conalep - analisis integral de funciones

7/23/2019 Conalep - Analisis Integral de Funciones

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M odelo Acadmico de Cali dad para l a Competiti vidad AING-02 1/89

I. Gua Pedaggica del MduloAnlisis integral de funciones


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Mod elo Ac admic o de Calid ad para la Com petitiv idadAING-02 2/89

Contenido Pg.

I. Gua pedaggica 11. Descripcin 32. Datos de identificacin de la norma 43. Generalidades pedaggicas 5

4. Enfoque del mdulo 135. Orientaciones didcticas y estrategias de aprendizaje por unidad 15

6. Prcticas/ejercicios/problemas/actividades 23

II. Gua de evaluacin 75

7. Descripcin 76

8. Matriz de ponderacin 80

9. Matriz de valoracin o rbrica 81


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Mod elo Ac admic o de Calid ad para la Com petitiv idad AING-02 3/89

1. Descripcin

La Gua Pedaggica es un documento que integra elementos tcnico-metodolgicos planteados de acuerdo con los principios y lineamientos delModelo Acadmico de Calidad para la Competitividad del Conalep para orientar la prctica educativa del Prestador de Servicios Profesionales (PSP)en el desarrollo de competencias previstas en los programas de estudio.

La finalidad que tiene esta gua es facilitar el aprendizaje de los alumnos, encauzar sus acciones y reflexiones y proporcionar situaciones en las quedesarrollar las competencias. El PSP debe asumir conscientemente un rol que facilite el proceso de aprendizaje, proponiendo y cuidando un encuadreque favorezca un ambiente seguro en el que los alumnos puedan aprender, tomar riesgos, equivocarse extrayendo de sus errores lecciones

significativas, apoyarse mutuamente, establecer relaciones positivas y de confianza, crear relaciones significativas con adultos a quienes respetan nopor su estatus como tal, sino como personas cuyo ejemplo, cercana y apoyo emocional es valioso.

Es necesario destacar que el desarrollo de la competencia se concreta en el aula, ya que formar con un enfoque en competencias significa crearexperiencias de aprendizaje para que los alumnos adquieran la capacidad de movilizar, de forma integral, recursos que se consideranindispensables para saber resolver problemas en diversas situaciones o contextos, e involucran las dimensiones cognitiva, afectiva ypsicomotora; por ello, los programas de estudio, describen las competencias a desarrollar, entendindolas como la combinacin integrada deconocimientos, habilidades, actitudes y valores que permiten el logro de un desempeo eficiente, autnomo, flexible y responsable del individuo ensituaciones especficas y en un contexto dado. En consecuencia, la competencia implica la comprensin y transferencia de los conocimientos asituaciones de la vida real; ello exige relacionar, integrar, interpretar, inventar, aplicar y transferir los saberes a la resolucin de problemas. Esto significaque el contenido, los medios de enseanza, las estrategias de aprendizaje, las formas de organizacin de la clase y la evaluacin seestructuran en funcin de la competencia a formar ; es decir, el nfasis en la proyeccin curricular est en lo que los alumnos tienen que aprender,en las formas en cmo lo hacen y en su aplicacin a situaciones de la vida cotidiana y profesional.

Considerando que el alumno est en el centro del proceso formativo, se busca acercarle elementos de apoyo que le muestren qu competencias va adesarrollar, cmo hacerlo y la forma en que se le evaluar. Es decir, mediante la gua pedaggica el alumno podr autogestionar su aprendizaje atravs del uso de estrategias flexibles y apropiadas que se transfieran y adopten a nuevas situaciones y contextos e ir dando seguimiento a sus avancesa travs de una autoevaluacin constante, como base para mejorar en el logro y desarrollo de las competencias indispensables para un crecimientoacadmico y personal.


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2. Datos de Identificacin de la Norma

Ttulo:

Unidad (es) de competencia laboral:1.

Cdigo: Nivel de competencia:


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3. Generalidades PedaggicasCon el propsito de difundir los criterios a considerar en la instrumentacin de la presente gua entre los docentes y personal acadmico de planteles yColegios Estatales, se describen algunas consideraciones respecto al desarrollo e intencin de las competencias expresadas en los mduloscorrespondientes a la formacin bsica, propedutica y profesional.

Los principios asociados a la concepcin constructivista del aprendizaje mantienen una estrecha relacin con los de la educacin basada encompetencias , la cual se ha concebido en el Colegio como el enfoque idneo para orientar la formacin ocupacional de los futuros profesionalestcnicos y profesionales tcnicos bachiller. Este enfoque constituye una de las opciones ms viables para lograr la vinculacin entre la educacin y elsector productivo de bienes y servicios.

En los programas de estudio se proponen una serie de contenidos que se considera conveniente abordar para obtener los Resultados de Aprendizajeestablecidos ; sin embargo, se busca que este planteamiento le d al prestador de servicios profesionales la posibilidad de desarrollarlos con mayorlibertad y creatividad .

En este sentido, se debe considerar que el papel que juegan el alumno y el prestador de servicios profesionales en el marco del Modelo Acadmico deCalidad para la Competitividad tenga, entre otras, las siguientes caractersticas:

El alumno: El prestador de servicios profesionales: Mejora su capacidad para resolver problemas.

Aprende a trabajar en grupo y comunica susideas.

Aprende a buscar informacin y a procesarla.

Construye su conocimiento.

Adopta una posicin crtica y autnoma.

Realiza los procesos de autoevaluacin ycoevaluacin.

Organiza su formacin continua a lo largo de su trayectoria profesional

Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje significativo

Planifica los procesos de enseanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque por competencias,y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y sociales amplios

Lleva a la prctica procesos de enseanza y de aprendizaje de manera efectiva, creativa einnovadora a su contexto institucional Evala los procesos de enseanza y de aprendizaje conun enfoque formativo Construye ambientes para el aprendizaje autnomo y colaborativoContribuye a la generacin de un ambiente que facilite el desarrollo sano e integral de losestudiantes

Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la gestin institucional


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En esta etapa se requiere una mejor y mayor organizacin acadmica que apoye en forma relativa la actividad del alumno, que en este caso es mucho

mayor que la del PSP; lo que no quiere decir que su labor sea menos importante. El PSP en lugar de transmitir vertical y unidireccionalmente losconocimientos, es un mediador del aprendizaje , ya que:

Planea y disea experiencias y actividades necesarias para la adquisicin de las competencias previstas. Asimismo, define los ambientes de aprendizaje,espacios y recursos adecuados para su logro.

Proporciona oportunidades de aprendizaje a los estudiantes apoyndose en metodologas y estrategias didcticas pertinentes a los Resultados de Aprendizaje.

Ayuda tambin al alumno a asumir un rol ms comprometido con su propio proceso, invitndole a tomar decisiones.

Facilita el aprender a pensar, fomentando un nivel ms profundo de conocimiento.

Ayuda en la creacin y desarrollo de grupos colaborativos entre los alumnos.

Gua permanentemente a los alumnos.

Motiva al alumno a poner en prctica sus ideas, animndole en sus exploraciones y proyectos.

Considerando la importancia de que el PSP planee y despliegue con libertad su experiencia y creatividad para el desarrollo de las competenciasconsideradas en los programas de estudio y especificadas en los Resultados de Aprendizaje, en las competencias de las Unidades de Aprendizaje, ascomo en la competencia del mdulo; podr proponer y utilizar todas las estrategias didcticas que considere necesarias para el logro de estosfines educativos, con la recomendacin de que fomente, preferentemente, las estrategias y tcnicas didcticas que se describen en este apartado.

Al respecto, entenderemos como estrategias didcticas los planes y actividades orientados a un desempeo exitoso de los resultados de aprendizaje,que incluyen estrategias de enseanza, estrategias de aprendizaje, mtodos y tcnicas didcticas, as como, acciones paralelas o alternativas que elPSP y los alumnos realizarn para obtener y verificar el logro de la competencia; bajo este tenor, la autoevaluacin debe ser considerada tambincomo una estrategia por excelencia para educar al alumno en la responsabilidad y para que aprenda a valorar, criticar y reflexionar sobre elproceso de enseanza y su aprendizaje individual .

Es as como la seleccin de estas estrategias debe orientarse hacia un enfoque constructivista del conocimiento y estar dirigidas a que los alumnos observen y estudien su entorno , con el fin de generar nuevos conocimientos en contextos reales y el desarrollo de las capacidades reflexivas ycrticas de los alumnos.


