capítulo 3 libro física

Captulo 3

Ondas Electromagneticas

Durante muchos anos los seres humanos se han preguntado acerca de la naturaleza de la luz, sin

embargo no hubo respuesta hasta que la electricidad y el magnetismo se unificaron en una ciencia

llamada electromagnetismo, descrta por las ecuaciones de Maxwell. Estas ecuaciones muestran

que un campo magnetico variable con el tiempo actua como fuente de campo electrico, y que un

campo electrico que vara con el tiempo genera un campo magnetico. Estos campos vectoriales ~E y~B se sostienen el uno al otro y forman una onda electromagnetica que se propaga a traves del espacio.

A continuacion presentamos las cuatro ecuaciones de Maxwell en forma integral y diferencial para

campos magneticos y electricos en el vaco as como los teoremas de la divergencia y del rotacional,

que permite pasar de una forma integral a una forma diferencial.

3.1 ES NECESARIO COLOCAR UN TITULO, PARA DIVIDIR

LOS DEMAS EN SUBSECTION

3.1.1 Divergencia de una funcion vectorial

Sea ~f(x, y, z) = fx + fy + fzk, una funcion vectorial. La divergencia de esta funcion vectorial se

define como:

~f =(

x+

y+

zk

)(fx+ fy + fzk

)donde el operador nabla se lo define como:

=(

x+

y+

zk

)

95

96 CAPITULO 3. ONDAS ELECTROMAGNETICAS

3.1.2 Rotacional de un campo vectorial

El rotacional de una funcion vectorial ~f(x, y, z) se define por:

~f =(

x+

y+

zk

)(fx+ fy + fzk

)donde se define como el producto cruz de nabla con el campo vectorial ~f , de la siguiente manera:

~f =

k

x

y

z

fx fy fz

= (fzy fy

z

)+

(fxz fzx

)+ k

(fyx fx

y

)

3.1.3 Teorema de la divergencia

Este teorema permite pasar a la funcion de una integral de volumen (integral triple) a una integral de

superficie (integral doble) aplicando la divergencia a la funcion.V

~fd~s =S

~f d~s

3.1.4 Teorema del rotacional

Este teorema permite pasar a la funcion f de una integral de superficie (integral doble) a una integral

de lnea aplicando el rotacional a la funcion ~f .S

~fd~s =L

~fd~l

3.1.5 Ecuaciones de Maxwell forma integral

1. Ley de GaussEl flujo electrico a traves de una superficie Gaussiana que encierra una carga electrica es igual a la

carga electrica encerrada dividida entre otra constante llamada permitividad electrica del vaco.S

~E d~s = qo

=1

o

V

dV

donde es la densidad de carga volumetrica.

2. Ley de Gauss para el magnetismoLas lneas de campo magnetico en un iman son lneas continuas que saliendo del polo norte entran

por el polo sur y el flujo magnetico a traves de cualquier superficie cerrada es igual a cero.S

~B d~s = 0

3.1. ES NECESARIOCOLOCARUNTITULO, PARADIVIDIR LOSDEMAS EN SUBSECTION97

3. Ley de Ampere-MaxwellSi una corriente de conduccion circula por un conductor se genera a su alrededor un campo magnetico

cuyas lneas de campo son crculos alrededor del cable conductor. Si la corriente de conduccion se

interrumpe al llegar a un capacitor, se genera un flujo electrico entre sus placas originandose una

corriente de conduccion como consecuencia de la variacion del flujo con el tiempo.L

~B d~l = oi+ oodEdt

donde o es la permeabilidad magnetica del vacio y E es el flujo electrico.

4. Ley de Faraday-HenryUna variacion del flujo magnetico con el tiempo produce un campo electrico.

S

~E d~l = dBdt

=

3.1.6 Ecuaciones de Maxwell en forma diferencial

1. Ley de Gauss Usamos el teorema de la divergencia.S

~E d~s = 1o

V

dV =

V

~EdV

Por lo tanto, comparando estas ultimas ecuaciones, obtenemos:

1

o = ~EdV

2. Ley de Gauss para el magnetismoUsando el teorema de la divergencia se tiene que:

S

~B d~s = 0 =V

~BdV

por lo tanto, tenemos que:

~B = 03. Ley de Ampere-Maxwell

L

~B d~l = oS

~J d~s =L

~Bd~s

por lo tanto tenemos que:

o ~J = ~Bdonde ~J es la densidad de corriente.

4. Ley de Faraday-Henry


Se aplica el teorema del rotacional.

L

~E d~l = ddt

(S

~B d~s)

=

S

~Ed~s

Por tanto obtenemos:

~E = ~B

t

Desde un punto de vista conceptual, las ecuaciones de Maxwell predicen la existencia de las ondas

electromagneticas que se propagan a traves del espacio con la velocidad de la luz.

