libro de fÍsica

PHYSIS PREUNIVERSITARIA

NERI AYALA, ABRAHAN CESAR 2


Autor:

Abrahan Cesar Neri Ayala

Licenciado en Matemática Física e Informática

Docente Universitario. UNJFSC.

Primera Edición: Enero -2014

Editado por:

Yaquelin Cesilia Sanchez Gomero

Prolongación Salaverry Nº 139-Huacho

Impreso en:

MAGYGRAF PERU EIRL

Jr. Bolognesi 131- Huacho

Agosto 2014

Derechos reservados ©

Primera Edición – Enero 2014

Prohibida la reproducción total

o parcial de esta obra por

cualquier medio sin

autorización escrita de los

autores.

Impreso en Perú Printed in Perú



PRÓLOGO

Desde las pinturas rupestres por los papiros y luego los libros en su concepto en

general se han convertido en vehículos que complementan el aprendizaje enseñanza,

binomio asociado a la educación.

Resulta indudable la trascendencia de la Física en el desarrollo social. La informática y

las computadoras serian una ilusión sin el aporte de las teorías físicas.

Todo ser humano está en capacidad de aprender y dominar los contenidos físicos para

ello, tanto estudiantes como profesores debemos entender que la física es parte de la

experiencia vivencial. No debe ser desligada de la propia vida, sólo así estará

cumpliendo su misión: contribuir a mirar y actuar en el mundo de manera más

objetiva.

La educación es reflejo y producto de la sociedad en la cual se desarrolla. En la

actualidad, la Educación se caracteriza por ser conservadora, memorista y acrítica. Su

real transformación va más allá de propuestas puramente académicas. Sin embrago, a

partir de una nueva perspectiva en el proceso y los materiales educativos, es posible

fomentar estudiantes de nivel óptimo, sensibles y críticos frente a los problemas

nacionales y mundiales.

El presente trabajo está dirigido a los estudiantes Preuniversitarios que inician el

estudio de la Física Elemental.

El objetivo de la obra es, la comprensión de las leyes físicas fundamentales y el

desarrollo, en los estudiantes, del hábito de utilizarlos en los diferentes problemas.

El conocimiento de esta ciencia permitirá entender los fenómenos naturales que se dan

el Universo y que se pueden observar en la vida diaria.

El texto consta de TRES Capítulos. Cada Capítulo se divide en tres bloques: Primero, la

exposición teórica con ejemplos didácticos; segundo, problemas resueltos dosificados

en orden creciente de dificultad; tercero; problemas propuestos en dos niveles.

No olvidemos que la Física es la columna vertebral de la ciencia e ingeniería.

Espero sinceramente que este texto se constituya en un buen compañero de trabajo de

los estudiantes preuniversitarios.

El Autor



INDICE

Pág.

CAPITULO I

ANÁLISIS DIMENSIONAL……………………………………………………… 5 Ecuación dimensional………………………………………………………………. 6 Propiedades de las Ecuaciones dimensionales……………………….. 7

Problemas Resueltos ……………………………………………………………….. 11

Problemas propuestos nivel I ……………………………………………………. 22

Problemas propuestos nivel II ………………………………………………….. 25

CAPITULLO II

ANÁLISIS VECTORIAL…………………………………………………………….. 31

Operaciones básicas con los vectores………………………………………. 31

Descomposición rectangular de un vector……………………………….. 37

Problemas resueltos …………………………………………………………………. 40

Problemas propuestos nivel I ……………………………………………………. 49

Problemas propuestos nivel II ………………………………………………… 55

CAPITULO III

CINEMÁTICA……………………………………………………………………….. 62

Elementos del movimiento…………………………………………………….. 63

Movimiento con velocidad constante…………………………………….. 67

Movimiento con aceleración constante………………………………….. 75

Ecuación del M.R.U.V ………………………………………………………………. 76

Gráficas de M.R.U.V. ………………………………………………………………. 78

Problemas resueltos …………………………………………………………………. 81

Problemas propuestos nivel I ………………………………………………… 105

Problemas propuestos nivel II ……………………………………………….. 113



PHYSIS

Desde que la palabra “Física” proviene del término “Physis”, que significa “Naturaleza”,

en sus inicios, más o menos hasta principios del siglo XIX, la Física se consideró como

una Ciencia que estudiaría todos los fenómenos naturales. Pero a partir del siglo XIX, se

redujo su campo, limitándola al estudio de los llamados “Fenómenos Físicos”, el resto

de fenómenos pasaron a formar parte de otras ciencias naturales.

La física es una ciencia natural encargada de estudiar los fenómenos físicos que ocurren

en la naturaleza, sistematizándolos a través de leyes físicas determinadas.

Fenómeno Físico:

Es todo cambio y/o transformación que experimentan ciertos cuerpos sin alterar su

estructura íntima. Es decir, son cambios reversibles.

Por ejemplo:

Los cambios de estado

El movimiento de los cuerpos

La dilatación de los cuerpos, etc.

LA FÍSICA:

Es la ciencia de la naturaleza que estudia la estructura de la materia y las leyes

fundamentales que rigen sus interacciones.

Podemos dividirla en dos grandes campos:

1. Física clásica

2. Física moderna

Cada una de ellas está integrada por varias disciplinas, como se muestra a

continuación:

- Mecánica

Física - Calor y termodinámica

Clásica - Electricidad y Magnetismo

- Luz y Óptica

- Teoría de - Física de partículas

la relatividad elementales y campos

Física - Teoría - Física nuclear

Moderna cuántica - Física atómica

- Física molecular

- Física de estado sólido

La física clásica abarca históricamente todos los aportes hasta finales del siglo XIX.

Esta rama se sustenta en la mecánica de Newton (siglo XVII) y en la teoría electromagnética de

Maxwell (siglo XIX).

La física moderna abarca desde comienzos del siglo XX hasta nuestros días. Esta rama tiene como

base la teoría de la relatividad de Einstein (1905) y la teoría cuántica propuesta por H. Planck.



CAPITULO I: ANÁLISIS DIMENSIONAL

Magnitud Física

Es todo aquello que puede ser medido con cierto grado de precisión usando para ello una unidad de medida patrón convencionalmente establecida. Las magnitudes físicas, se clasifican en:

I. SEGÚN SU ORIGEN

1. Magnitudes Fundamentales Son aquellas magnitudes que sirven de base para fijar las unidades y en función de las cuales se expresan las demás magnitudes.

2. Magnitudes Derivadas Son aquellas que pueden ser expresadas en función de las magnitudes fundamentales.

II. SEGUN SU NATURALEZA

1. Magnitudes Escalares: Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un

número real y su correspondiente unidad de medida. Ejemplo: -10ºC; 5kg; etc.

2. Magnitudes Vectoriales Son aquellas que además de conocer su valor, se requiere de su

dirección y sentido para quedar perfectamente definidas.

Ejemplo:

La Velocidad

La Aceleración

La Fuerza, etc.



SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.)

Considera siete magnitudes fundamentales y dos auxiliares.

Magnitud Símb. Unidad Abreviatura

Longitud L Metro m

Masa M Kilogramo Kg

Tiempo T Segundo s

Intensidad de Corriente Eléctrica

I

Ampere

A

Temperatura Kelvin K

Intensidad Luminosa J

Candela cd

Cantidad de Sustancia N

Mol mol

ECUACIÓN DIMENSIONAL

Es aquella igualdad matemática que sirve para relacionar las dimensiones de

las magnitudes físicas fundamentales, para obtener las magnitudes derivadas

y fijar así sus unidades, además permite verificar si una fórmula o ley física,

es o no correcta, dimensionalmente.

Notación: Se usa un par de corchetes, así: se lee “Ecuación Dimensional De”

Ejemplo:

B : Ecuación dimensional de la magnitud física B



ECUACIONES DIMENSIONALES MÁS CONOCIDAS

1. AREA = L²

2. VOLUMEN = L3

3. VELOCIDAD = LT-1

4. ACELERACION = LT-2

5. FUERZA = MLT-2

6. TRABAJO = ML²T-2

7. POTENCIA = ML2T-3

8. PRESION = ML-1T-2

9. CALOR = ML²T-2

10. ENERGIA = ML²T-2

11. TORQUE = ML²T-2

12. MOMENTUM LINEAL = MLT-1

13. IMPULSO = MLT-1

14. CAUDAL = L3T-1

15. VELOCIDAD ANGULAR = T-1

16. ACELERACION ANGULAR = T-2

17. CARGA ELECTRICA = IT

18. RESISTENCIA ELECTRICA = ML²T-3I-2

19. POTENCIAL ELÉCTRICO = ML²T-3I-1

20. CAPACIDAD ELÉCTRICA =M-1L-2T4I²

PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES

1º Todo número expresado en cualquiera de sus formas tiene como dimensión a la unidad.

Ejemplo:

Cos 64º = 1 5 5 = 1

8 = 1

12

3

2º Sólo se podrá sumar o restar magnitudes de la misma especie y el

resultado de dicha operación será igual a la misma magnitud.

Ejm.: 6m + 4m = 10m

6m + 4m = 10m

L + L = L



Ejemplo:

9S – 6S = 3S 9S - 6S = 3S

T – T = T

3º Si una fórmula física es dimensionalmente correcta u homogénea,

todos los términos de dicha ecuación deben ser dimensionalmente iguales.

Así: sea la fórmula física: P + Q = R – S P = Q = R = S

Ejemplos de Aplicación

1. Si: x = 2mg log 20

Donde

m: masa

g: aceleración de la gravedad

¿Qué dimensiones tendrá x?

Solución:

x = 2mg log 20

Recordemos que:

2 = 1 log 20 = 1

Luego, tendremos:

x = mg

x = MLT-2

2. Si:

X =

cos4

1

vt

A

Donde:

A = área; t = período;

v = volumen.



Hallar las dimensiones de “x”

Solución:

cos.4

1

vt

Ax

Recuerde:

14

1

= 1

cos = 1 Luego:

x = T.L

L

vt

A3

2

x = 13

3TLL

TL

L x = L-2T-1

3. Si:

P = 5

2

log)5(

)2(5

vv

aa

Donde:

a = aceleración; v = velocidad

Hallar las dimensiones de “P”

Solución:

De la 2º propiedad:

2a + a = a = LT-2

v + 5v = v = LT-1

Luego:



P =

1

42

1

222

LT

TL

LT

LT

v

a

P = LT-3

Observación Importante

Los exponentes de una magnitud siempre son números

Ejemplos:

* Son correctas:

h²; F2t-4; t5; Lcos 30º

* No son correctas:

hm; Fq, Mt gF; n

* Las siguientes expresiones podrían ser correctas, siempre y cuando

“x” sea un número

- M3x

- F4xL; será correcta si “XL” es un número

En éste caso se cumple:

XL = 1 x = L

1= L-1

Luego: M2xL = M²

4. Halle las dimensiones de “X” en la siguiente ecuación dimensionalmente

correcta.

