37.En la recta numérica a , b si el punto que representa a a en la recta se encuentra a la izquierda del punto que representa a b. Por ejemplo, 3 , 8 porque 3 está a la izquierda de 8 en la recta numérica:

Números consecutivosDos números que se suceden uno al otro se denominan consecutivos.

Por ejemplo, 5 y 6 son consecutivos.

Zoom

El conjunto de los números naturales se representa con el símbolo N, y se escribe: N 5 50, 1, 2, 3, 4, 5, 6...6

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El Parque Nacional Parima Tapirapecó es el más grande de Venezuela. Está ubicado al sureste de la Amazonia venezolana abarcando 3 420 000 hectáreas.

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Conjunto de números naturales (N) EjEmplo

En una competencia de halterof ilia, una competidora logró levantar los siguientes pesos en 5 intentos: 200 kg, 250 kg, 225 kg, 180 kg y 275 kg. Si en cada intento logró levantar un peso mayor al logrado en el anterior, ¿cuál fue el peso que levantó en cada intento?

Procedimiento

Respuesta: el orden de los pesos fue 180 kg; 200 kg; 225 kg; 250 kg y 275 kg.

Los números naturales pueden ordenarse de menor a mayor (forma creciente), o de mayor a menor (forma decreciente), utilizando las desigualdades a , b o a . b respectivamente.

Actividades Para realizar en el cuaderno

1 Representa en la recta numérica cada grupo de números. Luego ordénalos de menor a mayor y viceversa.

a) 12; 26; 34; 67; 14; 20 d) 11; 23; 14; 46; 73; 54 g) 11; 6; 27; 81; 40; 59 b) 36; 25; 10; 9; 0; 12 e) 7; 45; 14; 21; 62; 0 h) 98; 74; 10; 46; 33; 3 c) 9; 25; 17; 58; 79; 84 f ) 23; 78; 63; 34; 42; 9 i) 52; 2; 47; 74; 12; 18

2 Determina los números representados en cada recta numérica resaltados en rojo. a) c)

b) d) 0 1 2 0 3

0 5 0 2

3 Responde. a) ¿Son 8 y 12 números pares consecutivos? ¿Por qué? b) ¿Los números 1; 3 y 5 son números impares consecutivos? ¿Por qué? c) Si m es un número par, ¿cuál es el par que le sigue? d) Si se tiene un número natural cualquiera y su sucesor, ¿cuál de los dos es el mayor?

4 Resuelve los problemas. a) En una competencia de ciclismo, siete de

las competidoras están a 25 m, 10 m, 17 m, 12 m, 9 m, 4 m y 13 m de la meta. ¿En qué orden, comenzado por la que está más cerca, están las competidoras en ese momento?

b) Un atleta logró las siguientes distancias al lanzar seis veces una jabalina: 100 m, 112 m, 135 m, 98 m, 120 m y 152 m. ¿Cuáles fueron sus marcas en cada lanzamiento si las hizo de menor a mayor distancia?

200 kg → 200 180 kg → 180250 kg → 250 275 kg → 275 225 kg → 225

180 , 200 , 225 , 250 , 275

160 180 200 220 240 260 280

225 250 275

1. Se expresan los datos con números naturales.

2. Se representa la situación en la recta numérica.

3. Se ordenan de menor a mayor.

CoNjuNto de Números Naturales (N) 9

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Operaciones en N

EjEmplo Cinco personas irán a la playa y calculan que gastarán Bs. 1 050. Si cuatro de ellas aportan Bs. 255, Bs. 180, Bs. 220 y Bs. 175. ¿Cuánto debe aportar la quinta persona?

Procedimiento

Adición y sustracción en N La adición y la sustracción se usan en diversas situaciones cotidianas, como en la administración que hace una persona de su dinero.

Respuesta: la quinta persona debe aportar Bs. 220 para completar el presupuesto.

Multiplicación y división en N La multiplicación y la división se pueden utilizar, por ejemplo, para calcular porcentajes.

Operación Ejemplo Definición

Adición 24 365 1 11 314 5 35 679Dados a, b, c [ N, a 1 b 5 c; donde a y b son sumandos y c es la suma.

Sustracción 5 263 2 4 112 5 1 151Dados a, b y c [ N, a 2 b 5 c, siempre que a 5 b 1 c; donde a es el minuendo, b es el sustraendo y c es la diferencia o resta.

Se adicionan los aportes conocidos de cada una de las personas y el resultado se sustrae de la cantidad que calcularon gastar.

255 1 180 1 220 1 175 5 8301 050 2 830 5 220

Raciones: 950 * 80 5 76 000 Nuevo número de días: 80115595 76 000 4 95 5 800950 2 800 5 150

Se dividen las raciones entre el nuevo número de días y se calcula la cantidad de vacas que puede alimentar con ellas. Así se obtiene la cantidad de vacas que debe vender.

EjEmplo

Un ganadero tiene alimento para 950 vacas por 80 días. Si quiere que el alimento dure 15 días más, sin disminuir la ración diaria, ¿cuántas vacas debe vender?

Procedimiento

Multiplicación 5 206 * 24 5 124 944Dados a, b y c [ N, a *b 5 b1b1b1b1…1b 5 c a y b son los factores y c el producto.

DivisiónDados D, d, c y r [ N (d 0; r,d ), D 5 d * c 1 r ; D es el dividendo, d el divisor, c el cociente y r el residuo o resto.

1 07’5’ 25 7 5 43 0

dividendo

residuo

divisor

cociente

a número de vecesFactores Producto

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ActívAte

¿Cómo se administra el dinero al salir de viaje? ¿Qué operaciones se utilizan?

Operación Ejemplo Definición


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Analiza la situación y responde.Una señora resolvió la operación 2 166 4 15 de esta manera: (1 500 1 600 1 60 1 6) 4 15. Obtuvo como cociente (100 1 40 1 4) 5 144, y 6 como residuo.a) ¿Cuál sería el cociente y cuál el residuo si se usa 2 16652 10014511516? b) ¿De qué otra forma se puede hacer este cálculo?

Potenciación en N La potenciación es una multiplicación abreviada. Se puede utilizar, por ejemplo, para calcular la cantidad de personas que conforman una línea familiar.

Defi niciones de la potenciación• Todo número

(excepto el cero) elevado al exponente cero es igual a uno.

• Todo número elevado al ex-ponente uno es igual al nú-mero dado.

Zoom

Operación Ejemplo Defi nición

Potenciación 114 5 11*11*11*11 5 14 641

Dados a, b y n [ N, an 5 a*a*a...*a 5 b; donde a es la base, n el exponente y b la potencia.

1 Resuelve cada operación. a) 15 356112 9865 f ) (2 5002487)435 k) 859 4862788 6975 o) 2235

b) 85 233284 9995 g) 1255 l) 654 712 *285 p) 1065

c) 2 689 4821285 h) 2145 m) 2 689 48212735 q) 8135

d) 6 987 45013255 i) 10 110 111435 n) 3 074 98418425 r) 455

e) (150236) * (125225)5 j) 965 781 154 8235 ñ) 975 s) 1135


EjEmplo

Una pareja tuvo 3 hijos y una hija. Cada uno de los varones, a su vez, tuvo 3 hijos y una hija, y así sucesivamente. ¿Cuántos primos tiene una bisnieta de la pareja?

Procedimiento

Respuesta: una bisnieta de la pareja tiene 24 primos.

1. Se representa el problema con un gráf ico. En este caso, solo se simboliza los varones. También se puede calcular la cantidad de bisnietos elevando el 3 al número de generación.

2. Se realizan los cálculos.

Hijos → 3 5 31; Nietos → 9 5 32; Bisnietos → 27 5 33 Como cada bisnieta tiene 3 hermanos, 27 2 3 5 24

Pensamiento crítico

2 Resuelve los problemas. b) Una persona es menor que otra por 8

años. ¿Cuál será la diferencia de sus edades dentro de 5 años?

a) Daniel tiene 3 cajas rojas; dentro de cada una hay 4 cajas verdes; y cada caja verde contiene 5 cajas amarillas, que a su vez contienen 6 cajas azules. ¿Cuántas cajas azules hay?

n veces

1a generación

2a generación3a generación

oPeraCioNes eN N 11

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Ecuaciones en N

Igualdades Una igualdad representa la relación entre expresiones que tienen el mismo valor. Para expresar una igualdad se utiliza el signo igual (5). Por ejemplo:

Una ecuación es una igualdad que involucra operaciones entre constantes y una o varias incógnitas, que suelen escribirse con letras minúsculas.

Las igualdades que incluyen números y letras se llaman ecuaciones, la cuales son ciertas solo para un valor de la incógnita. Por ejemplo, la ecuación x 1 3 5 7, sólo es cierta para x 5 4.Comprobación: x 5 4 → 4 1 3 5 7

Elementos de una ecuación Los elementos de una ecuación son las incógnitas, el grado, los miembros y los términos.

Variable o incógnita

Letra cuyo valor es desconocido Términos

Todas y cada una de las expresiones que forman los miembros de la igualdad. Si son números se les llama constantes.

Grado

Máximo exponente con el que aparece la variable.