De acuerdo con las ecuaciones de Maxwell, una carga puntual en reposo produce un campo electrico~E estatico pero no un campo magnetico ~B; una carga en movimiento con velocidad constante produce

los dos campos ~E y ~B. Una carga puntual acelerada produce ondas electromagneticas y energa elec-

tromagnetica. El posible uso de las ondas electromagneticas para la comunicacion a larga distancia

no se le ocurrio a Hertz y fue gracias a Marconi y otros investigadores el hecho que la comunicacion

por radio se convirtiera en una experiencia cotidiana en el hogar.

Por consiguiente, las ondas electromagneticas transportan energa y cantidad de movimiento y ejercen

presion sobre cualquier superficie que encuentren a su paso.

Las ondas electromagneticas cubren un amplio intervalo de frecuencias, por ejemplo, las ondas de ra-

dio (frecuencias de aproximadamente 107Hz) son ondas electromagneticas producidas por corrientes

oscilantes en una antena de transmision de una torre de radio. Las ondas luminosas son una forma

de radiacion electromagnA ctica de alta frecuencia (alrededor de 104Hz) producida por electronesdentro de sistemas atomicos.

3.2 Ondas electromagneticas planas

Las ondas electromagneticas fueron generadas y detectadas primeramente por Hertz en 1887 uti-

lizando fuentes electricas.

3.2. ONDAS ELECTROMAGNETICAS PLANAS 99

Bobina de induccin

+ -

+q -qTransmisor

Receptor de luz

Figure 3.1: Esquema del aparato ideado por Hertz para generar y detectar ondas electromagneticas

Una bobina de induccion conectada a dos electrodos esfericos con un pequeno espacio entre ellos

(transmisor) la bobina enva cortos impulsos de voltaje a la esfera, cargandolas con polaridades op-

uestas y se produce una chispa entre ellas cuando el voltaje alcanza el potencial de ruptura del aire.

Cuando el aire se ioniza, conduce mas facilmente y la descarga se produce entre las esferas y llega a

ser oscilatoria.La frecuencia llega a ser unos 100MHz. Las ondas electromagneticas son radiadas a esta frecuencia.

Esta onda electromagnetica fue detectada por una espira de alambre colocada a varios metros, se puso

en resonancia el transmisor y el receptor; al igualar las frecuencias, Hertz tambien determino la ve-

locidad de propagacion de las radiofrecuencias.

En general cualquier carga electrica acelerada emite una onda electromagnetica.

3.2.1 Deduccion de la ecuacion de onda electromagnetica plana

z

y

x

Figure 3.2: Onda electromagnetica polarizada


Suponga que la onda electromagnetica es una onda plana, es decir, una onda que solo viaja en una

direccion y esta polarizada. Ademas se propaga en el vaco donde la carga electrica q y por tanto

la densidad de corriente J son cero. Ademas, supongamos un campo electrico ~E uniforme en la

direccion +Y y un campo magnetico ~B uniforme en la direccion +Z y que este frente de onda plano

se desplaza a la derecha en la direccion +X con velocidad constante c.

Frente de onda

B

E

E

B

y

x

z

Figure 3.3: El campo electrico esta en la direccion y y el campo magnetico en z

Partimos de las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial, especialmente la Ley de Faraday y la

Ley de Ampere.

De la Ley de Faraday. L

~E d~l = Bdt

=

Y en forma diferencial

~E = ~B

t

Se tiene que:

~E =

k

x

y

z

Ex Ey Ez

= (Ezy Ey

z

)+

(Exz Ez

x

)+ k

(Eyx Ex

y

)=

~B

tk

Por tanto, igualando las componentes rectangulares se obtiene:

~Eyx

~Exy

= ~B

t


Pero el campo electrico esta en la direccion +Y , por lo tanto:

~Exy

= 0

Y as obtenemos: ~E

x= ~B

t (3.1)

Por otra parte, de la Ley de Ampere-Maxwell, en forma integral.L

~B d~l = oS

~J d~s+ oo ddt

S

~E d~s

Y teniendo en cuenta que en el vaco la carga q y la densidad de corriente ~J son cero, se obtiene:

~B =

k

x

y

z

Bx By Bz

= (Bzy By

z

)+

(Bxz Bz

x

)+ k

(Byx Bx

y

)= oo

~Eyt

j

Igualando las componentes, se obtiene:

~Bxz

~Bzx

= oo ~Eyt

Pero el campo magnetico ~B esta en la direccion Z, por lo tanto:

~Bxz

= 0

Y as obtenemos: ~B

x= oo

~E

t (3.2)

donde o se denomina permitividad electrica del vaco y tiene un valor de:

o = 8, 857 1012N1m2C2

y se denomina permeabilidad magnetica del vaco y tiene un valor de:

o = 4pi 107TmA1

Derivando con respecto a x la ecuacion (3.1) obtenemos:

2E

x2=

t

(B

x

)=

t

(oo

E

t

)2E

x2= oo

2E

t2

Por lo tanto2E

t2=

1

oo

2E

x2(3.3)


Comparando con la ecuacion diferencial de onda:

2y

t2= v2

2y

x2

Se concluye que:

v =1oo

= c

Similarmente derivando la ecuacion (3.2) con respecto a x, resulta:

