les matemÀtiques de l’educaciÓ visual i plÀstica · 2010-10-04 · aquest tema es donen...

LES MATEMÀTIQUES DE

L’EDUCACIÓ VISUAL I PLÀSTICA

(1r d’ESO)

Núria Magrins Oller Institut Gorgs Curs 2009-2010

1

ÍNDEX

1. Introducció ............................................................................................. 3

1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material ................................ 3

1.2. Aportació de la matèria d’Ed. visual i plàstica a la competència matemàtica......................................................................................... 4

1.3. Coordinació de les programacions .................................................. 4

1.4. Estructura del dossier....................................................................... 4

2. Consideracions generals.......................................................................... 5

2.1. Aproximacions decimals................................................................... 5

2.2. Aproximació dels euros.................................................................... 6

2.3. Regla de tres.................................................................................... 6

2.4. Consideració final............................................................................. 6

3. Elements visuals de la imatge................................................................... 7

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Punts, rectes i plans Angles Triangle rectangle............................................................................. 7

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?.............................. 7

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?................................. 7

3.3.1. Punts, rectes i plans................................................................. 8

3.3.2. Angles...................................................................................... 10

3.3.3. Triangle rectangle.................................................................... 12

4. El cercle cromàtic........................................................................................ 16

4.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Circumferència i cercle Polígons regulars............................................................................... 16


4.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?............................... 16

4.3.1. Circumferència i cercle............................................................. 16

4.3.2. Polígons regulars..................................................................... 16

5. Espai i volum........................................................................................... 18

5.1 Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Concepte d’espai Cossos geomètrics Concepte de volum............................................................................ 18


2


5.3.1. Concepte d’espai..................................................................... 18

5.3.2. Cossos geomètrics................................................................... 19

5.3.3. Concepte de volum.................................................................. 21

6. Dibuix tècnic. Traçats geomètrics............................................................. 22

6.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Geometria plana: punts, rectes i plans Angles Circumferència i cercle....................................................................... 22



6.3.1. Geometria plana: punts, rectes i plans..................................... 23

6.3.2. Angles...................................................................................... 23

6.3.3. Circumferència i cercle............................................................. 24

7. Formes poligonals.................................................................................... 27

7.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen Polígons: triangles, quadrilàters i polígons regulars........................... 27



3

1. INTRODUCCIÓ 1.1. Justificació de la necessitat d’aquest material El nostre centre, l’IES Gorgs de Cerdanyola del Vallès, està duent a terme un Pla de Millora aprovat pel Departament d’Educació. Aquest Pla de Millora té com un dels seus objectius prioritaris millorar els resultats de les competències bàsiques de l’alumnat en tots els àmbits curriculars. Una de les primeres accions realitzades va ser la posada en funcionament d’una coordinació interdepartamental per tal de debatre sobre la transversalitat de les competències bàsiques i les connexions entre les matèries. D’aquestes reunions interdepartamentals va sorgir la idea d’incorporar la comprensió lectora com a contingut de totes les àrees. Aquesta idea es va desenvolupar i posar en pràctica durant el curs 2008-2009. A finals del mateix curs, el centre –tant a nivell de l’equip directiu, com de tot el claustre del professorat- va manifestar la voluntat de treballar seriosament en el sentit de millorar la competència matemàtica implicant-hi totes les àrees que tinguin relació amb les matemàtiques.

En el decret pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria, el Departament d’Educació precisa que la competència matemàtica té un caràcter transversal a totes les matèries i que per millorar-la cal que els aprenentatges dels continguts matemàtics s’orientin cap a la seva utilització a la vida diària i a les altres àrees del coneixement. Tradicionalment, però, estem acostumats a un model educatiu molt compartimentat en matèries o assignatures on les matemàtiques solen ser tractades sense connexió amb les altres matèries. Cal que el nostre alumnat pugui veure les matemàtiques com un valor instrumental que ajuda a l’aprenentatge de les altres disciplines. A més, establir connexions entre els continguts matemàtics i els no matemàtics contribueix clarament a donar sentit als primers, ja que mostra el seu origen i les seves aplicacions. Una altra necessitat que se’ns planteja a l’hora de mirar les matemàtiques de manera interdisciplinar és l’acurada selecció i seqüenciació de continguts. Cal optimitzar l’ensenyament dels continguts matemàtics presents en els currículums de les diferents àrees, aconseguint que la duplicitat que es produeix a l’hora de treballar els aspectes matemàtics es faci de manera coordinada tant en el temps com en el procediment. Cal, doncs, que coneguem quines matemàtiques treballem a cada àrea, com les treballem i en quin moment. Quan treballem un mateix concepte des de diferents matèries, cal que el professorat ho tinguem present i que els alumnes vegin pautes coherents i el puguin interrelacionar. Per acabar, voldria afegir la importància que aquest material pot tenir per al professorat. Per una banda, ha de servir als docents experts, tant de Matemàtiques com d ’Educació visual i plàstica, per reflexionar sobre la nostra metodologia a l’hora de ensenyar les matemàtiques i de connectar les dues matèries. I, per altra banda, pot ser un material molt útil per al professorat de nova incorporació al centre, ja que disposarà d’una guia sobre com treballar les matemàtiques que apareixen a l’Educació visual i plàstica.

