jocs, matemàtiques i resolució de problemes jordi deulofeu departament de didàctica de la...

21
Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Upload: claudio-monarrez

Post on 22-Jan-2016

221 views

Category:

Documents


1 download

TRANSCRIPT

Page 1: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Jocs, matemàtiques i resolució de problemes

Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències.

Universitat Autònoma de Barcelona

Page 2: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

¿Dónde acaba el juego y dónde empieza la matemática seria? (…)

Para muchos, la matemática, mortalmente aburrida, no tiene nada que ver con el juego.

En cambio, para la mayoría de los matemáticos, nunca deja de ser un juego, aunque, además, pueda ser muchas otras cosas.

M. de Guzmán (1988)

Page 3: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Sobre l’ús dels jocs i les recreacions

• Cal distinguir entre jocs i recreacions:

– Recreació: similar a un problema. L’objectiu és resoldre’l (individualment o col·lectiva)

– Joc: Participació de dues o més persones. L’objectiu és guanyar una partida i en un segon nivell determinar una estratègia guanyadora.

Page 4: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Sobre la classificació dels jocs

Tipologia dels jocs de taula:

Pel que fa al sentit, la finalitat i les regles del joc: - Jocs abstractes i jocs de simulació.

Pel que fa a la informació en la realització del joc: - Jocs d’estratègia, d’atzar, mixtes.

Els grans jocs d’estratègia

Els petits jocs d’estratègia i les seves característiques

Page 5: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Els grans jocs d’estratègia:

Els escacs (occident)El Go (orient)

Els mancala (països africans)

Page 6: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Els petits jocs d’estratègia

• Retirar fitxes d’una o vàries piles o d’un tauler, amb condicions establertes

(també dits jocs tipus NIM o NIMBUS)

• Jocs d’aliniacions (tres en ratlla, marro,…)

• Jocs de cercar (jeux militaire, la guineu i les oques, l’assalt, …)

• Jocs de conectar (SIM, els ponts, …)

• Jocs amb taulers diversos (Reversi,Hex,…)

Page 7: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Una activitat amb jocs tipus NIM

• 1. A) El 14 guanya. Joc per a dos jugadors. Col·loquem 14 fitxes sobre la taula. Cada jugador, al seu torn, retira una o dues fitxes (les que vulgui). El jugador que aconsegueix retirar l’última fitxa de la taula és el guanyador de la partida.

• Com s’ha de jugar per guanyar? Quin dels dos jugadors, el primer o el segon, té avantatge? Què passa si variem el nombre de fitxes inicial, i es juga amb 16 o amb 18 fitxes?

Page 8: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Una activitat amb jocs tipus NIM• El 100 perd. Joc per a dos jugadors. El primer jugador

escriu un nombre de l’1 al 10 en un paper. El segon pensa un nombre de l’1 al 10 i escriu el resultat de sumar-lo al que havia escrit el primer. El joc segueix de manera que, al seu torn, cada jugador suma a l’últim resultat un nombre de l’1 al 10. El jugador que després de sumar el seu nombre obté com a resultat un nombre de tres xifres (100 o superior) perd la partida.

• Com s’ha de jugar per guanyar? Quin dels dos jugadors, el primer o el segon, té avantatge? Què passa si variem els nombres que es poden sumar a cada jugada, per exemple, de l’1 al 20?

• Quina relació hi ha entre els dos jocs?• GENERALITZACIÓ DELS DOS JOCS ANTERIORS

Page 9: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Un joc similar però una mica especial

• El 20 guanya. És un joc per a dos jugadors.

• Col·loquem 20 fitxes sobre la taula. Cada jugador, al seu torn, retira una, tres o cinc fitxes (les que vulgui) de la taula. El jugador que aconsegueix retirar l’última fitxa de la taula és el guanyador de la partida.

• Quin dels dos jugadors, el primer o el segon, té avantatge?

• Aquest joc és com els anteriors, o bé hi ha alguna cosa diferent? Sabríeu explicar què passa?

Page 10: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

La margarida: Igual o diferent?

Joc d’estratègia per a dos jugadors. Dibuixeu una margarida gran amb 9 pètals en un full de paper blanc. Situeu una fitxa a cada pètal (necessitareu 9 fitxes del mateix color). Al seu torn, cada jugador ha de treure una o dues fitxes, però si en vol treure dues han de ser veïnes (han d’estar juntes). El jugador que aconsegueixi treure l’última fitxa guanya la partida.