2B

x2= oo

2B

t2o

2B

t2=

1

oo

2B

x2(3.4)

Comparando esta ultima expresion con la ecuacion diferencial de onda, se concluye que:

v =1oo

= c

Sustituyendo los valores de o y o se obtiene:

c =1

(8, 857 1012N1m2C2)(4pi 107TmA1) 2, 997 108m

s

Por lo tanto:

c = 2, 997 108ms

Todas las ondas electromagneticas se desplazan a traves del vaco con la misma velocidad c. Por ello

resulta logico pensar que la luz es una onda electromagnetica de la forma senoidal:

Emcosk(x ct) luego E = Emcos(kx wt) (3.5)

Bmcosk(x ct) luego B = Bmcos(kx wt) (3.6)donde k es el numero de onda angular, w la frecuencia angular, Em y Bm representan los valores

maximos de los campos. Teniendo en cuenta que:

k =2pi

w = 2pif

w

k=

2pif2pi

f

= f = c

Derivando la ecuacion(3.5) con respecto a x y la ecuacion (3.6) con respecto al tiempo t, obtenemos:

E

x= kEmsen(kx wt) B

t= wBmsen(kx wt)

Reemplazando la ecuacion(3.1), obtenemos:

E

x= B

t


Por tanto:

kEm = wBm

Luego:Em

Bm=w

k= c

De manera mas general:Emcos(kx wt)Bmcos(kx wt) =

E

B= c (3.7)

La ecuacion(3.7) tambien se puede escribir de las formas:

E = CB (3.8)

B = ooE (3.9)

Por lo tanto en cualquier instante, la relacion del campo electrico al campo magnetico de una onda

electromagnetica es igual a la velocidad de la luz.

Una onda electromagnetica es una onda transversal porque ambos campos, electrico y magnetico, son

perpendiculares a la direccion de desplazamiento de la onda.

Ejemplo 3.1

La figura muestra una onda electromagnetica plana senoidal que se propaga en la direccion de x, la

longitud de onda es de 50 metros y el campo electrico vibra en el plano xy con una amplitud de 22v

m. Calcule:

a. La frecuencia senoidal.b. La magnitud y direccion de ~B cuando el campo electrico tiene su valor maximo en la direccionnegativa de y.

c. Escriba una expresion para B en la forma Bmcos(kx wt) con los valores numericos de Bm,k yw.

z

y

x


Solucion:Se tiene que = 50m y Em = 22

v

m

a. f =c

=

3 108m/s50m

= 6 106s1 = 6MHz

b.Em

Bm= c; Bm =

Em

c=

22v/m

3 108m/s = 7, 33 108 vsm2

la direccion, tomado los valores unitarios, tenemos:

Eunit = 0i j + 0k

1unitario = 1i+ 0j + 0k

~E =

k

1 0 0

0 1 0

= kEl campo magnetico va en direccion de Z negativo.

c. Se tiene quew

v= k =

2pi

k =2pi

50

(3 10

8m

s

)= 2pi(6 106Hz)

B = Bmcos(kx wt)

B = 7, 33 108cos(

2pi

50x 2pi(6 106)t

)Ejemplo 3.2Una onda electromagnetica en el vaco tiene una amplitud de campo electrico de 220

v

m. Calcule la

amplitud correspondiente del campo magnetico.

Solucion:Se tiene que

Em

Bm= c

Em

c= Bm =

220

3 108 = 773.3nT

Ejemplo 3.3La amplitud del campo magnetico de una onda electromagnetica es 5, 4 107, calcule la amplituddel campo electrico si la onda se propaga en:

a. El vaco.b. Un medio donde la rapidez es 0,8cSolucion:


a. Se tiene que

Em

Bm= c

Em = cBm = (3 108)(5, 4 107)Em = 162

v

m

b.

Em = 0, 8cBm = 0, 8(3 108)(5, 4 107) = 129, 6 vm

Ejemplo 3.4Verifique que el siguiente par de ecuaciones satisfacen las ecuaciones (3.1) y (3.2):

E = Emsen(kx wt); B = Bmsen(kx wt)Solucion:

E

x= kEmcos(kx wt); B

x= kBmcos(kx wt)

E

t= wEmcos(kx wt); B

t= wBmcos(kx wt)

Sabemos que:

c =w

k

w = ck

AdemasEm

Bm= c

c =1oo

E

t= ckEmcos(kx wt); B

t= ckBmcos(kx wt)

E

t= kc2Bmcos(kx wt); B

t= kEmcos(kx wt)

Entonces, se puede comprobar que:

E

x= B

t

B

x= oo

E

t


Ejemplo 3.5Determine que c tiene dimensiones de longitud por unidad de tiempo.

Solucion:

[c] =1

WbA1m1N1m2c2=

1NA1m1m2A1N1m1c2

=1

A2m2c2

[c] =1(c

s

)2m2c2

=1s2

m2

=m

s

Ejemplo 3.6

Utilice la relacion ~B = o ~H para demostrar queE

H=

o

varepsilono, calcule el valor numerico de

esta relacion y demuestre que tiene unidades SI en Ohms (E

Hse llama impedancia del espacio libre).