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Desde esta perspectiva, a continuacin se describen brevemente los tipos de aprendizaje que guiarn el diseo de las estrategias y las tcnicas que

debern emplearse para el desarrollo de las mismas:

TIPOS APRENDIZAJES.Significativo

Se fundamenta en una concepcin constructivista del aprendizaje, la cual se nutre de diversas concepciones asociadas al cognoscitivismo, como lateora psicogentica de Jean Piaget, el enfoque sociocultural de Vygotsky y la teora del aprendizaje significativo de Ausubel.

Dicha concepcin sostiene que el ser humano tiene la disposicin de aprender verdaderamente slo aquello a lo que le encuentra sentido en virtud

de que est vinculado con su entorno o con sus conocimientos previos. Con respecto al comportamiento del alumno, se espera que sean capaces dedesarrollar aprendizajes significativos, en una amplia gama de situaciones y circunstancias, lo cual equivale a aprender a aprender , ya que de ellodepende la construccin del conocimiento.

Colaborativo.

El aprendizaje colaborativo puede definirse como el conjunto de mtodos de instruccin o entrenamiento para uso en grupos, as como de estrategiaspara propiciar el desarrollo de habilidades mixtas (aprendizaje y desarrollo personal y social). En el aprendizaje colaborativo cada miembro del grupoes responsable de su propio aprendizaje, as como del de los restantes miembros del grupo (Johnson, 1993.)

Ms que una tcnica, el aprendizaje colaborativo es considerado una filosofa de interaccin y una forma personal de trabajo, que implica el manejo deaspectos tales como el respeto a las contribuciones y capacidades individuales de los miembros del grupo (Maldonado Prez, 2007). Lo que lodistingue de otro tipo de situaciones grupales, es el desarrollo de la interdependencia positiva entre los alumnos, es decir, de una toma de conciencia deque slo es posible lograr las metas individuales de aprendizaje si los dems compaeros del grupo tambin logran las suyas .

El aprendizaje colaborativo surge a travs de transacciones entre los alumnos, o entre el docente y los alumnos, en un proceso en el cual cambia laresponsabilidad del aprendizaje, del docente como experto, al alumno, y asume que el docente es tambin un sujeto que aprende. Lo ms importanteen la formacin de grupos de trabajo colaborativo es vigilar que los elementos bsicos estn claramente estructurados en cada sesin de trabajo. Slode esta manera se puede lograr que se produzca, tanto el esfuerzo colaborativo en el grupo, como una estrecha relacin entre la colaboracin y losresultados (Johnson & F. Johnson, 1997).


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Los elementos bsicos que deben estar presentes en los grupos de trabajo colaborativo para que ste sea efectivo son:

la interdependencia positiva. la responsabilidad individual. la interaccin promotora. el uso apropiado de destrezas sociales. el procesamiento del grupo.

Asimismo, el trabajo colaborativo se caracteriza principalmente por lo siguiente: Se desarrolla mediante acciones de cooperacin, responsabilidad, respeto y comunicacin , en forma sistemtica, entre los integrantes del grupo y

subgrupos.

Va ms all que slo el simple trabajo en equipo por parte de los alumnos. Bsicamente se puede orientar a que los alumnos intercambien informaciny trabajen en tareas hasta que todos sus miembros las han entendido y terminado, aprendiendo a travs de la colaboracin.

Se distingue por el desarrollo de una interdependencia positiva entre los alumnos , en donde se tome conciencia de que slo es posible lograr las metasindividuales de aprendizaje si los dems compaeros del grupo tambin logran las suyas.

Aunque en esencia esta estrategia promueve la actividad en pequeos grupos de trabajo, se debe cuidar en el planteamiento de las actividades que cadaintegrante obtenga una evidencia personal para poder integrarla a su portafolio de evidencias .

Aprend izaje Basado en Problemas.

Consiste en la presentacin de situaciones reales o simuladas que requieren la aplicacin del conocimiento, en las cuales el alumno debe analizar lasituacin y elegir o construir una o varias alternativas para su solucin (Daz Barriga Arceo, 2003). Es importante aplicar esta estrategia ya que las

competencias se adquieren en el proceso de solucin de problemas y en este sentido, el alumno aprende a solucionarlos cuando se enfrenta aproblemas de su vida cotidiana, a problemas vinculados con sus vivencias dentro del Colegio o con la profesin. Asimismo, el alumno se apropia de losconocimientos, habilidades y normas de comportamiento que le permiten la aplicacin creativa a nuevas situaciones sociales, profesionales o deaprendizaje, por lo que:

Se puede trabajar en forma individual o de grupos pequeos de alumnos que se renen a analizar y a resolver un problema seleccionado o diseadoespecialmente para el logro de ciertos resultados de aprendizaje.

Se debe presentar primero el problema, se identifican las necesidades de aprendizaje, se busca la informacin necesaria y finalmente se regresa alproblema con una solucin o se identifican problemas nuevos y se repite el ciclo.


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Los problemas deben estar diseados para motivar la bsqueda independiente de la informacin a travs de todos los medios disponibles para el alumno yadems generar discusin o controversia en el grupo.

El mismo diseo del problema debe estimular que los alumnos utilicen los aprendizajes previamente adquiridos.

El diseo del problema debe comprometer el inters de los alumnos para examinar de manera profunda los conceptos y objetivos que se quieren aprender.

El problema debe estar en relacin con los objetivos del programa de estudio y con problemas o situaciones de la vida diaria para que los alumnosencuentren mayor sentido en el trabajo que realizan.

Los problemas deben llevar a los alumnos a tomar decisiones o hacer juicios basados en hechos, informacin lgica y fundamentada, y obligarlos a justificar sus decisiones y razonamientos.

Se debe centrar en el alumno y no en el PSP.

TCNICAS

Mto do de p ro yec to s.

Es una tcnica didctica que incluye actividades que pueden requerir que los alumnos investiguen, construyan y analicen informacin que coincidacon los objetivos especficos de una tarea determinada en la que se organizan actividades desde una perspectiva experiencial , donde el alumnoaprende a travs de la prctica personal, activa y directa con el propsito de aclarar, reforzar y construir aprendizajes (Intel Educacin).

Para definir proyectos efectivos se debe considerar principalmente que:

Los alumnos son el centro del proceso de aprendizaje. Los proyectos se enfocan en resultados de aprendizaje acordes con los programas de estudio. Las preguntas orientadoras conducen la ejecucin de los proyectos. Los proyectos involucran mltiples tipos de evaluaciones continuas. El proyecto tiene conexiones con el mundo real. Los alumnos demuestran conocimiento a travs de un producto o desempeo. La tecnologa apoya y mejora el aprendizaje de los alumnos. Las destrezas de pensamiento son integrales al proyecto.

Para el presente mdulo se hacen las siguientes recomendaciones:


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Integrar varios mdulos mediante el mtodo de proyectos, lo cual es ideal para desarrollar un trabajo colaborativo.

En el planteamiento del proyecto, cuidar los siguientes aspectos: Establecer el alcance y la complejidad.

Determinar las metas.

Definir la duracin.

Determinar los recursos y apoyos.

Establecer preguntas gua. Las preguntas gua conducen a los alumnos hacia el logro de los objetivos del proyecto. La cantidad depreguntas gua es proporcional a la complejidad del proyecto.

Calendarizar y organizar las actividades y productos preliminares y definitivos necesarias para dar cumplimiento al proyecto.

Las actividades deben ayudar a responsabilizar a los alumnos de su propio aprendizaje y a aplicar competencias adquiridas en el saln de clase enproyectos reales , cuyo planteamiento se basa en un problema real e involucra distintas reas .

El proyecto debe implicar que los alumnos participen en un proceso de investigacin , en el que utilicen diferentes estrategias de estudio ; puedanparticipar en el proceso de planificacin del propio aprendizaje y les ayude a ser flexibles, reconocer al "otro" y comprender su propio entorno personal ycultural. As entonces se debe favorecer el desarrollo de estrategias de indagacin, interpretacin y presentacin del proceso seguido .

De acuerdo a algunos tericos, mediante el mtodo de proyectos los alumnos buscan soluciones a problemas no convencionales, cuando llevan a laprctica el hacer y depurar preguntas, debatir ideas, hacer predicciones, disear planes y/o experimentos, recolectar y analizar datos, establecerconclusiones, comunicar sus ideas y descubrimientos a otros, hacer nuevas preguntas, crear artefactos o propuestas muy concretas de orden social,cientfico, ambiental, etc.

