julio 2018. extraordinaria. ejercicio 2a.clasesdeapoyonuevo.s3.amazonaws.com/soluciones...1 julio...
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1
Julio 2018. Extraordinaria. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 2,5 puntos
Se considera la función ( )
>−
−
≤=
−
2xsi2x
x4x2xsie8
xf 3
4x2
y se pide:
b) (1 punto) Calcular las asíntotas horizontales de f(x). ¿Hay alguna asíntota vertical? Solución. b. Las asíntotas horizontales son rectas de la forma y = L, donde L es:
( )xfLímLx ±∞→
=
• ( ) 008e8e8LímxfLím 4x2
xx=⋅=== −∞−
−∞→−∞→
La función tiene una asíntota horizontal y = 0 cuando x tiende a ‒∞
• ( ) ∞=−
−=
∞→+∞→ 2x
x4xLímxfLím
3
xx porque x3 > x cuando x tiende a ∞
La función no tiene asíntota horizontal cuando x tiende a ∞ Por ser continua en todo R, la función no tiene asíntotas verticales. Junio 2018. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2.5 puntos
Dada la función ( )9x
xxf
2+
= , se pide:
a) (0.5 puntos) Determinar, si existen, las asíntotas horizontales de f(x). Solución. a. Las asíntotas horizontales son rectas de la forma y = L, donde L es:
( )xfLímLx ±∞→
=
Para poder calcular los límites es conveniente expresar la función por intervalos:
( )
≥
+
<
+
−
=
+
=
0xsi9x
x
0xsi9x
x
9x
xxf
2
2
2
• ( )( )
( )
∞
∞
÷∞→∞→−∞→−∞→=
+
=
+−
−−=
∞→⇒−∞→
−==
+
−=
t2t2t
variablede
Cambio2xx 9t
tLím
9t
tLím
tx Si
tx
9x
xLímxfLím
101
1
91
1
t
91
1Lím
t
9
t
t
t
t
Lím
22
t
22
2t=
+=
∞+
=
+
=
+
=∞→∞→
• ( ) 101
1
91
1
x
91
1Lím
x
9
x
x
x
x
Lím9x
xLímxfLím
22
x
22
2xx2xx=
+=
∞+
=
+
=
+
=
+
=∞→∞→
∞
∞
÷∞→∞→
Asíntota horizontal y = 1 cuando x → ±∞
2
Modelo 2018. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 2,5 puntos El dibujo adjunto muestra la gráfica de la función
( ) ( ) 1e x6xf 3
4x
−−=
−
Se pide: c) (0.5 puntos) Efectuando los cálculos necesarios, obtener la ecuación de la
asíntota que se muestra en el dibujo (flecha discontinua inferior). Solución.
c. Se pide calcular la asíntota horizontal hacia ‒∞.
( ) ( ) ( ) 1e x6Lím1e x6LímxfLím 3
4x
x3
4x
xx−−=
−−=
−
−∞→
−
−∞→−∞→
( )( )
01
3
1e
1Lím
e
x6Líme x6Lím
3
4xxL´H3
4xx03
4x
x=
∞−
−=
−⋅
−=
−=−
−−−∞→
∞
∞
−−−∞→⋅∞
−
−∞→
( ) ( ) 1101e x6LímxfLím 3
4x
xx−=−=−−==
−
−∞→−∞→
Septiembre 2017. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos
Se considera la función ( )1x
exf
2
x
+=
−
, se pide:
b) (1 punto) Estudiar la existencia de asíntotas horizontales y verticales de la función f y, en su caso, determinarlas.
Solución.
b. - Asíntotas verticales. Las asíntotas verticales son rectas de la forma x = xo, tal que xo ∉ D[f(x)].
( )[ ] { } R01xRxxfD 2 =≠+∈=
Por tener dominio R, la función no tiene asíntotas verticales - Asíntotas horizontales. Son rectas de la forma y = L, tal que ( )xfLímL
x ±∞→=
( )( )
∞===−
=+
==∞−−−
−∞→
∞
∞
−
−∞→
∞
∞
−
−∞→−∞→ 2
e
2
eLím
x2
eLím
1x
eLímxfLímL
x
xH´L
x
xH´L2
x
xx
Hacia ‒∞ la función no tiene asíntota horizontal.
( ) 00e
1x
eLímxfLímL
2
x
xx=
∞=
∞=
+==
−∞−
∞→+∞→
Hacia +∞ la función tiene asíntota horizontal y = 0 (eje OX) Puesto que la función no tiene asíntota horizontal hacia ‒∞, hay que comprobar si tiene oblicua. Asíntota oblicua. Recta de la forma y = mx + n. En este caso:
( )∞=
+=+==
−
−∞→
−
−∞→−∞→ xx
eLím
x1x
e
Límx
xfLímm
3
x
x
2
x
xx
No hay asíntota oblicua hacia ‒∞
3
Junio 2017. Ejercicio 4A: Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la función ( )2x
6xxxf
2
−
++= , se pide:
a) (0.5 puntos) Determinar su dominio y asíntotas verticales. Solución.
a. ( )[ ] { } { }2R02xRxxfD −=≠−∈=
Asíntota vertical: recta de la forma x = a / a∉D y ( )0
kxfLím
ax=
→
x = 2 es un candidato a asíntota vertical.
0
12
2x
6xxLím
2
2x=
−
++
→ ⇒ x = 2 es un asíntota vertical.
+∞==−
++
−∞==−
++
+→
−→ −
0
12
2x
6xxLím
0
12
2x
6xxLím
2
2x
2
2x
Modelo 2017. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos.
Se considera la función ( ) xe xxf −= y se pide:
a) (0.5 puntos) Determinar el dominio y las asíntotas de f. Solución. a. Dominio = R Asíntotas:
• Verticales: No tiene por tener D = R • Horizontales: ( )xfLím
x ±∞→
( ) ( ) ( ) −∞=∞⋅−∞=⋅−∞=⋅−∞== ∞−∞−−
−∞→−∞→eee xLímxfLím x
xx Hacia ‒∞ no hay asíntota horizontal.
( ) ( )( )
01
e
1
e
1Lím
e
xLíme xLímxfLím
xxH´Lxx
0x
xx=
∞=====
∞+∞→
∞
∞
+∞→
⋅∞−
+∞→+∞→ Hacia +∞ hay asíntota horizontal. y
= 0 • Oblicua: x → ‒∞: y = mx + n
( ) ( ) ( ) ∞====== ∞∞−−−
−∞→
−
−∞→−∞→eeeLím
x
e xLím
x
xfLímm x
x
x
xx
No hay asíntota oblicua hacia ‒∞ Septiembre 2016. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos.
