LA CIRCUNFERENCIA.55.- Pasar a la forma general (x2+y2+Ax+By+C=0), la ecuacin cannica u ordinaria (x-2)2+(y+3)2=25 cuyo lugar geomtrico es una circunferencia con centro en el punto de coordenadas C(2,-3) y radio 5.Para pasar la ecuacin a la forma general x2+y2+Ax+By+C=0 hay que desarrollar los cuadrados, entonces:(x-2)2+(y+3)2=25x2-4x+4+y2+6y+9=25x2+y2-4x+6y-12=0SOLUCION:La ecuacin queda de la forma general x2+y2-4x+6y-12=056.- Pasar a la forma cannica [(x-h)2+(y-k)2=r2] la ecuacin x2+y2-8x-4y=0 e indicar las coordenadas del centro y el valor del radio de la circunferencia que representa su lugar geomtrico.Pasar x2+y2-8x-4y=0 (x-h)2+(y-k)2=r2 entonces:(x2-8x)+(y2-4y)=0 Completamos cuadrados.(x2-8x+(-8/2)2)+(y2-4y+(-4/2)2)=0+(-8/2)2+(-4/2)2 (x2-8x+16)+(y2-4y+4)=16+4(x-4)2+(y-2)2=20 C(h,k)=C(4,2) r2=20 SOLUCION:La ecuacin queda (x-4)2+(y-2)2=20 con centro en C(4,2) y el radio es:

57.- Escribir una ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el origen del sistema de coordenadas cartesianas y su radio es de raz de cinco unidades. .El centro de la circunferencia es C(0,0) entonces es de la forma:x2+y2=r2Pero conocemos el radio que es: sustituimos en la ecuacin:x2+y2=5SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia es: x2+y2=558.- Escribir una ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto C(-3,2) y su radio es de unidades.Tiene como centro C(-3,2) tal que C(h,k) y radio siendo la ecuacin de la circunferencia de la forma:(x-h)2+(y-k)2=r2 sustituyendo queda:(x+3)2+(y-2)2=5 x2+y2+6x-4y+8=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia queda: (x+3)2+(y-2)2=5 y de la forma general queda: x2+y2+6x-4y+8=059.- Escribir una ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto de coordenadas (2,0) y su dimetro es de unidades.La ecuacin tiene de centro C(2,0) tal que C(h,k) dimetro y sabemos que el radio es:

entonces slo sustituimos en la ecuacin de la forma:(x-h)2+(y-k)2=r2(x-2)2+(y-0)2=5(x-2)2+y2=5 x2+y2-4x-1=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia queda: (x-2)2+y2=5 y de la forma general queda: x2+y2-4x-1=060.- Escribir una ecuacin de la circunferencia que tiene su centro en el punto de coordenadas (-2,1) y pasa por el punto P(-3,3).El centro de la circunferencia es C(-2,1) tal que C(h,k) y pasa por el punto P(-3,3).La distancia del punto C al punto P es el radio, entonces CP=r la ecuacin la encontramos con la frmula de la distancia, r=d

sustituimos el radio y el centro en la ecuacin:(x-h)2+(y-k)2=r2(x+2)2+(y-1)2=29 x2+y2+4x-2y-24=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia es: (x+2)2+(y-1)2=29 y de la forma general queda: x2+y2+4x-2y-24=061.- Determinar una ecuacin de la circunferencia que tiene como uno de sus dimetros el segmento de recta cuyos extremos se localizan en los puntos de coordenadas (2,3) Y (4,-1).Primero encontremos la distancia entre los puntos P1(2,3) y P2(4,-1) para saber la distancia del dimetro:

Ahora encontremos el punto medio de los puntos extremos del dimetro para conocer el centro de la circunferencia:P1(2,3) P2(4,-1)Coordenadas del punto medio:

entonces las coordenadas del centro de la circunferencia son C(3,1) tal que C(h,k) y como ya conocemos el dimetro de la circunferencia podemos encontrar su radio:

ahora podemos sustituir los datos en la ecuacin:(x-h)2+(y-k)2=r2(x-3)2+(y-1)2=5 x2+y2-6x-2y+6=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia queda: (x-3)2+(y-1)2=5 y de la forma general queda: x2+y2-6x-2y+6=062.- Determinar una ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas (1,2), (-3,4) Y (2,3).Entonces partimos de la ecuacin de la forma general que es:x2+y2+Cx+Dy+E=0y hacemos un sistema de 3 ecuaciones con 3 incgnitas sustituyendo en x,y los respectivos valores de las coordenadas que conocemos que son:1. A(1,2) (1)2+(2)2+C(1)+D(2)+E=0 C+2D+E=-5 Ecuacin (1)2. B(-3,4) (-3)2+(4)2+C(-3)+D(4)9+E=0 -3C+4D+E=-25 Ecuacin (2)3. C(2,3) (2)2+(3)2+C(2)+D(3)+E=0 2C+3D+E=-13 Ecuacin (3)Entonces resolvemos el sistema por Gauss:

Entonces nos queda de (3)=C(0)+D(0)+E(-3/5)=-7 despejamos EE=-7/(-3/5)=35/3Ahora en (2)= C(0)+D(1)+(2/5)(35/3)=-4 despejamos DD=-4-(7/15)=-130/15Ahora en (1)=C(1)+(-130/15)(2)+(35/3)(1)=-5 despejamos CC=-5-(35/3)+(260/15)=10/15Ahora que tenemos los valores de C, D y E sustituimos en la ecuacin general:x2+y2+(10/15)x-(130/15)y+(35/3)=0 x2+y2+(2/3)x-(26/3)y+(35/3)=0 (x+1/3)2+(y-13/3)2=65/9SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia es: x2+y2+(2/3)x-(26/3)y+(35/3)=0 y de la forma cannica queda: (x+1/3)2+(y-13/3)2=65/963.- Determinar una ecuacin de la circunferencia que pasa por los puntos de coordenadas (0,2) y (1,-3) y su centro se localiza sobre la lnea recta cuya ecuacin es x-3y=1.Tenemos los puntos A(0,2) y B(1,-3) y la ecuacin de la recta x-3y=1x-3y=1 x=1+3y 3y=x-1 y=1/3x-1/3 Ecuacin de la recta que pasa por el Centroy=1/3x-1/3Entonces del centro C(h,k) a los puntos A(0,2) y B(1,-3) son iguales por ser radios, podemos igualarlos a partir de la frmula de la distancia:AC=BCd1=d2A(0,2) C(x,y) B(1,-3) C(h,k)=

Simplificando la expresin queda:2x-10y-6=0 Ahora sustituimos la ecuacin de la recta que pasa por el centro de la circunferencia la cual es y=1/3x-1/3 queda:2x-10(1/3x-1/3)=62x-10/3x+10/3=62x-10/3x=6-10/3-4/3x=8/3x=-2 sustituimos en la ecuacin de la rectay=1/3x-1/3y=1/3(-2)-1/3y=-1Las coordenadas del centro de la circunferencia son C(-2,-1)Ahora podemos encontrar el radio de la circunferencia con A(0,2) y C(-2,1)

sustituyendo en la ecuacin de la circunferencia queda:(x-h)2+(y-k)2=r2(x+2)2+(y+1)2=13 x2+y2+4x+2y-8=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia queda: (x+2)2+(y+1)2=13 y de la forma general es: x2+y2+4x+2y-8=064.- Encontrar las coordenadas de los puntos comunes a la lnea recta y a la circunferencia mencionadas en el problema inmediato anterior (Nmero 63).Entonces tenemos que encontrar los puntos comunes entre las ecuaciones:1. (x+2)2+(y+1)2=13 2. y=1/3x-1/3 3y=x-1 x=3y+1sustituimos el valor de x de la ecuacin (2) en la ecuacin 1 para encontrar los valores de y que satisfagan el sistema, entonces queda:x2+4x+4+y2+2y+1=13 tal que x=3y+1 sustituimos x:(3y+1)2+4(3y+1)+4+y2+2y+1=139y2+6y+1+12y+4+4+y2+2y+1=13 10y2+20y-3=0Ahora resolvemos la ecuacin: 10y2+20y-3=0 por la frmula general:a=10 b=20 c=-3