6AX = g

f.A

h

. cos . v

Donde:

h : altura ; f : frecuencia

g : gravedad ; v : velocidad

Solución:

* Analizamos el exponente



f

gA1

g

f.A

1

1

2

LTT

LTA

Luego, en la expresión inicial:

AX = h-1 . v

LT-1 X = L-1 . LT-1

X = L-1

PROBLEMAS RESUELTOS

1. Hallar P y z en la siguiente ecuación D.C.

xseng

zAAtg

)(

7)25log8(

Donde:

A : peso; g = gravedad

Solución

Aplicamos la 1º propiedad:

1 = gx

zA

xgg

zAA

)(

)(

Luego:

gP = A + z

gP = A = z

(1)



De (1):

z = MLT-2

Además :

gP = A

P = 2

2

LT

MLT

g

A

P = M

2. ¿Qué valor tiene (x+y), si la siguiente ecuación es D.C.?

yx2 g.kf2

Donde:

: longitud; g: gravedad; f: frecuencia

k : constante numérica

Solución

f = yx2 g.k

2

T-1 = 1 . 2x2

L

. (LT-2)-y

T-1 = L2x2 . L-y T2y

T-1 = Lyx 22 . T2y

Completamos el primer miembro para tener las mismas magnitudes

del segundo miembro, así:

LºT-1 = Lyx 22 T2y

Igualamos exponentes:

De T : 2y = -1

Y = - ½

De L :

-2x² - y = 0 - 2x² = y

- 2x² = - ½

x² = ¼

x = ½

Luego



x + y = ½ +

2

1

(x + y) = 0

3. La ecuación mostrada es dimensionalmente correcta. Hallar: (x - y),

en g = Vtx (9 - Qy-x)

Donde:

t = tiempo; v = velocidad

g = gravedad

Resolución:

Como es D.C., tenemos:

[9] = [Ky-x] = 1

Es decir: y – x = 0 y = x

Entonces:

[g] = [ Vtx]

LT-2 = LT-1 Tx = LTx-1

Igualando exponentes:

x – 1 = -2 x = -1

Luego y = -1

(x - y) = 0

4. Hallar “” si la ecuación mostrada es dimensionalmente correcta.

sena

a yxyx

vt

15

Donde:



t = tiempo; v = velocidad;

= aceleración angular

Solución

* [x] = [5 ] = T -2

* 2

1

T

LT]y[]y[

x

v

[y] = LT

Luego, en la expresión original:

ta a y = ()-1 y sen

Ta a

1

y = (T-2)-1 y sen

Ta a

1

y = T2 ysen

Igualando exponentes:

a = 2 ; 2

1= sen

= 30º

5. Calcule las dimensiones de A y B respectivamente, en la siguiente

ecuación dimensionalmente correcta.

p = A t - 9 B t2

Donde p es distancia y t es tiempo.

A) L T 1 ; L T 2

B) L T 2 ; L 2 T 2

C) L T 2 ; L T 3

D) L 2 T 1 ; L 2 T 2

E) L 2 T 3 ; L T 2



RESOLUCIÓN

Si la ecuación es dimensionalmente correcta, entonces cada uno de los

términos de la ecuación debe tener las mismas dimensiones. Luego, la

ecuación dimensional se expresa:

[ p ] = [A] [t] = [9] [ B ] [ t ]2

Nótese que todos los términos han sido igualados y ahora se reemplaza

las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.

L = [ A ] T = (1) [ B ] T 2

Recuerde: [9 ] = (1).

Finalmente se deduce:

[ A ] = L T 1 ; [ B ] = = L T 2 RPTA : A

6. La energía en el S.I., se mide en joules (J). Si la energía cinética (Ec)

de un cuerpo está definida mediante:

EC = 0,5 mv 2

Donde m es masa y v es el módulo de la velocidad.

¿Cuál de los siguientes grupos de unidades equivale al Joule?

A) kg m2 s1

B) kg m 1 s 2

C) kg m 2 s 2

D) kg m2 s 2

E) kg m3 s 2

RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional de la energía cinética y

reemplazamos las dimensiones de las cantidades físicas conocidas.

[ EC ] = [ 0,5 ] [ m ] [ v ] 2

[ EC ] = (1) M ( LT 2 ) 2

[ EC ] = M L 2 T 2



Reemplazamos las unidades de cada magnitud fundamental y

encontramos el joule (J) expresado en términos de las unidades

fundamentales.

Joule = J = kgm 2 s 2

Rpta : D

7. Un grupo de unidades que representa la medición de la potencia es:

A) lb pie3 s 3

B) lb pie2 s2

C) kg m3 s 2

D) lb pie2 s 3

E) kg m3 s 2

RESOLUCIÓN:

lb pie 2 s 3 Rpta : D

8. El número de Reynolds es un valor adimensional el cual nos indica si

un flujo es turbulento o laminar, dentro de un tubo. El número de

Reynolds “R”, se calcula mediante la siguiente ecuación:

R = V d /

Donde es la densidad, V la rapidez promedio y d el diámetro del tubo.

Determinar las dimensiones de la viscosidad .

A) M2 L1 T 1

B) M3 L1 T 1

C) M L1 T 2

D) M L2 T 1

E) M L1 T 1

RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional:

[R] [] = [] [V] [d]

Como R es adimensional lo reemplazamos por la unidad



(1) [] = ML3 LT 1 L

[] = ML1T 1

Rpta : E

9. La densidad (D) de un sólido según la temperatura, está dada por la

siguiente ecuación :

Donde M es la masa y ∆T la variación de la temperatura. Determinar

las dimensiones de B.

A) L3 1 B) L3 1

C) L 3 D) M3 1 T 1

E) M L1 1

RESOLUCIÓN

[D] ( [A] + [B][∆T] ) = [M]

[D] [A] = [D] [B] [∆T] = [M]

ML 3 [A] = ML 3 [B] = M

[B] = L3 1

Rpta : B

10. Un objeto que realiza un movimiento periódico tiene la siguiente

ecuación:

d =A e t cos (w t - )

Donde d es la posición, t el tiempo y e 2,82. Determine la dimensión

de [A y w ].

A) L ; T 2 B) L ; T 1 C) L2 ;T 2

D) L 2 ;T 2 E) L 2 ; T 1



RESOLUCIÓN

Escribimos la ecuación dimensional y resolvemos:

[d] = [A] [e ] t [cos (wt + )]

[d] = [A] (1) (1)

L = [A]

Los exponentes son adimensionales, por lo tanto dimensionalmente

se igualan a la unidad:

[exponente] = 1

[t ] = 1 [1] [] [t] = 1

(1) [] T = 1

[] = T 1

Los ángulos son adimensionales:

[ángulo] = 1

[(wt + )] = 1 [] [t] = [] = 1

[w]T = [] = 1

[w] = T 1 ; [] = 1

Rpta : B

11. En cierto experimento, se mide el tiempo que demora un péndulo

simple en dar una oscilación. Se observa que este tiempo depende de

la aceleración de la gravedad y de la longitud de la cuerda. La

ecuación empírica del periodo en función de estas dos últimas

cantidades es:

A) 6,28 g1/2 L1/2

B) 4,22 g1/3 L1/2



C) 3,12 g1/5 L1/3

D) 1,24 g1/3 L1/3

E) 3,14 g2 L1/2

RESOLUCIÓN:

Las tres cantidades relacionadas son:

t = tiempo

g = aceleración de la gravedad.

L = longitud de la cuerda.

Se elabora una relación entre las cantidades físicas:

t = k g x L y

Donde:

k: es un número adimensional, denominado constante de

proporcionalidad.

x e y: son exponentes de valor desconocido, que determinaremos para

que la ecuación empírica quede determinada.

Se escribe la ecuación dimensional y se reemplaza las dimensiones de

las cantidades conocidas.

[ t ] = [ k ] [ g ] x [ L ] y

T = (1) ( LT 2 ) x ( L ) y

T = L x + y T 2 x

Comparando los exponentes de las dimensiones a cada lado de la

ecuación, deducimos:

2x = 1 x = 1/2

x + y = 0 y = +1/2

Finalmente la ecuación empírica es:

t = kg 1/2 L1/2

Rpta : A



12. Con respecto a la gráfica, determine la dimensión del área

sombreada.

A) M 2 L T 1

B) M L T 5

C) M L2 T 1

D) M L2 T 1

E) L T 1

RESOLUCIÓN:

La dimensión del área comprendida por la gráfica F – t es:

[área (F–t)] = [F] [t]/2=(MLT2 )(T)/1

[área (F–t)] = ML T 1

Rpta : E

13. Con respecto a la gráfica A vs B mostrada en la figura, determine la

dimensión de la pendiente de la recta. Donde A es masa y B es

volumen.

A) M L1

B) M L2

C) M 1 L1

D) M T 3

E) M L3

RESOLUCIÓN:

La dimensión de la pendiente de la recta es:

[pendiente (A – B) ] =

A

B

[pendiente (A–B)] =

3

masa M

volumen L

[pendiente (A–B)]3ML

Rpta : E

2

B

4

1

A

t(s)

F(N)



14. La diferencia de potencial eléctrico “ V ” entre dos puntos de un

material está dada por:

WV

q

Donde W es el trabajo necesario para trasladar las cargas entre dichos

puntos y q es la cantidad de carga neta que se traslada. Determine las

dimensiones de la diferencia de potencial eléctrico.

A) M L 1 T 3 I 1

B) M L 2 T 3 I 1

C) M1 L1 T 3 I 1

D) M T 3 I 1

E) M L 3 I 1

RESOLUCIÓN:

Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones del

trabajo y la carga eléctrica:

2 2W M L TV

q I T

2 3 1V M L T I Rpta : B

15. La capacitancia (C) de un capacitor es la división entre el valor de la

carga (Q) que almacena una de sus armaduras y la diferencia de

potencial (V) entre las armaduras del capacitor. Determine las

dimensiones de la capacitancia.

A) M1 L2 T 4 I1

B) M L 2 T 3 I1

C) M1 L1 T 3 I1

D) M T 3 I 1

La unidad de la

diferencia de potencia o

voltaje es el voltio (V)



E) M 1 L2 T4 I2

RESOLUCIÓN:

Escribimos la ecuación dimensional y reemplazamos las dimensiones de

la carga eléctrica y de la diferencia de potencial:

2 3 1

q I TC

V M L T I

1 2 4 2C M L T I

Rpta : E

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL I

01. Determinar la unidad de E en el sistema internacional

E =D V2

G

Sí D: densidad V: Velocidad lineal

g: aceleración de la gravedad

a) kg.m-2 b) kg-1m c) kg.m

d) kg.m-1 e) kg-1m-1

02. Determinar que unidad tiene K en la siguiente formula

KF = mv

Donde: m= masa

F= fuerza

V = velocidad

La unidad de la

capacidad eléctrica

es el faradio (F)



a) tiempo b) masa c) segundo

d) longitud e) Pascal

03. ¿Qué magnitud representa K en la siguiente fórmula?

PK = mgh

Donde: p: potencia, m: masa

g: aceleración h: altura

a) Longitud b) masa c) tiempo

d) área e) presión

04. La siguiente expresión es Dimensional correcta y homogénea

AF = m v2

Donde: F: fuerza,

v: velocidad

m: masa

¿Qué magnitud representa?

a) T-1 b) L c) M

d) T e) M-5

05. La siguiente formula física es dimensionalmente correcta y homogénea

RV= mc2A

Donde:

V = volumen C = velocidad

m = masa A = Area

Determinar que magnitud representa “R”

a) Longitud b) Masa c) Tiempo

d) Fuerza e) Densidad

06. Determinar que magnitud representa A/B en la siguiente fórmula física E

= A V2 + B P

Donde: E = energía

V = velocidad; P= presión

a) M L b) M L2 c) M L-3

d) M L3 e) 25

07. En la siguiente fórmula del periodo de oscilación de un péndulo T =

x

x. gy

Donde: = Longitud de la cuerda

g = gravedad



Hallar la fórmula física correcta

a)2

12 g2 b) 2

g

L c)

g

L2

d) g

L2 e) Lg

08. La presión P que un fluido ejerce sobre una pared depende de la

velocidad “V” del fluido, de su densidad “D” y tiene la siguiente forma.

