libro i verano 2007 algebra

Academia Preuniversitaria ”DISCOVERY” ALGEBRA

EXPONENTES – ECUACIONES EXPONENCIALES

Exponente natural: Es el exponente entero y positivo que nos indica el número de veces que se repite una expresión como factor.En general:

an =

NOTA:

No tiene sentido ya que ( ) no es un número natural.

Exponente cero: todo número diferente de cero elevado al exponente cero es la unidad.

a0 = 1; a R a 0

NOTA: 00 es indeterminado.

Exponente negativo: Nos indica que la base diferente de cero se invierte (inverso multiplicativo).

a-1 = a R - 0

TEOREMA:

a-n = a 0 n N

Exponente fraccionario: El exponente fraccionario se expresa como los radicales, donde el denominador de dicho exponente representa el índice del radical.

POTENCIACIÓN

Definición: Es una operación matemática que consiste en hallar una expresión llamada potencia, partiendo de otras dos llamadas base y exponente respectivamente.Identidad Fundamental

P = an; a R ; n N; P N

Donde: a : baseb: exponente naturalP: potencia

TEOREMA 1x m x n = x m + n ; x R

TEOREMA 2(xm)n = xm.n; x R m, n N

TEOREMA 3(a . b)n = a n . b n ; a, b R n N

TEOREMA 4(x a . y b)n = x a . n . y b . n

TEOREMA 5

TEOREMA 6

Corolario 1

RADICACIÓN EN R

DEFINICIÓN: Dados un número real “a” y un número natural n mayor que 1, “b” se llama raíz n – ésima principal de a y se denota por b = si solo sí bn = a, donde a, b N - 1; bajo

la condición de que si n es par, entonces a, b

Identidad Fundamental:

Teoremas de radicación:

Teorema 1

Si n es par entonces a 0 b 0

Teorema 2

Si n es par entonces a 0 b > 0

Teorema 3

m, n N

Si: m.n es par a 0

Radicales sucesivos

Regla Práctica

I.

(x + x + x + ……….)

II.

(x - x + x - ……….)En los exponentes, los signos se alternan.

Corolario:

Si ab es par x

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:( ) (-5)3 (-5)8 (-5)6 = 517

( )

( )

1


A) VVV B) FFV C) VFFD) FFF E) FVV

02. Indique verdadero (V) o falso (F) según corresponda:( ) ( ) (x – 5)0 = 1; x R

( )

A) VVV B) VVF C) FFVD) FFF E) VFF

03. Calcular el valor de:

A) 1 B) 5 C) 2 D) 3 E) 4

04. Simplificar:

A) 3 B) 9 C) 27 D) 36 E) 81

05. Simplificar:

Si: n; x NA) 1 B) x5n C) x2n D) x10 E)x55

06. Simplificar:

A) x30 B) x15 C) x60 D) x12 E) x24

07. Al reducir:

se obtuvo: xn; hallar n2

A) 4 B) 9 C) 16 D) 25 E) 3608. Simplificar:

A) 1 B) x2 C) y2 D) xy E) 1/x

09. Simplificar:

A) 1 B) 7 C) 49 D) 7-1 E) 7-2

10. Si se cumple que:

calcule el valor de: A) 108 B) 27 C) 81 D) 90 E) 243

11. Resolver: A) 6 B) 2 C) 4D) 10 E) 8

12. Luego de resolver: 7x . 492x+3 = 343x+4

Indicar lo correcto respecto a “x”.A) x > 5 B) x + 1 es imparC) x + 2 = 5 D) E) x es cuadrado perfecto

13. Resolver:

A) 2 B) 3 C) 1 D) 4 E) 5

14. Calcular “m” a partir de:

Dar como respuesta: A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. Si:

el valor de “x” es:A) 5 B) 4 C) 7 D) 10 E) 3

16. Resolver:

A) 9 B) 11 C) 13D) 10 E) 12

17. Hallar “n” en : A) 69 B) 59 C) 64 D) 57 E) 52

18. Resolver:2x+2 + 2x+1 + 2x = 224A) 3 B) 5 C) 7 D) 9 E) 11

19. Si:

Hallar: P = A) 6 B) 5 C) 4 D) 7 E) 3

20. Si:

hallar x + y:A) 2 B) 3 C) -1 D) 4 E) 5

POLINOMIOS

Término algebraicoEs una expresión algebraica previamente reducida donde no se define las operaciones de adición ni sustracción entre las variables.Partes de un Término AlgebraicoTiene 3 partes, veamos:

Son tres las partes:1. Coeficiente (incluyendo al signo)2. Partes variables3. Los exponentes de las variables

Definición de Polinomio: Se define así, a toda expresión algebraica racional entera, que a su vez está definida sobre un

2

)(

tan

ecoeficient

teconsparte


campo numérico y en cualquier conjunto numérico para las variables.