En la gran mayora de los casos los proyectos se llevan a cabo fuera del saln de clase y, dependiendo de la orientacin del proyecto, en muchos de loscasos pueden interactuar con sus comunidades o permitirle uncontacto directo con las fuentes de informacin necesarias para el planteamiento desu trabajo. Estas experiencias en las que se ven involucrados hacen que aprendan a manejar y usar los recursos de los que di sponen como el tiempo y losmateriales.

Como medio de evaluacin se recomienda que todos los proyectos tengan una o ms presentaciones del avance para evaluar resultados relacionadoscon el proyecto.

Para conocer acerca del progreso de un proyecto se puede:

Pedir reportes del progreso.


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Presentaciones de avance,

Monitorear el trabajo individual o en grupos. Solicitar una bitcora en relacin con cada proyecto.

Calendarizar sesiones semanales de reflexin sobre avances en funcin de la revisin del plan de proyecto.

Estudio de casos.

El estudio de casos es una tcnica de enseanza en la que los alumnos aprenden sobre la base de experiencias y situaciones de la vida real , y sepermiten as, construir su propio aprendizaje en un contexto que los aproxima a su entorno. Esta tcnica se basa en la participacin activa y en procesoscolaborativos y democrticos de discusin de la situacin reflejada en el caso, por lo que:

Se deben representar situaciones problemticas diversas de la vida para que se estudien y analicen.

Se pretende que los alumnos generen soluciones validas para los posibles problemas de carcter complejo que se presenten en la realidad futura.

Se deben proponer datos concretos para reflexionar, analizar y discutir en grupo y encontrar posibles alternativas para la solucin del problema planteado.Guiar al alumno en la generacin de alternativas de solucin, le permite desarrollar la habilidad creativa, la capacidad de innovacin y representa un recursopara conectar la teora a la prctica real.

Debe permitir reflexionar y contrastar las propias conclusiones con las de otros, aceptarlas y expresar sugerencias.

El estudio de casos es pertinente usarlo cuando se pretende:

Analizar un problema.

Determinar un mtodo de anlisis.

Adquirir agilidad en determinar alternativas o cursos de accin.

Tomar decisiones.

Algunos tericos plantean las siguientes fases para el estudio de un caso:

Fase preliminar: Presentacin del caso a los participantes

Fase de eclosin: "Explosin" de opiniones, impresiones, juicios, posibles alternativas, etc., por parte de los participantes.


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Fase de anlisis: En esta fase es preciso llegar hasta la determinacin de aquellos hechos que son significativos. Se concluye esta fase cuando se haconseguido una sntesis aceptada por todos los miembros del grupo.

Fase de conceptualizacin: Es la formulacin de conceptos o de principios concretos de accin, aplicables en el caso actual y que permiten ser utilizadoso transferidos en una situacin parecida.

Interrogacin.

Consiste en llevar a los alumnos a la discusin y al anlisis de situaciones o informacin , con base en preguntas planteadas y formuladas por elPSP o por los mismos alumnos, con el fin de explorar las capacidades del pensamiento al activar sus procesos cognitivos; se recomienda integrar estatcnica de manera sistemtica y continua a las anteriormente descritas y al abordar cualquier tema del programa de estudio.

Participativo-vivenciales.

Son un conjunto de elementos didcticos, sobre todo los que exigen un grado considerable de involucramiento y participacin de todos losmiembros del grupo y que slo tienen como lmite el grado de imaginacin y creatividad del facilitador.

Los ejercicios vivenciales son una alternativa para llevar a cabo el proceso enseanza-aprendizaje, no slo porque facilitan la transmisin deconocimientos, sino porque adems permiten identificar y fomentar aspectos de liderazgo, motivacin, interaccin y comunicacin del grupo ,etc., los cuales son de vital importancia para la organizacin, desarrollo y control de un grupo de aprendizaje.

Los ejercicios vivenciales resultan ser una situacin planeada y estructurada de tal manera que representan una experiencia muy atractiva, divertida yhasta emocionante. El juego significa apartarse, salirse de lo rutinario y montono, para asumir un papel o personaje a travs del cual el individuo puedamanifestar lo que verdaderamente es o quisiera ser sin temor a la crtica, al rechazo o al ridculo.

El desarrollo de estas experiencias se encuentra determinado por los conocimientos, habilidades y actitudes que el grupo requiera revisar o analizar ypor sus propias vivencias y necesidades personales.


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4. Enfoque del Mdulo

Anlisis integral de funciones es un mdulo cuya organizacin curricular se encuentra dividida en dos unidades programticas que se enfocan a laadquisicin de competencias necesarias para llevar a cabo la determinacin del rea bajo una curva y volmenes de slidos de revolucin. En laprimera unidad se determinan magnitudes fsicas empleando diferentes tcnicas de integracin y calcula el rea en un intervalo cerrado en la grfica deuna funcin determinando el tamao de una regin bidimensional. En la segunda unidad determina el tamao de una regin acotada que se encuentraentre grficas de funciones, a partir de las ecuaciones que la representan y calcula el volumen de slidos de revolucin aplicando diferentes mtodosque permitan determinar el tamao de la regin tridimensional.

Con la finalidad de lograr la adquisicin de las competencias de este mdulo, los tipos de aprendizaje a travs de los cuales se abordar su contenidoson tanto de carcter cognitivo, ya que es imprescindible para la formacin del alumno el conocimiento e interpretacin de los conceptos asociados conel clculo integral, ejemplo cuando se abordan contenidos relacionados con las antiderivadas, la integral indefinida, clculo de reas y volmenes; yactitudinal cuando se fomenta y desarrolla en el alumno un conjunto de criterios ticos enfocados a la adquisicin de habilidades y actitudes dehonestidad e integridad profesional necesarias para desempearse en su mbito laboral.

Desde una ptica amplia, este mdulo pretende promover la comprensin reflexiva e interpretacin, ms que el mero conocimiento o aplicacinmemorstica de frmulas, denominaciones y procedimientos del clculo integral, lo cual llevar, a su vez al estudiante, a la adquisicin de habilidades ydestrezas necesarias para la resolucin de problemas en los diferentes campos de aplicacin. Por otra parte, se pretende tambin desarrollar

instrumentos que logren el aprendizaje de manejar las integrales definidas e indefinidas y clculo de reas y volmenes de slidos de revolucin, para lainterpretacin de modelos matemticos en el campo de la ingeniera, economa, biloga y problemas cotidianos, basndose en relaciones de confianza eintegridad profesional que debern fomentarse por el PSP a travs del desarrollo de diversas estrategias didcticas como las que se presentan en estagua.

El enfoque del mdulo de Anlisis integral de funciones torna necesaria, para el desarrollo de lo que se menciona en el prrafo anterior, la sugerenciade que el PSP considere como punto de partida lo que el alumno ya conoce o ha experimentado sobre la materia, considerando que el clculo integraldifcilmente dejan fuera a alguien en esta sociedad moderna y globalizada a la que pertenecemos, y recurra a dichos conocimientos previos, a fin de que


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motiven a su alumno a adquirir nuevas nociones y experiencias que integre de forma significativa a las estructuras que ya posee, ya sea a travs de lo

que l mismo descubra o infiera, o a travs del anlisis y reconstruccin de los planteamientos docentes. En lo que se refiere al aprendizaje deprocedimientos, este implica la consecucin del propsito del mdulo a travs de acciones secuenciadas que lleven gradualmente al alumno aldesarrollo de sus actividades, primeramente acadmicas y posteriormente profesionales, de manera segura, consciente y responsable.

Es importante subrayar asimismo que, adems de los aprendizajes cognitivo y procedimental tambin conocidos como saber saber y saber hacer

respectivamente, el PSP deber fortale cer el aprendizaje actitudinal el denominado saber ser. Para ello se le sugiere estar permanentementeconsciente del desarrollo explcito de competencias transversales como son las cvicas y ticas, a travs de la enseanza de valores y actitudes quefomenten el ejercicio honesto de la profesin; cientficas que desarrollen una actitud de bsqueda de nuevas soluciones a viejos y nuevos problemas apartir de la observacin sistemtica y objetiva del entorno; matemticas a travs del constante empleo del pensamiento lgico; tecnolgicas que lo lleven

al desempeo eficiente, autnomo y flexible de las herramientas informticas existentes para el desarrollo del Anlisis derivativo de funciones.

