guia 2 de funciones (analisis matematico)

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En este ejercicio vamos a trabajar con valores en el plano en lugar de una recta

numérica. Es decir, vamos a trabajar en dos dimensiones en lugar de una, en en lugar

de . En la recta numérica, los puntos se definen con una sola coordenada, en el plano

con dos.

A partir de ahora, ya no te podés

olvidar que:

abscisas: ordenadas:

x y

Los puntos que tenemos que graficar

son:

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Guía 2 Análisis matemático (Cs. Económicas)

2014

( ) ( ) ( )

( )

( ) (√ )

( )

( )

Ejercicio 1: Representar en el plano…

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a) Todos los puntos de abscisa – :

Estamos representando la recta

Solo tenemos una restricción

(condición) en la variable , la otra

coordenada puede tomar cualquier

valor.

b) Ordenada

:

Estamos representando la recta

Este es un ejemplo como el anterior, solo que con la

variable en lugar de . Es decir, como solo

tenemos una restricción en la variable , puede

tomar cualquier valor.

Ejercicio 2: Representar…


c) Los puntos de abscisa módulo :

En este caso, la función que

estamos representando es

| |

Esto equivale a graficar el par

de rectas:

Porque el contenido del

módulo puede ser positivo o

negativo.

De la misma manera que los

ejercicios anteriores, no

tenemos restricciones sobre la variable .

d) Los puntos de ordenada mayor que – :

La región del plano que estamos

representando es


e) Los puntos de abscisa y ordenada iguales:

La recta que estamos representando es

f) Los puntos de abscisa y ordenada menores que :

La región del plano queda definida por el

siguiente sistema de inecuaciones:

{

Importante, la parte de los ejes se debe

representar en línea discontinua para

indicar que no se incluye en el conjunto.

g) Los puntos de ordenada mayor o igual a y abscisa menor que :

La región del plano queda definida por el siguiente

sistema de inecuaciones:

{


h) Los puntos de ordenada entre y y abscisa entre y :

La región queda definida por el sistema

{

a) Calcular ( ), ( ) y ( ):

Lo único que tenemos que hacer es reemplazar los valores de la variable dentro

de la ecuación de la recta:

( )⏟

⏟

Sustituimos en el *:

( )

( ) ( ) ( )

b) Graficar la función:

Ejercicio 3: Sea ( ) …


Para graficar, solo necesitamos elegir dos de los puntos que calculamos y hacer

pasar una recta por ellos. Es importante observar y reflexionar sobre el hecho de que por

dos puntos pasa una sola recta.

c) Hallar analítica y gráficamente los tales que…

Vamos a comenzar hallándolos en forma analítica. Lo único que tenemos que hacer es

reemplazar la variable , en lugar de la variable como hicimos en el punto a, y luego

despejar. Luego, vamos a verificarlo gráficamente.

(i)

(ii)


(iii)

Verificamos gráficamente:

d) Trazar la recta de ecuación …

Vamos a ver lo que nos resulta analíticamente y luego lo vamos a verificar

gráficamente. Analíticamente, se resuelve de la siguiente manera:

Si el punto pertenece a la recta, debe cumplirse la igualdad que define la recta. Entonces,

cuando reemplazo en la ecuación de la recta, debería darme el valor de . Si esto no se

cumple, el punto no pertenece a la recta.

Punto ( ) ¿ ( ) ?

¿∈?