Polinomio de una variable:Es aquella expresión algebraica de la siguiente forma general:

Donde:ao, a1, a2, ……., ao coeficientesx variablen grado del polinomioa0 coeficiente principalan término independiente

Valor numérico de una expresión matemáticaEs el resultado que se obtiene al reemplazar las variables por alguna constante:Teorema:Dado un polinomio P(x):I. La suma se sus coeficientes se obtiene reemplazando la

variable por 1

II. Su término independiente se obtiene reemplazando su variable por cero.

Corolario:

En un polinomio de más de una variable:I. La suma de coeficientes se halla reemplazando cada una

de las variables por el número 1.II. Su término independiente de las variables se halla

reemplazando cada una de las variables por el número cero.

Cambio de variablePropiamente debe llamarse composición de funciones dentro de un conjunto de valores admisibles. Consiste en reemplazar una o más variables por otras.

Grado de un polinomioSe define como una característica exclusivamente para los polinomios, relacionados con los exponentes de sus variables.Los grados se clasifican en:

1. Grado relativo (G.R.)Es representado por el valor del mayor exponente de la variable en referencia.

2. Grado Absoluto (G.A.)Se define como el grado de un polinomio:I. Para un monomio.- se obtiene sumando los grados

relativos.II. Para un polinomio de más de un término se obtiene

como el mayor grado absoluto de los monomios que lo conforman.

Definición: El grado del término independiente es cero.NOTA:1. El grado se define como el exponente de la variable de

coeficiente no nulo.2. Si no se específica el tipo de grado se sobrentenderá que

se refiere al grado absoluto.

POLINOMIOS ESPECIALESSon aquellos polinomios que obedecen a ciertas características y de acuerdo a ello son:1. Polinomio ordenado: Se dice ordenado respecto a alguna

de sus variables cuando sus exponentes solo aumentan o disminuyen (ordenado creciente o decreciente)

2. Polinomio completo: Llamaremos completo respecto a alguna variable si existen términos de todos lo grados incluyendo el término independiente, hasta un grado determinado.

TEOREMA: Dado un polinomio completo en una variable, el número de términos es igual a su grado aumentado en 1.TEOREMA: Si un polinomio es completo y ordenado respecto a una variable, se tiene que los grados relativos a esa variable de dos términos consecutivos difieren en la unidad.

3. Polinomio Homogéneo: Un polinomio de dos o más términos y dos o más variables es homogéneo si cada término tiene el mismo grado absoluto.Términos semejantes: Dos o más términos no nulos son semejantes si solo difieren en los coeficientes.

4. Polinomios idénticos: Dos o más polinomios en las mismas variables son idénticos, cuando tienen los mismos valores numéricos para cualquier valor que se asigne a sus variables.TEOREMA:Dos polinomios en una variable y del mismo grado de la forma:P(x) = a0xn + a1xn – 1 + an

Q(x) = b0xn + b1xn – 1 + bn

Son idénticos o iguales si y solo si:a0 = b0 ; a1 = b1 …….. ; an = bn

5. Polinomio idénticamente nulo: Un polinomio es idénticamente nulo, si sus valores numéricos para cualquier valor o valores asignados a las variables resulta ser siempre cero.Se denota por P(x) 0(P(x,y) es idénticamente nulo)TEOREMA:Un polinomio de la forma:P(x) = a0xn + a1xn – 1 + ……. + an

Es idénticamente nulo, si todos sus coeficientes son cero, es decir:a0 = a1 = …….. = an = 0

EJERCICIOS PROPUESTOS

01. Hallar “a - b” si el polinomio :

F(x; y) = 5xa+b+3yb-2 + xa+b+1yb+4 - 21xa+b-1yb+1

es de grado absoluto 14; y se cumple : GR(x) = GR(y) + 4A) 3 B) 2 C) 0 D) 1 E) 8

02. Hallar el valor de n (nN) si el producto de los grados relativos de “x” e “y” es 80

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

03. Hallar el coeficiente del polinomio:M(x; y) = 4nm x3m+2n y5m-n

si su grado absoluto es 10 y el grado relativo respecto a “x” es 7A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 12

