metodes matemàtics de la física

INTRODUCCIO

DESCRIPCIO DE L’ASSIGNATURA

El text-guia que teniu a les mans ha estat escrit per a l’assignatura de MetodesMatematics de la Fısica del tercer semestre de l’ensenyament de Fısica. Aquesta assig-natura consta de 9 credits, dels quals 6 corresponen a classes de teoria, i 3, a problemes.

L’estudiant ja esta familiaritzat amb els elements basics d’algebra i calcul i ara had’aprendre les tecniques de variable complexa i dels metodes avancats de les matematiquesque es requereixen en Fısica Quantica, Optica, etc. i en la major part d’assignatures desegon cicle.

OBJECTIUS

L’objectiu principal es proporcionar a l’estudiant les eines matematiques basiques per ala resolucio de problemes fısics. D’una manera general podem dir que es molt importantque l’alumne adquireixi solidament les tecniques d’integracio en variable complexa i les deresolucio d’equacions diferencials de segon ordre.

CONEIXEMENTS PREVIS

L’assignatura requereix un coneixement satisfactori del calcul en una i diverses variables,objectiu de les assignatures del primer any Analisi Matematica I i II. Es la darrera assig-natura obligatoria de matematiques (encara que te una orientacio essencialment fısica), iexigeix que l’alumne tingui familiaritat i agilitat amb els conceptes basics del calcul.

METODOLOGIA

Aquesta es una assignatura orientada especialment a la resolucio de problemes. No caldir que la llista de problemes proporcionada independentment complementa perfectamentles classes de teoria; per altra banda, el nombre de credits es troba repartit adequadamentperque es pugui portar una bona coordinacio entre les classes de teoria i les de problemes.Aquestes darreres son especialment importants, i mai no s’haurien de reduir a una exposiciosistematica de la llista de problemes per part del professor. El treball continuat de l’alumnees indispensable per a la bona marxa del curs; si aquest no existeix majoritariament, elritme, l’atencio i la motivacio de tothom decreix.

A part dels apunts de classe, l’estudiant hauria de tenir la curiositat suficient per con-

ii

sultar alguna part, com a mınim, de la bibliografia addicional que normalment indica elprofessor, la qual cosa sera enormement util per a l’alumne ara i mes endavant; a causa delfet que cap text mai no es exhaustiu, sovint calen diferents referencies bibliografiques per auna satisfaccio personal definitiva.

CRITERIS D’AVALUACIO

El criteri d’avaluacio es basa en l’examen final, encara que el professor a carrec del’assignatura podria afegir-ne d’altres. En qualsevol cas, l’estudiant haura de demostrar queconeix el contingut de l’assignatura aprovant l’examen, que constara d’una prova objectivamultiresposta i d’una serie de problemes.

iii

PROGRAMA DE L’ASSIGNATURA

El programa consta de tres parts diferenciades: la primera d’elles correspon a la Teoriade Variable Complexa; la segona, a les Equacions Diferencials de Segon Ordre, i la tercera,a les Transformades Integrals.

El contingut detallat del programa es troba exposat en la Guia de l’Ensenyament deFısica. El text-guia cobreix els dos darrers temes.

US DEL TEXT-GUIA

El text-guia pot ajudar l’estudiant en la tasca de planificacio de l’estudi, a part de seruna referencia clara i fiable del contingut de les parts segona i tercera del programa del’assignatura, amb el nivell adequat a la maduresa de l’estudiant de segon any.

Aquesta es una guia per a les classes de teoria, encara que hi ha exemples escollits dins eltext que serviran per a la resolucio d’altres problemes. Aquests exercicis proposats al llargdel text exemplifiquen o clarifiquen una certa situacio que es vol posar en relleu, mes que noplantegen un problema perque sigui resolt per l’estudiant. Son els problemes de la col.leccioels que l’estudiant ha d’intentar de resoldre d’una forma autonoma, amb l’ajut d’aquest text-guia i les notes preses a classe. No intentem, pero, que el text sigui l’unica referencia; moltsdels punts tractats aquı seran ampliats pel professor des del seu punt de vista personal imolts d’altres podran ser ampliats pel propi estudiant amb les referencies que s’han inclos enels apartats corresponents. D’altra banda, hi ha altres punts que possiblement sobrepassenel nivell d’exigencia de l’assignatura, pero nosaltres els hem volgut incloure com a futurspunts de referencia per a l’estudiant.

CONTINGUTS DEL TEXT-GUIA

Encara que el text-guia no inclou tot el programa de l’assignatura, el nostre objectiu haestat el de tenir en un text unificat tot el que els estudiants de primer cicle necessiten sabersobre les equacions diferencials en derivades parcials de la Fısica. Aixı hem deixat de bandaels temes dedicats a la variable complexa, que, dins el nivell requerit en el Pla d’estudis, jaha estat cobert per altres publicacions en catala.

El text-guia consta de 6 capıtols, els cinc primers cobreixen la segona part del programai el darrer, la tercera. Els dos primers capıtols son mes generals i constitueixen la base imotivacio per a l’estudi de les solucions d’equacions diferencials, desenvolupat en els capıtols3, 4 i 5; el darrer capıtol torna a ser de caracter general i introdueix les transformadesintegrals.

Mes detalladament, el contingut es pot desglossar de la forma seguent. El primer capıtolesta dedicat a un estudi general de les equacions diferencials en derivades parcials queapareixen comunament en la Fısica. Aquestes equacions normalment permeten de ser at-acades mitjancant el metode de separacio de variables que porta a equacions diferencialsordinaries amb punts singulars. Son justament els comportaments a prop d’aquests puntsels interessants i per aixo s’estudia el metode de Frobenius, per trobar solucions en forma

iv

de serie de potencies al voltant dels punts singulars regulars. Finalment introduım, a unnivell basic, el concepte de propagador o funcio de Green. En el segon capıtol presentem lateoria de Sturm-Liouville com un problema de diagonalitzacio d’operadors diferencials. Elnostre objectiu en aquest punt es mes practic que rigoros, ja que nomes introduım els con-ceptes basics que s’utilitzaran posteriorment en exemples concrets. A continuacio apliquemaquesta teoria a l’equacio diferencial de l’oscil.lador harmonic. Presentem doncs els desen-volupaments en serie de Fourier com un cas particular de desenvolupament en funcionspropies d’un cert operador diferencial de segon ordre. Els capıtols 4 i 5 es dediquen, respec-tivament, a l’estudi dels polinomis de Legendre i de les funcions de Bessel, de nou com aexemples d’aplicacio de la teoria de Sturm-Liouville per a problemes fısics amb unes certessimetries. Finalment, en el darrer capıtol s’enuncien les principals propietats de les trans-formades integrals de Fourier i Laplace; veient-les com a potents eines per a la resoluciod’equacions diferencials en derivades parcials.

AGRAIMENTS

Aquestes notes han anat madurant al llarg dels anys que hem tingut ocasio de dedicar-nos, primer, a l’antiga assignatura Metodes Matematics de la Fısica III i, actualment, a lade Metodes Matematics de la Fısica. En aquest proces hi han col.laborat tots els nostrescompanys en les assignatures, els professors Alfred Molina, Conrad Perez, Jose AlbertoLobo, Enric Verdaguer, Jose M.M. Senovilla, i especialment en Josep Llosa, per la sevaacurada revisio de la darrera versio.

Qualsevol suggeriment que tingueu sobre aquest text-guia, us agrairıem que ens el trans-metessiu per correu electronic a [email protected] o [email protected]. A mes, mantin-drem una actualitzacio permanent (errates, errors, referencies actualitzades, comentaris...)en l’adreca d’internet http://www.ffn.ub.es/metodes/textguia.

INDEX

1 EQUACIONS DIFERENCIALS 1

1.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Exemples d’equacions diferencials de segon ordre en derivades parcialshabituals en Fısica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.2 Generalitats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.3 Metodes de resolucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.4 Separacio de variables en equacions diferencials en derivades parcials 6

1.2 Metode de Frobenius per a equacions ordinaries de segon ordre homogenies . 11

1.2.1 Estudi de solucions entorn de punts ordinaris . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.2 Solucio entorn de punts singulars regulars . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.2.3 Determinacio d’una segona solucio independent a partir d’una solucioconeguda. Metode del Wronskia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 Metodes per a equacions no homogenies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1 Metode de variacio de les constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.2 Metode de la funcio de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.4 APENDIX: Delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2 TEORIA DE STURM-LIOUVILLE 31

2.1 Introduccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2 Espais de funcions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.3 Operadors diferencials lineals de segon ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.1 Condicions de contorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.4 Problema de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4.1 Problema de Sturm-Liouville regular . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.5 Ortonormalitzacio de Gram-Schmidt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.6 Completesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3 SERIES DE FOURIER 45

vi INDEX

3.1 Introduccio. Teoria de Sturm-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Propietats de les series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Identitat de Parseval . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 Altres desenvolupaments relacionats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.1 Espectre d’una funcio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4.2 Series de Fourier en sin i cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

4 POLINOMIS DE LEGENDRE 53

4.1 Equacio de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.1.1 Solucio de l’equacio de Legendre pel metode de Frobenius . . . . . . . 54

4.2 Els polinomis de Legendre Pl(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.2.1 Propietats dels polinomis de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.3 Desenvolupament i convergencia de la serie de Legendre . . . . . . . . . . . . 60

4.4 Solucio general de l’equacio de Laplace en un problema sense dependencia en ϕ 61

4.5 Equacio associada de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4.6 Els polinomis associats de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

4.6.1 Propietats dels polinomis associats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.7 Els harmonics esferics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

4.7.1 Propietats dels harmonics esferics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7.2 Solucio general de l’equacio de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

4.7.3 Desenvolupament en serie de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5 FUNCIONS DE BESSEL 71

5.1 Obtencio de l’equacio diferencial de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2 Solucio de l’equacio de Bessel pel metode de Frobenius . . . . . . . . . . . . 72

5.3 Funcions de Bessel d’ordre semienter (Funcions de Bessel esferiques) . . . . . 75

5.4 Funcions de Bessel de segona especie. Funcions de Neumann . . . . . . . . . 76

5.5 Funcions de Bessel modificades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.6 Propietats de les funcions de Bessel de primera especie . . . . . . . . . . . . 79

5.7 Ortogonalitat de les funcions de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7.1 Forma canonica de l’equacio de Bessel. Hermiticitat de l’operadordiferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.7.2 Series de Fourier-Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.8 APENDIX: La funcio gamma d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

6 TRANSFORMADES INTEGRALS 91

INDEX vii

6.1 Transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.1 Definicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

6.1.2 Propietats de la transformada de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . 92

6.1.3 Producte de convolucio de dues funcions . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2 Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.1 Definicio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.2.2 Propietats de la transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6.2.3 Teorema de convolucio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.2.4 Transformada de Laplace inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

viii INDEX

CAPITOL 1

EQUACIONS DIFERENCIALS

1.1 Introduccio

En aquest capıtol estudiarem les equacions diferencials de segon ordre en derivades parcials.Veurem com convertir aquestes equacions en equacions ordinaries i introduir nous metodesper a la seva resolucio.

Per que estudiem amb tant de detall un tipus tan concret d’equacions diferencials: lesequacions diferencials de segon ordre en derivades parcials? Perque son equacions queapareixen molt sovint en la resolucio de problemes fısics. Bona part de les solucionsanalıtiques que es coneixen s’obtenen a partir d’aquest tipus d’equacions.

Les variables de les quals depenen aquestes equacions son normalment les tres coor-denades espacials i el temps. Aquesta es la situacio mes comuna, pero ocasionalmenttrobem equacions que depenen d’altres variables, com per exemple les de l’espai de lesfases (coordenades i velocitats o moments generalitzats).

Part de la dependencia en les variables espacials ve donada en termes de l’operadorlaplacia (∇2 ≡ ∆), que s’expressa de manera diferent en cada sistema de coordenades:1

Coordenades cartesianes (vegeu Fig. 1.1a)):

∇2ψ =∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

Coordenades cilındriques (vegeu Fig. 1.1b)):

∇2ψ =1

ρ

∂

∂ρ

(

ρ∂ψ

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2ψ

∂2ϕ+∂2ψ

∂z2

1Aquests son els sistemes de coordenades mes utilitzats en problemes fısics. Per a altres sistemes decoordenades podeu consultar el llibre M. R. SPIEGEL i L. ABELLANAS, Manual de formulas y tablas de

matematica aplicada, Col.leccio Schawm, Ed. McGraw-Hill, 1988, pag. 105-109.

2 CAPITOL 1. EQUACIONS DIFERENCIALS

θ

x

z

y

a) b) c)

z

ϕ

ρ

ϕ

r

Figura 1.1: Sistemes de coordenades: a) cartesianes, b) cilındriques i c) esferiques.

Coordenades esferiques (vegeu Fig. 1.1c)):

∇2ψ =1

r2 sin θ

[

sin θ∂

∂r

(

r2∂ψ

∂r

)

+∂

∂θ

(

sin θ∂ψ

∂θ

)

+1

sin θ

∂2ψ

∂ϕ2

]

1.1.1 Exemples d’equacions diferencials de segon ordre en

derivades parcials habituals en Fısica

1. Equacio de Laplace

∇2ψ = 0

ψ : funcio escalar que descriu alguna magnitud fısica

En quins problemes fısics ens apareix l’equacio de Laplace?

• Fenomens electromagnetics (electrostatica):ψ = V , potencial electrostatic. Aleshores

∇2V = 0

es l’equacio que satisfa el potencial electric en absencia de carregues, tant lliurescom lligades.

• Gravitacio:V es el potencial gravitatori en absencia de masses.

• Fenomens de transferencia termica:ψ = T , temperatura. Ara

∇2T = 0

es l’equacio que satisfa la temperatura estacionaria en un sistema sense conveccio(solid o fluid en repos).

1.1. Introduccio 3

• Hidrodinamica:ψ = ~v, velocitat (funcio vectorial ≡ 3 components). Ara

∇2~v = 0

es l’equacio de Navier-Stokes estacionaria en un fluid incompressible viscos.

2. Equacio de Poisson

Equacio que iguala la laplaciana d’una funcio desconeguda a una funcio coneguda deles variables espacials

∇2ψ = −ρ(~r)ε0

• Electrostatica:

ψ es el potencial electrostatic en presencia de carregues

ρ es la densitat volumica de carrega total

• Gravitacio

ψ es el potencial gravitatori en presencia de masses

ρ es la densitat de massa

3. Equacio de Helmholtz

∇2ψ + k2ψ = 0

4. Equacio de difusio dependent del temps

∇2ψ =1

a2

∂ψ

∂t

per exemple, si ψ = T , temperatura, l’equacio

λ∇2T =∂T

∂t,

sent λ la difusivitat termica, descriu un proces no estacionari. Representa un procesde no-equilibri, com es la propagacio de la calor en un solid o en un fluid en el qualno hi ha conveccio.

5. Equacio d’ones dependent del temps

∇2ψ =1

c2∂2ψ

∂t2


Aquesta equacio descriu propagacio i correspon a l’equacio de Helmholtz incloent enψ la dependencia temporal. c es la velocitat de propagacio i depen de cada medi.

Es pot incloure la dependencia temporal de les equacions en la laplaciana, mitjancantuna forma diferencial 4-dimensional. Aixı en coordenades cartesianes, la laplacianapassa a ser la d’Alambertiana,

22 ≡ ∇2 − ∂2

∂x24

amb x4 = ct

6. Equacio de Schrodinger

[

− h2

2m∇2 + V

]

ψ = ih∂ψ

∂t

on ψ es una funcio d’ona.

7. Equacions de Maxwell

Equacions en derivades parcials per als camps electromagnetics en el buit i en absenciade carregues.

∇ · ~B = 0

∇ · ~E = 0

∇× ~E = −∂~B

∂t

∇× ~B = ε0µ0∂ ~E

∂t

Aquestes son les equacions fonamentals de l’electromagnetisme escrites en el sistemaMKS. En altres sistemes d’unitats (CGS, gaussia o gaussia racionalitzat) la seva ex-pressio pot variar pel que fa a les constants que hi apareixen.

Si prenem el rotacional de la segona equacio ens queda

∇× (∇× ~E) = ∇(∇ · ~E︸︷︷︸

=0

) −∇2 ~E = −∇2 ~E = − ∂

∂t∇× ~B,

amb el que podem obtenir

∇2 ~E − ε0µ0∂2 ~E

∂t2= 0,

que es l’equacio d’ones pel camp electric.

1.1. Introduccio 5

1.1.2 Generalitats

Totes les equacions anteriors tenen en comu:

• Son equacions lineals en ψEncara que hi ha casos interessants, com els xocs d’ones, que no son lineals, en principinomes tractarem casos que sı son lineals. Si una equacio no es lineal no podem garantirl’existencia i unicitat de la seva solucio.2

• Son equacions diferencials de segon ordre en derivades parcialsLes equacions de Maxwell son en principi de primer ordre, pero hi intervenen duesfuncions desconegudes. Si eliminem una de les funcions ens queden equacions desegon ordre.

• Es poden posar com

L[ψ] = F

on L es un operador diferencial lineal. En coordenades cartesianes, sera un oper-ador que tindra la forma L = L(x, y, z, ∂x, ∂y, ∂z, ∂t). D’altra banda F , el termeinhomogeni de l’equacio, es una funcio especıfica caracterıstica del problema i ψ es lafuncio desconeguda, sigui escalar o vectorial.

Un operador diferencial lineal es aquell que compleix

L[λ1ψ1 + λ2ψ2] = λ1L[ψ1] + λ2L[ψ2]

sent λ1, λ2 ∈ C. Aixo es molt important perque si ψ1,2 son solucions independents del’equacio diferencial homogenia

L[ψ1,2] = 0,

aleshores qualsevol combinacio lineal d’elles tambe ho sera. I la solucio general del’operador es podra posar com una combinacio lineal

ψ = C1ψ1 + C2ψ2.

1.1.3 Metodes de resolucio

• Equacions diferencials homogeniesUn primer pas es intentar la separacio de variables; separem les equacions enderivades parcials en equacions diferencials ordinaries. Aquestes equacions seran lin-eals i la seva solucio te dues constants d’integracio. La solucio fısica d’una equaciodiferencial ha de complir uns certs requisits perque sigui unica. Aquestes condicionsson de dos tipus:

2Per a un estudi senzill, pero avancat, de les equacions no lineals podeu veure G. F. SIMMONS, Ecua-

ciones diferenciales, McGraw-Hill, 1993, Cap. 11.


– condicions inicials: especifiquem el valor de la funcio i la seva derivada en unpunt y(x0) = a0, y

′(x0) = a1.

– condicions de contorn: especifiquem el valor que ha de prendre la funcio, la sevaderivada o una combinacio lineal de les dues en dos punts diferents.

Sota algunes condicions no podrem garantir l’existencia o unicitat de la solucio.

Una equacio diferencial amb les seves condicions inicials o de contorn es presta a dosnivells d’analisi:

– global: cerquem la solucio en una regio d’extensio finita o infinita.

– local: s’investiga la solucio a l’entorn d’un punt, mitjancant el metode deFrobenius que estudiarem a continuacio.

• Equacions diferencials no homogenies

– Metode de variacio de les constants: es construeix una solucio particular a partirde la solucio general de l’homogenia.

– Metode de Green: aquest consisteix en solucions integrals construint la funcio deGreen de l’operador diferencial.

Tambe hi ha altres metodes analıtics, com les transformades integrals (Fourier,Laplace), i metodes numerics, basats en el calcul de diferencies finites.

1.1.4 Separacio de variables en equacions diferencials en derivades

parcials

Aquest metode s’aplica a les equacions diferencials homogenies. Consisteix a imposar unaforma factoritzada per a la solucio, de manera que es pugui descompondre en funcions in-dependents de les diferents variables. No podem garantir l’existencia d’una solucio d’aquesttipus, pero si existeix, cosa que es dedueix de la consistencia del calcul, aquest es el metodemes senzill. Per veure-ho de manera mes clara estudiarem dos exemples concrets.

Exemple: Resolucio de l’equacio de Helmholtz en coordenades cartesianes.

Aquest tipus de problema apareix, per exemple, en estudiar la propagacio de la llumen guies d’ona rectangulars o en la resolucio de problemes en electrostatica.

L’equacio de Helmholtz es

∇2ψ + k2ψ = 0,

que en coordenades cartesianes s’escriu:

∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2+ k2ψ = 0.

1.1. Introduccio 7

Buscarem una solucio factoritzada de la forma

ψ(x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z).

Substituint en l’equacio anterior tenim

X”(x)Y (y)Z(z) +X(x)Y ”(y)Z(z) +X(x)Y (y)Z”(z) + k2X(x)Y (y)Z(z) = 0,

i dividint ara per ψ aquesta equacio

X”

X+Y ”

Y+Z”

Z+ k2 = 0.

Com que k2 es una constant i X”/X nomes depen de x, Y ”/Y de y i Z”/Z de z,cadascun dels termes haura de ser una constant per separat. Aixı, per exemple,

X”

X= ℓ =⇒ d2X

dx2= ℓX,

que te per solucio

X(x) = A1e√

ℓx +A2e−√

ℓx.

Hem obtingut doncs una equacio diferencial ordinaria de segon ordre amb coeficientsconstants que podem resoldre facilment. Analogament,

Y (y) = B1e√

my +B2e−√

my

Z(z) = C1e√

nz + C2e−√

nz,

on ℓ,m, n son en principi arbitraries, pero han de complir una condicio de tancament:

ℓ+m+ n+ k2 = 0.