( ) 0 no no ( ) -1 ( )

si si


( ) 1 si si

(

)

½ si si

Verificamos gráficamente:

çç

Antes de comenzar, recordemos cómo es la fórmula de una recta:

( ) ⏟

( )

⏟

( )

a) Graficamos las funciones:

( ) ( )

( )

Ejercicio 4: Trazar los gráficos…


En este ejercicio nos centramos en ver la ordenada al origen:

( ) ⏟

En nuestro caso, lo que vemos en las tres rectas es que la variable es cero. Es

decir, tienen ordenada al origen cero y, por lo tanto, pasan por el origen de coordenadas

(el centro de los ejes cartesianos).

b) Graficamos las funciones:

En este punto, lo que hay que observar es lo que pasa con la pendiente cuando

cambia de signo. La función pasa de ser una función creciente a ser decreciente o

viceversa. Es decir, la pendiente se invierte cuando cambiamos el signo.

c) Graficamos las funciones:

( ) ( )

( ) ( ) +2

( )


En este punto lo que vemos es cómo se corre una función modificando la ordenada

al origen.

a) Encontrar en cada caso una función lineal…

Como mencionamos en el ejercicio anterior, una función lineal es de la forma:

( ) ⏟

⏟

Para cada caso, vamos a tener que encontrar y para formar la ecuación.

El objetivo de este punto es aprender cómo obtener la fórmula de la recta que pasa por

dos puntos.

i) Partiendo de la forma de la ecuación ⏟( )

, vamos a armar un sistema de

ecuaciones sustituyendo los puntos:

Sustituyendo en (1):

{

( )

De la primera ecuación,

⏟

Sustituyendo en la segunda ecuación,

( ) ( )

Sustituyendo en la ecuación *:

Finalmente, ( )

( ) ( )

Ejercicio 5:


ii) Seguimos con la misma metodología del punto anterior pero con el par de puntos:

Sustituyendo en ,

{ ( )

De la primera ecuación:

⏟

Sustituyendo en la segunda ecuación:

( )

Sustituyendo en *:

Finalmente, ( )

b) Calcular la pendiente de cada una de las rectas…

Simplemente miramos la función y vemos cuánto vale la pendiente:

( ) ( )

Función Pendiente

( )

( )


i) Partimos de la ecuación: .

La pendiente es , nos queda:

Sabemos también que la recta pasa por el punto ( ), por lo tanto, lo podemos

sustituir en la ecuación y esta se mantiene.

( )

Sustituyendo,

ii) Seguimos de la misma forma que en el ejercicio anterior.




Sustituyendo,

iii) De nuevo lo mismo,




( )

Ejercicio 6:


Sustituyendo,

iv) De nuevo lo mismo,

La pendiente es

, nos queda:

Sabemos también que la recta pasa por el punto (

), por lo tanto, lo podemos


(

)

Sustituyendo,

b) Encontrar la pendiente de la recta que pasa…

Importante:

La pendiente de la recta que pasa por el par de puntos ( ) y ( ) se

calcula con la fórmula:

Para cada ítem vamos a reemplazar en la fórmula y hacer el cálculo:

i)

ii)

( ) ( )

( ) ( )


iii)

iv)

a) Hallar el valor de para que…

Como veníamos haciendo, para que la recta pase por el punto, solo hace falta

sustituir el punto en la ecuación.

( )

b) Hallar el valor de para uqe la recta de ecuación…

( )

( )

Si te fijás bien, hicimos lo mismo que en el punto anterior pero con la ordenada al

origen en lugar de la pendiente

a) ¿Existe una función lineal…

( ) ( )

( ) ( )

( )

Ejercicio 7:

Ejercicio 8:


Vamos a venir con el envión del ejercicio anterior y vamos a resolver este problema,

calculando la pendiente entre los puntos para ver si coinciden.

⏟

⏟

Las pendientes son diferentes para las rectas, los puntos no están alineados.

b) Completar la tabla…

Vamos a hallar la recta que pasa por los dos primeros puntos y después a

reemplazar los valores de los otros puntos para obtener los valores que nos faltan.

La pendiente de la recta es:

Es la mima pendiente que nos había dado el punto anterior.

Calculamos la ordenada al origen:

Reemplazamos el primer punto,

( )


( )

La ecuación de la recta que pasa por los primeros dos puntos es, entonces,

.