04. Si el monomio:

M(x; y) =

es de GR(x) = 4; GR(y) = 9. Calcular : “m - n”A) 12 B) 11 C) 10 D) 9 E) 8

05. Sean los polinomios:

A(x; y) = xm+3ym+5 - 7x3(n-1)ym+3

B(x; y) = xp+1yq+3 - 5/6x2y5p-6

sabiendo que ambos son homogéneos y además: GA(A) = 2GA(B) = 22

3


hallar el valor de : m+n+p+qA) 19 B) 18 C) 17 D) 16 E) 15

06. Dado el polinomio homogéneo:P(x; y) = xay2b+c + xa+by2c + xa+2cya-2b

cuyo grado de homogeneidad es 6, calcular :“a+b+c”A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5

07. Dado el polinomio:P(x)=(n -1)xm-1+(m-2)xn-2+(2p+1)xq-3+(q+1)xp+1-1completo y ordenado. Calcular la suma de coeficientesA) 13 B) 12 C) 11 D) 10 E) 9

08. Si el polinomio:P(x) = (a+2)xa-1+ (b-1)xb - (c+2)xc+1 + dxd + 5es completo y ordenado. Calcular la suma de coeficientesA) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15

09. Si el polinomio:P(x) = axa-3 + bxb-2 + cxc-1 + abces completo y ordenado, calcular el término independienteA) 50 B) 49 C) 48 D) 47 E) 46

10. Dado el polinomio:P(x) = (a - d)xb-3 + bxa-8 + cxc-2 + 27dsabiendo que es completo y ordenado, hallar el valor de P(3)A) 273 B) 293 C) 313 D) 323 E) 333

11. Si : P(x) = (x -1)2 + 1calcular : P(0) + P(1) + P(2) + P(3)A) 10 B) 9 C) 8 D) 7 E) 6

12. Si : P(x) = x15 - x14 + x13 - .... + x - 1determine : P(P(P(1)))

A) 16 B) 8 C) 0 D) -8 E) -16

13. Si : P(x) = x + 1calcular : P(x - 1) + P(P(P(x - 3)))A) x B) 2x C) 3xD) 4x E) 5x

14. Si : F(x+1) = F(x) + 2x + 4 y F(0) = 5entonces : F(2) + F(1) + F(0); vale :

A) 0 B) 13 C) 17 D) 23 E) 27

15. 15. Si : P(x) = x + 4 y P(F(x) +1) = 2x + 8calcular : P(F(2)) - F(P(2))

A) 4 B) 2 C) 0 D) -2 E) -4

16. Si : G(x) = xG(P(x) + Q(x)) = 3x + 1G(P(x) - Q(x)) = 5x + 3calcular : G(P(Q(-1)))

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

17. Sea el polinomio:P(x) = (x -1)6 + (x +1)5 + (x +2)4 + 2(x -2)3 + 3calcular el término independencia de dicho polinomio

A) 1 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9

18. Hallar “a” en:P(P(P(a))) = 298, si : P(x) = 4x + 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

19. Se define la operación:

Calcular el término independiente del siguiente polinomio:

A)2n! B)(2n)! C) D)n! E)n.n!

20. Si:

calcular :110( F(2) F(3) F(4) .... F(10))

A) 15 B) 20 C) 35 D) 45 E) 55

4


PRODUCTOS NOTABLES

Definición de Multiplicación: La multiplicación es aquella operación matemática que consiste en hallar una tercera expresión llamada producto (P(x)), a partir de otras dos llamadas multiplicando M(x) y multiplicador N(x) respectivamente, tal que

P(x) M(x) . N(x)Leyes de la Multiplicación: Para dos expresiones a, b, cualesquiera, se cumple las leyes siguientes:1. Ley conmutativa: a.b = b.a

Esto justifica que en una multiplicación el orden de sus factores no altera el producto.

2. Ley asociativa: (ab)c = a(bc)3. Ley de la identidad multiplicativa:

a.1 = aEl elemento 1 recibe el nombre de neutro multiplicativo.

4. Ley del inverso multiplicativo:Para todo a(a 0) existe un único elemento llamado inverso de a, denotado por a– 1, de tal modo que a . a–1 = 1

5. Ley distributiva: a(b + c) = ab + ac

Multiplicación de expresiones de un término: Se aplican las leyes de los exponentes.