H: Vector de intensidad de campo magnetico.

Solucion:Se tiene que:

E

B= c por lo tanto

E

oH=

1oo

E

H=

ooo

=1oo

o

=1

o2o o

=1oo

=oo

E

H=oo

=

4pi 107TmA1

8, 857 1012N1m2C2 = 377NA1m1A1m1m2

N1m2c2

E

H= 377

N2A2m2c2 = 377

N2s2m2

c4= 377

Nsm

c2

E

H= 377

Js

c2= 377

J

Ac= 377

Nm

Ac= 377

J

cA

= 377V

A= 377

E

H= 377

Ejemplo 3.7La amplitud del campo magnetico de una onda electromagnetica es 2107T . Hallar la amplitud delcampo electrico, si la onda viaja en el vaco y en un medio en el cual la velocidad de onda es 0,75c.


Em

Bm= c por lo tanto Em = cBm


Em =(

3 108ms

)(2 107T ) = 60m

sNA1m1 = 60

N

c

Em = 60V

m

Em =(

3 108ms

)((0, 75)2 107T ) = 45N

c

Ejemplo 3.8En unidades del SI, el campo electrico es una onda electromagnetica que esta descrita por:

Ey = 100sen(1 107(x wt))

Encuentre:

a) Amplitud de la onda electromagnetica correspondienteb) Longitud de ondac) FrecuenciaSolucion:a) B =

E

c=

100

3 108 = 3.33 107T

b)Se tiene que:

k =2pi

=

2pi

k, entonces =

2pi

1 107 = 2pi 107m

Por lo tanto:

= 6.28 107mc) c = f, f =

c

entonces,

f =3 108

6.28 107por lo tanto,

f = 4.77 1014HzEjemplo 3.9Comprobar que E =

Aoo

exct y B = Aexct, son soluciones de:

E

x=Bt

yBx

= ooEt


E

x=

x

Aoo

exct


E

x=

Aoo

exct (3.10)

B

t=

tAexct

B

t= ACexct

B

t=Aexctoo

(3.11)

Igualando(3.10) y (3.11) se tiene :E

x=Bt

Ademas,B

x=

xAexct

B

x= Aexct (3.12)

E

t=

t

Aoo

exct

E

t=ACoo

exct

E

t=Aoo

exct (3.13)

Al igualar(3.12) y (3.13) se obtiene:

Bx

= ooEt

3.3 Energa electrica

Los capacitores o condensadores son dispositivos electricos que poseen la propiedad de almacenar

carga y energa electrica en el campo electrico que se genera entre sus placas.

La energa electrica U almacenada esta dada por la ecuacion:

U =1

2CV 2 (3.14)

donde C es la capacitancia y V el potencial electrico.

C = oA

d

donde A es el area y d la separacion entre las placas.

V = Ed

3.4. ENERGIA MAGNETICA 109

donde E es el campo electrico.

Al reemplazar V y C en la ecuacion (3.14) obtenemos:

U =1

2oA

d(Ed)2

Simplificando se tiene que:

U =1

2o(Ad)E

2

donde Ad es el volumen ocupado por el campo electrico

U

Ad=

1

2oE

2

A la relacion (U/Ad), energa por unidad de volumen se denomina densidad de energa electrica:

E =1

2oE

2 (3.15)

3.4 Energa magnetica

Las bobinas, electroimanes o solenoide son dispositivos que producen campos magneticos capaces de

almacenar energa magnetica en el campo que se produce cuando circula una corriente electrica.

ii

B

Figure 3.4: Campo electrico de un solenoide o inductor

La energa magnetica U esta dada por la ecuacion:

U =1

2Li2 (3.16)

donde i es la corriente electrica y L es la inductancia, y se tiene que:

L = on2V

donde n es numero de espiras y V es el volumen, ademas el campo electrico B de una bobina es:

B = oni


Reemplazando L y B en la ecuacion(3.16), obtenemos:

U =1

2on

2V

(B

on

)2Simplificando y dividiendo por volumen, obtenemos que:

U

V=

1

2

B2

o

A la relacion U/V se denomina densidad de energa magnetica:

B =1

2

B2

o(3.17)

3.5 Energa en las ondas electromagneticas

Las aplicaciones practicas de las ondas electromagneticas, como los hornos microondas, los trans-

misores de radio, los rayos X y laser para ciruga ocular, utilizan energa electromagnetica.

La variacion de flujo de energa de una onda electromagnetica se describe por un vector ~S, denomi-

nado Vector de Poynting, que se define por la expresion:

~S =1

o~E ~B (3.18)

donde la magnitud del vector de Poynting |~S| representa la razon con la cual la energa fluye a travesde la unidad de superficie y unidad de tiempo de un area perpendicular al flujo. La direccion del

vector ~S esta en la direccion de propagacion de la onda.