Dada la función ( ) ( ) 3xe x6xf −= , se pide:
a) (1 punto) Determinar su dominio, asíntotas y cortes con los ejes. Solución.
a. Dominio: ( )[ ] ( )[ ] [ ] RRReDx6DxfD 3x =∩=∩−=
Asíntotas verticales: Son rectas de la forma x = a / a∉D[f(x)] y ( )0
kxfLím
ax=
→ . No tiene porque
su Dominio es R Asíntotas horizontales: Son rectas de la forma y = L / ( ) RxfLimL
x∈=
±∞→
( ) ( ) 03
e
3Lím
3
1e
1Lím
e
x6Límex6LímxfLím
3xx3xxH´L3xx
03x
xx=
∞==
−⋅
−=
−=⋅−=
−−∞→−−∞→
∞
∞
−−∞→
⋅∞
−∞→−∞→
( ) ( ) −∞=∞⋅−∞=⋅−=+∞→+∞→
3x
xxex6LímxfLím
La función tiene asíntota horizontal hacia menos infinito (y = 0).
4
Asíntota oblicua: La función puede tener oblicua hacia +∞ por carecer hacia ese infinito de horizontal (y = mx + n).
( ) ( )( ) −∞=∞⋅−=⋅
−
∞=⋅
−=
⋅−== ∞
+∞→+∞→+∞→10e1
6e1
x
6Lím
x
ex6Lím
x
xfLímm 33x
x
3x
xx
No tiene asuntota oblicua hacia +∞
Cortes con OX (y = 0): ( ) ( )0 6,en OXcon corte de PuntoRx 0e
6x:0x6:e x60 3x
3x ⇒
∈∀≠
==−−=
Corte con OY (x = 0): ( ) ( )6 0, OYcon corte de Punto616e 06y 30 ⇒=⋅=−=
Junio 2015. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función
( )( )
1x
1x Ln
4x
xxf
2 +
++
−= ,
donde Ln denota el logaritmo neperiano, se pide: a) (1’5 puntos) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
Solución. a. El dominio de la función lo impone el denominador de la primera fracción y la expresión logarítmica de la segunda fracción
( )[ ] { }01x04xRxxfD 2 >+≠−∈=
4x2 ≠ ; 2x ±≠ 01x >+ ; 1x −>
( )[ ] ( ) ( )∞+∪−= ,22 ,1xfD
Asíntotas verticales:
• x → ‒1+: ( )
( )
( )−∞=
∞−+=+=
+−
+−+
−−
−=
+
++
−++
+
+
+
−→ + 03
1
0
0 Ln
3
1
11
11 Ln
41
1
1x
1x Ln
4x
xLím
221x
x = ‒1 asíntota vertical
• x → 2: ( ) ( )
∞=+∞=+=+
++
−=
+
++
−−→ 3
3 Ln
3
3 Ln
0
2
12
12 Ln
42
2
1x
1x Ln
4x
xLím
222x
( )
( )( )
−∞=+=+−
=+
++
−
=
+
++
−−−−−→ − 3
3 Ln
0
2
3
3 Ln
44
2
12
12 Ln
42
2
1x
1x Ln
4x
xLím
222x
( )
( )( )
+∞=+=+−
=+
++
−
=
+
++
−+++−→ + 3
3 Ln
0
2
3
3 Ln
44
2
12
12 Ln
42
2
1x
1x Ln
4x
xLím
222x
x = 2 asíntota vertical
Septiembre 2014. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función
( )4x
x
1x
1xf
++
+=
se pide: a) (1 punto) Determinar el dominio de f y sus asíntotas.
Solución.
a. Dominio: ( )[ ] { } { }1 ,4R04 x;01xRxxfD −−−=≠+≠+∈=
Asíntotas verticales. Son rectas de la forma x = a tal que a ∉ Dominio y ( )0
kxfLím
ax=
→
• x = ‒4: 0
4
0
4
3
1
4x
x
1x
1Lím
4x
−=
−+
−=
++
+−→, x = ‒4 es asíntota vertical de f(x)
• x = ‒1: 0
1
3
1
0
1
4x
x
1x
1Lím
1x=
−+=
++
+−→, x = ‒1 es asíntota vertical de f(x)
5
Asíntota horizontal. Son rectas de la forma y = L tal que ( ) RxfLímL
x∈=
±∞→
( ) 11001
1141
1
1
1
x41
1
1x
1Lím
4x
x
1x
1LímxfLím
xxx=+=
++
∞±=
∞±+
++∞±
=
++
+=
++
+=
±∞→±∞→±∞→
y = 1 asíntota horizontal de f(x). Por tener asíntota horizontal, la función no puede tener asíntota oblicua. Modelo 2014. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función
( )
≥+
−
<−
+
=
0xsi1x
1x
0xsi1x
6x2
xf
2
2
2
se pide: a) (0,75 puntos) Estudiar su continuidad. b) (1 punto) Estudiar la existencia de asíntotas de su gráfica y, en su caso, calcularlas. c) (1,25 puntos) Hallar los extremos relativos y esbozar de su gráfica.
Solución. b. La función no presenta asíntotas verticales porque su domino es todo R. Cuando x tiende a menos infinito, la función presenta una asíntota oblicua.
y = mx + n:
( )
( )( )( )
=−
+==
−
−−+=
⋅−
−
+=−=
=−
+=−
+
==
−∞→−∞→−∞→−∞→
−∞→−∞→−∞→
21x
6x2Lím
1x
1xx26x2Límx2
1x
6x2LímmxxfLímn
2xx
6x2Lím
x1x
6x2
Límx
xfLímm
x
2
x
2
xx
2
2
x
2
xx
2x2y +=
Cuando x tiende a más infinito la función presenta una asíntota horizontal.