Hem aconseguit de separar l’equacio en derivades parcials en tres equacions diferencialsordinaries. Ara tenim que, per a qualsevol ψℓmn tal que

ψℓmn(x, y, z) = Xℓ(x)Ym(y)Zn(z) amb l +m+ n+ k2 = 0,

se satisfa l’equacio de partida. Tenim un conjunt de solucions subjectes a una condiciode tancament i aixo ens determina un pla en l’espai de parametres ℓ,m, n (les constants

de separacio no son totes independents). La solucio general ψ s’obtindria fent unacombinacio lineal de totes les possibles solucions ψℓmn

ψ =∑

ℓ,m,m

aℓmnψℓmn amb l +m+ n+ k2 = 0,

escollint els coeficients aℓmn de tal manera que es compleixin les condicions de contorn

del problema. Veurem mes endavant com aquestes limiten tambe el conjunt de valorsque poden prendre les constants de separacio.


Exemple: Resolucio de l’equacio de Helmholtz en coordenades esferiques.

Ara ψ = ψ(r, θ, ϕ)

1

r2∂

∂r

(

r2∂ψ

∂r

)

+1

r2 sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂ψ

∂θ

)

+1

r2 sin2 θ

∂2ψ

∂ϕ2= −k2ψ

Intentem ara, com en el cas anterior, de trobar solucions que siguin un producte detres funcions independents

ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ).

Substituım ara en l’equacio i dividim per ψ,

1

Rr2d

dr

(

r2dR

dr

)

+1

Θr2 sin θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

+1

Φr2 sin2 θ

d2Φ

dϕ2= −k2,

multipliquem l’equacio per r2 sin2 θ,

sin2 θ

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

+sin θ

Θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

+1

Φ

d2Φ

dϕ2= −k2r2 sin2 θ,

i si ara aıllem la part que depen de ϕ, obtenim

1

Φ

d2Φ

dϕ2= −k2r2 sin2 θ − sin2 θ

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

− sin θ

Θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

.

El primer membre nomes depen de ϕ i el segon de r i de θ. Per tant hauran de serconstants identiques i tindrem

1

Φ

d2Φ

dϕ2= M.

Necessariament la dreta de la igualtat ha de ser una constant. Ja veurem mes endavant,pero, quines restriccions comporta el problema fısic sobre els possibles valors de M .

Per a la part en r i θ tenim

k2r2 sin2 θ +sin2 θ

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

+sin θ

Θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

= −M.

Si dividim l’equacio per sin2 θ, ens queda

k2r2 +1

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

︸︷︷︸

nomes depen de r

+1

Θ sin θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

= − M

sin2 θ︸︷︷︸

nomes depen de θ

.

Per tant ambdos membres han de ser la mateixa constant,

k2r2 +1

R

d

dr

(

r2dR

dr

)

= Q

1.1. Introduccio 9

− M

sin2 θ− 1

Θ sin θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

= Q.

La darrera d’aquestes equacions,

1

sin θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

+QΘ +M

sin2 θΘ = 0,

es transforma, sota el canvi

x = cos θ Θ(θ) = y(x),

en l’equacio

(1 − x2)y′′ − 2xy′ +

(

Q+M

1 − x2

)

y = 0

que s’anomena equacio de Legendre associada. En el capıtol 4 veurem com resoldreaquesta equacio.

Per altra banda, l’equacio que hem obtingut per a R,

1

r2d

dr

(

r2dR

dr

)

+ k2R−Q1

r2R = 0,

sota un canvi de variables es transforma en l’equacio de Bessel, com veurem en elcapıtol 5 (pag. 62).

Hem aconseguit doncs tres equacions diferencials ordinaries de segon ordre, i la soluciomes general sera una combinacio lineal de solucions ψQM del tipus

ψQM = RQ(r)ΘQM (θ)ΦM (ϕ)

es a dir,

ψ(r, θ, ϕ) =∑

Q,M

RQ(r)ΘQM(θ)ΦM (ϕ)

on Q,M son en principi valors arbitraris.

Veurem a continuacio com aquests parametres depenen de les condicions fısiques delproblema en consideracio. Suposem que l’equacio de Helmholtz que estem estudiantcorrespon a un problema fısic i ϕ es l’angle azimutal; aleshores es lıcit demanar quela solucio compleixi certes condicions. En particular exigim que sigui una funcio deperıode 2π,3 es a dir

Φ(ϕ+ 2π) = Φ(ϕ)

aleshores, segons l’equacio diferencial, aquesta funcio haura de ser de la forma

Φ ∝ exp(√Mϕ), amb

√M = ±im,m ∈ Z

3Aquest fet es consequencia de que (r, θ, ϕ) i (r, θ, ϕ+ 2π) donen el mateix ~r = (x, y, z).


o sigui,

Φ = C1eimϕ + C2e

−imϕ

que es una funcio periodica de perıode T = 2π/m. Per tant aixo ens implica queM = −m2 sent m un nombre enter. Veurem tambe mes endavant (capıtol 4) queQ = ℓ(ℓ+1) sent ℓ ara un nombre natural, perque volem solucions que siguin acotadesen tot l’interval de definicio del nostre problema. Per la mateixa rao, els possiblesvalors de m i de ℓ tampoc son completament independents.

Exercici: Resoleu l’equacio de Helmholtz en coordenades cilındriques.

Exercici: Trobeu el potencial electric entre dos electrodes paral.lels semiinfinits apotencial nul limitats per un electrode pla a un potencial V0.

Vegem ara alguns exemples d’equacions diferencials ordinaries que apareixen en fer sep-aracio de variables en diferents problemes fısics:

• Equacio de Legendre Correspon a l’equacio de Legendre associada fent m = 0.

d2y

dx2− 2x

1 − x2

dy

dx+ℓ(ℓ+ 1)

1 − x2y = 0

Apareix en problemes en coordenades esferiques, tıpicament fent separacio de variablesen l’equacio de Laplace o de Hemholtz, quan no hi ha dependencia en la variableazimutal.

• Equacio de Legendre associada

d2y

dx2− 2x

1 − x2

dy

dx+ℓ(ℓ+ 1)

1 − x2y − m2

(1 − x2)2y = 0

• Equacio de Bessel

x2 d2y

dx2+ x

dy

dx+ (x2 − n2)y = 0

Apareix tıpicament en problemes en coordenades cilındriques i algunes vegades enesferiques. Correspon a la part que depen de ρ despres d’un canvi adequat.

• Equacio de Laguerre

xd2y

dx2+ (1 − x)

dy

dx+ αy = 0

1.2. Metode de Frobenius per a equacions ordinaries de segon ordre homogenies 11

• Equacio de Laguerre associada

xd2y

dx2+ (1 + k − x)

dy

dx+ αy = 0

Aquesta equacio apareix en Mecanica Quantica, per exemple, en el problema de l’atomd’hidrogen. A partir de l’equacio de Schrodinger independent del temps en coorde-nades esferiques, obtenim l’equacio de Laguerre prenent la part radial i fent un canviadequat.

• Equacio d’Hermite

d2y

dx2− 2x

dy

dx+ 2αy = 0

Apareix per exemple en Mecanica Quantica en el problema de l’oscil.lador harmonic,plantejant l’equacio de Schrodinger independent del temps amb un potencial V =12kx2.

1.2 Metode de Frobenius per a equacions ordinaries

de segon ordre homogenies

Amb aquest metode estudiarem el comportament de la solucio y(z) a l’entorn d’un puntz0. Es tracta d’obtenir la solucio en aquesta regio fent un desenvolupament en serie depotencies.

En general estudiarem localment les solucions d’equacions diferencials del tipus

d2y

dz2+ P (z)

dy

dz+Q(z)y(z) = 0

on z es considerara una variable complexa. P (z) i Q(z) son les funcions que defineixenl’equacio diferencial. Normalment, es pot predir el comportament de les solucions a propd’un punt z0 sense saber com resoldre l’equacio diferencial. Per a aixo es indispensablede coneixer quin es el comportament de les funcions P (z) i Q(z) a l’entorn de z0, tal comveurem seguidament.

Considerem doncs l’equacio definida en un cert domini del pla complex C. Podem classi-ficar un punt z = z0 del pla complex segons l’analiticitat o no de les funcions que intervenenen l’equacio diferencial.

Punt ordinari de l’equacio diferencial: Un punt z0 es ordinari si les funcions P (z) iQ(z) son analıtiques en z0 i en un entorn d’aquest punt en el pla complex.


Punt singular: Es aquell on les funcions P (z) i/o Q(z) no son analıtiques.

Un resultat molt important es que, si z0 es un punt ordinari, les solucions de l’equacioson necessariament analıtiques en z0 i en un entorn d’aquest punt. No obstant aixo,l’invers no es cert. L’analiticitat de les solucions no te implicacio sobre l’analiticitatde P (z) i Q(z). Hi ha situacions en que les solucions son analıtiques en un cert punti en el seu entorn i P (z) i Q(z) no ho son.

Exemple: La seguent equacio diferencial de segon ordre,

y” − 1 + z

zy′ +

1

zy = 0,

te singularitats en z = 0 i z = ∞, i admet com a solucions y = 1 + z i y = exp zque son analıtiques en z = 0 (no ho son, pero, en z = ∞).

L’exemple anterior serveix per adonar-nos del fet que, com a mınim, existeixen dues”classes” diferents de singularitats. Efectivament, podrem classificar les singularitats en dostipus. Hi ha punts singulars en que com a mınim una de les solucions no pot ser analıtica(punts singulars irregulars);4 a l’entorn de punts singulars regulars una o totes les solucionsindependents de l’equacio poden ser analıtiques. En aquest darrer cas, veurem que podremespecificar la forma general de les solucions, de manera que podrem predir exactament quintipus de singularitats es poden presentar. Mes endavant classificarem els punts singulars enregulars i irregulars en termes de P (z) i Q(z).

1.2.1 Estudi de solucions entorn de punts ordinaris

Teorema: En un punt ordinari la solucio general sempre es analıtica. Es a dir,si P (z) i Q(z) son analıtiques en z = z0 aleshores podrem escriure una soluciogeneral, analıtica en z = z0 i en un entorn seu.

Lema: La solucio de l’equacio diferencial es pot expressar de laseguent forma

y(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n (1.1)

Demostracio

Considerem un punt ordinari z0 de l’equacio diferencial. Aixo vol dirque P i Q son analıtiques en z0, i per tant admeten un desenvolupa-ment en serie de Taylor

P (z) =∞∑

n=0

bn(z − z0)n (1.2)

4L’estudi dels punts singulars irregulars queda fora de l’objectiu d’aquest text-guia i del programa del’assignatura. Per a un estudi detallat podeu veure C. M. BENDER i S. A. ORSZAG, Advanced mathematical

methods for scientists and engineers, McGraww-Hill, 1978.


i

Q(z) =∞∑

n=0

dn(z − z0)n. (1.3)

Cerquem ara una expressio per als an en funcio dels coneguts bn i dn.

Substituım doncs (1.2) i (1.3) en l’equacio diferencial juntament amb(1.1)

∞∑

n=2

ann(n− 1)(z − z0)n−2 +

∞∑

n=1

ann(z − z0)n−1

∞∑

m=0

bm(z − z0)m +

+∞∑

n=0

an(z − z0)n

∞∑

m=0

dm(z − z0)m = 0

que podem reescriure com∞∑

k=0

ak+2(k + 2)(k + 1)(z − z0)k +

∞∑

n=1

∞∑

m=0

anbmn(z − z0)n+m−1 +

+∞∑

n=0

∞∑

m=0

andm(z − z0)n+m = 0

Si ara fem el canvi n+m− 1 = k en el segon terme i n+m = k en eltercer els podem posar com

∞∑

k=0

ak+2(k + 2)(k + 1)(z − z0)k +

∞∑

k=0

k+1∑

n=0

anbk−n+1n(z − z0)k +

+∞∑

k=0

k∑

n=0

andk−n(z − z0)k = 0

i com que per tal que una serie de potencies sigui nul.la cal que totsels coeficients en el seu desenvolupament ho siguin, tenim

ak+2(k + 2)(k + 1) +k+1∑

n=0

anbk−n+1n +k∑

n=0

andk−n = 0, ∀k = 0, 1, 2...

Si ara fem un altre canvi k → n − 2 en el primer terme i n → m enels altres dos obtindrem

ann(n− 1) +n−1∑

m=0

ambn−m−1m+n−2∑

m=0

amdn−m−2 = 0, ∀n ≥ 2.

Aixı, per a n ≥ 2 tenim

an = − 1

n(n− 1)

(n−1∑

m=0

mambn−m−1 +n−2∑

m=0

amdn−m−2

)

.

Hem arribat doncs a una relacio de recurrencia, que ens relacionaels diferents coeficients entre ells. Es una recurrencia perque podemconeixer el valor de an a partir de tots els anteriors.

Ates que la recurrencia ens fixa els coeficients an per a n ≥ 2, resultaque a0 i a1 son constants arbitraries, fet que era d’esperar ja que les


solucions a les equacions diferencials de segon ordre contenen duesconstants arbitraries. Podem triar-les de la seguent manera:

a0 = 1a1 = 0

y1

a0 = 0a1 = 1

y2

D’aquesta forma generem dues series independents i la solucio generalsera

y = C1y1 + C2y2.

Un cop demostrat que les solucions es poden expressar d’aquesta man-era haurıem de demostrar, a mes, que els coeficients son acotats i quela serie es convergent.5 Tindrem doncs una serie que es solucio del’equacio diferencial i el seu radi de convergencia no podra ser mespetit que la distancia de z0 al punt singular mes proxim de l’equaciodiferencial; tot aixo determina una solucio analıtica al voltant del puntz0, punt ordinari de l’equacio diferencial.

2

Exemple: L’equacio diferencial

y′ +2z

1 + z2y = 0

te singularitats a z = ±i. Una solucio es y = c1+z2 i es pot veure que el radi

de convergencia del seu desenvolupament de Taylor a l’entorn de z = 0,punt ordinari, es 1.

2

Exercici: Resoleu l’equacio diferencial y′′ − 2xy′ − 2y = 0 al voltant dez = 0.

1.2.2 Solucio entorn de punts singulars regulars

Havıem dit que, entorn d’un punt singular regular, la solucio en general no es analıtica, ique es pot especificar la forma de les solucions entorn d’aquests punts. Mes concretament,un punt z0 es singular regular si P (z) i/o Q(z) no son analıtiques, pero sı que ho son(z − z0)P (z) i (z − z0)

2Q(z). Aixo implica que, com a maxim, P (z) pot presentar com asingularitat un pol d’ordre 1 i Q(z) un pol d’ordre 2 en z = z0. Entorn d’aquests punts,veurem que la solucio admet un cert desenvolupament en serie de potencies. Clarament,no es tracta d’un desenvolupament en serie de Taylor, es a dir en la forma d’una serie depotencies enteres i positives. La seva forma l’estudiarem seguidament.

5Per a detalls d’aquesta demostracio podeu veure G. F. SIMMONS, Ecuaciones diferenciales, McGraw-Hill, 1993, pag. 215-217.


Exemple:

y′′ +1

4z2y = 0

Aquı P (z) = 0 i Q(z) = 1/4z2 i aixı z = 0 es un punt singular regular. Intentem detrobar una solucio en la forma d’un desenvolupament de Taylor entorn de z = 0:

y(z) =∞∑

n=0

anzn

Substituint en l’equacio diferencial tenim

∞∑

n=0

[n(n− 1)an +1

4an]zn = 0 ⇒ (n− 1

2)2an = 0 n = 0, 1, . . . ,

i deduım doncs que an = 0 per a tot n i l’unica solucio es la trivial.

Provem ara de fer un desenvolupament alternatiu entorn de z = 0 en la forma

y(z) = zα∞∑

n=0

anzn, (1.4)

sent α un parametre per determinar. Substituint en l’equacio diferencial tenim

∞∑

n=0

[(n+ α)(n + α− 1)an +1

4an]zn+α−2 = 0.

Si triem a0 = 1 ens porta a α = 12 . Un cop fixada α, s’han d’anul.lar la resta de

coeficients, an = 0 per a tot n > 0, i la solucio sera y(z) =√z. Fixem-nos que podrıem

haver triat un altre coeficient an diferent de zero, per exemple a1 = 1. Aleshoresα = −1

2 , pero aixo ens genera exactament la mateixa solucio. Podem concloure,doncs, que un desenvolupament del tipus (1.4) ens ha determinat en aquest cas unasolucio.

Teorema de Fuchs: Al voltant d’un punt singular regular, existeix una soluciodel tipus

y(z) = (z − z0)α

∞∑

n=0

an(z − z0)n. (1.5)

amb a0 6= 0.

Demostracio:

Considerem els seguents desenvolupaments per a P (z) i Q(z),

P (z) =∞∑

n=0

pn(z − z0)n−1 i Q(z) =

∞∑

n=0

qn(z − z0)n−2,


amb p0, q0, q1 no simultaniament nuls per tal que z0 sigui un punt singular regular.

Si introduım el desenvolupament proposat per a la solucio i el de les funcionsP (z) i Q(z) dins l’equacio diferencial obtenim

( ∞∑

n=0

an(n + α)(n+ α− 1)(z − z0)n+α−2

)

+

+

( ∞∑

n=0

(n+ α)an(z − z0)n+α−1

)( ∞∑

n′=0

pn′(z − z0)n′−1

)

+

+

( ∞∑

n=0

an(z − z0)n+α

)( ∞∑

n′=0

qn′(z − z0)n′−2

)

= 0.

Introduint k = n+ n′

∞∑

n=0

an(n+ α)(n+ α− 1)(z − z0)n+α−2 +

+∞∑

k=0

k∑

n=0

an(n+ α)pk−n(z − z0)k+α−2 +

∞∑

k=0

k∑

n=0

anqk−n(z − z0)k+α−2 = 0.

Canviant n per k dins els sumatoris dobles ens queda

∞∑

n=0

(z − z0)n+α−2

(

an(n+ α− 1)(n+ α) +n∑

k=0

ak(k + α)pn−k +n∑

k=0

akqn−k

)

= 0.

Com que cada coeficient ha de ser zero, tenim, per a n = 0,

a0(α− 1)α+ a0αp0 + a0q0 = 0, (1.6)

i per a n ≥ 1,

an(n+ α− 1)(n+ α) + an(n+ α)p0 + anq0 = −n−1∑

k=0

[ak(k + α)pn−k + akqn−k] ,

que podem posar com

an = − 1

(n + α) [(n + α− 1) + p0] + q0

n−1∑

k=0

[ak(k + α)pn−k + akqn−k] .

Aquesta es la relacio de recurrencia que determina an en funcio dels anteriorsconeguts. Tambe es pot escriure en la forma mes compacta

F (n+ α)an = −n−1∑

k=0

[ak(k + α)pn−k + akqn−k] ,


on hem introduıt

F (n+ α) = (n+ α− 1)(n + α) + (n + α)p0 + q0.

D’altra banda, a partir de (1.6), i tenint en compte que a0 6= 0, tenim

F (α) = α2 + (p0 − 1)α+ q0 = 0 (1.7)

equacio de segon grau en α anomenada equacio indicial. Encara que l’equaciosigui de coeficients reals les arrels poden ser complexes. Aquesta equacio ensproporciona els exponents α1, α2 que corresponen a dues solucions del tipus(1.5). Prendrem com a criteri d’ordenacio dels ındexs Re(α1) ≥ Re(α2).

Introduint els exponents α1, α2, que satisfan l’equacio indicial

F (α) = α(α− 1) + αp0 + q0 = (α− α1)(α− α2) = 0

dins l’expressio per a F (n+ α), obtenim

F (n+ α) = (n+ α− α1)(n+ α− α2).

Definint ara s = α1 − α2, i substituint α per α1 en l’equacio anterior tenim

F (n+ α1) = n(n+ s),

de manera que l’expressio de recurrencia per a α = α1 es

an = − 1

n(n + s)

n−1∑

k=0

ak [(k + α1)pn−k + qn−k] , n > 0 (1.8)

Ara, com en el cas d’un punt ordinari, i un cop trobada la relacio de recurrenciaper a les an, haurıem de veure que realment aquests coeficients representen unaserie convergent en un entorn de z0, punt singular regular.6 Aleshores, la serierepresentada pels an trobats, amb a0 6= 0 sera una serie convergent, i la soluciotambe ho sera dins una corona que exclou el punt z = z0, de radi no menor a ladistancia a la singularitat mes propera.

2

Acabem de veure que substituint una de les arrels de l’equacio indicial hem trobat unasolucio de l’equacio diferencial entorn d’un punt singular regular. Encara n’hem de trobaruna altra. El fet que l’altra arrel generi una solucio independent depen d’una casuısticaparticular que analitzarem seguidament. Per a aixo cal distingir tres casos:

6Per a una demostracio podeu veure G. F. SIMMONS, Ecuaciones diferenciales, McGraw-Hill, 1993,pag. 217-219.


• α1 − α2 6∈ N

• α1 = α2

• α1 − α2 ∈ N

1. α1 − α2 6∈ N

En aquesta situacio podem substituir α per α2 dins la relacio de recurrencia per a an

[on ara F (n+ α2) = n(n− s)]:

an = − 1

n(n− s)

n−1∑

k=0

[(k + α2)pn−k + qn−k] ak.

i fent a0 = 1 obtindrem una nova serie, que proporcionara la segona solucio.Obviament, la situacio conflictiva es pot donar en el cas que s = α1 − α2 ∈ N.

2. α1 = α2

En aquest cas l’arrel doble nomes genera una solucio. Clarament, la segona solucio noes de la forma (1.5), i necessitem doncs un metode alternatiu per trobar una segonasolucio.