Penseu quin jugador té avantatge (el primer o el segon) i com s’ha de fer per guanyar.

Què passa si en lloc de 9 pètals la margarida té 10 pètals? Què passa si la quantitat de pètals és un nombre qualsevol superior a tres?

Page 11: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Tallant el rectangleEn un full de paper quadriculat dibuixeu un rectangle de 17

x 15 (seguint les línies de la quadrícula). Assenyaleu o pinteu el quadradet situat al vèrtex inferior dret. Al seu torn, cadascun dels dos jugadors talla el rectangle en dues parts, traçant una línia recta vertical o horitzontal (seguint les línies de la quadrícula) i elimina la part que no conté el quadradet pintat. El jugador que no pot dividir el rectangle (o sigui aquell que es queda amb el quadradet pintat) perd la partida.

Després de jugar algunes partides, partint del rectangle de 17 x 15, trobeu quin dels dos jugadors (el primer o el segon) pot trobar una estratègia per guanyar sempre. Penseu també què passa si es varien les dimensions del rectangle i en quins casos pot guanyar l’altre jugador.

Page 12: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Un joc una mica més complicat:Joc per a dos jugadors. Es practica en un tauler

format per 6 caselles quadrades aliniades.La posició inicial consisteix a posar tres fitxes en

les caselles 1, 3 i 5 respectivament. Al seu torn, cada jugador mou una fitxa cap a la dreta tantes caselles com vulgui (com a mínim una casella i com a màxim fins a la casella sis); és possible situar la fitxa en una casella que ja estigui ocupada per una altra. El jugador que col·loca l’última fitxa sobre la casella 6 guanya la partida.

CASELLA FINAL

Page 13: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Generalitzem el joc anterior: El NIM

• El joc anterior equival a jugar amb tres piles de 1, 3 i 5 fitxes i treure les que es vulgui d’una sola pila.

• Es pot complicar tant com es vulgui variant el nombre de piles i el de fitxes de cada pila. Per exemple:

• Tenim cinc piles amb 1, 2, 3, 4 i 5 fitxes respectivament A cada jugada un jugador pot agafar totes les fitxes que vulgui d’una mateixa pila. El que agafa la darrera guanya

• Qui guanyarà en aquest cas? Com s’ha de fer per aconseguir-ho?Hi ha una estratègia general que sigui vàlida per a tots els casos?

Page 14: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

L’estratègia per guanyar al NIMHi ha una estratègia per guanyar:

1 1

2 10 2 10 2 10 2 10

3 11 3 11 3 11 3 11

4 100 4 100 3 11 3 11

5 101 5 101 5 101 2 10

En aquest cas guanya el primer si agafa la fitxa de la primera pila. A cada jugada ha de procurar que després de jugar, els nombres expressats en base 2 siguin tals que al sumar per columnes sempre quedi un nombre parell

Page 15: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Jocs equivalents?Tsyanshidzi. Aquest antic joc d’origen xinès es juga partint de

dues piles de fitxes amb una quantitat diferent a cada pila (es pot començar amb 6 i 7 fitxes i després anar variant el nombre de fitxes). Cada jugador, al seu torn, pot retirar totes les fitxes que vulgui d’una de les piles, o bé treure fitxes de les dues piles, però en aquest cas la quantitat de fitxes que s’eliminin ha de ser el mateix per a les dues piles. El que aconsegueix retirar l’última fitxa guanya la partida.

Salvar la reina. Sobre un tauler d’escacs es situa una reina en una casella qualsevol de la fila superior o de la columna de la dreta, excepte en les caselles dels vèrtex. Al seu torn, cadascun dels dos jugadors va movent la reina tantes caselles com vulgui, horitzontalment (cap a l’esquerra), verticalment (cap avall), o en diagonal (cap a l’esquerra i cap avall). El jugador que aconsegueixi situar la reina en la casella inferior esquerra del tauler és el guanyador de la partida.

Page 16: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Sobre els pseudojocs

• Dibuixem quadrats i cercles en una fila. A cada jugada un jugador pot canviar:– Dues figures iguals per un cercle– Dues figures diferents per un quadrat– Dos jugadors van jugant alternativament. Si la

darrera figura que queda és un quadrat guanya el primer, i si és un cercle guanya el segon.