Las unidades con que se mide el vector de Poynting son:

[S] =

[1

oEB

]=

N

CT

Tm

A

=NA

Cm=

NC

sCm=

N

sm=Nm

m2s=

J

m2s=Watt

m2

Para una onda electromagnetica plana, el vector Poynting se trasnforma en:

|~S| = 1o| ~E ~B|

3.5. ENERGIA EN LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS 111

B

E

x

y

z

S

Figure 3.5: Direccion del vector Poynting

Dado que ~E y ~B son vectores perpendiculares como se observa en la Figura(3.5) se tiene que:

|~S| = 1o| ~E|| ~B|sen90o

|~S| = EBo

(3.19)

De la ecuacion (3.19), c =E

Bse tienen las expresiones siguientes:

B =E

c(3.20)

E = Bc (3.21)

Sustituyendo las ecuaciones (3.20) y (3.21) en (3.19) se tienen las expresiones (3.22) en terminos del

campo electrico y la ecuacion (3.23) en terminos del campo magnetico.

S =E2

co(3.22)

S =cB2

o(3.23)

De las ecuaciones (3.15) y (3.17) se observa que la densidad de energa electrica y la densidad de

energa magnetica varan con el tiempo puesto que tanto el campo magnetico (B) como el campo

electrico (E) varan con respecto al tiempo, sustituyendo la ecuacion (3.20) en (3.17) se tiene que:

m =

(E

c

)22o

=oo2o

E2 =1

2oE

2

A partir de lo anterior se obtuvo que:

B = E =1

2oE

2 =1

2

B2

o


Por lo tanto, para una onda electromagnetica plana la densidad de energa electrica es igual a la den-

sidad de energAa magnetica. Esto indica que en un volumen dado la energa se comparte igualmente

por los dos campos.

Valor medio de una funcionEl valor medio o promedio de una funcion f(x) se define como:

VM =

baf(x)dx

b a (3.24)

Ejemplo 3.10Demostrar que el valor promedio del vector de Poyting es:

S =cB2m2o

Solucion:Partiendo de la ecuacion(3.23) se tiene:

S =cB2

o

Pero se tiene que B = Bmcos(kx+ wt), entonces

S =c

o(Bm)

2cos2(kx+ wt)

Usando la ecuacion(3.24) del valor medio de una funcion:

S =

pi0

c

o(Bm)

2cos2(kx+ wt)dt

pi=cB2mo

pi0cos2(kx+ wt)dt

pi

S =cB2mpio

pi0

1 + cos2(kx wt)2

dt =cB2m2pio

[ pi0

dt+

pi0

cos2(kx wt)dt]

S =cB2mpio

[pi +

pi0

cos2(kx wt)dt]

Sea u = kx+ wt entonces du = wdt, dt =du

w. Ademas se sabe que k =

2pi

y k = , por tanto:

u = k+2pi

TT =

2pi

+

2pi

TT = 4pi

Luego,

S =cB2mpio

[pi +

1

2wsen4pi

]=cB2m2o

Por lo tanto:

S =cB2m2o

3.5. ENERGIA EN LAS ONDAS ELECTROMAGNETICAS 113

Ejemplo 3.11Considere la posibilidad de las ondas magneticas y electricas estacionarias:

Ey = 2Emsen(wt)sen(kx)

Bz = 2Bmcos(wt)cos(kx)a) Hallar el vector de Poynting instantaneo.b) Muestre que el flujo de potencia en un tiempo promedio que atraviesa cualquier area es cero.Solucion:a) Se tiene que para el vector de Poynting,

~S =1

o~E ~B

~S =1

o[2Emsen(wt)sen(kx)] j [2Bmcos(wt)cos(kx)] k

~S =1

oEmBm(2sen(wt)cos(wt))(2sen(kx)cos(kx))i

Utilizando la identidad sen2A = 2senAcosA, podemos escribirlo de la siguiente manera:

~Sx =1

oEmBmsen(2wt)sen(2kx)

b) La potencia por unidad de tiempo es la intensidad I de la onda y se calcula con el valor medio delvector de Poynting. Pero el valor medio de una funcion seno con respecto a cualquier numero entero

de ciclos es igual a cero. Por lo tanto, el tiempo medio o valor medio del vector ~S en cualquier punto

es igual a cero:~S = I = 0

Ejemplo 3.12Demostrar que el valor promedio del vector de Poynting es igual al producto de la velocidad y el valor

promedio de la energa, es decir:

S = cu

Solucion:El valor promedio de la energa esta dado por:

u =1

2oE

2m

Y el valor promedio del vector de Poynting como se determino en ejemplo 3.10 esta dado por:

S =cB2m2o

=E2m2co


Sustituyendo

S =u

coo=uoo

oo=

uoo

Por lo tanto,

S = cu

Ejemplo 3.13En cierto lugar de la tierra, el valor rms del campo magnetico ~B provocado por la radiacion solar es