3. α1 − α2 ∈ N

Analitzant la relacio de recurrencia per a α = α2 tindrem que l’expressio

n(n− s)an = −n−1∑

k=0

ak [(k + α2)pn−k + qn−k] (1.9)

s’escriu, per a n = s

0 · as = −s−1∑

k=0

ak [(k + α2)ps−k + qs−k] .

A causa de la propia relacio de recurrencia ak es proporcional a a0, que es el primercoeficient, a traves d’un cert coeficient de proporcionalitat, r. Podem posar doncs elsumatori del segon membre com el producte a0 · r,

−s−1∑

k=0

ak [(k + α2)ps−k + qs−k] = a0 · r = as · 0,

i en aquesta situacio ens podem trobar amb dos casos:

(a) El coeficient de la relacio de recurrencia, r, es zero. En aquest cas a0 i as sonarbitraris. Aixı triant:

• a0 arbitrari i as = 0 =⇒ obtenim y2(z)


• as arbitrari i a0 = 0 =⇒ obtenim novament y1(z)

Exemple:

y′′ − 2

zy′ +

2

z2y = 0

L’equacio indicial es α2 − 3α+ 2 = 0, amb arrels α1 = 2, α2 = 1. La primerasolucio sera doncs

y1(z) =∞∑

n=0

anzn+2

que ens porta a la recurrencia

[(n+ 2)(n + 1) − 2(n + 2) + 2]an = 0.

D’aquı, si a0 6= 0 es requereix an = 0 ∀n 6= 0, tenim y1(z) = z2.Fixem-nos ara que, de l’expressio anterior,

0 · a1 = a0 [α2p0 + q0]︸︷︷︸

=0

.

Si triem a0 = 0 i a1 = 1, la resta de coeficients an son zero i obtenim y(z) = z2.Es a dir, recuperem la primera solucio. En canvi, si triem a0 = 1 i a1 = 0, laresta de coeficients son nuls i tenim y2(z) = z, que es la segona solucio.

(b) El coeficient de la relacio de recurrencia, r, es diferent de zero. Aleshores lanecessitat de complir la relacio de recurrencia ens obliga a imposar a0 = 0, ambas arbitrari, i aixo ens porta novament a y1.

Exemple:

y′′ +1

zy′ − 1

4z2y = 0

Ara l’equacio indicial es α2 − 14 = 0, que te per arrels α = ±1

2 i s = 1. La

primera solucio es z1/2. Per a la segona solucio, analitzem la recurrencia ambs = 1:

0 · a1 = −a0 [α2p0 + q0]︸︷︷︸

6=0

Aixo implica a0 = 0, mentre a1 es arbitrari, i la resta de coeficients son totsnuls. Aleshores y2(z) = z−

1

2 ·1 · z = z1

2 , que es exactament la primera solucio.

Aixı doncs la segona solucio no pot ser de la forma (1.5).

Diferencia respecte d’un punt ordinari

• En el desenvolupament entorn d’un punt ordinari, tenıem que la relacio de recurrenciaera valida per a n ≥ 2 i hi havia arbitrarietat en a a0 i a1.

• Ara l’arbitrarietat nomes es en a0, associat a cada un dels valors α1, α2. En principiun d’ells, amb a0 = 1, ens portara a una solucio. Si hi introduım l’altre, no podemgarantir en general l’existencia d’una altra solucio en forma de serie de potencies.


1.2.3 Determinacio d’una segona solucio independent a partird’una solucio coneguda. Metode del Wronskia

Si y1, y2 son dues solucions linealment independents de l’equacio diferencial

y′′ + P (z)y′ +Q(z)y = 0

el wronskia es defineix com

W =

∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣∣= y1y

′2 − y′1y2

i la seva derivada es

W′=

∣∣∣∣∣

y1 y2

y′′1 y′′2

∣∣∣∣∣= y1y

′′2 − y′′1y2.

Si en la darrera expressio substituım y′′1 , y′′2 en termes de P,Q i les derivades primeres tenim

W′= y1(−Py′2 −Qy2) − y2(−Py′1 −Qy1) = −P (z)(y1y

′2 − y2y

′1) = −P (z)W.

Es a dir, l’equacio diferencial que satisfa el wronskia es la seguent

W′+ P (z)W = 0.

Integrant aquesta equacio tenim

W (z) = exp

−∫ z

P (z1)dz1

, (1.10)

on hem d’interpretar la integral com una primitiva ja que qualsevol constant additiva addi-cional es irrellevant. A partir de l’expressio del wronskia tambe podem veure que

W = y1y′2 − y′1y2 = y2

1

(

y2

y1

)′

i si integrem aquesta darrera equacio obtenim

y2(z) = y1(z)∫ z W (z2)

y21(z2)

dz2. (1.11)


Exemple: Trobeu la segona solucio de y′′+y = 0, sabent que la primera es y1 = sinx.

Ara anem a veure com aplicar aquest metode En el nostre cas on tenim una primerasolucio i la funcio P (z) expressades com a series de potencies. Per simplificar la notacio,pero sense que suposi una perdua de generalitat, suposarem que el punt singular regular esz0 = 0. Aixı, a partir de l’expressio per a P (z)

P (z1) =∞∑

n=0

pnzn−11 ,

la integral a (1.10) ens queda

∫ z2

P (z1)dz1 =∞∑

n=0

pn

∫ z2

zn−11 dz1 = p0 ln z2 +

∞∑

n=1

pnzn2

n. (1.12)

Si ara introduım aquesta expressio dins l’exponencial

exp(

−∫ z2

P (z1)dz1

)

= z−p0

2 exp

(

−∞∑

n=1

pnzn2

n

)

.

L’exponencial de la serie es analıtica a l’origen, on val 1, i per tant admetra un desenvolu-pament en serie de potencies al voltant d’aquest punt, malgrat que no coneixem a priori elradi de convergencia d’aquest desenvolupament. Tambe podem fer un tractament similardel factor 1/y2

1(z2), aixı

1

y21(z2)

=1

z2α1

2 (∑∞

n=0 anzn2 )2 = z−2α1

2

∞∑

n=0

bnzn2 .

Amb aixo, tenint en compte que el producte de les dues series al voltant de l’origen ensdonara una altra serie de potencies de z amb uns nous coeficients cn, podrem escriure per ala segona solucio

y2(z) = y1(z)∫ z

z−p0−2α1

2

∞∑

n=0

cnzn2 dz2.

Si tenim en compte, a partir de l’equacio indicial, que −p0 − 2α1 = −s− 1, tindrem

y2(z) = y1(z)∫ z

z−s−12

∞∑

n=0

cnzn2 dz2.


Fixem-nos ara que les integrals en potencies de z2 ens donaran potencies de z llevat del casen que la potencia de z2 sigui -1, que ens donara un terme logarıtmic. En el nostre casapareixera quan n = s si s ∈ N

y2(z) = csy1(z) ln z + y1(z)∞∑

n=0,n 6=s

dnzn−s.

Finalment, ates que y1(z) =∑∞

n=0 anzn+α1 , podem substituir-la en l’anterior i obtenim

y2(z) = csy1(z) ln z +∞∑

n=0,n 6=s

dnzn+α2 . (1.13)

Aquesta es la forma general de la segona solucio independent. Si casualment cs = 0, tindremdues solucions de la forma zα multiplicat per una serie de potencies enteres i positives, mentreque si es diferent de zero, la segona solucio tindra un terme logarıtmic. De fet podrıemprendre (1.13) com a punt de partida, substituir en l’equacio diferencial i calcular-ne elscoeficients cs i dn; aixı obtindrıem la segona solucio independent.

Exemple: Calculem la segona solucio de l’equacio diferencial

y′′ +1

4z2y = 0

tenint en compte que la primera solucio es y1(z) =√z.

En aquesta equacio P (z) = 0 i per tant el wronskia W (z) = 1. Aixı la segona solucio

y2(z) = y1(z)

∫ z 1

z2dz2 =

√z ln z.

1.3. Metodes per a equacions no homogenies 23

Resum:Sempre que tinguem un punt ordinari o un punt singular regular el procediment de fer undesenvolupament en serie (metode de Frobenius) ens porta a, com a mınim, una solucio del’equacio diferencial (Teorema de Fuchs):

y1(z) =∞∑

n=0

an(z − z0)n+α1 (1.14)

El procediment per obtenir una segona solucio de l’equacio diferencial depen de les arrels del’equacio indicial si el punt es singular regular.

• Si les arrels son diferents i difereixen en un nombre no enter, la segona arrel dona lloc ala segona solucio, per analogia amb la primera amb α2 en lloc de α1.

• Si les dues difereixen en un nombre enter, la primera dona una serie amb uns coeficientsdeterminats per la relacio de recurrencia. Que la segona doni una solucio analoga o nodependra del comportament dels coeficients en la relacio de recurrencia. La segona potser doncs com la primera (1.14) o be del tipus

y2(z) = csy1(z) ln z +∞∑

n=0,n 6=s

dnzn+α2 . (1.15)

• Si les dues arrels son iguals, no podem obtenir una segona solucio substituint en la relaciode recurrencia perque ens donaria la primera un altre cop. La segona solucio te la forma(1.15) amb s = 0 i α2 = α1.

1.3 Metodes per a equacions no homogenies

Considerem l’equacio diferencial lineal ordinaria de segon ordre no homogenia

d2y

dx2+ P (x)

dy

dx+Q(x)y = F (x)

on F (x) es una funcio coneguda que pot representar, per exemple, una font (carregueselectrostatiques) o un terme de forcament (ones harmoniques forcades).

La solucio general d’aquesta equacio es pot escriure

y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + yp(x)

on y1, y2 son solucions base de l’homogenia i que ja sabem com trobar-les. En canvi yp esqualsevol solucio particular de l’equacio no homogenia completa. Els metodes analıtics queestudiarem per trobar aquesta solucio son:

• Variacio de les constants


• Metode de la funcio de Green

• Transformades integrals (Fourier, Laplace...)

1.3.1 Metode de variacio de les constants

Suposem que tenim la seguent equacio:

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = F (x)

i coneixem dues solucions linealment independents de l’equacio homogenia, y1(x), y2(x).

El metode consisteix a trobar una solucio particular de l’equacio que prengui la forma:

yp(x) = C1(x)y1(x) + C2(x)y2(x)

on C1(x), C2(x) son funcions per determinar. Obviament, aquesta eleccio no imposa caprestriccio sobre la forma de la solucio particular.

Derivant un cop tenim

y′ = C1y′1 + C ′

1y1 + C2y′2 + C ′

2y2.

Imposant que C1(x) i C2(x) siguin tals que7

C ′1y1 + C ′

2y2 = 0, (1.16)

i derivant un altre cop per obtenir y′′,

y′′ = C ′1y

′1 + C1y

′′1 + C ′

2y′2 + C2y

′′2 .

Si substituım ara en l’equacio de partida ens dona

C ′1y

′1 + C1y

′′1 + C ′

2y′2 + C2y

′′2 + P (C1y

′1 + C2y

′2) +Q(C1y1 + C2y2) = F (x).

Agrupem ara els diferents termes,

C1 (y′′1 + Py′1 +Qy1)︸︷︷︸

0

+C2 (y′′2 + Py′2 +Qy2)︸︷︷︸

0

+C ′1y

′1 + C ′

2y′2 = F,

7Lligam que imposem nomes per simplificar les expressions. L’arbitrarietat que hem introduıt mitjancantC1 i C2 permet d’introduir una condicio subsidiaria entre les funcions.


d’on deduım la segona equacio diferencial per determinar les funcions incognites. Tenimdoncs dues equacions diferencials de primer ordre per a C1, C2

C ′1y1 + C ′

2y2 = 0

C ′1y

′1 + C ′

2y′2 = F

Utilitzant la definicio del Wronskia de dues funcions

W =

∣∣∣∣∣

y1 y2

y′1 y′2

∣∣∣∣∣,

i, com que W (y1, y2) 6= 0 ja que aquestes son solucions linealment independents, podemresoldre el sistema anterior d’equacions algebraiques per la regla de Kramer. Les solucionss’expressen com

C ′1 = − Fy2

W (y1, y2)

C ′2 =

Fy1

W (y1, y2)

i la solucio particular buscada es

yp =

(

−∫

Fy2

W (y1, y2)dx

)

y1(x) +

(∫

Fy1

W (y1, y2)dx

)

y2(x).

Les integrals son indefinides i no cal afegir-hi cap constant d’integracio, ja que aquestase sumaria a la solucio general de l’homogenia.

Exercici: y′′ + y = cosx

1.3.2 Metode de la funcio de Green

Aquest metode serveix en general per trobar solucions d’equacions diferencials no ho-mogenies amb condicions de contorn. Suposem que tenim una equacio diferencial ordinariade segon ordre

y′′ + P (x)y′ +Q(x)y = F (x)


i unes condicions de contorn tals que

y(x0) = Ay(x1) = B

x0, x1 ∈ D x0 < x1.

La solucio completa de l’equacio diferencial es pot escriure, fent servir el metode devariacio de les constants, de la seguent manera

y = λ1y1 + λ2y2 +(∫ x

x0

Fy1

Wdx)

y2 −(∫ x

x0

Fy2

Wdx)

y1.

Imposant les condicions de contorn obtenim dues equacions per a les dues constants λ1,λ2,

A = λ1y1(x0) + λ2y2(x0)

B = λ1y1(x1) + λ2y2(x1) +(∫ x1

x0

Fy1

Wdx)

y2(x1) −(∫ x1

x0

Fy2

Wdx)

y1(x1)

que determinen la solucio que compleix les condicions de contorn especificades.

Ens podem trobar amb els seguents casos, segons quin sigui el rang de la matriu decoeficients:

1. Si∣∣∣∣∣

y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1)

∣∣∣∣∣6= 0

aleshores la solucio existeix i es unica.

2. Si∣∣∣∣∣

y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1)

∣∣∣∣∣= 0

aleshores, depen de

Rang

(

y1(x0) y2(x0) Ay1(x1) y2(x1) B − y2(x1)

∫ x1

x0

Fy1

Wdx+ y1(x1)

∫ x1

x0

Fy2

Wdx

)

> Rang

(

y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1)

)

no hi ha solucio: es incompatible

= Rang

(

y1(x0) y2(x0)y1(x1) y2(x1)

)

hi ha infinites solucions: compatible indeterminat


Si estem en el primer cas de solucio unica triem les solucions de l’homogenia de maneraque siguin tals que en els contorns compleixin8

y1(x0) = 0y2(x1) = 0

Aleshores tenim facilment que

λ2 =A

y2(x0)i λ1 =

B

y1(x1)+∫ x1

x0

y2F

Wdx,

de tal manera que la solucio general de l’equacio no homogenia amb les condicions de contornproposades es

y(x) =

B

y1(x1)+∫ x1

x0

y2F

Wdξ

︸︷︷︸

y1(x)+A

y2(x0)y2(x)+y2(x)

∫ x

x0

y1F

Wdξ−y1(x)

∫ x

x0

y2F

Wdξ

︸︷︷︸

.(1.17)

Combinant les integrals∫ x1

x0− ∫ x

x0=∫ x0

x +∫ x1

x0=∫ x1

x , ens queda

y(x) =B

y1(x1)y1(x) +

A

y2(x0)y2(x) + y2(x)

∫ x

x0

y1F

Wdξ + y1(x)

∫ x1

x

y2F

Wdξ.

Si definim finalment la funcio de Green tal que

G(x, ξ) ≡

y1(x)y2(ξ)

W (ξ)x0 ≤ x < ξ ≤ x1

y2(x)y1(ξ)

W (ξ)x0 ≤ ξ < x ≤ x1

, (1.18)

on hem considerat la G com a funcio de x, llavors podem escriure la solucio general com

y(x) =∫ x1

x0

G(x, ξ)F (ξ)dξ + Ay2(x)

y2(x0)+B

y1(x)

y1(x1).

Per al cas particular en que A = B = 0 (condicions de contorn homogenies), tenim coma solucio

y(x) =∫ x1

x0

G(x, ξ)F (ξ)dξ

8Fixem-nos que sempre podem triar una combinacio de les solucions y1, y2 per tal d’imposar aquestacondicio.


Conclusio: Sempre que tinguem condicions de contorn del tipus y(x0) = y(x1) = 0,podem garantir que la solucio de l’equacio diferencial es pot obtenir simplement integrantla funcio de Green construıda a partir del terme inhomogeni entre els extrems x0 i x1. Elque hem fet formalment es invertir l’operador diferencial

L[y] = F =⇒ y = L−1[F ]

on L−1 es l’operador integral corresponent.

La funcio de Green que realitza aquesta inversio te les seguents propietats:

1. G es contınua en x = ξ.

2. La seva derivada es discontınua en x = ξ:

dG+

dx

∣∣∣∣∣ξ

− dG−

dx

∣∣∣∣∣ξ

=y′2(ξ)y1(ξ)

W (ξ)− y′1(ξ)y2(ξ)

W (ξ)=W (ξ)

W (ξ)= 1.

En general si l’equacio diferencial es de la forma a0(x)y′′ + a1(x)y

′ + a2(x)y = F , elsalt es 1/a0(x).

3. G(x, ξ) compleix les condicions de contorn homogenies [y(x0) = y(x1) = 0]

G(x0, ξ) =y1(x0)y2(ξ)

W (ξ)= 0,

G(x1, ξ) =y2(x1)y1(ξ)

W (ξ)= 0.

4. Satisfa l’equacio diferencial homogenia ∀x 6= ξ.

Observem que L[y] = F amb

y =∫ x1

x0

G(x, ξ)F (ξ)dξ.

Si apliquem L en la darrera expressio tenim

L[y] =∫ x1

x0

L[G(x, ξ)]F (ξ)dξ = F (x),

amb la qual cosa tenim, per les propietats de la δ de Dirac (vegeu Apendix), que

L[G(x, ξ)] = δ(x− ξ),

i G sera doncs la solucio de l’equacio diferencial amb una font puntual a x = ξ.

Exemple: Trobem pel metode de la funcio de Green la solucio de l’equacio diferencial

y′′ + y = x

amb les condicions y(0) = y(π/2) = 0.

1.4. APENDIX: Delta de Dirac 29

1.4 APENDIX: Delta de Dirac

La funcio delta de Dirac δ(x) no es una funcio propiament dita, es el que s’anomena unafuncio generalitzada o distribucio. Fısicament, representa una font puntual. Per exemple,podem pensar en una carrega puntual com una idealitzacio d’una esfera amb una distribuciocontınua i uniforme de carrega fent el lımit del radi de l’esfera tendint cap a zero. En aquestcas la densitat de carrega divergeix pero la integral d’aquesta densitat, que ens ha de donar lacarrega total, ha de romandre finita. Malgrat el seu interes des del punt de vista de la Fısica,l’estudi de la delta de Dirac, com d’altres distribucions, queda fora de l’objectiu d’aquesttext. Podem introduir breument, pero, algunes de les seves propietats mes importants.

Definim la delta de Dirac mitjancant les seguents propietats:

1. δ(x) = 0 ∀x 6= 0.

2.∫∞−∞ δ(x)dx = 1.

3.∫∞−∞ f(x)δ(x)dx = f(0), sent f(x) una funcio contınua en x = 0.

Tambe es pot entendre com el lımit d’una successio de funcions, de les quals son exemple:

δ(x) ≡ limε→0+

sin(x/ε)

πx(1.19)


0 |x| > ε1/(2ε) |x| ≤ ε

(1.20)


ε

π(x2 + ε2)(1.21)


1√πεe−x2/ε (1.22)

Aquesta ultima es pot veure a la figura 1.2.


Figura 1.2: Successio de gaussianes que defineix la delta de Dirac, per a diferents valors deε.

CAPITOL 2

TEORIA DE STURM-LIOUVILLE

2.1 Introduccio

Abans d’entrar en aquesta teoria recordem algunes de les propietats importants dels vec-tors en un espai euclidia de dimensio finita, que seran forca utils a l’hora de fer l’extensionecessaria als espais de funcions, que com veurem es un espai vectorial de dimensio infinita.

Recordem, per exemple, que la dimensio n d’un espai vectorial es el nombre de vectorslinealment independents que pertanyen a l’espai. Considerem un conjunt (arbitrari) de

vectors uj amb j = 1, . . . , n unitaris i ortogonals dos a dos. Aleshores qualsevol vector ~Aes podra expressar com

~A = a1u1 + a2u2 + . . .+ anun

i la forma de calcular els coeficients aj sera tenint en compte les propietats d’ortonormalitat(ortogonalitat i unitarietat) del conjunt de vectors. Multipliquem escalarment per uk

( ~A, uk) = a1(u1, uk) + a2(u2, uk) + . . .+ an(un, uk)

i de tots aquests productes escalars nomes n’hi ha un que sobreviu que es el que ens donaak; aixı doncs

ak = ( ~A, uk).

Recordem tambe que el concepte de producte escalar ens porta al de modul o normad’un vector

‖ ~A‖ =√

( ~A, ~A) =√

a21 + . . .+ a2

n

i a partir d’aquı al de distancia entre dos elements de l’espai vectorial com la norma delvector diferencia.

32 CAPITOL 2. TEORIA DE STURM-LIOUVILLE

Les equacions diferencials a les quals s’arriba despres d’haver aplicat el metode de sepa-racio de variables es poden expressar de tal manera que ens recorden el proces de diagonal-itzacio d’una matriu. Prenem, per exemple, l’equacio diferencial

Φ′′ = MΦ.

En aquesta equacio podem interpretar l’operador que deriva dues vegades com una matriuactuant sobre la funcio (vector) Φ i el seu resultat es un escalar que multiplica a la propiafuncio (vector); aleshores, trobar els valors de M que permetin resoldre l’equacio diferencialsera analeg a trobar els valors propis d’una matriu.

