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LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA CONSTANTE Y MESOCÚRTICAS EN EL MÉTODO PERT

RAFAEL HERRERÍAS PLEGUEZUELO EDUARDO PÉREZ RODRÍGUEZ

JOSÉ CALLEJÓN CÉSPEDES JOSÉ MANUEL HERRERÍAS VELASCO

Universidad de Granada 1. INTRODUCCIÓN

Es suficientemente conocido el papel tan importante que juega la distribución beta en el método PERT, debido a su facilidad de adaptarse a situaciones reales en ambiente de incertidumbre, que se transforman en ambiente de riesgo mediante el concurso de tres estimaciones subjetivas sobre el menor (a), el mayor (b) y el valor modal (m) de la variable objeto de estudio: duración de una actividad, T, flujo de caja de una inversión, Q, etc. Además, se une a lo anterior una facilidad de cálculo de las características estocásticas de la variable que modeliza el fenómeno real de interés, a saber, (Véase p.e. Hillier-Lieberman):

6

4 bma ++=µ 36

)( 22 ab −

=σ (1)

Hace aproximadamente una década, Herrerías(1989) y (1992) obtuvo, utilizando la clásica ecuación diferencial de Pearson (véase p.e. Elderton-Johnson), un sistema de modelos probabilísticos que permiten una ponderación variable para el valor modal en la expresión de la media (1). Desde la pregunta de Sasieni (1986) ya se aboga por este tipo de distribuciones como modelos probabilísticos para el método PERT.

Las características estocásticas de estos modelos, una vez que se estandariza su recorrido al intervalo [0,1], mediante el cambio de variable:

ab

axz

−−

= (2)

donde a y b son, respectivamente los valores menor y mayor del recorrido de la variable X, son los siguientes (Véase Dumas de Rauly, 1968):

2

1 0

++

=+

=k

km

qp

pµ (3)

con

178 R. HERRERÍAS - E. PÉREZ – J. CALLEJÓN – J. M. HERRERÍAS

ab

amm

−−=0

( ) ( )[ ]

( ) ( )32

111

))(1( 200

22

++

−++=

+++=

kk

mkkm

qpqp

pqσ (4)

donde se ha hecho uso de la parametrización introducida por Gallagher para la distribución beta de parámetros p y q, siendo: 01 kmp += )1(1 0mkq −+= (5)

por lo que en consecuencia 2+=+ kqp (6)

Por otra parte, los coeficientes de Fisher de asimetría y curtosis son respectivamente:

)2(

1)(223

2

31

++

++−==

qppq

qppq

µ

µγ (7)

)3)(2(

)2)(1()2)(1(63

22

42 ++++

−++−+=−=qpqppq

pqqqqppp

µµγ (8)

siendo

[ ])3)(2(

)6()(2)1(3 2

22

4

++++−+++++=

qpqppq

qppqqpqp

µµ

deduciéndose el signo de la asimetría según sean p y q: ⇔<⇔> 01γqp Asimetría a la izquierda 210 >⇔ m

⇔>⇔< 01γqp Asimetría a la derecha 210 <⇔ m

⇔=⇔= 01γqp Caso simétrico 210 =⇔ m

2. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA

CONSTANTE

Definición 1 Se dice que una distribución beta es de varianza constante si, una vez

estandarizado el recorrido de la variable en el intervalo [0,1], su varianza es 361 .

Teorema 1 Dada una distribución beta de varianza constante, el intervalo posible para

la constante de integración es (2,872265877864803, 6].

LAS FAMILIAS DE DISTRIBUCIONES BETA DE VARIANZA ... 179

Demostración:

Igualando la expresión (4) de 2σ a 361 se obtiene la siguiente ecuación:

01

36

)3()2(22

2

020 =+−+++−

k

k

k

kkmm (9)

que determina unos valores de 0m dados por

kk

km −+±= 6

6

2

2

10 (10)

como quiera que 0m tiene que estar en el intervalo [0,1], esto sólo es posible

para k perteneciente al intervalo (2,872265877864803, 6], puesto que: a) k debe de ser menor o igual que seis para que 0m sea real

b) 2

16

6

2 ≤−+k

k

ko lo que es equivalente 024207 23 ≥−−+ kkk

Esta última ecuación cúbica presenta dos permanencias y una variación en los signos de los coeficientes, por lo que sólo tiene una raíz positiva, que es, aproximadamente, k=2,872265877864803, con lo queda demostrada la tesis del teorema.