Donada una configuració inicial, quin dels dos jugadors té avantatge? Com s’ha de jugar?

Què passa amb aquest tipus de jocs?

Page 17: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Dividint un cercle

Dibuixem 8 punts sobre una circumferència. Al seu torn cada jugador uneix dos punts amb un segment, que no talli a cap dels segments ja dibuixats. El primer jugador que no pot tirar perd la partida.

Quin jugador té avantatge? Com s’ha de jugar per guanyar?

Què passa si variem el nombre de punts?

Page 18: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

SIM: un joc d’estratègia

• Dibuixem 5 punts sobre un cercle. A cada jugada un jugador uneix dos punts (cada jugador utilitza un color diferent).

• El primer jugador que tanca un triangle amb segments del seu color guanya la partida (els vèrtex del triangle han de ser 3 dels punts inicials).

• Què passa si el que tanca un triangle perd?

• Què passa si hi ha 6 punts en lloc de 5?

Page 19: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Un darrer joc per pensarJoc d’estratègia per a dos jugadors. Poseu 20 fitxes sobre la taula. A cada jugada el jugador que té el torn agafa algunes fitxes. Guanya la partida el jugador que aconsegueix agafar la darrera fitxa. El jugador que inicia el joc pot agafar, a la primera jugada, entre 1 i 19 fitxes (és a dir, totes les que vulgui però deixant-ne com a mínim una sobre la taula). A les altres jugades el jugador que té el torn pot agafar com a mínim una fitxa i com a màxim el doble de les fitxes agafades pel seu contrincant en la jugada anterior.

A) Quin dels dos jugadors, primer o segon, té avantatge? Com s’ha de fer per poder guanyar sempre?

B) Què passa si el nombre de fitxes inicial és 21? C) Estudieu qui té avantatja (el primer o el segon jugador) quan

varieu el nombre de fitxes inicial, i descobriu per quins nombres pot guanyar sempre el primer jugador i per quins pot guanyar el segon jugador.

Page 20: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Algunes cites sobre matemàtiques i jocLa vida mereix ser viscuda per jugar

als jocs més bonics, …. i per guanyar jugant a ells.

Plató (s. IV a.C.)

Les nou desenes parts de les matemàtiquesconsisteixen en endevinalles, ….

la resta tenen el seu origen en les necessitats d’ordre pràctic

Dieudonné

La matemàtica és, en gran part, un joc i el joc pot, en moltes ocasions, analitzar-se per mitjà d’instruments

matemàtics.

M. de Guzmán

Page 21: Jocs, matemàtiques i resolució de problemes Jordi Deulofeu Departament de Didàctica de la Matemàtica i de les Ciències. Universitat Autònoma de Barcelona

Referències

Bell,R., Cornelius, M. (1990) Juegos con tablero y fichas. Barcelona: Labor.Berloquin, P. (1976) 100 Jeux de table. Paris: Flammarion.Comas, O. (2005) El món en jocs. Barcelona: RBA-La Magrana.Corbalán, F. (1994) Juegos matemáticos para secundaria y bachillerato.

Madrid: Síntesis.Corbalán, F. (1996) Números, cultura y juegos. Madrid: Videocinco.Deulofeu, J. (1999) Recreaciones, juegos y actividades matemáticas, UNO, 20,

89-101.Deulofeu, J. (2001) Una recreación matemática: historias, juegos y problemas.

Barcelona: Planeta.Deulofeu, J. (2003) 131 juegos matemáticos. Barcelona: Martínez Roca.Deulofeu, J. (2010) Prisioneros con dilemas y estrategias dominantes. Teoría

de juegos. Barcelona: RBA. Fomín, et al. (1998) Mathematical Circles. USA: American Mathematical Soc.Gardner, M. (1981) Inspiración !Ajá! Barcelona: LaborGardner et al. (1990) La mathematique des jeux. Paris: Pour la ScienceGrunfeld (1978) Juegos de todo el mundo. Madrid: UNICEF-EdilanGuzman, M. (2003) Cuentos con cuentas. Madrid: NívolaWells, D. (1992) The penguin book of curious and interesting puzzles. Londres:

Penguin Books