Recordar: xm . xn = xm+n ;

Multiplicación de una expresión con otra de dos o más términos. Para obtener el producto se emplea la propiedad distributiva. a(b + c)= a.b + a.c

Multiplicación de polinomios: Es un caso de la multiplicación algebraica, con la particularidad de sus elementos son polinomios. En este caso se establece una identidad entre tales polinomios.De modo que:

Identidad fundamentalA(x). B(x) C(x)

ProductoMultiplicadorMultiplicando

PRODUCTOS NOTABLES

Son los resultados de ciertas multiplicaciones indicadas que se obtienen en forma directa, considerando implícita la propiedad distributiva de la multiplicación, por la forma que presentan:

Principales productos notables:1. Trinomio cuadrado perfecto:

(a b)2 = a2 2ab + b2

tenga en cuenta que (a – b)2 (b – a)2

Corolario “Identidades de Legendre”(a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2) …………… (1)(a + b)2 – (a – b)2 = 4ab …………… (2)(a + b)4 – (a – b)4 = 8ab(a2 + b2) …………… (3)

TEOREMATodo trinomio de la forma ax2 + bx + c es cuadrado perfecto si, y solo si b2 = 4ac

2. Diferencia de cuadrados: (a + b) (a – b) a2 – b2

3. Desarrollo de un trinomio al cuadrado(a + b + c)2 a2 + b2 + c2 – (ab + ac + bc)(a + b – c)2 a2 + b2 + c2 + 2(ab – bc – ac)(a – b – c)2 (-(b + c – a))2 (b + c – a)2

4. Desarrollo de un binomio al cubo(a+b)3 a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

a3 + b3 + 3ab(a + b)(a – b)3 a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

a3 - b3 - 3ab(a - b)NOTA: (a + b)3 + (a – b)3 = 2a(a2 + 3b2)

(a + b)3 - (a – b)3 = 2b(3a2 + b2)

5. Suma y diferencia de cubos:(a + b)(a2 – ab + b2) a3 + b3

(a – b)(a2 + ab + b2) a3 – b3

6. Desarrollo de un trinomio al cubo(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3(a + b)(b + c)(c + a)(a+b+c)3 = a3+b3+c3+(a+b+c)(ab+bc+ca)-3abc(a+b+c)3=a3+b3+c3+3a2(b+c)+3b2(a+c)+3c2(a+b)+6abc

7. Producto de multiplicar binomios con un término común(x + a)(a + b) x2 + (a + b)x + abTambién: (x+a)(x+b)(x+c)x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc (x-a)(x-b)(x-c)x3–(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x–abc

8. Identidad trinómica (Identidad de Argan’d)(x2 + x + 1)(x2 – x + 1) x4 + x2 + 1(x2 + xy + y2)(x2 – xy + y2) x4 + x2y2 + y4

En general:(x2m + xm yn + y2n)(x2m – xmyn+ y2n) x4m + x2my2n + y4n

1. (x4 + x2 + 1)(x4 – x2 + 1) x8 + x4 + 12. (x6 + x3y + y2)(x6 – x3y + y2) (x3)4 + (x3y)2 + y4 x12 +

x6y2 + y4

3. (4x2 + 6xy + 9y2)(4x2 – 6xy + 9y2) (2x)4 + (2x)(3y)2 + (3y)4 16x4 + 36x2y2 + 81y4

9. Identidades adicionales (Identidad de Gauss)a3 + b3 + c3 – 3abc (a+b+c)(a2 + b2+c2–ab–ac–bc)(a+b)(b+c)(c+a)+abc (a+b+c)(ab + bc + ca)

10. Igualdades condicionales:1. Si a + b + c = 0

Se verifican: a2 + b2 + c2 = -2(ab+bc+ac) (ab+bc+ca)2 = (ab)2 + (bc)2 + (ca)2

IMPORTANTE:a3 + b3 + c3= 3abcAdemás:(a2 + b2 + c2)2 = 2(a4 + b4 + c4)

2. Si: a2 + b2 + c2 = ab + ac + bc a; b; c R a = b = c

También, si:a2n + b2n + c2n = anbn + ancn + bncn

a; b; c RnN a = b = c

EJERCICIOS PROPUESTOS01. Reducir:

F = (x + 5)2 + (x + 3)2 – 2(x + 4)2 + 1A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

02. Reducir:

A) x2 + 1 B) x2 - 1 C) (x2 + 1)

