LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN L’ENSENYAMENT I APRENTATGE DE

LES MATEMÀTIQUES

IDEES HEREDADES

REFLEXIÓ SOBRE:

1. Què és un problema matemàtic?

2. Què fas per a resoldre un problema?, o Quin és el procés de resolució d’un problema?

¿Exercici versus problema?• Què és un problema? Un problema ha de complir els tres requisits següents: 1. Ésser reconegut com a tal. 2. Les tècniques que s’apliquen normalment no funcionen. 3. Hi ha d’haver un interès per a l’exploració de nous mètodes per

resoldre el problema.

• Què és un exercici? La dificultat d’un exercici es troba en el fet d’aplicar correctament els

continguts treballats prèviament. Es tracta, bàsicament de adonar-se de quins conceptes (fórmules, algorismes, etc.) és necessari aplicar.)

• La diferència entre problema i exercici depèn del resolutor donat que allò que per a un és un problema per un altre pot ser un exercici (coneixements previs)

• Al preguntar-li a un alumne de segon de primària si el problema:

"En un arbre hi ha 2 ocells i en marxa 1. Quants en queden?"

era realment un problema, l’alumne va contestar:

"això no és un problema, doncs jo ja sé la solució".

Martinez, C. (2001). La resolució de problemes en les primeres

edats. Biaix, 18, pp. 9-12.

Exercici o problema?

Quant sumen els punts de les cares que no es veuen?

LA RESOLUCIÓ DE PROBLEMES EN EL CURRÍCULUM

• És un eix transversal del currículum de matemàtiques en qualsevol nivel d’escolaritat, i ha de ser present en tots els temes del currículum.

ESTÀNDARS DEL NCTM (2000)1. Resolució de problemes: exploració de possibles solucions, modelització de la realitat, aplicació de tècniques, desenvolupament d’estratègies…2. Representació: ús de recursos verbals, simbòlics i gràfics, traducció i conversió entre ells. 3. Comunicació: interacció, diàleg, discussió i negociació amb els companys i el professor.4. Justificació: amb diferents tipus d’argumentacions (inductives, deductives, etc.). 5. Connexió: establiment de relacions entre diferents objectes matemàtics. 6. Institucionalització: Fixació de normes i convenis en el grup d’alumnes, d’acord amb el professor.

LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS EN EL CURRÍCULO

• COMPETENCIAS

• Hacer uso de estrategias de investigación y resolución de problemas

• La resolución de problemas constituye, en matemáticas, un contexto universal de aprendizaje, por eso, siempre tiene que estar presente.

• Es una actividad asociada al razonamiento y la comunicación y que se integra de forma natural con otras actividades.

• Los problemas son situaciones no rutinarias que constituyen retos para el alumno, que generalmente tienen que usar diversas estrategias para resolverlos.

• La formulación del problema tiene que integrar la experiencia matemática del alumno.

• En una investigación, el alumnado explora una situación abierta buscando regularidades, haciendo y comprobando conjeturas, argumentando y comunicando oralmente o por escrito sus conclusiones.

• Este tipo de actividades favorecen la relación con otras áreas del currículum.

TESIS 1:

Considerar las matemáticas como el producto de la actividad matemática, la cual es entendida como una actividad humana realizada socialmente, que tiene por objetivo la resolución de problemas.

TESIS 2:

Considerar la resolución de problemas como motor de la actividad matemática.

TESIS 3:

La resolución de problemas implica diferentes niveles de reflexión (entre otros):

1.Resolución del problema

2.Análisis del proceso seguido por la propia persona enfrentada a la situación.

3.Generalización, modificación, etc., del problema.

Muchos autores han reflexionado sobre la Resolución de Problemas. Entre estos autores destaca Polya. Para Polya, la resolución de un problema consiste, a grandes rasgos, en cuatro fases bien definidas:

1)Comprender el problema: ¿Cuál es la incógnita?¿Cuáles son los datos.