Corolario 1 Los modelos de varianza constante y ponderación entera de la moda se

reducen a los que se obtienen para K=3, 4, 5 y 6. 3. ANÁLISIS DE LOS MODELOS DE VARIANZA CONSTANTE Y

PONDERACIÓN ENTERA VARIABLE

Cabe preguntarse si para los valores de k reseñados en el corolario 1 y para cualquier valor modal estandarizado suministrado por el experto, el valor exacto de 2σ dado por (4), puede aproximarse por 361 .

Véase lo que ocurre para los sucesivos valores de k y algunos valores representativos de 0m

3.1 Para k=3 y para los distintos valores señalados de 0m , se tiene que:

0m 0 18

3521

− 0,25 0,5 0,75 18

3521

+ 1

)( 02 mσ

361

2524

361

361

200273

361

23

361

200273

361

361

2524


Así que el error que se comete, al usar siempre 361 para la varianza es

menor que 36

1

2

1, que se produce para

2

10 =m . Observándose que en

−

18

35

2

1,0 y en

+ 1,

18

35

2

1 el error es por defecto, mientras que en

+−

18

35

2

1,

18

35

2

1 es por exceso.


0m 0 42

21

− 0,25 0,5 0,75 42

21

+ 1

)( 02 mσ

361

75

361

361

78

361

79

361

78

361

361

75


menor que 36

1

7

2, que se produce para 1y 0,

2

10 =m .

Observándose que en

−

4

2

2

1,0 y en

+ 1,

4

2

2

1el error es por defecto,

mientras que en

+−

4

2

2

1,

4

2

2

1 es por exceso.

En este caso se aprecia también que si 0m está próximo al centro del

intervalo [0,1], el modelo clásico del PERT (1), funciona bien, ya que la 2σ será ligeramente mayor que 361 para valores de 0m que estén en el

intervalo

+−

4

2

2

1,

4

2

2

1.

En particular si [ ]75,0,25,00 ∈m , el error está comprendido entre un séptimo

y dos séptimos de 361 , siendo 2σ ligeramente inferior que 361 para los

valores de 0m que estén en el interior de los intervalos

−

4

2

2

1,0 y


+ 1,

4

2

2

1, coincidiendo con 361 en el caso de que 0m sea igual a

4

2

2

1± .


0m 0 0,25 307

21

− 0,5

307

21

+ 0,75 1

)( 02 mσ

361

4927

361

15681539

361

361

392441

361

361

15681539

361

4927


menor que 36

1

104

43, que se produce para

2

10 =m . Observándose que en

−

30

7

2

1,0 y en

+ 1,

30

7

2

1 el error es por defecto, mientras que en

+−

30

7

2

1,

30

7

2

1 es por exceso.


0m 0 0,25 0,5 0,75 1

)( 02 mσ

36

1

16

7

36

1

64

55

36

1

36

1

64

55

36

1

16

7


menor que 36

1

16

9, y este se produce en los extremos del intervalo.

Observándose que siempre el error es por defecto, salvo cuando coincide en 210 =m .

En el Anexo 1 se han dibujado las correspondientes gráficas de

)( 02 mσ según los valores de k.

De todo lo anterior se deduce:

a) Que el mayor valor para )( 02 mσ se alcanza en todos los modelos cuando

210 =m , que corresponde con el caso simétrico.


b) Que el error para las colas es por defecto para los distintos modelos k = 3, 4, 5 y 6.

c) Que el error menor para las colas lo tiene el modelo para k=3: 36

1

25

1.

d) En conjunto, el modelo que da menor error para todo el recorrido de 0m es el

correspondiente a k=4. A continuación se da un procedimiento para obtener la constante de

ponderación, k, adecuada para que el modelo sea de varianza constante. 4. REGLA EMPÍRICA

De acuerdo con las tablas que dan el valor de 2σ en función de 0m puede

darse una regla empírica para utilizar un k determinado de acuerdo con el 0m

estimado por el experto, de manera que 2σ sea, aproximadamente 361 .