D) (x2 - 1) E)

5


03. Reducir:

A) 1 B) 2 C) x D) 2x E) 0

04. Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas (V) o falsas (F):( ) (p + q)2 = q2 + 2pq + p2

( ) (q – p)2 = (p – q)2

( ) (p + q)(p + q) = p2 + q2

A) VVV B) VFF C) VVF D) FFF E) FVV

05. Indicar verdadero o falso en las siguientes proposiciones:( ) (r + s)2 = r2 + s2 + 2rs( ) (r - s)3 = r3 – s3 - 3rs(r + s)( ) (s – r)(r + s) = s2 – r2

A) VFF B) VVV C) FFF D) VFV E) FFV

06. Si: a + b = -4 ab = -3Calcular: A) 16 B) 4 C) 25 D) 5 E) 9

07. En el rectángulo ROCS:

Además: = 10uCalcular: a + bA) 13 B) 15 C) 48 D) 24 E) 14

08. Reducir:E = (x + y + 3)(x – y + 3) – (x – y)(x + y)A) 6x B) 9 C) 6x + 9D) 6x – 9 E) 2x + 3

09. En el siguiente triángulo:

a + b = 25, calcular: a – bA) 5 B) 3 C) 2 D) 1 E) 8

10. Reducir:G = (x – 5)2 – (x – 7)(x + 2) + 9 + 5xA) 45 B) 48 C) 47 D) 46 E) 49

11. Simplificar:

A) 0 B) 1 C) -1 D) 2 E) -2

12. Si: (m + n)2 = 4mn

Calcular:

A) 2 B) 4 C) 7 D) 5 E) 6

13. Si: (m – n)2 + 4mn = 0

Calcular:

A) 6 B) 3/4 C) -1/2 D) -3/2 E) 1

14. Si: a – b = 2 ab = 2

Hallar el valor de:A) 2 B) 6 C) 3 D) 4 E) 5

15. En la figura:

El área sombreada es igual a 14 u2 y la suma de los catetos del ∆ rectángulo es 11 u2

Calcular: a2 + b3

A) 627 B) 704 C) 407D) 924 E) 1 331

16. Reducir:F = (p + q)(p2 – pq + q2) – (p – 2q)(p2 + 2pq + 4q2)Dar como respuesta:

A) 9 B) q2 C) 3 D) q E) 3q

17. Reducir: (3x + 2)(9x- 2.3x + 4) – 8A) 3x B) 9x C) 27x

D) 81x E) 33x – 8

18. Si: a + b + c = 0

Calcular:

A) -3 B) 3 C) 2 D) -2 E) 4

19. Si: a =

b = c = 3 – Calcular:

E =

A) 0,5 B) 0,25 C) 0,75 D) 0,3 E) 0,2

20. Si: p + q = -rCalcular:

A) 5 B) 5r C) 5p D) 5q E) pqr

6

R

O

S

C

a

b2u48Área

b

a

Q

P

O

5

E

B C

S

65 b

a


DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS

IDENTIDAD FUNDAMENTAL DE DIVISIÓN ENTERA:Dados los polinomios dividendo (D(x)), divisor (d(x)), cociente (q(x)) y residuo (R(x)) condicionados por la definición, se cumple:D(x) d(x) . q(x) + R(x)

TEOREMA:Dado el dividendo D(x) y el divisor d(x), los polinomios cociente q(x) y residuo R(x) son únicos.

Clases de DivisiónDe acuerdo a su resto o residuo podemos clasificar en:1. División Exacta (R(x) 0)

D(x) d(x) . q(x)

2. División Inexacta (R(x) 0)D(x) d(x) . q(x) + R(x)

Como d(x) 0, se tendrá la equivalencia siguiente:

PROPIEDADES DE GRADOS1. El grado del cociente: Grad(q) = Grad(D) – Grad(d)2. El grado máximo que puede tomar el residuo será uno

menos al divisor. Grad. Max.R = Grad(d) – 1

TEOREMA:De la identidad fundamental de división entera:P(x) d(x) q(x) + R(x)I. Si x = 1 P(1) = d(1) q(1) + R(1)

Se obtiene la suma de coeficientesII. Si x = 0 P(0) = d(0)q(0) + R(0)

Se obtiene el término independiente.

Criterios para dividir polinomiosDados los polinomios en una sola variable estos deben ser completos y ordenados en forma descendente. Si faltase algún término, en su lugar se reemplazará un término con coeficiente cero.