2) Concebir un plan: ¿Se ha encontrado con un problema semejante?¿Se conoce un problema relacionado con este?¿Podrías enunciar el problema de otra forma? ¿He empleado todos los datos?

3) Ejecutar el plan: ¿Son correctos los pasos dados?

4) Examinar la solución obtenida: ¿Puedo verificar el resultado? ¿Puedo verificar el razonamiento?

Polya busca caracterizar claramente al resolutor ideal.

¿Por qué es tan difícil, para la mayoría de los humanos, la resolución de problemas en matemáticas?

• Los trabajos de Schoenfeld (1985) tienen por objetivo explicar la conducta real de los resolutores reales de problemas. Schoenfeld propone un marco con cuatro componentes que sirva para el análisis de la complejidad del comportamiento en la resolución de problemas:

1) Recursos cognitivos: conjunto de hechos y procedimientos a disposición del resolutor.

2) Heurísticas: reglas para progresar en situaciones difíciles.

3) Control: aquello que permite un uso eficiente de los recursos disponibles.

4) Sistema de creencias: nuestra perspectiva con respecto a la naturaleza de la matemática y cómo trabajar en ella.

ESTRATEGIAS HEURÍSTICAS PARA LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS

1. Ensayo y error.2. Construir un modelo (Ejemplo genérico)3. Análisis – Síntesis (suponer el problema

resuelto e ir hacia atrás).4. Encontrar alguna regularidad.5. Hacer una tabla, un esquema, etc.6. Resolver un caso más simple7. Buscar relaciones con problemas resueltos

anteriormente.8. Etc.

ENSAYO Y ERROR

• Es la más sencilla de todas, aun que a menudo es ignorada en los textos sobre resolución de problemas. Se trata simplemente de probar una posible solución para ver si verifica las condiciones del enunciado (ensayo). Si se comprueba que no la verifica (error), hacemos una nueva prueba.

CONSTRUIR UNA TABLA Y ENCONTRAR PAUTAS O REGULARIDADES

• Puede ser una tabla de posibles soluciones (ensayo y error), de valores particulares,

ANÁLISIS-SÍNTESISRAZONAR HACIA ATRÁS

• Es decir para poder encontrar algo que nos pide el problema, ¿qué tendremos que saber previamente?

• En algunos problemas en que el enunciado toma la forma de un relato, puede ayudar comenzar el razonamiento por el final y llegar hasta al principio.

RESOLVER UN PROBLEMA RELACIONADO, MÁS SENCILLO

• Puede ser que el problema tal y como está enunciado presente una excesiva dificultad, pero que un problema relacionado más sencillo, no solamente lo podemos resolver sino que nos proporciona la clave del problema inicial.

RAZONAR SOBRE UN MODELO

• Es una de las más usadas en primaria. Muy frecuentemente en la resolución de un problema necesitamos un modelo concreto que nos facilite el razonamiento.

• A menudo un simple dibujo es suficiente, pero a veces es preciso utilizar otro tipo de modelos:

* Modelos construidos con papel, plastilina, madera, etc.

* También entraría el realizar una dramatización del problema.

* Ejemplo genérico.

PROBLEMES

3. Quin és el nombre mínim de llumins que hem d’afegir per a obtenir exactament 11 quadrats en la figura?

4. Donat un quadrat de 20 cm de costat, unim els punts mitjans dels costats oposats per a obtenir 4 quadrats. Si en cada quadrat unim els punts mitjans dels costats consecutius s’obté un altre quadrat. Quina és la seva àrea?

1. Troba el major nombre possible de quadrats de qualsevol grandària que es poden formar en un tauler de 4x4 i en un de nxn.

2 En una granja tenim gallines i conills, en total hi ha 23 caps i 76 potes. Quants animals de cada classe tenim?

5. 35 bombons costen 14 euros, quant costaran 12 bombons?