Dado un valor modal por el experto, se estandariza y se le resta 21 , para

finalmente igualarlo, sin tener en cuenta su signo, a

2

16

6

20

*0 −==−

+mmk

k

k; con lo que se obtendrá el valor de k.

Para facilitar la resolución de la ecuación cúbica resultante, lo que hacemos es construir una tabla desde 2,872265877864803 hasta 6, para los valores de

kk

k−

+6

6

2, con lo que dado el *

0m , se dice cuál es su correspondiente k.

(Véase anexo 2, construido con el programa Mathematica, versión 2.2). De

manera que si qpmm >⇔>⇔> 210 0*0 , por el contrario si

qpmm <⇔<⇔< 210 0*0 , siendo p y q los dados por (5) y a partir de ellos,

queda perfectamente identificada la distribución beta y pueden obtenerse las características estocásticas que interesen, utilizando (3), (4), (7) y (8). 5. LA FAMILIA DE DISTRIBUCIONES BETA MESOCÚRTICAS

Definición 2 Se dice que una distribución beta es mesocúrtica si su coeficiente de curtosis

de Fisher es cero.


Teorema 2 Dada una distribución beta mesocúrtica, el intervalo posible para la

constante de ponderación, k, es ( )∞,359898557725066,1 .

Demostración:

Igualando la expresión (8) del coeficiente de curtosis a cero, 322

4 =µµ

,

( ) ( )

( ) 01

165

3222

2

020 =

+−

+++

+−k

k

kk

kkmm (11)

que determina unos valores de 0m dados por :

165

4

2

2

2

10 +

++±=k

k

k

km (12)

Si 499792236067977,02

1

5

1

2

1

2

10 ±=±=⇒∞→ mk

Como quiera que 0m tiene que estar en [0,1], esto sólo es posible si

( )∞∈ ,359898557725066,1k , ya que son los valores de k que hacen que

04522

1

165

4

2

2 23 ≥−−+⇔≤+++

kkkk

k

k

k, que tiene una sola raíz positiva

que es 359898557725066,1 , que será el menor valor de k posible.

6. ANÁLISIS DE LOS MODELOS MESOCÚRTICOS Y PONDERACIÓN

ENTERA VARIABLE

Por ser 165

4

2

2

+++

k

k

k

k una función decreciente para k>0, se tiene que para

359898557725066,1=k , 0m está en uno de los extremos del intervalo [0,1] y,

para ∞→k ,se tiene que 499792236067977,02

10 ±=m .

Luego sólo se puede encontrar una solución de k coherente (que sea positiva) si: ( )499797236067977,0,500212763932022,00 ∉m (13)

para que el modelo beta sea mesocúrtico. En otro caso es imposible determinar una k positiva. (Véase Herrerías y Pérez 1997).

En el caso que interesen que los modelos mesocúrticos tengan una ponderación entera para el valor modal, que sea la que se consideró en los


modelos de varianza constante, sólo habrá que analizar aquellos que se obtienen para k=3, 4, 5 y 6.

1. Para k=3, se tiene que 31

7

6

5

2

10 ±=m es decir que

737571040075305,00 =m ó 262438959924694,00 =m .


8

8

6

2


067261464466094,00 =m ó 932748535533905,00 =m .


9

10

7

2


339271720351000,00 =m ó 660738279648999,00 =m .


10

12

8

2


198951891650639,00 =m ó 801058108349360,00 =m .

Obsérvese que todos los 0m están fuera del intervalo señalado en (13).

Ampliando el recorrido de k se tiene:


6

2


847390196155385,00 =m ó 152619803844614,00 =m .


11

14

9

2


060422014440517,00 =m ó 939587985559482,00 =m .


12

16

10

2


210782106812188,00 =m ó 789227893187811,00 =m .


13

18

11

2


314832178845059,00 =m ó 685177821154940,00 =m .


14

20

12

2


168972236602881,00 =m ó 831037763397118,00 =m .

Nótese que en estos casos también los 0m verifican (13).


Teorema 3 La intersección de las familias de varianza constante y mesocúrticas, con

una misma moda estimada subjetivamente, no es vacía. El modelo resultante es el de ponderación entera k=4.