Vamos a reemplazar los valores que tenemos para completar la coordenada faltante:

(

) (

)

Finalmente, completamos la tabla:

i)

Del gráfico, se observa que la recta pasa por el par de puntos ( ) y ( )

Vamos a hallar la ecuación de la recta armando un sistema de ecuaciones como hicimos

en el punto :

( )

2

-2/9

Ejercicio 9: A partir de los siguientes gráficos…


{

De la segunda ecuación,

Sustituyendo en la primera ecuación,

Finalmente,

ii)

Si tenés dudas con este punto, mirá de nuevo el punto 2 b. Es igual, salvo que se toma

en lugar de

.

En este caso, la ecuación de la recta es:


La pendiente tiene que ser

iii)

Este punto es igual al anterior, solo que tomando un valor negativo para el valor de las

ordenadas.

La ecuación de la recta es:

La pendiente tiene que ser también


iv)



en el primer punto de este ejercicio:

{



Finalmente,

v)


Por lo que vemos en el gráfico, la recta pasa por el origen, por lo tanto, .

También sabemos que pasa por el punto ( ).

Sustituyendo,

La ecuación de la recta nos queda

vi)



en el primer punto de este ejercicio:

{ ( )

De la segunda ecuación,



Finalmente,

a) ¿Para qué valor de la pendiente es 8?

Para resolver esto, vamos a utilizar la ecuación que vimos en el punto b del ejercicio 6,

que permite calcular la pendiente de la recta que pasa por dos puntos.

El par de puntos es ( ) y ( )

b) ¿Para qué valor de la recta pasa por ( )?

Para que la recta pase por ese punto, los tres puntos tienen que estar alineados (= tener la

misma pendiente), así que hacemos lo mismo que en el punto anterior:

⏟

( ) ( )

⏟

( ) ( )

c) ¿Para qué la recta pasa por ( )?

⏟

( ) ( )

⏟

( ) ( )

Ejercicio 10: Dada la recta…


d) Para los puntos hallados…

Lo que necesitamos ahora es la ordenada al origen en cada caso. Para encontrarlas, lo que

tenemos es la pendiente y un punto, así que vamos a calcularla:

(a)Tenemos la pendiente, calculamos la ordenada al origen para tener la ecuación

completa:

Sustituyo por el punto ( ),

Buscamos la intersección con el eje , en ese punto es :

( )

(b) Hacemos lo mismo que en el punto anterior:




( )

(c) Nuevamente:



(

)


i)

Ambas funciones son crecientes, ( )crece más rápidamente que ( ).

( ) ( )

)

{ ∈ }

ii)

( )

( )

( )

( )

Ejercicio 11: Dados los siguientes pares de funciones…


( ) es una función decreciente y ( )una función creciente.

( ) ( )

(

{ ∈ }

iii)

( ) es una función creciente y ( )una función decreciente.

( ) ( )

)

{ ∈ }

( ) ( )


a) Hallar, si existen, el supremo y el ínfimo de A.

i)

( ) es una función decreciente y ( ) una función creciente.

( ) ( )

(

Está acotado superiormente, el supremo es y, como no está acotado inferiormente,

no hay ínfimo.

( )

( )


ii)

Ambas funciones son igualmente crecientes.

( ) ( )

Como se cumple siempre en todos los reales, ( ) ( ).

El conjunto es el conjunto de todos los reales, por lo tanto no está acotada superior ni

inferiormente y, por lo tanto, no hay ínfimo ni supremo.

iii)

( ) no es una función creciente ni decreciente, es una función constante.

( ) es una función decreciente.

( ) ( )

( ) ( )


( ) ( )

)

Está acotado inferiormente y su ínfimo es pero no está acotado superiormente, por lo

que no tiene supremo.

c) Determinar cuáles de las funciones…

En los puntos anteriores, se deja un comentario debajo de cada gráfico en los puntos

anteriores.