Métodos para dividir algebraicamente polinomiosLos procedimientos a seguir derivan de la división entera de números enteros.

1. Método clásico o división normal: Seguiremos los mismos pasos de la división de enteros.

2. Por coeficientes separados: En un caso similar a la división normal con la diferencia que en éste caso sólo se trabajan con los coeficientes.

3. Método de Guillermo Horner: Diremos que éste es un caso sintetizado de coeficientes separados y exigen las mismas condiciones.En forma general:Dividir a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + an

Entre b0xm + b1xm-1 + b2xm-2 + bm

Donde n m a0b0 0

4. Regla de Paolo Ruffini: Se considera como un caso particular del método de Horner, se utilizará el divisor es de primer grado o transformable a esta forma. Veamos un ejemplo inicialmente efectuado por Horner para ver una comparación con la regla de Ruffini.En generalAl dividir a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + …… + an entre ax+b; ab 0 se presentarán dos casos :

CASO ICuando a = 1; se tendrá:

CASO IICuando a 1; se tendrá:

De la identidad fundamental

D(x) (ax + b)q(x) + R(x) (aq(x)) + R(x)

EJERCICIOS PROPUESTOS01. Al dividir:

dar como respuesta la suma de cocientes del residuoA) 4 B) -4 C) -1 D) 1 E) 5

02. Dividir:

dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente.A) 18 B) 8 C) 2 D) -1 E) -2

03. Dividir:

dar como respuesta la suma del cociente y del residuoA) x – 4 B) 5x – 13 C) 6x + 17D) 6x – 17 E) 4x – 9

04. Al dividir:

dar como respuesta la suma de coeficientes del cociente disminuida en el resto.A) 5 B) 3 C) 2 D) 4 E) 1

05. Al dividir:

se obtiene como resto: ax + b + cx2

Calcular el valor de:

A) 1 B) -1 C) 0 D) Indefinido E) Indeterminado

06. Si la siguiente división:

es exacta entonces

el valor de (A + B) es:A) 5 B) 9 C) 14 D) 20 E) 19

07. Al dividir:

se obtiene por resto: -3x + 5calcular: A + BA) 10 B) -10 C) 4 D) -4 E) -2

08. Al dividir:

7


se obtiene como resto una constante.Hallar el valor de: R(x) + AA) 1 B) -1 C) -2 D) 2 E) 0

09. Si el polinomio Ax4 + Bx3 – 13x2 – 14x + 24Es divisible por: x2 – 4x + 3Calcular A – BA) 1 B) -1 C) 2 D) -2 E) 0

10. Dividir:

Dar como respuesta la suma de coeficientes del cocienteA) 4 B) 5 C) 3 D) 6 E) 2

11. Dividir:

Indicar el cociente.A) x2 + x + 1 B) x2 + bx + b C) bx2 + bx +bD) x2 + bx + a E) x2 + ax + a

12. Al dividir:

La suma de coeficientes del cociente es 10. Hallar el valor de “m”.A) 15 B) 9 C) 25 D) -25 E) -15

13. Hallar el valor de “C” en la división:

si su residuo es 71A) -1 B) 1 C) 2 D) -2 E) -19

14. Hallar el resto de la siguiente división:

A) 15 B) 12 C) 10 D) -13 E) -9

15. En la división:

Hallar el residuo:A) 30 B) 31 C) 29 D) 28 E) 32

16. Hallar el residuo en:

A) 6 B) -5 C) 5 D) -6 E) 017. Hallar el valor de “m” tal que los polinomios

2x4 + 4ax3 – 5a2x2 – 3a3x + ma4 sea divisible por x – aA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

18. Hallar el valor de m para que:x4 + ma2x2 – 5a3x + a4, sea divisible por x – aA) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

19. Si la siguiente división:

es inexacta y tiene como residuo a R(x) = 5x2 – 3x + 7 entonces indicar el valor de verdad de las siguientes proposiciones.( ) m + n > p( ) m = 20 n + p = 7( ) m + 4n + p = 0A) FVF B) VVV C) FVVD) VVF E) FFV

20. Si la siguiente division:

es exacta y se realiza la operación usando el método de Ruffini cuyo esquema se muestra:

Entonces, la suma de coeficientes del polinomio dividendo es:A) 100 B) 50 C) 0 D) -25 E) -50

A B C D E F

1 1 3 5 7 9d c b a 0e

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libro i verano 2007 algebra

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