Demostración: Igualando las expresiones (10) y (12) que determinan la moda en los casos de

varianza constante mesocúrtica, respectivamente, tenemos:

−=⇔=−−⇔

++=−⇒

+++=−+

3

4012

1654

96

1654

22

66

2 2 kkkkkk

kk

kk

kk

k

La solución k=-3 no es coherente con la interpretación de k como ponderación del valor modal y no se considera.

Cabe preguntarse cómo afecta a los parámetros p y q de las distribuciones beta las propiedades de varianza constante y mesocurticidad.

a) Como 2

2

))(1( qpqp

pq

+++=σ , cuando se iguala a 361 , se tiene:

36

)2)(3( 2++=

kkpq ,

luego las soluciones de la ecuación

036

)2)(3()2(

22 =

++++−

kkxkx

serán los valores de p y q

kkk

x −+

±+

= 66

2

2

2,

expresión que corrobora que la ponderación entera k sólo puede ser 3, 4, 5 y 6, ya que para k=2, una de las constantes, p ó q sería menor que uno, con lo que la distribución beta no sería unimodal y para k>6 los valores serían imaginarios. b) Como

( ) ( )[ ]( ) ( )( )( )

( )( ) ( )42

2

4

22

22

4

1

321

223

qpqp

pq

qpqpqpqp

qpqppqpq

+++

+++++++

++−+

=µ

µ

( ) ( ) ( )[ ]( )( )32

2213 22

22

4

++++++−+++=

qpqppq

qpqppqqp

µ

µ

y como

( ) ( ) ( ) ( )622 222 −+++=++−+ qppqqpqpqppq


se tienen que, para que sea mesocúrtico el modelo probabilístico, basta con que:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )32261 2 ++++=++−+++ qpqppqqpqppqqp

que puede expresarse usando 2+=+ kqp , de la siguiente forma:

( ) ( ) ( )[ ] ( )( )542243 2 ++=++−+ kkpqkkpqk

luego:

( ) ( )

( )( ) ( )( )( ) ( )

16532

5443322 22

+++=

+++−+−++=

kkk

kkkkkk

pq (14)

por lo que las soluciones de la ecuación:

( ) ( ) ( )0

165

322

22 =

+++

++−k

kkxkx

serán los valores de p y q:

( ) ( )

2165

422

++

+±+= k

kkk

x

expresión que corrobora que la ponderación entera k sólo es válida a partir de k=2 ya que, para k=1 una de las constantes p ó q sería menor que uno, con lo que la distribución beta no sería unimodal.

Para que la distribución beta sea mesocúrtica y de varianza constante simultáneamente debe ocurrir que:

( ) ( ) ( ) ( )4

36

32

165

32 22

=⇒++

=+

++k

kk

k

kk

resultado que corrobora el Teorema 3 anterior. Como consecuencia de (14),se tiene: i) La varianza de los modelos mesocúrticos estandarizados es

165

12

+=

kσ

tomando su mayor valor cuando k=1,855772506635989

y por tanto 2σ =0,0395434701127285. ii) La media de los modelos mesocúrticos estandarizados es:

( ) ( )

)2(2165

422

+++

+±+=

+=

kk

kkk

qp

pµ

165

4

2

1

2

1

++±=

k

kµ


7. CARACTERÍSTICAS DEL PRODUCTO pq

a) Modelos de varianza constante, 3612 =σ , entonces:

( ) ( )36

32 2 ++=

kkpq con

6

6

2

1 k−±=µ

b) Modelos mesocúrticos, 02 =γ , entonces:

( ) ( )165

32 2

+++

=k

kkpq con

165

12

+=

kσ y

165

4

2

1

2

1

++±=

k

kµ

c) Modelo clásico, k=4, entonces:

7=pq con 36

12 =σ y qp

p

+=

±=±=

6

23

6

2

2

1µ

En este orden de ideas se encuentra también el siguiente resultado: Si la distribución beta es de varianza constante y mesocúrtica, entonces la

distribución beta es de parámetros 23 ±=p y 23 m=q , según sea la

asimetría. En efecto, si la distribución es de varianza constante y mesocúrtica,

entonces k=4 , y por tanto, su moda será 4

2

2

10 ±=m , por lo que

231 0 ±=+= kmp y 23)1(1 0 m=−+= mkq c.q.d.