( ) 11x
1xLímxfLím
2
2
xx=
+
−=
+∞→+∞→ 1y =
c. Los extremos relativos de una función son los puntos donde la derivada se anula y cambia de
signo, con el siguiente criterio: ( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
⇒<′>′
⇒>′<′=′
+−
+−
Máximo xf,x 0xfy 0xf
Mínimo xf,x 0xfy 0xf: 0xf Si
oooo
ooooo
( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( )
>
+
<−
−−⋅
=
>
+
⋅−−+⋅
<−
⋅+−−⋅
=
>
′
+
−
<
′
−
+
=′
0xsi1x
x4
0xsi1x
3x2x2
0xsi1x
x21x1xx2
0xsi1x
16x21xx4
0xsi1x
1x
0xsi1x
6x2
xf
22
2
2
22
22
2
2
2
2
2
( )( )
( )( )
∞−∉=
∞−∈−==
−
−−⋅
válidoNo 0 ,2x
Posible 0 ,1x:0
1x
3x2x22
2
6
( ) ( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )( )
( )( ) máximoun 2,12
11
6121f:
04
202
11
211121f
04
202
11
211121f 2
2
2∃−−⇒−=
−−
+−⋅=−
<−⋅⋅
=−−
−−⋅+−⋅=−′
>−⋅⋅
=−−
−−⋅+−⋅=−′
+++
−−−
( )( ) válidoNo ,00x:0x4:0
1x
x422
∞+∈===
−
La función solo presenta un extremo relativo. Para poder esbozar la gráfica, además de la información que hemos obtenido es conveniente calcular los punto de corte de la función con los ejes coordenados, asi como los valores que toman ambas expresiones en el punto frontera.
• ( ) [ )[ ) ( )
⇒+∞∈
⇒+∞∉−±==−=
+
−
∉−==+=−
+
=
0 ,1,01
válidaNo,01:1 x01x 0
1x
1x
R3 x06x2 01x
6x2
:0yOX2
2
2
22
• ( ) ( )1 ,0110
10y:0xOY
2
2−⇒−=
+
−==
( ) ( ) 110
100f ; 6
10
6020f
2
22−=
+
−=−=
−
+⋅=−
Septiembre 2013. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 2 puntos
Dada la función ( ) x1exf = , se pide:
a) (1 punto) Calcular ( )xfLímx +∞→
, ( )xfLímx −∞→
y estudiar la existencia de ( )xfLím0x→
.
b) (1 punto) Esbozar la gráfica y = f(x) determinando los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) y sus asíntotas.
Solución.
a. ( ) ( ) 1eeeLímxfLím 01x1
xx==== +∞
+∞→+∞→
( ) ( ) 1eeeLímxfLím 01x1
xx==== −∞
−∞→−∞→
Para estudiar la existencia del ( )xfLím
0x→, se calculan los límites laterales, y si existen se
comprueban si son iguales. Si existen y son iguales, existe el límite, si existen pero son distintos, no existe el límite y si al menos uno de lo límites laterales no existe, tampoco existirá el límite.
( ) ( ) 01
e
1eeeLímxfLím 01x1
0x0x=
∞=====
∞
∞−
→→
−
−−
( ) ( ) ∞====∞+
→→
+
++eeeLímxfLím 01x1
0x0x
( ) ( ) ( )xfLím existe NoxfLímxfLím
0x0x0x →→→
⇒≠+−
7
b. Monotonía, estudio del signo la derivada: Si ( ) 0xf >′ ⇒ f(x) es creciente, si ( ) 0xf <′ ⇒ f(x) es
decreciente.
( ) ( ) ( ) Dominio x edecrecient es xf0xf:R x 0x
0 x 0e:
x
e
x
1exf
2
x1
2
x1
2x1
∈∀⇒<′
∈∀>
≠∀>−=
−⋅=′
Asíntotas verticales. Rectas de la forma x = a / a ∉ R y ( )0
kxfLím
ax=
→
[ ] { }0ReD x1 −=
( )( ) ( )
( ) ( )
∞====
=∞
=====
=∞+
→→
∞
∞−
→→
→+
++
−
−−
eeeLímxfLím
01
e
1eeeLímxfLím
xfLím01x1
0x0x
01x1
0x0x
0x
La función tiene una asíntota vertical cuando x se aproxima a cero por la derecha. Asíntota horizontal. Recta de la forma y = L / ( ) RxfLímL
x∈=
±∞→
( ) ( ) 1eeeLímxfLím 01x1
xx==== +∞
+∞→+∞→
( ) ( ) 1eeeLímxfLím 01x1
xx==== −∞
−∞→−∞→
La función tiene una asíntota horizontal sobre la recta y = 1. Asíntota oblicua. No hay por haber horizontal.
Septiembre 2013. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función:
( )2x2
27
4x
4xf
++
−=
se pide: a) (0,75 puntos) Hallar las asíntotas de su gráfica. b) (1,75 puntos) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y calcular sus puntos de
inflexión. c) (0,5 puntos) Esbozar la gráfica de la función.
Solución.
( )( )
( ) ( )2x24x
20x7 5
2x2
27
4x
4xf
+⋅−
−=
++
−=
a. Asíntotas verticales. Rectas de la forma x = a / a ∉ R y ( )0
kxfLím
ax=
→
{ } { }4 ,1R02x2y 04xRxD −−=≠+≠−∈=
( )( ) ( )
( )( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
+∞=−
=
+⋅−
−
−∞=−
=
+⋅−
−
−=
+−⋅⋅−−
−−⋅=
+⋅−
−
−−→
+−→
−→
+
−
0
135
2x24x
20x7 5Lím
0
135
2x24x
20x7 5Lím
:0
135
21241
2017 5
2x24x
20x7 5Lím
1x
1x
1x
8
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
+∞==
+⋅−
−
−∞==
+⋅−
−
=+⋅⋅−
−⋅=
+⋅−
−
+→
−→
→
+
−
0
28
2x24x
20x7 5Lím
0
28
2x24x
20x7 5Lím
:0
40
24244
2047 5
2x24x
20x7 5Lím
4x
4x
4x
Asíntota horizontal. Recta de la forma y = L / ( ) RxfLímLx
∈=±∞→
( )( )
( ) ( )( )
( )0
7
x
7Lím
x
x7Lím
4x3x 2
20x7 5Lím
2x24x
20x7 5LímxfLím
x2x2xxx=
∞==≈
−−
−=
+⋅−
−=
±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→
Asíntota horizontal: 0y =
Asíntota oblicua. No hay por haber horizontal. b. Monotonía, estudio del signo de la derivada: Si ( ) 0xf >′ ⇒ f(x) es creciente, si ( ) 0xf <′ ⇒ f(x)
es decreciente
( )( )
( ) ( ) 4x3x
20x7
2
5
2x24x
20x7 5xf
2 −−
−⋅=
+⋅−
−=
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )22
2
22
2
22
2
4x3x
88x40x7
2
5
4x3x
88x40x7
2
5
4x3x
3x220x74x3x7
2
5xf
−−
+−⋅−=
−−
−+−⋅=
−−
−⋅−−−−⋅⋅=′
R14
86440
14
88744040x:088x40x7
22 ∉
−±=
⋅⋅−±==+−
( )( )
( )( ) EDECRECIENT es xf 0
4x3x
88x40x7
2
5xf:
Dominiox 04x3x
Dominiox 088x40x722
2
22
2⇒<
−−
+−⋅−=′
∈∀>−−
∈∀>+−
Puntos de inflexión: puntos donde se anula la segunda derivada y cambia de signo.