Recordar que el contenido del módulo puede ser positivo o negativo, hay que tener en

cuenta ambos casos.

a)

| |

Contemplamos las dos posibilidades y encontramos el vértice:

Si ⟹ Si ⟹

Ejercicio 12: Graficar las siguientes funciones…


b)

| |


c)

| |


Si ⟹ Si ⟹

Si ⟹

Si ⟹


d)

| |


a)

( ) ( )

| |

∈

Si ⟹

Si ⟹

( ) ( ) | |

Ejercicio 13: Dadas las siguientes funciones…


b)

( ) ( )

| |

Si , no hay solución (absurdo)

Si ⟹ ∈

)

)

( ) ( ) | |


Pequeño paréntesis teórico:

La función de demanda nos da la máxima cantidad de un determinado bien o

servicio que un consumidor estaría dispuesto a comprar a cada precio determinado. Dicho

de otra forma, a cada precio , asigna un valor de cantidad . Es decir, es una función

( ). En nuestro caso, la función la escribimos ( ), donde es la función de

demanda.

De la misma forma, la función oferta, nos dice, a cada precio, cuánta oferta habría

del bien o servicio. Se escribe de la forma ( )

La intersección entre ambas curvas, se llama punto de equilibrio.

Lo que se ve claramente en el gráfico, es que la cantidad demanda disminuye al

aumentar el precio y la cantidad ofertada aumenta (lo cual es bastante razonable).

Este gráfico tiene como objetivo mostrar que la oferta es una función creciente y la

demanda decreciente y que, por lo tanto, va a haber una intersección entre ambas (punto

de equilibrio). Pero estas funciones no son necesariamente lineales, se utilizan rectas

únicamente para ilustrar un poco el concepto.

a) Determinar la función demanda ( ), suponiendo que es lineal.

La forma de la función va a ser .

Ejercicio 14: Supongamos que la demanda…


De dato, tenemos un par de puntos: ( ) y ( )

Vamos a armar un sistema de ecuaciones y obtener los valores y que necesitamos:

{


⏟


Sustituyendo en *,

(

)

Finalmente, ( )

b) Calcular ( ), ¿qué representa?

( )

Representa el precio por el cual existiría una demanda de 75.

a) Obtener la función ( ) suponiendo una relación lineal y graficarla.

Vamos a hacer lo mismo que en el ejercicio anterior.

La forma de la función va a ser .

De dato, tenemos un par de puntos: ( ) y ( )

Vamos a armar un sistema de ecuaciones y obtener los valores y que necesitamos:

{


Ejercicio 15: Un fabricante de zapatos…


⏟


Sustituyendo en *,

(

)

Finalmente, ( )

b) Se ha podido determinar…

Lo que tenemos que hacer es hallar la intersección entre la función de oferta y la de

demanda:

{

Ahora que tenemos el sistema planteado, no es más que un problema como los que

vinimos resolviendo.

Para variar un poco, vamos a resolver el sistema por igualación,

(

)

(

)

(

)

Sustituyendo en la primera ecuación,


El punto de equilibrio es ( ).

Verificamos gráficamente,

c) En un mismo sistema graficar…

Ya lo hicimos en el punto anterior.

La interpretación geométrica es que el punto de equilibrio es la intersección de la curva de

oferta y la de demanda.

=

¿Cómo se arma la función costo?

La función costo es la función que da, para cada cantidad producida, el costo de

producción. Normalmente, esos costos se pueden dividir en costos variables que son

los costos que aumentan con la cantidad de unidades producidas y costos fijos que son

los costos que se deben cubrir sin importar cuánto se produce. Es decir, la función de

costo se forma de los costos fijos más los variables, .

Yendo a un ejemplo, si se producen zapatos, un costo fijo puede ser el alquiler del

galpón donde se trabaja y un costo variable, el costo del pegamento utilizado para pegar

la suela (la relación es directa, más zapatos, más pegamento). Como el costo variable

depende directamente de las unidades producidas, se puede escribir como ( ) ,

donde es el costo por unidad y es la cantidad de unidades.

