las matemáticas no están conﬁnadas al papel

El jueves, 11 de junio de 2020, se llevó a cabo el se-gundo webinar (figura 1) dedicado a la enseñanza delas matemáticas realizado por la Organización de Es-tados Iberoamericanos (OEI), en el marco de laalianza con la Federación Española de Sociedades deProfesores de Matemáticas (FESPM) y la FederaciónIberoamericana de Sociedades de Educación Mate-mática (FISEM).

El encuentro titulado Las matemáticas no están confi-nadas al papel, fue moderado por Juan Carlos Toscano(figura 2), técnico de Educación Superior, Ciencia yFormación Profesional de la OEI, y contó con laparticipación de Cecilia Calvo Pesce, doctora en Di-dáctica de las Matemáticas por la Universitat Autò-noma de Barcelona, y María Teresa Navarro Moncho,profesora investigadora del Departamento de Didác-tica de la Matemática de la Universitat de València,quienes desarrollaron el encuentro en formato en-trevista abordando temáticas alrededor de la funcióndocente y la metodología de la enseñanza de las ma-temáticas en el actual contexto derivado de la pan-demia mundial de la COVID-19.

Las matemáticas no estánconfinadas al papelCecilia Calvo PesceMaría Teresa Navarro MonchoJuan Carlos Toscano Grimaldi

FESPM

S94-webinarCecilia-Maite-JuanCarlos.qxp 16/8/20 20:21 Página 111

Introducción

La crisis sanitaria provocó el confinamiento de la ciu-dadanía y en consecuencia la imposibilidad de con-tinuar con el proceso de enseñanza y aprendizaje demanera presencial. Esta circunstancia supuso un retotanto para el profesorado como para el alumnado delos diferentes niveles educativos y sus familias. Niunos ni otros estaban preparados para pasar, de lanoche a la mañana, de una metodología de enseñanzabasada en la presencialidad a una metodología a dis-tancia, sin tener a disposición, en la mayoría de loscasos, las herramientas tecnológicas, pedagógicas ydidácticas imprescindibles para hacer esta transición.

En este contexto, durante los largos meses de distan-ciamiento, el profesorado retomó de maneras muydiversas el acompañamiento en el proceso de ense-ñanza y aprendizaje a su alumnado. Utilizó video-conferencias, plataformas virtuales como Moodle,correo electrónico o llamadas telefónicas para resol-ver dudas, enviar y recibir tareas. Ahora bien, la fun-ción del profesorado no se limitó a la tutorizaciónde las competencias propias de su área, sino que ade-más tuvo que atender emocionalmente a su alum-nado, realizar tareas de orientación y sobre todo decompetencia digital.

El encuentro que aquí reseñamos pretendió ir másallá de describir las excepcionales características deesta situación que obligó al conjunto de los docentesa deslocalizar su tarea de una manera nunca antesimaginada. Se describieron, a modo de ejemplo, al-gunas propuestas que el profesorado de matemáticas

ha estado llevando a cabo durante el confinamientoy que eran viables y ricas a pesar del distanciamiento.También se pretendió brindar elementos de reflexiónque pudieran ayudar a la introspección que cadamaestro y maestra está realizando actualmente sobrequé hizo y qué pudo haber hecho durante este pe-ríodo de confinamiento, sobre lo que hará en casoque se presente otro periodo de este tipo pero, espe-cialmente, sobre lo que hará cuando vuelva a estaren un aula con su alumnado.

La entrevista

M.ª Teresa Navarro (figura 3), en el papel de entre-vistadora, propuso organizar el webinar en torno a tresgrandes temas:

— La posibilidad de avanzar contenidos en situa-ciones en las que es imposible la presenciali-dad.

— El papel del currículo en el modelo de ense-ñanza.

— El tipo de actividades recomendables cuandono se puede ejercer la presencialidad.