Miembros

Expresiones que se encuentran a cada lado del signo 5

x 1 10 5 13

primer miembro

segundo miembro

Un número satis-face una ecuación si al sustituir la incógnita por él la igualdad es cierta.

RecueRdA

temA 3

ActívAte

¿Cómo se puede saber la cantidad que se debe colocar a cada lado de una balanza para mantener su equilibrio?

4 kg adicionados con 3 kg es igual 7 kg; es decir, 4 1 3 5 7. Como en ambos lados de la igualdad hay solo números, la igualdad es numérica.

Cierta cantidad de kilogramos adicionados con 3 kg es igual a 7 kg, es decir, x1357. Como en la igualdad hay un valor desconoci-do, la igualdad es una ecuación.

Igualdades númericas Igualdades algebraicas

7 kg4 kg

3 kg 3 kg

7 kgx


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Ecuaciones en N Lenguaje algebraico En el lenguaje cotidiano hay situaciones en las que se usan números naturales que se pueden expresar con un lenguaje algebraico, es decir, mediante símbolos, números y signos. Por ejemplo, para expresar la suma de dos números consecutivos puede escribese x 1 (x 1 1).

EjEmplo 1La cantidad de libros que tiene Antonio, aumentada en cinco, es igual a cuarenta. ¿Cómo expresarías la situación mediante una ecuación?

Procedimiento

EjEmplo 2La diferencia de las edades de dos hermanos es de cinco años. Si la edad del hermano mayor es el doble de la del hermano menor, ¿cómo plantearías la situación con una ecuación?

Procedimiento

Edad del hermano menor → x Edad del hermano mayor → 2x

1. Se identif ica la incógnita y otros datos signif icativos.

La diferencia de sus edades es de 5 años → 2x 2 x 5 5.2. Se plantea la ecuación.

Cantidad de libros → x Cantidad aumentada en cinco → x 1 5

1. Se identif ica la incógnita y otros datos signif icativos.

La cantidad de libros aumentado en cinco, es igual a cuarenta → x 1 5 5 40.

2. Se plantea la ecuación.

1 Identif ica cuáles de las siguientes igualdades son ecuaciones. a) 7 1 8 5 15 c) x 1 10 5 16 e) x 5 2 * (3x) g) 2x 1 2 5 14 i ) 5 1 3 * 5 5 20 b) 2x 1 x 5 3 d) 6 1 30 5 36 f ) 12 * 2 5 24 h) 3x 5 6 j ) 11 2 3x 5 2

2 Determina la incógnita, los términos y el primer y segundo miembro de cada ecuación. a) x 1 8 5 15 d) 3z 1 5 5 22 g) 2r 1 5r 5 4 j) z 1 6 5 10 m) t 1 6 5 10 b) 2x 1 5 5 3x e) w 1 6 5 2w h) 3f 2 5 5 4f k) 1 1 y 5 11 n) 3x 1 5 5 17 c) 11 1 y 5 32 f ) t 1 3t 5 16 i) 8y 1 3 5 27 l) 4z 2 2 5 6 ñ) 2y 1 1 5 13


a) El doble de un número más su triple es igual a 20.

b) Dos personas han gastado Bs. 850. Una gastó el doble de la otra.

c) Una persona tiene ahorrada una cantidad de dinero. Cuando tenga 15 bolívares más, entonces tendrá el triple de lo que tiene ahora.

d) La mitad de un número es igual a 10.e) Trece es igual a un número menos tres.f) El triple de un número más su doble

es igual a quince.g) La suma de dos números consecutivos

es 21.

3 Expresa cada situación en forma de ecuación.

eCuaCioNes eN N 13

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Solución de ecuaciones en NACTÍVATE

Sí pagas el monto total de varios artículos y desconoces el precio de alguno, ¿cómo obtienes el dato que hace falta sin preguntarlo y sin ver la factura?

TEMA 4

Solución de problemas usando ecuaciones Hallar la solución de un problema usando ecuaciones implica plantear una ecuación a partir de la situación propuesta y descubrir el valor de la incógnita. Para resolver problemas que implican el uso de ecuaciones se siguen estos pasos:

1. Interpretación del enunciado. Se identifi can en el enunciado los datos y lo que se busca calcular. Luego se asigna una letra (incógnita) a la información desconocida en el enunciado.

2. Planteamiento y solución de la ecuación. Se construye una expresión en forma de ecuación. Luego se resuelve la ecuación y se redacta la solución en los términos del problema.

3. Comprobación de la solución. Se verifi ca si la solución cumple las condiciones del enunciado del problema.

Solución de ecuaciones en N En este tema se estudiarán ecuaciones que tienen una única solución. La solución de una ecuación es el valor de la incógnita que hace que la igualdad sea cierta. Una ecuación tiene solución en el conjunto de los números naturales si el valor de la incógnita pertenece a N.

Resolver una ecuación signifi ca encontrar su solución. En la ecuación x � 4 � 7, el valor que hace que la igualdad se cumpla es 3, porque 3 � 4 � 7. Por tanto, x � 3 es la solución de la ecuación.

Para hallar la solución de una ecuación, se deben tomar en cuenta las siguientes propiedades de las igualdades: • Si a los miembros de una igualdad se les adiciona o se les sustrae una misma cantidad, la igualdad

no se altera. • Si los miembros de una igualdad se multiplican o se dividen por un mismo número, diferente de cero,

la igualdad no se altera.

EJEMPLO

Resolver la ecuación 3x � 2 � 155.

Procedimiento

3x � 2 � 155

3x � 2 � 2 � 155 � 23x � 153

3x � 3 � 155 � 3x � 51

1 Se plantea la ecuación.

2 Se sustrae 2 a ambos miembros de la igualdad para eliminar la constante en el primer miembro.

3 Se dividen ambos miembros de la igualdad entre 3.

14 NÚMEROS NATURALES

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ACTÍVATE

Sí pagas el monto total de varios artículos y desconoces el precio de alguno, ¿cómo obtienes el dato que hace falta sin preguntarlo y sin ver la factura?

2 Se resuelve la ecuación.

3 Se comprueba el resultado.

1 Se comprende el problema y se plantea la ecuación.

Respuesta: la altura del edifi cio es de 950 cm, es decir, 9,5 m.

�

x

2o avión

2 (x� 50)

1er avión

3 (x� 350)

EJEMPLO 1Un paracaidista se lanza desde cierta altura. Al recorrer 1 000 m en caída libre abre su paracaídas y luego recorre otros 500 m hasta llegar al suelo. ¿Desde qué altura se lanzó el paracaidísta?

Procedimiento

Respuesta: el paracaidista se lanzó desde 1 500 m.




x � 1 000 � 500

x�1 000�1 000�500�1 000x � 1 500

1 500 � 1 000 � 500

x 1 000 m

500 m

EJEMPLO 2El avión que traslada a un grupo de paracaidistas pesa 1 100 kg, lo que representa 12 veces el peso de cada paracaidista más 80 kg. ¿Cuál es el peso de cada persona?Procedimiento

Respuesta: cada paracaidista pesa 85 kg.

12x � 80 � 1 10012x� 80 � 80 � 1 100 � 80

12x � 1 020x � 85

12 � (85) � 80 � 1 100




� x

�

80 kg

�

12x

1 100 kg

3(x � 350) � 2(x � 50)

3x � 1 050 � 2x � 100

3x�1 050�1 050�2x�100�1 050

3x � 2x � 950

3x�2x � 2x�2x�950

x � 950

3(950) � 1 050 �2(950) �100

1 800 � 1 800

EJEMPLO 3Sobre un edifi cio de x centímetros de altura pasó un avión volando a 3(x �350) cm. Luego de unos minutos pasa otro avión a una altura de 2(x �50) cm. Si ambos aviones pasaron a la misma altura, ¿cuál es la altura del edifi cio?

Procedimiento

SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN N 15

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EJEMPLO 4La suma de tres números naturales consecutivos es igual a 48, ¿cuál son los números?

Procedimiento

Respuesta: los números son 15; 16 y 17.

x → 1er número x � 1 → 2o número x � 2 → 3er número

x � (x � 1) � (x � 2) � 48

x � (x � 1) � (x � 2) � 483x � 3 � 48

3x � 3 � 3 � 48 � 33x � 45

3x � 3 � 45 � 3x � 15

Como 15� (15�1 )� (15�2)� 15 � 16 � 17 � 48, además,15, 16 y 17 son números consecutivos, entonces la solución es correcta.

1 Se asigna una incógnita a la información desconocida en el enunciado.

2 Se plantea una ecuación de acuerdo con los datos.

3 Se resuelve la ecuación hallando el valor de la incógnita.

4 Se hallan los números y se comprueba la solución.

EJEMPLO 5Un campo de bolas criollas es rectangular y su perímetro es igual a 270 m. Si su largo es el doble del ancho, ¿cuál será la medida exacta del largo y del ancho?

Procedimiento

Respuesta: el ancho del campo de bolas es de 45 m y el largo es de 90 m.

P � 2x � x � 2x � x � 270

270 � 2x � x � 2x � x270 � 6x

270 � 6 � 6x � 645 � x → x � 45

Como 270 � 2� (45) � 45 � 2� (45) � 45, entonces la solución es correcta.