Ejercicio 16: Una empresa vende un producto…


Finalmente, ( )⏟

⏟

⏟

¿Cómo se arma la función de ingreso total?

La función ingreso total es más sencilla, es la suma de todo lo que ingresa, es decir

el precio por la cantidad.

Es decir, ( )⏟

( ) ⏟

⏟

.

¿Cómo se arma la función de utilidad?

Finalmente, la función de utilidad es la resta de las dos funciones anteriores. El

margen será total de dinero que ingresa por ventas menos el total de dinero egresando

por pago de costos.

Es decir, ( )⏟

( )⏟

( )⏟

.

a) Encontrar la función lineal costo total ( )expresada en términos…

De la introducción del ejercicio, teníamos que la función de costo era:

( )⏟

⏟

⏟

Simplemente tenemos que colocar los datos del enunciado,

( )

b) Encontrar la función ingreso total ( ) ( )

De la introducción del ejercicio, teníamos que la función de costo era:

( )⏟

( ) ⏟

⏟

Sustituyendo los datos del enunciado,


( )

c) Encontrar la función de utilidad…

Partimos de la ecuación general,

( )⏟

( )⏟

( )⏟

Sustituimos las ecuaciones que encontramos en los puntos anteriores:

( ) ( )

( )

( )

⏟

⏟

Observación: En realidad, los precios son $/u, precio por unidad, aunque se suele omitir.

Para conocer la utilidad de 2.000 unidades solo hace falta reemplazar en la ecuación,

( )

d) ¿Cuántas unidades…

Lo que dice el enunciado es que la utilidad tiene que ser mayor a $60.000,

( )

Utilizamos la ecuación que obtuvimos en el punto anterior,

Se deben vender más de 2.500 unidades.


Función cuadrática:

Como introducción teórica para realizar los ejercicios de función cuadrática…

La función cuadrática es la función que tiene máximo exponente en la variable

independiente. Necesitamos saber dos cosas:

La forma polinómica de una ecuación cuadrática es ;

Si el coeficiente es positivo, las ramas de la parábola (el gráfico de la función) van

hacia arriba;

Si el coeficiente es positivo, las ramas de la parábola (el gráfico de la función) van

hacia abajo.

i) ( ) ( ) ii) ( ) ( )

iii) ( )

( ) iv) ( ) ( )

Ejercicio 17: En cada caso, trazar el gráfico…


v) ( ) ( ) vi) ( ) ( )

vii) ( )

( ) viii) ( ) ( )

i)

Conjunto de positividad: ( )⋃( ))

Conjunto de negatividad: ( )

Intervalo de crecimiento: ( )

Intervalo de decrecimiento:

( )

Extremo: Mínimo en de valor

Ejercicio 18: Hallar los conjuntos de positividad…


ii)

iii)

iv)

Este ejercicio se puede resolver tanta analítica como gráficamente, vamos a

aprovechar que ya graficamos las funciones en el ejercicio 17.

Conjunto de positividad: ( )

Conjunto de negatividad: ( ) ⋃( )



( )

Extremo: Máximo en de valor 1

Conjunto de positividad:

Conjunto de negatividad:



( )

Extremo: Mínimo en de valor

Conjunto de positividad:

Conjunto de negatividad: { }



( )

Extremo: Máximo en de valor



( )

Ejercicio 19: En las funciones del ejercicio 17…


Extremo: Mínimo de valor cuando

Comportamiento: Cuando y a , ( )



( )





( )





( )

Extremo: Mínimo de valor 1 cuando




( )

Extremo: Máximo de valor cuando



Fórmula resolvente: √

Esta ecuación nos permite hallar la solución a una ecuación del tipo .

Al término se lo llama discriminante y se lo simboliza con .