2.2 Espais de funcions

Denotarem per Cn([a, b]) l’espai de funcions d’una variable real, a ≤ x ≤ b, a valors com-plexos, f(x) ∈ C que admeten derivades fins a l’ordre n en tot l’interval, les quals soncontınues.

Com que si sumem dues funcions d’aquestes el resultat tambe te la mateixa propietat,i si multipliquem una d’aquestes funcions per una constant, λ ∈ C, el resultat tambe es deCn([a, b]), aquest espai de funcions te estructura d’espai vectorial.

Resulta obvi de la definicio que si n < m, llavors Cm([a, b]) ⊂ Cn([a, b]). Tambe es facilveure que aquests espais tenen dimensio infinita. Efectivament, la infinitat de monomiselementals 1, x, x2, ..., xl, ..., pertanyen a qualsevol espai Cn([a, b]) i al mateix temps sonlinealment independents, es a dir, no hi ha cap combinacio lineal k0+k1x+k2x

2+...+klxl = 0,

excepte la que te tots els ki = 0.

Donades dues funcions f, g ∈ Cn([a, b]) i una funcio real ω contınua en [a, b] i positiva(excepte potser en un nombre finit de punts), podem definir el producte de Hilbert (ambpes ω):1

(f, g) ≡∫ b

af(x)∗g(x)ω(x)dx (2.1)

el qual te les propietats seguents:

• Es hermıtic: (f, g) = (g, f)∗.

• Es distributiu respecte de la suma:(f1 + f2, g) = (f1, g) + (f2, g) i (f, g1 + g2) = (f, g1) + (f, g2),

1Fixem-nos que aquest producte es l’equivalent del producte escalar (intern) en un espai vectorial dedimensio finita i la funcio ω te el paper de la metrica.

2.3. Operadors diferencials lineals de segon ordre 33

• Mentre que per al producte per constants, k ∈ C:(kf, g) = k∗(f, g) i (f, kg) = k(f, g)

Aquesta ultima propietat s’anomena sesquilinealitat.

• Es definit positiu, es a dir, si g 6= 0, llavors (g, g) > 0.Efectivament,(g, g) =

∫ ba g

∗(x)g(x)ω(x)dx =∫ ba |g(x)|2ω(x)dx > 0

• Es no degenerat. Si (f, g) = 0, ∀g, llavors f = 0.Es consequencia de l’anterior. Veiem que si (f, g) = 0, ∀g, tindrem en particular que(f, f) = 0, que per la propietat anterior implica f = 0.

Amb aquest producte escalar definirem la norma d’una funcio per:

‖f‖ ≡√

(f, f) =

(∫ b

adx |f(x)|2ω(x)

)1/2

.

Utilitzant ara el concepte de norma es pot definir la distancia entre dues funcions f i g

d(f, g) = ‖f − g‖ =

[∫ b

adx|f(x) − g(x)|2ω(x)

]1/2

.

Ambdues definicions satisfan les propietats habituals que defineixen una norma i unadistancia en un espai vectorial de dimensio finita.

A continuacio veurem quina relacio tenen aquestes definicions amb la resoluciod’equacions diferencials de segon ordre amb condicions de contorn. De fet, aquest proces deresolucio el veurem com una diagonalitzacio d’operadors diferencials que han de satisfer, ames, unes certes condicions de contorn.

2.3 Operadors diferencials lineals de segon ordre

Donada una equacio diferencial de segon ordre

L[y] = a0(x)y′′ + a1(x)y

′ + a2(x)y = 0,

sent y(x) una funcio complexa de variable real i a0, a1, a2 funcions reals de variable real,s’anomena operador adjunt l’operador L† que actua segons

L†[y] = (a0(x)y)′′ − (a1(x)y)

′ + a2(x)y = a0y′′ + (2a′0 − a1)y

′ + (a′′0 − a′1 + a2)y


L’operador s’anomena autoadjunt si L = L†, es a dir

a0(x)y′′ + a1(x)y

′ + a2(x)y = a0y′′ + (2a′0 − a1)y

′ + (a′′0 − a′1 + a2)y,

per tant, l’operador es autoadjunt si i nomes si a′0 = a1. Aleshores l’equacio diferencial espot expressar de la seguent manera

L[y] = (a0(x)y′)′ + a2(x)y.

Aquesta expressio s’anomena forma canonica de l’operador diferencial.

Encara que un operador diferencial de segon ordre no sigui autoadjunt sempre n’hi haun d’equivalent que sı que ho es2

ω(x)L[y] = ω(x)a0(x)y′′ + ω(x)a1(x)y

′ + ω(x)a2(x)y =d

dx

[

p(x)d

dx

]

+ q(x)w(x)y(x).

Podem determinar els p, q, w en funcio dels a0, a1, a2.

p(x) = exp

[∫ x a1(t)

a0(t)dt

]

q(x) = a2(x) w(x) =p(x)

a0(x),

que son funcions reals perque el conjunt de les a’s del qual provenen tambe ho es.

Definim ara l’operador diferencial en la seva forma canonica

L ≡ 1

w(x)

d

dx

(

p(x)d

dx

)

+ q(x).

A partir d’ara suposarem que l’operador diferencial pren la forma canonica. Es la funciow(x) la que permet que tot operador es pugui expressar en la forma canonica. Ja veuremmes endavant quin es el paper que te aquesta funcio.

2.3.1 Condicions de contorn

Per resoldre una equacio diferencial de segon ordre,

1

w(x)(p(x)y′(x))′ + q(x)y(x) = 0,

2Aixo no passa amb operadors diferencials d’ordre superior.

2.3. Operadors diferencials lineals de segon ordre 35

calen dues condicions suplementaries. Denotarem per E el subespai de funcions de Cn([a, b])que satisfan les condicions de contorn del problema fısic associat a l’equacio diferencial. Unaforma bastant habitual que poden presentar aquestes condicions suplementaries ve donadaa traves de combinacions lineals de y(a), y′(a), y(b), y′(b); tenim doncs

B0[y] = α00y(a) + α01y′(a) + β00y(b) + β01y

′(b) = γ0

B1[y] = α10y(a) + α11y′(a) + β10y(b) + β11y

′(b) = γ1

amb el conjunt α, β fixat. Aquestes s’anomenen condicions de contorn mixtes no ho-mogenies. Les corresponents condicions de contorn homogenies s’obtenen si γ0 = γ1 = 0,3

que son les que considerarem a partir d’aquest moment.

Un operador diferencial autoadjunt es hermıtic si

(f,Lg) = (Lf, g) ∀f, g ∈ Cn([a, b]).

El producte escalar es el relatiu a la funcio pes w(x), que fa que l’operador L sigui autoadjunt.Fixem-nos en la diferencia entre aquests dos productes escalars

(f,Lg) − (Lf, g) =

=∫ b

af ∗(x)

[

d

dxp(x)

dg

dx+ wq(x)g(x)

]

−∫ b

ag(x)

[

d

dxp(x)

df ∗

dx+ wq(x)f ∗(x)

]

=

= f ∗pg′]ba −

∫ b

af ′∗pg′dx− pf ′∗g]

ba +

∫ b

ag′pf ′∗dx = [pf ∗g′ − pf ′∗g]

ba =

[

pW (f ∗, g)]b

a.(2.2)

3Es pot demostrar que l’analisi general es pot fer prenent condicions de contorn homogenies sobre lafuncio. Sigui y(x) la solucio de

a0y′′ + a1y

′ + a2y = h(x),

que satisfa condicions de contorn mixtes no homogenies, i sigui z(x) qualsevol funcio satisfent les mateixescondicions de contorn. Resulta que la funcio u(x) = y(x) − z(x) satisfa l’equacio diferencial

L[u] = L[y] − L[z] = h(x) − L[z] = g(x),

amb condicions de contorn homogenies

B0[u] = B0[y] −B0[z] = γ0 − γ0 = 0,

B1[u] = B1[y] −B1[z] = γ1 − γ1 = 0.

Per tant, un problema que satisfa condicions de contorn mixtes no homogenies es equivalent a un problemahomogeni redefinint el terme inhomogeni de l’equacio diferencial.


On podem veure que l’hermiticitat de l’operador diferencial depen directament de les condi-cions de contorn imposades en el problema. Examinem ara alguns tipus de condicions sotales quals podrem assegurar l’hermiticitat de l’operador diferencial:

1. p(a) = p(b) = 0 Aquesta es una condicio lligada estrictament a l’operador diferencial

que ens permet d’obtenir hermiticitat sense haver d’exigir condicions de contorn a lesfuncions del domini.

2. α1f(a) + α2f′(a) = 0 i β1f(b) + β2f

′(b) = 0 . Aquestes condicions s’anomenen no

mixtes perque no barregen els dos extrems (pero barregen funcio i derivada). Sonles condicions de contorn mes generals que anul.len el Wronskia en un punt.

3. f(a) = f(b) i f ′(a) = f ′(b) si p(a) = p(b). Aquestes son condicions de contorn

periodiques. Si p(x) es periodica en un interval, podem obtenir hermiticitat exigintcondicions de contorn periodiques sobre les funcions del domini i les seves derivadesprimeres.

Aquesta llista de possibilitats no es exhaustiva, pero recull les mes importants. Al llarg delscapıtols seguents veurem exemples dels tres casos, que representen bona part dels problemesinteressants en Fısica.

2.4 Problema de Sturm-Liouville

En molts problemes amb equacions diferencials en derivades parcials, la separacio de vari-ables condueix a equacions d’autovalors del tipus

L[y] + λy = 0 amb L =1

w(x)

d

dxp(x)

d

dx+ q(x).

En general, haurem de determinar totes les solucions yλ diferents de la trivial que satisfanl’equacio diferencial, associades a tots els possibles valors del parametre λ, sota unes certescondicions de contorn. Aquest problema es coneix amb el nom de problema de Sturm-Liouville. Fixem-nos, de nou, en que aquest es un problema analeg al de calcular valors ivectors propis d’una matriu.

Exemple: Recordem com l’equacio de Laplace en coordenades esferiques ens porta al’equacio de Legendre

(1 − x2)y′′ − 2xy′ + λy = 0

que, en la forma canonica, es pot expressar com

d

dx

[

(1 − x2)dy

dx

]

+ λy = 0

2.4. Problema de Sturm-Liouville 37

d’on identifiquem

p(x) = (1 − x2) q(x) = 0 w(x) = 1 λ = l(l + 1).

En realitat no hi ha cap garantia que y existeixi per a qualsevol valor de λ. Exigir que λtingui associada una funcio propia sovint restringeix els valors acceptables de λ a un conjuntdiscret de valors. Per exemple, en el cas de l’equacio de Legendre, λ = l(l + 1), amb ℓ ∈ N.

Les equacions diferencials ordinaries que provenen de les equacions en derivades parcialsde la fısica es poden expressar en la forma canonica com un problema de Sturm-Liouvilleamb les seguents funcions i parametres:

EQUACIO DOMINI p(x) q(x) w(x) λ

Legendre −1 ≤ x ≤ 1 1 − x2 0 1 l(l + 1)

Legendre associada −1 ≤ x ≤ 1 1 − x2 − m2

1−x2 1 l(l + 1)

Bessel 0 ≤ x <∞ x x2 1/x −n2

Laguerre 0 ≤ x <∞ xe−x 0 e−x a

Hermite −∞ < x <∞ e−x2

0 e−x2

2αO.H.S. 0 ≤ x ≤ 2π 1 0 1 ω2

En aquestes equacions sovint apareixen dos termes que multipliquen y(x). Si es unafuncio de x es posa en q(x) mentre que λ representa en general la constant de separaciode variables de l’equacio diferencial en derivades parcials i sobre el seu valor no tenim demoment cap mena d’informacio.

2.4.1 Problema de Sturm-Liouville regular

Sigui

L =1

w(x)

d

dxp(x)

d

dx+ q(x)

un operador diferencial amb les seguents condicions:

• q, w reals i continus en [a, b]

• p real i derivable amb continuıtat en [a, b]

• w > 0 en [a, b].

Aleshores, imposant condicions de contorn tals que l’operador sigui hermıtic, definim elseguent problema d’autovalors

L[ui] + λiui = 0, ui 6= 0


conegut com a problema de Sturm-Liouville regular. Aquı ui son les funcions propies i λi elsvalors propis associats a la funcio propia ui.

Teorema: Si L es hermıtic aleshores els seus valors propis son reals i les fun-cions propies associades a valors propis diferents son ortogonals.

Demostracio:

Sigui

L[ui] + λiui = 0 i L[uj] + λjuj = 0.

Conjuguem la darrera expressio

L[u∗j ] + λ∗ju∗j = 0

i multipliquem la primera per u∗j i la segona per ui. Restant tenim

u∗jL[ui] − uiL[u∗j ] + (λi − λ∗j)uiu∗j = 0.

Finalment, integrem entre a i b amb w(x):

∫ b

awu∗jL[ui]dx−

∫ b

awuiL[u∗j ]dx+ (λi − λ∗j)

∫ b

awuiu

∗jdx = 0

(uj,Lui) − (Luj, ui)︸︷︷︸

=0

+(λi − λ∗j)(uj, ui) = 0

i arribem a

(λi − λ∗j)(uj, ui) = 0.

A partir d’aquesta darrera expressio podem deduir:

1. Si i = j, com que (ui, ui) = ‖ui‖2 > 0, perque ui 6= 0. Per tant resulta que

λi − λ∗i = 0 ⇒ λi ∈ R

2. Si λi 6= λj ⇒ (ui, uj) = 0

2

Quan i 6= j pero λi = λj tenim el que es diu degeneracio.4 Llavors (ui, uj) no te per queser zero. Pero sempre es possible de fer-los ortogonals, amb el metode de Gram-Schmidt,per exemple.

4El conjunt de solucions u ∈ E de L[u] + λu = 0 es un subespai vectorial d’E , que denotarem per Eλ.Si λ no es un valor propi aleshores Eλ = 0, mentre que si λ es un valor propi dimEλ ≥ 1. En el casdimEλ = m > 1, hi ha mes d’una funcio propia per al valor propi λ, i diem que el valor propi λ es degenerat.

2.5. Ortonormalitzacio de Gram-Schmidt 39

2.5 Ortonormalitzacio de Gram-Schmidt

El procediment d’ortonormalitzacio de Gram-Schmidt permet, per exemple, de trobar unconjunt ortonormal de solucions per a un λ degenerat. Siguin u1, u2, ..., un un conjuntlinealment independent de solucions amb valor propi λ. Aleshores, existeix un conjuntortonormal de solucions v1, v2, ..., vn.

Definirem un proces iteratiu per construir un conjunt de funcions vi, i = 1..n quesatisfan les propietats d’ortonormalitat:

(vi, vj) = δij , i, j = 1, ..., n .

El primer pas es prendre

v1 =u1

‖u1‖, amb ‖u1‖2 ≡ (u1, u1) .

Despres, si tenim els k primers termes v1, ..., vk, el k + 1-esim es defineix com:

vk+1 ≡wk+1

‖wk+1‖,

amb

wk+1 ≡ uk+1 −k∑

1

(vk, uk+1)vk .

Exemple: Aplicacio del metode de Gram-Schmidt al conjunt dels polinomis, amb unafuncio pes ω(x) = e−x, en l’interval [0,∞). Es pot comprovar que aquests polinomisson solucio de l’equacio diferencial de Laguerre.

Aquest exemple ens serveix per mostrar el metode de Gram-Schmidt sobre un conjuntarbitrari de funcions. Partint del conjunt dels polinomis linealment independents xn,obtenim un altre conjunt que satisfa propietats d’ortonormalitat. Fixem-nos que els xnno son solucio de l’equacio de Laguerre. Son simplement un conjunt de funcions que hememprat per obtenir un conjunt ortonormal en un interval amb una funcio pes donats. Aque-stes dues condicions son les que determinen que el resultat final siguin els polinomis deLaguerre, que sı son solucio de l’equacio de Laguerre, xy′′ + (1 − x)y′ + ny = 0.

Escollint altres intervals o altres funcions pes el conjunt xn porta a altres conjunts depolinomis ortonormals.


Polinomi Interval w(x) Normalitzacio a

Legendre (Pn) [−1, 1] 1 22n+1

Laguerre (Ln) [0,∞) e−x 1

Associat de Laguerre (Lkn) [0,∞) xke−x (n+k)!

n!

Hermite (Hn) (−∞,∞) e−x2

2n√πn!

aAquest tipus de normalitzacio es el que es fa servir habitualment de tal manera que, perexemple,

< Pn|Pm >=2

2n+ 1δnm

Veurem en els propers temes com obtenir aquests polinomis ortogonals a partir de lessolucions de les respectives equacions diferencials.

2.6 Completesa

Considerarem un conjunt ortonormal de funcions propies d’un determinat problema deSturm-Liouville. Habitualment es un conjunt infinit numerable, es a dir, es de la formauj, j ∈ N. Podrem intentar d’escriure una funcio contınua qualsevol5 d’un nombre finitde funcions propies:

f(x) =n∑

j=1

ajuj(x) , aj ∈ C. (2.3)

Aixo en general no sera possible, pero podem buscar la combinacio de les n primeres funcionspropies que mes s’hi aproximi:

Sn(x) ≡n∑

j=1

ajuj(x).

En alguns punts ens aproparem mes i en altres menys, fins i tot podem trobar que en algunpunt la serie i la funcio coincideixin.

5De fet tot el desenvolupament seguit al llarg del capıtol es pot estendre a un conjunt de funcions que,sense ser contınues, sı son funcions de quadrat integrable. El fet de considerar funcions contınues obeeixa una rao de simplicitat; no obstant aixo, el problema que plantegen aquestes funcions contınues es queuna successio de funcions contınues pot tenir com a lımit una funcio discontınua. Aleshores la successiono tindria lımit dins el propi espai; es tractaria doncs d’una successio de Cauchy, pero no convergent. Elrequisit ”de quadrat integrable” es simplement la condicio de norma finita, que garanteix que els productesescalars son acotats. Afegint al conjunt de funcions contınues de quadrat integrable tots els possibles lımitsde successions d’aquestes funcions aconseguim la complecio de l’espai de funcions contınues: l’espai defuncions de quadrat integrable.

2.6. Completesa 41

Una mesura de la distancia entre f i Sn la dona la desviacio mitjana quadratica,

‖f − Sn‖2 ≡∫ b

a|f(x) − Sn(x)|2dx = (f − Sn, f − Sn). (2.4)

Per minimitzar aquesta distancia ens adonem que f es una funcio de les n variables com-plexes a1, ..., an o be de les 2n variables reals α1, ..., αn, β1, ..., βn, on hem posat aj = αj+ıβj ,

F (a1, ..., an) = (f − Sn, f − Sn) =

f −n∑

j=1

ajuj, f −n∑

i=1

aiui

. (2.5)

que, desenvolupant els productes escalars, s’escriu

F (a1, ..., an) = (f, f) −n∑

j=1

a∗j(uj, f) −n∑

j=1

aj(f, uj) +n∑

j=1

|aj|2.

La condicio de mınim dona

∂F

∂αj

= 0 ⇒ −(uj, f) − (f, uj) + 2αj = 0 (2.6)

i

∂F

∂βj= 0 ⇒ +ı(uj, f) − ı(f, uj) + 2βj = 0 , (2.7)

que te per solucio

αj = ℜ(uj, f) , i βj = ℑ(uj, f) ,

es a dir,

aj = (uj, f) , j = 1, ..., n. (2.8)

La matriu de les derivades segones de F es la matriu unitat 2n× 2n, definida positiva, perla qual cosa (2.8) dona efectivament el mınim de F .

Hem provat, doncs, que el sumatori

Sn(x) ≡n∑

j=1

(uj, f)uj (2.9)


es la millor aproximacio a f que podem tenir amb una combinacio lineal de les n funcionsu1, ..., un. Aquesta aproximacio millora com mes funcions uj considerem. Efectivament,com que Sn+1 = Sn + (un+1, f)un+1, resulta que

‖f − Sn+1‖2 = ‖f − Sn − (un+1, f)un+1‖2 = ‖f − Sn‖2 − ‖(un+1, f)‖2 ≤ ‖f − Sn‖2.

La millor aproximacio llavors la donara la serie:

S(x) ≡∞∑

j=1

(uj, f)uj(x). (2.10)

En principi S(x) nomes dona la millor aproximacio i no es necessariament cert quef − S = 0. Tanmateix, es facil comprovar que (f − Sn, uj) = 0, ∀j ≤ n i, en consequencia,(f − S, uj) = 0, ∀j ∈ N i tambe (f − S, S) = 0. D’aquı es dedueix que

(f, f) = (f − S, f − S) + (S, S) (2.11)

i tenim l’anomenada desigualtat de Bessel:

‖f‖2 ≥ ‖S‖2 =∞∑

j=1

|(uj, f)|2 . (2.12)

Quan podrem dir doncs que la serie es valida com un desenvolupament de la funcio f ,en el sentit de la convergencia en mitjana quadratica? Doncs quan es compleixi la seguentrelacio6

‖f‖2 =∞∑

j=1

|(uj, f)|2 , (2.13)

coneguda com a igualtat de Parseval. Aixı, en aquest cas, podrem escriure

f = S =∞∑

j=1

(uj, f)uj . (2.14)

Si aquesta igualtat es compleix ∀f direm que el conjunt de funcions uj(x), j ∈ N esun conjunt ortonormal complet, perque qualsevol funcio f de l’espai considerat es potexpressar com una suma infinita (serie) de multiples de les un. Ara be, una serie comportadues operacions: la suma i el pas al lımit. La igualtat (2.14) vol dir que

limn→∞

‖f − Sn‖ = 0 ,

6Tenim una forma alternativa de veure-ho: Sn es una successio (de Cauchy). Si, a mes, es convergentaleshores Sn → f (entenent el lımit en mitjana quadratica). Aleshores de (2.11) es dedueix que ‖f‖2 = ‖S‖2.