1 Se asigna una incógnita a la información desconocida en el enunciado.

3 Se resuelve la ecuación hallando el valor de la incógnita.


2 Se plantea una ecuación de acuerdo con los datos.

2x

x

x → ancho 2x → largo


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1 Resuelve las ecuaciones.

a) 23x�2�25 g) 28x�1�88�x m) x�3�27 r) 152x�153�305x

b) 3x�2�x+8 h) 6x�2�272 n) 4x�3�26 s) 4x�2�18

c) 2x�5�x i) 5�x�7�2x ñ) 3x�1�2 (3�x ) t) x�21�31

d) 3x�7�8 j) 2(x�7)�32 o) 20x�5x�1 225 u) 2x�6�x

e) 5x�2�4x k) 2(x�1 )�3 (x�1 ) p) 33�x�25 v) 5x�4�1

f ) 150x�50�175x l) 2x�3�12 q) 2x�3�3�x w) x�26�5

3 Responde los problemas planteados.

a) El doble de la edad de Alicia es igual a la edad de Daniel, y la edad de José es el doble de la de Daniel menos 20. Si las edades suman 85, ¿qué edad tiene cada uno?

b) El perímetro de un jardín rectangular es de 80 m. Si el largo del jardín es tres veces el ancho, ¿cuál es el largo y el ancho?

c) En una reunión de 24 personas hay 2 veces más mujeres que hombres y tres veces más personas adultas mayores que adultas jóvenes. ¿Cuántas mujeres hay? ¿Cuántas personas adultas jóvenes hay?

d) Un nadador recorre el largo de una piscina una vez. Luego repite el recorrido dos veces; y, f inalmente, tres veces. Si en total nadó 300 m, ¿cuál es el largo de la piscina?

e) La edad de Zara es el triple de la de Carlos, y la de José es el doble de la de Zara. Si las tres edades suman 130 años, ¿qué edad tiene cada uno?

f ) La cantidad de f lores que tiene Marisol aumentada en seis es igual a cuarenta. ¿Cuántas f lores tiene Marisol?

Analiza y responde.Una persona compró 2 cauchos. Por lo que pagó, hubiese podido comprar en otra cauchera 4 cauchos, y ahorraba Bs. 200 por cada uno. a) ¿Cuánto costaba cada caucho en la otra cauchera? b) ¿Cuánto gastó en la compra? c) ¿Es buena la oferta que perdió? ¿Por qué?

Oferta


a) La suma de cuatro números consecutivos es igual a 38. ¿Cuáles son esos números?

b) El doble de un número más el triple de ese número es igual 25. ¿Cuál es el número?

c) Un número menos su mitad es igual a 16. ¿Cuál es ese número?

d) Un número menos dos es igual a dos veces el mismo número menos nueve. ¿Cuál es ese número?

e) La suma de dos números consecutivos es igual a 15. ¿Cuáles son los números?

f ) Diez veces un número menos diez es igual a cero. ¿Cuál es el número?

g) Un tercio de un número menos uno es igual a dos. ¿Cuál es el número?

h) Quince veces un número es igual a dos veces el número más trece. ¿Cuál es el número?

2 Plantea cada situación como una ecuación, halla su solución y responde las preguntas planteadas.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES EN N 17

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Actividades de refuerzo Para realizar en el cuaderno

Comprensión1 Identif ica los números naturales

en cada grupo. a) 70; 3, 5; 213; �12; 256; 0,25

b) 73

; 17,8; 500; 23

; 101; 28; 45,6

c) 2, 6; 23; 2

4; 4

5; �1; 0

d) 23

; 234; 1, 67; 25; 1,04; �8

2 Representa cada número en la recta numérica. a) 13; 24 y 35 b) 1 170; 1 165 y 1 172 c) 1 755; 1 762 y 1 750 d) 25 478; 25 483 y 25 490

3 Efectúa cada operación. a) 36 681 306 � 9 997 814 � b) 6 917 090 635 � 8 090 974 521 � c) 71 343 157 � 31 847 529 � d) 6 909 294 � 6 090 294 � e) 5 178 � 464 � f ) 65 � (125 � 73)� g) 32 � (12 � 12)� h) 84 � (10 � 15) � 33 � i ) 44 128 � 14 � j ) 637 825 � 25 � k) 28 224 � (36 � 4) �

4 Halla el valor de x en cada caso. a) 5x � 11 � 21 f ) 2x � 3 � 12 b) 3x � 2 � 2x g) 2 (x � 7) � 4x c) 2x � 18 � x � 21 h) 2x � 7 � 4x � 5 d) 21 � 5x � 86 i ) x � 8 � 12 e) 3x � 8 � 29 j ) 2x � 5 � 19

5 Ordena los números de menor a mayor. a) 64; 68; 54; 60; 55; 71; 59; 69 b) 176; 186; 183; 189; 178; 180; 182 c) 7 510; 5 710; 1 750; 5 017; 1 075; 7 150

Análisis y aplicación6 Responde.

a) ¿El número de tu cédula es un númeronatural? ¿Por qué?

b) ¿Los números 3 y 7 son imparesconsecutivos? ¿Por qué?

c) ¿La diferencia entre dos números naturales siempre es un número natural? ¿Por qué?

d) ¿En la operación 12 � (58 � 35) se cumplela propiedad distributiva con respectoa la sustracción? Compruébalo.

e) Un número más su consecutivo es iguala veinticinco. ¿Cuál es el número?

7 Lee los planteamientos y responde. a) Una empresa productora de papel usa

20 árboles y 200 000 � de agua paragenerar 1 000 kg de papel blanco. ¿Cuálsería la cantidad de árboles y agua paragenerar 1 750 kg?

b) El perímetro de un triángulo es la sumade las longitudes de sus lados. Si los ladosde un triángulo son números naturales consecutivos y su perímetro es 12 cm, ¿cuáles la longitud de cada lado del triángulo?

c) Una persona hace un salto en bungee usando una cuerda de 30 m de longitud, desde un viaducto de 50 m de altura, ubicado en la ciudad de Mérida.

• Al lanzarse,la cuerda se elonga 11 m. ¿A qué distancia del suelo se encuentrala persona en ese momento?

• Si luego la cuerda se retrae 23 m,¿a qué distanciadel suelo está la persona?

30 m

11 m

23 m

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NÚMEROS NATURALES 19

La astronomía es la ciencia que se encarga de estudiarel Universo, los cuerpos celestes, sus movimientos y los fenómenos ligados a ellos. Gracias a esta ciencia se conoce la distancia entre galaxias, estrellas, planetas y otros cuerpos celestes, la cual está expresada con números naturales. Por ejemplo, la distancia entre el Sol y la Tierra, es de 149 600 000 kilómetros. Esa distancia se llama Unidad Astronómica (UA). • Escribe un ejemplo sobre el uso de números naturales para

expresar medidas de elementos relacionados con el Universo.

d) En una pista de atletismo, tres chicas participan en una carrera de 1 500 m. Las tres parten al mismo tiempo y al cabo de 18 s la primera está a 36 mde diferencia de la segunda, quien a su vez logra una diferencia de 36 m sobrela tercera. Si la tercera ha recorrido 18 m, y a partir de ese momento todas corren a una velocidad constante de 1 m por segundo, ¿cuánto tiempo tarda cada una en correr los 1 500 m, tomando en cuenta que llegan en el orden descrito?

e) Francisco de Miranda nacióel 28 de marzo de 1750. En 1781 viajó a España donde fue nombrado Teniente Coronel del ejército Real de España. En 1785 viajó a Rusiay conoció a la emperatriz Catalina II. Más tarde, en 1810, regresó a Caracas y fue nombrado Jefe del Ejército patriota. En 1812 fue acusado de traición a España y encarcelado, para luego ser trasladado a la prisión del Arsenal de La Carraca, en Cádiz, donde murió en 1816.

• ¿En qué país se encontraba Franciscode Miranda a los 31 años?

• ¿Qué edad tenía cuando fue acusadode traición?

Opinión y síntesis 8 Analiza y opina.

a) Una compañía encargada del tratamientode aguas servidas recibe en un día 1 525 698 litros de aguas negras, delos cuales 982 315 litros se purif ican parasu nuevo uso y el resto es desechado.

• ¿Cuántos litros de aguas negras recibela compañía anualmente?

• ¿Cuántos litros se desechan?

• ¿Qué propuestas harías para quese purifi que 100% del agua?

b) Una recicladora de aluminio recibea diario 421 toneladas de metal paraser reciclado. Cada tonelada es separada en grupos, dependiendo de la pureza del material.

• Si 525 kg de cada tonelada vanal grupo A, 137 kg al grupo B y el resto al grupo C, ¿cuántas toneladas hayen los grupos A, B y C diariamente?

• ¿Cuáles otros materiales crees quedeberían ser reciclados ? ¿Por qué?

c) Un obrero de una construcción devengaun sueldo de Bs. 85 diarios. Cada horaextra que trabaja se la pagan en Bs. 15. Al cabo de 30 días de trabajo obtuvoun total de Bs. 2 565. • ¿Cuántas horas extra trabajó?

• ¿Te parece justo el pago? ¿Por qué?