Consideramos que estos tres aspectos eran de interéspara el profesorado, no solo en la situación de crisisque estábamos viviendo, sino con el ánimo de apren-der de la situación vivida para mejorar la enseñanzaa distancia en posibles futuras crisis que impidan lapresencialidad y también aprovechar las oportunida-des que ha supuesto esta situación en nuestra práctica

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Figura 1. Cartel de invitación al webinar

Figura 2. Juan Carlos Toscano presentando el webinar


docente para impulsar un cambio de modelo en laenseñanza presencial.

Por su parte, Cecilia Calvo (figura 4) dio respuesta aestos temas de manera extensa tal como se puede veren la grabación de la entrevista accesible a través delenlace siguiente: <https://www.oei.es/Educa-cion/Noticia/asi-fue-el-webinar-las-matematicas-no-estan-confinadas-al-papel>.

SOBRE LOS CONTENIDOSEn muchos casos, el profesorado optó por avanzarcontenidos y saltaron a las redes sociales debates y re-flexiones sobre la conveniencia o no de esta opción.

¿Crees que se debería avanzar en los contenidos en una situación como laque hemos vivido en la que se pierde la presencialidad de las clases?Comenzaré poniendo en perspectiva la cuestiónplanteada. ¿Qué es lo que realmente hacemos noso-tros cuando estamos en el aula con nuestros alumnos?¿Solo transmitimos conocimientos? ¿O lo que hace-mos es también transmitir una imagen de una cienciaque ha sido fundamental en la humanidad como sonlas matemáticas, una manera de pensar, una manerade hacer? Además de los contenidos básicos (aritmética, geo-metría...) también perseguimos el trabajo de los pro-cesos matemáticos, en el sentido en que los define laNational Council of Teachers of Mathematics(NCTM, 2003), maneras de hacer matemáticas,como son la resolución de problemas, el estableci-

miento de conexiones, el razonamiento y la prueba,la comunicación y la representación.

Mi respuesta a la pregunta sobre la conveniencia deavanzar contenidos en una situación como la quehemos vivido es no, porque:

— No es pertinente, pues podría tener comoconsecuencia aumentar las brechas y los do-centes tenemos la responsabilidad social de in-tentar evitarlo.

— No es posible, ya que desde mi manera de en-tender qué es enseñar matemáticas en primariay secundaria obligatoria, la conversación entreiguales moderada por el maestro es imprescin-dible para generar conocimiento. En este sen-tido, la comunicación verbal es esencial y lasinteracciones de este nivel se ven muy limita-das en una videoconferencia o más aún a travésde un material escrito, y también es muy im-portante la información que recibimos de lacomunicación no verbal y esta desaparece enlas condiciones de distanciamiento.

— No es imprescindible, pues, coincidiendo conLuis J. Rodríguez (2020), presidente de la Co-misión de Educación de la Real Sociedad Ma-temática Española (RSME), creo que convienerelativizar la situación considerando la dura-ción del confinamiento con relación a la tota-lidad de la escolarización. Además, por ladisposición helicoidal del currículo, los con-tenidos que no se hayan tratado en este pe-ríodo se retomarán en cursos futuros. No es

Cecilia Calvo Pesce, María Teresa Navarro Moncho y Juan Carlos Toscano Grimaldi · Suma 94 113

Figura 3. M.ª Teresa Navarro durante la entrevista Figura 4. Cecilia Calvo durante la entrevista


un problema no haber cubierto todos los con-tenidos previstos, lo que realmente debería de-jarnos con la sensación de tiempo perdido es,en los casos en que se pudo tener algún con-tacto con el alumnado, no haber aprovechadoesas oportunidades para proponerles experien-cias que contribuyan a mejorar su relación conlas matemáticas. Considerando además el es-caso servicio que puede hacer al alumnado es-tudiar algo de manera superficial, por el merohecho de decir que se ha cubierto el temario,debemos preguntarnos qué matemáticas sepueden hacer sin avanzar contenidos nuevos,sino consolidando conocimientos previos. Sepueden hacer matemáticas avanzadas con co-nocimientos elementales (Dreyfus, 1991), elreto para el profesorado radica en encontrartareas competencialmente ricas en el sentidode procesos, que no requieran avanzar conte-nidos y nos ayuden a mantener al alumnadoactivo matemáticamente y, sobre todo, que nosayuden a transmitirle que hacer matemáticasno consiste en aprender fórmulas y en repetirprocedimientos no transparentes sino en resol-ver problemas algo que se puede transmitir re-curriendo únicamente a los contenidos yconocimientos previamente adquiridos.