P= x Vx Dy , Hallar la fórmula física correcta

a) P = 2 V2 D2 b) P = 2 V2 D

c) P = V D2 d) P = V D3

e) p= VD-5

09. Sí la siguiente expresión es dimensionalmente correcta.

Hallar 4z-3y; F= BZ. A-Y V.

Donde F= presión, B =Fuerza, A = volumen, V = longitud

a) 2 b) –1 c) 1

d) -2 e) 5

10. Si: el impulso es I = F.T, encontrar las dimensiones de “Z” para que la

siguiente ecuación sea dimensionalmente correcta.

I = W/Z - m.Z

Dónde:

W = trabajo; t = tiempo

m = masa; F = fuerza

a) LT b) L-1T c) LT-1

d) LT2 e) L-1T-1

11. La fórmula para hallar la rigidez de una cuerda es:

S = (a Q/R + b) d2



Donde:

Q = carga (newton)

R = radio

d = Diámetro

s = rigidez (newton)

Hallar las ecuaciones dimensiónales de a y b

a) L-1 , L-1 MT-2 b) LT-1 , L-1 MT c) L, L-1T

d) L-2, L-1 MT e) MLT-8;T

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

01. La siguiente fórmula física es dimensionalmente correcta y homogénea

K V = mc2A

Dónde:

V = volumen c = velocidad

M = masa A = área

Determina que magnitud representa K

A) Longitud b) masa c) tiempo

d) fuerza e) trabajo

02. En la siguiente fórmula física

Determinar A/B y que magnitud representa

Donde:

E= energía; V = velocidad; P = presión

a) ML b) ML-3 C) M-1

d) M2 L-2 e) LT

03. La siguiente formula es dimensionalmente correcta:

E = Aw2 + BV 2 +CP,

Hallar: (BC)/A

E = Av 2 + BP



Dónde:

E = Energía; w = velocidad angular

v = velocidad; P = presión

a) L2 T –1 b) M L –1 c) L

d) LT e) LT-7/8

04. Dada la siguiente formula física:

Hallar la magnitud de K, donde:

P : potencia; w = velocidad angular

a) LTM –2 b) L-1 MT-1 c) L2 M t-1

d) LMT e) MLT-2/5

05. La siguiente expresión es dimensionalmente correcta y homogénea

Dónde: F= fuerza

m = masa

v = velocidad

¿Qué magnitud representa K?

a) L T b) L-1 c) L-1 T

d) L e) M

06. Siendo la expresión homogénea, calcular [x]

Donde:

A: velocidad C: presión

A) ML3 B) M-1L3 C) ML-3

D) ML4 E) M-1.L-3

)cosF(C

sen).BA(x

2

P = kw –2 tg

KF = mv2



07. Indicar cuál de las siguientes ecuaciones es dimensionalmente

homogénea:

I.

II.

III.

Donde:

t: tiempo m:masa

F: fuerza l: longitud

v: velocidad

a) sólo I b)sólo II c) sólo III

d) I y II e) II y III

08. En la siguiente fórmula física, determinar las dimensiones de "V".

Donde:

H: distancia A: tiempo

a) LT-1 b) L-1T C) LT-2

d) L-1.T2 e) L2T2

09. Hallar la fórmula dimensional de “M”, si se sabe que la expresión:

es dimensionalmente homogénea y que:

A: área; H: altura;

a) L2 b) L c) L-1

d) L-2 e) 1

10. Determinar las dimensiones de "I" para que la expresión:

Sea dimensionalmente correcta, siendo:

v/mF 2

m/FV

m/t.F 2

)A.S(senS.V.H

H.4

cos.A.9tg.M.2

sen

C

v.m.5

N.A.VI



A: presión

m: masa

c: velocidad de la luz

N: constante numérica

a) T-3 b) T-2 c) T-1

d) MT e)MT-2

11. Si la siguiente ecuación es dimensionalmente correcta, determinar x.y.z:

Donde:

k: potencia S: longitud

E: velocidad A: masa

A) -3 B)-2 C) 1

D) 2 E) 3

12. Determinar una fórmula empírica para el caudal "Q" (en m3/s) que sale a

través de una tubería en función de la densidad del líquido "D" (kg/m3),

radio de la tubería "R" (m) y la presión "P" (en N/m2) y una constante

"k".

a) √

b) √

C) √

d) √

e) √

13. Dada la formula, dimensionalmente correcta:

Donde:

I: impulso V: velocidad

E: energía m: masa

Determinar el valor de "x":

a) 1 b)2 c) 3

zyx A.S.Ek

EV.C.e.k xm

I.C2

2



d) 4 e) 5

14. En la siguiente ecuación dimensionalmente homogénea. Determinar la

dimensión de "C".

Donde:

A : longitud

: Aceleración angular

t: tiempo

a) LT b) L3T3 c) L2T

d) L3T–1 e) LT3

15. Según la siguiente fórmula física, dimensionalmente correcta:

Donde:

h: altura

¿Qué representa "R"?

a) longitud b) área c) volumen

d) velocidad e) aceleración

16. Se ha inventado un nuevo sistema de unidades en el que las magnitudes

fundamentales son la presión (P), la densidad (D) y el tiempo (T), luego

en dicho sistema, la fuerza estará expresada por:

a) PDT b) P2D-1T2 c) PD2T2

d) P2DT e) PD-2T2

17. La energía potencial elástica (U) es función de cierta magnitud llamada

rigidez "R" (en N/m) y de la deformación del cuerpo "x" (en m), halle

la fórmula empírica para dicha energía (k: constante adimensional).

a) U = KRX b) U = KR2X c) U = KRX2

d) U = KRX-2 e) U = KR-2.X

18. La velocidad de una partícula, de masa "m" en función del tiempo t, está

dada por:

C.º60cosB]e)Ax(sen.A[y t

xB

1A.NA

senxyxcos

z

y)zh(zR



Indicar las dimensiones de k/H, si Lo es una longitud.

a) MT-2 b) MT-1 c) M2T-1

d) M2T-2 e) M2T-3

19. La relación de Louis de Broglie para la interpretación física de la dualidad

onda-partícula establece que cualquier masa o partícula que se mueve a

cierta velocidad tiene asociada una onda electromagnética cuya longitud

de onda () depende de la constante de Planck (h) y de su cantidad de

movimiento (P), tal que: yx Ph , ¿Cuáles son los valores de x e y

que lograr homogenizar la fórmula dada?

a) 1 1h P

b) hp c) 2hp

d) h e) p

20. Si se tomaran como magnitudes fundamentales la aceleración (A), la

masa (M) y el tiempo (T). ¿Cuál sería la fórmula dimensional de la

constante de gravitación universal (G)?

a) 3 1 4A M T

b) AM c) 2A

d) MT e) AMT

s/m)ji(t.m

ksen.L.H2V

o



ANÁLISIS VECTORIAL

Vector: Es un ente matemático que se caracteriza porque tiene módulo,

dirección y sentido. Un vector sirve para representar a las magnitudes físicas

vectoriales.

Los vectores se pueden representar gráficamente mediante un segmento de

recta orientado. Así:

Notación:

* v

: se lee “vector v”

* v

: se lee “módulo del vector v”

OPERACIONES BASICAS CON LOS VECTORES

Debemos tener presente que para realizar operaciones con vectores, estos

deben ser de la misma naturaleza.

I. Suma de Vectores

Consiste en reemplazar a un conjunto de vectores por uno solo llamado vector

resultante ( R

).

¿Cómo determinamos la resultante de dos vectores?

Modulo

: IvI

Dirección

Sentido

Línea de acción

x

y

v



Rpta. Se debe tener en cuenta los siguientes casos:

1. Para dos vectores con el mismo sentido:

La resultante se obtiene sumando los módulos de los vectores

Ejemplo:

A esta resultante se le conoce como Resultante Máxima (Rmax)

R = A + B

2. Para dos vectores con sentidos opuestos

R = A - B

En este caso se obtiene restando los módulos de los vectores

* A esta resultante se le conoce como “RESULTANTE MINIMA” (RMIN)

3. Para dos vectores perpendiculares:

A = 4u R = 7u

B = 3u

A = 4u R = 1u

B = 3u

R A = 6u

B = 8u



R = 22 BA

R = 22 86

R = 10u

En este caso la resultante se obtiene aplicando el teorema de

Pitágoras.

R = 22 BA

4. Para dos vectores que forman un ángulo cualquiera

Observe que en este caso se trazan paralelas a los vectores por sus

extremos. La unión del origen de los vectores con la intersección de

las paralelas es el vector resultante.

El módulo de éste vector resultante se obtiene así:

R = CosAB2BA 22

Método del Polígono

Nos permite determinar la resultante de varios vectores:

Procedimiento

1. Trasladamos los vectores y los colocamos uno a continuación de otro

(extremo de un vector en el origen del otro)

2. El vector resultante ( R

) se obtiene uniendo el origen del primer

vector con el extremo del último vector

A R

B



Por ejemplo:

Para los vectores dados, halle el módulo de la resultante.

Solución

Colocamos los vectores uno a continuación de otro.

El vector resultante se obtiene uniendo el origen del primer vector con

el extremo del último vector. Luego:

R = 8

Diferencia de dos Vectores

Los vectores que se van a restar se unen en un origen común, luego

el vector diferencia se obtiene uniendo los extremos de los vectores.

El vector diferencia señala hacia el minuendo.

BAD

A

B B

A D

B=4 A=5

37º

c = 3

B = 4

A = 5 C =3

R

37º 4 4



Su módulo:

cosAB2BAD 22


1. La resultante máxima de dos vectores de módulos iguales es 10.

Hallar la nueva resultante cuando dichos vectores estén formando

120º entre sí.

Solución:

Sea los vectores bya

Tales que: mba

Luego, Rmax = a + b

Rmax = 2m

Por dato: 2m = 10

m = 5

Luego, cuando forman 120º:

R = º120cos)5)(5(255 22

R =

2

1)5(255 222

R = 5

Conclusión

Dos vectores de igual módulo que formen 120º entre si originan una

resultante de igual módulo que los vectores.

R

120º 5

5



2. La figura mostrada es un hexágono regular de lado 6u. Halle el

módulo del vector resultante.

Solución

Trasladamos los vectores hacia los lados que son paralelos a dichos

vectores, así:

Luego; sumamos: ADCDAC

ADEDAE

R = 2 (AD)

Pero AD = 12u

Luego R = 24u

3. Dados los vectores mostrados, determinar Q2P

Solución.

Unimos los vectores por sus orígenes.

B C

D

EF

A

53ºP =

5

15º 2Q = 6

B C

D

EF

A

78º

P = 5

Q = 3 25º



D = º53Cos)6)(5(265 22

D = 363625 D = 5

DESCOMPOSICION RECTANGULAR DE UN VECTOR

Consiste en reemplazar un vector por otros dos, de tal forma que éstos sean

mutuamente perpendiculares.

Vx = cosV Vx = V Cos

Vy = V

sen Vy = V sen

Además:


1. Hallar el módulo de la resultante.

y

x

vv

y

x

vx

vy

53º

90

37º

120



Solución:

* Hallamos “RH”

RH = 120 cos 53º - 90 cos 37º

RH = 120 x 5

3- 90 x

5

4

RH = 0

* Hallamos “RV”

RV = 90 Sen 37º + 120 sen 53º

RV = 90 x 5

3+ 120 x

5

4

RV = 150

Luego la resultante total se obtiene así:

R = 2

v

2

H RR

R = 22 1500 R = 150

53º37º

90 sen 37º

120 Cos 53º90 Cos 37º

120 Sen 53º



2. Halle la medida del ángulo “” para que la resultante se encuentre en

el eje “x”

Solución

Como la resultante está ubicada sobre el eje “x”, entonces en el eje

vertical, la resultante debe ser igual a cero:

Luego:

Ry = 0

10 sen - 16 cos 60º = 0

5 sen = 8 cos 60º

5 sen = 8 x ½ = 4

sen = 5

4 = 53º

30º6

10

16

1010 sen

10 cos 16 cos 60º

6

16 sen 60º

60º



PROBLEMAS RESUELTOS

01. Determine el módulo de la resultante de los vectores

A ,

B y

C .

a) 12 u b) 14 u c) 24 u

d) 13 u e) 15 u

RESOLUCIÓN

Sumamos los vectores B y C

, usando el método del paralelogramo:

Calculamos el modulo de

CB usando la fórmula:

Un análisis geométrico adicional nos lleva a la conclusión de que el

vector

CB biseca al ángulo de 60°, esto es porque los vectores que

se han sumado tienen igual módulo. Por lo tanto el ángulo que forman

entre si el vector

A y

CB es 90°.

