1

LA DERIVADALA DERIVADA

EN ELEN EL

ANALISIS DEANALISIS DE

FUNCIONESFUNCIONES

2

TEOREMATEOREMA

f ’(c) = 0

Si c es un punto de extremo local de f, entonces

3

PUNTOS CRITICOSPUNTOS CRITICOSDefinición:Definición:

Un número c del dominio de f se llama número crítico o punto crítico de f si f ’(c) = 0.Ejemplo: Determinar el punto crítico de:

13)( 23 xxxf

4

1. Hallar todos los puntos críticos de f en [a, b]2. Hallar f(c) para cada punto crítico c3. Calcular f(a) y f(b)4. El mayor de los números hallados en 2

y 3 es el máximo absoluto de f en [a,b] y el menor el mínimo absoluto.

Procedimiento para determinar los máximos o mínimos de una función continua f en [a, b][a, b]

Ejemplo: Determinar los valores máximo y mínimo absolutos de:

4;21

13)( 23 enxxxf

5

TEOREMATEOREMA

Sea f continua en [a, b] y derivable en

(a, b), entonces:Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces>

f es estrictamente CRECIENTE en [a, b]

6

TEOREMATEOREMA

Sea f continua en [a, b] y derivable en

(a, b), entonces:Si f ’(x) 0 en (a, b) entonces

f es estrictamente DECRECIENTE en [a, b]

7

Ejemplo:

Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de:

196)( 23 xxxxf

8

Criterio de la primera Criterio de la primera derivadaderivada

Si c es un punto crítico de f y f es derivable alrededor de c, entonces:

i) Si f ´ cambia de + a - en la vecindad de c,

entonces c es un punto de MÁXIMO local de f

ii) Si f ´ cambia de - a + en la vecindad c, entonces c es un punto de MÍNIMO

local de f

9

Ejemplo:

Determinar los valores extremos locales de:

196)( 23 xxxxf

10

TEOREMATEOREMA

Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = carriba

>

+

11

TEOREMATEOREMA

Sea f derivable en el intervalo (a, b), que contiene a c, tal que existe f ’’(c), entonces:

Si f ’’(c) 0 la gráfica de f es cóncava hacia

en x = cabajo

<

-

12

Punto de inflexiónPunto de inflexión

La gráfica de f tiene en el punto (c, f(c)) un punto de inflexión si:

1 f es continua en c

2 La gráfica tiene tangente en el punto

3 La concavidad cambia de sentido en c

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PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR PROCEDIMIENTO PARA DETERMINAR LOS PUNTOS DE INFLEXIONLOS PUNTOS DE INFLEXION

i) Determinar los puntos donde f ’’ es cero

ii) Verificar si cada uno de estos puntos es de inflexión. Esto es:• Si f es continua• Si f ’’ cambia de signo

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Ejemplo:

Determinar:

a) Intervalos de concavidad.

b) Puntos de inflexión

c) Trazar la gráfica de f

Para:

196)( 23 xxxxf

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Criterio de la segunda Criterio de la segunda derivadaderivada

Sea c un punto crítico de f en el cual:

f ’(c) = 0, entonces,Si f ’’(c) > 0, c es un punto de mínimo

local

Si f ’’(c) < 0, c es un punto de máximo local