ley de los senos clase 89 c 2 = a 2 + b 2 abc a b c sen a sen b sen c a bcab c ? ==
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Ley de los Ley de los senossenos
Clase 89
cc22 = a = a22 + + bb22
AA
BB
CC
aa
bb
cc
sen sen
aa
sen sen bb
sen sen cc
AA BB
CC
aabb
cc
??== ==
Un barco B pide socorro, Un barco B pide socorro, recibiéndose las señales en recibiéndose las señales en dos estaciones de radio A y dos estaciones de radio A y
C, que distan entre sí 50 km. C, que distan entre sí 50 km. Desde cada estación se Desde cada estación se
miden los ángulos BAC y BCA miden los ángulos BAC y BCA que miden 46que miden 46o o y 53y 53oo
respectivamente,¿a qué respectivamente,¿a qué distancia de cada estación se distancia de cada estación se
encuentra el barco?encuentra el barco?
A CA CA CA C
BBBB
b = 50km
aaaasen sen sen sen
bbbbsen sen sen sen ====
aaaasen46sen46oo sen46sen46oo
50505050sen53sen53oo sen53sen53oo
====
a = 50 sen 46o
sen 53o
a = 50 0,719 0,799
a = 44,9 45km.TABLA
= 46o , = 53o , b = 50km a = BC = ? c = AB = ?
Hallando BC
El barco se encuentra a 45km de la estación C.El barco se encuentra a 45km de la estación C.
Premisa:Premisa:Premisa:Premisa: ABC cualquieraABC cualquieraABC cualquieraABC cualquiera
En todo triángulo, el cociente de la En todo triángulo, el cociente de la longitud de un lado y el seno del longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado, es ángulo opuesto a ese lado, es constante e igual al duplo del radio constante e igual al duplo del radio de la circunferencia circunscrita.de la circunferencia circunscrita.
En todo triángulo, el cociente de la En todo triángulo, el cociente de la longitud de un lado y el seno del longitud de un lado y el seno del ángulo opuesto a ese lado, es ángulo opuesto a ese lado, es constante e igual al duplo del radio constante e igual al duplo del radio de la circunferencia circunscrita.de la circunferencia circunscrita.
aaaasen sen sen sen
bbbbsen sen sen sen ==== cccc
sen sen sen sen ==== = 2R= 2R= 2R= 2RTesis:Tesis:Tesis:Tesis:
R: radio de la circunferencia circunscritaR: radio de la circunferencia circunscritaR: radio de la circunferencia circunscritaR: radio de la circunferencia circunscrita
Ejemplo:De un ABC se conoce que: = 30o , a = 3 y b = 4. Calcula el ángulo .
A BA BA BA B
CCCC a = 3u
a = 3u
b =
4b
= 4
b =
4b
= 4
3030oo3030oo
Aplicando la Ley de los senos
aaaasen sen sen sen
bbbbsen sen sen sen ====
sen sen = = sen sen = = b · sen b · sen b · sen b · sen aaaa
sen sen = = sen sen = = b · sen b · sen b · sen b · sen aaaa
sen sen = = sen sen = = 4 sen 304 sen 30oo4 sen 304 sen 30oo
3333sen sen = 4(0,5) = 4(0,5) 33
sen sen = = 0,6667
11 = 41,8 = 41,8oo ó ó 22 = 180o – 41,8o
2 = 138,2o
1 = 41,8o
EjercicioEjercicioEjercicioEjercicio
Dados Dados = 45 = 4500, a = 35u y b = 22u , a = 35u y b = 22u en un en un ABC. Calcula el ángulo ABC. Calcula el ángulo ..Dados Dados = 45 = 4500, a = 35u y b = 22u , a = 35u y b = 22u en un en un ABC. Calcula el ángulo ABC. Calcula el ángulo ..
A BA BA BA B
CCCC
a = 35u
a = 35u
a = 35u
a = 35u
b =
22u
b =
22u
b =
22u
b =
22u
por la ley de los senosaaaa
sen sen sen sen bbbb
sen sen sen sen ====
sen sen = = sen sen = = b · sen b · sen b · sen b · sen aaaa
A BA BA BA B
CCCC
a = 35u
a = 35u
a = 35u
a = 35u
b =
22u
b =
22u
b =
22u
b =
22u
sen = b · sen
a22 · sen 450
35=
22 · 0,70735
= 0,4444
= 26,40 ó = 1800 – 26,40
= 153,60
IMPOSIBLEIMPOSIBLE
A BA BA BA B
CCCC
a = 35u
a = 35u
a = 35u
a = 35u
b =
22u
b =
22u
b =
22u
b =
22u
por suma de ángulos interiores de un triángulo, tenemos:
+ + = 1800
450 + 26,40 + = 1800
71,40 + = 1800
= 108,60
11.¿Cuál es el radio de la .¿Cuál es el radio de la circunferencia circunscrita circunferencia circunscrita a un triángulo isósceles a un triángulo isósceles cuya base mide 12,5cm y cuya base mide 12,5cm y su ángulo principal es de su ángulo principal es de 12012000??
Para el estudio individual
22. Comprueba que no puede . Comprueba que no puede existir un triángulo con los existir un triángulo con los datos datos = 30 = 3000, a = 3cm y b = , a = 3cm y b = 8cm8cm
Resp: R ≈ 7,21 Resp: R ≈ 7,21 cmcm