1.8T . Calcular:

a) El valor promedio del campo electrico debido a la radiaccion solarb) La densidad de energa total promedio de la componente solar de la radiacion electromagnetica enesta localidad

c) La magnitud del vector de Poynting promedio para la radiacion solar.Solucion:a) Teniendo la relacion c =

E

B

E = cB = (3 108m/s)(1.8 106T )

Epro = 540V/m

b) La densidad de energa total es:

upro =B2

o=

(1.8 106)24pi 107 = 2.58 10

6J/m3

c)Spro = cupro = (3 108m/s)(2.58 106J/m3) = 774W/m2

3.5.1 Densidad de energa total

u = um + ue = oE2 =

B2

o(3.25)

Al promediar en uno o mas ciclos de una onda electromagnetica se obtiene:

umed = oE2med =

1

2oE

2m =

B2m2o

Comparando este resultado con la ecuacion XXX para el valor promedio de S, vemos que

I = Smed = cumed (3.26)

En otras palabras, la intensidad de una onda electromagnetica es igual a la densidad promedio de

energa media multiplicada por la velocidad de la luz. Ejemplo 3.13

3.6. EL ESPECTRO ELECTROMAGNETICO 115

Mostrar que S =uoo

= cu

Solucion:Empleando la ecuacion u =

1

2oE

2m, se tiene que

S =E2m2co

=u

oco=uoo

oo= u(o)

1/2(o)1/2

por lo tanto,

S =uoo

= cu

Ejemplo 3.14Comprobar las unidades de ~S.

Solucion:

[~S] =1

oEB =

1

wbA1m1 NcNA1m1 = N

2

wbc

Como = BA, entonces wb = NA1m1m2 = NA1m. Por lo tanto,

[~S] =N2

NA1mc=NA

mc=

Nc

Smc=

N

Sm mm

=J

Sm2=

w

m2

En consecuencia,

[~S] =Watt

m2

3.6 El espectro electromagnetico

Las ondas electromagneticas cubren un espectro extremadamente amplio de longitudes de onda y

frecuencia. Este espectro electromagnetico incluye las ondas de radio y television, la luz visible,

la radiacion infrarroja y ultravioleta, los rayos X y los rayos gamma. En la Figura(3.6) se indica

los intervalos de longitud de onda y frecuencia aproximados. Todas las ondas electromagneticas

se propagan con la misma rapidez (en el vaco) c = 299792458m/s. Las ondas electromagneticas

difieren en frecuencia f y longitud de onda , pero la relacion c = f se cumple para cada una.


Rojo Naranja Amarillo Azul Violeta

400nm700nm 650 600 550

Luz Visible

Microondas

108

1010101010 10 10 10 100 1 10 1010 10-8-7-4-2-1 -10 -11 -12 -13-3 -9-5 -6

10 10 10 10 1010 10 10 10 10 101010109 10 11 12 1413 15 19 20 21 22181716

Infrarrojo

Ultravioleta

Rayos

Longitud de Onda en m

Frecuencia en Hz

Rayos Gamma

500 450

Verde

Ondas largas de

radio

Bandos de radio

Infrarrojos

Visible

Ultravioleta

Fotones csmicos y

Rayos Gamma

(nm)f(Hz)

Rayos X

Ondas de radio

l

Figure 3.6: Espectro electromagnetico.Las fronteras entre las bandas son un tanto arbitrarias

En la Figura(3.6) se muestra el espectro electromagnetico, en la cual se observa que al aumentar

la longitud de onda , la frecuencia f disminuye tal que la relacion c = f siempre se mantiene

constante.

Los seres humanos solo podemos detectar directamente una parte muy pequena del espectro con

nuestro sentido de la vista y a ese intervalo lo denominamos espectro de la luz visible. Su intervalo

de longitud de onda va de 400 a 700nm, con frecuencias correspondientes de 7.5 a 4.3 1014Hzaproximadamente.

En la tabla(??) se consignan los valores de longitudes de onda y frecuencia del espectro.

3.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y PRESION DE RADIACION 117

Longitud de onda (nm) Frecuencia (Hz) Color400 a 440 7.32 1014 Violeta440 a 480 6.38 1014 Azul480 a 560 5.56 1014 Verde560 a 590 5.17 1014 Amarillo590 a 630 4.92 1014 Naranja630 a 700 4.54 1014 Rojo

Table 3.1: Longitudes de onda y frecuencias del espectro visible

Las formas invisibles de la radiacion electromagnetica no son menos importantes que la luz visible.

Por ejemplo, nuestro sistema de comunicaciones globales depende de las ondas de radio: la radio AM

utiliza ondas con frecuencias de 5.4 105Hz a 1.66Hz.

Mientras que las emisiones de radio en FM tiene lugar en las frecuencias comprendidas entre 8.87Hz

a 1.088Hz. Las ondas de television usan frecuencias que incluyen la banda FM. Las microondas,

por ejemplo en los telefonos celulares, redes inalambricas y en los radares meteorologicos, con fre-

cuencias cercanas a 39Hz. La radiacion ultravioleta tiene longitudes de onda mas corta que la luz

visible, lo cual le permite enfocarse dentro de haces muy estrechos para aplicaciones de alta precision

como la ciruga ocular. Los rayos x son capaces de pasar a traves del tejido muscular lo que los hace

importantes en odontologa y medicina. Los rayos gamma, se producen en materiales radiactivos y se

utilizan en medicina para combatir celulas cancergenas.