6. Quin és el número de diagonals d’un polígon?

POSIBLES ESTRATEGIAS DE RESOLUCIÓN1. Encuentra el mayor número posible de cuadrados de cualquier tamaño que

se puedan formar en un tablero de 4X4.

Estrategia 1. Buscar un ejemplo más simple y hallar alguna regularidad.

1 1

1 x 1 2x2 3x3 4X4 TOTAL

4 1 5

9 4 1 14

16 9 4 1 30

Sí para un tablero de 4 x4 se tiene que: 4² + 3² + 2² + 1² = 16 + 9 + 4 + 1 = 30

Para un tablero de 8 x 8, será:

8² + 7² + 6 ² + 5² + 4² + 3 ² + 2² + 1 ² =

64 + 49 + 36 + 25 + 16 + 9 + 4 + 1 = 204

Por tanto, en general:

Los cuadrados que hay en un tablero de n x n, es igual a la suma de los cuadrados de los número consecutivos, el mayor de los cuales es el de los cuadrados que forman la longitud del tablero.

nn

1

2

Algunas sugerencias visuales

?

2. En una granja tenemos gallinas y conejos, en total hay 23 cabezas y 76 patas. ¿Cuántos animales de cada clase tenemos?

Estrategia 1: Construcción de una representación icónica.

15 8

Estrategia 2: sin representación icónica.

Estrategia 3: Ensayo y error.

CABEZAS PATAS

CONEJOS 10 40

GALLINAS 13 26

TOTAL 23 66

CABEZAS PATAS

CONEJOS 15 60

GALLINAS 8 16

TOTAL 23 76

X = conejos

Y = gallinas

X + Y = 23

4X + 2Y = 76

El sistema se puede solucionar por varias técnicas:

• Determinantes

• Reducción

• Igualación

• Sustitución

• Gráfico.

Estrategia 4: Utilización del lenguaje algebraico: Sistemas de ecuaciones

3. ¿Cuál es el número mínimo de cerillas que hemos de añadir para obtener exactamente 11 cuadrados en la figura?

Mínimo 2

Estrategia: Ensayo y error.

4. Dado un cuadrado de 20 cm de lado unimos los puntos medios de los lados opuestos para obtener 4 cuadrados. Si en cada cuadrado unimos los puntos medios de los lados consecutivos se obtiene otro cuadrado. ¿Cuál es su área?

Estrategia: Modelo de la situación

20

105

Se puede solucionar por medio de diferentes técnicas:

Pitágoras: √50 = 2 √5= 7,9→A = (7,9)² = 49,9

Área: ACM = (10)² = 100; 4·AT= 4.(5)² /2= 50

ACP = ACG – 4AT = 100 – 50 = 50

Área y proporciones: ACG = (20)² = 400.

ACP = 400/8 =50

5. 35 bombones cuestan 14 euros, ¿cuánto costarán 12 bombones?

Estrategia 1: Análisis síntesis o ir hacia atrás.

Conseguir el precio unitario. 14 = 0,4 → 12 x (0,4) = 4,8 euros.

35

Estrategia 2: Aplicar proporciones.

Proporciones: 35 = 12

14 X

6. ¿Cuál es el número de diagonales de un polígono?

Estrategia 1. Hacer una tabla y buscar alguna regularidad.

Nº de lados del Polígono

Nº de Diagonales

3 0

4 2

5 5 = 2 + 3

6 9 = 5 + 4 = 2 + 3 + 4

7 14 = 9 + 5 = 2 + 3 + 4 + 5

8

...

20 = 14 + 6 = 2 + 3 + 4 + 5 + 6

...

Regularidad 1: Tipo recursivo

an = an-1 + n – 2

Regularidad 2: an = (n-3) · n = n² - 3n 2 2

Estrategia 2. Un ejemplo genérico (Razonar con él como si fuera el general ≈ Razonamiento matemático.