SOBRE EL CURRÍCULUM¿Condiciona el currículum el modelo de enseñanza?A pesar de las diferentes realidades de los docentesque presenciaron la entrevista o que leen esta reseña,según su comunidad autónoma o su país de residen-cia, se pueden hacer algunas reflexiones generales.Los currículums están vivos, siempre son mejorablesy el profesorado debe reclamar que las autoridadescontinúen trabajando por la elaboración de mejorescurrículums, acordes con interpretaciones actualiza-das de los procesos de enseñanza y aprendizaje de lasmatemáticas. Sin embargo, muchas de las dificultadesque hemos encontrado para adaptarnos a la situaciónde distanciamiento no se explican por las carenciasque pueda tener un currículum en particular sinopor la interpretación que como colectivo hacemosdel currículum. Los conflictos más serios que hemos

tenido en este momento de crisis tienen mucho másque ver con las creencias en el modelo de aprendizajeque con los currículums. A los docentes, en general,y a los profesores o maestros de matemáticas, en par-ticular, el peso de la tradición nos encorseta muchomás que el propio currículum. La realidad es que lamayoría de los currículums permiten hacer interpre-taciones flexibles y tomar decisiones que nos permi-ten no restringirnos a repetir «lo que siempre se hahecho» y en algunos territorios las propias autorida-des educativas nos invitaron a reconsiderar esta tra-dición cuando recomendaron a los docentes que lomás importante era mantener el contacto con losalumnos y mantenerlos activos.

SOBRE LAS TAREAS¿Qué tipo de tareas son pertinentes cuandono podemos ejercer la presencialidad? Cuando decimos que las matemáticas no están con-finadas al papel estamos haciendo una declaración deintenciones: las matemáticas en el aula deberían sermucho más que un conjunto de tareas escritas, de-berían entenderse como una serie de experienciasque el maestro propone a su alumnado conectandouna experiencia a la otra mediante una conversaciónen la que no únicamente tiene voz el docente.

En este sentido, las matemáticas que propusimos anuestro alumnado durante el confinamiento nos su-pusieron un reto que no se limitó a hacerles llegaruna serie de documentos que muchos de ellos nopodían imprimir, sino en buscar actividades matemá-ticas ricas que no estuvieran ligadas al papel, que, aligual que cuando estamos en el aula, tuvieran unaimportante componente experimental usando ma-teriales que podían encontrar en su entorno para ge-nerar conocimiento a partir de esa manipulación.

Veamos tres ejemplos, dos más cercanos a las mate-máticas que se trabajan en primaria y uno más cer-cano a las matemáticas que se trabajan en secundaria.Una característica que tienen en común estos ejem-plos es que se trata de tareas de suelo bajo y techoalto (Low Threshold High Ceiling Tasks)<https://nrich.maths.org/10345>. Eso implica quepodemos indicar una edad a partir de la cual pode-



mos proponer el reto, una edad a partir de la cual laprimera pregunta que les planteamos es accesible,pero este reto puede ser propuesto a alumnos mayo-res porque es la gestión de las preguntas que hacemosdurante la actividad la que permitirá al alumnado irtan lejos como sus conocimientos y su motivaciónpor profundizar le permita.

Primer ejemplo (a partir de 7 años)Con 12 monedas o 12 fichas circulares del mismotamaño puedo representar los dos rectángulos queaparecen en la figura 5. ¿Podrías representar otrosrectángulos?