( )( )22
2
4x3x
88x40x7
2
5xf
−−
+−⋅−=′
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )222
2222
4x3x
3x24x3x288x40x74x3x40x14
2
5xf
−−
−⋅−−⋅⋅+−−−−⋅−⋅−=′′
( )( )
0344x264x60x7:04x3x
344x264x60x75xf 23
32
23=−+−=
−−
−+−⋅=′′
Descomponiendo el numerador por el método de Ruffini, se obtiene la única raíz real del polinomio, que junto con las raíces del denominador (‒1, 4), permiten estudiar el signo de la segunda derivada
( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )∪<′′⇒∞+∈
<′′⇒=
∩<′′⇒
<′′⇒=
∪<′′⇒−∈
−∃/⇒−=
∩<′′⇒−∞−∈
cóncava xf0xf ,4xSi
verticalAsíntota0xf4xSi
convexa xf0xf4 ,2Si
inflexión Punto0xf2xSi
cóncava xf0xf2 ,1xSi
verticalAsíntota1f 1xSi
convexa xf0xf1 ,xSi
c. Cortes con los ejes:
OX (y = 0): 04x3x
20x7
2
5y
2=
−−
−⋅=
020x7 =− ; 7
20x = ;
0 ,
7
20
9
OY (x = 0): 2
25
4030
2007
2
5y
2=
−⋅−
−⋅⋅=
2
25 ,0
Junio 2013. Ejercicio 3A: Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la función ( )( )2
3
3x
xxf
−= , se pide:
a) (1 punto) Hallar las asíntotas de su gráfica. b) (1 punto) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto de abscisa x = 2.
Solución.
a. Verticales. Rectas de la forma x = a / a ∉ D[f(x)] y ( )0
kxfLím
ax=
→
( )[ ] ( ){ } { }3R03xRxxfD 2−=≠−∈=
( ) ( ) 0
27
33
3
3x
xLím
2
3
2
3
3x=
−=
−→:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
verticalA. 3x
0
27
0
27
33
3
3x
xLím
0
27
0
27
33
3
3x
xLím
22
3
2
3
3x
22
3
2
3
3x=⇒
+∞===
−
=−
+∞===
−
=−
+++→
+−−→
+
−
Horizontal. Recta de la forma y = L / ( )xfLímL
x ±∞→=
( )±∞=
−±∞→ 2
3
x 3x
xLím No hay asíntota horizontal
Oblicua. y = mx + n
( ) ( )( )
11
1
x9x6x
xLím
3xx
xLím
x3x
x
Límx
xfLímm
23
3
x2
3
x
2
3
xx==
+−=
−⋅=
−==
±∞→±∞→±∞→±∞→
( )( )( )
( )6
1
6
9x6x
x9x6Lím
9x6x
x9x6xxLímx
3x
xLímmxxfLímn
2
2
x2
233
x2
3
xx==
+−
−=
+−
+−−=
−
−=−=
±∞→±∞→±∞→±∞→
y = x + 6 Asíntota oblicua
Modelo 2013. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos a) (0'5 puntos) Representar gráficamente el recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = ln x
y el eje OX entre las abscisas x = 1/e, x = e. b) (1'25 puntos) Calcular el área de dicho recinto. c) (1'25 puntos) Calcular el volumen del sólido de revolución obtenido al girar dicho recinto
alrededor del eje OX. Solución.
a. f(x) = Ln x es una función elemental cuyo dominio es (0, +∞), su imagen o recorrido es todo R, corta al eje OX en el punto (1, 0) y tiene una asíntota vertical cuando x → 1+ hacia ‒∞. x = 1/e y x = e son rectas verticales que cortan al eje OX en los puntos (1/e, 0) y (e, 0) respectivamente.
10
Junio 2011. Ejercicio 1B. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función
( )3
4
x
1axxf
+=
a) (1 punto) Determinar el valor de a para el que la función posee un mínimo relativo en x = 1. Para ese valor de a, obtener los otros puntos en que f tiene un extremo relativo.
b) (1 punto) Obtener las asíntotas de la gráfica de y = f (x) para a = 1. c) (1 punto) Esbozar la gráfica de la función para a = 1.
Solución. b. Para esbozar la gráfica de la función se requiera como mínimo analizar el dominio, los puntos de corte con los ejes, el signo de la función y sus asíntotas
( )3
4
x
1xxf
+=
• Dominio: { } { }0R0xRxx
1xD 3
3
4−=≠∈=
+
• Corte con los ejes:
- OX (y = 0): 0x
1xy
3
4=
+= ; 01x4 =+ ; R1x 4 ∉−±= . No corta al eje OX
- OY (x = 0): Como 0 ∉ Dominio, tampoco corta al eje OY
• Signo: ( ) ( )( ) ( )
>+∞∈
<∞−∈⇒
>
<∈∀>+
0xf,0 xsi
0xf0, xsi
Positivo0 xsi
Negativo0 xsi xDominio; x 01x 34
• Asíntotas:
- Vertical: x = a / a∉ Dominio y ( )0
kxfLím
a x=
→
x = 0: ( )
( )
+∞==+
=+
−∞==+
=+
=+
++→
−−→
→
+
−
0
1
0
10
x
1xLím
0
1
0
10
x
1xLím
:0
1
x
1xLím
3
4
3
4
0x
3
4
3
4
0x
3
4
0x Asíntota vertical: x = 0
- Horizontal: y = L; ( )xfLímLx ±∞→
=
+∞=
−∞=
==≈+
+∞→
−∞→
±∞→±∞→±∞→ xLím
xLímxLím
x
xLím
x
1xLím
x
x
x3
4
x3
4
x
La función no tiene asuntota horizontal, los límites indican que cuando x tiende a +∞, la función tiende a +∞, y cuando x tiende a ‒∞, la función tiende a ‒∞
- Oblicua (y = mx + n): ( )x
xfLímm
x ±∞→= ; ( )( )mxxfLímn
x−=
±∞→
11
( )1
x
xLím
x
1xLím
xx
1x
Límx
xfLímm
4
4
x4
4
x
3
4
xx=≈
+=
+
==±∞→±∞→±∞→±∞→
( )( )( )
01
x
1Lím
x
x1xLímx1
x
1xLímmxxfLímn
33x3
44
x3
4
xx=
∞±==
−+=
⋅−
+=−=
±∞→±∞→±∞→±∞→
Asíntota oblicua y = x. Posición relativa de la función respecto de la asíntota.