2.6. Completesa 43

es a dir, convergencia en mitjana quadratica, la qual cosa no vol dir que hi hagiconvergencia puntual, que s’expressaria com:

limn→∞

Sn(x) = f(x), ∀x ∈ [a, b] .

CAPITOL 3

SERIES DE FOURIER

3.1 Introduccio. Teoria de Sturm-Liouville

L’equacio de l’oscil.lador harmonic

d2y

dx2+ λ2y = 0

apareix sovint en problemes amb alguna equacio separada per a una variable angular az-imutal (ϕ en esferiques i cilındriques o polars on ϕ ∈ [0, 2π]). Ates que la forma canonica del’operador diferencial es directament ω(x) = 1, p(x) = 1 i q(x) = 0, observem que la period-icitat de p(x) garanteix l’hermiticitat de l’operador diferencial en un domini sota condicionsde contorn periodiques:

f(0) = f(2π) f ′(0) = f ′(2π).

Per tant, dins la teoria general de Sturm-Liouville, les solucions yλ(x), que satisfan lescondicions de periodicitat anteriors, constituiran una base de l’espai de funcions de quadratintegrable entre 0 i 2π (L2

[0,2π]):

• λ 6= 0 : yλ(x) = A sinλx+B cosλx. Imposant les condicions de contorn ens queda

A · 0 +B = A sinλ2π +B cosλ2π

A+ 0 · B = A cosλ2π − B sin λ2π.

Perque la solucio existeixi el determinant dels coeficients s’ha d’anul.lar:

∣∣∣∣∣

sinλ2π cos λ2π − 1cosλ2π − 1 − sin λ2π

∣∣∣∣∣= 0 ⇒ 2 cosλ2π = 2 ⇒ λ = n amb n = 1, 2, 3, . . .

46 CAPITOL 3. SERIES DE FOURIER

• λ = 0 : y0(x) = Ax + B. En aquest cas les condicions de periodicitat ens imposenA = 0.

Aixı, dins la teoria general de Sturm-Liouville, el conjunt de funcions 1, sinnx, cos nx,amb n = 1, 2, 3, . . ., forma una base de l’espai de funcions de quadrat integrable entre 0 i 2π(L2

[0,2π]).

Aquestes funcions satisfan les seguents propietats d’ortogonalitat

∫ 2π

0sinmx sin nxdx =

πδmn m 6= 00 m = 0 o n = 0

∫ 2π

0cosmx cos nxdx =

πδmn m 6= 02π m = n = 0

∫ 2π

0sinmx cos nxdx = 0 ∀m,n.

Tambe dins la teoria general qualsevol funcio pertanyent a L2[0,2π] es pot expressar en

funcio de la base de l’espai. Per a aixo es suficient que la funcio compleixi els seguentsrequisits: a) ha de tenir com a molt un nombre finit de discontinuıtats finites i b) unnombre finit de valors extrems (maxims o mınims).

Definim la serie de Fourier d’una funcio f(x) com

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos nx+∞∑

n=1

bn sinnx.

La igualtat anterior l’hem d’entendre com una representacio de la funcio f(x) en termes deles funcions sin i cos, ja que la teoria no ens garanteix que el lımit de la successio formadaper les sumes parcials tendeixi punt a punt a la funcio f(x).

Utilitzant les propietats d’ortogonalitat, els coeficients de la serie son

an =1

π

∫ 2π

0f(x) cosnxdx ∀n = 0, 1, 2, . . .

bn =1

π

∫ 2π

0f(x) sinnxdx ∀n = 1, 2, . . .

La definicio de an inclou la de a0, ja que per n = 0 la condicio d’ortogonalitat es consistentamb l’expressio de la serie de Fourier. Es a dir, s’ha escrit a0/2 per tal que l’expressio delscoeficients sigui la mateixa per a tot n.

3.2. Propietats de les series de Fourier 47

Tambe es poden utilitzar per a una definicio alternativa de les series de Fourier lesexponencials complexes,

f(x) =∞∑

−∞cne

inx.

i ja que les exponencials complexes compleixen

∫ 2π

0e−inxeimxdx = 2πδm,n,

tenim que els coeficients seran

cn =1

2π

∫ 2π

0f(x)e−inxdx.

3.2 Propietats de les series de Fourier

1. L’interval [0, 2π] es completament equivalent a [ϕ, ϕ+ 2π], sent ϕ una fase arbitraria,ja que les funcions sinnx, cosnx segueixen formant una base de l’espai de funcionsde quadrat integrable L2

[ϕ,ϕ+2π].1

2. Si f(x) es contınua i f ′(x) contınua a trossos en aquest interval i f(0) = f(2π),aleshores

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnx+∞∑

n=1

bn sinnx

es el lımit de la serie que convergeix puntualment en la funcio.

Exemple: Ona de dent de serra (vegeu la figura 3.1):

f(x) =

x 0 ≤ x < πx− 2π π < x ≤ 2π

(3.1)

Es una funcio periodica que te una discontinuıtat finita en x = π. Els coeficientsdel seu desenvolupament son an = 0 i bn = 2

n(−1)n+1, amb la qual cosa la sevaserie de Fourier s’escriu

f(x) =∞∑

n=1

(−1)n+1 2

nsinnx.

Podem comprovar facilment que f(π) = 0, i podem a mes veure com es compleixaixo en la figura 3.2.

1p(x) = 1 ∀x i aixo garanteix que l’operador es hermıtic sota condicions de contorn periodiques enqualsevol interval.


0 π 2π

Figura 3.1: Representacio de la dent de serra entre 0 i 2π.

En general la serie convergeix puntualment en la funcio en els punts on f(x) escontınua, i si x = x0 es un punt de discontinuıtat la serie convergeix en la mitjanaaritmetica dels valors dels lımits f(x+

o ) i f(x−o ),

f(x0) =1

2[f(x+

0 ) + f(x−0 )].

Exemple: El desenvolupament de la funcio f(x) = x entre 0 i 2π es (vegeu lafigura 3.3):

f(x) = π −∞∑

n=1

2

nsinnx.

Podem veure que f(0) = f(2π) = π; i aixo ens fa pensar que 0 i 2π son punts dediscontinuıtat2

Aquestes discontinuıtats porten associat un altre efecte conegut com a fenomen de Gibbs,que breument correspon al fet que per molts termes que prenguem en un desenvolupamentde Fourier no podrem evitar que hi hagi una sobrevaloracio en el desenvolupament respectede la funcio i que aquesta es mantingui constant.3

Una caracterıstica molt important de les series de Fourier es que els desenvolupamentsen funcions periodiques son funcions periodiques, encara que no ho siguin les funcionsper desenvolupar. Aixı en aquest cas particular en el fons desenvolupem la funciorepresentada en la figura 3.4.

3. Tret que la funcio f(x) sigui periodica amb perıode 2π/k (k ∈ N), els desenvolupamentsen serie de Fourier en diferents intervals no son equivalents.

2Per a mes detalls d’aquest comportament podeu veure, per exemple, G. F. SIMMONS, Ecuaciones

diferenciales, McGraw-Hill, 1993, pag. 264-269.3Per a l’analisi d’un exemple concret podeu veure G. ARFKEN, Mathematical methods for physicists,

Academic Press, 1970, pag. 836-840.

3.2. Propietats de les series de Fourier 49

Figura 3.2: Serie de Fourier per l’ona de dent de serra tenint en compte un nombre diferentde termes en el desenvolupament.

Exemple: Considerem f(x) = x entre −π i π,

f(x) = −2∞∑

n=1

(−1)nsinnx

n.

Aquest efecte torna a estar relacionat amb la periodicitat de les funcions que formenla base i la no periodicitat de les funcions per desenvolupar.

4. Canvi d’escala: Quan f(x) amb x ∈ [−L,L] es una funcio periodica de perıode 2Lpodem fer un canvi de variable

sinnt, cosnt t ∈ [−π, π],


0 2π

Figura 3.3: Una altra representacio de la dent de serra entre 0 i 2π.

Figura 3.4: Representacio periodica de la dent de serra entre 0 i 2π.

tal que πxL

= t i x ∈ [−L,L]. El desenvolupament en funcio de la nova variable s’escriu

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cosnπx

L+

∞∑

n=1

bn sinnπx

L,

on els coeficients s’expressen de la manera habitual en funcio de t:

an =1

π

∫ π

−πf(t) cosntdt.

Si ara desfem el canvi tindrem que, en termes de la variable x i πLdx = dt,

an =1

L

∫ L

−Lf(x) cos

nπx

Ldx.

bn =1

L

∫ L

−Lf(x) sin

nπx

Ldx.

Tambe es pot fer per a una funcio no periodica, pero ja en coneixem les limitacions(el desenvolupament nomes es valid en l’interval concret en que es fan les integrals).

3.3. Identitat de Parseval 51

3.3 Identitat de Parseval

Recordem que en el capıtol anterior hem demostrat que quan el conjunt de funcions escomplet, com es el nostre cas ara amb les funcions sin i cos, es compleix la igualtat deParseval (2.14). Quan les autofuncions no son de norma unitat es compleix que

‖f‖2 =∞∑

j=1

|aj |2‖uj‖2 . (3.2)

Aixı, la funcio expressada en termes de la base de funcions, es

f(x) =a0

2+

∞∑

n=1

an cos nx+∞∑

n=1

bn sinnx,

i, fent servir les propietats d’ortogonalitat, te per norma

‖f‖2 = 2πa2

0

4+ π

∞∑

n=1

|an|2 + π∞∑

n=1

|bn|2,

i aixo ens permet d’escriure

1

π

∫ 2π

0|f(x)|2 =

a20

2+

∞∑

n=1

|an|2 +∞∑

n=1

|bn|2.

Aquesta es la identitat de Parseval per a les funcions trigonometriques i te moltes apli-cacions practiques, com, per exemple, el calcul de series infinites.

Exemple: Sumeu la serie:

∞∑

n=1

1

n2,

funcio zeta de Riemann ζ(2).

3.4 Altres desenvolupaments relacionats

3.4.1 Espectre d’una funcio

En funcio de les exponencials complexes la serie de Fourier s’escriu

f(x) =∞∑

−∞cne

inx


i la representacio dels coeficients cn es el que es coneix amb el nom d’espectre d’una funcio.Aquesta representacio ens dona idea sobre la importancia relativa dels diferents modes, lesexponencials, que formen una funcio. Per exemple, si x correspon al temps, l’espectre ensdona l’amplitud de les diferents frequencies que formen un senyal.

3.4.2 Series de Fourier en sin i cos

Quan la funcio a desenvolupar en un interval simetric te una paritat determinada (f(−x) =f(x) es una funcio parell i f(−x) = −f(x) es una funcio senar), aleshores el desenvolupamentnomes conte les funcions trigonometriques que corresponen a aquesta paritat (funcions cosper a funcions parells i sin per a senars). Pero alguna vegada pot interessar de desenvoluparuna funcio o be que no te paritat definida, o be que esta definida en un interval no simetric entermes nomes d’un dels dos tipus de funcions trigonometriques; aquestes son les anomenadesseries de Fourier en sin i cos.

Per fer aixo nomes cal redefinir la funcio de tal manera que tingui les propietats de paritatcorresponents al seu desenvolupament. Per exemple, imaginem-nos que volem desenvoluparuna funcio f(x) en sinus en l’interval [0, π]; aleshores definim f(x) en l’interval [−π, 0] de talmanera que en aquest interval es compleixi que f(x) = −f(−x). Com que ara la funcio perdesenvolupar es senar en l’interval complet [−π, π] la serie de Fourier nomes tindra termesen sin. El mateix es pot fer per a desenvolupaments en cosinus, amb la diferencia que arala redefinicio de la funcio sera tal que sigui parell en un interval simetric.

Exercici: Trobeu el desenvolupament de Fourier en cosinus de la funcio f(x) = sinxen l’interval [0, π].

CAPITOL 4

POLINOMIS DE LEGENDRE

4.1 Equacio de Legendre

En l’equacio de Laplace en coordenades esferiques podem fer separacio de variables

ψ = ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),

i a partir d’aquı obtenim equacions separades per a les tres variables. Per a la variable θtenim l’equacio

1

sin θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

+QΘ − m2

sin2 θΘ = 0,

i per a la variable ϕ

d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0, (4.1)

on m ha de ser un nombre enter si Φ ha de satisfer condicions de periodicitat,

Φ(ϕ+ 2π) = Φ(ϕ).

Fent un canvi de variables en la primera,

x = cos θ Θ(θ) = y(x),

l’equacio es converteix en

(1 − x2)y′′ − 2xy′ +

(

Q− m2

1 − x2

)

y = 0

54 CAPITOL 4. POLINOMIS DE LEGENDRE

i aquesta es l’equacio associada de Legendre. Si en el nostre problema fısic no hi hadependencia en la variable ϕ, aleshores Φ(ϕ) = ct i m ha de ser 0 en (4.1); en aquest cas,doncs, per l’angle polar θ ens queda l’equacio

(1 − x2)y′′ − 2xy′ +Qy = 0

que s’anomena equacio de Legendre. Anem ara a resoldre aquesta equacio.

4.1.1 Solucio de l’equacio de Legendre pel metode de Frobenius

L’equacio de Legendre

y′′ − 2z

1 − z2y′ +

Q

1 − z2y = 0

te singularitats en els punts

• z = ±1, P.S.R.

• z = ∞, P.S.R.

Ates que x = cos θ, l’interval d’interes es x ∈ [−1, 1] que correspon a un entorn dez = 0 de radi 1. Busquem doncs solucions de l’equacio al voltant de z = 0, que es un puntordinari, i despres estudiarem el comportament de la solucio en els extrems de l’interval. Eldesenvolupament

y(z) =∑

anzn

genera dues solucions analıtiques independents entorn de z = 0, amb uns coeficients quesatisfan la seguent relacio

an+2 =n(n + 1) −Q

(n+ 2)(n+ 1)an n ≥ 0,

a partir de la qual podem generar dues series de potencies independents:

a0 = 1a1 = 0

genera una serie de potencies parelles

a0 = 0a1 = 1

genera una serie de potencies senars

4.2. Els polinomis de Legendre Pl(x) 55

Fixem-nos que el radi de convergencia d’aquestes series es 1 i per tant en z = ±1no convergeixen (son de signe constant, no alternades). Pero necessitem solucions bencomportades en z = cos θ = ±1, car aquests son punts accessibles de l’interval de definicio.Per tant, no hi ha altra opcio que truncar la serie, convertint-la en una suma finita.

Per poder truncar la serie sera necessari que Q = l(l + 1) amb l ∈ N, i aixo donara lloca solucions polinomiques convergents en tot l’interval [−1, 1].

Observem, pero, que per a cada valor de l nomes una de les solucions es polinomica:

• l parell

– a0 = 1, a1 = 0: genera un polinomi de grau l

– a0 = 0, a1 = 1: genera una serie divergent en els extrems, que rebutgem

• l senar

– a0 = 1, a1 = 0: genera una serie divergent en els extrems, que rebutgem

– a0 = 0, a1 = 1: genera un polinomi de grau l

4.2 Els polinomis de Legendre Pl(x)

Partim de la relacio de recurrencia que hem obtingut en la seccio anterior per generar unaformula per al terme general an,

an =(n + 2)(n+ 1)

n(n + 1) − l(l + 1)an+2 = − (n + 2)(n+ 1)

(n + l + 1)(l − n)an+2.

Si definim n ≡ l − 2r, i com que n = 0 ⇒ l − 2r = 0 ⇒ 0 ≤ r ≤ l/2, tenim

al−2r = −(l − 2r + 2)(l − 2r + 1)

(2l − 2r + 1)2ral−2(r−1).

Es convenient d’introduir uns nous coeficients br, tals que br ≡ al−2r, per escriure l’anteriorcom

br = −br−1(l − 2r + 2)(l − 2r + 1)

(2l − 2r + 1)2r.

Volem trobar l’expressio de br en funcio del primer, b0, i per aixo posem br−1 en funcio debr−2:

br = br−2(l − 2r + 2)(l − 2r + 1)

(2l − 2r + 1)2r

[l − 2(r − 1) + 2][l − 2(r − 1) + 1]

[2l − 2(r − 1) + 1]2(r − 1).


Novament, el coeficient br−2 es pot posar en funcio de br−3 i aixı successivament. Per a unındex k intermig, 0 ≤ k ≤ r, tenim que br es pot expressar en funcio de br−k de la forma

br = br−k(−1)k (l − 2r + 2)(l − 2r + 1)

(2l − 2r + 1)2r

(l − 2r + 3)(l − 2r + 4)

(2l − 2r + 3)2(r − 1)...

(l − 2r + 2k)(l − 2r + 2k − 1)

(2l − 2r + 2k + 1)2(r − k + 1),

de manera que, si k = r

br = b0(−1)r (l − 2r + 1)(l − 2r + 2)(l − 2r + 3)...(l − 1)l

(2l − 2r + 1)(2l− 2r + 3)(2l− 2r + 5)...(2l − 1)2rr!

= b0(−1)r l!

(l − 2r)!

(2l − 2r − 1)!!

(2l − 1)!!

1

2rr!.

El semifactorial d’un numero natural n es defineix de manera que, en general, n!! = n(n−2)(n− 4)... Una manipulacio final dels semifactorials de l’expressio anterior,

(2l − 2r − 1)!! =(2l − 2r)!

(2l − 2r)!!=

(2l − 2r)!

2l−r(l − r)!

(2l − 1)!! =(2l)!

(2l)!!=

(2l)!

2ll!,

proporciona la formula general

br = (−1)rb0l!

(l − r)!

l!

(l − 2r)!

(2l − 2r)!

(2l)!r!.

Si prenem, per conveniencia,

b0 =(2l)!

2ll!2

podem expressar la solucio com

Pl(x) =2r≤l∑

r=0

brxl−2r =

1

2l

2r≤l∑

r=0

(−1)r

r!

[2(l − r)]!xl−2r

(l − 2r)!(l− r)!

i aquesta es la definicio dels polinomis de Legendre, es a dir,

Pl(x) =1

2ll!

(

(2l)!

l!xl − l[2l − 2]!

(l − 2)!xl−2 + . . .

)

.


Figura 4.1: Representacio grafica dels polinomis de Legendre d’ordres petits.

Vegem alguns exemples de polinomis de Legendre d’ordres petits:

P0(x) = 1 P2(x) = 12(3x2 − 1) P4(x) =

1

8(35x4 − 30x2 + 3)

P1(x) = x P3(x) = 12(5x3 − 3x) .

En la figura 4.1 podem veure la representacio grafica d’aquests polinomis.

4.2.1 Propietats dels polinomis de Legendre

1. Paritat Pl(−x) = (−1)lPl(x), ja que si l es parell Pl(x) conte nomes potencies parellsi si es senar nomes potencies senars.


2. Formula de Rodrigues: Considerem el desenvolupament del binomi seguent:

(x2 − 1)l =l∑

k=0

(−1)k l!

(l − k)!k!x2(l−k).

Derivant aquest binomi l vegades

dl

dxl(x2 − 1)l =

l/2∑

k=0

(−1)k l!

(l − k)!k!2(l − k) . . . [2(l − k) − (l − 1)]x2(l−k)−l =

=l/2∑

k=0

(−1)k l!

(l − k)!k!

[2(l − k)]!

(l − 2k)!xl−2k = 2ll!Pl(x),

es a dir,

Pl(x) =1

2ll!

dl

dxl(x2 − 1)l.

Aquesta es la formula de Rodrigues.

3. Formula de Schlafli: Pel teorema dels residus en variable complexa tenim que

f l)(x) =l!

2πi

∮

c

f(z)

(z − x)l+1dz.

Fent servir la formula de Rodrigues, podem expressar Pl(x) de la forma

Pl(x) =1

2l2πi

∮

c

(z2 − 1)l

(z − x)l+1dz,

que es la formula de Schlafli.

4. Valor de Pl(x) en els extrems x = ±1: Emprant la formula de Schlafli tenim

Pl(±1) =1

2l2πi

∮

c

(z − 1)l(z + 1)l

(z ∓ 1)l+1dz

=1

2l2πi

∮

c

(z ± 1)l

(z ∓ 1)dz =

1

2l(±2)l = (±1)l.

Que esta d’acord amb la propietat de paritat.

5. Relacions de recurrencia: Les relacions de recurrencia son relacions del polinomisde Legendre amb polinomis d’ordres consecutius o amb les seves derivades. Algunsexemples en son:

P ′n+1(x) − xP ′

n(x) − (n + 1)Pn(x) = 0 (4.2)

(n+ 1)Pn+1(x) − (2n+ 1)xPn(x) + nPn−1(x) = 0 (4.3)


6. Funcio generatriu dels polinomis de Legendre: Busquem una funcio G(x, h) talque el seu desenvolupament de Laurent en h tingui com a coeficients els polinomis deLegendre:

G(x, h) =∞∑

n=0

hnPn(x).

Multipliquem la relacio de recurrencia (4.3) per hn i sumem entre 0 i ∞,

∞∑

n=0

(2n+ 1)hnxPn =∞∑

n=0

(n + 1)hnPn+1 +∞∑

n=0

nhnPn−1.

Podem canviar n per n− 1 en la primera suma del terme de la dreta i per n+ 1 en lasegona, sense afectar el resultat. Aixı ens queda

∞∑

n=0

(2n+ 1)hnxPn =∞∑

n=0

nhn−1Pn +∞∑

n=0

(n + 1)hn+1Pn.