A partir de esta primera pregunta tan abierta y lasrespuestas que recibimos del alumnado podemoshacer más preguntas: ¿estás segura de que has encon-trado todas las soluciones?, ¿qué pasaría si en lugarde 12 monedas tuvieras 14?, ¿cuantas más monedastengas, tendrás más soluciones?, ¿habrá siempre mássoluciones del tipo rectángulos «completos» que deltipo rectángulos «vacíos»?, etc.

Si queremos mirar qué contenidos matemáticos claveestán detrás de las preguntas anteriores podemos verque en el caso de los rectángulos «completos» se tratade repartir las monedas en grupos iguales de todaslas maneras posibles, una idea vinculada a la búsquedade todos los divisores de 12 que puede hacersemucho antes de conocer la división. En el caso delos rectángulos «vacíos» se trata de distribuir las mo-nedas para conformar el perímetro del rectángulo,una tarea que tiene una cantidad de soluciones quepodemos predecir a partir del número de monedas.

— No tiene ninguna solución cuando la cantidadde monedas es impar.

— Y cuando, n, la cantidad de monedas es par: lacantidad de soluciones es ¼(n-4) si n es múl-tiplo de 4 y ¼(n-6) si n es par pero no múltiplode 4.

Segundo ejemplo (a partir de 8 años)Entendiendo que utilizando palillos se puedenrepresentar números romanos que no impliquen eluso de la C ni la D, ¿cuántos números romanospuedes representar usando cuatro palillos?, ¿yutilizando exactamente 7?, ¿qué número entre 1 y100 es el que necesita más palillos? (figura 6) o¿cuántos palillos necesitas para escribir todos losnúmeros del 1 al 10?, ¿y del 1 al 50?

Las tareas relacionadas con números romanos, que nose limitan a la mera traducción de este sistema de nu-meración al que utilizamos en la actualidad, permitena los alumnos reflexionar sobre el potencial de unsistema decimal posicional, sobre la representaciónde números en diferentes sistemas. Todo ello sindejar de lado procesos tan fundamentales en la acti-vidad matemática como la resolución de problemaso la comunicación de descubrimientos realizados du-rante esta resolución.

Tercer ejemplo (a partir de 12 años)Con las tarjetas que aparecen en la figura 7 ¿cuántassumas o restas diferentes puedes obtener?, ¿cuál esel valor más pequeño que se puede obtener comoresultado de una de esas restas?, ¿hay alguna sumaque te haya dado un resultado menor que 1?, siconviertes los resultados en expresiones decimales,¿puedes clasificar los resultados obtenidos según seanexpresiones decimales finitas, periódicas puras operiódicas mixtas?, etc.

Una de las oportunidades que nos ha dado este con-finamiento es la de consolidar destrezas con las quelos alumnos ya habían tenido contacto y que serán


Figura 5. Dos rectángulos, uno «completo» y otro«vacío», representados con 12 monedas

Figura 6. Para representar el número 88 en númerosromanos necesitamos 13 palillos, el máximo


prerrequisitos de aprendizajes futuros. La operatoriacon fracciones es un ejemplo de este tipo de destre-zas. El alumnado necesita practicarla para automati-zarla y que no represente una dificultad en sí mismacuando, por ejemplo, se les presenta inmersa en lamanipulación algebraica propia de los últimos cursosde la enseñanza obligatoria. Pero esta práctica no hade pasar necesariamente por la propuesta de una seriede operaciones que el alumno ha de ejecutar de ma-nera reproductiva. Podemos envolver la misma prác-tica en una propuesta que no requiere más que unaspocas imágenes y una explicación verbal muy corta,y que demanda al alumno más que la ejecución demuchas operaciones aditivas. Le pide que planifiquesu acción para no perder soluciones y lo invita a ha-cerse nuevas preguntas. Por ejemplo, ¿cambiaría lacantidad de soluciones si cambio la tarjeta del 5 poruna con el número 6?

Para cerrar este apartado, me gustaría destacar queaunque este tipo de actividades han funcionado ra-zonablemente bien en situaciones de distanciamientoentre los alumnos y de estos con su profesor, tienenmayor potencial aún cuando podemos compartiraula. Tener un buen repertorio de estas actividades estener un tesoro, pero para conseguirlo no es necesa-rio que cada profesor se invente cada una de las ac-tividades que lo conforman.