( ) ( )( ) ( )
( )
=∞+
=∞+
==
=∞−
=∞−
==
==
−
+=−−=
+
+∞→
−
−∞→
±∞→±∞→±∞→ 011
x
1Lím
011
x
1Lím
x
1Límx
x
1xLímnmxxfLímn
33x
33x
3x3
4
xx
Cuando x tiende a ‒∞, la función se aproxima a la asíntota por debajo (0‒), cuando x tiende a +∞, la función se aproxima a la asíntota por encima. Con las asíntotas, y la posición relativa, se puede esbozar la gráfica de la función.
Septiembre 2010. F. M. Ejercicio 2B. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función:
( )5x
20x5x3xf
2
+
−+=
se pide: a) (1,5 puntos) Estudiar y obtener las asíntotas. b) (1 punto) Estudiar los intervalos de concavidad y convexidad c) (0,5 puntos) Representar gráficamente la función.
Solución.
a. Asíntotas verticales. ( )[ ] ( ) ±∞=∉=→
xf Límy xfDa/axax
( )[ ] { } { }5RD:05x/RxxfD −−=≠+∈=
x = −5:
verticalAsíntota 5x:
0
30
55
30
5x
20x5x3Lím
0
30
55
30
5x
20x5x3Lím
:0
30
5x
20x5x3Lím
2
5x
2
5x2
5x−=
+∞==+−
=+
−+
−∞==+−
=+
−+
∞==+
−+
++−→
−−−→
−→
+
−
Asíntota horizontal: y = L / ( )xfLímL
x ±∞→=
12
±∞==≈+
−+
±∞→±∞→±∞→x3Lím
x
x3Lím
5x
20x5x3Lím
x
2
x
2
x No tiene asíntotas horizontales.
Asíntota oblicua: y = mx + n.
( )33Lím
x
x3Lím
x5x
20x5x3Lím
x5x
20x5x3
Límx
xfLímm
x2
2
x2
2
x
2
xx==≈
+
−+=
+
−+
==±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→
( )( ) ( ) 1010Límx
x10Lím
5x
20x10Límx3
5x
20x5x3LímmxxfLímn
xxx
2
xx−=−=
−≈
+
−−=
−
+
−+=−=
±∞→±∞→±∞→±∞→±∞→
Asuntota oblicua 10x3y −=
Posición relativa:
( ) ( )( ) ( )
=∞+
=+
=∞−
=+=
+=
−−
+
−+=+−=
+
+∞→
−
−∞→
±∞→±∞→±∞→ 030
5x
30Lím
030
5x
30Lím
5x
30Lím10x3
5x
20x5x3LímnmxxfLímn
x
x
x
2
xx
Cuando x → −∞, la función se aproxima a la asíntota por debajo. Cuando x → +∞, la función se aproxima a la asíntota por encima. b. La curvatura de una función se asocia al signo de la derivada segunda:
( ) ( )( ) ( )
∩⇒<′′
∪⇒>′′
Concava0xf Si
Convexa0xf Si
( )( ) ( ) ( )
( ) ( )2
2
2
2
5x
45x30x3
5x
120x5x35x5x6xf
+
++=
+
⋅−+−+⋅+=′
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( )33
2
4
22
5x
60
5x
1245x30x35x30x6
5x
15x245x30x35x30x6xf
+=
+
⋅⋅++−+⋅+=
+
⋅+⋅++−+⋅+=′′
- Sí x < −5: ( ) 0xf <′′ ⇒ f(x) es cóncava (∩).
- Si x > −5: ( ) 0xf >′′ ⇒ f(x) es convexa (∪).
c. Gráfica de la función. Puntos de corte con los ejes:
- OX (y = 0): 05x
20x5x3 2=
+
−+:
≈
−≈=−+
88,1x
55,3x:020x5x3 2
- OY (x = 0): 450
200503y
2−=
+
−⋅+⋅=
Conocidos los puntos de corte, la curvatura, las asíntotas y la posición relativa de la función
respecto de las asíntotas, se esboza la gráfica de la función.
13
Para que la gráfica quede un poco más clara, se han tomado diferentes escalas en los ejes. Junio 2010. F. M. Ejercicio 4A. Calificación máxima: 2 puntos.
Dada la función ( ) ( )5x4x Lnxf 2 −+= , donde Ln significa logaritmo neperiano, se pide:
a) (1 punto) Determinar el dominio de definición de f(x) y las asíntotas verticales de su gráfica. b) (1 punto) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x)
Solución. a. Por ser una función logarítmica, el argumento del logaritmo debe ser mayor que cero.