60° 60°

= 4u

= 4u

2 24 4 2 4 4 60 4 3B C ( )( ) Cos u

B = 4u

C = 4u 60°

60°



Sumamos ahora

A y

CB con el método del paralelogramo.

Calculamos el modulo de R A B C

usando la fórmula:

12R u

Rpta: A

02. Dos vectores

A y

B tienen módulos de 10 u y 6 u

respectivamente. Determinar en qué intervalo se encuentra el módulo de la resultante que se pueden obtener con estos dos vectores.

A) uBAu 160

B) uBAu 40

C) uBAu 166

D) uBAu 106

A = 46 u

90°

2 24 6 4 3 2 4 6 4 3 90R ( ) ( ) ( )( ) Cos



E) uBAu 164

RESOLUCIÓN

Calculamos el módulo de la resultante máxima y mínima de estos dos

vectores, cuando formen 0° y 180° entre sí respectivamente.

u16BA

; u4BA

El intervalo entre los cuales se encontrará la resultante de estos

vectores de acuerdo al ángulo que formen entre si será:

4 16u A B u

Rpta: E

03. Dos vectores tienen una resultante máxima cuyo módulo es 14 u y una

resultante mínima cuyo módulo es 2u. Determine el módulo de la

resultante de los vectores cuando son perpendiculares entre si.

a) 12 u b) 14 u c) 20 u

d) 10 u e) 15 u

RESOLUCIÓN

Supongamos que sean dos vectores

A y

B , entonces según lo

afirmado en el problema.

BAu14 ;

BAu2

Resolvemos y encontramos los módulos de los vectores

A y

B .

u8A

u6B



Calculamos el módulo de los vectores

A y

B usando la fórmula [1],

cuando los vectores son perpendiculares ( = 90°).

90Cos)6)(8(268BA22

u10BA

Rpta: D

04. Sea el vector A

de módulo 5 u que forma 63° con respecto al eje +x,

y las rectas L1 y L2 que forman ángulos de 137° y 10° con respecto al

eje +x. Determine los módulos de las componentes del vector A

sobre L1 y L2.

a) 4 u y 6 u b) 8 u y 5 u c) 5 u y 6 u

d) 4 u y 5 u e) 4 u y 3 u

RESOLUCIÓN

Dibujamos el vector

A y las rectas L1 y L2, Construimos un

paralelogramo y trazamos los componentes de

A .

L2

L1

63° 10°

137°



Calculamos el módulo de las componentes usando ley de senos y

obtenemos:

A1 = 5cm Y A2 = 6cm

Rpta: C

05. Los vectores A,B y C

están ubicados en el sistema ortogonal, tal

como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

a) R 0,8 i 0,3 j

b) R 0,8 i 0,3 j

c) R 0,8 i 0,3 j

d) R 0,8 i 0,3 j

e) R 0,3 i 0,8 j

= 2 cm

= cm

= 2,5 cm

16° 53°

45°



RESOLUCIÓN

Descomponemos rectangularmente los vectores y calculamos los

módulos de las componentes.

Calculamos la resultante en cada eje usando vectores unitarios.

xR 1,2 i 2 i 2,4 i 0,8 i

yR 1,6 j 2 j 0,7 j 0,3 j

R 0,8 i 0,3 j

Rpta: A

06. Los vectores A,B y C

están ubicados en el sistema ortogonal, tal

como se muestra en la figura. Determine la resultante de los vectores.

= 10u

= 82 u

83°

30°

38°

= 10u

AI

BJ

CJ

16° 53°

45°

CI

AJ

BI

A = 2cm

C = 2,5cm

B = cm



A) 4 u 7º

B) 1 u 8 º

C) 4 u 0 º

D) 1 u 0 º

E) 1 u 10 º

RESOLUCIÓN

Los ángulos mostrados no corresponden a triángulos notables. Si los

vectores son girados 7° en sentido horario, obtenemos que los vectores

forman ángulos notables con respecto a los ejes ortogonales.

Descomponemos los

vectores y calculamos

los componentes de

cada vector.

A = 10u

B = 82 u

37°

45°

C = 10u

7°

7°

7°

90°

AI

B = 82 u

53°

45°

C = 10u

AJ A = 10 u

BI

BJ



Calculamos la resultante

i4i10i8i6R x

j0j0j8j8R y

i4R

El módulo de la resultante es: u4R

, girando el vector 7° en

sentido antihorario (para restituir el ángulo anteriormente girado), la

dirección y el sentido del vector resultante será: 7° con respecto al eje

+x.

Rpta: A

07. Sean los vectores A 6 i 8 j 2k

y B 2 i 12 j 6k

. Determine

el módulo de R 6 A 5 B

a) 42 u b) 12 u c) 63 u

d) 26 u e) 98 u



RESOLUCIÓN

Calculamos

R :

B5A6R

k42j36i30R

Calculemos el módulo de la resultante.

63)42()36()30(R222

Rpta: C

08. Calcule el módulo de la resultante de los vectores que se muestran en

la figura.

A) 8 u

B) 10 u

C) 6 u

D) 5 u

E) 9 u

RESOLUCIÓN

Rx = 8 u

Ry = 6 u

Calculamos la resultante aplicando Pitágoras:

R = 10 u

Rpta: B

)k6j12i2(5)k2j8i6(6R

1u

1u



09. Determine el módulo del vector

A tal que la resultante de los vectores

mostrados en la figura sea vertical.

(B = 25u)

A) 40 u

B) 20 u

C) 60 u

D) 30 u

E) 90 u

RESOLUCIÓN

Descomponemos y sumamos:

x x xR B i A i 0

25cos53 i Acos60 i 0

A 30u

Rpta: D


01. En el sistema mostrado hallar el módulo de la resultante:

53°

60°

53°

y

60° x



a) 3 b) 4 c) 5

d) 7 e) 9

02. Del grafico mostrado hallar el modulo de la resultante:

a) 1 b) 2 c) 5

d) 2√ e) 7

03. Hallar el módulo de la resultante:

a) 3(←) b) 3(↑) c) 3 (→)

d) 3 (↓) e) 0

04. Hallar El módulo de la resultante:



a) 17x b) 13x c) 10x

d) 8x e) 24x

05. Se tienen dos vectores de módulos 9u y 15u. ¿Qué ángulo forman si la resultante entre ellos mide 21u? a) 30° b) 60° c) 53°

d) 37° e) 45°


a) 5√ b) 5 c) 2

d) 2 e) 15

07. La resultante de 2 vectores es 2 √ , si sus modulos son 6 y 4

unidades ¿Qué ángulos forman dichos vectores?

a) 30° b) 60° c) 45°

d) 37° e) 53°

08. En el grafico mostrando la resultante es igual a cero, determine el valor del ángulo “θ”.



a) 20° b) 30° c) 60°

d) 50° e) 15°

09. Hallar la resultante:

a) 5 b) 6 c) 7

d) 8 e) 10

10. Dos vectores “A” y “B” forman entre si un ángulo de 45°. Si el módulo de

B es de √ . ¿Cuál es el modulo de “R”, sabiendo que “R” y “A” forman un

ángulo de 30°?

a) √ b) 2√ c) 6

d) 5 e) 8

11. Hallar el módulo de la resultante, sabiendo que el vertical.

a) 10 b) 15 c) 20

d) 25 e) 15√



12. Determinar el valor de “θ” para que la resultante sea vertical.

a) 30° b) 37° c) 45°

d) 53° e) 60°

13. Dados dos vectores de igual modulo los cuales forman un ángulo de 37°,

hallar la relación entre el modulo del vector resultante y el modulo del vector

diferencia de los mismos.

a) 3 b) 2 c) 1/3

d) 4 e) 5


a) 20√ b) 40 c) 60

d) 70 e) 70√

15. Hallar el ángulo que forman dos vectores | | = 5 y | | = 5√ si la

resultante vale 5.

a) 45° b) 53° c) 30°

d) 120° e) 135°



16. La máxima resultante de dos vectores es 21 y su mínima resultante es 3.

¿Cuál será la resultante cuando formen 90°?

a) 10 b) 12 c) 14

d) 15 e) 18

17. Los vectores y forman entre si un ángulo de 90°, calcular:

| |

| |

a) 0 b) 1 c) 2

d) 1/2 e) 1/3

18. Determinar en el módulo del vector resultancia, si el lado de cada

cuadrito pequeño es 2 unidades de longitud.

a) 1 b) 2 c) 3

d) 4 e) 8

19. Del gráfico, hallar el módulo de la resultante, (Cos 120° = - 1/2).

a) √ b) √ c) 3

d) 7 e) √



20. Dos vectores forman un ángulo de 60° y el módulo de su vector diferencia

es de 2√ . Hallar el modulo de los vectores si uno es los ¾ del otro.

a) 4; 2 b) 4; 3 c) 8; 6

d) 10; 10 √ e) 4; 7

PROBLEMAS DE PROPUESTOS NIVEL II

01. . En la figura mostrada, se tiene:

a) 5 b) 5√ c) 10

d) 10√ e) 15


a) 4 b) 4√ c) 8

d) 8√ e) 16



03. Hallar el modulo del vector resultante:

a) 4 b) 4√ c) 5√

d) 8√ e) 8

04. Determinar el módulo de la resultante parcial en el eje de las abscisas (x), si:

A=50; B=100; C=40.

a) 20 b) 40 c) 50

d) 60 e) 70

05. Si tiene 3 vectores de igual modulo (F=100) según se muestra en el Sistema de

Vectores. Calcular el módulo de la resultante parcial en el eje de las ordenadas (y)

es decir la componente de la resultante en el eje “y”.



a) 100 b) 110 c) 120

d) 130 e) 140

06. La resultante parcial en el eje “x” del siguiente Sistema de Vectores, tiene un valor

de 6 unidades. Determinar Cos .

Datos:

a) 0 b) 0,5 c) 0,2

d) 0,6 e) 1

07. Si el módulo de la resultante parcial en el eje “y” del sistema de vectores mostrado

tiene un valor de 64, Hallar el valor de .

a) 30° b) 37° c) 53°

d) 60° e) 45°



08. Determinar el módulo de la resultante de los vectores mostrados.

a) 3 b) 4 c) 5

d) 6 e) 7

09. Determinar el módulo de la resultante y su dirección:

a) 50 y 45° b) 70 y 37° c) 50 y 53°

d) 70 y 45° e) 40√ y 45°

10. Si la resultante del sistema de vectores mostrado es de 7u apuntando hacia abajo a

lo largo del eje y, hallar el ángulo “θ” y F.



a) 60°; 100 b) 60°; 200 c) 30°; 100

d) 30°; 200 e) 53°; 150

11. Los vectores que se muestran tienen resultante nula. Si C = 2a = 20√ cm. ¿Cuál

es ele modulo de ?

a) 20 cm b) 25 cm c) 30 cm

d) 35 cm e) 50 cm


a) 10 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50



13. La resultante de los vectores mostrados es nula. Hallar | | y el ángulo “θ”.

a) 22°; 6 b) 30°; 6 c) 45°; 3

d) 37°; 5 e) 32°; 10

14. Determinar la medida del ángulo “” para que la resultante de los

vectores mostrados sea igual a 10, sabiendo además que AB = 12, BC = 16 (M y N son puntos medios).

a) 60º

b) 74º

c) 90º

d) 120º

e) 30º

15. En el tetraedro regular de arista “a” “M” es punto medio de AC. Hallar el

módulo del vector x , sabiendo que :

dcbax

a) 2a

b) 3a

c) 2a 3

d) 3

3a

e) 2

3a



16. Si del sistema vectorial se tiene 0xpBnAm

. Calcular :

E = 4m+8n+p; M y N son puntos medios.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

17. En el siguiente sistema, hallar el valor de para obtener una resultante

máxima.