Conexos con... Astronomía

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Estrategia de resolución de problemas

Problemas1 Una persona hace dulces tradicionales

para vender en la playa. Vende conservas de coco en Bs. 3,50 la unidad y catalinas en Bs. 5,50 cada una. Si un día vendió 56 dulces y recibió Bs. 220 por todos ellos, ¿cuántas catalinas vendió?

2 A través de la ventana de una tienda de bicicletas y triciclos se pueden contar 270 ruedas. Si hay 119 unidades en exhibición, ¿cuántas son bicicletas?

3 En una obra se utilizaron 20 sacos de material, unos eran de cemento diluidode 50 kg y otros de grava de 30 kg. Si en total se usaron 820 kg, ¿cuántos sacos eran de cemento diluido?

4 En una pecera se observan 22 crustáceos marinos, entre camarones y langostas. Considerando que los camarones tienen 5 pares de patas y las langostas 4 pares,y en total se contaron 216 patas, ¿cuántos crustáceos eran langostas?

En un terrario experimental viven 30 artrópodos, entre arañas y hormigas. Si se calcularon 202 patas, ¿cuántas arañas y hormigas hay?

1. Se parte de una falsa premisa: “todos estos artrópodos son arañas”. Entonces, habría30 � 8 � 240patas, pero se sabeque hay 202 patas;entonces se cometió un error de240 � 202 � 38 patas

Falsa suposición Cuando en un problema hay elementos de dos clases diferentes y es necesario averiguar cuántos elementos hay de cada clase, es posible recurrir a la estrategia de la falsa suposición. Para esto, se parte de la falsa premisa de que todos los elementos son de una sola clase.

Ejemplo resuelto

2. Se analiza el error. El error se debea que se consideró como arañas a todoslos artrópodos del terrario. Cada vezque se contaba una hormiga como arañase fallaba en 8 � 6 � 2 patas. Por lo que se falló 38 ÷ 2 = 19 veces.

3. Se encuentra la respuesta. Como se falló 19 veces,entonces 19 de los artrópodos no son arañassino hormigas. En el terrario hay 19 hormigasy 11 arañas.

4. Se comprueba el resultado: 19 � 6 + 11 � 8 = 114 + 88 = 202

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Idea para la acción

NÚMEROS NATURALES 21

3 Preparación de materiales• Consigan una balanza o peso para pesar

los paquetes de papel. Si no la consiguen pueden usar una de las empleadas para medir el peso de las personas y usarla restando el peso de quien sostienelos paquetes.

• Tengan a la mano cinta adhesiva y alambreo pabilo para empaquetar y clasif icar los papeles.

4 Puesta en acción• Hagan una pequeña campaña

de concientización acerca del usoapropiado de papel y las vías para reciclarlo.

• Recauden el papel, clasifíquenlo y pésenlo.• Trasladen el papel a la empresa de reciclaje

y contabilicen el dinero obtenido.

Periódico

Cartón

Papel blanco

Propósito: ejecutar una campaña de reciclaje de papel como estrategiade conservación ambiental y de recaudación de fondos.

1 Documentación• Busquen información sobre las diferentes empresas de reciclaje de papel en su comunidad. • Investiguen cuáles tipos de papel reciben para reciclar y el valor estimado por kilo. • Tomen nota de los posibles lugares destinados para la recolección, como la institución donde

estudian, una ONG, la sede de la Junta de Vecinos la casa de un o una integrante del equipo, entre otras.

• Recopilen información acerca de las posibles formas de trasladar el papel recaudadoa la recicladora.

2 Planifi cación• Def inan el lugar de recolección y almacenamiento, la fecha de entrega del material

a la recicladora y las personas adultas que supervisarán la actividad. • Repartan panfl etos en la comunidad y en el liceo, con la fecha de ejecución de la campaña

de reciclaje y los tipos de papel a recolectar, como periódico, hojas para escribir o paraimprimir, revistas y cartón.

• Def inan el uso que le darán al dinero que se obtendrá con la venta del material reciclado.

Reciclaje de papel

5 Evaluación• Comparen los resultados con los de otros grupos y evalúen las maneras en que

se ejecutó cada proyecto.• Respondan preguntas como: ¿cuántos kilos de papel se recaudaron? ¿Pudieron haber sido más?

¿Por qué? ¿Se pueden hacer otras recolecciones como esta? ¿Cuáles? ¿Para qué servirían?

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194 probabilidad y estadística

IDeA PARA LA AccIÓN

Hay muchas diferencias en el consumo promedio de agua por persona al día entre las diversas regiones del planeta. Por ejemplo, Venezuela es el país latinoamericano con mayor consumo de agua per cápita.

¿Cuánta agua consume diariamente una persona en Venezuela?

Fruto-estadística

Al fi nal de esta unidad elaborarán un estudioestadístico sobre el consumo de frutasen la institución donde estudian.

Fuente: - Human Development Report (2006-2008)

China Brasil Francia Japón Venezuela Australia EE UUFranciaBrasilChina FranciaFranciaBrasilBrasilChinaChinaChina

575

495

400375

285

185

85�

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Consumo de agua diario por persona (litros)En Venezuela el consumo de agua por persona suele superar los 400 al día, cuando la Organización de Naciones Unidas (ONU) establece que con 180 es sufi ciente.

LOGROS eSPeRADOS

• Reconocer la presenciade las informacionesnuméricas en la vida cotidiana.

• Recoger datos de situacio-nes cotidianas.

• Representar en distintas formas: tablas, gráficosu otros.

• Realizar interpretacionesy conclusiones a partirde datos mostradosen tablas o gráficos.

U5 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

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probabilidad y estadística 195

Para refl exionar y debatir¿Cuánta agua consume diariamente una persona en Venezuela?

Según los datos estadísticos registrados en esta gráfi ca, ¿cuál es el país que más agua consume por persona? ¿Cuál es el que más se ajustaa la norma? Entre Venezuela y China ¿cuál país consume más agua? Sabiendo que en China hay 1300 millones de habitantes y en Venezuela hay aproximadamente 28 millones de habitantes,¿qué opinas de la cantidad de agua que se consume?

Fuente: - Human Development Report (2006-2008)

China Brasil Francia Japón Venezuela Australia EE UUEE UUAustraliaVenezuelaJapón EE UUAustraliaAustraliaAustraliaVenezuelaVenezuelaVenezuelaJapón

575

495

400375

285

185

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA ©

ed

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Un experimento aleatorio es un fenómeno cuyo resultado no se puede predecir y que se puede repetir en condiciones prácticamente idénticas.

Espacio muestral El espacio muestral de un experimento aleatorio se ref iere al conjunto de todos los resultados posibles del experimento. Por ejemplo, si se lanza un dado y se observa el número de puntos en la cara superior, el espacio muestral es el conjunto 1, 2, 3, 4, 5, 6 porque son todos los resultados que pueden obtenerse.

Eventos o sucesos Un evento o suceso es una situación que puede ocurrir o no en un experimento aleatorio. Un subconjunto del espacio muestral es un evento o suceso. Por ejemplo, al lanzar el dado, el subconjunto 1, 3, 5 del espacio muestral 1, 2, 3, 4, 5, 6 es un evento que se puede caracterizar en palabras como “sale un número impar”.Por ahora sólo se considerarán experimentos equiprobables, es decir, experimentos en los cuales todos los resultados posibles tengan la misma oportunidad de ocurrir. Esto sucede en el caso del dado, suponiendo que esté construido de un material homogéneo, ya que su forma simétrica no favorece a ninguna cara sobre las demás.

Experimento aleatorio Un fenómeno se llama “determinista” cuando su resultado se conoce de antemano. Por ejemplo, si se pone un cubito de hielo en agua tibia, se sabe que se derretirá; y si el agua se calienta a 100° C, se sabe que hervirá. En cambio, un fenómeno que es “aleatorio” admite varios resultados posibles y no se puede predecir exactamente cuál de ellos ocurrirá. Así, por ejemplo, cuando se lanza una moneda al aire, no se sabe si mostrará cara o sello al caer. Otros eventos aleatorios son:• Lanzar un dado sobre una mesa y observar el número de puntos que quedan

en la cara superior.• El sexo del primer bebé que nazca en Venezuela después de la medianoche

del próximo 31 de diciembre.Existen algunos fenómenos aparentemente impredecibles, pero que con los conocimientos adecuados, se pueden predecir con exactitud, como los eclipses. En cambio, otros fenómenos físicos parecen ser impredecibles por naturaleza, por ejemplo, el instante exacto en que ocurrirá un tsunami. En conclusión, se dice que:

Si se lanza una moneda las opciones de resul-tado son cara o sello.En este caso, el espacio muestral se escribe así: {cara, sello}.

Probabilidad ActívAte

Cuando juegas al fútbol o al voleibol, ¿puedes predecir de antemano quién ganará? ¿Por qué?

temA 1

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probabilidad 197

Respuesta: la probabilidad de que salga un número impar es de 0,5.

Cálculo de la probabilidad de un evento Para calcular la probabilidad de ocurrencia de un evento denominado E, que sea equiprobable, se usa la siguiente fórmula:

Un suceso puede ser seguro, posible o imposible según la factibilidad de ocurrencia:

Los casos favorables son los resultados del experimento para los cuales ocurre el evento E, y los casos posibles son el número total de resultados que puede arrojar el experimento. Es decir, el número de casos posibles es el número de elementos del espacio muestral, mientras que el número de casos favorables es el número de elementos del evento E.