( )[ ] { }05x4x/RxxfD 2 >−+∈=
( ) ( ) 01x5x:1x
5x:05x4x:05x4x 22 >−⋅+
=
−==−+>−+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]
∈∞⇒>−⋅+
>−
>+∞
∉−⇒<−⋅+
<−
>+−
∈−∞−⇒>−⋅+
<−
<+−∞−
xfD ,101x5x:01x
05x: ,1
xfD1 ,501x5x:01x
05x:1 ,5
xfD5 ,01x5x:01x
05x:5 ,
:
( )[ ] ( ) ( )∞∪−∞−= ,15 ,xfD
Asíntotas verticales. Los posibles puntos de asíntota vertical son los puntos excluidos del dominio, como en este caso lo que se excluye es un intervalo, los posibles puntos son los extremos del intervalo (x → −5−; x → 1+). Para que una función tenga una asíntota vertical en un punto a, se debe cumplir:
( ) ±∞=→
xfLímx
Comprobamos si se cumple en −5− y 1+:
• ( ) ( ) ( )( ) −∞==−−⋅+−=−+−−→
0 Ln5545 Ln5x4x LnLím 22
5x
• ( ) ( ) −∞==−⋅+=−++−→
0 Ln5141 Ln5x4x LnLím 22
1x
Cuando x → −5−; x = −5 Asíntota vertical
Cuando x → 1+; x = 1 Asíntota vertical
14
Junio 2010. F. G. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función:
( )1x
2xxf
2
2
+
+=
se pide: a) (0’75 puntos) Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x). b) (0’75 puntos) Hallar los puntos de inflexión de la gráfica de f(x) c) (0’75 puntos) Hallar las asíntotas y la gráfica de f(x) d) (0’75 puntos) Hallar el área del recinto acotado que limitan la gráfica de f(x), el eje de abscisas y
las rectas y las rectas y = x +2, x = 1 Solución. a. La monotonía de una función se asocia al signo de la segunda derivada:
• Sí f ’(x) > 0 ⇒ f(x) es creciente. • Si f ’(x) < 0 ⇒ f(x) es decreciente.
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )2222
33
22
22
22
2222
1x
x2
1x
x4x2x2x2
1x
x22x1xx2
1x
1x2x1x2xxf
+
−=
+
−−+=
+
⋅+−+⋅=
+
′+⋅+−+⋅
′+
=′
Signo de ( )( ) ( )
∉⇒−==+=+
==−
+
−=′
Rx1x:01x:01x
0x:0x2:
1x
x2xf 222222
• ( )0,−∞ Creciente
• ( )+∞,0 Decreciente
En x = 0 la función cumple las condiciones de
extremo relativo (la derivada se anula y cambia de signo), el cambio de signo (+ → −) indica que la función presenta
un máximo en (0, f(0)).
( ) 210
200f
2
2=
+
+= En (0, 2) la función tiene un máximo.
b. Los puntos de inflexión son los puntos donde La Segunda derivada se anula y cambia el signo.
( )( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( )
=
+
⋅+⋅−−+⋅−=
+
″
+−−+⋅
′−
=′′42
222
422
2222
1x
x21x 2x2´1x2
1x
1xx2´1xx2
xf
( ) ( )( )( ) ( ) ( )32
2
32
22
42
22
1x
2x6
1x
x82x2
1x
x2 2x2´1x21x
+
−=
+
+−−=
+
⋅⋅++⋅−⋅+=
( )3
3
6
2x:02x6:0xf 2 ±=±==−=′′
15
En 3
3x ±= se dan las condiciones de punto de inflexión (la segunda derivada se anula y
cambia de signo).
Para 3
3x = :
4
7
13
1
23
1
133
233
3
3fy
2
2
=
+
+
=
+
+
=
=
Para 3
3x −= :
4
7
13
1
23
1
133
233
3
3fy
2
2
=
+
+
=
+
−
+
−
=
−=
Los puntos de inflexión de la función son:
−
4
7,
3
3 ;
4
7,
3
3
c. Asíntotas. Verticales. Son rectas de la forma ( ) ±∞=∉=
→xfLímy Da/ax
ax. Como el dominio de la función
es todo R, no tiene asíntotas verticales. Horizontales. Son rectas de la forma y = L / ( )xfLímL
x ±∞→=
11x
2xLím
2
2
x=
+
+
±∞→ Por comparación de grados. 1y =
Posición relativa: ( )( )( )
+
±∞→±∞→±∞→=
∞+=
+∞±=
+=
−
+
+=− 0
1
1
1
1x
1Lím1
1x
2xLímLxfLím
22x2
2
xx
Hacia ± ∞ la función se aproxima a la asíntota por encima. Para esbozar la gráfica de la función es aconsejable calcular los puntos de Corte con los ejes:
• OX(y = 0): 1x
2x0
2
2
+
+= ; 02x2 =+ , no tiene solución. La función no corta a OX.
• OY(x = 0): 210
20y
2
2=
+
+= La función corta a OY en (0, 2), formando un máximo.
Modelo 2010. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 3 puntos. Dada la función:
( ) xx aeexf −+= , siendo a. un nún1ero real, estudiar los siguientes apartados en función de a:
a) (1,5 puntos). Hallar los extremos relativos y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f(x)
b) (1 punto). Estudiar para qué valor, o valores, de a la función f tiene alguna asíntota horizontal.
c) (0,5 puntos). Para a = 0, hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de f, el eje OX y las rectas x = 0, x = 2.
Solución.
16
b. Las asíntotas horizontales tienen la forma y = L, donde ( )xfLímLx ±∞→
=
( ) ( ) ( )∞⋅+=∞⋅+
∞=+=+=+= ∞
∞
∞−−∞−−
−∞→−∞→a0a
1ae
e
1aeeaeeLímxfLím xx
xx
i. Si a ≠ 0, ( ) ±∞=−∞→
xfLímx
, dependiendo del signo de a. En este caso, la función no tiene
asíntota horizontal hacia −∞.
ii. Si a = 0. ( ) 01
e
1eeLímxfLím x
xx=
∞====
∞
∞−
−∞→−∞→, La función tiene una asíntota
horizontal (y = 0, eje OX) hacia −∞.
( ) ( ) ∞=+∞=∞
+∞=+∞=+=+=∞
∞−∞−
+∞→+∞→0
a
e
aaeeaeeLímxfLím xx
xx
Independientemente al valor que tome a, la función no tiene asíntota hacia −∞. Modelo 2009. Ejercicio 2A. Calificación máxima: 3 puntos Sea
( )( )( )
≥−−
<−=
2
3 xsi 2x1
12
72
3 xsi
4
x1
xf2
2
a) (1 punto). Estudiar la continuidad y derivabilidad de f(x). b) (1 punto). Hallar los máximos y mínimos locales de f(x). c) (1 punto). Dibujar la gráfica de f(x).
Solución. c. La gráfica de la función se puede obtener por desplazamientos y deformación de la función y = x2, y calculando los puntos de corte con los ejes.