Separant les diferents contribucions podem identificar la funcio generatriu i les sevesderivades:

x∞∑

n=0

hnPn

︸︷︷︸

G

+2x∞∑

n=0

nhnPn

︸︷︷︸

h∂G/∂h

=∞∑

n=0

nhn−1Pn

︸︷︷︸

∂G/∂h

+h∞∑

n=0

nhnPn

︸︷︷︸

h∂G/∂h

+h∞∑

n=0

hnPn

︸︷︷︸

G

.

Aixı podem obtenir l’equacio diferencial que satisfa la funcio generatriu:

(1 + h2 − 2xh)∂G

∂h= (x− h)G (4.4)

d’on podem obtenir la solucio

G =G0√

1 + h2 − 2xh. (4.5)

Ara hem de calcular la constant d’integracio G0. Fixem-nos que

G(x = 1, h) =∞∑

n=0

hn Pn(1)︸︷︷︸

1

=∞∑

n=0

hn =1

1 − hamb |h| < 1,

mentre que si substituım en (4.5), obtenim

G(x = 1, h) =G0√

1 + h2 − 2h=

G0

1 − h,


d’on podem identificar G0 = 1. Ens queda doncs una funcio generatriu

G(x, h) =1√

1 + h2 − 2xh. (4.6)

Es pot demostrar, a mes a mes, que la serie que defineix la funcio generatriu esconvergent per a |h| < 1. Es facil de veure-ho per a x = ±1, ja que sabem que elvalor de Pn(x) en els extrems te modul 1. D’altra banda, a partir de l’expressio delspolinomis de Legendre, es pot demostrar que |Pn(cos θ)| ≤ 1; la qual cosa ens provaque la serie associada a la funcio generatriu es convergent per a |h| < 1.

4.3 Desenvolupament i convergencia de la serie de

Legendre

Els polinomis son ortogonals dos a dos,

< Pn|Pm >=∫ 1

−aPn(x)Pm(x)dx = Anδnm

ja que son solucions d’un problema de Sturm-Liouville regular. En aquest cas, com quep(±1) = 0, l’operador diferencial es hermıtic sense dependre de les condicions de contorn.

Exercici: Emprant la formula de Rodrigues, determineu An = 2/(2n + 1).

Tambe dins de la teoria general de Sturm-Liouville, els polinomis de Legendre son unconjunt complet de funcions propies i es possible de desenvolupar qualsevol funcio f(x) ∈L2

[−1,1] en termes dels polinomis Pl(x):

f(x) =∞∑

l=0

alPl(x),

amb

al =< Pl|f >2l + 1

2=

2l + 1

2

∫ 1

−1Pl(x)f(x)dx.

Com es habitual, la serie

∞∑

l=0

alPl(x)

4.4. Solucio general de l’equacio de Laplace en un problema sense dependencia en ϕ61

convergeix en mitjana quadratica en la funcio f(x). En general no convergeix puntualment;no es coneixen condicions necessaries i suficients perque

∞∑

l=0

alPl(x) → f(x) puntualment.

En canvi sı que existeix una condicio suficient per a la convergencia puntual. Si f(x)te com a maxim un nombre finit de discontinuıtats de salt en l’interval [−1, 1] la serie deLegendre

∞∑

l=0

alPl(x) amb al =< Pl|f >2l + 1

2

convergeix puntualment ∀x on f es contınua, i convergeix en el valor

1

2[f(x−) + f(x)+]

si x es un punt de discontinuıtat.

4.4 Solucio general de l’equacio de Laplace en un prob-

lema sense dependencia en ϕ

En un problema on no hi ha dependencia en la variable ϕ, les equacions diferencials or-dinaries que ens proporciona el metode de separacio de variables son

d

dr

(

r2dR

dr

)

− l(l + 1)R = 0 (4.7)

per la variable radial i l’equacio de Legendre per la variable angular θ, que te per solucio elspolinomis de Legendre. Si fem el canvi r = et en (4.7) arribem a la seguent equacio,

d2R

dt2+dR

dt− l(l + 1)R = 0,

que te per solucio R(t) = eαt amb α = l,−l − 1. Aixı doncs la solucio de (4.7) es

R(r) =

rl

r−l−1 .


Per tant la solucio general de l’equacio de Laplace sense dependencia en ϕ sera

ψ(R, θ) =∞∑

l=0

(Alrl +Blr

−l−1)Pl(cos θ),

on Al i Bl son coeficients que determinaran les condicions de contorn del problema.

Exercici: Trobeu el potencial electrostatic dins i fora d’una esfera conductora de radi1, tenint en compte que la superfıcie de l’esfera es mante a un cert potencial f(θ).Particularitzeu-lo en el cas f(θ) = V0 cos 3θ.

4.5 Equacio associada de Legendre

L’equacio associada de Legendre es

d

dx

[

(1 − x2)dy

dx

]

+

(

Q− m2

1 − x2

)

y = 0 x ∈ [−1, 1].

Sabem que m ∈ Z, perque φ(2π + ϕ) = φ(ϕ). Llavors, les solucions per a φ son les queproporcionen la base de Fourier (capıtol 6). Suposem m > 0 i fem el canvi de variable

y(x) = (1 − x2)m/2u(x),

on y(x) es la solucio de l’equacio associada de Legendre. Aleshores,

y′(x) =m

2(−2x)(1 − x2)m/2−1u(x) + (1 − x2)m/2u′(x),

(1 − x2)y′ = −mx(1 − x2)m/2u(x) + (1 − x2)m/2+1u′(x),

(

(1 − x2)y′)′

= −m[

(1 − x2)m/2 −mx2(1 − x2)m/2−1]

u(x) −mx(1 − x2)m/2u′(x) +

+ (1 − x2)m/2+1u′′(x) +(

1 +m

2

)

(−2x)(1 − x2)m/2u′(x).

Substituint ara en l’equacio associada de Legendre obtenim

(1 − x2)m/2+1u′′(x) − (1 +m)2x(1 − x2)m/2u′(x)−

4.5. Equacio associada de Legendre 63

−m(1 − x2)m/2

(

1 − mx2

1 − x2

)

u(x) +

(

Q− m2

1 − x2

)

(1 − x2)m/2u(x) = 0,

que despres d’eliminar (1 − x2)m/2,

(1 − x2)u′′(x) − (1 +m)2xu′(x) +

(

−m+m2x2

1 − x2+Q− m2

1 − x2

)

u(x) = 0,

i agrupar termes, queda

(1 − x2)u′′(x) − (1 +m)2xu′(x) + [Q−m(m+ 1)]u(x) = 0.

Aquesta es l’equacio que satisfa u(x) = (1 − x2)−m/2y(x), sent y(x) la solucio de l’equacioassociada de Legendre.

Observem d’altra banda que aquesta equacio tambe es pot obtenir derivant m vegadesl’equacio de Legendre,

(1 − x2)y′′ − 2xy′ +Qy = 0 :

dm

dxm

[

(1 − x2)y′′]

= (1 − x2)

(

dm

dxmy

)′′

− 2mx

(

dm

dxmy

)′

+m(m+ 1)(−2

2

)dm

dxmy,

dm

dxm(−2xy′) = −2x

(

dm

dxmy

)′

− 2mdm

dxmy,

on y es la solucio de l’equacio de Legendre. Definint dm

dxmy(x) ≡ u(x) obtenim

(1 − x2)u′′ − 2mxu′ −m(m+ 1)u− 2xu′ − 2mu+Qu = 0,

que es la mateixa equacio que hem obtingut manipulant l’associada de Legendre i ens permetd’identificar les solucions de les dues equacions diferencials:

y(x) = (1 − x2)m/2 dm

dxmy(x).

Com que la solucio de l’equacio de Legendre porta associat un ındex l tal que Q = l(l+1) ila dependencia en φ porta associat un altre ındex m es d’esperar que la solucio de l’equacio


associada de Legendre porti els dos ındexs; expressem doncs aquesta solucio de la seguentmanera:

y(x) ≡ Pml (x) = (1 − x2)m/2 d

m

dxmPl(x),

on Pml (x) son els polinomis associats solucio de l’equacio associada de Legendre, que es

poden obtenir a partir dels de Legendre per simple derivacio.

4.6 Els polinomis associats de Legendre

Igual que l’equacio de Legendre, l’equacio associada te singularitats en els punts z = ±1 iz = ∞, tots tres punts singular regulars.

Anem doncs a resoldre

(1 − z2)u′′ − 2z(m+ 1)u′ + [Q−m(m+ 1)]u = 0

entorn del punt ordinari z = 0, suposant una solucio del tipus

u(z) =∞∑

n=0

anzn,

i estudiant despres les solucions quan z = ±1. Introduint la solucio proposada i un copredefinits n com n− 2 en el primer sumatori i n com n− 1 en el segon, tenim

0 =∞∑

n=2

(1 − z2)n(n− 1)anzn−2 −

∞∑

n=1

2z(m+ 1)nanzn−1 +

∞∑

n=0

[Q−m(m+ 1)]anzn

∞∑

n=0

zn(n + 2)(n+ 1)an+2 −∞∑

n=0

znn(n− 1)an−

−∞∑

n=0

2n(m+ 1)anzn +

∞∑

n=0

[Q−m(m+ 1)]anzn = 0.

A partir d’aquı podem obtenir la relacio de recurrencia:

0 = (n+ 2)(n+ 1)an+2 − n(n− 1)an − 2n(m+ 1)an + [Q−m(m+ 1)]an,

4.6. Els polinomis associats de Legendre 65

que reescrivim com

an+2 =(n+m)(n+m+ 1) −Q

(n+ 2)(n+ 1)an amb n = 0. (4.8)

Novament es generen dues solucions

a0 = 1a1 = 0

genera una serie de potencies parelles

a0 = 0a1 = 1

genera una serie de potencies senars

I tambe ara obtindrıem comportament divergent per a z → ±1. Per tant, per obtenir unaserie no divergent hem de truncar-la en un coeficient exigint

(n+m)(n +m+ 1) = Q⇒ n+m = l ⇒ Q = l(l + 1).

Aleshores al−m+2 = 0 i la serie queda truncada en al−m; aixı doncs, u(x) es un polinomi degrau l−m. Hem trobat doncs una relacio entre Q i m que lligara les dues parts angulars, jaque naturalment s’ha de complir min(l−m)=0, es a dir m ≤ l. Procedint de forma analogaal cas dels polinomis de Legendre podem arribar a la seguent expressio per la funcio u(x):

u(x) =1

2l

r≤(l−m)/2∑

r=0

(−1)r

r!

[2(l − r)]!

(l − r)!(l −m− 2r)!xl−m−2r,

la qual tambe es pot deduir a partir de la relacio

u(x) =dm

dxmPl(x),

que havıem obtingut derivant l’equacio de Legendre.

A partir d’aquesta expressio i la relacio entre u(x) i la solucio de l’equacio associada deLegendre podem escriure

Pml (x) = (1 − x2)(m/2) d

m

dxmPl(x) =

1

2ll!(1 − x2)(m/2) d

l+m

dxl+m(x2 − 1)l, (4.9)

ja que tant l com m son enters amb m ≤ l. Aquesta darrera expressio equival a la formulade Rodrigues per als polinomis associats, havent utilitzat la formula de Rodrigues per alspolinomis de Legendre.


Vegem finalmemt alguns exemples de polinomis associats:

P 11 (x) = (1 − x2)1/2 = sin θ P 1

2 (x) = 3x(1 − x2)1/2 = 3 cos θ sin θP 2

2 (x) = 3(1 − x2) = 3 sin2 θ P 13 (x) = 3

2(5x2 − 1)(1 − x2)1/2 = 3

2(5 cos2 θ − 1) sin θ

P 23 (x) = 15x(1 − x2) = 15 cos θ sin2 θ P 3

3 (x) = 15(1 − x2)3/2 = 15 sin3 θ

4.6.1 Propietats dels polinomis associats

1. Si m es senar no tindrem polinomis a causa del factor (1 − x2)m/2, pero sı que tenimpolinomis en termes de funcions trigonometriques.

2. La substitucio de m per −m dins l’equacio genera la mateixa equacio associada, pertant Pm

l i P−ml son solucions de la mateixa equacio.

Podem estendre tots els desenvolupaments fets anteriorment per al cas m < 0. Ladefinicio de P−m

l la podem donar a traves de la darrera formula (4.9)

P−ml (x) =

1

2ll!(1 − x2)(−m/2) d

l−m

dxl−m(x2 − 1)l.

Com que tots dos son solucions de la mateixa equacio han de ser proporcionals. Espot comprovar, aplicant la regla de Leibnitz a (x2 − 1)l = (x− 1)l(x+ 1)l en les duesexpressions, que

P−ml = (−1)m (l −m)!

(l +m)!Pm

l (x).

3. Paritat: Pml (x) = (−1)l+mPm

l (−x).La part en l ve dels polinomis de Legendre, mentre que la part en m ve de la derivadad’ordre m addicional.

4. P 0l (x) = Pl(x).

5. Pml (±1) = 0 ∀m 6= 0.

Aixo ho podem veure a partir de l’expressio dels polinomis associats per a m > 0;per a m < 0 fem servir la proporcionalitat entre els dos. En canvi, per a m = 0P 0

l (±1) = Pl(±1) = (±1)l 6= 0.

6. Ortogonalitat: Observem que l’equacio associada de Legendre admet discussio pera dos casos diferents, primer considerant l com a autovalor i segon considerant m coma tal.

• Fixem m: L’ortogonalitat entre Pml i Pm

l′ queda garantida per l’hermiticitat del’operador diferencial. Utilitzant la formula de Rodrigues es pot demostrar que

< Pml |Pm

l′ >=∫ 1

−1dxPm

l (x)Pml′ (x) =

(l +m)!

(l −m)!

2

2l + 1δll′

4.7. Els harmonics esferics 67

• Fixem l: Ara m2 es l’autovalor considerat i el terme en Q = l(l + 1) forma partde l’operador diferencial de l’equacio fixant l

d

dx

[

(1 − x2)dy

dx

]

− m2

1 − x2y + l(l + 1)y = 0

Multipliquem ara per (1 − x2)

(1 − x2)d

dx

[

(1 − x2)dy

dx

]

+ l(l + 1)(1 − x2)y −m2y = 0

En aquest cas

w(x) =1

(1 − x2)

p(x) = (1 − x2)

q(x) = l(l + 1)(1 − x2)

L = (1 − x2)d

dx

[

(1 − x2)d

dx

]

+ l(l + 1)(1 − x2)

λ = −m2

Evidentment, les solucions son els mateixos polinomis associats, ja que es tractade la mateixa equacio. Ara, pero, L es hermıtic i Pm

l i Pm′

l son ortogonals ambun producte escalar diferent:

< Pml |Pm′

l >=∫ 1

−1dxPm

l (x)Pm′

l (x)(1 − x2) =(l +m)!

m(l −m)!δmm′ .

Ara be, normalment, en problemes fısics, l’equacio en la variable azimutal Φ(ϕ)ens fixa m i es Q el que fa d’autovalor en l’equacio.

4.7 Els harmonics esferics

Recordem que de l’equacio de Laplace obtenıem, imposant separacio de variables

ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ),

les equacions

d

dr

(

r2dR

dr

)

− l(l + 1)R = 0,

1

sin θ

d

dθ

(

sin θdΘ

dθ

)

+ l(l + 1)Θ − m2

sin2 θΘ = 0,


d2Φ

dϕ2+m2Φ = 0.

Si ara ens fixem conjuntament en tota la part angular f(θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ), aquesta satisfal’equacio separada

1

sin θ

∂

∂θ

(

sin θ∂f

∂θ

)

+ l(l + 1)f +1

sin2 θ

∂2f

∂ϕ2= 0.

En general, m quantifica les solucions de Φ(ϕ) per la periodicitat en ϕ, mentre que lquantifica les solucions de Θ(θ) per raons, recordem, de convergencia, amb l ≥ m.

Les solucions son

Φ −→

eimϕ

e−imϕ m ∈ N

Θ −→ Pml (cos θ) m ≤ l.

La part angular tindra, doncs, dues solucions per a cada valor de m, m = 0, 1, 2, . . . ambm ≤ l

flm(θ, ϕ) =

Pml (cos θ)eimϕ

Pml (cos θ)e−imϕ m ≤ l m ∈ N.

Es suficient agafar nomes la primera i prendre m = −l,−l + 1, . . . , l − 1, l,

flm(θ, ϕ) = Pml (cos θ)eimϕ l = 0, 1, 2, . . . |m| ≤ l.

Recordem que tant l’equacio en Φ com l’equacio per Θ no distingeixen entre m i −m.Per tant les solucions del darrer cas son proporcionals a les de m > 0. Aixı,

fl,−m(θ, ϕ) = P−ml (cos θ)e−imϕ = (−1)m (l −m)!

(l +m)!Pm

l (cos θ)e−imϕ.

Per a una l fixa, tindrem 2l+ 1 valors diferents de m i per tant 2l+ 1 polinomis Pml (cos θ),

o sigui 2l + 1 solucions Yl,m(θ, ϕ) que es coneixen amb el nom d’harmonics esferics:

Yl,m(θ, ϕ) ≡√√√√

2l + 1

4π

(l −m)!

(l +m)!eimϕPm

l (cos θ) |m| ≤ l, l = 0, 1, 2, . . .

S’anomenen esferics perque son ortonormals sobre la superfıcie esferica i harmonics perqueson solucio de l’equacio de Laplace. La constant procedeix de la normalitzacio:

4.7. Els harmonics esferics 69

• 1/√

2π per les funcions eimϕ, ortonormalitzades en [0, 2π], i

•√

2l+12

(l−m)!(l+m)!

, factor que ve de la normalitzacio dels Pml , ja que

< Pml |Pm

l′ >=(l +m)!

(l −m)!

2

2l + 1δll′ .

D’aquesta manera la normalitzacio per als harmonics esferics s’escriu

∫ π

0d cos θ

∫ 2π

0dϕY ∗

l,m(θ, ϕ)Yl′,m′(θ, ϕ) = δll′δmm′ .

Per als ordres mes petits tenim

Y00 =√

14π

Y11 =√

38π

sin θeiϕ Y10 =√

34π

cos θ

Y1−1 = −√

38π

sin θe−iϕ Y22 =√

1532π

sin2 θei2ϕ

4.7.1 Propietats dels harmonics esferics

1. Y ∗lm(θ, ϕ) = (−1)mYl,−m(θ, ϕ)

2. La funcio rlYlm(θ, ϕ) (polinomi harmonic) expressada en coordenades cartesianes(x, y, z) es un polinomi homogeni de grau l

3. Paritat:

Ylm(π − θ, ϕ+ π) = (−1)lYlm(θ, ϕ)

4.7.2 Solucio general de l’equacio de Laplace

L’equacio de Laplace (∆ψ = 0) te com a solucio general, procedint de manera analoga acom ho vam fer en el cas en que no hi havia dependencia en ϕ,

ψ(r, θ, ϕ) =∞∑

l=0

(

al,mrl + bl,mr

−l−1) l∑

m=−l

Ylm(θ, ϕ).

En el cas en que bl,m = 0 obtenim el que s’anomenen polinomis harmonics, rlYlm(θ, ϕ). Elsbl,m 6= 0 contribueixen en el desenvolupament en problemes en que el punt r = 0 quedaexclos.


4.7.3 Desenvolupament en serie de Laplace

Teorema: Els harmonics esferics constitueixen una base ortonormal de l’espaide Hilbert de les funcions de quadrat integrable Lebesgue sobre l’esfera de radi 1:L2

S2.

El producte escalar ve definit per la integral sobre tot l’angle solid dΩ = dϕ d(cos θ).

Aixı doncs, ∀f ∈ L2S2

f(θ, ϕ) =∞∑

l=0

l∑

m=−l

almYlm(θ, ϕ),

amb

alm =∫

dΩY ∗lm(θ, ϕ)f(θ, ϕ),

i aquest desenvolupament es convergent en mitjana quadratica. Existeix una condicio sufi-cient per a la convergencia puntual: si f(θ, ϕ) i les derivades primeres de f son contınues laserie de Laplace convergeix puntualment en f .

Exemple: Trobeu el potencial electrostatic dins i fora d’una esfera conductora de radi1, tenint en compte que la superfıcie de l’esfera es mante a un cert potencial f(θ, ϕ).

CAPITOL 5

FUNCIONS DE BESSEL

5.1 Obtencio de l’equacio diferencial de Bessel

Partim de l’equacio de Laplace i expressem la laplaciana en coordenades cilındriques,

∇2ψ =1

ρ

∂

∂ρ

(

ρ∂ψ

∂ρ

)

+1

ρ2

∂2ψ

∂ϕ2+∂2ψ

∂z2.

Fent separacio de variables

ψ(ρ, ϕ, z) = R(ρ)φ(ϕ)Z(z),

obtenim

1

Rρ

d

dρ

(

ρdR

dρ

)

+1

ρ2φ

∂2φ

∂ϕ2+

1

Z

d2Z

dz2= 0,

i a partir d’aquı les tres equacions diferencials

d2Z

dz2− χ2Z = 0 (5.1)

d2φ

dϕ2+m2φ = 0 (5.2)

d2R

dρ2+

1

ρ

dR

dρ+

(

χ2 − m2

ρ2

)

R = 0 (5.3)

on χ2 i m2 son les constants de separacio del problema.