P(E) = número de casos favorables número de casos posibles

EjEmplo

¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar un dado salga un número impar?

Procedimiento

Seguro PE 5 1 Sacar una metra verde de una bolsa con 10 metras verdes

Posible 0 , PE , 1 Al lanzar una moneda, salga cara

Imposible PE 5 0 Al lanzar un dado que tiene números del 1 al 6, se obtenga un 15

Tipo de suceso Valor de la probabilidad Ejemplo

Casos posibles: 1, 2, 3, 4, 5, 6 6 casos posibles

Casos favorables: 1, 3, 5.3 casos favorables porque solo hay 3 números impares

2. Se determina el número de casos favorables.

3. Se aplica la fórmula.

1. Se determina la cantidad de casos posibles. Es decir, el número de elementos del espacio muestral.

P(salga número impar) 5 36 5 0,5

1 Determina si cada una de las situaciones corresponde o no a un experimento aleatorio.

2 Halla el espacio muestral en la situación “Sembrar tres semillas de frijol y determinar si germinan o no germinan”. Luego encuentra un suceso probable, uno seguro y uno imposible.


a) Lanzar dos dados al aire.b) Elegir tres f ichas de dominó que sin ver

sumen 6.c) Lanzar un dado y dos monedas al aire.

d) Asistir a clases con uniforme.e) Escoger entre dos estudiantes representantes

para el comité estudiantil.f ) Adivinar el número premiado de la lotería.

Probabilidad Probabilidad de un eventoSi llamamos k al número de ca-sos favorables de un evento E y n al número de casos posibles, se tiene que

PE 5 k n

.

como entonces 0 k n, al dividir entre n resulta:

0 k n n

n ,

es decir:

0 PE 1. Por lo tanto, la probabilidad de un evento es un número comprendido entre 0 y 1.

Zoom

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EjEmplo 1Al lanzar una moneda 3 veces seguidas, ¿cuál es la probabilidad de obtener cara (C) en el primer lanzamiento, sello (S) en el segundo lanzamiento y cara (C) en el tercero, es decir, CSC? Procedimiento

Respuesta: la probabilidad de obtener CSC es de 0,125.

Para contar las ramas de un diagrama de árbol sin dibujarlo, se puede usar el principio multiplicativo. Por ejemplo, si una persona tiene 3 camisas y 2 pantalones distintos, el espacio muestral correspondiente a todas las posibles combinaciones que puede hacer la persona con esas camisas y pantalones tiene 3 · 2 = 6 elementos. Entonces, el diagrama de árbol tiene 6 ramas.

3. Se calcula la probabilidad.

1. Se representa un diagrama de árbol en el cual se muestren todas las opciones posibles en cada lanzamiento.

Diagrama de árbol El diagrama de árbol es una representación que puede ayudar a describir gráf icamente el espacio muestral. Cada línea del diagrama se llama camino o rama los cuales son un posible resultado del suceso.Por ejemplo: un computador se programa para construir todos los posibles números que se pueden formar con una cantidad de cifras determinada. El programador desea poner a prueba su programa introduciendo los números 5 y 9. Para saber cuántos números de dos cifras debe producir el programa, se representa el diagrama de árbol de la derecha.Entonces, el programa debe producir cuatro números que son 55; 59; 95 y 99.

ActívAte

¿Cómo calculas la probabilidad de que un evento ocurra tres veces consecutivas? ¿Será más o menos probable que la probabilidad de que ocurra una sola vez?

Diagrama de árbol

Inicio

cara

cara

cara

cara

sello

sello

sello

sello

caracara

cara

sello

sellosello

1er lanzamiento 2˚ lanzamiento 3er lanzamiento

P(E) = número de casos favorables número de casos posibles 5

18 5 0,125

2. Determinar cuántas ramas del árbol son casos favorables.

En este caso, las opciones resaltadas constituyen la rama o el camino 3 y es la única que muestra el caso favorable de obtener cara en el primer lanzamiento, sello en el segundo y cara en el tercero.

12345678

Primer dígito

Segundo dígito

5 55

9 59

→

→5

5 95

9 99

→

→9

temA 2

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diaGrama de árbol 199

EjEmplo 2En una bolsa hay 2 metras rojas y 2 azules. Si todas son del mismo tamaño y se sacan dos, una después de la otra, sin mirar, ¿cuál es la probabilidad de que ambas sean azules?

Procedimiento

2. Determinar cuántas ramas del árbol son casos favorables.

En este caso, las ramas 9 y 12 del diagrama son las que muestran casos favorables de obtener AA, es decir, azul en la primera extracción y azul en la segunda. Por tanto, son 2 casos favorables.

1. Se representa el diagrama de árbol donde se muestren las opciones posibles en cada extracción. Como en la primera extracción se saca una, en la segunda quedan tres posibilidades.

1 Elabora un diagrama de árbol para mostrar todos los posibles resultados de cada situación. a) Una mujer tiene 2 blusas y 4 pantalones. ¿De cuántas formas se puede vestir

si combina una blusa con un pantalón? b) Se lanza una moneda al aire 3 veces. ¿Cuántos eventos pueden ocurrir? c) En una cantina venden empanadas, arepas, pastelitos, jugos naturales y jugos envasados. ¿Cuántas

combinaciones de desayuno se pueden hacer escogiendo solo una comida y una bebida? d) Si se lanza una moneda y un dado, ¿de cuántas formas se puede obtener sello

con la moneda y un número primo con el dado?

2 Resuelve los problemas.


a) Una moneda se lanza tres veces. Si en todos los lanzamientos sale cara, la moneda será de Juan. Si sale sello tres veces, será de Pedro. Si dos veces sale cara y una vez sello, será de María. ¿Quién tiene mayor probabilidad de quedarse con la moneda?

b) Un matrimonio quiere tener tres hijos. ¿Cuál es la probabilidad de que nazcan por lo menos, 2 varones? ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean del mismo sexo?

P(E) = número de casos favorables número de casos posibles 5

212 0,17

R11a extracción 2a extracción

InicioRR

R

R

A

A

R

A

A

A

A

R

A

R

A

12345678

1011

9

12

3. Se calcula la probabilidad.

Respuesta: la probabilidad de obtener AA es de 0,17.

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200 Probabilidad y estadística

Recolección de datos Hay varias formas de recolectar datos. Algunas de ellas son: • Observación directa. Método utilizado, por ejemplo, por personas que,

estudian los animales y las plantas en su hábitat natural, como los zoólogos, los botánicos y, en general, todos los científ icos.

• Observación experimental. Con este tipo de observación se recaban datos a través de experimentos cuidadosamente planeados. Es un método muy utilizado por f ísicos y químicos.

• Cuestionarios. Constan de preguntas utilizadas, por ejemplo, por los científ icos sociales para obtener información sobre las opiniones, creencias, deseos o preferencias de un grupo humano.

• Investigación documental. Consiste en buscar datos recogidos por otros y publicados en libros, revistas, memorias, etc.

Los datos se recogen de una población, es decir, de un grupo de elementos que se requieren estudiar, como seres humanos, animales, plantas y productos, entre otros.Si una población es muy numerosa, recoger datos de todos sus miembros resulta costoso y complejo. Por eso se recurre frecuentemente a la selección de una muestra que es una parte (o subconjunto) de la población.

Datos Un dato puede ser un número, una palabra o cualquier conjunto de símbolos utilizados para describir alguna característica de una situación en estudio. Por ejemplo, edad, peso, fecha de nacimiento y color de ojos, son datos sobre una persona. El número de habitantes, la superf icie y el producto interno bruto son datos básicos sobre cualquier país. La recolección y organización de datos es de fundamental importancia en numerosas actividades ya que, por ejemplo:• Los gobernantes necesitan datos demográf icos, económicos y sociales precisos

para elaborar planes de desarrollo ajustados a la realidad de su país. Los censos de población y vivienda, como el realizado en Venezuela en 2011, son uno de los métodos empleados para reunir ese tipo de datos.

• En las investigaciones científ icas, los resultados de los experimentos se registran y analizan cuidadosamente para poder llegar a conclusiones válidas.

• En la industria de los alimentos se toman constantemente muestras de los productos elaborados para analizarlos y verif icar que cumplan con las normas sanitarias, a f in de evitar daños en la salud de los consumidores.

ActívAte

El Instituto Nacional de Estadística es el ente gubernamental encargado de recolectar datos de la población venezolana. ¿Cómo crees que los recolectan?

Población

MuestraMuestra

Población

temA 3

Recolección y organización de datos

EstadísticaLa estadística es la ciencia que se encarga de la recolección, organización, análisis e interpretación de datos.

conexos con... estAdísticA

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recolección y organización de datos 201

Analiza la información y responde.En una población se realiza un censo cuya f inalidad es determinar el número de habitantes y la condición de su vivienda. Para ello, se realizan preguntas como edad, sexo, tipo de vivienda que posee, y lugar de nacimiento. De esas preguntas, ¿cuáles crees que deben ser las más importantes, según la f inalidad del censo? ¿Por qué?