3.7 Cantidad de movimiento y presion de radiacion

Las ondas electromagneticas transportan energa y momento. De ello se deduce que, conforme ese

momento es absorbido por alguna superficie, se ejerce presion sobre esta.

rea

Figure 3.7: Onda incidente sobre una superficie absorbente


Si toda la energa U es absorbida por la superficie, la cantidad de movimiento total p cedido esta dado

por:

p =U

c(3.27)

Si la superficie es un reflector perfecto, por ejemplo un espejo, entonces la cantidad de movimiento

trasnferida en un tiempo t para una incidencia normal es igual al doble deU

c, es decir:

p =2U

c(3.28)

Si el vector de Poynting es S, la radiacion de presion P , sobre una superficie perfectamente absorbente

es:

P =S

c(3.29)

Si la presion de radiacion que se ejerce sobre una superficie reflectora con incidencia normal, se

obtiene:

P =2S

c(3.30)

Consideremos la radiacion del cuerpo negro, donde se absorbe toda la energa incidente, nada se

refleja.

Para una superficie de reflexion completa (reflector perfecto), se tiene que el momento lineal incidente

esU

cy el reflejado U

c, por lo tanto:

P =U

c(Uc

)=

2U

c(3.31)

3.7.1 Reflexion completa

Teniendo en cuenta las componentes del momento lineal, se tiene:

Px = pcos =u

ccos

p =2u

ccos

p = 2Scos

c(3.32)

3.7. CANTIDAD DE MOVIMIENTO Y PRESION DE RADIACION 119

P

p = U/c

xq

q

Figure 3.8: Momento lineal incidente y reflejado formando un angulo con la lnea normal sobre una superficiereflectora

Se puede analizar las unidades de la radiacion de presion en el Sistema Internacional SI.

[Prad] =

J

sm2m

s

=Js

m3s=Nm

m3=

N

m2

Ejemplo 3.15El sol entrega aproximadamente 1000w/m2 de flujo electromagnetico a la superficie terrestre, calcu-

lar:

a) La potencia total que incide sobre una azotea, cuyas dimensiones son 8m 20m.b) La presion de radiacion, la fuerza y cuanta energa se disipaSolucion:a) Se conoce que el sol entrega un flujo electromagnetico es ,S = 1000. Ademas se conoce

S = Intensidad luminosa =P

A

Entonces, igualando las anteriores expresiones, se obtiene:

P = SA =(

1000w

m2

)(8m 20m) = 1.6 105w

Esta potencia seria mas que suficiente para convertirla en energa electrica y cubrir necesidades de

una casa.

b)

Prod =S

c=

1000w

m2

3 108m/s = 3.33 106 Nm2

Prod =F

A, por lo tanto F = Prod A

F =

(3.33 106 N

m2

)(160m2) = 5.33 104 N

m2


Esta es una carga mucho menor que las que tiene que sostener una azotea.

En cuanto a la energa disipada, se tiene que:

P = 1.6 105Js 3600s

h= 5.7 108J

Ejemplo 3.16 Un alambre largo, recto de resistencia R, radio y longitud l conduce una corrienteconstante I . Calcule el vector de Poynting.

a

E

S

l

i

Figure 3.9: Alambre recto para el Ejemplo 3.16

Solucion:Despejando E de la expresion V = EL, resulta que E =

V

l=iR

l

B =oi

2pi

~S =1

o~E ~B

Entonces,

S =EB

o=iR

lo

oi

2pi=I2R

A

Siendo A = 2pil, area lateral del alambre y es el area a traves del cual pasa S, as:

SA = IR2

Es decir, SA es la rapidez con la cual la energa fluye a traves del alambre. SA, es igual a la razon

con la cual la energa se disipa como calor por efecto Joule.

3.8 Campo magnetico de una lamina de corriente

Una lamina infinita esta colgada en el plano yz y transporta una cantidad de corriente superficial

Is. La corriente esta en la direccion y e Is representa la corriente por unidad de longitud medida a

lo largo del eje z.

3.9. RADIACION PROCEDENTE DE UNA LAMINA INFINITA DE CORRIENTE 121

l

w

Z

B

B

Figure 3.10: Campo magnetico en una lamina de corriente

Para hallar el campo magnetico en las proximidades de la lamina de la Figura(3.10) se tiene que:

Ineta = Is(L)

Donde L es la longitud del rectangulo e Is la corriente por unidad de longitud.

Luego: B dl =

Bdl +

Bdw =

Bdl = oI

Por lo tanto,

2BL = oJsL

B = oJsL

2(3.33)

Donde Js es la corriente superficial por unidad de longitud en direccion y.

El campo magnetico es independiente desde la lamina de corriente. El ~B es uniforme y en cualquier

parte es paralelo al plano de la lamina.