Como consecuencia de ello se tiene que ( )( ) 72323 =−+=pq

La forma de actuar será: dado el valor estandarizado de la moda, estimado subjetivamente, se le resta 0,5 y con el número resultante se determina la ponderación de k en los anexos 2 y/o 3. Es conveniente considerar aquella k que sea menor, ya que así la varianza será mayor y los resultados no serán excesivamente optimistas. 8. CONCLUSIONES • Los modelos mesocúrticos son más flexibles que los de varianza constante,

debido a que admiten ponderaciones enteras desde 2 hasta infinito, mientras que los de varianza constante sólo admiten ponderaciones entre 3 y 6.

• El modelo mesocúrtico de k=4, coincide con el de varianza constante para la misma ponderación

• Los modelos mesocúrticos no admiten modelos simétricos, por ello la moda estimada por el experto no puede estar centrada sobre 0,5,ya que el

valor más pequeño de 5,00*0 −= mm es


499792236067977,05

1

2

1*0 ==m

• Igualando las expresiones (10) y (12), se tiene que para la misma 0m , al

modelo mesocúrtico corresponde un k mayor si k>4 y un k menor si

k<4,siendo k=4 para 932743535533905,04

2

2

1 *00 =⇔±= mm .

Luego se utilizarán los modelos mesocúrticos para valores de k<4 y los de varianza constante para los valores de k>4.

BIBLIOGRAFÍA DUMAS DE RAULY, D. (1968). L’estimation statistique. Gauthier-Villars ELDERTON, W.P Y JOHNSON N.L. (1969). Systems of frequency curves. Cambridge.

University Press. GALLAGHER, C, (1987). A Note on PERT Assumptions.- Management Science, Vol.

33, nº 10, p. 1360 HERRERÍAS, R. (1989). Modelos probabilísticos alternativos para el método PERT.

Aplicación al Análisis de Inversiones. Estudios de Economía Aplicada, pp. 89-112. Secretariado de Publicaciones de la Universidad de Valladolid.

HERRERÍAS, R. (1992). Utilización de los Modelos Probabilísticos para el PERT, que permiten una ponderación variable del valor más probable, en Análisis de Inversiones . Ponencias de la III Reunión Anual de ASEPELT-ESPAÑA. Biblioteca de Socioeconomía Sevillana. Diputación de Sevilla, pp 557-562.

HILLIER, I Y LIEBERMAN G.J. (1982). Introducción ala Investigación de Operaciones. McGraw-Hill.

SASIENI, M.W . (1986). A note on PERT Times. Management Sci. 32 pp 1652-1653 Artículo defendido en la II Reunión Científica: Selección, Evaluación y Control de Proyectos, celebrada en 1999 en Córdoba. Publicado en el libro titulado “Selección y Evaluación de Proyectos: Fundamentos Básicos”, capítulo 2, pp. 31-57. Servicio de Publicaciones de la Universidad de Almería .


ANEXO 1

k=3

0,026

0,028

0,03

0,032

0,034

0,036

0,038

0,04

0,042

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

)( 02 mσ

361)( 02

=mσ

k=4

0,02

0,0225

0,025

0,0275

0,03

0,0325

0,035

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

)( 02 mσ

361)( 02

=mσ

k=5

0,015

0,0175

0,02

0,0225

0,025

0,0275

0,03

0,0325

0,035

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

)( 02 mσ

361)(0

2 =mσ

k=6

0,0125

0,015

0,0175

0,02

0,0225

0,025

0,0275

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

)( 02 mσ

361)( 02 =mσ

0,01

0,015

0,02

0,025

0,03

0,035

0,04

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

)( 0

2mσ

361)( 02 =mσ

k=3

k=4

k=5

k=6


ANEXO 2

*0m k

*0m k

*0m k

0,000 6 0,030 5,9818026896483 0,060 5,9275435195834

0,001 5,9999797500342 0,031 5,9805713211348 0,061 5,9251236076530

0,002 5,9999190005468 0,032 5,9792998471534 0,062 5,9226647272689

0,003 5,9998177527679 0,033 5,9779882935910 0,063 5,9201669292400

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*0m k

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0,361 3,9369494152014 0,391 3,6867776313411 0,421 3,4455389597849