De cada vértice salen diagonales, hacia los “vértices opuestos” (y no hacia el mismo o hacia los vértices contiguos). Por tanto:

3 x 6 = 18.

Pero como cada diagonal se cuenta dos veces, se tiene que:

Nº diagonales = 18 = 9 2

En general: (n-3) x n = n²- 3n 2 2

RELACIONAR CON UN PROBLEMA RESUELTO ANTERIOMENTE

1. ¿Cuántos cuadrados hay en un tablero de ajedrez?

2. En muchas catedrales encontrarás hermosas vidrieras redondas con extraños dibujos de líneas entrecruzadas. Estas vidrieras se llaman rosetones. Esto son ejemplo de rosetones. ¿Cuántas líneas se han tenido que dibujar para hacer cada uno de los siguientes rosetones?

3. He comprado pasteles, algunos de nata y algunos de chocolate, 4 en total. Los de nata valen 2 euros y los de chocolate 3 euros. Me he gastado 11 euros en total. A ver si sabes cuántos he comprado de cada clase.

4. Un paquete de 10 cuadernos vale 12 euros, y quiero comprar 3 cuadernos, ¿cuánto dinero tendré que gastarme?

5. Tenemos un triángulo equilátero. Dividimos cada lado en 25 partes iguales. Por cada punto de división trazamos rectas paralelas a los lados con lo cual el triángulo quedará dividido en pequeños triángulos equiláteros. ¿Cuántos de estos triángulos nos saldrán?

6. Hay un puñado de caramelos sobre una mesa. El nieto agarra la mitad, la madre 1/3 de los que quedan, el abuelo agarra uno, y yo los 3 últimos que quedaban. ¿Cuántos habían al principio?

7. Tenemos 19 rectas en el plano. No hay rectas paralelas (todas se cortan), y no hay más de dos rectas que pasen por un mismo punto. Encuentra cuántos puntos de intersección hay.

8. Tenemos dos depósitos de agua. El contenido de litros del primero es igual a los ¾ del contenido del segundo. Mientras que el contenido del segundo menos 20 litros es igual al contenido del primero. ¿Cuántos litros hay en cada depósito?

RESOLUCIÓ DE PROBLEMES

UNA PERSPECTIVA SOCIAL

• A L’educació infantil convé pensar en la resolució de problemes com un procés social mes que com a un procés individual.

• Compartir tasques de solució de problemes –amb adults experts i amb altres infants- és vital per a el desenvolupament infantil.

EDUCACIÓ INFANTIL

EXEMPLE

• Lectura de l’article:

"Una balena pesa més que 100 persones“ "¡Y yo que me lo creo!"

Mercè de Febrer de los Rios y Ester Casas Gómez

Biaix 19, pp. 50-56

"Este verano he ido a Canarias en avión y también he ido al Teide, el volcán. Mi hermano desde el avión vio una ballena y decía que una ballena es más grande que 100 personas!“

Això és el que va dir un nen de 5 anys quan estava explicant als companys les seves experiències estiuenques. L’explicació va generar una conversa al voltant de la seva possible certesa.

UNA SITUACIÓ PROBLEMÀTICA SIGNIFICATIVA COM A PUNT DE PARTIDA

La mestra fa participar a tots els alumnes. Situacions d’argumentació

• La discussió es va anar animant.• Ràpidament la mestra va recollir aquella situació

"problemàtica" per les possibilitats matemàtiques que s’intuïen.

• La mestra va animar tothom a participar-hi, i a manifestar-se en l’acord o el desacord de forma argumentada:

"Sí que és més gran perquè les balenes són els animals més grans de tots"- "¡Y yo que me lo creo! ¡pero si cien personas son un montón muy grande!"

La mestra dirigeix la formulació colectiva del problema a resoldre

Escoltant-los parlar s’intuïa la necessitat de compartir significats al voltant del concepte GRAN donat que hi havia unes quantes variants:

•"gran vol dir que pesa molt"•"gran vol dir que és molt llarga"•"gran vol dir que és més gran que la pissarra… que la classe…que l’escola…que el planeta!"