Resulta necesario resaltar, ya para concluir la explicacin sobre el enfoque se est dando a este mdulo de Anlisis integral de funciones , laimportancia que tiene el fomento de la atencin personalizada por parte del PSP hacia cada uno de sus alumnos con miras a optimizar sus procesosindividuales de aprendizaje, y a potencializar sus capacidades crticas y creativas al ritmo y posibilidades de cada persona; tanto como el desarrollo deaquellas modalidades grupales cooperativas o colaborativas basadas en la creacin de relaciones de sinergia y cohesin grupal que se fundan, a suvez, en el intercambio de informacin y en el logro de procesos de relacin interpersonal y de comunicacin que aporten mejoras a los interlocutoresque intervienen en ellos.


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5. Orientaciones didcticas y estrategias deaprendizaje por unidad

Unidad I Determinacin de la integral indefinida

Orientaciones DidcticasBrindar una formacin de calidad y con equidad en donde se promueva la participacin plena de los sujetos en el mundo del trabajo, el estudio y laconvivencia acompaando sus procesos de reconocimiento y adquisicin de saberes y habilidades, procurando remover inequidades que se originanen visiones estereotipadas sobre el papel que juegan las distintas personas segn su sexo, origen, situacin social, conocimientos, etc.

En esta primera unidad, el primer resultado de aprendizaje correspondiente a la determinacin de la integral indefinida, se encuentra orientada acalcular antiderivadas e integrales indefinidas, de modo que se utilicen frmulas o reglas para la determinacin de integrales indefinidas para funcionesalgebraicas, trigonomtricas, logartmicas y exponenciales. De manera que en el clculo de integrales en el segundo resultado de la unidad deaprendizaje podemos aplicar tcnicas como: el cambio de variable o sustitucin, integracin por partes, fracciones parciales, solucin por tablas ymtodos trigonomtricos. Las integrales indefinidas de funciones sustentan diversas aplicaciones del clculo. Ello se realiza con el fin de que el alumnoest en posibilidades de Interpretar geomtricamente la integral indefinida como una antiderivada de una funcin, aplicando mtodos y frmulas para suobtencin. El desarrollo de esta unidad proporcionar al alumno elementos bsicos que le permitan tener continuidad de cursos anteriores como Anlisisdiferencial de funciones y desarrollar a fondo en temas avanzados, actividades en cursos subsecuentes y, por eso se propone que el PSP lleve a cabolo siguiente:

Precisa los contenidos y propsitos de esta unidad renovando la motivacin con que cuenta el alumno para realizarlos en conjunto con los detodo el mdulo

Analiza con sus alumnos, las implicaciones y alcances del programa del mdulo, a travs de las tcnicas de dinmica grupal de encuadre, con

el fin de precisar aquellas formas de trabajar, responsabilidades y compromisos de los integrantes del grupo que dirijan al logro tanto delpropsito del mdulo, como de los objetivos generales de la carrera.Organiza sistemticamente la informacin que se ha de manejar y procesar para su aprendizaje. Efectuando explcitamente la vinculacin deesta unidad tanto con la que la precede en cursos anteriores, como con la que la sigue a fin de que el alumno valore su importancia acadmica ycurricular.Promueve la elaboracin de ejercicios relacionados con el manejo de integrales indefinidas aplicando teoremas, frmulas y mtodos deintegracin, el clculo de reas y la solucin de modelos matemticos en problemas diversos de diferentes campos de la ciencia, con eldesarrollo general de los contenidos de la unidad, tanto de forma individual como en grupo, favoreciendo su anlisis, co-evaluacin yretroalimentacin grupal en ambos casos.


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Subraya la importancia que tiene la presencia del alumno en cada clase, su participacin para el enriquecimiento del aprendizaje de todo el

grupo y la asignacin de tareas y actividades intra y extramuros, con el fin de incentivar en l su cumplimiento voluntario y oportuno.El primer resultado de aprendizaje fortalece la reflexin y el razonamiento como elementos precedentes a la aplicacin de cualquier frmula delclculo de integrales indefinidas de funciones algebraicas, trigonomtricas y trascendentales.Promueve una dinmica grupal colaborativa y cooperativa a travs de la realizacin de las tcnicas didcticas y de aprendizajecorrespondientes, durante el transcurso de cada sesin para favorecer un clima que fomente el intercambio constructivo de ideasFacilita el proceso de homogeneizacin de las capacidades lgico-matemticas del grupo con la finalidad de que sus alumnos logren identificarlas propiedades generales en el clculo de integrales indefinidas para el desarrollo de esta unidad.Efecta el cierre de ciclos de aprendizaje no solamente al concluir cada tema o subtema, sino de cada sesin de clase, co n la finalidad de lograrun proceso lgico de enseanza-aprendizaje, en el que el alumno pueda apreciar tanto sus logros cotidianos y la importancia de su esfuerzo yconstancia, como la importancia de la afirmacin de sus capacidades para dar paso a la adquisicin de nuevas competencias.El segundo resultado de aprendizaje est directamente relacionado con el anterior, por lo que resulta indispensable fortalecer en el alumno losmtodos y tcnicas para el clculo de integrales de funciones algebraicas, trigonomtricas y trascendentales.Este resultado de aprendizaje, se encuentra estrechamente vinculado con el anterior, y para lograrlo se sugiere que el PSP recupere losconceptos construidos conjuntamente con sus alumnos en lo que se refiere al clculo de integrales de funciones, de forma tal que plantee a susalumnos problemas relacionados con las integrales indefinidas de funciones, recurriendo a ejercicios que se integran en esta gua pedaggica yde evaluacin.

Se sugiere promover las siguientes competencias genricas:Expresa ideas y conceptos mediante representaciones matemticas y grficas.Maneja las tecnologas de la informacin y comunicacin para procesar e interpretar informacin.Sigue instrucciones y procedimientos de manera reflexiva, comprendiendo como cada uno de sus pasos contribuye a la solucin de problemas.Identifica las actividades que le resultan de menor y mayor inters y dificultad, reconociendo y controlando sus reacciones frente a retos yobstculos.Propone maneras de solucionar un problema.

Estrategias de Aprendizaje Recursos Acadmicos Realizar el ejercicio nmero 1: Diferenciales de una funcin, aproximaciones y estimacin deerrores Analizar el concepto de diferencial en diferentes situaciones, a partir de informacin obtenida

Purcell, Edwin J., Varberg, Dale, Rigdon, StevenE. Clculo diferencial e integral. Mxico, EditorialPearson Educacin, 2007


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por internet o bibliografa, en equipo.

Representar grficamente la diferencial de una funcin, a partir de la definicin. Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet acerca de las reglas de diferenciacin. Resolver ejercicios de diferenciacin utilizando las reglas. Resolver problemas de diferencial de una funcin aplicando las reglas. Aplicar las diferenciales para encontrar aproximaciones en el error en problemas geomtricos. Realizar el ejercicio nmero 2: Integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a lafrontera dados en situaciones contextuales. Realizar una investigacin bibliogrfica o en Internet acerca del concepto de antiderivada deuna funcin. Obtener la familia de antiderivadas de una funcin a partir de la regla de antiderivacin parapotencias. Resolver ejercicios de antiderivadas de una funcin a partir de la regla de potencias. Obtener antiderivadas especficas a partir de valores a la frontera dados. Aplicar antiderivadas en situaciones contextuales, determinando distancias, velocidades,aceleraciones y costos de produccin. Realizar una investigacin bibliogrfica acerca de la definicin de integral indefinida,exponiendo la definicin ante el grupo. Realizar el ejercicio nmero 3: Integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a lafrontera dados en situaciones contextuales. Realizar la actividad de evaluacin 1.1.1 Realizar el ejercicio nmero 4: Integracin de funciones algebraicas, aplicando el mtodo decambio de variable Resolver problemas de integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a la frontera dados

en situaciones contextuales. Realizar el ejercicio nmero 5: Integracin de funciones trigonomtricas y trascendentales,aplicando el mtodo de cambio de variable Realizar el ejercicio nmero 6: Integracin de funciones trigonomtricas inversas, aplicando elmtodo de cambio de variable Resolver ejercicios de integrales para funciones trigonomtricas aplicando el mtodo de cambiode variable, utilizando la tabla de integrales para las funciones: senx, cosx, sec 2x, secxtanx,cscxcotx, csc2x, secx, cscx y tanx. Resolver problemas de integrales para funciones trigonomtricas aplicando el mtodo decambio de variable, utilizando la tabla de integrales para las funciones: senx, cosx, sec 2x,

INITE Clculo integral Ediciones Instituto

Internacional de Investigacin de TecnologaEducativa S. C. , Edicin Mxico, 2010.

http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.html

http://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.html

http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.html

http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Metodos.htm http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integra

cion/ http://notascalculointegral.blogspot.com/
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Metodos.htmhttp://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Metodos.htmhttp://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://notascalculointegral.blogspot.com/http://notascalculointegral.blogspot.com/http://notascalculointegral.blogspot.com/http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://www.dma.fi.upm.es/java/calculo/integracion/http://www.fca.unl.edu.ar/Intdef/Metodos.htmhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/integral_indefinida/html/node11.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://www.hiru.com/es/matematika/matematika_04800.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.htmlhttp://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/Problemas/54-1-p-Integral.html


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secxtanx, cscxcotx, csc 2x, secx, cscx y tanx.

Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet acerca de la grfica y propiedades de lasfunciones exponenciales y logartmicas. Resolver ejercicios de integracin de funciones exponenciales y logartmicas, aplicando elmtodo de cambio de variable y tablas integrales para su solucin. Resolver ejercicios de integracin de funciones trigonomtricas inversas, aplicando el mtodode cambio de variable y tablas integrales para su solucin. Realizar el ejercicio nmero 7: Integracin de funciones, aplicando el mtodo de integracinpor partes Calcular integrales de funciones aplicando el mtodo de integracin por partes. Resolver problemas de integracin de funciones utilizando la frmula de integracin por partes. Realizar el ejercicio nmero 8: Integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo defracciones parciales Calcular integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fracciones parciales, quecontengan factores lineales distintos, lineales repetidos, cuadrticos distintos y repetidos. Resolver problemas de integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fraccionesparciales, que contengan factores lineales distintos, lineales repetidos, cuadrticos distintos yrepetidos Realizar el ejercicio nmero 9: Integracin de potencias de funciones trigonomtricas,aplicando identidades Calcular integrales por el mtodo de integracin de potencias de funciones trigonomtricas y laaplicacin de identidades, para los integrandos: sen nx, cosnx, senmxcosnx, tanmxsecnx. Realizar el ejercicio nmero 10: integrales de funciones algebraicas que contienen en suintegrando radicales, aplicando el mtodo de sustitucin trigonomtrica Resolver ejercicios de integrales de funciones algebraicas que contienen en su integrandoradicales de la forma: aplicando el mtodo de sustitucintrigonomtrica. Realizar el ejercicio nmero 11: Integrales de funciones algebraicas que contienen expresionescuadrticas Realizar el ejercicio nmero 12: integrales de funciones algebraicas y trigonomtricas,aplicando sustituciones diversas Realizar la actividad de evaluacin 1.2.1 Realizar el ejercicio nmero 13: ecuaciones diferenciales


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Unidad II Determinacin de la integral definida

Orientaciones DidcticasLa unidad correspondiente a la Determinacin de la integral definida est orientada al clculo de el tamao de regiones acotadas que se encuentranentre grficas de funciones a partir de las ecuaciones que las representan y el clculo de volmenes de slidos de revolucin aplicando diferentesmtodos que permita determinar la medida de la regin tridimensional. Se identifican los elementos bsicos en clculo de reas de regiones acotadas yvolmenes por slidos de revolucin. Ello se realiza con el fin de que el alumno est en posibilidades de determinar e Interpretar modelos matemticos,mediante el clculo de reas y volmenes generados por revolucin. Se propone que el PSP lleve a cabo lo siguiente:

Analiza con sus alumnos, las implicaciones y alcances del programa del mdulo, a travs de las tcnicas de dinmica grupal de encuadre, conel fin de precisar aquellas formas de trabajar, responsabilidades y compromisos de los integrantes del grupo que dirijan al logro tanto delpropsito del mdulo, como de los objetivos generales de la carrera.Promueve una dinmica grupal colaborativa y cooperativa a travs de la realizacin de las tcnicas didcticas y de aprendizajecorrespondientes, durante el transcurso de cada sesin para favorecer un clima que fomente el intercambio constructivo de ideas.El primer resultado de aprendizaje de esta unidad demuestra el teorema fundamental del clculo para evaluar integrales definidas aplicandopropiedades y mtodos diversos, algunos de estos que se vern son : integrales definidas directas, por cambio de variable, por partes,fracciones parciales y tablas de integracinEfecta el cierre de ciclos de aprendizaje no solamente al concluir cada tema o subtema, sino de cada sesin de clase, con la finalidad de lograrun proceso lgico de enseanza-aprendizaje, en el que el alumno pueda apreciar tanto sus logros cotidianos y la importancia de su esfuerzo yconstancia, como la importancia de la afirmacin de sus capacidades para dar paso a la adquisicin de nuevas competencias.Para lograr el segundo resultado de aprendizaje relacionado con el clculo de reas mediante integrales definidas mediante mtodos deintegracin, se sugiere al PSP retomar y fortalecer las competencias transversales mencionadas para el caso del resultado de aprendizajeanterior, en el sentido de facilitar que sus alumnos empleen el pensamiento lgico para determinar las caractersticas que tipifican a una funciny comprender la importancia , con la finalidad de explotarlo de manera ms eficaz aplicndolo en funcin de los requerimientos propios y delusuario potencial de sus servicios profesionalesEste resultado de aprendizaje, se encuentra estrechamente vinculado con el anterior, y para lograrlo se sugiere que el PSP recupere losconceptos construidos conjuntamente con sus alumnos.Un importante auxiliar para el logro de aprendizajes significativos en este sentido, es transferir el mero concepto construido a sus aplicacionesprcticas en el entorno, presente en la comunidad del alumno, es decir, fomentar la observacin del comportamiento de la grfica de una funciny la forma como se puede determinar su rea y a partir de este concepto, la determinacin de volmenes de revolucin en problemas de la vidacotidiana.


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Realizar el ejercicio nmero 15: integrales definidas aplicando las propiedades y el

teorema fundament al de clculo Utilizar el teorema fundamental del clculo para evaluar integrales definidas. Realizar el ejercicio nmero 16: integrales definidas de funciones algebraicas,trigonomtricas y trascendentales, aplicando el mtodo de cambio de variable Calcular el valor promedio de funciones algebraicas, trigonomtricas y trascendentales enintervalos dados. Resolver ejercicios de integrales definidas de funciones algebraicas, trigonomtricas ytrascendentales, aplicando el mtodo de cambio de variable. Realizar la actividad de evaluacin 2.1.1 Realizar el ejercicio nmero 17: determinacin del rea comprendida entre grficas defunciones Determinar el rea de la regin comprendida entre la grfica de dos funciones sobre el eje

de las x, aplicando la frmula para su solucin. Dibujar el rea comprendida entre la grfica de dos funciones, a partir de sus ecuaciones. Determinar el rea de la regin comprendida entre la grfica de tres funciones sobre el eje

de las y, aplicando la frmula para su solucin. Dibujar el rea comprendida entre la grfica de tres funciones, a partir de sus ecuaciones. Dibujar las grficas que determinan el rea de la regin, usando calculadora o programas

de cmputo como Mathematica Realizar el ejercicio nmero 18: clculo de volmenes de slidos de revolucin a partir de

la funcin dada Calcular el volumen del slido generado al girar la regin bajo la grfica de una funcin

entre lmites, alrededor del eje x, usando la frmula de solucin: [ ] . Calcular el volumen del slido resultante de la regin acotada por el eje y la funcin dada,al gira alrededor del eje y, usando la frmula de solucin. Calcular el volumen del slido resultante, acotada por las grficas de funciones, alrededor

del eje x, aplicando el mtodo de las arandelas {[ ] [ ]} . Calcular el volumen del slido resultante, acotada por las grficas de funciones, alrededor

del eje y, aplicando el mtodo de las arandelas {[ ] [ ]} Realizar el ejercicio nmero 19: clculo de volmenes en la aplicacin del trabajo y la ley

de Hooke Realizar una investigacin bibliogrfica o en internet y escribir en un cuadro la definicin de

http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRa

zon.pdf http://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htm

http://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_ top

http://canek.uam.mx/Calculo1/SCalculo1.htm http://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferH

TML/diferencial.htm http://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-

linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.html

http://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.html http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaci

ones_derivada/max_min_2.htm
http://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdfhttp://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdfhttp://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdfhttp://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdfhttp://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdfhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://canek.uam.mx/Calculo1/SCalculo1.htmhttp://canek.uam.mx/Calculo1/SCalculo1.htmhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.htmlhttp://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.htmlhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/aplicaciones_derivada/max_min_2.htmhttp://www.dervor.com/derivadas/maximos_mimimos.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.cidse.itcr.ac.cr/cursos-linea/CALCULODIFERENCIAL/curso-elsie/derivadafuncion/html/node11.htmlhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://www.mat.uson.mx/eduardo/calculo2/soldifer/soldiferHTML/diferencial.htmhttp://canek.uam.mx/Calculo1/SCalculo1.htmhttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://carmesimatematic.webcindario.com/optimacion.htm#_tophttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://actividadesinfor.webcindario.com/derivadasaplicaciones.htmhttp://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdfhttp://www.mat.uson.mx/~jldiaz/Documents/Derivadas/FTRazon.pdf


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trabajo, la ley de Hooke y sus aplicaciones, exponiendo ante el grupo.