20°

40°

a

a

a

a) 0° b) 10° c) 30°

d) 40° e) 50°

18. Dos vectores que forman 150° originan una sola resultante de 50 cm. Si

uno de ellos mide 60 cm. Qué ángulo forma este vector con la

resultante.

a) 37° b) 67° c) 126°

d) 113° e) 153°

19. Encuentre la resultante en modulo

37°

28u

16°

16°

35u

21u

a) 28u b) 35u c) 4u

d) 0 e) 10u



20. Sea el vector

j3i4A . Determinar el vector unitario en la dirección

de

A :

a)

j5

3i

4

3 b)

j5

3i

5

4 c)

j5

4i

5

3

d)

j4

3i

5

3 e)

j2

3i

CINEMÁTICA

OBJETIVO

Describir geométrica y matemáticamente el movimiento mecánico y conocer

sus leyes y propiedades; pero sin considerar a las causas que lo determinan.

En el estudio de la cinemática estableceremos la relación que existe entre las

magnitudes tales como; desplazamiento, velocidad y aceleración.

MOVIMIENTO MECÁNICO:

Se define como el cambio continuo de posición que experimenta un cuerpo

respecto de otro tomado como referencia.

Así, por ejemplo:

Para “A”: C, experimenta movimiento mecánico.

Para “B”: C, no experimenta movimiento mecánico.

De esto podemos concluir que el movimiento mecánico no es absoluto, sino

que es relativo, pues depende del sistema de referencia

A

B

C



ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECANICO

Y

X

* or

= Posición inicial

* fr

= Posición final

* d

= Desplazamiento

* of rrd

(cambio de posición)

* dd

: distancia: módulo de desplzamiento

* e: Recorrido (Longitud de la trayectoria)

VELOCIDAD ( V

)

Es una magnitud física vectorial que nos expresa la rapidez con la cual un

móvil cambia de posición.

El cambio de posición se puede dar en un intervalo de tiempo o en un instante

de tiempo.

Unidad en el S.I.: (m/s)

móvil

trayectoriad

e

rf

ro

Observador



- Velocidad Media ( mV

)

Se evalúa entre dos puntos de una trayectoria y se define como la razón entre

el desplazamiento del cuerpo ( d

) y el intervalo de tiempo transcurrido (t).

t

dVm

Note que la mV

y d

con codirigidos. (Colineales y tienen la misma dirección)

- Velocidad Instantánea ( V

)

Es una magnitud vectorial que caracteriza el movimiento mecánico de un

punto, en un instante de tiempo t.

El vector velocidad instantánea se grafica tangente a la trayectoria y nos

indica la dirección del movimiento.

rf

ro

vm

d

x

t >>o

y

t



Cuando t 0, el desplazamiento es tangente a la trayectoria.

ot

t

dlimV

Rapidez “V”

Es el módulo de la velocidad instantánea

Ejemplo:

V

= 5 m/s ()

Sentido

Rapidez

v

d

dT

y

x

VA

VB

VC

CB

A



Aplicación 01:

Determine el módulo de la velocidad media de cierto móvil que recorre el

trayecto ABC con una rapidez constante de 5 m/s

Solución:

s7t

s35

15t

s45

20t

BC

AB

Ley de Cosenos

d = )º120)(cos15)(20(21520 22

d =

2

1)300(2225400

d = 925 d = 5 37 m

120

º

d15 m

BA 20 m

C

c

120º

A 20 m

B

15 m



Luego:

Vm = s

m

7

375

t

d

Movimiento con Velocidad Constante

Si “ V

” es constante, entonces su módulo (rapidez) y su dirección es

constante. Luego, esto implica que la trayectoria del móvil necesariamente

será “Rectilínea”. A este movimiento se le denomina “MOVIMIENTO

RECTILINEO UNIFORME” (M.R.U.)

En todo M.R.U. se cumple que:

d = V x t

Ejemplo:

Supongamos un móvil que se desplaza horizontalmente con velocidad

constante y rapidez 4 m/s

Como: txVd

ó x = v.t

t = o

1s

t = 1s t = 2s

1s

4 m 4 m7 m

4m

4m

Xo = 7 m

X1 = 11 m

X2 = 15 m

Obs.



txVxx 0f

t.Vxx 0f

Ecuación del M.R.U.

GRAFICAS EN EL M.R.U.

Gráfica “ V

” vs “t”

La gráfica es una recta paralela al eje de los tiempos.

El área bajo la gráfica nos da el espacio recorrido.

Ao t = eot

A

0 1 2 t

v

V (m/s)

t (s)



Gráfica “ x” vs “t”

t

La gráfica es una recta inclinada respecto de la horizontal.

La tangente del ángulo de inclinación nos indica la velocidad

constante del móvil

Tg = t

xx of

tg = V

tg = pendiente de la recta

Aplicaciones

1. En el instante t = 0, la posición de un móvil es xo=-4m y cuando t=2s,

X1 = 8m.Si el movimiento es con velocidad constante; calcular la

velocidad.

Solución:

t

xf - x

o

x (m)

xf

xo

t(s)

t = 0S t = 2S

. . . . . . . . .x

x = 0 +8-4

. . . . . . . . . . . . .

Xo = - 4m Xf = + 8 m



Recordemos que:

txVxx 0f

8 = -4 + V

x 2

V

= 6 m/s ()

2. Un ciclista durante 4 segundos recorre con rapidez constante de 5m/s

hacia la derecha, seguidamente regresa hacia la izquierda con

velocidad de 3m/s durante 5s. Hallar el espacio recorrido y el

desplazamiento.

Solución:

* e = m35xx 21

* 21 xxd

* d

= 20m – 15 m

* d

= 5 m()

B

3 m/s

A

5 m/s

C

X1 = 20 m

X2 = - 15 m

d



3. Un ómnibus tarda 10 segundos en pasar un túnel de longitud 30 m

con una velocidad constante de 3.5 m/s. Calcular la longitud del

ómnibus

Solución;

* El ómnibus ingresa al túnel

* El ómnibus atravesará al túnel cuando salga completamente

dRECORRIDA = V x t

(LTUNEL + LOMNIBUS) = VOMN x t

30 + Lo = (35) (10)

Lo = 5m

. . . . . . . . . . .

LOMN

LT

. . . . . . . . . . .

LOMN

LT

dRECORRIDA



4. Dos móviles están separados inicialmente 700 m y parten al

encuentro con velocidades de 30 m/s y 40 m/s simultáneamente.

Calcular el tiempo que tardan en estar juntos

Solución:

En este caso, aplicamos tiempo de encuentro (te)

t = te =

BA VV

d

t = s10ts/m40s/m30

m700

ACELERACIÓN

Es una magnitud física vectorial que nos indica la rapidez con la que cambia la

velocidad de un móvil.

Tiene como unidad: (m/s²)

Aceleración Media ( ma

)

Mide la rapidez de cambio de velocidad en un intervalo de tiempo

t

ifm

VV

t

Va

A B BA

700 m

30 m/s t t 40 m/s



12 VVV

La “ ma

” y “ V

” tienen la misma dirección

Aceleración Instantánea ( a

)

Mide la rapidez de cambio de velocidad en un instante de tiempo.

La a

apunta hacia la concavidad de la trayectoria

Si : t 0 a

= lim a

m

t o

V1

t

V2

x

o

y V1

am

V2

v

a

y

x



Ejemplo de Aplicación

Determine el módulo de la aceleración media entre A y B, si se emplea un

tiempo de 2 segundos.

Solución:

V = 22 48

V = s/m54

Luego:

s

s

m

2

54

t

Va m

am = 52 m/s²

4 m/s

8 m/s

A

B

4 m/s

8 m/s

v



MOVIMIENTOS CON ACELERACION CONSTANTE

I. Movimiento Rectilíneo con Aceleración Constante

Primero, analicemos: ¿Qué significa a=5m/s²?

Rpta. Significa que el móvil en cada segundo cambia su rapidez en 5m/s

Dado que la rapidez puede aumentar o disminuir, entonces se tiene que:

Movimiento Acelerado

Movimiento Desacelerado

Supongamos una pelota que se desplaza con rapidez inicial de 4m/s y

acelera con 2m/s² constante.

v

a

v

a

1s 1s 1s

4 m/s 6 m/s 8 m/s

10 m/s2 m/s²2 m/s²2 m/s²

DAd

1 = 5m d

2 = 7m d

3 = 9mB C

dTOTAL

= 21m



Observe que:

La trayectoria es rectilínea

Los cambios en la velocidad son uniformes, por esto se llama

“Movimiento Rectilíneo Uniformemente Variado” (M.R.U.V.)

La V

es D.P. al tiempo transcurrido.

Del Gráfico:

Tramo AB: t = 1s V = 2m/s

Tramo AC: t = 2s V = 4m/s

Tramo AD : t = 3s V = 6m/s

Note, además que los recorridos en segundos consecutivos se

diferencian en el valor de la aceleración.

Ecuaciones del M.R.U.V.

1. Vf = Vo + at

2. Vf² = Vo²+ 2ad

3. d = Vot + 2

at 2

4. d = t.2

VV fo

5. dn.seg = Vo + )1nx2(2

a

Nota:

- Use signo (+) si “V” aumenta

- Use signo (-) si “V” disminuye



Aplicaciones

1. Un móvil parte de la posición Xo = -20m con una velocidad de

5m/s. Hallar la posición y espacio recorrido luego de 5 segundos, si su

aceleración es 4m/s².

Solución

Recordando la ecuación de la posición:

dxx 0f

xf = xo + Vot + 2

at 2

xf = -20 + 5(5) + 2

5x4

d

xf = +55 m

Luego, el espacio recorrido será:

e = d = 75m

2. Una esferita inicia su movimiento con aceleración constante

recorriendo en el segundo segundo 3m. ¿En cuánto tiempo habrá

recorrido los primeros 16m?

Solución

Para calcular el tiempo, aplicamos:



d = Vot + 2

at 2

16 = )1....(..........2

at 2

Luego, calcular la aceleración a partir de la distancia en el 2º segundo:

d2ºs = Vo + 2

a (2 x 2 - 1)

3 = 2

ax 3 a = 2 m/s²

En 1:

t = 4s

Gráficas en el M.R.U.V.

1. Posición vs tiempo ( x

- t)

AX1

X (m)

X0

t1

t(s)

Parábola

o



La cinemática es la parte de

la física que estudia el

movimiento. Éste puede

definirse como un cambio

continuó de posición

Sabías

que...

tgVA

2. Velocidad vs tiempo ( v

-t)

a = tg

e = A

A

Vf

V (m/s)

V0

t1

t(s)

o

V (m/s)

0t(s)

-5

-5 m/sa



Aplicaciones

1. Se muestra la gráfica (V - t) de una partícula que se mueve sobre el

eje “x”. Halle el módulo del vector desplazamiento.