Septiembre 2008. Ejercicio 1. Calificación máxima: 3 puntos Dada la función:
( ) ( )1xexf 2x += −
se pide: a) (2 puntos). Dibujar la gráfica de f, estudiando el crecimiento, puntos de inflexión y asíntotas.
b) (1 punto). Calcular: ( )∫1
0 dx xf
Solución.
a. Gráfica de la función ( )x
2
e
1xxf
+=
17
• Dominio: Teniendo en cuenta que ex > 0 para cualquier valor real de x, D[f(x)] = R.
• Puntos de corte con los ejes:
- OX (y = 0): R1x :01x :0e
1xy 2
x
2
∉±==+=+
= No corta al eje OX.
- OY(x = 0): ( )1 ,011
1
e
1oy
0
2
⇒==+
=
• Signo de la función: ( ) R x 0xfR x 0e
R x 01xx
2
∈∀>⇒
∈∀>
∈∀>+. La grafica de la función se sitúa
por encima del eje OX. • Asíntotas.
Verticales: Rectas de la forma x = xo, donde xo ∉ ℜ. Como el dominio de la función es todo ℜ, la función no tiene asíntotas horizontales. Horizontal: Rectas de la forma y = L, donde ( )xfLímL
x ±∞→=
02
e
2
e
2Lím
e
x2Lím
e
1xLím
xxH´LxxH´Lx
2
x=
∞====
+∞∞→
∞∞
∞→
∞∞
∞→
( )∞=
∞=
+∞−=
+
∞−−∞→ 0e
1
e
1xLím
2
x
2
x
Tiene asíntota horizontal y = 0 (Eje OX) hacia +∞ Oblicua: Recta de la forma y = mx + n. Hacia +∞ no tiene por que tiene horizontal, hay que comprobar hacia −∞.
( )−∞=
+∞−=∞−
+∞−=
+=
+
==∞−−∞→−∞→−∞→ 0
0
e
1
e
x1x
Límx
e
1x
Límx
xfLímm
xx
x
2
xx
No tiene asíntota oblicua hacia −∞.
• Estudio de la primera derivada. El estudio de la primera derivada permite calcular la monotonía y los extremos relativos.
- En los intervalos donde ( ) 0xf >′ , la función será creciente.
- En los intervalos donde ( ) 0xf <′ , la función será decreciente.
En los puntos donde la primera derivada sea nula y se produzca un cambio de signo existirá un extremo relativo, con el siguiente criterio:
- Si ( )( )( )
( )( ) Máximo xf,x0xf
0xf:0xf oo
o
oo ⇒
<′
>′=′
−
−
- Si ( )( )( )
( )( ) Mínimo xf,x0xf
0xf:0xf oo
o
oo ⇒
>′
<′=′
−
−
Cálculo de la derivada:
( )( )
( )( )
( )( )
x
2
x
2
2x
2x
2x
x2x
e
1x
e
1x2x
e
1xx2e
e
e1xex2xf
−−=
+−−=
−−⋅=
⋅+−⋅=′
(x − 1)2 > 0 por estar elevado al cuadrado y ex por definición siempre es positiva, debido al signo negativo que lleva la derivada, ( ) 0xf <′ ∀ x ∈ ℜ, por lo tanto la función es monótona decreciente
en ℜ, y a pesar de que en x = 1 se anula la derivada, no tiene extremos relativos.
18
• Estudio de la segunda derivada El estudio de la segunda derivada permite calcular la curvatura y los puntos de inflexión.
- En los intervalos donde ( ) 0xf >′′ , la función será convexa (∪).
- En los intervalos donde ( ) 0xf <′′ , la función será cóncava (∩).
En los puntos donde la segunda derivada sea nula y se produzca un cambio de signo existirá un punto de inflexión Cálculo de la derivada:
( )( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
xx2x
x
2x
x2x
e
3x1x
e
x31x
e
1x2e1x
e
e1xe11x2xf
−⋅−=
−⋅−−
−−⋅−−=
⋅−−⋅⋅−⋅−=′′
Estudio de signos y ceros de la segunda derivada:
( )( ) ( ) ( ) ( )
ℜ∉=
=
==−⋅−−⋅−
=′′
tieneNo x:0e:Polos
3x
1x:03x1x:Ceros
:e
3x1xxf
xx
( )e
2
e
111f
1
2
=+
= ( )33
2
e
10
e
133f =
+=
• Gráfica. La función es continua, positiva y decreciente en todoℜ. Corta al eje OY en (0, 1). Cuando x tiende a infinito, la función tiende asintóticamente al eje OX, cuando x tiende a menos infinito la función tiende a infinito. Tiene un punto de inflexión con tangente horizontal (punto de silla) en (1, 2/e), y otro punto de inflexión en (3, 10/e3).
Modelo 2008. 1. (2 puntos). Se considera la función f(x) = xe
x
a) (1 punto). Hallar sus asíntotas y sus extremos locales. b) (1 punto). Calcular los puntos de inflexión de f(x) y dibujar la gráfica de f{x).
Solución. a. Asíntotas:
• Verticales (x = xo; xo∉D[f(x)]). No tiene porque el dominio es todo R
{ }[ ] Rx)fD:
Rx 0e :definición Por
0e/Rxe
xD
x
xx =
∈∀>
≠∈=
• Horizontales
==
±∞→x)fLímL ;Ly
x.
19
( )
−∞=∞−
=∞−
=
=∞
=====
∞−−∞→
∞+∞→+∞→
±∞→
0ee
xLím
01
e
1
e
1Lím
e
xLím
xfLímL
xx
xx
00
H'Lxxx
La función tiene una asíntota horizontal hacia +∞ de ecuación y = 0
• Oblicuas (y = mx + n). Hacia +∞ no puede tener asíntota oblicua por tener horizontal. Hacia −∞ existe la posibilidad y que comprobarlo.
( )∞======
∞−−∞→−∞→−∞→ 0
1
e
1
e
1Lím
xe
x
Límx
xfLímm
xx
x
xx
No tiene asíntota oblicua hacia −∞ Extremos locales (máximo y mínimos relativos). Para que una función tenga un extremo relativo en un punto, la primera derivada de la función en el punto debe ser cero y la segunda distinta de cero.