( )

Extremo: Máximo de valor 2 cuando




( )

Extremo: Máximo de valor -1 cuando




( )

Extremo: Máximo de valor cuando


Ejercicio 20: Dada ( )…


Tenemos las siguientes opciones para el discriminante:

Si ⟹ hay dos soluciones;

Si ⟹ hay una solución;

Si ⟹ no hay solución (porque nos queda la raíz de un número negativo).

a) ( )

( )

ó

b) ( )

√

√( ) ( )

ó

c) ( )

√( )

Ejercicio 21: Dada ( ) …


√

No hay solución.

d) ( )

√( ) ( )

ó

e) ( ) +7

√ ( )

ó

f) ( )

ó


Referencias:

{ ∈ ( ) }

Tendremos dos opciones:

La solución será: ⋃ ( )

⟹

{ ∈ ( )( ) }

Tendremos dos

opciones:

La solución será: ⋃ ( )⋃( )

⟹ No hay supremo ni ínfimo.

{ ∈ }

El conjunto es el conjunto de negatividad de la

parábola definida por la ecuación

( )

Este conjunto es el intervalo ( )

⟹

{ ∈ }

Ínfimo

Supremo

( )

( )

⟹ ⟹ ( )

( ) ( )

( ) ( )

⟹ ⟹ ( ) ( )

Ejercicio 21: Hallar…


El conjunto es el conjunto de negatividad de la

parábola definida por la ecuación

( )

Este conjunto es el intervalo

⟹

Las funciones de las ganancias de los productores son:

{ ( )

( )

a) Graficar…

Como observamos en el gráfico, hay dos intersecciones, de las cuales una es

negativa. En nuestro caso, la variable es la cantidad producida en miles de toneladas,

por lo que no tiene sentido considerarla.

b) ¿Para qué producción…

( ) ( )

Ejercicio 22: Cuando se produce una cantidad…


Utilizando la fórmula resolvente,

ó

Como dijimos en el punto anterior, el valor negativo no lo consideramos.

c) ¿Para qué prodecucción las…

Este se puede escribir como:

( ) ( )

( )

√ ó √

a) Expresar…

La función de demanda es ( )

El ingreso es el precio por las cantidades, por lo tanto, la función de ingreso se puede

calcular multiplicando la función de demanda por el precio.

( ) ( ) ( )

( )

Observar que hay valores negativos pero como sucedió con el ejercicio anterior, solo

tienen sentido los valores positivos de la demanda.

b) Calcular el nivel de producción semanal que maximiza…

Ejercicio 23: La función de demanda para el producto…


El valor máximo se ve claramente en el gráfico anterior, está entre las dos raíces:

Para ese valor de producción el nivel de ingreso es:

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

200 unidades

$120.000

Ejercicio 24: Representar gráficamente…


Denominador no nulo:

Recordar que no podemos dividir por cero, por lo tanto, siempre que tengamos una

función en forma de fracción, se debe incluir esta restricción que reduce el dominio. Dicho

de otra manera, si hay algo dividiendo, esto tiene que ser distinto de cero y eso nos

implica una cantidad de valores que la variable no puede tomar.

a) ( )

{ }

Hacia y , la función tiende a .

b) ( )

{ }

Igual que en el caso anterior, hacia y , la función tiende a .

c) ( ) |

|

{ }

Igual que en el caso anterior, hacia y , la función tiende a .

d) ( )

Ejercicio 25: Hallar el dominio…


{ }

Estamos frente a lo mismo de nuevo, tenemos que hallar los valores de que

hacen que el denominador sea nulo y excluirlos del dominio.

a) ( )

{ }

b) ( )

{ }

c) ( ) |

|

{ }

d) ( )

Ejercicio 26: Hallar el dominio…


{

}

e) ( )

y

{ }

f) ( )

Utilizando fórmula resolvente,

y

{ }

g) ( )

Utilizando la fórmula resolvente,

y

{

}


h) ( )

Aplicando la fórmula resolvente, se encuentra que no hay valores de para lo que el

denominador sea nulo.

i) ( )

y

{ }

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