0,362 3,9285050282832 0,392 3,6785732407297 0,422 3,4376889989193

0,363 3,9200665015620 0,393 3,6703779085723 0,423 3,4298524608219

0,364 3,9116339918917 0,394 3,6621951924783 0,424 3,4220294370135

0,365 3,9032076552084 0,395 3,6540216860394 0,425 3,4142200278406

0,366 3,8947876465220 0,396 3,6458586903317 0,426 3,4064242924762

0,367 3,8863741199068 0,397 3,6377063281582 0,427 3,3986423489200

0,368 3,8779672284957 0,398 3,6295647211959 0,428 3,3908742739991

0,369 3,8695671244697 0,399 3,6214339899918 0,429 3,3831201533688

0,370 3,8611739590506 0,400 3,6133142539592 0,430 3,3753800715137

0,371 3,8527878824935 0,401 3,6052056313743 0,431 3,3676541117484

0,372 3,8444090440785 0,402 3,5971082393729 0,432 3,3599423562191

0,373 3,8360375921037 0,403 3,5890221939473 0,433 3,3522448859050

0,374 3,8276736738781 0,404 3,5809476099430 0,434 3,3444561780619

0,375 3,8193174357097 0,405 3,5728846010561 0,435 3,3368931190100

0,376 3,8109669022908 0,406 3,5648332798305 0,436 3,3292389785652

0,377 3,8026285797666 0,407 3,5567937576557 0,437 3,3215994356110

0,378 3,7942962495627 0,408 3,5487661447637 0,438 3,3139745653153

0,379 3,7859721745476 0,409 3,5407505502274 0,439 3,3063644416899

0,380 3,7776564959410 0,410 3,5327470819584 0,440 3,2987691375926

0,381 3,7693493539238 0,411 3,5247558467047 0,441 3,2911887247299

0,382 3,7610508876328 0,412 3,5167769500495 0,442 3,2836332736590

0,383 3,7527612351537 0,413 3,5088104964090 0,443 3,2760728537911

0,384 3,7444805335150 0,414 3,5008565890322 0,444 3,2685375333939

0,385 3,7362089186824 0,415 3,4929153299973 0,445 3,2610173795945

0,386 3,7279465255529 0,416 3,4849868202128 0,446 3,2535124583820

0,387 3,7196934879491 0,417 3,4770711594155 0,447 3,2460228346130

0,388 3,7114499386140 0,418 3,4691684461697 0,448 3,2385485720110

0,389 3,7032160092050 0,419 3,4612787778666 0,449 3,2310897331726


*0m k

*0m k

*0m k

0,450 3,2236463795705 0,467 3,0995328102125 0,484 2,9801528632769

0,451 3,2162185715569 0,468 3,0923774452020 0,485 2,9732818070595

0,452 3,2088063683673 0,469 3,0852388525311 0,486 2,9664277386170

0,453 3,2014098281242 0,470 3,0781160904349 0,487 2,9595906812137

0,454 3,1940290078415 0,471 3,0710101794420 0,488 2,9527706571927

0,455 3,1866639634281 0,472 3,0639208301806 0,489 2,9459676879826

0,456 3,1793147496924 0,473 3,0568480794840 0,490 2,9391817941045

0,457 3,1719814203463 0,474 3,0497919631762 0,491 2,9324129951782

0,458 3,1646402801020 0,475 3,0427525160783 0,492 2,9256613099297

0,459 3,1573626242168 0,476 3,0357297720139 0,493 2,9189267561980

0,460 3,1500772594159 0,477 3,0287237638156 0,494 2,9122093509405

0,461 3,1428079829793 0,478 3,0217345233306 0,495 2,9055091102429

0,462 3,1355548432055 0,479 3,0147620814273 0,496 2,8988260493234

0,463 3,1283178873245 0,480 3,0078064680010 0,497 2,8921601825412

0,464 3,1210971615027 0,481 3,0008677119800 0,498 2,8855115234028

0,465 3,1138927108480 0,482 2,9939458413340 0,499 2,8788800845697

0,466 3,1067045794160 0,483 2,9870408830773 0,500 2,8722658778648


ANEXO 3 *0m K

*0m k

*0m k

0,223 -3,0861894708136 0,254 17,4598583335580 0,285 8,57127445525712

0,224 1364,60252122926 0,255 16,8984155382289 0,286 8,43193260404121