Calcular el trabajo realizado al estirar un resorte aplicando integrales definidas. Determinar el trabajo realizado al bombear el agua para que salga por la parte de arriba deun tanque aplicando clculo de volmenes.

Realizar la actividad de evaluacin 2.2.1


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6. Prcticas/Ejercicios

/Problemas/Actividades

LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN.

Ejercicio 1. Determina la diferencial dy de la funcin CONSIDERACIONES:Deriva la funcin aplicando las frmulas correspondientes para cada trmino

Aplica la frmula dx

APROXIMACIONES.

Ejercicio 2 . Sea + 5x+2. Encuentra a) dy; b) el valor de dy para x=2 y CONSIDERACIONES:

Calcula la diferencial de rea dy=ydx

Sustituye el valor de ySustituye el valor de x=2 y dy=

Ejercicio 3 . Utiliza diferenciales para aproximar el aumento de la superficie del rea de un globo esfrico, cuando su radio aumenta de 3.5 a 3.503 cm.CONSIDERACIONES:

Aplica la frmula de la superficie de la esferaCalcula la diferencial de rea dA=Adr Sustituye el valor de r y la diferencial del radio dr=3.503-3.5

Nombre del Alumno: Grupo:

Unidad de Aprendizaje 1: Determinacin de la integral Indefinida

Resultado de Aprendizaje: 1.1 Clculo de anti derivadas mediante frmulas inmediatas de integracin.

Ejercicio nmero. 1 Diferenciales de una funcin, aproximaciones y estimacin de errores


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ESTIMACIN DE ERRORES

Ejercicio 4 . En la lnea de produccin de una fbrica se mide el radio de una pieza esfrica de acero que debe de medir 0.5 pulgadas, con un posibleerror de medicin de 0.01 pulgada. Encuentra el volumen de la pieza y una estimacin del error en el volumen.CONSIDERACIONES:

Aplica la frmula para el volumen de una esfera Calcula la diferencial de volumen Sustituye el valor de de r = 0.5 pulgadas y dr = 0.01 pulgadas para determinar el error de volumen. Calcula el volumen utilizando su frmula y el valor del radio.

LA DIFERENCIAL DE UNA FUNCIN.

Problema 1. Resuelva los siguientes problemas utilizando diferenciales para su solucin. Encuentra el diferencial dy. Para la funcin en cada caso.

a) 324 2 x x y

b))9(

)3(2

x

x y

c) x x y 49 4

d) 242 x x y

e)3

4 3 6

x

x y

f)2)1(

1

x y

Problema 2. Resuelve los siguientes problemas usando diferenciales:a) Se midi el lado de un cuadrado y se encontr que es de 5 cm., con un posible error de medicin de 0.01 cm. Usa diferenciales para

encontrar una aproximacin en el error del rea del cuadrado.b) Usa diferenciales para aproximar el aumento en el volumen de un cubo si sus lados aumentan de 7 cm. a 7.2 cm.

log10

g)

h) tan2 j)

k)

l)


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c) Un cliente de un fabricante de latas cilndricas que miden 10 cm. de largo y 4 cm. de radio est pidiendo aumentar el radio en 0.5 cm. Usandodiferenciales encuentra una aproximacin para el aumento del volumen de la lata

d) Un domo esfrico tiene un radio de 110 metros con un error de medicin de 2 cm., usando diferenciales encuentra el error en el reasuperficial del domo. (Para este problema necesitas el rea superficial de la semi-esfera).

e) Se construy una alberca de 25 metros de largo por 10 metros de ancho y 1.6 metros de profundidad, si en la construccin se cometi un error yla alberca mide 10.5 metros de ancho. Usando diferenciales encuentra el aumento en el volumen de la alberca. Cuntos litros adicionales deagua sern necesarios para llenarla?

f) Utiliza diferenciales para estimar la cantidad de pintura que se requiere utilizar para pintar un cuarto cuadrado que mide 3 metros de cada lado.Se desea aplicar una capa de pintura con un espesor de 0.02 cm. en las paredes, piso y techo. Cuntos litros de pintura se requieren?

g) Una pieza esfrica debe de medir 4 cm. de radio con un error mximo de 0.1 mm. Aproxima el error aproximado en el volumen.h) Un tanque cilndrico de 5 m. de altura y 3 m. de dimetro, est lleno de agua hasta una profundidad de 4.5 m. Por accidente cae una piedra que

tiene un volumen de 0.8 m 3. Se derramar el agua del tanque?i) Un fabricante produce latas cilndricas de aluminio de 5 cm. de altura y 2 cm. de radio. Si al fabricar un pedido se comete un error y las latas

tienen 5.05 cm. de altura. Calcula el error en el volumen de la lata.

Problema 3 En cada uno de las siguientes figuras dibuja los diferenciales que se te piden:

ya) dx, dy y dA c) dx y dV

x x

b) dr d) dh, dr y dV y


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Ejercicio nmero. 2 Integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a la frontera dados en situaciones contextuales. ANTIDERIVADAS

Ejercicio 1: Encuentra la antiderivada ms general para la funcin: f(x)= 3 CONSIDERACIONES:

Expresa la funcin como f(x)= 3x2/3

Toma como a=3 y n=2/3 Aplica la regla de antiderivacin para las potencias 1 1

Ejercicio 2: Encuentra la antiderivada ms general para la funcin: CONSIDERACIONES:

Aplica la regla de antiderivacin para las potencias para cada termino 1 1 La suma de las constantes es igual a una sola constante.

Ejercicio 3. Resuelva la ecuacin diferencial con el valor de frontera 2 CONSIDERACIONES:

Aplica la regla de antiderivacin para las potencias 1 1 para determinar f(x)Sustituye los valores a la frontera dados para x=0 y f(x)=2 y despeja el valor de la constante C.Sustituye el valor de C en la funcin f(x), determinando la solucin f de la ecuacin diferencial.

LA INTEGRAL INDEFINIDA

Ejercicio 4. Calcula la integral indefinida CONSIDERACIONES:

Separa integrales aplicando el teorema: [ ]


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Aplica el teorema para cada termino Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

11 para cada trmino

Ejercicio 5. Calcula la integral indefinida CONSIDERACIONES:

Desarrolla el binomioSepara integrales aplicando el teorema: [ ]

Aplica el teorema para cada termino Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 para cada trmino

Ejercicio 6. Un punto se mueve en lnea recta de tal manera que 2 . Encuentra suponiendo que las condiciones inciales son

.

CONSIDERACIONES:

Partiendo de , entonces sustituimos la funcin aceleracin, obteniendo la ecuacin diferencialIntegras la ecuacin anterior para determinar la funcin velocidad general

Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 para cada trminoSustituye los valores a la frontera para x=0 y v(t)=8 y despejamos la constante CSustituimos el valor de C en la funcin velocidad.Partiendo de , entonces sustituimos la funcin velocidad, obteniendo la ecuacin diferencialIntegra la ecuacin anterior para determinar la funcin de posicin general.

Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1

1 para cada terminoSustituye los valores a la frontera para x=0 y s(t)=15 y despejamos la constante CSustituimos el valor de C en la funcin de posicin s(t).Determinndose la posicin de la partcula en cualquier instante de tiempo.