1 Construye una tabla que muestre el número de estudiantes que hay por cada edad: 12; 13; 15; 15; 11; 12; 14; 13; 15; 12; 15; 12; 12; 10; 11; 12; 13; 15; 14; 15; 12; 13; 14; 15; 12; 13; 15; 14; 13; 12; 15; 12; 11; 10; 15; 11; 15; 11; 15; 14.

2 Preguntar a 30 personas cuál es su color favorito. Luego organizar la información en una tabla de datos.

3 Escribe la edad, el sexo, el peso y la estatura de cada compañero y compañera de clase. Registra las frecuencias en forma de tabla y organízalas de la manera que te parezca más conveniente para compartir estos datos con otras personas.

Para realizar en el cuadernoActividades

2. Se cuenta cuántas personas pref ieren cada deporte. Los resultados se colocan en la celda a la derecha de cada uno.

1. Se construye una tabla de dos columnas. En la primera f ila se colocan los conceptos: deporte y número de personas. Luego en la primera columna todos los deportes que surgieron como respuestas.

Tablas de datos En estadística, las tablas de datos tienen muchos usos. Generalmente sirven para resumir los resultados de una encuesta.

EjEmplo Al aplicar un cuestionario a un grupo de 13 personas acerca de su deporte preferido, las respuestas obtenidas fueron: béisbol, fútbol, kárate, voleibol, béisbol, fútbol, kárate, béisbol, béisbol, baloncesto, voleibol, baloncesto y voleibol. Organizar estos datos en una tabla de datos.

procEdimiEnto

Deporte N° de personasBéisbolVoleibolFútbol

BaloncestoKárate

Deporte N° de personasBéisbol 4Voleibol 3Fútbol 2

Baloncesto 2Kárate 2


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Esos mismos datos pueden representarse gráf icamente de varias maneras, una de las cuales se ilustra en el diagrama de barras de la derecha. A cada valor de la variable le corresponde una barra cuya longitud representa el número de personas que la pref ieren, es decir, la frecuencia absoluta del valor. Cada barra se identif ica mediante el rótulo con el nombre del tipo de música correspondiente. Estos diagramas también se pueden dibujar con barras verticales, como se muestra.

Variables En estadística, se llama variable a cualquier característica de la situación o de los objetos de estudio que pueda tomar valores diversos. Ejemplos de variables son la edad, la estatura o el deporte preferido de un grupode personas. Las variables se clasif ican en cuantitativas, cuando son numéricas como la edad y la estatura, y cualitativas, cuando no son numéricas como el deporte preferido por una persona, el sexo o el color de los ojos.

FrecuenciasLa frecuencia es la cantidad de veces que se repite un dato. Estas pueden ser absolutas o relativas.• Frecuencia absoluta. Número de veces que cada valor de una

variable es observado en una población o muestra. Si se calcula la frecuencia absoluta de cada valor posible de una variable se obtiene su lista o rol de frecuencias, que es el caso más sencillo de distribución de frecuencias. La siguiente tabla contiene la lista de frecuencias absolutas de la variable “tipo de música”.

ActívAte

¿Has oído expresiones como “aquí suceden accidentes frecuentemente” o “esta semana llovió de manera frecuente”? ¿Qué quiere decir la palabra “frecuente”?

Distribución de frecuencias

Tipo de música

Frecuencia absoluta

Salsa 5Merengue 3

Rock 3Llanera 2

Pop 1Clásica 1

0 1 2 3

Frecuencia absoluta

Mús

ica

Salsa

Merengue

Rock

Llanera

Clásica

Pop

4 5 6

01

2

3

Frec

uenc

ia a

bsol

uta

Música

Salsa Merengue Rock Llanera ClásicaPop

4

5

6

temA 4

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distribución de frecuencias 203

• Frecuencia relativa. Cociente entre la frecuencia absoluta y el número total de datos registrados. En el ejemplo del tipo de música, el número total de datos es 15, por lo tanto la frecuencia relativa del tipo de música salsa es 5

15.

A continuación se resumen, en una tabla, las frecuencias absolutas y relativas para todos los valores de la variable “tipo de música preferida”.

Música Frecuencia absoluta

Frecuencia relativa

Salsa 5515 = 1

3 33,33%

Merengue 3315 = 1

5 = 20%

Rock 3315 = 1

5 = 20%

Llanera 2215 13,33%

Pop 1115 6,67%

Clásica 1115 6,67%

Total 151515 = 100%

1 Elaborar una tabla con la frecuencia absoluta y relativa correspondiente al peso en kilogramos de 40 estudiantes: 42; 47; 45; 44; 46; 48; 45; 49; 46; 44; 50; 41; 49; 43; 48; 42; 49; 44; 47; 45; 42; 47; 44; 48; 46; 41: 48; 42; 46; 43; 45; 48; 41; 45; 42; 47; 48; 45; 50; 45.

2 Construye una tabla de frecuencias y su gráf ico de barras con la información dada.

En un museo registran semanalmente el día que tuvieron el máximo número de personas durante esa semana. El siguiente es el registro del primer trimestre del año: viernes, sábado, domingo, viernes, jueves, viernes, viernes, sábado, sábado, viernes, sábado, domingo.

Para realizar en el cuadernoActividades

Es común referirse a las frecuencias relativas como porcentajes. La frase “20% de los estudiantes pref iere el merengue” equivale a decir que la frecuencia relativa de esa música es 20

100, es decir 0,2 o 1

5.

Para representar las frecuencias relativas se puede utilizar un gráf ico circular. Para este caso, a cada tipo de música le corresponde un sector circular de área proporcional al número de personas que la pref ieren. El ángulo de cada sector se obtiene de multiplicar 360º por la frecuencia relativa del valor expresada en fracción.

En este diagrama se utiliza un código de colores para identif icar cada tipo de música. Si no se dispone de color, se puede escribir una leyenda que identif ique a cada sector. También se acostumbra a indicar el porcentaje del área del círculo que corresponde a cada sector.

Diagrama circular

13 360˚5 120˚

15 360˚5 72˚

215 360˚5 48˚

115 360˚5 24˚

Salsa

Merengue

Llanera

Rock

Pop

Clásica

Diagrama circular6,67%

33,33%

20%20%

13,33%

6,67%

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Intervalos de clase e histogramas

La frecuencia absoluta representa la cantidad de datos que pertenecen al intervalo. La frecuencia acumulada de un intervalo es la suma de su frecuencia absoluta, más la frecuencia acumulada que la precede.

Intervalo de clase (nº de hits) Conteo Frecuencia

absoluta50 – 55 655 – 60 560 – 65 565 – 70 170 – 75 675 – 80 680 – 85 4

Total 33

Intervalos de clase Conteo Frecuencia

absolutaFrecuencia acumulada

50 – 55 6 655 – 60 5 6 1 5 5 1160 – 65 5 11 1 5 5 1665 – 70 1 16 1 1 5 1770 – 75 6 17 1 6 5 2375 – 80 6 23 1 6 = 2980 – 85 4 29 1 4 5 33

Total 33

1 Se determinó el tamaño de cada intervalo de clase. El tamaño del intervalo puede ser cualquiera. En este caso se tomó 5 hits como amplitud o tamaño del intervalo.

2 Se construyen los intervalos. El primero va desde el dato menor más el tamaño del intervalo. Es decir, el primer intervalo va desde 50, que es el dato menor, hasta 50 1 5 5 55; así, el intervalo es 50 2 55. En este caso, 50 es el límite inferior y 55 es el límite superior. Para el segundo intervalo se considera como límite inferior el límite superior del primer intervalo y se repite el proceso anterior. Así sucesivamente, hasta llegar al último intervalo que contiene el dato mayor.

3 Una vez determinados los intervalos, es necesario contar el número de datos que hay en cada intervalo. Cuando se cuentan los datos, en cada intervalo se incluyen los datos correspondientes al primer valor pero no al último.

jugadores han bateado entre17

50 - 70 HITS

Tema 5

acTívaTe

¿Cómo representas datos de intervalos numéricos en un gráfico de barras?


Agrupación de datos en intervalos de clase Cuando los valores que puede tomar una variable son numerosos, se dice que es una variable de tipo continuo, sus valores se pueden agrupar en grupos de datos llamados intervalos de clase. Por ejemplo, a cada miembro de un grupo de jugadores de béisbol se le midió la cantidad de hits durante una temporada; los resultados obtenidos fueron: 50; 52; 60; 70; 58; 52; 51; 63; 81; 57; 60; 79; 75; 72; 51; 75; 70; 59; 60; 56; 78; 77; 80; 53; 80; 63; 69; 58; 77; 73; 71; 70; 83. ¿Cómo se pueden organizar estos datos en una tabla?

jugadores 53

jugadores 55 jugadores 52jugadores 54 jugador 51

Representación

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Histograma Un histograma es un diagrama en el cual las barras se ubican una al lado de la otra, sin espacio que las separe. Se utilizan para representar variables cuantitativas o intervalos de clase y transmitir la idea de que los datos varían en una escala continua. Por ejemplo, durante un mes a un equipo de béisbol local se le cuenta la cantidad de carreras anotadas en los partidos de una temporada. Los resultados fueron: 14; 12; 10; 10; 9; 12; 11; 9; 2; 5; 20; 15; 12; 16; 9; 8; 10; 8; 9; 5; 6; 7; 9; 10; 11 y 17. ¿Cómo pueden ser representados estos datos en un gráfico?