0,225 384,964860596150 0,256 16,3716894324283 0,287 8,29700429311041

0,226 224,011887542178 0,257 15,8765603731152 0,288 8,16628336784160

0,227 157,927593988774 0,258 15,4102715515663 0,289 8,03957751062035

0,228 121,928692965238 0,259 14,9703777352974 0,290 7,91670418665783

0,229 99,2800026420726 0,260 14,5547024608723 0,291 7,79749288556149

0,230 83,7169513088202 0,261 14,1613020954292 0,292 7,68178278016970

0,231 72,3643358708430 0,262 13,7884355145944 0,293 7,56942231697407

0,232 63,7172065470594 0,263 13,4345383987747 0,294 7,46026855735448

0,233 56,9114812564045 0,264 13,0982013474978 0,295 7,35418657417905

0,234 51,4156346236814 0,265 12,7781511660078 0,296 7,23104889841573

0,235 46,8847527474451 0,266 12,4732348006704 0,297 7,15073501098538

0,236 43,0852453634048 0,267 12,1824055443082 0,298 7,05313087559941

0,237 39,8532860895473 0,268 11,9047108188362 0,299 6,95812850877664

0,238 37,0705774142420 0,269 11,6392822752948 0,300 6,86562558363261

0,239 34,6495620665475 0,270 11,3853262576285 0,301 6,77552506438669

0,240 32,5240471043746 0,271 11,1421161467361 0,302 6,68773486884396

0,241 30,6430623392933 0,272 10,9089853900468 0,303 6,60216755638554

0,242 28,9667221890753 0,273 10,6853214210515 0,304 6,51874003924605

0,243 27,4663378182868 0,274 10,4705603025679 0,305 6,43737331507559

0,244 26,1075501059651 0,275 10,2641819955625 0,306 6,35799221897787

0,245 24,8785783160903 0,276 10,0657061697159 0,307 6,28052519338958

0,246 23,7594576350613 0,277 9,87468848478614 0,308 6,20490407432123

0,247 22,7360992146378 0,278 9,69071728216863 0,309 6,13106389261824

0,248 21,7967245207635 0,279 9,51341063481805 0,310 6,05894268902512

0,249 20,9314104250709 0,280 9,34241371104850 0,311 5,98848134194723

0,250 20,1317377113196 0,281 9,17739641392966 0,312 5,91962340690461

0,251 19,3905165703394 0,282 9,01805126324131 0,313 5,85231496676210

0,252 18,7015701028935 0,283 8,86409149139849 0,314 5,78650449190147

0,253 18,0595620158653 0,284 8,71524932854655 0,315 5,72214270957391


*0m K

*0m k

*0m k

0,316 5,65918248173737 0,347 4,21631555451242 0,378 3,35625435063065

0,317 5,59757869074277 0,348 4,18182035710215 0,379 3,33426867548521

0,318 5,53728813228710 0,349 4,14788157250946 0,380 3,31256665492716

0,319 5,47826941509991 0,350 4,11448399724899 0,381 3,29114285869978

0,320 5,42048228668745 0,351 4,08161484300681 0,382 3,26999199397256

0,321 5,36389044599512 0,352 4,04926172046607 0,383 3,24910890102593

0,322 5,30845565864647 0,353 4,01741262387639 0,384 3,22888458909733

0,323 5,25414348092898 0,354 3,98605591633713 0,385 3,20812603238195

0,324 5,20092028562823 0,355 3,95518031575291 0,386 3,18101656618116

0,325 5,14873773318760 0,356 3,92477488142459 0,387 3,16815548319254

0,326 5,09761290750533 0,357 3,89482900124409 0,388 3,14853822993537

0,327 5,04746785352849 0,358 3,86332379461070 0,389 3,12916036330582

0,328 4,99828992098194 0,359 3,83627502499183 0,390 3,11001754725648

0,329 4,95005150940847 0,360 3,80764724024265 0,391 3,09110554959496

0,330 4,90272605705870 0,361 3,77943961042141 0,392 3,07242023889656

0,331 4,85628799251310 0,362 3,75164299331271 0,393 3,05395758152646

0,332 4,81071268898220 0,363 3,72428450949329 0,394 3,03571363876676