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Ejercicio 6. Una piedra se lanza verticalmente hacia arriba desde una altura de 144 pies sobre el suelo con una velocidad de 96 pies/seg. Despreciandoel efecto de la friccin del aire, encuentre:

a) La altura de la piedra t segundos despus.b) El tiempo en alcanzar la altura mxima la piedra.c) La altura mxima.d) El tiempo de choque con el suelo.e) La velocidad con la que choca con el suelo

CONSIDERACIONES:

Las condiciones iniciales son: posicin en el tiempo cero pies s 1440 , velocidad inicial en el tiempo cero seg

piesv 960 y la aceleracin de

la gravedad en sentido contrario al movimiento de la piedra g= 2/32 s piest a Partiendo de , entonces sustituimos la funcin aceleracin, obteniendo la ecuacin diferencialIntegramos la ecuacin anterior aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 para cada termino paradeterminar la funcin velocidad generalSustituye los valores a la frontera para x=0 y v(t)=96 y despejamos la constante CSustituimos el valor de C en la funcin velocidad.Partiendo de , entonces sustituimos la funcin velocidad, obteniendo la ecuacin diferencial

Integra la ecuacin anterior para determinar la funcin de posicin general.Sustituye los valores a la frontera para x=0 y s(t)=144 y despejamos la constante CSustituimos el valor de C en la funcin de posicin s (t).Determinndose la posicin de la partcula en cualquier instante de tiempo, en este casola posicin representa la altura de la piedra en cualquier instante.La altura mxima se alcanza cuando la piedra se detiene y comienza a descender, es decir, cuando la velocidad es cero: v(t)=0Iguala a cero la funcin velocidad y despejar el tiempo para determinar el momento en que alcanza su altura mximaSustituir el tiempo en la funcin posicin, para determinar la altura mxima.Cuando la piedra toca el suelo s(t)=0.Iguala a cero la funcin posicin y resolver la ecuacin de segundo grado resultante, determinando eltiempo de choque.Sustituir el tiempo de choque en la funcin velocidad, para determinar su velocidad de choque.


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Ejercicio 6 . Una empresa sabe que el costo marginal asociado a la produccin de x unidades de cierto artculo est dado por 30-0.02x (pesos).Suponiendo que el costo por producir una unidad es de 35$, encuentre la funcin de costo y el costo por producir 100 u nidades.

CONSIDERACIONES.

Partiendo que el costo marginal es la derivada de la funcin costo C: , entonces sustituimos la funcin costo marginal,obteniendo la ecuacin diferencial.Integra la ecuacin anterior para determinar la funcin costo C.Sustituye los valores a la frontera para x=1 y C(x)=35 y despejamos la constante KSustituimos el valor de K en la funcin costo y calculamos el costo para producir 100 unidades.


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Problema nmero 3 Integrales indefinidas a partir de la funcin y valores a la frontera dados en s ituaciones contextuales. ANTIDERIVADAS

Problema 1 .Encuentra la antiderivada ms general de las siguientes funciones:

1.- 2.-

3.- 2 4.- 5.- 1 6.- 7.- ( )

Problema 2 . Encuentra la antiderivada especfica utilizando la condicin a la frontera dadas:

a) 34)(

x x f , considera que F(0)=2 b) 26)( 2 x x

x x g , considera que G (4)=1

c) 3 72)( x xh , considera que H (1)=0 d) 2/52 26)( x x x x g , considera que G(0)=1

8.- 1

9.- ( ) 6 10.- 11.- 2 1 12.- 1

13.-

2

2

14.- 2 15.- 8

16.-

17.- 25 18.-


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e)2

2 3

2)(

x x

x x f , considera que F (0)=1


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Resultado de Aprendizaje: 1.2 Resuelve integrales indefinidas mediante mtodos de integracin.

Ejercicio nmero. 4 Integracin de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de cambio de variable

INTEGRACIN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS.

Ejercicio 1. Calcula la integral dxx12x 273 aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:Elige como u la cantidad que est elevada a la potencia. 12 3 xu

Calcula la diferencial de u. (du).Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 1 .Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u

Ejercicio 2. Calcula la integral dxx12x 273 aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES: Elige como u la cantidad que est elevada a la potencia.

Calcula la diferencial de u. (du).Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 1 .Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u


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Ejercicio 3. Calcula la integral dx15x

3aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES: cambia la raz como una potenciaElige como u la cantidad que est elevada a la potencia.Calcula la diferencial de u. (du).Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 1 .Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

OTROS CAMBIOS DE VARIABLE

Ejercicio 4. Calcula la integral dx4x

x aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:Elige como u el radical 4xu Despeja x.Calcula la diferencial de x. (dx)Sustituye x, dx y el radical, de tal forma que la integral quede en funcin de la variable u.Realiza operaciones algebraicas para que la integral se simplifiqueSepara integrales aplicando el teorema: [ ]

Aplica el teorema para cada trmino Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas

1

11 .para cada trmino.

Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 5. Calcula la integral dx1xx aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Elige como u el radical 1xu Despeja x.Calcula la diferencial de x. (dx)Sustituye x, dx y el radical, de tal forma que la integral quede en funcin de la variable u.


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Realiza operaciones algebraicas para que la integral se simplifiqueSepara integrales aplicando el teorema:

[ ]

Aplica el teorema para cada termino Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 1 .para cada trmino. Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

PROBLEMAS INTEGRACIN DE FUNCIONES ALGEBRAICAS

1.- 2.- 2 3.-

4.- 5.- 6.- 7.- 1 8.-

5

9.- ( )

10.- 1 1 11.- 12.- 5 dx13.- 6 14.- 15.- 1 ( 1)

16.-


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Ejercicio nmero 5 Integracin de funciones trigonomtricas y trascendentales, aplicando el mtodo de cambio de variable

CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Ejercicio 1. Calcula la integral dx x x 2cos aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Elige como u el argumento del coseno2

u x Calcula la diferencial de u. (du)Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la frmula Cusenduucos Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 2. Calcula la integral dxxcosxxsen 225 aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Elige como2

senxu Calcula la diferencial de u. (du)Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la regla de las potencias para integrales indefinidas 1 1 1 .Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.


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Ejercicio 3. Calcula la integral dx x x x tansecsec aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:Realiza operaciones algebraicas para que la integral se simplifique.Separa integrales aplicando el teorema: [ ] Elige un valor de u y calcula la diferencial de u. (du)Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica las frmulas de integracin Ccotuudusec 2 y Csecuduutanusec Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES LOGARTMICAS Y EXPONENCIALES.

Ejercicio 4. Calcula la integral dx53xx

2 aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Elige un valor de u como la cantidad que se encuentra en el denominador.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica las frmulas de integracin CuLnduu

1


Ejercicio 5. Calcula la integral dxxe

2

x

3

aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Elige un valor de u como la potencia de e.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica las frmulas de integracin Cedue uu Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.


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CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES LOGARTMICAS Y EXPONENCIALES GENERALES.

Ejercicio 6. Calcula la integraldx5 2x

3

x

aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:Elige un valor de a=5 y u= .Determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la frmula de integracin CaLna

1dxa xx


Ejercicio 7. Calcula la integral dxLogx

1

10 aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:

Cambia el log. de base a, por logaritmos naturales aplicando la frmulaLna

LnxxLog a .

Realiza la operacin algebraicaElige u=ln| | y determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la frmula de integracin CuLnduu

1

Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.CAMBIO DE VARIABLE PARA LAS FUNCIONES (tanu, cotu, secu y cscu)

Ejercicio 8. Calcula la integral dx2

xtan aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:

Elige u= y determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.


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Mod elo Ac admic o de Calid ad para la Com petitiv idad AING-02

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Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original. Aplica la frmula de integracin CcosuLntanudu CsecuLn Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 9. Calcula la integral dxesece 2x2x aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Elige u= y determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la frmula de integracin CtanusecuLnsecudu Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 10. Calcula la integral dx1-cscx 2 aplicando el mtodo de cambio de variable.CONSIDERACIONES:

Desarrolla el binomioSepara integrales aplicando el teorema: [ ] Elige un valor de u y calcula la diferencial de u. (du)Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica las frmulas de integracin para la csecu y f(x)=1Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.


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CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

Problemas 1. Encuentra las integrales aplicando el mtodo de cambio de variable.

1. 2. 3. tan 4. ot 5. tan 6. 1 7. 1 8.

9. 10.

11. ot 12. 2tan2 13. tan 14. ot 15. 16. 17. 18. 19. 1 20.

21. 1 22. 23. o 24. 2 25. c s 26. 27.

1

28. 1


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CAMBIO DE VARIABLE PARA FUNCIONES LOGARTMICAS Y EXPONENCIALES

Problemas 2. Encuentra las integrales aplicando el mtodo de cambio de variable.1. 2. 3. 2 4. 5. 6. 7. 8. 1

9. 10. 11. 12. 13.

14. 1 15. ( ) 16. 17. 1

18.

19. 18 20. 21. 22. 23. 1 24. 91 25.

26. 27. 1 28. 29.

30.

(1 )


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Ejercicio nmero 6 Integracin de funciones trigonomtricas inversas, aplicando el mtodo de cambio de variableINTEGRACION DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Ejercicio 1. Calcula la integral dxe1

e4x

2x

aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:Elige el valor de a=1, u= y determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.