4

1.2. Aportació de la matèria d’Educació visual i plàstica a la competència matemàtica

El decret del Departament d’Educació pel qual s’estableix l’ordenació dels ensenyaments de l’educació secundària obligatòria detalla la contribució de la matèria d’Educació visual i plàstica a l’assoliment de la competència matemàtica de la següent manera: “Finalment, també són objectius de la matèria el domini del llenguatge simbòlic i el coneixement d’aspectes espacials de la realitat, per mitjà de la representació geomètrica de les formes, la qual cosa contribueix a l’adquisició de la competència matemàtica.” 1.3. Coordinació de les programacions Un cop analitzats els continguts matemàtics presents en les matèries de Ciències socials, Ciències de la naturalesa, Tecnologies i Educació visual i plàstica de 1r i 2n d’ESO, el departament de Matemàtiques ha reestructurat la seva programació per tal d’adaptar-la al màxim a les necessitats de les altres matèries. Tot i això, no ha estat possible fer una seqüenciació dels continguts a l’assignatura de Matemàtiques de manera que s’expliqui a l’alumnat tot el necessari abans que es treballi a les altres matèries. Per intentar solucionar aquest fet, s’han realitzat dues accions. Al començament d’alguns trimestres s’ha introduït a l’assignatura de matemàtiques el TEMA 0. En aquest tema es donen nocions bàsiques de continguts matemàtics directament aplicables a d’altres assignatures i que s’estudiaran durant el trimestre. Per altra banda, s’ha fet una proposta sobre la metodologia a emprar en cada un dels continguts matemàtics que apareixen a l’assignatura en qüestió. D’aquesta forma, si encara no s’han fet a la classe de matemàtiques, el professorat d’Educació visual i plàstica sabrà com es treballaran aquests continguts i li podrà servir d’orientació. Cada departament disposarà d’una graella-resum on constaran els continguts matemàtics treballats a cada matèria en cada trimestre. Per últim, s’aconsella adaptar al màxim, també, la programació de la matèria d’Educació visual i plàstica per tal d’optimitzar l’assoliment dels continguts matemàtics presents en el currículum d’aquesta matèria. 1.4. Estructura del dossier El present dossier està estructurat de la forma següent: en primer lloc hi ha un apartat de CONSIDERACIONS GENERALS. A partir d’aquí cada un dels apartats següents porta el títol del TEMA de la matèria d’Educació visual i plàstica on apareixen continguts matemàtics. En cada un d’aquests apartats hi ha tres parts que s’expliquen a continuació:

5

TEMA Continguts matemàtics que s’hi utilitzen. En aquest apartat només s’escriuen els títols dels continguts matemàtics necessaris per a aquest tema.

Quan es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat es diu en quin moment del curs es treballa a la classe de matemàtiques cada un dels continguts descrits en l’apartat anterior, segons la nova programació. Cal tenir present que durant el curs 2010-2011 es començarà a aplicar la nova programació de Matemàtiques només a 1r d’ESO. A 2n d’ESO s’aplicarà a partir del curs 2011-2012. Cal posar atenció als continguts que es treballen a les dues matèries gairebé alhora ja que, segons la dinàmica del grup-classe, no sempre es pot seguir la temporització de la programació.

Com es treballa a la classe de matemàtiques? En aquest apartat s’explica la metodologia emprada, a la classe de matemàtiques, per assimilar cada un dels continguts descrits en el primer apartat. Cal tenir en compte que aquest dossier va dirigit al professorat i, per tant, s’han omès moltes parts que sí que es fan a l’aula i, en canvi, es defineixen conceptes necessaris per al professorat que no són estrictament necessaris per a l’alumnat. Per introduir un concepte nou a la classe de matemàtiques es solen plantejar problemes concrets per resoldre i, sempre que es pot, contextualitzats. Es provoca una discussió sobre la forma de resoldre el problema plantejat i finalment s’ordenen les idees sorgides i es defineix el concepte o el mètode que s’està estudiant. Finalment, i dins d’aquest apartat, de vegades hi ha unes Recomanacions a tenir en compte quan es treballen aquells conceptes de més difícil assimilació per part de l’alumnat o aquells procediments on cometen més errors. 2. CONSIDERACIONS GENERALS 2.1. Aproximacions decimals

Si la solució d’un problema és un nombre amb moltes xifres decimals, cal fer una aproximació d’aquest nombre. A la classe de matemàtiques sempre recomanem fer l’arrodoniment del nombre en qüestió amb dues o tres xifres decimals, com a màxim. Arrodonir un nombre amb dos decimals (fins als centèsims) significa donar la millor aproximació amb dues xifres decimals del nombre. Això s’aconsegueix observant la tercera xifra decimal. Si aquesta és una xifra menor que 5, l’arrodoniment es farà tallant als centèsims (truncament). Si la tercera xifra decimal és més gran o igual a 5, l’arrodoniment s’aconsegueix sumant un centèsim al truncament. Per exemple, si volem arrodonir amb dos decimals el nombre A = 45,67385...., observem que la tercera xifra decimal és un 3 (menor que 5). L’arrodoniment del nombre A amb dos decimals serà, doncs, A ~ 45,67. Si volem fer el mateix amb el nombre B = 0,24515...., com que la tercera xifra decimal és un 5 (major o igual que 5), l’arrodoniment del nombre serà B ~ 0,25. Si volem arrodonir els nombres A i B amb tres decimals, haurem d’observar la quarta xifra decimal i seguir el mateix procés. Així doncs, A ~ 45,674 i B ~ 0,245.

6

2.2. Aproximació dels euros

Sempre cal donar els nombres que indiquen quantitats d’euros amb dues xifres decimals. Si el resultat d’una operació amb euros ens dóna més de dues xifres decimals, hem de fer l’arrodoniment i si només té una xifra decimal, hem d’escriure en el lloc dels centèsims (cèntims d’euro) un 0. Si no es fa d’aquesta forma, pot portar a confusió a l’hora d’interpretar la lectura d’aquest nombre d’euros. Per exemple, si diem que un objecte val vint-i-quatre amb tres, no sabem si ens referim a vint-i-quatre euros i tres cèntims o a vint-i-quatre euros i 30 cèntims ja que 24,03 ≠ 24,3 = 24,30. Cal escriure 24,30 € i llegir vint-i-quatre amb 30. 2.3. Regla de tres

Sobre l’aplicació de la regla de tres simple, cal fer notar que és correcta només en alguns casos. Aquests casos es descriuen en els apartats corresponents del dossier. No obstant això, l’alumnat tendeix a aplicar-la també, en d’altres situacions on el seu ús és incorrecte. En aquest dossier i en cada cas concret es dóna una alternativa fàcil i entenedora a la regla de tres. 2.4. Consideració final I, per últim, voldria remarcar el fet que quan l’alumnat es troba davant d’un problema que ha de resoldre, l’objectiu final és trobar-hi la bona solució. No és tan important el mètode utilitzat per arribar a aquesta solució, sempre que sigui correcte. Com a docents, hem d’estar oberts a diferents formes de resoldre un problema i a diferents formes d’ensenyar a resoldre un problema. Si davant un concepte a assolir, una part de l’alumnat té grans dificultats, cal reflexionar i buscar alternatives per intentar minimitzar aquestes dificultats. Aquest dossier és un material obert que podem anar canviant i millorant entre tots, curs rere curs, i que espero que us sigui de molta utilitat.

