Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo

A A

BB

CC

aa

bb

cc

hhbb

1111A = A = A = A =

2222 = b= b·c ·c sensen= b= b·c ·c sensen

11112222

P = a + b + P = a + b + ccP = a + b + P = a + b + cc

Si Si ABC es ABC es equiláteroequiláteroSi Si ABC es ABC es equiláteroequilátero 33

44 llll2222A =A =A =A = 33 333333

hhhh2222====

P = P = 33llP = P = 33llAA

BB

CC

bb·h·hbbaa·h·haacc·h·hcc

hhaahhaahhcchhcc

Si Si ABC es rectángulo en ABC es rectángulo en CCSi Si ABC es rectángulo en ABC es rectángulo en CC 1111A = aA = a·b·bA = aA = a·b·b2222

hc

1111= = cc·h·hcc

= = cc·h·hcc

2222

Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo Área y perímetro del Área y perímetro del triángulo triángulo

P = a + b + P = a + b + ccP = a + b + P = a + b + cc

b a

cA B

C

Área y perímetro Área y perímetro de cuadriláterosde cuadriláteros

Paralelogramo generalParalelogramo generalParalelogramo generalParalelogramo general

aaaa

bbbbhhaahhaa

A A = = A A = =

aa·h·haaaa·h·haabb·h·hbbbb·h·hbb

hhbbhhbbRectángulRectángulooRectángulRectánguloo

A = aA = a·b·bA = aA = a·b·b bbbba

CuadradoCuadradoCuadradoCuadrado

aaaaA = A = aa22

A = A = aa22

P = P = 44aaP = P = 44aa

RomboRomboRomboRomboP = P = 22(a + (a + b)b)P = P = 22(a + (a + b)b)

P = P = 22(a + (a + b)b)P = P = 22(a + (a + b)b)

dd11·d·d

22

dd11·d·d

222222A =A =A =A =

aaaa

Área y perímetro Área y perímetro de cuadriláterosde cuadriláteros

TrapecioTrapecioTrapecioTrapecio

aaaa

bbbbcccc

dddd

A = A = A = A = B + B + bbB + B + bb 2222 · h· h· h· h

hh

P = a + b + c + P = a + b + c + ddP = a + b + c + P = a + b + c + dd

TrapezoidTrapezoideeTrapezoidTrapezoidee

AA11AA11

AA22AA22

A =A = A A11 ++ AA22

A =A = A A11 ++ AA22

aaaa

bbbb

cccc

dddd

EjerciciEjerciciooEjerciciEjercicioo

En la figura, para qué En la figura, para qué valor de valor de se cumple se cumple que el área sombreada que el área sombreada es la mitad del área del es la mitad del área del cuadrado ABCD, cuadrado ABCD, sabiendo que los sabiendo que los triángulos ABE y DCF triángulos ABE y DCF son iguales e isósceles son iguales e isósceles de bases BE y DF de bases BE y DF respectivamente. respectivamente.

En la figura, para qué En la figura, para qué valor de valor de se cumple se cumple que el área sombreada que el área sombreada es la mitad del área del es la mitad del área del cuadrado ABCD, cuadrado ABCD, sabiendo que los sabiendo que los triángulos ABE y DCF triángulos ABE y DCF son iguales e isósceles son iguales e isósceles de bases BE y DF de bases BE y DF respectivamente. respectivamente.

AA BB

CCDD

EE

FF

AA BB

CCDD

EE

FF

aa

ABE = CDFA =

a2

A= 12 bc sen a2 sen

AAss = = AAAAss = = AA

11112222

aa22 – – 2( a2( a22sensen))1122 = a= a2211

22

::aa2 2 aa22 – a – a22 sen sen = a= a221122

1 – sen1 – sen

= =

1122

sensen

= =

1122

= 30= 3000

Para el estudio Para el estudio individualindividualPara el estudio Para el estudio individualindividual1.1. Calcula el área Calcula el área del terreno del terreno pentagonal que pentagonal que muestra la figura.muestra la figura.

1.1. Calcula el área Calcula el área del terreno del terreno pentagonal que pentagonal que muestra la figura.muestra la figura.

5 m5 m 5 m

5 m

44 m m

RespResp: : 3737 cm cm22RespResp: : 3737 cm cm22

2.2. Resuelve la Resuelve la ecuación:ecuación:2.2. Resuelve la Resuelve la ecuación:ecuación:loglog33(senx–(senx–11) + log) + log33((22senx–senx–

11)=)=00 loglog33(senx–(senx–11) + log) + log33((22senx–senx–11)=)=00 RespResp: x = k: x = k ; ;

kkZZRespResp: x = k: x = k ; ; kkZZ

M

NRST

L

En la figura, LMRT es un rectángulo y LMNS es un paralelogramo.

S es punto medio de TR, MR = 6,0 cm

y ALMRS = 0,45 dm2 .

Halla el perímetro del rectángulo LMRT y el área del paralelogramo LMNS .

Ejercicio 1Ejercicio 1a)a)

M

NRST

L

Halla el perímetro de la figura LMNT.

b)b)

M

NRST

L

Solución del ejercicio 1Solución del ejercicio 1

Entonces, LMRS es un trapecio rectángulo.

LM II SR por estar contenidos en los lados opuestos de un rectángulo.

LM RM por ser lados consecutivos de un rectángulo.

M

NRST

L a

ALMRS =a + c

2 hh

=

b

c

ALMRS =

a2

a +

2 bb 3

2 a

12

6 6 = 45

MR = 6,0 cm 0,45 dm2 = 45 cm2

92

a = 45 2 45

a =9 9

5 2 9 = 10 =

a = 10 cm

M

NRST

L a

ALMRS =a + c

2 hhb

c

MR = 6,0 cm 0,45 dm2 = 45 cm2

a = 10 cm

PLMRT =PLMRT = 2(a + b) = 2(10 cm + 6 cm)

PLMRT =PLMRT = 32 cm

ALMNS =ALMNS = ah = 10 cm 6 cm= 60 cm2

En la figura, ABCD es un rombo

de área A = 80 cm2 y perímetro P = 40 cm .

En la figura, ABCD es un rombo

de área A = 80 cm2 y perímetro P = 40 cm .

AA

BB

CC

DD

EE

FFE y F son puntos de los lados AD y BC respectivamente, tales que, EBFD es un rectángulo.

E y F son puntos de los lados AD y BC respectivamente, tales que, EBFD es un rectángulo.

Halla el área del rectángulo EBFD.Halla el área del rectángulo EBFD.

Halla la longitud de las diagonales del rombo.Halla la longitud de las diagonales del rombo.

a)a)

b)b)

A

B

C

D

E

F

AABCD = 80 cm2

PABCD = 40 cm2

aa

bbcc AB = a; EB = b ;AB = a; EB = b ;

BF = cBF = c

aa AABCD = ah = ab = 80

PABCD = 4a = 40a =10 cm

10b = 80 Entonces: b=8 cm

aaaa

A

B

C

D

E

F

aa

bbcc

aa

aaaa

¿Cómo hallar el valor de c?

c = a – EA

a2 = b2 + EA2

(Teorema de Pitágoras en el ABE)(Teorema de Pitágoras en el ABE)

a =b=8 cm

10 cm

EA = 6 cm

Ent. c = 4 cmEnt. c = 4 cm

AABFD = bcAABFD = bc = 4 cm 8 cm= 4 cm 8 cm= 32 cm2= 32 cm2