Aplica la frmula de integracin Ca

usendu

ua

1 122


Ejercicio 2. Calcula la integral dxx5

x6

2

aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:Elige el valor de a= , u= y determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin aritmtica.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.


utan

a

1du

ua

1 122



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Ejercicio 3. Calcula la integral dx

9xx

1

4aplicando el mtodo de cambio de variable.

CONSIDERACIONES:

Elige el valor de a=3, u= y determina la du.Verifica si la integral est completa, si no realiza alguna operacin algebraica en la integral.Realiza la sustitucin de u y de du en la integral original.


usec

a

1du

auu

1 122


INTEGRACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS INVERSAS

Problemas. Calcula las integrales de funciones trigonomtricas inversas aplicando el mtodo de cambio de variable.

1. 116 2. 1 3. 1 4. 1 1 5. 1 6.

7. 1 1 8. 1 1 9. 16 10. 1 11. 1 12. 6

13. 14. 1 1 15. 1 16.


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Ejercicio nmero 7 Integracin de funciones, aplicando el mtodo de integracin por partes.INTEGRACIN POR PARTESEjercicio 1. Calcula la integral dxex 2x aplicando el mtodo de integracin por partes.CONSIDERACIONES:

Aplica la frmula vduvuudv , eligiendo un valor de u y determina la du y elige un valor de v y calcula la dv. De tal manera que lasegunda integral quede ms sencilla que la original.Sustituye los valores de u, du, v y dv en la frmula, verifica que la segunda integral quedo ms sencilla.

Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de la segunda integral.Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 2. Calcula la integral cosxdxe x aplicando el mtodo de integracin por partes.CONSIDERACIONES:

Aplica la frmula vduvuudv , eligiendo un valor de u y determina la du y elige un valor de v y calcula la dv. De tal manera que lasegunda integral quede ms sencilla que la original.Sustituye los valores de u, du, v y dv en la frmula, verifica que la segunda integral qued ms sencilla.

Aplica el mtodo de integracin por partes de nueva cuenta en la segunda integral.Realiza operaciones algebraicas para la solucin de la integral.

Ejercicio 3. Calcula la integral dsec 3 aplicando el mtodo de integracin por partes.

CONSIDERACIONES:Escriba el integrando como:

Aplica la frmula vduvuudv , eligiendo un valor de u y determina la du y elige un valor de v y calcula la dv.De tal manera que lasegunda integral quede ms sencilla que la original.


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Sustituye los valores de u, du, v y dv en la frmula, verifica que la segunda integral qued ms sencilla. Aplica una identidad trigonomtrica para la .Separa integrales aplicando el teorema: [ ] Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de la segunda integral.Realiza operaciones algebraicas para la solucin de la integral.

INTEGRACIN POR PARTES

Problemas. Resuelve los problemas aplicando el mtodo de integracin por partes.

1. 2. 3. 4. 5. o 6. 7. tan 8. 9. o 10. 11. 1

12. 13. 14. 15. 16. o 2 17. o 18. 19. 20. 1 21.

22. 23. 2 24. 5 1 25. 26. o 27. 28. 2 29. 30. 31.

32. 1

33. 1

34. 10 2 35. 36. 2 37. 38. 1 39. 1 40. 1 41. 42. 1 43.


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Ejercicio nmero 8 Integrales de funciones algebraicas, aplicando el mtodo de fracciones parciales

FRACCIONES PARCIALES (FACTORES LINEALES DISTINTOS)

Ejercicio 1. Calcula la integral dx3x2xx

35x23

CONSIDERACIONES: Aplica el mtodo de fracciones parciales en el integrando, comenzando por factorizar el denominador, expresndolo en factores linealesdistintos.Para cada factor lineal distinto en el denominador existir un trmino cuyo denominador ser A, B, C,, respectivamente. Iguala el integrado a la suma de cada trmino de a cuerdo al nmero de factores obtenidos. = + ++ Reso lver la ecuacin aplicando cualquier mtodo para determinar los valores del numerador para cada termino: A, B, C Sustituir los valores y resolver las integrales resultantes de cada trmino aplicando el mtodo de cambio de variable.

FRACCIONES PARCIALES (FACTORES LINEALES DISTINTOS Y OTROS REPETIDOS)

Ejercicio 2. Calcula la integral

dx1x3x

138x3x2

2

CONSIDERACIONES: Aplica el mtodo de fracciones parciales en el integrando, identificando los factores lineales.Por cada factor de la forma (ax + b )k del denominador abra k trminos en la descomposicin de fracciones parciales:

k k

4

3

3

2

2

1

bax

A................

bax

A

bax

A

bax

A

bax

A

Iguala el integrado a la suma de cada trmino de a cuerdo al nmero de factores obtenidos. 8 11= + 1 1 Resolver la ecuacin aplicando cualquier mtodo para determinar los valores del numerador para cada termino: A, 1y BSustituir los valores y resolver las integrales resultantes de cada trmino aplicando el mtodo de cambio de variable.


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FRACCIONES PARCIALES (FACTORES CUADRTICOS Y REPETIDOS)Ejercicio 3. Calcula la integral

1

CONSIDERACIONES: Aplica el mtodo de fracciones parciales en el integrando, identificando los factores cuadrticos y lineales si los hay.Los factores lineales se manejan como en los casos anterioresPor cada factor cuadrtico irreducible que ocurra a la k sima potencia, se inserta como parte de la representacin del

integrando,

Iguala el integrado a la suma de cada trmino de a cuerdo al nmero de factores cuadrticos. 1= 1+ 1 Resolver la ecuacin aplicando cualquier mtodo para determinar los valores del numerador para cada trmino.Sustituir los valores y resolver las integrales resultantes de cada trmino aplicando el mtodo de cambio de variable.

FRACCIONES PARCIALES

Problemas.

1. 1 2. 6 3. 111 4. 11 5. 6 111 6. 1 0 7. 168 8. 11

9. 108 10. 1 11. 1 12. 1 13. 1 85 14. 0 15. 6 16. 1 5

17. 11 1 0 18. 6 19. 1 20. 1 21. 101 22. 11 23. 24. 6

25. 1 26. 5 27. 6 81 28. 11 29. 18 1 30. 10 1 31. 6 1 1 32. 5 11


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Ejercicio nmero 9 Integracin de potencias de funciones trigonomtricas, aplicando identidades.

INTEGRACIN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

Ejercicio 1. Calcula la integral xdxSen 5 CONSIDERACIONES:

Como n es entero positivo impar escribimos la integral como dxSenxxSendxxSen 1nn

Aplica la identidad xCos1xSen 22 Desarrolla el binomio y realiza las operacionesSepara integrales aplicando el teorema: [ ]

Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales.Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 2. Calcula la integral xdxSen 4 CONSIDERACIONES:

Como n es entero positivo par aplicamos la integral

dx xSendx xSen

nn 22

aplicamos la identidad:2

Cos2x-1xSen 2

Desarrolla el binomio y realiza las operacionesSepara integrales aplicando el teorema: [ ]

Aplica la identidad2

Cos2x1xcos 2

para una de las integrales

Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales.


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Ejercicio 3. Calcula la integral dxxCosxSen 34 CONSIDERACIONES:

Aplica la frmula CosxdxxCosxSendxxCosxSen 1-nmnm , con n=3 y m=4, con n entero positivo impar

Sustituye la identidad Realiza las operacionesSepara integrales aplicando el teorema: [ ]

Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales.Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.Nota: si m es impar se aplica un mtodo semejante y si m y n son ambos pares se aplican las identidades del seno o coseno de la mitad de unngulo.

Ejercicio 4. Calcula la integral tan CONSIDERACIONES:

Como n es par aplica la frmula tan tan , con m=2 y n=4,Sustituye la identidad tan Realiza las operaciones.Separa integrales aplicando el teorema: [ g ] g

Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales, tomando como u=tanx y calcula du.Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.

Ejercicio 5. Calcula la integral tan CONSIDERACIONES:

Como m es impar aplica la frmula tan tan1 1 tan, con m=3 y n=5,Sustituye la identidad tan Realiza las operaciones.Separa integrales aplicando el teorema: [ g ] g

Aplica el mtodo de cambio de variable para la solucin de las integrales, tomando como u=secx y calcula du.Regresa a la variable original sustituyendo el valor de u.Nota: si n es impar y m es par aplica otro mtodo, como el de integracin por partes. Las integrales de la forma ot puede hallarsede manera anloga a este ejercicio.


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INTEGRACIN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS.

Problemas .1. 2.