7

3. ELEMENTS VISUALS DE LA IMATGE

3.1. Continguts matemàtics que s’hi utilitzen

PUNTS, RECTES I PLANS ANGLES

TRIANGLE RECTANGLE

3.2. Quan es treballa a la classe de matemàtiques?

PUNTS, RECTES I PLANS Es treballen a final de curs dins el bloc de geometria. ANGLES

Es fa una introducció als angles entre la segona i la tercera setmana de curs. TRIANGLE RECTANGLE

Es treballa a final de curs dins el bloc de geometria.

3.3. Com es treballa a la classe de matemàtiques?

OBSERVACIÓ PRÈVIA

A la classe de matemàtiques es comença la geometria treballant amb polígons i, a partir d’aquests, van sortint els conceptes de segment, recta, diagonal, .... Sempre que es pot es porta a l’aula material que l’alumnat pugui manipular. En algunes ocasions també es va a l’aula d’informàtica per treballar amb programes tipus Geoclic, Geogebra o d’altres. L’ordre que s’exposarà en aquest apartat no és el que es segueix a l’aula. Tampoc no s’expliquen ni es fan aprendre totes les definicions que hi apareixen. De totes formes s’ha cregut convenient deixar per escrit en aquest dossier tots els conceptes relacionats amb la geometria que, d’una forma o altra, apareixen en aquest tema de la matèria d’Educació visual i plàstica de 1r d’ESO. Així el professorat tindrà fàcil accés a definicions rigoroses i als errors de conceptes matemàtics detectats en el llibre de text d’Educació visual i plàstica del centre.

8

3.3.1. PUNTS, RECTES I PLANS

Els elements bàsics de la geometria plana són el punt, la recta i el pla. Són conceptes primaris i per definir-los necessitem relacionar-los entre ells. Tenim, però, la idea intuïtiva del que són.

Un punt no és un objecte físic, no té dimensions. Representa una posició dins el pla o l’espai. També es pot definir com la intersecció de dues rectes. Com ja s’ha dit, el punt és un concepte intuïtiu, una idea, i en no tenir gruix és impossible de representar. No obstant això, utilitzem les formes següents per fer-ho:

- El senyal que deixa la punta d’un llapis en tocar un full de paper sense lliscar (·).

- La intersecció de dos petits segments (x) (+). - Un petit cercle ( ). El punt se sol anomenar amb lletres majúscules (A, B, C, ....)

Un segment és la línia recta que uneix dos punts. Se sol posar exemples

visibles a la mateixa aula (costat de la pissarra, mina d’un llapis,...) Si es prolonga infinitament un segment per un dels seus extrems tindrem una semirecta. Si el prolonguem infinitament pels dos extrems tindrem una recta.

Una recta està formada per infinits punts, tots en la mateixa direcció. Té una sola dimensió, no té gruix. Dos punts ens determinen una recta. No es pot representar una recta sencera, ja que és infinita. Només en podem representar un tros, però ens hem d’imaginar aquesta representació prolongada fins l’infinit en els dos sentits.

Les rectes, les semirectes i els segments se solen anomenar amb lletres minúscules (r, s, t, .....)

9

Dues rectes al pla poden ser paral·leles si no tenen cap punt en comú o secants si tenen un punt en comú, és a dir, si es tallen en un punt.

Quan dues rectes secants divideixen el pla en quatre parts iguals, diem que són perpendiculars.

La idea de pla, ens la dóna una superfície com la pissarra, una taula, una

paret,.... però cal imaginar-se el pla il·limitat en totes les direccions. Tres punts no alineats ens determinen un pla i dues rectes que es tallen en un punt, també. Un pla té dues dimensions i està format per infinites rectes i infinits punts. Les representacions del pla que podem fer són un tros de pla.

Els punts, les rectes i els plans són dins l’espai, que té tres dimensions, alçada, amplada i profunditat.

10

Recomanacions

A la matèria d’Educació visual i plàstica es dóna el concepte de línia, no necessàriament recta, com la representació gràfica d’un punt en moviment. A classe de matemàtiques, quan es fa la geometria, només es treballa amb línies rectes però es tindrà en compte aquesta apreciació.

A la matèria d’Educació visual i plàstica apareix el concepte de rectes obliqües com a dues rectes secants (es tallen en un punt) no perpendiculars. A Matemàtiques no es dóna aquesta definició. Una recta obliqua, a Matemàtiques, és una recta que no és ni vertical ni horitzontal, és a dir, inclinada.

La posició relativa de dues rectes que es creuen no té sentit si estem

treballant en el pla. Cal situar-se en l’espai tridimensional per trobar-nos dues rectes que es creuen. Aquestes rectes són aquelles que estan situades en dos plans paral·lels i no són paral·leles.

3.3.2. ANGLES

Definició d’angle com a regió del pla: és la part o porció del pla limitada per

dues semirectes que tenen l’origen en un mateix punt.

Definició d’angle com a gir: és la regió del pla escombrada per una semirecta en girar al voltant del seu origen, és a dir, la regió del pla que escombra una semirecta en moure’s fixant el seu origen. L’angle queda determinat per les posicions inicials i finals de la semirecta. Aquesta segona definició ens ajuda a la classe de matemàtiques quan cal definir angles orientats, positius i negatius.

Dues rectes perpendiculars divideixen el pla en quatre parts iguals. Cada una d’aquestes parts és un angle recte.

Una unitat per mesurar angles és el grau sexagesimal (º). Un grau és la norantena part d’un angle recte, és a dir, si dividim un angle recte en 90 angles iguals, cada un d’aquests angles mesura 1º. Perquè es pugui apreciar un angle d’un grau cal fer les semirectes prou llargues.

Cada grau està dividit en 60 minuts d’arc i cada minut d’arc en 60 segons d’arc (A la pràctica diem minuts i segons). Els múltiples i submúltiples van de 60 en 60, per això se’n diu sistema sexagesimal.

11

Un angle recte mesura 90º.