3.9 Radiacion procedente de una lamina infinita de corriente

Supongase una lamina metalica conductora que se encuentra en el plano yz y que transporta una

corriente superficial por unidad de longitud en la direccion y, ver Figura(3.11).Suponemos que esta

corriente varia periodicamente con el tiempo segun:

Js = Jocos(wt) (3.34)


x

y

z

Figure 3.11: Lamina de corriente en el plano yz

El campo magnetico de una lamina que transporta una corriente es, en cualquier parte, paralelo a la

lamina y en la direccion z y tiene una magnitud:

Bz =oJs

2(3.35)

Donde Js vara con el tiempo y Bz solo es valida para distancias cercanas a la lamina, por tanto:

Bz = o2Jocos(wt) (3.36)

Donde la ecuacion(3.36) es valida solo para valores pequenos de la distancia x.

Para valores arbitrarios de x, la solucion sera:

Bz = o2Jocos(kx wt) (3.37)

Donde k es el numero de onda igual a2pi

, w es la frecuencia angular y C la rapidez de la onda

magnetica.

El campo electrico radiado por esta lamina que acompana al campo magnetico es:

Ey = CBz = oC2Jocos(kx wt) (3.38)

Por lo anterior se observa que tanto el campo magnetico y electrico constituyen una onda electro-

magnetica plana que se propaga en la direccion x y con rapidez C.

3.9. RADIACION PROCEDENTE DE UNA LAMINA INFINITA DE CORRIENTE 123

y

B

E

C

J

x

z

s

Figure 3.12: Representacion de una onda electromagnetica plana radiada por una lamina de corriente en elplano yz

El vector de Poynting para esta onda es:

S =EB

o=oJ

2oC

4cos2(kx wt) (3.39)

Y la intensidad de la onda sera entonces el valor promedio del vector de Poynting.

Smed =oJ

2oC

8(3.40)

Ejemplo 3.17Una lamina de corriente infinita esta en el plano yz y lleva una densidad de corriente senoidal que

tiene un valor maximo de 5 A/m. Hallar el valor maximo de ~E y ~B.

Solucion:Teniendo en cuenta que:

Bm =Joo

2y Em =

CJoo2

Entonces:

Bm =(4pi 107)(5)

2= 3.14 106Wb/m2

Em =(4pi 107)(5)(3 108)

2= 942V/m

Ejemplo 3.18A Cual es la potencia media incidente sobre una segunda superficie plana paralela a la lamina y

que tiene un area de 3m2?


Solucion:Se tiene que I = S, luego

P = SmedA =oJ

2oC

8A

P =(4pi 107)(5)(3 108)

8= 3.54 103W

Ejemplo 3.19Cual es la magnitud del vector Poynting a una distancia de 5 millas de un transmisor de radio, que

tiene como potencia promedio 250 KW .

Solucion:Como I = S se tiene:

S =P

4pir2= 3.07 104W/m

3.10 Ondas electromagneticas en la materia

En un dielectrico, la rapidez de la onda no es la misma que en el vaco, y se denota por v en vez de

C.Para este caso, se debe sustituir

= ko (3.41)

Donde k es la constante dielectrica y es la permisividad del dielectrico. As mismo, se debe sustituir

por:

= Kmo (3.42)

Donde Km es la permeabilidad del dielectrico y la permeabilidad del mismo, por tanto las ecua-

ciones (3.7) deben sustituirse por:

E = vB (3.43)

B = vE (3.44)

Por lo tanto, la rapidez de las ondas electromagneticas es un dielectrico es:

v =1

=1Km

x1oo

v =CKm

(3.45)

Para la mayora de los dielectricos, la permeabilidad dielectrica Km se aproxima a la unidad, por lo

tanto,

v =C

(3.46)

Como siempre es mayor que la unidad, la rapidez v de las ondas electromagneticas en un dielectrico,

siempre es menor que la rapidez C en el vaco en un factor de1

.

3.10. ONDAS ELECTROMAGNETICAS EN LA MATERIA 125

Por otra parte, segun la optica geometrica, el cociente entre la rapidez C en el vaco y la rapidez v en

un material se conoce como ndice de refraccion absoluto de material, y se denota n.

Ejemplo 3.20La rapidez de una onda electromagnetica que viaja en una sustancia transparente no magnetica es:

v =1oo

Donde es la constante dielectrica de la sustancia. Determinar la rapidez de la luz en el agua, la cual

tiene una constante dielectrica de 1.78.


v =1oo

=C1.78

v = 2.25 108ms

Ejemplo 3.21Considere una onda electromagnetica que viaja en un medio que tiene permisividad = o y per-

meabilidad = o. Demostrar que el ndice de refraccion del material es n =. Donde es la

constante dielectrica del material.

Solucion:Se conoce que:

n =C

v

Reemplazando C =1oo

y v =1

ooSe tiene:

n =

1oo1oo

=

oooo

Finalmente, se tiene que:

n =

capítulo 3 libro física

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