Afortunadamente, muchos profesores comparten enlas redes sociales, desinteresadamente, las actividadesque proponen a sus alumnos y entre ellas encontra-

mos muchas competencialmente ricas consistentescon la imagen que queremos dar de las matemáticas.

En las páginas finales del documento<https://bit.ly/webinar11junio> se pueden encon-trar enlaces a documentación que permite profun-dizar en el análisis superficial que hemos hecho deestas tres tareas.

Reflexiones finales

¿Qué podemos aprender de esto?¿Qué debilidades se han mostrado? Como docentes tenemos que tener muy presentenuestra responsabilidad como modelo de aprendizajecontinuo y esta actitud se refleja en nuestra voluntadde aprender de situaciones como la actual pregun-tándonos:

— ¿Cuál es el papel de la transmisión de conoci-mientos?

— ¿Qué otro tipo de tareas puedo hacer? — ¿Qué alternativas tengo cuando no puedo

poner a los alumnos a trabajar en grupo? — ¿Puedo hacer matemáticas manipulativas sin

los materiales que habitualmente llevamos alaula?

— ¿Qué acciones puedo emprender durante eldistanciamiento para que el alumno tome laresponsabilidad de su aprendizaje?

Hay otras oportunidades que nos ha dado el confi-namiento, por ejemplo, la cantidad enorme de pro-puestas de formación online que nos han ofrecido através de las redes o la oportunidad que se nos habrindado de valorar lo que tenemos cuando estamosen la clase presencialmente, por ejemplo, la impor-tancia de dar voz a los alumnos o la riqueza de mi-rarlos a la cara para obtener información sobre susdificultades en el aprendizaje. Respecto a las debili-dades, destacaría las carencias de formación digitalque hemos detectado, no solo entre el profesorado,sino también entre el alumnado. Tenemos que pre-parar a alumnos y alumnas porque esto se puede vol-ver a repetir.


Figura 7. Con las tarjetas que aparecen en la parteizquierda de la figura se pueden plantear diferentes

sumas y restas


En resumen

Juan Carlos Toscano finalizó la sesión con algunos ti-tulares de la entrevista que consideramos importantereproducir en este artículo para recopilar a modo decierre final:

— Los problemas son como obras de arte quenunca se terminan.

— Si te atreves a enseñar no ceses de aprender.— Incrementar contenidos hubiera sido aumen-

tar las brechas.— La construcción del conocimiento tiene mu-

chos componentes sociales.— Esto nos puede volver a pasar.— Esto es una oportunidad de cambiar la imagen

de las matemáticas.

Referencias bibliográficas

DREYFUS, T. (1991), «Advanced Mathematical Thin-king Processes». En Tall, D. (ed.), Advanced Mathe-matical Thinking, Kluwer Academic Publisher,Dordrecht/ Boston/ London, 25-41.

NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMA-TICS (NCTM) (2003), Principios y estándares para laeducación matemática, Sociedad Andaluza de Edu-cación Matemática «Thales», Sevilla, España.

RODRígUEz, J. L. (2020), «Debemos reflexionar sobrecómo afrontar la educación matemática adaptada alas necesidades del siglo xxI», [Mensaje en un blog]RSME [Blog] recuperado de <https://www.rsme.es/2020/05/luis-j-rodriguez-debemos-reflexionar-sobre-como-afrontar-la-educacion-matematica-adaptada-a-las-necesidades-del-siglo-xxi/>.


Cecilia Calvo PesceEscola Sant Gregori, Barcelona<[email protected]>

María Teresa Navarro MonchoUniversitat de València<[email protected]>

Juan Carlos Toscano GrimaldiOrganización de Estados Iberoamericanos<[email protected]>


Federación

Española

de Sociedades

de Profesores

de MatemáticasServiciode Publicacionesde la FESPM<[email protected]>


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