LA CIRCUNFERENCIA Preconcepto: Lugar Geométrico: en el contexto de la geometría, es un conjunto de puntos del plano cartesiano 𝑃(𝑥, 𝑦), que satisfacen una determinada propiedad o condición. Ahora bien, si la propiedad satisface todos los puntos de un lugar geométrico, se puede relacionar algebraicamente y se obtiene una ecuación llamada ecuación del lugar geométrico. Definición: Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia desde cualquier punto de la circunferencia al centro se llama radio. Si 𝐶(ℎ, 𝑘) es el centro de una circunferencia de radio 𝑟 y 𝑃(𝑥, 𝑦) es un punto cualquiera de ella entonces se verifica qué 𝑑(𝑃, 𝐶) = 𝑟. (*Preconcepto: Distancia entre dos puntos coordenados). Por tanto, basado en la figura mostrada a continuación:

!(𝑥 − ℎ)! + (𝑦 − 𝑘)! = 𝑟(𝐸𝑐. 1) Si se le va al cuadrado, se obtiene la ecuación analítica de la circunferencia en función del radio y de las coordenadas del centro. Esto se conoce como ecuación canónica de la circunferencia.

(𝑥 − ℎ)! + (𝑦 − 𝑘)! = 𝑟!(𝐸𝑐. 2) *La distancia entre dos puntos coordenados 𝐴(𝑥!, 𝑦!) y 𝐵(𝑥", 𝑦") está dada por: 𝑑#$%%%% = +(𝑥" − 𝑥!)" + (𝑦" − 𝑦!)"

𝐶(ℎ, 𝑘)

ℎ 𝑥

𝑦

𝑘

𝑟 𝑃(𝑥, 𝑦)

−𝑦

−𝑥

Conjuntamente, se infiere de (𝐸𝑐. 2) que si las coordenadas del centro de la circunferencia se llegan a situar en el origen del plano cartesiano, entonces 𝐶(ℎ, 𝑘) = 𝐶(0,0) Por tanto, la ecuación canónica de dicha circunferencia estaría dada por: (𝑥 − 0)! + (𝑦 − 0)! = 𝑟!

𝑥! + 𝑦! = 𝑟! Si en la ecuación canónica de la circunferencia se efectúan las operaciones (*Preconcepto: potenciación de binomios) y se ordena el polinomio de forma descendente, se obtiene:

(𝑥 − ℎ)! + (𝑦 − 𝑘)! = 𝑟! 𝑥! − 2ℎ𝑥 + ℎ! + 𝑦! − 2𝑘𝑦 + 𝑘! = 𝑟!

𝑥! + 𝑦! − 2ℎ𝑥 − 2𝑘𝑦 + ℎ! + 𝑘! − 𝑟! = 0

Si 𝐷 = −2ℎ,𝐸 = −2𝑘,𝐹 = ℎ! + 𝑘! − 𝑟!, se obtiene una nueva expresión llamada ecuación general de la circunferencia.

𝑥! + 𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 *(𝑥 + 𝑦)" = (𝑥 + 𝑦)(𝑥 + 𝑦) = 𝑥" + 2𝑥𝑦 + 𝑦" *(𝑥 − 𝑦)" = (𝑥 − 𝑦)(𝑥 − 𝑦) = 𝑥" − 2𝑥𝑦 + 𝑦"

−𝑦

𝑦

𝑥 −𝑥 𝐶(0,0)

𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑟

Tangente y normal a una circunferencia uno de sus puntos: En la siguiente gráfica se representan las rectas tangente y normal a una circunferencia de centro 𝐶(𝑎, 𝑏) en un punto 𝑃(𝑥", 𝑦").

Observemos cómo se deducen las ecuaciones generales de las rectas tangente y normal: Cómo la recta normal pasa por 𝑃(𝑥", 𝑦") y 𝐶(𝑎, 𝑏), entonces su pendiente es:

𝑚/ =𝑦0 − 𝑏𝑥0 − 𝑎

y su ecuación es:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚/(𝑥 − 𝑥0) La recta normal y la recta tangente son perpendiculares. Por tanto, el producto de sus pendientes es −1. Es decir, si 𝑚# es la pendiente de la tangente, entonces,

𝑚# ∙ 𝑚$ = −1 ⟺ 𝑚# = −1𝑚$

La ecuación de la recta tangente es:

𝑦 − 𝑦0 = 𝑚1(𝑥 − 𝑥0) 𝑙: Tangente a 𝑘 en 𝑃. 𝑠: Normal a 𝑘 en 𝑃.

−𝑦

𝑦

𝑥 −𝑥

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑅𝑒𝑐𝑡𝑎𝑁𝑜

𝑟𝑚𝑎𝑙

𝐶(𝑎, 𝑏) 𝑃(𝑥0, 𝑦0)

𝑙

𝑠

Posiciones relativas de una recta y una circunferencia: Para una circunferencia y una recta en un mismo plano, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

=𝑥! + 𝑦! + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0

𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏

Con este sistema pueden darse tres situaciones: 1. El sistema tiene una única solución. Es decir, sólo hay un punto (𝑥, 𝑦) común a la recta y a la circunferencia. En este caso, se dice que la recta es tangente a la circunferencia. 2. El sistema tiene dos soluciones. En este caso, hay una pareja de puntos (𝑥%, 𝑦%) y (𝑥!, 𝑦!), comunes a la recta y a la circunferencia. Se dice que la recta es secante a la circunferencia. 3. El sistema no tiene solución. En este caso, la recta y la circunferencia no tienen puntos en común. Por tanto, se dice que la recta es exterior a la circunferencia.

𝑪𝒂𝒔𝒐𝟏. 𝑪𝒂𝒔𝒐𝟐. 𝑪𝒂𝒔𝒐𝟑. 𝑦

𝑥

𝐶(ℎ, 𝑘)

ℎ

𝐶(ℎ, 𝑘)

ℎ

𝑘 𝐶(ℎ, 𝑘)

ℎ

𝑘 𝐴(𝑥, 𝑦)

𝑥

𝑦

𝐴(𝑥!, 𝑦!)

𝐵(𝑥", 𝑦")

𝑥" 𝑥!

𝑦"

𝑦!

𝑘

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