la circunferencia
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CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geométrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.
ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA
A B
M
N
Rectatangente
Rectasecante
Flecha o sagita
DiámetroAB( )
Centro
�
T�
Punto de tangencia
Q�
P�
Radio
Arco BQ
Cuerda PQ
PROPIEDADES BÁSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA
01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.
R L
LR ⊥
02.- Radio o diámetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).
P
Q
M
N
R
MQ PM PQ R =⇒⊥
03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.
A B
C D
mBDmAC CD // AB :Si =⇒
04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.
A
B
C
D
Cuerdas congruentesArcos congruentes
Las cuerdas equidistan del
centro
mCD mAB CD AB:Si =⇒=
1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.
PROPIEDADES DE LAS TANGENTES
AP = PBAP = PB
A
B
P
R
R
αα
TEOREMA DE PONCELET.- En todo triángulo rectángulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.
a + b = c + 2r a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r ) a + b = 2 ( R + r )
a
b
c
r
R R
Inradio
Circunradio
α
1.- MEDIDA DEL ÁNGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.
A
B
C
r
r
α = mABα = mAB
β
A
C
B
D
2.- MEDIDA DEL ÁNGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos
2
mCDmAB +=β
α
A
B
C O
6.-ÁNGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:
a.- Medida del ángulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
α + mAB = 180°α + mAB = 180°
2
mAB - mACB =α
β
A
B
C
O
D
b.- Ángulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.
2
mCD-mAB =β
θ
A
B
C
O
c.- Medida del ángulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.
2
mBC - mAB =θ
50°70º+x
XR
S
Q
140°
2X
X + (X+70) + 50° = 180°
X = 30°X = 30°
Por ángulo semi-inscrito PQS
Problema Nº 01
RESOLUCIÓN
P
xº702
x2º140PQSm +=+=∠
Reemplazando:
En el triángulo PQS:
Resolviendo la ecuación:
PSQ = xSe traza la cuerda SQ 2
mQRSPQSm =∠
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangente PQ y la secante PRS, si el arco RS mide 140º y el ángulo QPS mide 50º. Calcule la medida del ángulo PSQ.
20°
70°X
X = 40°X = 40°R
Q
H
En el triángulo rectángulo RHS
140° Es propiedad, que:
140° + X = 180°
Por ángulo inscrito
Problema Nº 02
RESOLUCIÓN
P
S
m ∠ S = 70º
Resolviendo:
PSQ = x
2
mQRº70 = mQR = 140°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan la tangentes PQ y PR, luego en el mayor arco QR se ubica un punto “S”, se traza RH perpendicular a la cuerda QS, si m∠HRS=20º; calcule la m∠QPR.
x130°
A
C
B
DX = 40°X = 40°
2
50 130X
°−°=50°
Problema Nº 03
RESOLUCIÓN
PResolviendo:
APD = xMedida del ángulo interior
Medida del ángulo exterior
°=+°90
2
mBC130mBC = 50°
Desde un punto “P” exterior a una circunferencia se trazan las secantes PBA y PCD tal que las cuerdas AC y BD sean perpendiculares entre sí; calcule la medida del ángulo APD, si el arco AD mide 130º.
x
X = 18°X = 18°
2
X 54X
−°=
M
N
54°
xx
Problema Nº 04
RESOLUCIÓN
PAB
APN = xSe traza el radio OM:
o
Dato: OM(radio) = PM
Luego triángulo PMO es isósceles
Ángulo central igual al arco
Medida del ángulo exterior
Resolviendo:
En una circunferencia, el diámetro AB se prolonga hasta un punto “P”, desde el cual se traza un rayo secante PMN tal que la longitud de PM sea igual al radio, si el arco AN mide 54º. Calcule la m∠APN.
x
70°
Medida del ángulo inscrito:
X = 55°X = 55°
2
110X
°=
A
B
C
PQ
R
110°
Problema Nº 05
RESOLUCIÓN
PRQ = x
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Resolviendo:
70° + mPQ = 180° mPQ = 110°
En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia tangente a los lados AB, BC y AC en los puntos “P”, “Q” y “R” respectivamente, si el ángulo ABC mide 70º. Calcule la m∠PRQ.
RESOLUCIÓN
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
Medida del ángulo inscrito:
70°
B
A
X PC
140º
140º + x = 180º Resolviendo: X = 40º
2
mABº70 = mAB=140º
RESOLUCIÓN
B
A
X P130º C
Medida del ángulo inscrito:
En la circunferencia:
260º
Por la propiedad del ángulo exterior formado por dos tangentes:
X = 80º
2
mABº130 = mAB = 260º
mACB = 100º
mACB + x = 100º
260º + mACB = 360º