Solución:

d = 21 AA

d = 4030

d = 10 m

t (s)

V (m/s)

5

6 10o

t (s)

6

5

-10

A2

A1

10

V (m/s)



PROBLEMAS RESUELTOS DE CINEMÁTICA

01. Halle el espacio recorrido (e), el desplazamiento (

d ) y su módulo

d ,

desarrollado por un móvil al ir desde “A” hacia “B” por la trayectoria mostrada en la figura.

A) 10 m; (6

i + 8

j ) m ; 10 m

B) 14 m; (-6

i + 8

j ) m ; 14 m

C) 14 m ; (6

i + 8

j ) m ; 10 m

D) 10 m ; (6

i + 8

j ) m ; 14 m

E) 14 m ; (-8

i + 6

j ) m ; 10 m

x(m)

A(1; -3)

y(m)

Trayectoria

B(7; 5)



RESOLUCIÓN

* e = 6m + 8m

e = 14m

* f 0d r r

d

= (7; 5)m (1; 3)m

d

= (6; 8)m = (6

i + 8

j )m

*

d = 6² 8²

d = 10m

Rpta: C

02. Si un móvil empleó 5 s en ir desde la posición A (4

i - 2

j + 1

k ) m

hasta la posición B (19

i +18

j +26

k ) m. Determine la velocidad media

y su módulo.



A) ( 4

i +3

j +5

k ) m/s ; 11m/s

B) (5

i +3

j +4

k ) m/s ; 5 2 m/s

C) (3

i +4

j +5

k ) m/s ; 5 2 m/s

D) (3

i +5

j +4

k ) m/s ; 10 2 m/s

e) (6

i +8

j +10

k ) m/s ; 10 2 m/s

RESOLUCIÓN

M

f oM

dV

t

r rV

t

M

19 i 18 j 26k 4 i 2 j k

V5

M

15 i 20 j 25k

V5

MV 3 i 4 j 5k m/s

MV

3² 4² 5² 5 2 m/s

Rpta: C



03. La posición de un móvil en función del tiempo está dada por la

ecuación

X = (t - 2t2)

i m, donde

X está en metros y t en

segundos. Determine la velocidad media en el intervalo de tiempo [1

s ; 3 s]

A) 7

i m/s B) -7

i m/s

C) 14

i m/s D) -14

i m/s

E) -3,5

i m/s

RESOLUCIÓN

2t 1ox x 1 2 1 1i

2t 3fx x 3 2 3 15i

f o

M

M

d x xV

t t

15 i i

V 7 i m / s2

Rpta: B

04. Una partícula se desplaza desde la posición 0r

= (7

i +2

j )m, con

una velocidad constante

V =(-5

i +2

j ) m/s. Calcule su posición

luego de 10 s.

A) (-43

i -22

j ) m B) (-43

i +22

j ) m



C) (57

i +18

j ) m D) (57

i -18

j ) m

E) (57

i +16

j ) m

RESOLUCIÓN

f or r v t

f

f

f

r 7 i 2 j 5 i 2 j 10

r 7 i 2 j 50 i 20 j

r 43i 22 j m

RPTA.: B

05. La ecuación de la posición de dos partículas “A” y “B” que se mueven

a lo largo del eje X están dadas por: xA = 3t-10 y xB = -2t+5,

donde x está en metros y t en segundos. Determine los instantes de

tiempo en que las partículas están separadas 5 m.

a) 1 s ; 2 s b) 2 s ; 3 s c) 3 s ; 5 s

d) 4 s ; 6 s e) 2 s ; 4 s

RESOLUCIÓN

* xA xB = 5

(3t 10) (2t + 5) = 5

5t 15 = 5

t = 4 s



* xB xA = 5

(2t + 5) (3t 10) = 5

5t + 10 = 0

t = 2 s

Rpta: E

06. Indicar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones.

I. Si la trayectoria es rectilínea, necesariamente la velocidad es

constante.

II. Si la velocidad es constante; entonces necesariamente la trayectoria

es rectilínea

III. Cuando la rapidez de un móvil es constante necesariamente

experimenta un M.R.U.

a) VVV b) VFV c) FVF

d) FFF e) FVV

RESOLUCIÓN

I. Falso

La velocidad no necesariamente es constante en una trayectoria

rectilínea.

II. Verdadero



Si la velocidad (rapidez y dirección) es constante necesariamente la

trayectoria es rectilínea.

III. Falso

Cuando la rapidez del móvil es constante no necesariamente

experimenta un M.R.U.; su trayectoria puede ser curvilínea.

Rpta: C

07. A partir del instante mostrado, determine cuántos segundos

transcurren hasta que el auto A pase completamente al auto B.

Considere que los autos se mueven en vías paralelas realizando un

M.R.U.

a) 1 s b) 2 s c) 3 s

d) 4 s e) 5 s

RESOLUCIÓN

El auto “A” pasa al auto “B” cuando la partícula posterior del auto “A”

alcanza a la partícula delantera del auto “B”.

(A) (B)12 m/s 4 m/s

3m 10 m 3 m



AL

A B

AL

dt

V V

16t 2s

12 4

Rpta: B

08. Sobre las aguas de un río de orillas paralelas se desplaza una lancha

con una rapidez constante. Si en ir de un punto a otro del río tarda

100 s (cuando viaja en la dirección de la corriente) y cuando regresa

al punto de partida tarda 200 s. Determine la rapidez de la lancha en

aguas tranquilas y la distancia entre los dos puntos, si las aguas del

río tienen una rapidez de 5 m/s.

A) 10 m/s ; 2 000 m

B) 15 m/s ; 2 000 m

C) 20 m/s ; 2 000 m

D) 11 m/s ; 1 600 m

E) 15 m/s ; 1 500 m

RESOLUCIÓN

V = rapidez de la lancha



La figura muestra la velocidad resultante de la lancha con respecto a

un observador ubicado en tierra.

Por M.R.U.: d = vt

L = (v+5) (100) = (v5) (200)

V + 5 = (v5)2

V + 5 = 2v 10

V = 15 m/s

L = (15 + 5) (100)

L = 2000 m

Rpta: B

09. Desde el poste se emite un sonido durante 0,7 s. Determine durante

que intervalo de tiempo el atleta que experimenta un M.R.U.

escuchará el sonido.

(Vsonido = 340 m/s)



a) 0,17 s b) 0,34 s

c) 0,68 s d) 1 s

e) 1,02 s

RESOLUCIÓN

El joven oye el sonido hasta el instante en que se encuentra con al

última molécula del sonido a partir de la posición mostrada.

oye el Esonido A B

dt t

V V

oye elsonido

340(0,7)t

340 10

POSTE

10 m/s

10 m/s

m340

s

L = 340 (0,7) m

ÚLTIMA MOLÉCULA

SONIDO



oye elsonido

34(7) 34t

350 50

oye elsonido

t 0,68 s

Rpta: C

10. Se tiene dos velas (1) y (2) de tamaños iguales, las cuales tienen una

duración de T1 = 4 horas y T2 = 3 horas, emitiendo energía

luminosa. Si las velas empiezan a emitir luz al mismo instante,

¿Después de cuanto tiempo el tamaño de una de ellas es el doble de

la otra?

a) 2 horas b) 2,4 horas

c) 3,6 horas d) 4,8 horas

e) 0,4 horas

RESOLUCIÓN

1

LV

4 2

LV

3

4h 3h

(1) (2)

L



* Luego de cierto tiempo tenemos:

Se cumple:

L = V1t + 2h = V2t + h

L L

L t 2h t h......(1)4 3

L 1

2h h t t3 4

L

h t12

Lt = 12 h .............(2)

* Reemplazo en (1)

12h

L 2h4

L = 5h

* Reemplazo en (2)

5ht = 12h

2h

h

(1) (2)

t

t



12

t5

t = 2,4 horas

Rpta: B

11. Un auto que se desplaza rectilíneamente con rapidez constante de 10

m/s, aplica los frenos y se detiene después de recorrer 50 m. Si en

dicho proceso experimenta MRUV, determine el tiempo que demoró

en detenerse.

a) 5 s b) 7 s c) 10 s

d) 20 s e) 30 s

RESOLUCIÓN

o fV Vd t

2

10 050 t

2

t = 10 s

Rpta: C



12. Un móvil desarrolla un MRUV recorriendo 81 m en 3 s y luego cesa

su aceleración recorriendo 90 m en los siguientes 3 s. Determine el

módulo de su aceleración cuando desarrollaba el MRUV si este era

acelerado.

a) 2m/s2 b) 3m/s2

c) 4m/s2 d) 5m/s2

e) 6m/s2

RESOLUCIÓN

En el M.R.U.V.

d = 81 m; t = 3 s; Vf = 30m/s

*

o fV Vd t

2

oV 3081 3

2

Vo = 24 m/s

* Vf = Vo + at

30 = 24 + a(3)

a = 2 m/s²

Rpta: A



13. Un móvil se mueve en una pista horizontal con una aceleración

constante de 2

i m/s2. Después de 5 s de pasar por un punto “P”,

posee una velocidad de 72

i km/h ¿Qué velocidad tenía el móvil

cuando le faltaba 9 m para llegar al punto “P”?

a) 4

i m/s b) 6

i m/s

c) 8

i m/s d) 10

i m/s

e) 12

i m/s

RESOLUCIÓN

km 1h 1000m m72 20

h 3600s 1km s

* Tramo PQ

Vf = VO + at

20 = VP + 2(5)

VP = 10 m/s

* Tramo AP

2 2f 0

2 20

V V 2ad

10 V 2(2)(9)



100 = 2

0V + 36 VO = 8 m/s

Rpta: C

14. Una partícula con MRUV tiene una velocidad 1V

= 10

i m/s en el

instante t1 = 2 s y una velocidad 2V

= 30

i m/s en el instante t2

= 7 s. Determine el desplazamiento de la partícula desde el instante t

= 0 hasta el instante t = 10 s.

a) 20

i m b) 110

i m

c) 130

i m d) 220

i m

e) 330

i m

RESOLUCIÓN

t v

2 10

7 30

* Vf = Vo + at

30 = 10 +a(5)

a = 4 m/s²

* t [0,2]s

Vf = Vo + at

10 = Vt = 0 + 4(2)

V(t = 0) = 2 m/s



* t [0,10] s

d = Vot + 1

2at²

d = 2(10) +1

2(4)(10)²

d = 20 + 200

d = 220 i m

Rpta: D

15. Un automóvil parte del reposo y durante 4 s se desplaza con una

aceleración constante de 4

i m/s2, luego con la velocidad adquirida se

desplaza durante 10 s a velocidad constante y finalmente aplica los

frenos y se detiene en 2s. Halle el desplazamiento realizado por el

automóvil.

A) 208

i m B) 215

i m

C) 258

i m D) 320

i m

E) 351

i m



RESOLUCIÓN

1 2 3

M.R.U.V. M.R.U. M.R.U.V.

d d d d

o f o fV V V Vd t vt t

2 2

0 16 16 0d 4 16(10) 2

2 2

d = 32 + 160 + 16

d = 208 i m

Rpta.: A

16. Un móvil parte del reposo con aceleración constante de 2 m/s2,

acercándose perpendicularmente a una gran pared. Cuando el móvil

inicia su movimiento, una persona que está sobre el móvil emite un

sonido. Cuando ha avanzado 16 m escucha el eco. Halle la distancia

entre la pared y el punto de partida.