1 Se agrupan los datos en una tabla.2 Se representan los datos en un histograma según

como aparezcan en la tabla de frecuencia absoluta.

Del gráfico se puede inferir lo siguiente:• En 11 partidos, se anotaron entre 5 y 15 carreras.• De 26 partidos, solo en uno se anotó entre

0 y 5 carreras.• Solo en 3 partidos se anotaron entre

15 y 20 carreras.

Bob Abreu 0.308

Maglio Ordóñez 0.200

Carlos González 0.300

Miguel Cabrera 0.351

Elvis Andrus 0.273

Omar Vizquel 0.364

Gerardo Parra 0.378

Víctor Martínez 0.235

Jonathan Herrera 0.353

Yorvit Torrealba 0.499

acTívaTe

¿Cómo representas datos de intervalos numéricos en un gráfico de barras?

Algunos peloteros venezolanos de las grandes ligas obtuvieron un promedio de bateo entre 0.200 y 0.500; según estudio del Correo del Orinoco, prensa de la embajada de la República Bolivariana de Venezuela en Estados Unidos, del 23 de marzo del 2011 (Consultada el 10/10/2011).

Intervalos de clase (Cantidad de carreras) Conteo Frecuencia

absoluta0 – 5 1

5 – 10 1110 – 15 1015 – 20 320 – 25 1

Total 26

Frec

uenc

ia a

bsol

uta

(Can

tidad

de

juga

dore

s)

Promedio de bateo

4

3

2

1

0 0,200 0,250 0,300 0,350 0,400 0,450 0,500

Frec

uenc

ia a

bsol

uta

(Par

tidos

en

una

tem

pora

da)

Cantidad de carreras

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0 5 10 15 20 25

intervalos de clase e histogramas 205

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Respuesta: si se toman los intervalos de clase de 5 kg de amplitud, las marcas de clase pueden ser 77,5; 82,5; 87,5; 92,5; 97,5 y 102,5.

1. Se escriben los intervalos de clase en la tabla.

2. Se calculan las marcas de clase para cada intervalo.

EjEmplo

En un equipo de béisbol se mide el peso de los jugadores en kilogramos. Los datos obtenidos fueron los siguientes: 75; 78; 80; 90; 95; 102; 85; 82; 91; 100; 101; 95; 80; 81; 77; 89; 88; 98; 96; 95; 81; 92; 96; 99; 84; 79; 81; 83; 96; 101; 102; 99; 87; 78; 77 y 84. ¿Cuáles podrían ser las marcas de clase para estos datos?

Procedimiento

Marca de clase La expresión marca de clase se utiliza para designar un valor representativo

de todo el intervalo. Generalmente, como marca de un intervalo a 2 b se

toma su punto medio y se calcula así: marca de clase 5 a 1 b 2

.

1 Observa los datos, procésalos y luego responde las preguntas. Para procesar los datos haz una tabla con una amplitud de 5 años, con frecuencia absoluta y acumulada.

Las edades de 40 estudiantes de música son: 10; 10; 9; 11; 12; 13; 12; 11; 5; 7; 15; 12; 19; 11; 12; 13; 12; 10; 5; 7; 20; 22; 21; 6; 10; 7; 16; 13; 19; 9; 26; 20; 19; 11; 12; 11; 10; 20; 5 y 7.

a) ¿Cuál es el intervalo de clase donde hay más estudiantes? b) ¿Cuál es el intervalo de clase donde hay menos estudiantes? c) ¿Cuál es la marca de clase para el primer intervalo?

2 Escribe los datos que podrías obtener a partir de los siguientes intervalos: (10 – 15): 2 personas; (15 – 20): 1 persona y (20 – 25): 7 personas. • Ahora responde.

a) ¿ En qué intervalo estará una persona de 21 años? b) ¿Cuál sería la marca de clase para cada intervalo? c) Si hubiese una persona de 45 años, ¿cuántos intervalos de clase más habría

que incluir?

3 Construye un histograma con las edades de tus compañeros y compañeras de clase. Luego realiza un análisis separando los datos por género y por altura.


Intervalos de clase (Peso en kg)

Frecuencia absoluta

Marcas de clase

75 – 80 6 77,580 – 85 9 82,585 – 90 4 87,590 – 95 3 92,5

95 – 100 9 97,5100 – 105 5 102,5

Total 36

La estadística en el deporteLas estadísticas de-portivas ayudan a registrar el logro de un atleta en cualquier disciplina.

Así sucede en la natación, donde se mide el tiempo que hace un nadador al completar una piscina olímpica.

conexos con... DeporTe


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Elabora un histograma con los datos y responde: Una persona de la tercera edad se ejercita durante algunos minutos al día. En un mes, estos fueron los minutos que usó para ejercitarce: 15; 10; 11; 5; 12; 11; 3; 20; 25; 12; 12; 10; 8; 25; 30; 12; 11; 9; 24; 15; 25; 12; 23; 12; 31; 25; 18; 16; 16 y 15. a) ¿Cuál es el promedio de minutos de ejercicio que hace diariamente?

¿En qué clase de intervalo se encontraría ese promedio? b) ¿Qué le recomendarías a esa persona?


4 Agrupa los datos en una tabla de intervalos de clase con una amplitud de 2 segundos. Un profesor de natación tiene registrados los tiempos, en segundos, que tardan sus

nadadores en recorrer los 50 metros de una piscina olímpica; los tiempos son: 23,5; 24,6; 23,0; 25,6; 27,7; 24,5; 25,6; 26,4; 22,6; 28,7; 25,5; 27,6; 30,1; 32,4; 29,7; 24,2; 25,1; 27,3; 27,6; 29,7; 23,2; 31,6; 30,2; 32,4; 24,7; 24,1; 24,5; 27,3; 27,8; 28,8; 25,0; 31,3; 30,1; 32,4; 31,7; 23,1; 24,5; 27,3; 27,7 y 26,8.

• Responde: a) ¿Cuál es el intervalo de tiempo donde hay más nadadores? b) ¿Cuántos nadadores hacen tiempos menores a 26?

5 Construye la tabla de intervalos de clase de acuerdo con los datos usando frecuencia absoluta, acumulada y marcas de intervalos de clase. Luego grafica el histograma.

Los siguientes datos representan la profundidad en metros alcanzada por varias tortugas marinas: 20; 21; 23; 40; 32; 12; 5; 12; 25; 27; 36; 19; 18; 28; 30; 33; 45; 60; 45; 55; 52; 32; 21; 12; 6; 12; 9; 12; 20; 54; 57; 23; 30; 9; 23; 45; 49; 47; 32; 49; 23; 16; 20; 36; 38; 42; 40; 39; 36; 15; 20; 10; 15; 59; 58; 45; 36; 25; 12; 9; 19; 22; 21; 44; 47; 43; 38; 59; 29; 49; 49; 46; 22; 45; 22; 16; 20; 36; 35; 44; 33; 39; 36; 15; 20; 14 y 16.

• Responde: a) ¿Cuál fue la cantidad de tortugas analizadas? b) ¿Cuánto representa la mayor marca de clase? c) ¿Cuántas tortugas han bajado menos de 50 metros? d) Si se toma el primer intervalo de clase desde 0 y el último hasta los 70 metros,

¿habría intervalos de clase sin registro de tortugas? ¿Por qué? e) Si se quieren hacer intervalos de clase con una amplitud de 2 metros, ¿cuántos habría?

6 Observa el histograma y responde:

a) ¿Cuál es la cantidad total de personas en el consultorio médico?

b) ¿Cuántas personas son menores de 10 años? c) ¿Cuántas personas adultas con edades mayores

o iguales a 60 años están en el consultorio?d) ¿A qué crees que se deba que haya un espacio

entre la segunda y tercera barra?e) ¿Cuáles son las marcas de clase para

los intervalos de clase del histograma? Edades de unas personas en un consultorio médico0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

12

10

8

6

4

2

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intervalos de clase e histogramas 207

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Para realizar en el cuadernoActividades de refuerzoComprensión

1 Resuelve las situaciones. a) En una caja hay cinco pelotas rojas, tres verdes,

una azul y una negra. • ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja? • ¿Cuál es la probabilidad de sacar una negra? • ¿Cuáles probabilidades son iguales? ¿Por qué?

b) Un mazo de naipes está compuesto por 52 barajas de 4 pintas: corazón, trébol, picas y diamante. Cada pinta tiene 13 barajas, de las cuales 10 son números y cuatro son letras (A, J, Q y K).

• ¿Cuál es la probabilidad de sacar un número 7?

• ¿Cuál es la probabilidad de sacar cualquier letra?

• ¿Cuál es la probabilidad de sacar cualquier carta de trébol?

c) En una pecera hay 35 peces entre azules y rojos, distribuidos así: 15 peces son de aleta larga y el resto de aleta corta; solo 4 son de aleta larga y además de color azul; todos los demás peces son rojos.