Ahora sustituimos y1 y2 en la ecuacin:x=3y+1x1=3(0.1401)+1x1=1.4205x2=3(-2.1401)+1x2=-5.4205M1(1.4,0.14) M2(-5.4,-2.14)SOLUCION:Los puntos comunes de las dos ecuaciones son M1(1.4,0.14) M2(-5.4,-2.14)65.- Hallar una ecuacin de la circunferencia que es tangente a la lnea recta correspondiente a la ecuacin 2x+y-4=0, en el punto de coordenadas (2,0) y su centro se localiza sobre la lnea recta cuya ecuacin es x+y=4.La ecuacin tangente es 2x+y-4=0 en P(2,0) y la ecuacin que pasa por el centro de la circunferencia es x+y=42x+y-4=0 y=-2x+4 es la ecuacin de la lnea tangente a la circunferencia.Entonces la ecuacin de la recta perpendicular a la tangente, pasa por el centro de la circunferencia y sta ecuacin partiendo de la ecuacin tangente queda:y=1/2(x-2) 2y=x-2 x-2y-2=0 x=2y-2ahora tenemos 2 ecuaciones para hacer un sistema y as encontramos las coordenadas del centro, que sera donde se intersectan las dos rectas:1. x+y=4 x=4-y2. x-2y-2=0 x=2y+2Igualamos y despejamos la incgnita y:4-y=2y+2 4-2=2y+y 3y=2 y=2/3Sustituimos en la ecuacin (1) para encontrar el valor en x:x=4-y x=4-2/3 x=10/3Tenemos las coordenadas del centro las cuales son: C(10/3,2/3) y sabemos que la circunferencia pasa por el punto de coordenadas P(2,0), entonces encontremos el radio:

Ahora podemos armar la ecuacin de la circunferencia con los datos obtenidos:(x-10/3)2+(y-2/3)2=20/9 x2+y2-(20/3)x-(4/3)y+(28/3)=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia queda: (x-10/3)2+(y-2/3)2=20/9 y de la forma general queda: x2+y2-(20/3)x-(4/3)y+(28/3)=066.- Determinar una ecuacin de la circunferencia tangente al eje de las ordenadas (EJE Y) y su centro est en el punto de coordenadas C(2,6).Si la circunferencia es tangente al eje Y tiene de centro el punto C(2,6) entonces el radio es igual a 2 porque esa es la distancia del centro a la tangente que es el eje Y.La ecuacin es de la forma:(x-h)2+(y-k)2=r2 con centro en C(h,k) tal que C(2,6).sustituyendo queda:(x-2)2+(y-6)2=4 x2+y2-4x-12y+36=0SOLUCION:La ecuacin queda: (x-2)2+(y-6)2=4 y de la forma general: x2+y2-4x-12y+36=067.- Determinar una ecuacin de la circunferencia tangente a la lnea recta cuya ecuacin es 2x+y-5=0 y su centro es el origen del sistema de coordenadas.El centro de la circunferencia es C(0,0) y la recta tangente es: 2x+y-5=0Entonces para conocer el radio de la circunferencia encontremos la distancia de la recta tangente 2x+y-5=0 al origen del sistema de coordenadas que es el centro de la circunferencia:Sustituyendo x=0 y=0

La ecuacin es de la forma:x2+y2=r2x2+y2=5SOLUCION:La ecuacin queda: x2+y2=568.- Determinar una ecuacin de la circunferencia tangente a la lnea recta cuya ecuacin es 3x-2y-3=0 y su centro est sobre el eje de las abscisas (EJE X) con la abscisa x=2.La ecuacin de la recta que es tangente a la circunferencia es 3x-2y-3=0 y el centro de la circunferencia est en el punto C(2,0), entonces:

Entonces el radio es:

Ahora tenemos las coordenadas del centro C(2,0) y el radio, entonces la ecuacin queda:(x-2)2+y2=117/169 x2+y2-4x+559/169=0SOLUCION:La ecuacin queda: (x-2)2+y2=117/169 y de la forma general queda:x2+y2-4x+559/169=069.- Hallar una ecuacin de la circunferencia que es tangente a la lnea recta correspondiente a la ecuacin x-2y+4=0, en el punto de coordenadas (10,7) y que sea tambin tangente en el punto de coordenadas (5,2) a la lnea recta de ecuacin 2x-y-8=0.Tenemos las ecuaciones de las rectas tangentes a la circunferencia que son:x-2y+4=0 en el punto A(10,7)2x-y-8=0 en el punto B(5,2)(1) x-2y+4=0 2y=x+4 y=1/2x+2 m1=1/2 (2) 2x-y-8=0 y=2x-8 m2=2Como tenemos las pendientes de las dos ecuaciones tangentes a la circunferencia, podemos encontrar las ecuaciones de las rectas perpendiculares a las rectas tangentes y as podremos encontrar las coordenadas del centro de la circunferencia:A(10,7) m1=1/2 para la perpendicular: m1=-2 (y-7)=-2(x-10) y-7=-2x+20(1) y=-2x+27B(5,2) m2=2 para la perpendicular: m2=-1/2 (y-2)=-1/2(x-5) y-2=-1/2x+5/2(2) y=(-x+9)/2hacemos por igualacin las dos ecuaciones anteriores:-2x+27=(-x+9)/2 2(-2x+27)=-x+9 -4x+54=-x+9 3x=45 x=15x=15Ahora sustituimos x=15 en la ecuacin (2), entonces:y=(-x+9)/2y=(-15+9)/2y=-3Las coordenadas del centro de la circunferencia es C(15,-3) Podemos encontrar el radio con C(15,-3) y B(5,2) y queda:

La ecuacin de la circunferencia queda con los datos que obtuvimos:(x-15)2+(y+3)2=125 x2+y2-30x+6y+109=0SOLUCION:La ecuacin de la circunferencia que es tangente a las rectas descritas por las ecuaciones: 1. x-2y+4=0 en el punto A(10,7)2. 2x-y-8=0 en el punto B(5,2)es la ecuacin:(x-15)2+(y+3)2=125y de la forma general queda:x2+y2-30x+6y+109=070.- Determinar una ecuacin de la lnea recta tangente a la circunferencia cuya ecuacin es: (x+1)2+y2=20 en el punto de coordenadas (-3,4).La ecuacin de la circunferencia es: (x+1)2+y2=20, tenemos que encontrar la recta que es tangente a la circunferencia en el punto A(-3,4).De la ecuacin de la circunferencia tenemos C(h,k) C(-1,0), entonces con el centro y el punto de tangencia podemos determinar la ecuacin de la lnea recta:C(-1,0) y A(-3,4)

m1=-1/2 entonces m2 es la pendiente de la lnea recta tangente y sabemos que m1m2=-1 porque son perpendiculares, entonces:m1m2=-1 (-1/2)m2=-1 m2=2y=mx+b con m=2 y el punto A(-3,4):4=(2)(-3)+b b=4+6 b=10La ecuacin queda: y=2x+10 2x-y+10=0SOLUCION:La ecuacin de la lnea recta tangente a es: y=2x+10 2x-y+10=071.- Determinar una ecuacin de la lnea recta tangente a la circunferencia cuya ecuacin es: x2+y2-8x-4y=0 en el punto de coordenadas (8,4).x2+y2-8x-4y=0 y el punto A(8,4) es tangente a la circunferencia, encontremos el centro de la circunferencia completando cuadrados y acomodando la ecuacin:

entonces el centro es C(h,k) y C(4,2) y con el punto A(8,4) encontramos la pendiente de stos dos puntos y posteriormente la ecuacin de la recta:

con A(8,4) y la pendiente m=-2 encontremos la ecuacin de la recta:4=(-2)(8)+b b=4+16 b=20 y=-2x+20SOLUCION:La ecuacin de la recta tangente es: y=-2x+20 2x+y-20=072.- Hallar unas ecuaciones de las lneas rectas tangentes a la circunferencia cuya ecuacin es: x2+y2-8x-4y=0 de tal forma que el valor de la pendiente de cada una de dichas rectas sea 3.Tenemos la ecuacin:x2+y2-8x-4y=0 y las pendientes: m1=m2 m1=-3(x2-8x)+(y2-4y)=0(x-4)2+(y-2)2=(-1/2)2+(-4/2)2(x-4)2+(y-2)2=20 el centro de la circunferencia es: c(4,2) y su radio es

m1=m2 m1=-3m1m3=-1 (-3)m3=-1m3=1/3Ahora encontremos la ecuacin de la recta que pasa por C(4,2) con m3=1/3y=mx+b 2=(1/3)(4)+b b=2-4/3 b=2/3La ecuacin es:(1/3)x-y+(2/3)=0Ahora encontremos los puntos comunes con la circunferencia de la ecuacin anterior:1. x2+y2-8x-4y=02. y=(1/3)x+(2/3)sustituimos la ecuacin (1) en la (2) y queda:x2+(1/3x+2/3)2-8x-4(1/3x+2/3)=0x2+1/9x2+4/9-8x-4/3x-8/3=010/9x2-28/3x-20/9=0(9)(10/9x2-28/3x)=(20/9)(9)10x2-84x=205x2-42x-10=0Ahora la ecuacin cuadrtica:5x2-42x-10=0 la resolvemos por la frmula general:

Tenemos x1, x2x1=8.63x2=-0.23Sustituimos en la ecuacin y=(1/3)x+(2/3)y1=(1/3)(8.63)+(2/3) y1=3.54 entonces P1(8.63,3.54)y2=(1/3)(-0.23)+(2/3) y2=0.58 entonces P2(-0.23,0.58)Ahora podemos obtener la recta que pasa por el centro y que tambin pasa por los puntos tangente a la circunferencia:1. P1(8.63,3.54) m=-3 3.54=(-3)(8.63)+b b=29.43 y=-3x+29.43P2(-0.23,0.58) m=-3 0.58=(-3)(-0.23)+b b=-0.11 y=-3x-0.11Entonces las ecuaciones que son tangentes a la circunferencia son:1. 3x+y-29.43=02. 3x+y+0.11=0SOLUCION:Las ecuaciones de las rectas que son tangentes a la circunferencia:x2+y2-8x-4y=0 tal que el valor de sus pendientes sea 3 son:Ecuacin (1) 3x+y-29.43=0Ecuacin (2) 3x+y+0.11=073.- Determinar las coordenadas de los puntos comunes a las circunferencias cuyas ecuaciones son: (x-1)2+y2=1 Y x2+y2-4x-4y+4=0.Encontrar los puntos comunes de:1. (x-1)2+y2=12. x2+y2-4x-4y+4=0Desarrollemos la ecuacin 1 y queda:x2-2x+1+y2=11. x2+y2-2x=02. x2+y2-4x-4y=-4restamos la ecuacin (1)-(2) y queda:x2+y2-2x=0-( x2+y2-4x-4y=-4)queda:2x+4y=4 si dividimos entre dos la ecuacin queda:x+2y=2 x=2-2y sustituimos el valor de x en la ecuacin (1)(2-2y)2+y2-2(2-2y)=0Queda 4-8y+4y2+y2-4+4y=0 5y2-4y=0 La resolvemos por frmula general:

Sustituimos y1 y2 para encontrar los valores de xx1=2-2(4/5) 2-8/5 x1=2/5x2=2-2(0) 2-0 x2=2P1(2/5,4/5)P2(2,0)SOLUCION:Las coordenadas de los puntos comunes de las ecuaciones:x2+y2-2x=0x2+y2-4x-4y=-4son las coordenadas:P1(2/5,4/5)P2(2,0)