(V sonido = 340 m/s)

A) 340 m B) 688 m

C) 690 m D) 696 m

E) 700 m



RESOLUCIÓN

* Móvil

d = Vot + 1

2 at²

1

16 (2)t²2

t = 4 s

* Se observa:

esonido + emovil = 2x

Vsonido t + 16 = 2x

340(4) + 16 = 2x

680 + 8 = x

x = 688 m

Rpta: B



17. Un tren de 75 m de longitud se desplaza con aceleración constante. Si

la parte delantera del tren ingresa a un túnel de gran longitud con 10

m/s y la parte posterior lo hace con 20 m/s. Halle la rapidez del

tren 4 s después de haber ingresado completamente en el túnel.

A) 20 m/s B) 22 m/s

C) 24 m/s D) 26 m/s

E) 28 m/s

RESOLUCIÓN

* Cuando el tren ingresa al túnel, para la partícula posterior del tren, se

tiene:

V0 = 10 m/s Vf = 20 m/s

d = 75 m

2 2f 0V V 2ad

(20)² = (10)² + 2a(75)

300 = 2a(75)

a = 2 m/s²

* Luego de 4 s de haber ingresado al túnel.

Vf = VO + at

Vf = 20 + 2(4)

4 s20 m/s10 m/s

75 m 75 m



Vf = 28 m/s

Rpta: E

18. Un auto que parte del reposo con aceleración constante se encuentra

a las 10 a.m. en el km 9 ; a las 11 a.m. en el km 16 y a las 12 del

meridiano en el Km 25 ¿A qué hora inició su movimiento?

a) 6:30 a.m. b) 7:00 a.m.

c) 7:30 a.m. d) 8:00 a.m.

e) 8:30 am.

RESOLUCIÓN

* Tramo AB : d = O fV V

t2

V V a7 1

2

2V + a = 14 ..........(1)



* Tramo BC: d = O fV V

t2

V a V 2a9 (1)

2

2V + 3a = 18 ....................(2)

De (1) y (2)

V = 6 m/s

a = 2 m/s²

* En los primeros “t” segundos de su movimiento:

Vf = VO + at

6 = 0 + 2t

t = 3h

Inicia su movimiento a las:

10 am 3h = 7 am

Rpta: B

19. Cuando una pelota choca frontalmente contra una pared, su rapidez

disminuye en un 10%. Si el choque dura 0,2 s y la rapidez inicial fue

de 20 m/s; determine el módulo de la aceleración media de la pelota

durante el choque.

a) 90 m/s2 b) 150 m/s2

c) 160 m/s2 d) 190 m/s2

e) 120 m/s2



RESOLUCIÓN

2t s

10

f OV Va

t

18 20a 38(5)

2

10

a = 190 m/s²

Rpta: D

20. El móvil que se muestra en la figura se desplaza desarrollando un

MRUV acelerado con módulo a = 4 m/s2, pasando por “B” con 20

m/s. ¿Cuál es la ecuación de su posición en función del tiempo

respecto al observador mostrado? (en t = 0 s el móvil pasa por “A”).

A) x

= (-20 + 2 10 t +4t2) i

m



B) x

= (-20 - 4 10 t +2t2) i

m

C) x

= (-10 - 4 10 t +4t2) i

m

D) x

= (-10 + 2 10 t +2t2) i

m

E) x

= (-10 + 4 10 t +2t2) i

m

RESOLUCIÓN

* Tramo AB

2 2f 0V V 2ad

(20)² = 2

AV +2(4)(30)

2

AV = 160

VA = 4 10 m/s

* Luego tenemos:

o

o

x 10m

V 4 10m /s

a 4m /s²

La ecuación de su posición es:



0 0

1x x v t a t²

2

1x 10 4 10 t 4 t²

2

x 10 4 10t 2t² m

Rpta: E


01. Una partícula se mueve rectilíneamente según el gráfico mostrado.

Calcular la distancia recorrida y el módulo del desplazamiento.

-14 2 32x(m)

a) 20 m y 32 m b) 46 y 54 c) 62 y 30

d) 46 y 30 e) 62 y 62

02. Determinar la rapidez media del móvil, si demora 5s en ir de A hacia

B.

5 m

8 mA B

a) 1,61 m/s b) 2,60 c) 3,60

d) 4,74 e) 5,56



03. Una partícula sigue la trayectoria mostrada. Hallar el módulo de la

velocidad media, si para dicho recorrido empleó 5s.

y(m) B(4; 5)

x (m)

1

1

a) 0,5 m/s b) 1 c) 2

d) 2,5 e) 4

04. Una partícula tarda 2s para el traslado de “A” hacia “B”, si :

AC = 3 m y BC = 5 m. Halle el módulo de la velocidad media en m/s.

120º

A

B

C

a) 1,5 b) 2,0 c) 2,5

d) 3,0 e) 3,5

05. Con rapidez constante “V” un ciclista recorre una pista cuadrada.

Encuéntrese el módulo de la velocidad media cada vez que el ciclista

recorre dos lados consecutivos.

a) V 2 b) 22

V c) 3

3

V

d) V 3 e) 33

V



06. Un escarabajo parte de “A” para moverse por el perímetro del cuadrado, hasta llegar también a “A”. Calcule la distancia recorrida y

el módulo del desplazamiento.

a) 0; 0 b) 4; 4

c) 8; 8

d) 14; 10

e) 16; 0

07. Un carro sigue la trayectoria mostrada, hallar la relación de la

distancia recorrida y el módulo de su desplazamiento.

A

R

a) 2

b) c)

2

3

d) 2 e) 2

5

08. Un camión viaja a la velocidad de 90 km/h. Hallar su velocidad en

m/s.

a) 10 m/s b) 9 c) 20

d) 25 e) 36

09. Un auto con MRU va desde x = -10m hasta x = 30 m, empleando 5s.

Halle su rapidez.

a) 2 b) 6 c) 8

d) 10 e) 12



10. Un auto se desplaza con velocidad constante V durante 4s, luego

aumenta su velocidad en 4 m/s y recorre la misma distancia que el

primer caso pero en 3,5s. Hallar V.

a) 14 m/s b) 16 c) 20

d) 28 e) 32

11. Un tren de 400 m de longitud que viaja a 20 m/s demora 2 minutos

en pasar un túnel. Calcular la longitud del túnel.

a) 0,5 km b) 1 c) 2

d) 2,5 e) 4

12. Un peatón recorre 23 km en 7 horas, los 8 primeros kilómetros con

una velocidad superior en 1 km/h a la velocidad del resto del

recorrido. Halle la velocidad con que recorrió el primer trayecto.

a) 2 km/h b) 3 c) 4

d) 5 e) 6

13. Un móvil debe recorrer 300 km en 5h pero a la mitad del camino sufre

una avería que lo retiene 1 hora. ¿En cuánto debe incrementar su

velocidad para llegar a tiempo a su destino?

a) 10 km/s b) 20 c) 40

d) 60 e) 100

14. Un auto que se acerca a un gran muro viaja con velocidad constante

en cierto instante emite un sonido durante 9s y percibe el eco durante

8s. Halle la rapidez del auto. s/m 340sonidoV .

a) 10 m/s b) 20 c) 16

d) 36 e) 40

15. Dos móviles A y B se encuentran en una misma recta inicialmente

separados 1000 m. Si se mueven en una misma dirección con

velocidades de 20 y 30 m/s respectivamente. ¿Después de qué

tiempo el móvil B que estaba retrasado adelanta al móvil en 500 m?

a) 50 s b) 60 c) 90

d) 120 e) 150



16. Un móvil parte del reposo con una aceleración de 3 m/s2. Calcular su velocidad al cabo de 4s.

a) 6 m/s b) 9 c) 12

d) 16 e) 24

17. Calcular la aceleración de un móvil que en un intervalo de 5 s

aumentó su velocidad de 4 m/s hasta 19 m/s.

a) 1 m/s2 b) 3 c) 5

d) 7 e) 9

18. Un auto parte del reposo y en 10 s alcanza una velocidad de 20 m/s.

Calcular la distancia que recorrió en este tiempo.

a) 300 m b) 200 c) 100

d) 150 e) 50

19. Un móvil parte con una velocidad de 18 km/h, si al recorrer 60 m

logró triplicar su velocidad, calcular el tiempo empleado.

a) 10 s b) 12 c) 2

d) 4 e) 6

20. Una partícula parte del reposo, con una aceleración de 6 m/s2.

Encontrar la distancia que recorrió durante 5 s.

a) 150 m b) 30 c) 60

d) 75 e) 100

21. Un móvil acelera a razón de 4 m/s2. Calcular con qué velocidad partió,

si se sabe que en los primeros 5s. recorrió 80 m.

a) 6 m/s b) 4 c) 2

d) 5 e) 5



22. Un móvil parte con una velocidad de 2 m/s acelerando a razón de 4

m/s2. Calcular qué velocidad tendrá cuando haya recorrido 12m.

a) 5 m/s b) 4 c) 9

d) 6 e) 10

23. Un auto triplica su velocidad de 5 m/s en un recorrido de 50m.

Calcular su aceleración.

a) 1 m/s2 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

24. Un móvil parte con una velocidad de 2 m/s y una aceleración de 6

m/s2. Calcular la distancia recorrida durante el quinto segundo de su

movimiento.

a) 21 m b) 23 c) 29

d) 18 e) 24

25. Un móvil recorre 22 m durante el sexto segundo de su movimiento. Si

partió del reposo, calcular su aceleración.

a) 2 m/s2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 10

26. Un auto recorre 40m con una aceleración de 4 m/s2, si la suma de sus

velocidades final e inicial es 20 m/s. Calcular la velocidad inicial.

a) 5 m/s b) 8 c) 6

d) 4 e) 2

27. Un auto con MRUV, recorre en dos segundos consecutivos 21m y 27m

respectivamente en cada segundo. Calcular la aceleración del auto.

a) 2 m/s2 b) 4 c) 6

d) 8 e) 5



28. Un móvil parte con una velocidad de 3 m/s, si después de recorrer

14m su velocidad es 11 m/s. Calcular qué distancia recorrerá en los

3s siguientes a este recorrido.

a) 17 m b) 42 c) 34

d) 21 e) 51

29. Un auto parte con una velocidad de 40 m/s y desacelera logrando

recorrer 100 m hasta detenerse. Calcular la distancia recorrida en los

dos últimos segundos de su movimiento.

a) 20 m b) 16 c) 8

d) 4 e) 10

30. Un auto parte con una velocidad de 60 m/s y desacelera logrando

detenerse a los 12s. Calcular la velocidad que tendrá en la mitad de

su recorrido.

a) 30 m/s b) 40 c) 20 3

d) 30 2 e) 40 2

31. De acuerdo a la gráfica mostrada, calcular la posición para t = 6s. Si

la posición inicial es xo = 8m.

V(m/s

t(s)

10

4

O 6

a) 42 m b) 50 c) 40

d) 32 e) 46



32. Según el gráfico, calcular la aceleración del móvil

x

t(s)10O

-45

95

5

(m)

a) 1 m/s2 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5

33. Calcular la posición inicial del móvil, si su velocidad es 4 m/s.

x

t(s)O 5

(m)

8

a) xo = 0 b) xo = -8 m c) xo = 12 m

d) xo = 20 m e) xo = -12m



60º

3m

5m

PROBLEMAS PROPUESTOS NIVEL II

01. Un cuerpo tarda 2 s para trasladrse de A hasta B. Hallar el módulo de su velocidad media.

a) 1,5 m/s b) 2 c) 3,5

d) 4 e) 5,5

02. Una partícula se mueve en línea recta, siendo la ecuación de su posición:

x = 3T - 1 donde "x" se expresa en metros y "T" en segundos. Hallar el

módulo de la velocidad media T=0s hasta T=2s.

a) 4 m/s b) 2 c) 1,5

d) 3 e) 6

03. Un auto viaja a rapidez constante alejándose de una montaña, cuando

esta a 450m de ella hace sonar la bocina y recibe el eco a los 3s.