El doble d’un angle recte és un angle pla i mesura 180º

En un angle nul o de 0º la semirecta inicial no ha girat, no ha escombrat cap

zona del pla. En un angle complet la semirecta inicial ha fet un gir sencer escombrant tot el pla. Aquest angle té una amplitud de 360º

Classificació dels angles:

- Un angle α és convex si és menor que un pla (α<180º). - Un angle α és còncau si és major que un pla (α>180º). D’entre els convexos tenim que:

- Un angle α és agut si és menor que un recte (α<90º). - Un angle α és obtús si és major que un recte (90º<α<180º)

12

Exemples

3.3.3. TRIANGLE RECTANGLE

Una línia poligonal és una figura formada per segments consecutius. Poden

ser tancades si l’origen del primer segment coincideix amb l’extrem de l’últim o obertes en cas contrari.

Un polígon és un tros de pla limitat per una línia poligonal tancada. La paraula polígon prové del grec “poli” diversos, “gono” angle.

Elements d’un polígon:

- Costat: Cada segment que forma la línia poligonal - Vèrtex: Punt on s’uneixen dos segments - Angle: Angle que formen dos costats consecutius del polígon - Diagonal: Segment que uneix dos vèrtexs no consecutius

13

Un polígon és regular si tots els seus costats tenen la mateixa longitud i tots

els seus angles tenen la mateixa amplitud. En cas contrari és irregular.

Un polígon és convex si tots els seus angles són convexos (<180º) i és

còncau si algun dels seus angles és còncau (>180º).

Un triangle és un polígon de tres costats. Té les característiques següents:

- És el polígon amb el nombre més petit de costats ja que per tancar una

línia poligonal es necessita un mínim de tres segments. - Sempre és convex. Un polígon còncau necessita un mínim de quatre

costats.

- No té diagonals ja que dos vèrtexs d’un triangle sempre són consecutius.

- És rígid, no es pot deformar. Si construïm polígons amb peces de meccano veurem que un triangle no el podrem moure, qualsevol altre polígon, sí.

- La suma dels seus angles sempre és 180º.

14

Generalment, se sol anomenar els vèrtexs d’un triangle amb les lletres A, B i C i els costats oposats a cada vèrtex amb les mateixes lletres però en minúscula.

Classificació dels triangles segons la longitud dels seus costats:

- Equilàter: Els tres costats tenen la mateixa longitud. És el triangle

regular. Els tres angles també tenen la mateix amplitud, que és de 60º ja que 180º:3=60º.

- Isòsceles: Només té dos costats amb la mateixa longitud i, per tant, dos angles d’igual amplitud.

- Escalè: No hi ha cap costat amb la mateixa longitud i, per tant, cap angle d’igual amplitud.

Classificació dels triangles segons l’amplitud dels seus angles:

- Acutangle: Els tres angles són aguts (<90º). - Rectangle: Té un angle recte (90º). - Obtusangle: Té un angle obtús (>90º).

Els costats d’un triangle rectangle reben un nom especial. Els dos costats que formen l’angle recte es diuen catets i el costat oposat a l’angle recte es diu hipotenusa. Al vèrtex corresponent a l’angle recte se li sol assignar la

lletra “A” i, per tant, a la hipotenusa la lletra “a”, tot i que no sempre és així.

15

En un triangle rectangle la suma dels angles aguts sempre és de 90º ja que la suma dels tres angles és 180º i n’hi ha un de recte (90º).

Recomanacions

És important mostrar els objectes perpendiculars en diferents posicions; si no, l’alumnat pot creure que la perpendicularitat existeix només quan els objectes són horitzontals i verticals. Aquesta creença es dóna sovint amb els triangles rectangles.

En el cas de l’escaire i el cartabó és important fer notar a l’alumnat que l’escaire és un triangle rectangle isòsceles; per això té dos angles iguals de 45º cada un i el cartabó, un triangle rectangle escalè.

Cal remarcar el fet que no n’hi ha prou que un polígon tingui els costats d’igual longitud per ser regular; cal, a més, que tingui els angles iguals. Un rombe qualsevol i l’hexàgon dibuixat tenen tots els costats iguals i no són regulars.

Després d’haver estudiat els triangles rectangles i les definicions de catet i hipotenusa, part de l’alumnat es queda amb la idea que la hipotenusa és el costat més llarg. Quan aquest alumnat es troba amb un triangle que no és rectangle segueix pensant que el costat més llarg és la hipotenusa. Cal insistir que un triangle només té catets i hipotenusa si és rectangle. És bo que s’acostumin a trobar l’angle recte i l’assenyalin amb un quadradet.

16

4. EL CERCLE CROMÀTIC


CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE POLÍGONS REGULARS


A final de curs dins el bloc de geometria.


El cercle cromàtic és un esquema que serveix per ordenar els colors. Generalment és una figura geomètrica circular però, en algunes ocasions, poden ser polígons regulars com l’hexàgon o l’octàgon. A l’hora de treballar el cercle cromàtic només cal que sàpiguen què és cada una d’aquestes figures. 4.3.1. CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE

La circumferència és una línia corba, tancada i plana en què tots els seus

punts es troben a la mateixa distància d’un punt fix, anomenat centre de la circumferència. Els exemples que donen la idea de circumferència poden ser un anell molt fi, un hula hop, una roda de bicicleta, ....

El cercle és el tros de pla limitat per una circumferència. Els exemples que

donen la idea de cercle poden ser una moneda, una pizza, un disc sense forat, ... La circumferència és la vora del cercle.

4.3.2. POLÍGONS REGULARS

Les definicions de polígon i polígon regular s’han donat a l’apartat anterior

(Triangle rectangle).

Classificació dels polígons segons el nombre de costats:

- Triangle: Tres costats (Tri-angle →tres angles i, per tant, tres costats) - Quadrilàter: Quatre costats (Quadri-làter → quatre costats) - Pentàgon: Cinc costats (Penta → cinc) - Hexàgon: Sis costats (Hexa → sis) - Heptàgon: Set costats (Hepta → set) - Octàgon: Vuit costats (Octa → vuit) - Enneàgon: Nou costats (Ennea → nou) - Decàgon: Deu costats (Deca → deu) - ...........

17

Un hexàgon regular és, doncs, un polígon de 6 costats de la mateixa longitud i els 6 angles iguals i un octàgon regular un polígon de 8 costats de la mateixa longitud i els 8 angles iguals.

Recomanacions

L’alumnat confon amb molta freqüència circumferència i cercle. És interessant posar èmfasi en aquesta diferència sempre que se’ns presenti una ocasió. Els exemples proposats ajuden a interioritzar la diferència entre circumferència i cercle.

