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MAGNITUDES ESCALARES

Y VECTORIALES

CAPITULO II

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1. VECTORES Y ESCALARES

2. ELEMENTOS DE UN VECTOR, CONCEPTO DE DIRECCION Y SENTIDO

3. ALGEBRA DE VECTORES

4. METODOS GRAFICOS Y ANALITICOS

5. COMPOSICION Y DESCOMPOSICION DE VECTORES

6. VECTORES UNITARIOS

7. VECTORES EN TRES DIMENSIONES

8. EL PRODUCTO ESCALAR (PUNTO)

9. EL PRODUCTO VECTORIAL (CRUZ)

10. PRODUCTO MIXTO

11. REPRESENTACION VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE

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CONTENIDO

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OBJETIVOS

Muchas magnitudes físicas quedan completamentedefinidas por un número y una unidad, estasmagnitudes se llaman escalares. Ej. el volumen, latemperatura, el tiempo, la masa, etc.

Magnitud Escalar

Volumen = 10 m3

Número

Unidad

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Una magnitud vectorial, además de unnúmero y una unidad, requieren de unadirección y sentido; como ocurre con lavelocidad, desplazamiento o la fuerza.

V = 80 km /hr,

horizontal,

de izquierda a derecha

Magnitud

Dirección

Sentido

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vLongitud = Módulo

θ Dirección

SentidoPunto de aplicación

X

y

0

P

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2.2. ELEMENTOS DE UN VECTOR

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A) Vectores colineales.- Son aquellos vectores queestán contenidos en una misma línea de acción.

A B C

A, B y C son vectores colíndales

O x

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TIPOS DE VECTORES

B) Vectores concurrentes.- Son aquellos vectorescuyas líneas de acción, se cortan en un solo punto.

AB

CO

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TIPOS DE VECTORES

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C) Vectores coplanares.- Son aquellos vectores quese encuentran en el mismo plano.

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TIPOS DE VECTORES

D) Vectores iguales.- Son aquellos vectores quetienen la misma intensidad, dirección y sentido.

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TIPOS DE VECTORES

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E) Vector opuesto.- Se llama vector opuesto (-A) deun vector A cuando tienen el mismo módulo, la mismadirección, pero sentido contrario.

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TIPOS DE VECTORES

La suma de vectores goza de las siguientes propiedades:a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = 0 + a = a

a + a' = a' + a = 0a' = -a

CONMUTATIVA

ASOCIATIVA

ELEMENTO NEUTRO Ó VECTOR CERO

ELEMENTO SIMÉTRICO U OPUESTO A'

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2.3. ALGEBRA DE VECTORES

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Se puede sumar vectores en forma gráfica o analítica.

Para la primera opción los métodos son geométricos,debiendo realizarse una construcción a escala. Losresultados obtenidos por este método no tienen un elevadogrado de precisión, por lo que mejor resulta utilizar elmétodo analítico.

La suma de vectores da como resultado otro vector.

El vector resultante produce el mismo efecto que todosjuntos. Hay que tener en cuenta que la suma vectorial noes lo mismo que la suma aritmética.

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2.4. METODOS GRAFICOS Y ANALITICOS

Para dos vectoresconcurrentes y coplanares,se unen los dos vectoresuno a continuación del otropara formar un triángulo, elvector resultante seencontrará en la línea queforma el triángulo y su puntode aplicación coincidirá conel origen del primer vector.

A

B

R = A + B

A

B

R

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pentágono

A) METODOS GRAFICOS

1. Método del Triángulo

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Para dos vectores coplanares y concurrentes, para hallar laresultante se une a los vectores por el origen(deslizándolos) para luego formar un paralelogramo, elvector resultante se encuentra en la diagonal, y su punto deaplicación coincide con el origen de los dos vectores.

A

Bθ θαβ

A

B

R

R = A + B15

2. Método del Paralelogramo

Para dos o más vectores concurrentes y coplanares. Seunen los vectores uno a continuación del otro para luegoformar un polígono, el vector resultante se encontrará enla línea que forma el polígono y su punto de aplicacióncoincidirá con el origen del primer vector.

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3. METODO DEL POLIGONO

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B

A

En el caso de que el origen del primer vectorcoincida con el extremo del último, el vectorresultante es nulo; y al sistema se le llama “polígonocerrado”.