0,333 4,76597642111373 0,364 3,69722565329657 0,395 3,01768456404415

0,334 4,72205632414774 0,365 3,67063168218962 0,396 2,99986660025418

0,335 4,67893035527200 0,366 3,64439281149113 0,397 2,98225607717810

0,336 4,63657725704074 0,367 3,61852300283169 0,398 2,96484940898869

0,337 4,59457652272753 0,368 3,59301455791921 0,399 2,94764309184146

0,338 4,55410836350690 0,369 3,56785999064471 0,400 2,93063370154779

0,339 4,51395367731465 0,370 3,54305201982927 0,401 2,91381789132687

0,340 4,47449401935115 0,371 3,51858356226617 0,402 2,89719238963328

0,341 4,43571157406389 0,372 3,49444772604453 0,403 2,88075399805728

0,342 4,39758912856246 0,373 3,47063780414127 0,404 2,86449958929500

0,343 4,36011005736708 0,374 3,44714726826869 0,405 2,84842610518575

0,344 4,32325824841598 0,375 3,42396976296607 0,406 2,83253055481408

0,345 4,28701818025915 0,376 3,40109909992399 0,407 2,81681001267378

0,346 4,25137480037007 0,377 3,37852925253072 0,408 2,80126161689186


*0m K

*0m K

*0m k

0,409 2,78588256750992 0,440 2,38025759938029 0,471 2,07717948033128

0,410 2,77067012482094 0,441 2,36911723482742 0,472 2,06867475186350

0,411 2,75562160775932 0,442 2,35807992705886 0,473 2,06023893933310

0,412 2,74073439223423 0,443 2,34714425857721 0,474 2,05187121175982

0,413 2,72600591016074 0,444 2,33630883769895 0,475 2,04357075143705

0,414 2,71143364691748 0,445 2,32557229797040 0,476 2,03533675366828

0,415 2,69701514101164 0,446 2,31493329759933 0,477 2,02716842650976

0,416 2,68274798216700 0,447 2,30439051890190 0,478 2,01906499051924

0,417 2,66862981010308 0,448 2,29394266776443 0,479 2,01102567851055

0,418 2,65465831324715 0,449 2,28358847311948 0,480 2,00304973531448

0,419 2,64083122748593 0,450 2,27332668643582 0,481 1,99513641754383

0,420 2,62714632495542 0,451 2,26315608122193 0,482 1,98728499336581

0,421 2,61360146289746 0,452 2,25307525454248 0,483 1,97949474227827

0,422 2,60019448237202 0,453 2,24308361654753 0,484 1,97176495489176

0,423 2,58692330745347 0,454 2,23317941001402 0,485 1,96409593261737

0,424 2,57378589386022 0,455 2,22336188989907 0,486 1,95648398795352

0,425 2,56078023806604 0,456 2,21362933290495 0,487 1,94893144329255

0,426 2,54790437626231 0,457 2,20398123505514 0,488 1,94143663171182

0,427 2,53515638338004 0,458 2,19441631128132 0,489 1,93399889628438

0,428 2,52253437214057 0,459 2,18493349502089 0,490 1,92661758998806

0,429 2,51003649213406 0,460 2,17553173782468 0,491 1,91929207551974

0,430 2,49766092892476 0,461 2,16621000897467 0,492 1,91202172511385

0,431 2,48540590318226 0,462 2,15696729511123 0,493 1,90480592036486

0,432 2,47326966983767 0,463 2,14780259986982 0,494 1,89764405205380

0,433 2,46125061726412 0,464 2,13871494362569 0,495 1,89053551997851

0,434 2,44934676648055 0,465 2,12970336265347 0,496 1,88347973278773

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0,436 2,42584891296896 0,467 2,11190465306911 0,498 1,86952070938930

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0,438 2,40285330151755 0,469 2,09439907699507 0,500 1,85577250663598

0,439 2,39150246462923 0,470 2,08575396926039

las familias de distribuciones beta de … · las familias de distribuciones beta de varianza...

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