Els hexàgons o octàgons que solem veure dibuixats, acostumen a ser regulars. Així, l’alumnat tendeix a pensar que els hexàgons i els octàgons sempre són regulars. És bo posar exemples d’aquests polígons que siguin irregulars.

18

5. ESPAI I VOLUM


CONCEPTE D’ESPAI (Tres dimensions) COSSOS GEOMÈTRICS CONCEPTE DE VOLUM (Forma visual)


A mitjans del 3r trimestre de 2n d’ESO, dins el bloc de geometria, es treballen els cossos geomètrics, el seu desenvolupament en el pla i el càlcul de les seves àrees i volums.


OBSERVACIÓ PRÈVIA

A fi que l’alumnat conegui els diferents cossos geomètrics cal que els pugui tocar. Es porten a classe diferents objectes, tant d’ús quotidià com d’específics per explicar geometria. En algunes ocasions, també es va a l’aula d’informàtica per treballar amb programes de geometria. L’ordre que s’exposarà en aquest apartat no és el que es segueix a l’aula. Tampoc no s’expliquen ni es fan aprendre totes les definicions que hi apareixen. De totes formes s’ha cregut convenient deixar per escrit en aquest dossier tots els conceptes relacionats amb la geometria que, d’una forma o altra, apareixen en aquest tema de la matèria d’Educació visual i plàstica de 1r d’ESO. Així el professorat tindrà fàcil accés a definicions rigoroses i als errors de conceptes matemàtics detectats en el llibre de text d’Educació visual i plàstica del centre.

5.3.1. CONCEPTE D’ESPAI

L’espai és el medi on ens movem. En principi, hem de pensar que l’espai és il·limitat, tot i que els astrònoms encara no ho poden assegurar, i conté totes les coses i éssers que existeixen. L’espai on ens movem té tres dimensions, alçària (dalt-baix), amplària (esquerra-dreta) i profunditat (davant-darrera), que ens permeten conèixer la forma i la posició de qualsevol cos sòlid.

19

5.3.2. COSSOS GEOMÈTRICS

Els cossos geomètrics són formes geomètriques de l’espai (tres

dimensions) i els podem classificar en:

- Políedres: Regió de l’espai tancada i limitada per polígons. En grec antic

“poli” significa molts i “edre” significa cares planes. - Cossos rodons: Regió de l’espai tancada i limitada per, com a mínim, una

superfície corba. Dins dels cossos rodons, hi trobem els cossos de revolució que s’obtenen fent girar una figura plana al voltant d’una recta que s’anomena eix de gir.

POLÍEDRES

Alguns elements d’un políedre són:

- Cares: Cada un dels polígons que limita el políedre. - Arestes: Cada un dels segments que limita una cara. - Vèrtex: Cada un dels vèrtex d’una cara

El nom dels políedres depèn del seu nombre de cares. Alguns d’ells són el tetràedre (4 cares), l’hexàedre (6 cares), l’octàedre (8 cares), el decàedre (10 cares), el dodecàedre (12 cares) i l’icosàedre (20 cares).

Un políedre regular és aquell que compleix que totes les seves cares són

polígons regulars iguals i que en cada vèrtex concorre el mateix nombre de cares. N’hi ha cinc: El tetràedre regular ( les cares són 4 triangles equilàters), el cub o hexàedre regular ( les cares són 6 quadrats), l’octàedre regular (les cares són 8 triangles equilàters), el dodecàedre regular (les cares són 12 pentàgons regulars) i l’icosàedre regular (les cares són 20 triangles equilàters). En algunes ocasions es mostra el desenvolupament pla d’aquests políedres.

Els políedres que s’estudien a Matemàtiques fins a 2n d’ESO són els prismes i les piràmides.

Prismes

Un prisma és un políedre on dues cares, anomenades bases, són

polígons qualssevol, iguals i paral·lels, i les altres cares, anomenades cares laterals, són paral·lelograms.

20

Un prisma pot ser:

- Recte: Les cares laterals són perpendiculars a les bases i, per tant, són

rectangles. - Oblic: Les cares laterals no són perpendiculars a les bases.

Si les bases d’un prisma són paral·lelograms en diem paral·lelepípede i si, a més, totes les cares són rectangles en diem ortoedre (“orto” en grec significa recte). L’ortoedre que té totes les cares quadrades és el cub.

Segons el nombre de costats de les bases anomenem els prismes triangulars, quadrangulars, pentagonals, hexagonals, ....

Piràmides

Una piràmide és un políedre que té una cara que és un polígon qualsevol, anomenat base i les altres cares, anomenades cares laterals són triangles amb un punt en comú, anomenat vèrtex de la piràmide.

Una piràmide pot ser:

- Recta: Si el vèrtex està situat perpendicularment sobre el centre de la

base. En aquest cas, les cares laterals són triangles isòsceles. - Obliqua: Si no és recta.

Si la base és un triangle, en diem tetràedre i si totes les cares són triangles equilàters tenim un tetràedre regular. Segons el nombre de costats de la base, anomenem les piràmides triangulars o tetràedre, quadrangulars, pentagonals, hexagonals, ....

COSSOS RODONS

Els cossos rodons que s’estudien a Matemàtiques fins a 2n d’ESO són els cilindres, els cons i les esferes, tots ells són cossos de revolució.

Un cilindre és el cos rodó que es forma en fer girar un rectangle al voltant d’un dels seus costats. Aquest costat s’anomena eix de gir o eix del cilindre. El cilindre té dues bases iguals i paral·leles que són cercles, el radi

dels quals, té la longitud del costat del rectangle que no és l’eix de gir. L’altura del cilindre és la longitud de l’eix de gir.

Un con és el cos rodó que es forma en fer girar un triangle rectangle al voltant d’un dels seus catets. Aquest catet és l’eix de gir o eix del con. El con té una base que és un cercle, el radi del qual, té la longitud del catet que no és l’eix de gir. L’altura del con és la longitud de l’eix de gir. De la hipotenusa del triangle que ha generat el con, en diem generatriu del con.

21

Una esfera és el cos rodó que es forma en fer girar un semicercle al voltant

del seu diàmetre. Tots els punts de la superfície d’una esfera són a la mateixa distància d’un punt que és el centre de l’esfera. El radi de l’esfera és aquesta distància.

