Universidad de Sonora Departamento de Matemticas Programa de Maestra enMatemtica Educativa "El Papel de las Representaciones Visuales en el Aprendizaje de las Matemticas de ABRAHAM ARCAVI Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Manuel Alfredo Urrea Bernal Jose Luis Soto MunguiaHermosillo, Sonora. Noviembre de 2008El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguia EL PAPEL DE LAS REPRESENTACIONES VISUALES EN EL APRENDIZAJE DE LAS MATEMTICAS.1 ABRAHAM ARCAVI RESUMEN.Lavisualizacin, como producto y proceso de creacin, interpretacin y reflexin sobrelasrepresentacionespictricaseimgenes,estadquiriendomayor importanciaenlasmatemticasyeneducacinmatemtica.Estedocumentoes un intento de definir la visualizacin y analizar,ejemplificar y reflexionar sobre las mltiplesyricasfuncionesquepuedenydebendesempearenelaprendery hacer matemtica. Al mismo tiempo, se consideran las limitaciones y las posibles fuentes de dificultades de visualizacin que pueden plantear para los estudiantes y los profesores.INTRODUCCINLavisinseencuentraenelcentrobiolgicoysocio-cultural.Porlotanto,el aspecto biolgico se describe en la siguiente cita (Adams yVctor, 1993, p. 207): "La facultad de la visin es nuestra ms importante fuente de informacin sobre el mundo.Lamayorpartedelcerebroestimplicadaenlavisinyenelcontrol visual del movimiento, la percepcin y la elaboracin de las palabras, y la forma y elcolordelosobjetos.Elnerviopticocontienemsde1millndefibras,en comparacincon50,000existentesenelnervioauditivo.Elestudiodelsistema visualhadesarrolladonuestroconocimientodelsistemanervioso.Dehecho, sabemosmssobrelavisinquesobrecualquierotrosistemasensorial ".En cuantoalaspectosocio-cultural,escomnafirmarqueestamosviviendoenun mundodondelainformacinsetransmitesobretodoenpaquetesvisuales,y las tecnologas apoyan y fomentan la comunicacin, la cual es esencialmente visual. Aunque"laspersonashanestadoutilizandolasimgenesparaelregistroy 1 Conferencia Plenaria del Grupo Internacional de Psicologa de la Educacin Matemtica seccin de Amrica del Norte (PME-NA), Cuernavaca, Mxico, 1999, apareci en Hitt, F. y Santos, M. (eds.), Actas de la 21 Reunin Anual de la PME-NA, ERIC, Clearing house for Science, Mathematics and Environmental Education, OH, pp. 55-80. El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguiacomunicacin de la informacin desde las pinturas de la era neoltica... el potencial dela"culturavisual"aldesplazarala"culturadelaimpresin"esunaideacon consecuencias tan profundas como el cambio de la cultura oral a la cultura de la impresin. (Kirrane, 1992, p. 58).Porlotanto,comoserestantobiolgicos,comosocio-culturales,nosalientay aspiramos a "ver" no slo lo que esta "a la vista, pero tambin lo queno somos capacesdever.Porlotanto,unamaneradecaracterizarlavisualizacinysu importancia, tanto como un "sustantivo" - el producto, la imagen visual - y como un "verbo"-elproceso,laactividad-(Bishop,1989,p.7),esque"lavisualizacin ofrece un mtodo de ver lo oculto" (McCormick et al., 1987, p. 3). Esta frase es el temacentraldeestapresentacin,afindereexaminarenprimerlugar,su naturaleza y su funcin y, a continuacin, las innovaciones de la investigacin y el desarrollo curricular. Unabrevedigresinalpunto:Qupasaconlosmatemticosciegos?Tratara fondo de esta cuestin queda fuera del alcance de este documento. Sin embargo, esinteresanteobservarcomoestaimplicacinseafrontaycomosedescribe maravillosamente en Jackson (2002), la visualizacin puede ir mucho ms all del impecable sentido de la visin. (Fisiolgica) VIENDO LO OCULTO - UNA PRIMERA RONDA.Tomado literalmente, lo oculto se refiere a lo que no somos capaces de ver debido alaslimitacionesdenuestrosistemavisual,porejemplo,cuandoelobjetoest demasiadolejosoesdemasiadopequeo. Hemosdesarrolladotecnologaspara superarestaslimitacionesparahacerlascosasocultasvisibles.Consideremos, porejemplo,lasfotografastomadasporPathfinderenMarteen1997.O,por ejemplo, una amplificacin de 4000 veces de un glbulo blanco de la sangre sobre la fagocita de una bacteria, o la misma amplificacin de un grupo de glbulos rojos delasclulasdelasangre.Nosotrospudimosescuchardescripcionesdeellos antesdeverlasimgenes,ynuestraimaginacinpuedehabercreadolas El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguiaimgenesque atribuimosalasdescripciones.Peroviendoel objetoens,con la ayudadelatecnologaquesuperalalimitacindenuestravista,ofrecenoslo unaconsecucin denuestrodeseode 'ver'yelposteriordisfrute,tambin puede afinar nuestra comprensin, o servir como una plataforma para cuestiones que no hemos podido formular antes.VIENDO LO OCULTO - EN LOS DATOS En un sentido ms representativo y profundo, ver lo oculto se refiere a un mundo ms "abstracto", el cual ni las tecnologas ptica o electrnica, pueden "visualizar" paranosotros.Probablemente,estamosenlanecesidaddeuna"tecnologa cognitiva"(Pea,1987,p.91)como"cualquiermedioqueayudaatrascenderlas limitaciones de la mente... en las actividades del pensamiento, el aprendizaje y la resolucin de problemas.Estas tecnologas podran desarrollar medios visuales paravermejorlosconceptoseideasmatemticas.Lasmatemticas,como creacinhumanayculturalseocupandeobjetosyentidadesmuydiferentesde losfenmenosfsicos(comoplanetasoclulasdelasangre),seconfaengran medida (posiblemente mucho ms de lo que los matemticos estaran dispuestos a admitir) sobre una visualizacin en sus diferentes formas y niveles, muchoms alldelobviocampovisualdelageometra,ylavisualizacinespacial.Enesta presentacinhacemosunintentodeexploracinatravsdeestasdiferentes formas,usosyfuncionesdevisualizacinenlaeducacinmatemtica.Coneste propsito primero mezclamos (y parafraseamos) las definiciones de Zimmerinann yCunningham(1991,p.3)yHershkowitz etal.(1989,p. 75)paraproponerque:Lavisualizacineslacapacidad,elprocesoyelproductodelacreacin, interpretacin,usoyreflexinsobrelasrepresentaciones,lasimgenes,los diagramas, en nuestras mentes, en papel o con herramientas tecnolgicas, con el finderepresentarycomunicarinformacin,pensandoeneldesarrollodeideas previamentedesconocidasyenlapromocindelosentendimientos.Unprimertipodelo'oculto'queencontramosenlasmatemticas(odisciplinas El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguiaafines, manipulacin de datos o estadsticas) consiste de las representaciones de los datos. Elsiguienteejemploesungrfico,consideradounclsicodedatosdegrficos, diseadoporCharlesJosephMinard(1781-1870),uningenierofrancs. Figura1.GrficoquedescribelacampaadeNapolenenRusiaen1812.Tufte(1983,p.40)ladescribecomouna"Narrativagrficadelespacioydel tiempo",yserefiereaMarey(1885,p.73)quesealaquedesafalaplumadel historiadorporsubrutalelocuenciadelaimagendelosdevastadoresprdidas sufridasenlacampaadeNapolenenRusiaen1812.Alaizquierda,enla frontera polaco-rusa, el grfico muestra el comienzo de la campaa de Napolen conunejrcitode422.000hombres(representadosporelanchodelbrazo),la campaa por si misma y el retiro (brazo negro), Que est conectado a una sub-grfica que muestra fechas y temperaturas. Las dos dimensiones grficas dicen la historiacompletamostrandoseisvariables:eltamaodelejrcito,suubicacin exacta (dos dimensiones), la direccin, temperatura y las fechas en una compacta condensada informacin global. La pantalla de visualizacin de la informacin nos permite"ver"lahistoria,preveralgunasrelacionescausa-efectoy,posiblemente recordarvvidamente.Estecuadroessindudaunailustracindelafrase"un diagramavalemsquemil(odiezmil),porquedea)susdosdimensionesy organizacinno lineal en oposicin al nfasis de palabra impresa en exposicin secuencialylgica(LarkinySimon,1987,p.68,Kirrane,1992,p.59),yb)su El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguiaagrupacindegruposdeinformacinquepuedeseraprehendidoalavez, similarmente a la forma en que vemos en nuestra vida cotidiana,lo cualayuda a reducirlabsquedadelconocimiento(Koedinger,1992,p.6)haciendoquelos datos se obtengan perceptivamente fcil (Larkin y Simon, 1987, p. 98). Anscornbe (1973, p. 17) afirma que los grficos puede tener diversos fines, tales como: (i) Dejarnos percibir y apreciar algunas caractersticas de los datos, (ii) Que echemosunvistazodetrsdelasgrandescaractersticasyverloquehayah. Tambinnospresentaunejemplodecuatroconjuntosdedatos(Figura2)que puede ser caracterizado por un conjunto de parmetros idnticos (Figura 3) y que se ve muy diferente cuando los datos se representan grficamente (Figura 4):

Figura 2. Cuatro conjuntos de datos. Enestecaso,lapantallagrficapuedeapoyareldesarrollodecaractersticas latentes de los datos (oculta por la muestra idntica y parmetros no claros) El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguia Figura 3. Datos paramtricos. Figura 4. Datos graficados. ,porquenoslorepresentan.ComodiceTufte,queenestecaso:Losgrficos revelan datos. De hecho los grficos pueden ser ms precisos y reveladores que los clculos estadsticos convencionales. VIENDO LO OCULTO - EN SMBOLOS Y PALABRAS Lavisualizacinpuedeacompaarundesarrollosimblico,yaqueunaimagen visual,envirtuddesuconcrecin,puedeser"unfactoresencialparacrearel sentimientodeauto-evidenciaeinmediatez"(Fischbein,1987,p.101).Consideremos, por ejemplo, la propiedad de media de fracciones positivas: El Papel de la Visualizacin en las Matemticas Traduccin Libre con Fines Didcticos Responsable: Francisco Gurrola RamosAsesores: Maestro Manuel, Urrea Dr. Jose Luis Soto Munguia dcd bc aba0,peroelargumentoobviamentese mantiene para b