• Al usar una red y sacar uno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea de aleta corta? ¿Y de que sea de color rojo?

• ¿Cuál es la probabilidad de que sea azul?

2 Determina las probabilidades. a) Lanzar dos dados y que la suma de los puntos

sea igual a 8. b) Lanzar un dado y que el número sea primo.

c) Lanzar dos dados y que la suma de los puntos sea igual a cualquier número par.

d) Lanzar un dado y que el número sea múltiplo de 3.

3 Observa el tablero de ajedrez y responde.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que, al

escoger un peón negro al azar, esté en una casilla negra?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que, al mover un caballo negro, se mueva a una casilla negra?

c) Si se meten todas las piezas en una caja, ¿cuál es la probabilidad de sacar al azar una torre blanca?

4 Grafica según corresponda. a) Un diagrama circular a partir de los datos:

b) Un histograma con los datos: 12; 10; 16; 11; 7; 15; 18; 10; 9; 5; 6; 7; 7;

18; 9; 14; 11; 12; 10; 6; 15; 12; 10; 8; 20; 19; 16; 20; 8; 18; 6; 5; 15; 16; 13; 12; 12; 15; 20; 7; 9; 10; 16; 10; 16; 12.

5 Calcula las frecuencias relativas o absolutas a partir de los diagramas circulares, según corresponda.

a) Total frecuencia absoluta: 50 personas.

b) Total frecuencia absoluta: 360 estudiantes.

90o

45o

45o

180o

20%

10%

30%

4%

36%

Color Nº de personas que lo prefieren

Amarillo 42Azul 36Rojo 12

Verde 16


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La ciencia actuarial o actuaria, es una disciplina matemática que aplica métodos estadísticos a la evaluación de riesgos en las industrias, aseguradoras y f inancieras, por medio de las probabilidades, las estadísticas y otras ciencias como la economía. Gracias a la tecnología de las computadoras esta ciencia ha evolucionado en sus métodos estadísticos. Investiga en Internet sobre el uso de las ciencias actuariales en las empresas aseguradoras y cuál es la relación que guardan con la matemática.

Opinión y síntesis 7 Calcula las frecuencias acumuladas, grafica

el histograma y responde. a) Un estudio sobre el uso y horario

del teléfono de una casa arrojó estos datos:

• ¿En cuáles intervalos de horas se realizaron más llamadas?

• ¿Cuántas llamadas se hicieron desde las 5:00 p.m.?

• Si un plan de llamadas permite hacer 20 llamadas por el costo de una, de 8:00 a.m. a 11:00 a.m., ¿qué recomendarías a esta casa para aprovechar el plan al máximo?

b) Una encuesta sobre el consumo diario de pastillas para el dolor de cabeza arrojó los siguientes datos: 1; 2; 0; 0 ; 0; 1; 2; 3; 1; 0; 1; 1; 1; 0; 2; 1; 0; 3; 2; 1; 0; 0; 3; 1; 1; 1; 0; 0; 0; 0; 1; 0; 2; 2; 1;0; 2; 1; 0.

• ¿Cuántas personas toman más de una pastilla diaria para el dolor de cabeza?

• ¿Conoces otros métodos para evitar el dolor de cabeza? ¿Cuáles?

• ¿Qué haces cuando te duele la cabeza?

Análisis y aplicación6 Representa en un diagrama de barras

y en uno circular y luego responde. a) Datos sobre el consumo de comida

en una institución escolar.

• ¿Cuál es la diferencia, en porcentaje, del consumo de pollo con respecto al de cereal?

• ¿Cuál es la diferencia de ángulo al centro del diagrama circular entre el ángulo mayor y el menor?

b) En una piñatería se compraron juguetes de varios materiales para rellenar una piñata.

• ¿Cuál es la diferencia en porcentaje entre los juguetes de plástico y los de madera?

• ¿Cuál es la probabilidad de que, al romperse la piñata, se tome al azar un juguete de goma? ¿Y uno de metal?

Tipo de comida Cantidad de personas

Pollo 52Carne 15

Pescado 9Ensalada 12

Sopa 10Cereal 30

Tipo de juguete Cantidad de juguetes

Plástico 12Madera 13Goma 10Metal 8

Horas Cantidad de llamadas

8:00 a.m. - 11:00 a.m. 511:00 a.m. - 2:00 p.m. 122:00 p.m. - 5:00 p.m. 45:00 p.m. - 8:00 p.m. 158:00 p.m. -11:00 p.m. 9

Conexos con... Ciencias actuariales

Probabilidad y estadística 209

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Problemas

P 5 26

5 13

�33,3%

Entonces la probabilidad de que Pedro se siente entre las dos chicas es de 13

,o 33,3%, aproximadamente.

Pedro, Rosa y María se ubican en tres asientos contiguos en el cine. ¿Cuál es la probabilidad de que Pedro se siente entre las dos chicas?

1. Se elabora un diagrama de árbol usando los posibles sucesos planteados en la situación.

2. Se cuenta la cantidad de casos del espacio muestral, en este caso, son 6 porque hay 6 caminos o ramas en el diagrama.

3. Se cuentan los casos que favorecen a que Pedro esté sentado entre las dos chicas en este caso, son 2; y se calcula la probabilidad.

1 Se lanza un dado y una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello y un número primo?

2 Se lanza una moneda tres veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de que salga sello una sola vez?

3 Se lanza una moneda 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga cara todas las veces?

4 Daniel, Andreína, Giovanni y Rosaura juegan tenis en parejas. ¿Cuántas parejas se pueden formar? ¿En cuántas está Andreína?

5 Se lanza un dado dos veces seguidas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 y un 5?

6 Andrés tiene 2 pantalones, 3 camisas y 2 corbatas. ¿De cuántas maneras diferentes puede combinarse Andrés?

7 En una bolsa hay pelotas con los números del 1 al 9. Se extrae una pelota y luego otra sin introducir la primera en la bolsa. Así mismo, se extrae una tercera pelota. Con los 3 números obtenidos se forma un número de 3 cifras ubicadas en el mismo orden de extracción. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par?

1er asiento 2o asiento 3er asiento Resultado

PedroRosa María PRMMaría Rosa PMR

RosaPedro María RPMMaría Pedro RMP

MaríaPedro Rosa MPRRosa Pedro MRP

Estrategia de resolución de problemasDiagrama de árbol Si ante todo problema se aspira llegar a la solución, es necesario organizar los datos y, muchas veces, realizar un esquema apropiado. El diagrama de árbol muestra todas las posibilidades que se pueden obtener de los datos, desde un punto inicial hastaun punto f inal.

Ejemplo resuelto

1

3

5

1

4

6


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Idea para la acciónPropósito: desarrollar un estudio sobre el consumo de frutas

en la institución donde estudias.

1 Documentación• Busquen información acerca de los tipos de frutas que venden en el colegio

y cuáles llevan los y las estudiantes de sus casas. • Investiguen acerca de los métodos existentes para hacer encuestas. • Tomen nota de los posibles modelos de preguntas que les gustaría hacer

en la encuesta.

2 Planifi cación• Diseñen el instrumento con el cual harán la encuesta.• Soliciten los permisos necesarios para hacer la encuesta. • Hagan una lista de todos los materiales requeridos para realizar la encuesta.• Tengan a mano la lista de horarios disponibles para no entorpecer

las clases de otros y otras estudiantes al momento de la encuesta. • Hagan una distribución equitativa de los y las integrantes del equipo

en todo el colegio para distribuir el trabajo en partes iguales.

3 Preparación de materiales• Preparen los materiales y sitios de trabajo para después de la encuesta.

• Anuncien, con tiempo, el día de la encuesta para que docentes y estudiantes estén al tanto.

4 Puesta en acción• Apliquen las encuestas según el instrumento desarrollado. • Recopilen toda la información en un solo sitio.• Cuenten varias veces y por personas distintas, los datos obtenidos,

para evitar errores contables.

5 Evaluación • Transcriban los datos a una computadora

y organícenlos por tipos.• Empleen distintos tipos de gráf icos como

diagramas de barras, diagramas circulares e histogramas, si es necesario.

• Realicen los análisis pertinentes a los gráf icos. Para ello, pueden plantearse preguntas como: ¿cuál fue la fruta más popular y cuál es la diferencia con la menos popular? ¿Existe una cultura de consumo de frutas entre la población estudiada?

Fruto-estadística

Probabilidad y estadística 211

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Matemática 1año

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Desde su propio nombre, Conexos -el conjunto de bienes educativos que hemos elaborado para afrontar los nuevos retos de la Educación Media- está comprometido con un mundo de interrelaciones, en el que los saberes no son estáticos ni están encerrados en espacios restringidos, sino que andan en constante movimiento, dispersos en infi nitas redes. Estos materiales didácticos apuntan a potenciar los vínculos, activar los contactos, descubrir los enlaces.

El aprendizaje signifi cativo, que cultivamos como una de las premisas conceptuales de todos nuestros materiales didácticos, tiene una importancia creciente en esta serie, pues atiende las necesidades de estudiantes que ya han avanzadoa otra fase de su educación formal. La necesidad de que las competencias adquiridas sean útiles para la vida es en Conexos una estrategia vital.

matemática 1er año - conexos

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