5.3.3. CONCEPTE DE VOLUM

Qualsevol cos ocupa un lloc a l’espai. La magnitud que mesura l’espai que ocupa un cos és el volum. Qualsevol objecte del món en què vivim ocupa un

lloc i, per tant, té volum. Recomanacions

El desenvolupament dels cossos geomètrics al pla es treballa de la mateixa forma a la classe de matemàtiques que a la d’Educació visual i plàstica. A Matemàtiques interessa aquest contingut per explicar el càlcul de l’àrea d’un cos geomètric.

A Matemàtiques es fan els càlculs de les àrees i volums dels cossos geomètrics descrits però a Educació visual i plàstica només interessa el concepte de volum d’un cos a l’espai per poder-ne fer una representació, és a dir, per poder visualitzar aquest cos amb volum (tres dimensions) al pla. No cal, doncs, entrar en aquests continguts.

Pot ser interessant visualitzar els tipus d’elements o objectes que es poden representar en les diferents dimensions. Així, a la dimensió 0 (punt) no s’hi pot representar res. En una dimensió, hi podem dibuixar segments sense gruix. En dues dimensions, hi podem representar objectes que tenen amplada i alçada però no tenen volum. En tres dimensions, hi podem representar objectes amb amplada, alçada i profunditat, és a dir, amb volum.

22

6. DIBUIX TÈCNIC. TRAÇATS GEOMÈTRICS


GEOMETRIA PLANA: PUNTS, RECTES I PLANS. ANGLES CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE


GEOMETRIA PLANA: PUNTS, RECTES I PLANS A finals de curs de 1r d’ESO es treballa la geometria plana enfocada al càlcul de perímetres i àrees de polígons. ANGLES

Es fa una introducció als angles entre la segona i la tercera setmana de curs a 1r d’ESO. CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE A principis del 3r trimestre de 2n d’ESO es treballa la circumferència i el cercle, el càlcul del seu perímetre i la seva àrea.


OBSERVACIÓ PRÈVIA Ja s’ha explicat, en apartats anteriors, alguns dels conceptes de geometria plana que apareixen en aquest tema (Dibuix Tècnic). Quan aparegui algun concepte ja descrit es dirà en quin apartat és i, si cal, s’hi afegirà el que es consideri oportú. També hi ha alguns conceptes que, tot i que es podrien treballar a la classe de matemàtiques, generalment no es fa per falta de temps. També s’especificarà aquest fet en cada cas. L’ordre que s’exposarà en aquest apartat no és el que es segueix a l’aula. Tampoc no s’expliquen ni es fan aprendre totes les definicions que hi apareixen. De totes formes, s’ha cregut convenient deixar per escrit en aquest dossier tots els conceptes relacionats amb la geometria que, d’una forma o altra, apareixen en aquest tema de la matèria d’Educació visual i plàstica de 1r d’ESO. Així el professorat tindrà fàcil accés a definicions rigoroses i als errors de conceptes matemàtics detectats en el llibre de text d’Educació visual i plàstica del centre.

23

6.3.1. GEOMETRIA PLANA: PUNTS, RECTES I PLANS

Elements de la geometria plana: punt, recta i pla Està explicat en el sub-apartat “PUNTS, RECTES I PLANS” de l’apartat “ELEMENTS VISUALS DE LA IMATGE”

Traçat de rectes paral·leles i perpendiculars (amb regle i compàs o cartabó i escaire)

Generalment, no es treballa a la classe de matemàtiques i, en cas de fer-se, es fa igual que a Educació visual i plàstica.

Operacions amb segments gràficament

La suma, resta, producte per un nombre real i divisió en dues parts iguals, és a dir, el traçat de la mediatriu d’un segment, generalment no es treballa a la classe de matemàtiques i, en cas de fer-se, es fa igual que a Educació visual i plàstica. Definició de mediatriu d’un segment: - És la recta perpendicular al segment que passa pel seu punt mitjà. Cada

punt de la mediatriu és a la mateixa distància d’un extrem del segment que de l’altre.

La divisió d’un segment en parts iguals o proporcionals es realitza aplicant el Teorema de Tales que, a Matemàtiques, no s’explica fins a 4t d’ESO en el tema de Semblança. A la classe d’Educació visual i plàstica s’explica el mètode per dividir un segment en parts iguals sense entrar en la teoria del Teorema de Tales. Quan s’expliqui la part teòrica des de matemàtiques es tindrà en compte aquest fet.

6.3.2. ANGLES

Una part està explicada en el sub-apartat “ANGLES” de l’apartat “ELEMENTS VISUALS DE LA IMATGE”

Cal parar atenció en la classificació dels angles. Un angle obtús és convex i, per tant, a més de ser més gran de 90º ha de ser menor de 180º.

Relació entre els angles - Iguals: Dos angles són iguals si tenen la mateixa amplitud, és a dir,

mesuren el mateix nombre de graus. - Complementaris: Dos angles són complementaris si les seves amplituds

sumen 90º. - Suplementaris: Dos angles són suplementaris si les seves amplituds

sumen 180º.

24

Posició relativa de dos angles - Oposats pel vèrtex: Dos angles són oposats pel vèrtex si tenen el mateix

vèrtex i els costats d’un angle són les prolongacions dels costats de l’altre. Dos angles oposats pel vèrtex sempre són iguals.

- Consecutius: Dos angles són consecutius si tenen el mateix vèrtex i una

semirecta (costat) comú. Dos angles complementaris, en fer-los consecutius formen un angle recte i dos angles suplementaris en fer-los consecutius formen un angle pla.

- Adjacents: Dos angles són adjacents si són consecutius i suplementaris.

Operacions amb angles gràficament

El traçat d’un angle igual a un altre, la suma i resta de dos angles, el producte d’un angle per un nombre natural i la divisió en dues parts iguals d’un angle, és a dir, el traçat de la bisectriu, generalment no es treballa a la classe de matemàtiques i, en cas de fer-se, es fa igual que a Educació visual i plàstica. Definició de bisectriu d’un angle: - És la semirecta que té per origen el vèrtex de l’angle i el divideix en dues

parts iguals. Cada punt de la bisectriu és a la mateixa distància dels dos costats de l’angle.