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4.- VECTOR NULO

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B) METODOS ANALITICOS

Método del teorema del paralelogramo

���

θ

��

��

���

���

θcos2222 ⋅⋅⋅++= BABAR

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Método del teorema de los cosenos

αcos2222 ⋅⋅⋅−+= BABAR

���

θ

��

���

α

β

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Método del teorema de los senos

θβα senA

senB

senR ==

���

θ

��

���

α

β

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21

Método del teorema de Lamy

θβα senA

senB

senC ==

��

θ ��

��� α β

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Método del teorema de Pitágoras

Rx

θ

Ry R

( ) ( )22 AyAxR +=

( )AxAyTg =θ

Para calcular la resultante se aplica la formula:

Para calcular la dirección o ángulo queforma el vector con la horizontal :

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Un vector que se encuentre en el plano xy puederepresentarse como la suma de un vector paralelo al eje xy otro paralelo al eje y. Estos dos vectores quedesignaremos en la figura como Vx y Vy, se llamancomponentes vectoriales rectangulares del vector V.

y

xθ

V = Vx + Vy

Vy

Vx

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5. DESCOMPOSICION DE VECTORES

24

DESCOMPOSICION DE VECTORES

A

β

θ

C

α

B

T

Paso N° 1 Paso N° 2

A

β θ

C

α

B

T

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DESCOMPOSICION DE VECTORES

Paso N° 3

A

β θ

C

α

B

T

By

Bx Cx

Cy

Ax

Ay

Las componentes son:

Vx = V cos θ

Vy = V sen θ

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DESCOMPOSICION DE VECTORES

Paso N° 4

T

By

Bx Cx

Cy

Ax

Ay

TsenCsenAsenBRyRxTCyAyBy

RyVy

ABCRxRxAxBxCx

RxVx

−⋅−⋅+⋅==−−+

=

⋅−⋅+⋅==−+

=

∑

∑

θβα

βαθ coscoscos

Paso N° 5

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6. COMPOSICION DE VECTORES

Paso N° 6

φ

R Ry

Rx

Paso N° 7

( ) ( )22 RyRxR +=

( )RxRyTg =ϕ

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7. VECTORES EN EL ESPACIO

Para graficar un vector en el espacio se sigue los siguientes pasos:

Primero: Ubicar las componentes X y Y en un plano cartesiano

Segundo: En el punto donde se intersecan ambas componentes se traza una paralela al eje Z

Tercero: Encima del nuevo eje se dibuja la componente del vector en el eje Z si es positivo hacia adelante y si es negativo hacia atrás.

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Ax= 4

Ay= 3

Az= 3

x

y

z

VECTORES EN EL ESPACIO

Ubicar el vector en el espacio, A=(4,3,3)

La magnitud de un vector unitario (versor) es igual a uno,y no tiene unidades. Su único propósito es indicar unadirección y sentido en el espacio de un determinadovector. En un sistema de coordenadas xy, utilizaremos elvector unitario i en la dirección positiva del eje x, y elvector unitario j en la dirección positiva del eje y.

iAA xx =

jAA yy =

y

xi

j α

A

Ax

Ay

A = Ax i + Ay j

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VECTORES UNITARIOS

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z

yj

k

Si los vectores se representan en elespacio, es necesario utilizar un tercervector unitario k en la dirección del eje z.

ikAjAiAA zyx ++=

x

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TRIADA ORTOGONAL DE VECTORES UNITARIOS

Si el vector serepresenta enel espacio,este tiene trescomponentesrectangulares:Vx, Vy, Vz,como semuestra en lasiguientefigura:

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VECTORES EN EL ESPACIO

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COSENOS DIRECTORES

( ) ( ) ( ) 1coscoscos

cos

cos

cos

222 =++

=

=

=

θβα

θ

β

α

AAzA

AyAAx

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2.8. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES

���

θ ��

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2.9. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES

���

θ ��

��= ������

( ) ( ) ( )kAyBxByAxjAzBxBzAxiAzByBzAyBxA

kByBxAyAx

jBzBxAzAx

iBzByAzAy

BzByBxAzAyAx

BxA

BzByBxBAzAyAxA

))rr

))rr

rr

⋅−⋅+⋅−⋅−⋅−⋅=

+−==

==

ˆ

ˆ

:Entonces ),,( ),,(

1 Metodo a)

( )θsenBABxA ⋅⋅=rrrr

2 Metodo b)

•PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL

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2.10. PRODUCTO MIXTO DE VECTORES

( )

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ]AyBxByAxCzAzBxBzAxCyAzByBzAyCx

CzCyCxBzByBxAzAyAx

CBxA

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅=∀

==∀

r

orr

����

����

����

Y

X

Z

( )( )( )kCzjCyiCxC

kBzjByiBxBkAzjAyiAxA

++=

++=

++=

r

r

r

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2.11. REPRESENTACION VECTORIAL DE UNA SUPERFICIE

θcos2 2122

21 SSSSS ++=

EJEMPLO

����

�

����

�

����

�

����

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GRACIAS

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