72 CAPITOL 5. FUNCIONS DE BESSEL

La coordenada azimutal en un problema fısic condueix a una equacio separada del tipus(5.2), m = 0, 1, 2, . . . perque φ ha de ser una funcio periodica de ϕ. D’altra banda l’eix detranslacio Z condueix a una del tipus (5.1), que es del mateix tipus que la (5.2) pero amb uncomportament que dependra de cada problema concret. Per exemple, en un cilindre infinit,el comportament ha de ser exponencial en lloc de periodic, perque les funcions periodiquesno estan ben definides quan z → ±∞. Es a dir

Z(z) =

eχz

e−χz φ(ϕ) =

eimϕ

e−imϕ.

Ens queda doncs l’equacio per a la variable ρ. Assagem el canvi de variable x = χρ iR(ρ) = y(x) i obtenim l’equacio

y′′(x) +1

xy′(x) +

(

1 − m2

x2

)

y(x) = 0

que es la que coneixem com equacio de Bessel. Observem que amb aquest canvi hemperdut la dependencia explıcita en χ, pero cal recordar que el nostre problema fısic sı depende χ.

5.2 Solucio de l’equacio de Bessel pel metode de

Frobenius

L’equacio que tenim es, doncs,

y′′(z) +1

zy′(z) +

(

1 − ν2

z2

)

y(x) = 0,

on hem escrit ν en lloc de m, admetent que no sigui necessariament enter. El cas ν = m ∈ N

sera un cas particular d’interes fısic concret. Aquesta equacio te singularitats en els punts

• z = 0, P.S.R.

• z = ∞, P.S.I.

Tenint en compte aquest fet, anem a buscar solucions entorn de z = 0. Prenem unasolucio en serie de la forma

y(z) =∞∑

n=0

anzn+α.

5.2. Solucio de l’equacio de Bessel pel metode de Frobenius 73

Els coeficients dels desenvolupaments per a P (z) i Q(z) son

p0 = 1,q0 = −ν2, q2 = 1,

amb la resta de coeficients tots nuls.

Amb aixo podem obtenir directament l’equacio indicial,

α(α− 1) + p0α + q0 = 0 ⇒ α2 − ν2 = 0 ⇒ α = ±ν.

La relacio de recurrencia per als coeficients an s’obte per substitucio de la serie depotencies en l’equacio diferencial:

∞∑

n=0

[

(n+ α)(n+ α− 1)anzn+α−2 + (n+ α)anz

n+α−2 + anzn+α − ν2anz

n+α−2]

= 0.

Agrupant potencies i reordenant les sumes, tenim

∞∑

n=−2

(n+ α + 2)(n+ α + 1) + n+ α + 2︸︷︷︸

(n+α+2)2

−ν2

an+2z

n+α +∞∑

n=0

anzn+α = 0.

Per a n = −2 obtenim l’equacio indicial,

a0

(

α2 − ν2)

= 0 =⇒ α = ±ν;

per a n = −1 s’ha de satisfer

a1

(

(α + 1)2 − ν2)

= 0 =⇒ a1 = 0.

La relacio de recurrencia que obtenim es, doncs,

an =an−2

ν2 − (n+ α)2n ≥ 2

que ens proporcionara, en principi, les dues solucions de l’equacio diferencial.

1. Considerem α1 = ν amb ℜ(ν) = 0. Sabem que aquest condueix a una serie solucioque te per coeficients

an = − an−2

n2 + 2nνn ≥ 2.


A partir d’aquı podem obtenir els coeficients parells, mentre que els senars son totsnuls. Aixı, podem escriure

a2l =(−1)l

22l

1

l!(1 + ν)(2 + ν) . . . (l + ν)a0,

amb 2l = n.

Si ara fem servir la funcio Γ(x) que compleix, com es pot veure en l’apendix, la seguentpropietat:

Γ(l + ν + 1)

Γ(ν + 1)= (l + ν)(l + ν − 1) . . . (ν + 1),

i prenent

a0 =1

2νΓ(ν + 1),

tenim

a2l =(−1)l

22l+ν

1

l!Γ(l + ν + 1).

Aquests coeficients ens defineixen les funcions de Bessel de primera especie

Jν(z) =∞∑

l=0

(−1)l(z

2

)2l+ν 1

l!Γ(l + ν + 1).

Aquestes funcions son sempre convergents a distancia finita, (|z| <∞), perque no hi hapunts singulars. L’unica singularitat esta en l’origen. Tenint en compte que ℜ(ν) ≥ 0,no hi pot haver cap pol a z = 0. En canvi podem tenir un punt d’embrancament enz = 0 si ν no es un enter.

2. Per a α = −ν obtenim la segona solucio. En aquest cas α1 − α2 = ν − (−ν) = 2νi, com ja sabem, el tipus de solucio dependra de si 2ν es enter o no.

(a) En el cas en que 2ν 6∈ Z no hi ha problemes i J−ν es la segona solucio. L’analisies fa igual que per a la primera, substituint ν per −ν:

J−ν(z) =∞∑

l=0

(−1)l(z

2

)2l−ν 1

l!Γ(l − ν + 1)

que simplement correspon a les funcions de Bessel de primera especie amb ındexnegatiu.

5.3. Funcions de Bessel d’ordre semienter (Funcions de Bessel esferiques) 75

(b) Si 2ν ∈ Z pot succeir que l’assaig de la segona solucio ens porti a inconsistencies.Recordem que havıem exigit a0 6= 0 i a1 = 0, la qual cosa conduıa a una serie depotencies parell. Per al coeficient an tindrem, si α2 = −ν,

n(n− 2ν)an = −an−2. (5.4)

Per a n = 2ν tenim que a2ν es arbitrari. Aixı tenim dues arbitrarietats, una ena0 i l’altra en a2ν ; recordem que triant a0 = 0 i a2ν = 1 tornem a generar laprimera solucio, mentre que si triem a0 = 1 i a2ν = 0 pot ser que generem unasegona solucio independent. Fixem-nos que (5.4) ens porta a a2ν−2 = 0 i, perla recurrencia, tots els anteriors tambe han de ser nuls. Tenim dues situacionsdiferents segons que 2ν sigui parell o senar:

• 2ν senar (ν semienter): ⇒ a2ν−2 = 0 . . . ⇒ a1 = 0. Si prenem a0 = 1obtenim una solucio independent generada per la relacio de recurrencia an-terior substituint α per −ν. Les solucions del tipus Jn+ 1

2

s’anomenen funcionsesferiques de Bessel i son un tipus de les de primera especie.

• 2ν parell (es a dir ν = m ∈ Z): ⇒ a2m−2 = 0 . . . ⇒ a0 = 0. En aquestcas, doncs, no podem prendre a0 = 1 per generar una serie independent.Aleshores hem de fer servir un altre metode, que veurem mes endavant.Recordem que aquest es justament el cas d’interes fısic quan s’utilitzen co-ordenades cilındriques, a causa de la periodicitat en la variable angular.

5.3 Funcions de Bessel d’ordre semienter (Funcions de

Bessel esferiques)

En el cas que 2ν = (α1 − α2) sigui un enter senar, es a dir, ν = n + 12

semienter, la segonasolucio es del mateix tipus que la primera i ambdues venen donades per la serie

Jn+1/2(x) =∞∑

l=0

(−1)l(x

2

)2l+n+1/2 1

l!Γ(l + n + 1/2 + 1)∀n = 0,±1,±2, . . .

Recordem que per a l’equacio de Laplace en coordenades cilındriques el requeriment φ(ϕ+2π) = φ(ϕ) ens portava a exigir que m fos enter. Per aixo ara ens preguntem, hi ha alguncas en que apareguin aquest tipus de solucions?

Fixem-nos en l’equacio de Helmholtz, ∆ψ + k2ψ = 0. Si fem separacio de variables encoordenades esferiques, l’equacio per a la part radial es

r2d2R

dr2+ 2r

dR

dr+ [k2r2 − n(n + 1)]R = 0 n = 0, 1, 2, . . . .

Fent el canvi de variables R(r) = r−1/2y(r) sortira

r2y′′ + ry′ + [k2r2 − (n+ 1/2)2]y = 0,


que fent r = kx es reduira a l’equacio de Bessel amb ν = n+1/2 i tindra per solucions Jn+1/2

i J−n−1/2, que venen donades per les series anteriors. S’anomenen esferiques de Besselperque procedeixen de l’equacio en coordenades esferiques. Convenientment normalitzadess’escriuen

jn(x) =

√π

2xJn+ 1

2

(x).

5.4 Funcions de Bessel de segona especie. Funcions de

Neumann

Aquestes funcions constitueixen la segona solucio en el cas ν ∈ Z. La substitucio α = −ν enla recurrencia no genera una solucio independent. Podem comprovar, quan ν = enter, quesi substituım m per −m en l’expressio de les funcions de Bessel de primera especie obtenim

J−m(x) = (−1)mJm(x)

on nomes s’ha de tenir en compte que Γ(l +m+ 1) = ∞ per a l +m enter negatiu.

Sabem per la teoria de les equacions diferencials de segon ordre que la segona solucioporta un terme logarıtmic. Definim ara la funcio de Bessel de segona especie com

Nν(x) =cos(πν)Jν(x) − J−ν(x)

sin πν,

amb ν qualsevol, no necessariament enter. Veiem que aquestes Nν(x) son solucio de l’equaciode Bessel:

• Obviament, si ν 6∈ Z les funcions Jν i J−ν son solucions independents, i tambe hoseran, doncs, Jν i Nν . La combinacio lineal anterior nomes te problemes quan ν = mes enter, ja que sin(mπ) = 0.

• Si ν = m ∈ Z aleshores sin πm = 0, cosπm = (−1)m i J−m = (−1)mJm. Aixıl’expressio anterior genera una indeterminacio,

Nm(x) =(−1)mJm(x) − (−1)mJm(x)

sin πm=

0

0.

Si associem a Nm el valor determinat per la regla de l’Hopital,

Nm(x) = limν→m∈Z

cos(πν)Jν(x) − J−ν(x)

sin πν=

= limν→m

−π sin νπJν + cos πν∂νJν − ∂νJ−ν

π cosπν=

=1

π

(

∂Jm

∂m− (−1)m∂J−m

∂m

)

6= 0. (5.5)

5.4. Funcions de Bessel de segona especie. Funcions de Neumann 77

Es pot demostrar que les Nm trobades d’aquesta manera constitueixen una segonasolucio de l’equacio diferencial de Bessel:

x2J ′′±m + xJ ′

±m + (x2 −m2)J±m = 0.

Derivant aquesta equacio respecte de m obtenim

x2 d2

dx2

∂J±m

∂m+ x

d

dx

∂J±m

∂m+ (x2 −m2)

∂J±m

∂m− 2mJ±m = 0.

Aleshores podem veure que

L

∂J±m

∂m

= 2mJ±m.

Es evident que ∂J±m

∂mno es solucio de l’equacio de Bessel, llevat del cas m = 0. Ara

be, podem calcular LNm

L Nm = L

∂Jm

∂m

− (−1)mL

∂J−m

∂m

= 2mJm − (−1)m2mJ−m.

i, ates que m es enter

LNm = 2m(Jm − (−1)m(−1)mJm) = 0,

aixı doncs, Nm es solucio.

L’aspecte de Nm es el seguent:

Nm(x) =2

π

(

lnx

2+ γ

)

Jm(x) − 1

π

m−1∑

r=0

(m− r − 1)!

r!

(x

2

)2r−m

−

− 1

π

∞∑

r=0

(−1)r

(m+ r)!r!

(x

2

)2r+m[

m+r∑

l=1

1

l+

r∑

l=1

1

r

]

,

on γ es la constant d’Euler-Mascheroni,

γ = limn→∞

(n∑

m=1

1

m− lnn

)

= 0.577215 . . . .


5.5 Funcions de Bessel modificades

En certs problemes fısics (per exemple, en l’estudi de l’equacio de difusio) apareix la seguentequacio diferencial,

x2 d2

dx2y + x

d

dxy − (x2 + ν2)y = 0,

que no es l’equacio de Bessel, pero pot posar-se com a tal fent el canvi

x = −it⇒ d

dx= i

d

dt

d2

dx2= − d2

dt2,

t2d2

dt2y + t

d

dty + (t2 − ν2)y = 0.

Ara y(t) es una funcio de Bessel (d’argument complex perque x es la variable real). Enaquest cas es convenient d’escollir la constant d’integracio de forma que

y(t) = i−νJν(ix) = e−i π

2νJν(xe

i π

2 ) ≡ Iν(x)

sigui una funcio real. Aquesta Iν(x) s’anomena funcio de Bessel modificada de primeraespecie, que en termes d’una serie s’escriu

Iν(x) =∞∑

s=0

1

s!Γ(s+ ν + 1)

(x

2

)2s+ν

ν ∈ R,

on podem veure que es tracta d’una funcio real. Per a ν = m ∈ Z, In ∝ I−n i estem en elmateix cas que abans per a les Jm, es a dir, manca una segona solucio.

Analogament a les funcions de Bessel de segona especie, es defineixen les funcions

Kν(x) ≡π

2 sin νπ[I−ν(x) − Iν(x)],

que son les funcions de Bessel modificades de segona especie. Quan ν = m esenter presenta el mateix tipus de comportament que les Nm, les funcions de Neumann.La indeterminacio s’ha de resoldre de la mateixa forma; ara les Kν representen la segonasolucio.

5.6. Propietats de les funcions de Bessel de primera especie 79

5.6 Propietats de les funcions de Bessel de primera

especie

Recordem que la serie obtinguda per a aquestes funcions era

Jm(x) =∞∑

l=0

(−1)l(x

2

)2l+m

.1

l!Γ(l +m+ 1).

Considerarem nomes les funcions d’ındex enter.

1. Funcio generatriu.

Ara demostrarem com el desenvolupament en serie de Laurent de la funcio

ex

2(t− 1

t)

entorn de t = 0 dona uns coeficients que coincideixen amb les funcions de Bessel deprimera especie d’ındex enter.

ex

2(t− 1

t) =

∞∑

r=0

(x

2

)r tr

r!

∞∑

s=0

(x

2

)s (−1)s

s!t−s =

∞∑

r=0

∞∑

s=0

(x

2

)r+s (−1)s

r!s!tr−s =

=∞∑

s=0

∞∑

n=−s

(x

2

)n+2s (−1)s

(n+ s)!s!tn

En la darrera igualtat hem fet servir el canvi n ≡ r− s. Per a un s fixat n recorre totsels valors enters entre −s i ∞; tenint en compte que la funcio Γ divergeix per a entersnegatius, aquests termes no hi contribueixen i podem estendre la suma per a n entre−∞ i ∞. En aquest cas podem identificar el coeficient de tn amb la corresponentfuncio de Bessel,

=∞∑

n=−∞tn( ∞∑

s=0

(x/2)n+2s(−1)s

Γ(n + s+ 1)s!

)

=∞∑

n=−∞tnJn(x),

tenint en compte que les funcions de Bessel d’ındex negatiu tambe queden perfectamentdeterminades mitjancant la serie anterior.

2. Formules de recurrencia.

(a) 2mxJm = Jm−1 + Jm+1

Demostracio: En termes de la funcio generatriu

ex

2(t− 1

t) =

∞∑

m=−∞tmJm(x).


Derivant respecte de t

x

2

(

1 +1

t2

)

ex

2(t− 1

t) =

∞∑

m=−∞mtm−1Jm(x).

Substituint a l’esquerra l’exponencial per la serie

x

2(1 +

1

t2)

∞∑

n=−∞tnJn(x) =

∞∑

m=−∞mtm−1Jm(x)

i separant les dues contribucions obtenim

x

2

∞∑

n=−∞tnJn(x) +

x

2

∞∑

n=−∞tn−2Jn(x) =

∞∑


Si ara fem el canvi n = m−1 en la primera suma de l’esquerra i n = m+1en la segona tenim

x

2

∞∑

m=−∞tm−1Jm−1(x) +

x

2

∞∑

m=−∞tm−1Jm+1(x) =

∞∑


Finalment, igualem els coeficients de les diferents potencies de tx

2(Jm−1 + Jm+1) = mJm.

2

(b) J ′m = 1

2(Jm−1 − Jm+1)

(c) x2

4(Jm−2 + Jm+2 + 2Jm) + x

2(Jm−1 − Jm+1) −m2Jm = 0

(d) xJ ′m +mJm = xJm−1

(e) xJ ′m −mJm = −xJm+1

(f) ddx

(xmJm) = xmJm−1

(g) ddx

(x−mJm) = −x−mJm+1

Les relacions de recurrencia que s’obtenen a partir de la funcio generatriu nomes sonvalides per a m enters. En realitat, pero, es pot demostrar que aquestes relacions derecurrencia son valides per a qualsevol ındex, ja que es poden obtenir partint de ladefinicio general mitjancant la serie de potencies donada per a les funcions de Besselde primera especie.

Exercici: Obteniu la relacio (a) a partir de la definicio de Jν .

3. Representacio integral de les funcions de Bessel. Les funcions de Bessel noapareixen nomes en equacions diferencials; de fet hi ha problemes fısics on apareixen apartir de representacions integrals. Fixem-nos en la formula per a la funcio generatriu

ez

2(t− 1

t) =

∞∑

m=−∞tmJm(z)

5.6. Propietats de les funcions de Bessel de primera especie 81

i, utilitzant la teoria de variable complexa (desenvolupament de Laurent), podemidentificar

Jm(z) =1

2πi

∮ ez

2(t− 1

t)

tm+1dt,

on el camı d’integracio s’ha de prendre al llarg d’un circuit tancat orientat positivamentque contingui la singularitat a t = 0.

Podem desenvolupar aquesta expressio per convertir-la en una de mes senzilla.Prenguem un circuit entorn de t = 0 de radi 1 i fem el canvi a polars:

t = eiϕ

t− 1/t = 2i sinϕdt = ieiϕdϕ

aixı

Jm(z) =1

2πi

∫ π

−πeiz sinϕe−i(m+1)ϕieiϕdϕ =

1

2π

∫ π

−πei(z sin ϕ−mϕ)dϕ =

=1

2π

∫ π

−πcos(z sinϕ−mϕ)dϕ+

i

2π

∫ π

−πsin(z sinϕ−mϕ)dϕ

︸︷︷︸

=0 per paritat

=

=1

π

∫ π

0cos(z sinϕ−mϕ)dϕ (5.6)

que es la representacio integral de les funcions de Bessel de primera especie.

Per a ındex no enter es pot estendre el calcul anterior tenint en compte que ara t = 0es un punt d’embrancament. Per a ν qualsevol, la representacio integral esdeve1

Jν(z) =1

π

∫ π

0cos(z sinϕ−mϕ)dϕ− sin νπ

π

∫ ∞

0e(−νy−z sinh y)dy

amb ℜ(z) > 0.

4. Acotacio de les funcions de Bessel. Per a ındexs enters i valors reals de la funcio,la funcio generatriu ens dona

ez

2(t− 1

t) =

∞∑

n=−∞tnJn(z).

Fent ara el canvi t→ 1/t obtenim

ez

2( 1

t−t) =

∞∑

m=−∞t−mJm(z).

1Vegeu l’exercici 11.1.17, pag. 642 del llibre G. ARFKEN, Mathematical methods for physicists, AcademicPress, 1970.


I si fem el producte de les dues expressions

1 =∞∑

n=−∞

∞∑

m=−∞Jn(z)Jm(z)tn−m = (n−m = s) =

∞∑

s=−∞

∞∑

n=−∞Jn(z)Jn−s(z)t

s.

El coeficient per a s = 0 es l’unic diferent de zero,

1 =∞∑

n=−∞[Jn(z)]2 =

−1∑

n=−∞J2

n + J20 +

∞∑

n=1

J2n = J2

0 +∞∑

n=1

[J2n + J2

−n]

i com que J−n = (−1)nJn, per a ındexs enters tenim

1 = 2∞∑

n=1

J2n + J2

0 .

Aixı, per a valors reals de la variable z, les Jn(z) son reals i J2n = 0. Podrem escriure

doncs

|J0(z)| ≤ 1 ∀z ∈ R

i

2∞∑

n=1

[Jn(z)]2 ≤ 1 ⇒ |Jn(z)| ≤ 1/√

2 ∀z ∈ R.

5. Zeros de les funcions de Bessel. Les funcions de Bessel de primera especie tenenun comportament oscil.latori esmorteıt, com es pot veure en la figura 5.1 per a J0(x)i J1(x). Aixo ens porta a sospitar que tenen un nombre infinit i numerable de zerosen el semieix real positiu. Podem veure-ho de manera aproximada2 fent el canviu(x) =

√xy(x) que ens porta a l’equacio diferencial per la nova funcio u(x)

u′′ +

(

1 +1 − 4ν2

4x2

)

u = 0.

Per a grans valors de l’argument x l’equacio es la de l’oscil·lador harmonic; aixıdoncs, la funcio de Bessel sera alguna combinacio lineal de les dues solucions 1√

xsin x

i 1√x

cosx.

A mes, qualsevol combinacio lineal d’una funcio de Bessel i la seva derivada primerasegueix tenint un nombre infinit de zeros, tal i com podem veure en la figura 5.2.

2Per a una demostracio mes rigorosa podeu veure G. F. SIMMONS, Ecuaciones diferenciales, McGraw-Hill, 1993, pag. 165-167.

5.7. Ortogonalitat de les funcions de Bessel 83

5 10 15 20

-0.4

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Figura 5.1: Funcions de Bessel J0 (contınua) i J1(discontınua).

5.7 Ortogonalitat de les funcions de Bessel

5.7.1 Forma canonica de l’equacio de Bessel. Hermiticitat del’operador diferencial

Tornem a la part radial de l’equacio de Laplace en coordenades cilındriques, que podemexpressar de la seguent forma,

1

ρ

d

dρ

(

ρdR

dρ

)

− m2

ρ2R + χ2R = 0.