A la classe de matemàtiques s’explica la suma, resta, producte i divisió per un nombre natural d’angles de forma analítica amb el sistema sexagesimal (graus, minuts i segons). A Educació visual i plàstica es fa només de forma gràfica.

6.3.3. CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE

Al sub-apartat “CIRCUMFERÈNCIA I CERCLE” de l’apartat “EL CERCLE CROMÀTIC” només es dóna la definició d’aquests dos conceptes. Els tornarem a definir. La circumferència és una línia corba, tancada i plana en què tots els seus punts es troben a la mateixa distància d’un punt fix, anomenat centre de la circumferència. Els exemples que donen la idea de circumferència poden ser un anell molt fi, un hula hop, una roda de bicicleta, .... El cercle és el tros de pla limitat per una circumferència. Els exemples que donen la idea de cercle poden ser una moneda, una pizza, un disc sense forat, ... La circumferència és la vora del cercle.

Elements d’una circumferència i d’un cercle

- Centre: Punt que és a la mateixa distància de tots els punts de la

circumferència.

25

- Radi: Qualsevol segment que uneix el centre amb un punt de la

circumferència. - Corda: Segment que uneix dos punts qualssevol de la circumferència. - Diàmetre: Corda que passa pel centre de la circumferència. La seva

longitud és el doble que la del radi. NOTA: Al llibre de text d’Educació visual i plàstica es defineix el diàmetre com una recta i és un segment.

- Arc: Tros de circumferència entre dos punts d’aquesta. - Fletxa: Segment de la mediatriu d’una corda que va des de la corda fins a

la circumferència. La prolongació d’una fletxa sempre passa pel centre de la circumferència. NOTA: Al llibre de text d’Educació visual i plàstica la fletxa està ben definida però mal dibuixada.

- Semicircumferència: Cada un dels dos arcs en què un diàmetre divideix una circumferència.

- Semicercle: Cada una de les parts en què un diàmetre divideix un cercle. - Sector circular: Part del cercle limitada per dos radis i l’arc corresponent.

Posicions relatives d’una recta i una circumferència

- Secants: Si la recta talla la circumferència en dos punts. - Tangents: Si la recta talla la circumferència en un punt. Aquest punt

s’anomena punt de tangència i el radi que té per extrem aquest punt és perpendicular a la recta tangent.

- Exteriors: Si la recta no talla la circumferència.

26

Posicions relatives de dues circumferències

- Concèntriques: Tenen el mateix centre i diferent radi. - Interiors: No tenen cap punt en comú. Una és a l’interior de l’altra i tenen

centres diferents. - Tangents interiors: Tenen un punt en comú i una és a l’interior de l’altra. - Secants: Es tallen en dos punts. - Tangents exteriors: Tenen un punt en comú i són exteriors, és a dir, no

són una dins l’altra. - Exteriors: No tenen cap punt en comú i no són una dins l’altra.

Traçat d’una circumferència a partir de tres punts no alineats o a partir d’un radi determinat i dos punts

Generalment no es treballa a la classe de matemàtiques i, en cas de fer-se, es fa igual que a Educació visual i plàstica.

Recomanacions

Els llibres de text, tant de Matemàtiques com d’Educació visual i plàstica no sempre són prou rigorosos a l’hora de definir conceptes geomètrics. Això pot portar l’alumnat a certes confusions. En aquest dossier, s’ha intentat solucionar aquest fet consultant diferents fonts en cas de dubte i explicant els errors trobats en el llibre de text d’Educació visual i plàstica que s’usa actualment al centre.

27

7. FORMES POLIGONALS


POLÍGONS: TRIANGLES, QUADRILÀTERS I POLÍGONS REGULARS.


A finals de curs de 1r d’ESO es treballa la geometria plana enfocada al càlcul de perímetres i àrees de polígons. A principis del 3r trimestre de 2n d’ESO es segueix aprofundint en els polígons.


OBSERVACIÓ PRÈVIA Ja s’ha explicat, en apartats anteriors, alguns dels conceptes de geometria plana que apareixen en aquest tema (Formes Poligonals). Quan aparegui algun concepte ja descrit es dirà en quin apartat és i, si cal, s’hi afegirà el que es consideri oportú. També hi ha alguns conceptes que, tot i que es podrien treballar a la classe de matemàtiques, generalment no es fa per falta de temps. També s’especificarà aquest fet en cada cas. Sempre que es pot es porta a l’aula material que l’alumnat pugui manipular. En algunes ocasions també es va a l’aula d’informàtica per treballar amb programes tipus Geoclic, Geogebra o d’altres. L’ordre que s’exposarà en aquest apartat no és el que se segueix a l’aula. Tampoc no s’expliquen ni es fan aprendre totes les definicions que hi apareixen. De totes formes s’ha cregut convenient deixar per escrit en aquest dossier tots els conceptes relacionats amb la geometria que, d’una forma o altra, apareixen en aquest tema de la matèria d’Educació visual i plàstica de 1r d’ESO. Així el professorat tindrà fàcil accés a definicions rigoroses i als errors de conceptes matemàtics detectats en el llibre de text de la matèria d’Educació visual i plàstica del centre.

Definició de polígon, elements d’un polígon i polígons còncaus i convexos Està explicat en el sub-apartat “TRIANGLE RECTANGLE” de l’apartat “ELEMENTS VISUALS DE LA IMATGE”

Classificació dels polígons en regulars i irregulars i segons el nombre de costats

Està explicat en el sub-apartat “POLÍGONS REGULARS” de l’apartat “EL CERCLE CROMÀTIC”

28

Polígon inscrit en una circumferència

Un polígon inscrit en una circumferència és aquell que té tots els seus vèrtexs en punts de la circumferència. En aquest cas, també es diu que la circumferència està circumscrita al polígon. Els costats del polígon inscrit són cordes de la circumferència. En una circumferència, s’hi poden inscriure tant polígons regulars com irregulars. Si el polígon inscrit en una circumferència és un polígon regular, es compleix

que: - El centre de la circumferència també s’anomena centre del polígon

regular. - El radi de la circumferència també s’anomena radi del polígon regular

(distància del centre a un vèrtex del polígon). - L’angle que formen dos radis consecutius s’anomena angle central del

polígon regular. Tos els angles centrals d’un polígon regular són iguals. - El segment que va des del centre del polígon fins un costat de forma

perpendicular s’anomena apotema del polígon regular. - Si unim el centre del polígon regular amb cada un dels seus vèrtexs, el

polígon regular queda dividit en triangles isòsceles idèntics, que en el cas de l’hexàgon regular són triangles equilàters.