Vam acordar que només tindríem en compte lavariable de pes i la de llargada.

Primera estretègia de resolució

Com podíem decidir qui tenia raó?

• "Mirant contes de balenes" (proposta discutida ja que alguns opinaven que els contes no diuen veritats sinó que són de "fantasia")• "Mirant pel·lícules de balenes"•“Mirant llibres que parlin de balenes“

Les propostes fetes pels nens els van fer comprometre a portar tot el material informatiu que tinguessin a casa i que pogués servir per resoldre el problema.

La primera estretègia dona peu a una segona estretègia i a nous problemes

Un documental sobre balenes va aportar les dades necessàries. El van mirar amb molta atenció, tenien molt clar quina era la informació que necessitaven: la que els interessava.

"Les balenes fan uns 20 metres de llargada aproximadament i pesen entre 40 i 60 tones"

• Però, com sempre, una resposta obre nous dubtes

"Però…¿ què és una tona?"

• La Marina va anar a buscar el diccionari:

"La tona mètrica té 1000 kg i es representa per una t"

1000 kg!!! Però què és això? Quina passada!Si una t són 1000 kg…..40 t, quant seran?40.000!!!

La resposta estava clara.

• Però quant pesen 100 persones?

• Com ho podíem saber?

Pesant 100 persones!

• I com podíem pesar 100 persones?

"Pués con una pesadora"

Pesar va ser molt "pesat", molta feina, "de grans" deien alguns

SITUACIONS D’ACCIÓ• Amb una balança es van pesar un per un i

anotaven el seu pes.

Les fotos corresponen a una experiència semblant feta amb infants de 4 anys

Un nou problema. Situacions d’institucionalització i d’acció

•Veig un dos i un tres i un punt i un altre dos.

Mestra: Perquè no aneu a demanar als més grans de l’escola que heu de fer amb aquests números?

Els alumnes més grans els van explicar que podien tapar el darrer nombre i el punt amb la mà

Quan ja el tenien aproximat per truncament, cadascú entrava el seu pes a la calculadora i el sumava a l’anterior.

• És així com vam anar sumant el pes total de cada grup (per taules). En una sessió posterior, i també amb la calculadora, es van sumar els pesos dels quatre grups per tenir el pes de tota la classe…Però només teníem el pes de 23 persones!!!

• La classe dels Dofins (l’altra classe de 5 anys) també ens van donar el seu pes total. (ells també s’havien pesat per resoldre un altre problema)… Ja teníem el pes de 47 persones!!!

• Amb els pesos dels nens i nenes de 1er. Es va arribar a 96 persones. Necessitaven pesarne 100. En faltaven 4… Les "senyos"!. Les 4 "senyos" van fer pujar bastant el pes final, però tot i amb això, el pes total no arribava als 3000 kg. O sigui 3 tones. Faltava molt per les 40 tones de les balenes.

Solució parcial i continuació del problemaSituacions dìnstitucionalització i de formulació

• Ja sabíem que una balena pesa més, molt més, que 100 persones, però de llargada què? Quant són 20 metres?

• Xavi: así (obre molt els braços)• Anna i Rocio: com la pissarra.• Carlos:¡ nooo! ¡Más grande que la pizarra!• David, Adriana i Andrea: com tota la classe.• Alejandro: com 40 "metros"!• Jonathan: más que 100 metros.• Jesús: más grande que una casa.• Marina: més llarg que tota la Terra.• Jonathan: ¡y yo que me lo creo!• Carolina: més llarg que totes les taules posades com un tubo.• …………………………..

Netherlands math Problem

A car costs Euro 22.000 and becomes 20 % cheaper. In an end of the year offer the new price is lowered with another 10%. By what percentage is the price lowered?