Hallar la velocidad del auto v sonido = 340m/s

a) 50m/s b) 40m/s c) 60m/s

d) 30m/s e) 10m/s

04. Si el mosquito avanza con velocidad constante ¿con qué rapidez

avanza su sombra proyectada en el piso?



3m/s

2L

6L

53º

72

Km

/h

a) 2m/s b) 3m/s c) 4m/s

d) 5m/s e) 6m/s

05. Un móvil se desliza con rapidez constante en un plano inclinado. ¿Qué

altura tendrá 4s antes de llegar a la base?

a) 64m b) 80m c) 94m

d) 100m e) 114m

06. Una persona se encuentra entre dos montañas que están separadas

255m al emitir un grito, escucha su eco luego de “2t” y “4t” (en s). ¿A

cuántos metros se encuentra la montaña más cercana a la persona?

(VSONIDO=340m/s)

a) 85 b) 100 c) 125

d) 150 e) 170



x(m)

y(m)

4A

B-3

5

-4

6

07. Un helicóptero que vuela a 30m de altura horizontalmente con una

rapidez de 7m/s hacia la derecha, sobre la superficie un auto tiene

una rapidez de 3 m/s hacia la izquierda. A partir del instante

mostrado. ¿Cuántos segundos demoran en estar separados 50m?

a) 1 b) 2 c) 4

d) 5 e) 10

08. Un motociclista debe llegar a su destino a las 10am. Si viaja a 20

km/h llegaría a las 11am y si viaja a 30 km llegaría a las 8am. ¿Con

qué velocidad debe viajar para llegar a las 10am exactamente?

a) 22km/h b) 22,5km/h c) 24km/h

d) 24.5km/h e) 26 km/h

09. Una partícula sigue la trayectoria indicada, el vector posición 1r tiene

coordenadas (3; 4) y 2r =(6; 7). Determinar el módulo del vector

desplazamiento; las coordenadas están en metros.

a) 3 m b) 4 c) 3 2

d) 4 2 e) 5

10. Halle la rapidez media en el recorrido mostrado que demoró 4 s desde

A hasta B.

a) 1 m/s b) 3 c) 5

d) 7 e) 9



11. Dos móviles parten del mismo punto con velocidades constantes, en

direcciones perpendiculares. Si una de ellas tiene una rápidez de

10m/s y el otro se mueve con 15m/s. ¿Qué distancia los separa luego

de 6s?

a) 70m b) 80m c) 90m

d) 100m e) 110m

12. Calcular después de qué tiempo los móviles estarán separados

70m si parten iguales de A con velocidades constantes.

a) 70s b) 40s c) 35s

d) 320s e) 10s

13. Una lancha navega río arriba recorre 50m en 5s. ¿Qué tiempo (en s)

le tomaría recorrer 90m río abajo? (VRIO=4m/s)

a) 2 b) 5 c) 10

d) 20 e) 25

14. Un auto marcha con una velocidad constante de 60km/h por una

carretera paralela a la via del tren, si el tren es de 100m de longitud

y lleva una velocidad de 45km/h en la misma dirección. ¿Qué tiempo

demora el auto en pasar el tren?

a) 12s b) 15 c)20

d)24 e) 30

15. En una carrera de 100m planos el vencedor emplea un tiempo record

de 8seg. Si la velocidad de su más cercano competidor era de 0,5 m/s

menos. Determine con que ventaja triunfó el primer corredor.



850m P

Bomm

a) 1m b) 0,5 c)2

d)4 e) 4,5

16. Cuando un obrero va al trabajo caminando a razón de 2m/s llega con

10minutos de retraso, pero si viaja en bus a 12m/s llega con 10

minutos de adelanto. ¿Cuánto mide el camino que sigue el obrero

hasta su trabajo? en m.

a) 2780 b) 2880 c)2980

d) 3180 e) 328

17. Dos alumnos están a 1190m de distancia como muestra la figura. Si

ocurre una explosión en (P). ¿Con qué diferencia de tiempo ambos

escucharán la explosión? Vsonido= 340m/s

a) 0,5s b) 1,5 c) 2,5

d) 2 e) 3

18. Una móvil pasa por un punto “A” con una velocidad de 10 m/s, luego 5s con MRUV alcanza una velocidad de 20m/s. ¿Qué velocidad tenía el auto 25m antes de llegar al punto "A"?

a) 5m/s b) 4 c)3

d) 1 e) 0

19. Un móvil que parte del reposo avanza 4m durante el primer segundo

de su trayectoria, entonces la distancia recorrida en los 3s siguientes

es:

a) 20m b) 40 c)50

d) 60 e) 80

20. Con qué velocidad un tren entra a un tunel de 50m, si se sabe que

logra pasarlo en 10 segundos acelerando constantemente con 4m/s².

Longitud del tren 200m.



a) 4m/s b) 5 c) 6

d) 7 e) 8

21. Un automóvil se está moviendo a una velocidad de 45km/h cuando

una luz roja se enciende en una intersección. Si el tiempo de reacción

del conductor es de 0,8s y el auto desacelera a razón de 12,5m/s2 tan

pronto el conductor aplica los frenos. Calcular qué distancia recorrerá

el auto desde el instante en que el conductor nota luz roja hasta que

el auto se detiene.

Tiempo de reacción: es el intervalo entre el tiempo en que el conductor

nota la luz y el tiempo que aplica los frenos

a) 8,75m b) 11,2 c)19,5

d) 16,25 e) 15

22. Un móvil parte del reposo y adquiere un MRUV, si transcurrido un

tiempo t posee una velocidad V y luego recorre 15m en 3s

adquiriendo una velocidad 4v en dicho instante. Determine el

intervalo t.

a) 0.5s b) 1s c) 1.5s

d)2s e) 2.5s

23. Si un tren de 40m que se desplaza con una rapidez de 6m/s tiene una

aceleración de 3m/s2. A 24m detrás del tren se encuentra un auto que

va a su alcance con una rapidez de “v” m/s, que logra alcanzarlo

luego de 5s. Hallar “v”.

a) 5 b) 20 c) 30

d) 40 e) 50

24. Un automóvil se desplaza con MRUV y recorre en el tercer

Segundo 16m. Menos que el recorrido en el séptimo segundo.

Entonces su aceleración será?

a) 1m/s2 b) 2 c) 3

d) 4 e) 5



25. Un móvil recorre 4 m en el tercer segundo de su movimiento. Hallar la

velocidad al terminar el quinto segundo, el móvil partió del reposo.

a) 4 m/s b) 6 m/s c) 8 m/s

d) 10 m/s e) 20 m/s

26. Dos móviles avanzan por vías paralelas que distan entre si 10 m con 6

m/s y 4 m/s respectivamente en sentidos opuestos. Si inicialmente

estaban frente a frente. ¿Qué distancia los separa al cabo de 5

segundos?

a) 10√ m b) 26 m c) 30 m

d) 35 m e) 15 m

27. Un bote cruza un rio perpendicularmente a la corriente. La velocidad

de la corriente es de 3 m/s y a del bote es 4 m/s con respecto al

agua. Si el ancho del rio es de 120 m. ¿Qué tiempo tarda el bote en

cruzar el rio y que distancia recorre total?

a) 30 s y 150 m b) 40 s y 120 m c) 38 s y 100 m

d) 18 s y 120 m e) 40 s y 160 m

28. Un móvil que parte del reposo recorre en el decimo segundo de su

movimiento 20 metros más que lo recorrido en el quinto segundo,

determinar el espacio recorrido desde que inicio el movimiento hasta

el final del octavo segundo de sus movimiento.

a) 100 m b) 128 m c) 130 m

d) 135 m e) 155 m

29. Una piedra fue lanzada verticalmente hacia arriba, luego de cierto

tiempo pasa frente a una ventana de 2m de altura que se encuentra a

4m de la trayectoria de la piedra. Si una persona al otro lado en el

centro de la ventana (a 1 m metro de distancia) ve a la piedra

durante 1s, ¿qué tiempo transcurre hasta que la persona vuelve a ver

la piedra? g=10m/s2

a)0,5s b)1s c)1,5s

d)2s e)3s

30. A partir del instante mostrado pasan 2 s hasta que los bloques están

en un mismo nivel horizontal. Determine con qué rapidez se desplaza

el bloque A si ambos bloques realizan MRU.



a) 0,7m/s b) 0,6m/s c) 3,75m/s

d) 3m/s e) 6m/s

31. Una bandera se iza en un barco a una velocidad de 4 m/s respecto del

barco. El barco tiene una velocidad de 12 m/s (respecto al agua)

dirigida hacia el sur y la corriente marina se desplaza a 3 m/s hacia el

este. Determine la rapidez de la bandera respecto a tierra.

a)7 m/s b)9 m/s c)12 m/s

d)5 m/s e)13 m/s

32. Un automóvil que realiza MRUV recorre en el tercer segundo de su

movimiento 10 m, ¿en cuánto tiempo recorrerá 50 m desde que inicia

su movimiento?

a) 5 s b) 6 s c) 8 s

d) 12 s e) 15 s

33. Determine la rapidez inicial de un móvil que recorre 40 m durante el

tercer segundo de su movimiento y 60 m durante el quinto segundo,

si este realiza un MRUV.

a) 10 m/s b) 12 m/s c) 18 m/s

d) 15 m/s e) 25 m/s

34. En el instante que se muestra, el joven A emite un grito y el joven B

empieza a moverse hacia la derecha realizando un MRUV. Determine

el valor de la aceleración de B si escucha el grito de A en el mismo

instante que lo hace C.

s/m340v sonido

12m

37˚



a) 1 m/s2 b) 5 m/s2 c) 8m/s2

d) 10 m/s2 e) 15 m/s2

35. En el gráfico la posición x en función del tiempo de una partícula que

se mueve en el eje x con MRUV. Calcule la posición de la partícula

cuando t = 10 s.

a) 0,5

b) 1,5

c) 2,5

d) 5,5

e) 7,5

“La enseñanza se debería impartir de modo que lo que ofrece se

percibiera como un regalo valioso y como un duro deber”

ALBERT EINSTEIN

(NEW YORK TIMES – 1952)



BIBLIOGRAFÍA

1. ALVARENGA Beatriz; Física Genral, Editorial Harla. Mexico

1999

2. Genzer, Irwin; Física. Editorial Publicaciones Cultural S.A.

Mexico, 1975

3. MC. KELVEY, Jhon. Física para ciencias e Ingeniería, Editorial

Harla Mexico 1978

4. SERWA, Raymond. Física, Tomo I, Editorial Addison 1990

5. PERELMAN, Y. Física Recreativa, Editorial MIR, Moscú, 1980

6. Mendoza Dueñas, Jorge; Física para Educación Secundaria,

Lima Edición 2002

7. GALVEZ, Martin y otros; Física; Editorial Santillana; Lima 1995

8. AUCALLANCHI, Felix ; Problemas de Física y como resolverlos.

RACSO Editores Lima

9. ALONSO, Acosta: INTRODUCCIÓN A LA FÍSICA. Tomo I y II

10. SERAS: FÍSICA PREUNIVERSITARIA

11. TIPPENS: FÍSICA

12. BUECHE: FUNDAMENTOS DE FÍSICA

13. LEOPOLD,Infeld: LA FÍSICA. Aventura del Pensamiento –

Albert Einstein

14. WEIDNER: “Elementos de la Física”

libro de fÍsica

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