Traçats de polígons regulars inscrits en una circumferència

Generalment, no es treballa a la classe de matemàtiques i, en cas de fer-se, es fa igual que a Visual i Plàstica.

Polígon circumscrit en una circumferència

Un polígon circumscrit en una circumferència és aquell que té tots els seus costats tangents a la circumferència. En aquest cas també es diu que la circumferència està inscrita en el polígon.

Triangles. Definició i classificació segons longitud dels costats i segons angles

Està explicat en el sub-apartat “TRIANGLE RECTANGLE” de l’apartat “ELEMENTS VISUALS DE LA IMATGE”

Rectes i punts notables d’un triangle

Aquests conceptes no es treballen a l’ESO; com a molt, s’hi fa alguna referència. On es treballen amb profunditat tant geomètricament com analítica és a 1r de batxillerat.

- L’altura d’un triangle és la recta que passa per un vèrtex i és

perpendicular al costat oposat a aquest vèrtex. Un triangle sempre té tres altures i no sempre passen per l’interior del triangle. En aquests casos, per traçar la perpendicular caldrà prolongar el costat corresponent.

29

Evidentment, una altura d’un triangle no ha de passar necessàriament pel punt mitjà del costat oposat. Les tres altures d’un triangle sempre es tallen en un punt anomenat ortocentre.

- Les mediatrius d’un triangle són les mediatrius de cada costat del triangle. Les mediatrius no han de passar necessàriament pel vèrtex oposat al costat. Les tres mediatrius d’un triangle es tallen en un punt anomenat circumcentre, que és el centre de la circumferència circumscrita al

triangle.

- Les mitjanes d’un triangle són cada una de les rectes que passen per un vèrtex i pel punt mitjà del costat oposat a aquest vèrtex. Aquestes rectes no han de ser necessàriament perpendiculars al costat. Les tres mitjanes d’un triangle es tallen en un punt anomenat baricentre.

- Les bisectrius d’un triangle són les bisectrius de cada angle del triangle.

Les tres bisectrius d’un triangle es tallen en un punt anomenat incentre, que és el centre de la circumferència inscrita en el triangle.

Traçats d’un triangle equilàter conegut el costat, d’un triangle isòsceles coneguts els costats desiguals, d’un triangle rectangle coneguda la hipotenusa i un catet i d’un triangle escalè donats dos costats i l’angle comprès.


Quadrilàters. Definició i classificació dels quadrilàters convexos.

Un quadrilàter és un polígon de quatre costats. Per tant, té quatre vèrtexs i dues diagonals. És el polígon amb el menor nombre de costats que pot ser còncau. La suma dels angles d’un quadrilàter qualsevol és 360º, ja que sempre el podem seccionar en dos triangles. La suma dels angles de cada triangle és 180º i, per tant, la suma dels angles del quadrilàter serà de 360º.

30

Els quadrilàters convexos es classifiquen segons els nombre de costats paral·lels que tenen: - Els paral·lelograms tenen cada parell de costats oposats paral·lels. - Els trapezis tenen un parell de costats paral·lels i els altres dos costats

no paral·lels. Els costats paral·lels del trapezi s’anomenen bases. - Els trapezoides no tenen cap costat paral·lel.

Tots els paral·lelograms compleixen: - Els costats oposats tenen la mateixa longitud - Els angles oposats tenen la mateixa amplitud - El punt on es tallen les dues diagonals divideix cada diagonal en dues

parts iguals. Tipus de paral·lelograms: - El rectangle té els quatre angles iguals, és a dir, rectes.

Les diagonals d’un rectangle són d’igual longitud. - El rombe té els quatre costats d’igual longitud.

Les diagonals d’un rombe són perpendiculars. - El quadrat té els quatre angles iguals (rectes) i els costats d’igual

longitud. Per tant, el quadrat és un cas particular de rectangle i de rombe. Les diagonals d’un quadrat són d’igual longitud i perpendiculars.

- El romboide no té ni els quatre angles iguals ni els quatre costats d’igual

longitud. Les diagonals d’un romboide no tenen la mateixa longitud ni són perpendiculars.

Tipus de trapezis: - El trapezi rectangle té dos angles rectes.

Les diagonals d’un trapezi rectangle no tenen igual longitud, ni són perpendiculars, ni es tallen en el seu punt mitjà.

- El trapezi isòsceles té els dos costats no paral·lels d’igual longitud.

Els angles d’un trapezi isòsceles són iguals dos a dos i les seves diagonals tenen igual longitud, no són perpendiculars i no es tallen en el seu punt mitjà.

- El trapezi escalè no té cap angle recte ni cap costat d’igual longitud.

Els quatre angles d’un trapezi escalè són diferents i les seves diagonals no tenen igual longitud, ni són perpendiculars, ni es tallen en el seu punt mitjà.

Traçat d’un quadrat conegut el costat, d’un rectangle coneguda la seva diagonal i un costat, d’un rombe conegudes les diagonals i d’un trapezi rectangle conegudes la base i l’altura


31

Recomanacions

El centre d’un polígon només està definit si aquest és regular i, per tant, coincideix amb el centre de la seva circumferència circumscrita. Aquest fet no queda clar en la definició de polígon inscrit del llibre de text.

L’altura d’un triangle tant pot ser una de les rectes notables del triangle descrites anteriorment, com la longitud del segment que va des d’un vèrtex fins al costat oposat de forma perpendicular, és a dir, la distància entre el vèrtex i el costat oposat. Aquesta segona definició és la utilitzada a l’hora de calcular àrees.

Per visualitzar la relació entre els costats, angles i diagonals d’un quadrilàter és útil construir-los en peces de meccano. D’aquesta forma es veu molt clar quines característiques es mantenen i quines varien en passar d’un quadrilàter a un altre.

En un quadrat, l’angle que formen les diagonals amb cada un dels seus costats són iguals. L’alumnat tendeix a pensar que passa el mateix amb altres quadrilàters, sobretot amb el rectangle. Cal remarcar que aquesta propietat només la compleix el quadrat.

les matemÀtiques de l’educaciÓ visual i plÀstica · 2010-10-04 · aquest tema es donen...

Documents