Aquesta equacio representa un operador diferencial escrit en la forma canonica

L =1

ρ

d

dρ

(

ρd

dρ

)

− m2

ρ2,

d’on podem identificar:

λ = χ2,


5 10 15 20

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75

1

1.25

Figura 5.2: Combinacions lineals de la funcio de Bessel d’ordre zero i la seva derivada:J0 − J ′

0 (contınua) i J0 + J ′0 (discontınua)

w(ρ) = ρ,

p(ρ) = ρ,

q(ρ) = −m2

ρ2,

i χ2 seran els autovalors. Vegem ara sota quines condicions de contorn es pot garantirl’hermiticitat de l’operador diferencial.

Considerem l’interval [0, a], on a es el maxim valor que pot prendre l’argument de R(ρ).Recordem que [pW ]a0 = 0 era la condicio perque L fos hermıtic,

(f,Lg) − (Lf, g) = [pW (f ∗, g)]a0 = p(a)[f ∗(a)g′(a) − f ′∗(a)g(a)] − p(0)[f ∗(0)g′(0) − f ′∗(0)g(0)]

i com que p(0) = 0, ens queda la condicio

W (f ∗, g) = 0 en x = a.


Recordem que f i g han de complir les mateixes condicions de contorn (pertanyen al mateixdomini). Havıem vist en el capıtol 2 que la condicio necessaria i suficient perque s’anul.li elwronskia en un punt es que les funcions del domini de l’operador satisfacin condicions decontorn no mixtes en aquest punt:

Af(a) +Bf ′(a) = 0. (5.7)

Estudiem de moment el cas mes senzill: exigint que g(a) = f(a) = 0 l’operador L serahermıtic sobre el domini de definicio. Hem d’assegurar, a mes a mes, que siguin funcionsben comportades en l’origen (ℜ(ν) > 0). Aixo vol dir que hem d’excloure les Nν perque lesfuncions de Neumann tenen singularitats en l’origen.

Aixı L es hermıtic amb un producte escalar donat per

(f, g) =∫ a

0ρf ∗(ρ)g(ρ)dρ.

Veiem que aquesta restriccio sobre el domini n’imposa una sobre les funcions R(ρ) =Jm(χρ) que funcionaran com a base d’aquest espai. Aixo implica que no tots els valors deχ seran valids, nomes aquells que facin que, fixat un m,

Jm(χa) = 0.

Llavors els autovalors son els χ tals que χa coincideix amb un zero de Jm. Recordem queabans havıem vist que els zeros de les funcions de Bessel son numerables. Anomenem αmn

el n-esim zero de Jm. Aixı els autovalors χ seran aquells que

χ =αmn

a,

i en tindrem un nombre infinit i numerable.3 Respectivament, Jm(αmn

aρ) seran les autofun-

cions. Els autovalors no son degenerats, car per a cada autovalor tenim una sola autofuncio.

Dins la teoria general de Sturm-Liouville l’hermiticitat de l’operador diferencial ensgaranteix l’ortogonalitat de les funcions de Bessel associades a diferents zeros amb un ındexfixat. Considerem-ne dues

Rr(ρ) = Jm(αmrρ/a)Rs(ρ) = Jm(αmsρ/a)

αmr, αms son zeros de Jm. (5.8)

3La condicio mes general Af(a) +Bf ′(a) = 0 mena a altres discretitzacions, ja que en general exigirem

AJm(χa) +BJ ′

m(χa) = 0

la qual selecciona un altre conjunt diferent d’autovalors.


Les Rr, Rs son funcions propies del problema de Sturm-Liouville

L[Rr] + α2mrRr/a

2 = 0

L[Rs] + α2msRs/a

2 = 0

i com que L es hermıtic

(Rr,LRs) − (LRr, Rs) = 0 ⇒ (α2mr − α2

ms)(Rr, Rs) = 0,

es a dir,

(α2mr − α2

ms)∫ a

0ρJm(αmrρ/a)Jm(αmsρ/a)dρ = 0. (5.9)

I a partir d’aquı obtenim que quan els valors propis son diferents

∫ a

0ρJm(αmrρ/a)Jm(αmsρ/a)dρ = 0 ⇒ (Rr, Rs) = 0.

A partir de l’expressio (5.9) tambe podem obtenir la normalitzacio de les funcions deBessel.4 Fixem-nos que si αmr = αms tenim una indeterminacio. Prenguem αms = αmr + εsent αmr un zero de Jm pero no αms. En aquest cas, fent servir les propietats de l’operadorL, ja que ara Rs no compleix les condicions de contorn,

(α2mr − α2

ms)

a2(Rr, Rs) = [pW (Rr, Rs)]

a0 = −aR′

r(a)Rs(a)

o, en termes de les funcions de Bessel,

(α2mr − α2

ms)

a2

∫ a

0ρJm(αmrρ/a)Jm(αmsρ/a)dρ = −αmrJ

′m(αmr)Jm(αms),

el que ens permet d’escriure

∫ a

0ρJ2

m(αmrρ/a)dρ = limε→0

−αmrJ′m(αmr)Jm(αmr + ε)

[α2mr − (αmr + ε)2]/a2

,

4Per al cas en que les condicions de contorn s’imposin sobre la derivada o sobre una combinacio de funcioi derivada hi haura altres normalitzacions. Podeu veure M. R. SPIEGEL i L. ABELLANAS, Manual de

formulas y tablas de matematica aplicada, Col.leccio Schawm, Ed. McGraw-Hill, 1988, pag. 149-150.


que, aplicant la regla de l’Hopital,

= a2 limε→0

−αmrJ′m(αmr)J

′m(αmr + ε)

−2ε− 2αmr=a2

2[J ′

m(αmr)]2.

Fent servir la relacio de recurrencia

J ′m =

m

xJm − Jm+1,

i el fet que αmr sigui zero de Jm, ens permet arribar a

∫ a

0ρ[Jm(αmrρ/a)]

2dρ =a2

2J2

m+1(αmr).

5.7.2 Series de Fourier-Bessel

Aprofitant que les solucions Jm(αmnρ/a) ambm fixat i ℜ(m) > 0 constitueixen un conjuntortogonal en l’interval [0, a], podem prendre per a qualsevol funcio f(ρ) definida en [0, a] iben comportada en aquest interval

f(ρ) =∞∑

n=0

bnJm(αmnρ/a),

que es coneix amb el nom de serie de Fourier-Bessel. Recordem que αmn es el zero n-esim deJm. Fixem-nos que aquest desenvolupament es per a un ındex de la funcio de Bessel fixat,es a dir, que podem fer el desenvolupament per a qualsevol ındex de les funcions. Noteu quesumem una serie de funcions de Bessel d’arguments diferents; l’argument va variant segonsels diferents zeros de la funcio.

Aquesta serie convergira en mitjana quadratica en la funcio f i els coeficients bn seran

bn =(Jm(αmnρ/a), f(ρ))

(Jm(αmnρ/a), Jm(αmnρ/a))=

2

a2J2m+1(αmn)

∫ a

0ρJm(αmnρ/a)f(ρ)dρ.

Aixı, per al problema general en coordenades cilındriques, ∇2ψ = 0 i ψ(ρ = a) = 0,tindrem les solucions

Z(z) =

eαmnz/a, e−αmnz/a

φ(ϕ) = sinmϕ, cosmϕR(ρ) = Jm(αmnρ/a)

m enterαmn n-esim zero de Jm


La solucio per a n,m fixats sera

ψmn(ρ, z, ϕ) = Jm(αmnρ/a)(am sinmϕ+ bm cosmϕ)(cmneαmnz/a + dmne

−αmnz/a),

i la solucio general de l’equacio de Laplace en coordenades cilındriques es

ψ(ρ, z, ϕ) =∞∑

m=0

∞∑

n=1

Jm(αmnρ/a)(am sinmϕ+ bm cosmϕ)(cmneαmnz/a + dmne

−αmnz/a).

Exemple: Estudieu les vibracions en una membrana circular.

5.8 APENDIX: La funcio gamma d’Euler

La importancia d’aquesta funcio esta en la seva relacio amb funcions especials, pero no provede cap equacio de la Fısica.

Admet diferents definicions, d’aquestes en triem dues:

• Lımit infinit

Γ(z) = limn→∞

1 · 2 · 3 · . . . · nz(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)

nz z 6= 0,−1,−2,−3, . . .

i la variable z pot ser real o complexa.

A partir d’aquesta definicio podem obtenir la seguent recurrencia:

Γ(z + 1) = limn→∞

1 · 2 · 3 · . . . · n(z + 1)(z + 2) . . . (z + n + 1)

nz+1 =

= limn→∞

nz

z + n+ 1

1 · 2 · 3 · . . . · nz(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)

nz =

= limn→∞

nz

z + n+ 1lim

n→∞1 · 2 · 3 · . . . · n

z(z + 1)(z + 2) . . . (z + n)nz

︸︷︷︸

Γ(z)

=

= zΓ(z)

Tambe a partir de la definicio es facil veure que Γ(1) = 1 i fent servir la recurrenciaobtenim

Γ(2) = 1, Γ(3) = 2, . . . , Γ(n) = (n− 1)! ,

per a n enter i positiu.

5.8. APENDIX: La funcio gamma d’Euler 89

-4 -2 2 4

-10

-5

5

10

Figura 5.3: Funcio gamma d’Euler.

• Integral definida

Γ(z) =∫ ∞

0e−ttz−1dt

amb ℜ(z) > 0 per evitar divergencies. Fent el canvi t = u2 tenim

Γ(z) = 2∫ ∞

0e−u2

u2z−1dt,

que per a z = 12

ens permet d’obtenir

Γ(1

2) =

√π

i, a partir d’aquı, tindrıem totes les funcions gamma dels semienters.

Es pot demostrar que les dues definicions son equivalents.5

L’aspecte de la funcio gamma es el de la figura 5.3.

5Vegeu G. ARFKEN, Mathematical methods for physicists, Academic Press, 1970, pag. 541.

CAPITOL 6

TRANSFORMADES INTEGRALS

6.1 Transformada de Fourier

6.1.1 Definicio

Hem vist que la limitacio de la serie de Fourier es que nomes permet la representacio defuncions que siguin periodiques o be, si no son periodiques, que estiguin definides en uninterval finit. La solucio a aquest problema es fer que el perıode tendeixi cap a infinit;aleshores les sumes es converteixen en integrals i la representacio discreta de l’espectre enuna representacio contınua, proposta que defineix la transformada de Fourier d’una funcio.

Aixı la funcio f(x) admet la seguent representacio

f(x) =1

2π

∫ ∞

−∞F (ω)eiωxdω,

on F (ω) es l’espectre, que ara es una funcio d’una variable contınua i es el que s’anomenatransformada de Fourier de la funcio f(x).1 La forma de calcular aquesta funcio tambe esdedueix de la forma en que calculavem l’espectre de la funcio f(x),

F (ω) = Ff =∫ ∞

−∞f(x)e−iωxdx.

Una condicio suficient sobre la funcio f(x) perque existeixi la seva transformada es que laintegral

∫ ∞

−∞|f(x)|dx

existeixi.1Aquesta es la forma natural de definir-la a partir dels desenvolupaments discrets pero existeixen altres

convenis (canvis de signes i prefactors).

92 CAPITOL 6. TRANSFORMADES INTEGRALS

Les funcions f(x) i F (ω) formen un parell de transformades. Aixı F (ω) = Ff es latransformada de Fourier de f(x) i f(x) = F−1F es la transformada de Fourier inversa deF (ω). El fet que existeixi un teorema d’inversio esta relacionat amb el fet que les funcionseiωx satisfan la seguent relacio d’ortogonalitat,

< eiωx|eiω′x >=∫ ∞

−∞e−iωxeiω′x = 2πδ(ω − ω′).

6.1.2 Propietats de la transformada de Fourier

1. Linealitat:

Fc1f1 + c2f2 = c1Ff1 + c2Ff2.

Es pot demostrar d’acord amb les propietats de linealitat de la integral.

2. Translacio de la variable:

Ff(x− x0) =∫ ∞

−∞e−iωxf(x− x0)dx.

Si fem el canvi t = x− x0 ens queda

Ff(x− x0) =∫ ∞

−∞e−iωt−iωx0f(t)dt = e−iωx0

∫ ∞

−∞e−iωtf(t)dt = e−iωx0F (ω).

Analogament, podem demostrar que Feiω0xf(x) = F (ω − ω0).

3. Diferenciacio:

Fdf(x)/dx =∫ ∞

−∞e−iωxdf(x)

dx.

Integrant per parts,

Fdf(x)/dx =[

e−iωxf(x)]∞

−∞− (−iω)

∫ ∞

−∞e−iωxf(x)dx = iωF (ω),

on hem utilitzat el fet que la funcio f(x) s’ha d’anul.lar en ±∞ ja que si no no seriade modul integrable.

Per la relacio entre transformada i transformada inversa (diferencia en un signe) es

facil de veure que Fxf(x) = idF (ω)dω

.

6.1. Transformada de Fourier 93

4. Canvi d’escala:

Ff(λx) =∫ ∞

−∞e−iωxf(λx)dx.

Fem el canvi t = λx amb λ > 0:

=1

λ

∫ ∞

−∞e−iωt/λf(t)dt =

1

λF (ω/λ)

Si λ < 0, l’unica diferencia sera que canvien d’ordre els lımits d’integracio. En general,doncs, podem escriure:

Ff(λx) =1

|λ|F (ω/λ)

5. Isometria del producte escalar: Definint el producte escalar entre dues funcionsf(x) i g(x) com

< f |g >=∫ ∞

−∞dxg(x)f ∗(x),

podem introduir la transformada inversa de f i ens queda

=∫ ∞

−∞dxg(x)

1

2π

∫ ∞

−∞dωe−iωxF ∗(ω).

Si ara invertim l’ordre de les integrals,

=1

2π

∫ ∞

−∞dωF ∗(ω)

∫ ∞

−∞dxe−iωxg(x),

i com que l’ultima integral correspon a la transformada de Fourier de la funcio g,podem finalment escriure

∫ ∞

−∞dxg(x)f ∗(x) =

1

2π

∫ ∞

−∞dωG(ω)F ∗(ω).

Amb la qual cosa podem concloure que, llevat d’una constant, la transformada deFourier conserva el producte escalar.

6. Identitat de Parseval: Un cas particular de la propietat anterior es quan g = f ;aleshores

∫ ∞

−∞|f(x)|2dx =

1

2π

∫ ∞

−∞|F (ω)|2dω,

la qual equival a la identitat de Parseval per a les series de Fourier.


6.1.3 Producte de convolucio de dues funcions

Definim el producte de convolucio de dues funcions f i g com l’operacio

(f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞dx′f(x− x′)g(x′),

quan la integral existeix, amb les propietats: commutativa, associativa i distributiva respectede la suma.

La importancia del producte de convolucio ve del fet que la transformada de Fourierd’un producte de convolucio es el producte de les transformades. Vegem-ho:

F(f ∗ g)(x) =∫ ∞

−∞e−iωxdx

∫ ∞

−∞dx′f(x− x′)g(x′),

si ara canviem l’ordre de les integrals

=∫ ∞

−∞g(x′)dx′

∫ ∞

−∞f(x− x′)e−iωx,

i introduım els canvis x− x′ = y i x′ = y′, ens queda

=∫ ∞

−∞g(y′)dy′e−iωy′

∫ ∞

−∞f(y)e−iωydy = G(ω)F (ω).

Exemple: Resoleu l’equacio de conduccio de la calor

∂T (x, t)

∂t= α

∂2T (x, t)

∂x2

en un solid unidimensional infinit tenint en compte que la distribucio inicial de tem-peratura en el solid es T (x, t = 0) = f(x).

6.2 Transformada de Laplace

6.2.1 Definicio

Si f(x) es una funcio de variable real, nul.la per a x < 0, aleshores la transformada deLaplace de f(x) es

F (s) = Lf(x) =∫ ∞

0f(x)e−sxdx si existeix.

6.2. Transformada de Laplace 95

En general prendrem la variable s com a real i positiva, pero s pot ser complexa amb partreal positiva per garantir l’existencia de la transformada. Aquesta transformada existeix sif(x) es contınua i diferenciable a trossos amb discontinuıtats finites. No es necessari queexisteixi la integral

∫∞0 f(x)dx ja que f(x) pot divergir exponencialment mentre existeixi

una constant s0 tal que

∣∣∣e−s0xf(x)

∣∣∣ ≤M ∀x

i F (s) existeix nomes per a s > s0. Quan s es una variable complexa aleshores per a ℜs > s0

la transformada F (s) es una funcio analıtica; generalment es prolongable analıticament atot el pla complex i la seva prolongacio conte singularitats en la regio ℜ s < s0.

D’altra banda, F (s) no existeix si f(x) ∼ x−m amb m ≥ 1 quan x→ 0.

6.2.2 Propietats de la transformada de Laplace

1. Linealitat: Es pot demostrar immediatament a partir de les propietats de linealitatde la integral.

2. Derivada de la transformada:

dF (s)

ds=∫ ∞

0−xe−sxf(x)dx = L−xf(x).

Iterativament,

L(−x)nf(x) =dnF (s)

dsn.

3. Transformada de la derivada:

Ldf(x)/dx =∫ ∞

0e−sxdf(x)

dx= e−sxf(x)

∣∣∣

∞

0+ s

∫ ∞

0e−sxf(x)dx = −f(0) + sF (s),

Estenent aquest resultat a la derivada d’ordre n,

Ldnf(x)/dxn = snF (s) − sn−1f(0) − sn−2f ′(0) − . . .− fn−1)(0).

Aquesta propietat ens permet de convertir, per exemple, una equacio diferencial acoeficients constants en una equacio algebraica per a la transformada.

4. Translacio de la variable:

Lf(x− x0) =∫ ∞

0e−sxf(x− x0)dx,


ens queda, fent el canvi x− x0 = x′,

= e−sx0

∫ ∞

−x0

e−sx′

f(x′)dx′.

Si x0 es positiu, recordem que per arguments negatius la funcio f(x) s’anul.la, i en ellımit inferior d’integracio podem posar 0. Aixı,

= e−sx0

∫ ∞

0e−sx′

f(x′)dx′ = e−sx0F (s).

5. Translacio de la variable transformada:

Leaxf(x) =∫ ∞

0eaxf(x)e−sxdx =

∫ ∞

0f(x)e−(s−a)xdx = F (s− a).

6. Transformada d’una integral: Definim

g(x) ≡∫ x

0f(t)dt.

Aleshores

Lg(x) =∫ ∞

0e−sxg(x)dx.

Integrant per parts,

=e−sx

−s g(x)∣∣∣∣∣

∞

0

+1

s

∫ ∞

0e−sxf(x)dx =

1

sg(0) +

1

sF (s) =

F (s)

s.

6.2.3 Teorema de convolucio

Definim en aquest cas el producte de convolucio

(f ∗ g)(x) =∫ ∞

0f(x− x′)g(x′)dx′.

Els lımits d’integracio admeten diferents possibilitats: 0 o −∞ per l’inferior, i x o ∞ pelsuperior, a causa del fet que les funcions amb arguments negatius valen zero. Aixo fa queper a aquestes funcions les dues definicions (Fourier i Laplace) siguin identiques.

Calculem ara la transformada de Laplace del producte

L(f ∗ g)(x) =∫ ∞

0e−sxdx

∫ ∞

0f(x− x′)g(x′)dx′.

6.2. Transformada de Laplace 97

Canviant l’ordre d’integracio,

=∫ ∞

0dx′g(x′)

∫ ∞

0e−sxf(x− x′)dx,

i fent el canvi y = x− x′ i y′ = x′, ens queda

=∫ ∞

0dy′g(y′)

∫ ∞

−y′

dye−s(y+y′)f(y).

I com que y′ ≥ 0, en la segona integral podem substituir −y′ per 0 en el lımit inferior, ambla qual cosa obtenim

=∫ ∞

0dy′g(y′)e−sy′

∫ ∞

0dye−syf(y) = G(s)F (s).

6.2.4 Transformada de Laplace inversa

La transformada inversa es pot determinar reduint F (s) a combinacions de funcions ambtransformades tabulades. Tambe, avaluant una expressio integral analoga a la transformadainversa de Fourier, mitjancant el calcul de residus. Aquesta es l’anomenada integral deBromwich:

f(x) =1

2πi

∫ γ+i∞

γ−i∞esxF (s)ds x = 0,

sent la integral sobre una recta del pla complex paral.lela a l’eix imaginari, amb part realconstant igual a γ. γ s’escull de tal manera que totes les singularitats de F (s) quedin al’esquerra de la recta d’integracio.

Hi ha dos casos particularment interessants que es poden resoldre amb la teoria conegudad’integracio en el pla complex:

1. F (s) es analıtica llevat d’un nombre finit de pols: En aquest cas,

f(x) = L−1F (s) =n∑

k=1

ResesxF (s); sk.

2. F (s) te un punt d’embrancament en s = 0 amb un nombre finit de pols, cap d’ellssobre l’eix real negatiu: Ara la integral de Bromwich val

f(x) = L−1F (s) =n∑

k=1

ResesxF (s); sk +1

2πi

∫

LdsesxF (s)

sent L el camı introduıt per tal d’evitar l’embrancament.


Exemple: La intensitat de corrent I(t) en un circuit electric, amb inductancia L iresistencia R, ve donada per l’equacio

LdI

dt+RI = E(t)

sent E(t) la forca electromotriu aplicada. Calculeu la intensitat I(t) quan E(t) =E0 sinωt i la intensitat inicial es nul.la.

metodes matemàtics de la física

Documents