( ) ( ) 0xfy 0xf Máximo xx ooo <′′=′⇔∃=
( ) ( ) 0xfy 0xf Mínimo xx ooo >′′=′⇔∃=
( )( )
( )
( ) x2x
x
2x
xx
e
x1
e
x1e
e
exe1xf
−=
−=
⋅−⋅=′
( )( )
( )( )
( ) x2x
x
2x
xx
e
2x
e
2xe
e
ex1e1xf
−=
−=
⋅−−⋅−=′′
( ) 0xf =′ : 0e
x1x
=−
: 0x1 =− : 1x = : ( )e
1
e
11fy
1===
( ) local Máximo e
1 ,10
e
1
e
211f
1
⇒<
−=
−=′′
b. Puntos de inflexión. Para que una función tenga inflexión en un punto, la segunda derivada de la función en el punto debe ser cero y la tercera distinta de cero.
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
∪→∩⇒>′′′
∩→∪⇒<′′′≠′′′=′′⇔∃=
ConvexaConcava0xf
ConcavaConvexa0xf:0xfy 0xfinflexión xx
o
oooo
( )xe
2xxf
−=′′
( )( )
( )( )
( ) x2x
x
2x
xx
e
x3
e
x3e
e
e2xe1xf
−=
−=
⋅−−⋅=′′′
( ) 0xf =′′ : 0e
2xx
=−
: x − 2 = 0 : x = 2 : ( )2e
22fy ==
( ) 0e
1
e
232f
22>=
−=′′′
En el punto
2e
2 ,2 la función presenta inflexión de ( ) ( )∪→∩ ConvexaConcava
20
Gráfica de la función. Es conveniente calcular los puntos de corte con los ejes.
- OX (y = 0): 0e
xx
= : x = 0. (0, 0)
- OY (x = 0): El mismo, al eje OY solo lo puede cortar una vez.
Septiembre 2007. Ejercicio 4B. (3 puntos). Sea g(x) una función continua y derivable para todo
valor real de x, de la que se conoce la siguiente información:
i) g '(x) > 0para todo x ∈ (−∞, 0) ∪ (2, +∞), mientras que g '(x) < 0 para todo x ∈ (0, 2).
ii) g"(x) > 0 para todo x ∈ (1, 3) y g"(x) < 0 para todo x ∈ (−∞, 1) ∪ (3, +∞).
iii) g(−1) = 0, g(0) = 2, g(2) =1. iv) ( ) −∞=
−∞→xglím
x y ( ) 3xglím
x=
+∞→
Teniendo en cuenta los datos anteriores, se pide: a) (1 punto).Analizar razonadamente la posible existencia o no existencia de asíntotas verticales
horizontales u oblicuas. b) (1 punto). Dibujar de manera esquemática la gráfica de la función g(x).
c) (1 punto). Si ( ) ( )dt tgxGx
0∫= encontrar un valor xo tal que su derivada G '(xo) = 0.
Solución. a. Asíntotas verticales. No tiene. En el enunciado nos informan que la función es continua en todo R Los puntos de asíntota vertical son puntos de discontinuidad de la función y no pertenecen al dominio. Asíntotas horizontales. La condición para que una función tenga asíntota horizontal es que límite de la función cuando la variable tiende a ±∞ sea un número finito
( ) RLxfLímx
∈=±∞→
• ( ) −∞=−∞→
xglímx
Hacia −∞ no tiene asíntota horizontal
• ( ) 3xglímx
=+∞→
Hacia +∞ tiene asíntota horizontal (y = 3).
Asíntotas oblicuas. Hacia +∞ no puede haber porque existe una horizontal. Hacia −∞ no hay información suficiente, puede haberla o no. b.
21
Junio 2007. 2B. (2 puntos). Dibujar la gráfica de la función
( )x2
x xf
−=
indicando su dominio, intervalos de crecimiento y asíntotas. Solución. Por ser una función con valor absoluto se decompone en intervalos en función de los ceros de la expresión que lleva el valor absoluto (en este caso x = 0).
( )
≥−
<−=
≥−
<−
−
=−
=
0 xSi x2
x
0 xSi 2x
x
0 xSi x2
x
0 xSi x2
x
x2
x xf
•••• Dominio: { }2R −
•••• Monotonía. Signo de la primera derivada: ( ) ( )
( ) ( )
⇒<′
⇒>′
eDecrecient xf0xf Si
Creciente xf0xf Si
( )
( ) ( )22 2x
2
2x
1x2x1
2x
x
−
−=
−
⋅−−⋅=
′
−
( ) ( )
( ) ( )22 x2
2
x2
1xx21
x2
x
−=
−
−⋅−−⋅=
′
−
( ) ( )
( )
>−
<−
−
=′
0 xSi x2
2
0 xSi 2x
2
xf
2
2
( ) ( ) ( ) eDecrecient xf0xf ,0 , xSi ⇒<′−∞∈
( ) ( ) ( ) Creciente xf0xf , ,0 xSi ⇒>′∞+∈
•••• Asíntota vertical. De existir se encontrarán en los puntos excluidos del dominio donde le límite sea
infinito.
x = 2: ( ) ∞==−
=→→ 0
2
x2
xLímxfLím
2x2x
En x = 2 existe una asíntota vertical, por lo tanto habrá que estudiar los límites laterales en 2.
+∞==−
=− +−
→ − 0
2
22
2
x2
xLím
2x
−∞==−
=− −+
→ + 0
2
22
2
x2
xLím
2x
•••• Asíntota Horizontal. ( )( )
( )
−=⇒−=−
=
=⇒=−
=
+∞→+∞→
−∞→−∞→
±∞→ 1y1x2
xLímxfLím
1y12x
xLímxfLím
:xfLím
xx
xx
x
•••• Cortes con los ejes. OX: ( )0 0, .0x0x2
x=⇒=
−. Coincide con el punto de corte con OY.
22
Otra forma de hacer el ejercicio sería por desplazamientos y deformaciones a partir de la gráfica de la hipérbola equilátera elemental (y = 1/x). Una vez dibujada podríamos describir su comportamiento (Dominio, monotonía y asíntotas).
( )2x
21
2x
x
x2
xxf
−
−+−=
−
−=
−=
La descomposición de la fracción se hace mediante la división de polinomios.
( )2x
21xf
−
−+−=
Hipérbola equilátera deformada y desplazada respecto de la elemental ( )
=
x
1xf .
( )
≥−
−+−
<−
+=
−=
0 xSi 2x
21
0 xSi 2x
21
x2
x xf
•••• Dominio: { }2R −
•••• Monotonía. ( ) ( ) eDecrecient xf0 , xSi ⇒−∞∈ .
( ) ( ) Creciente xf ,0 xSi ⇒∞+∈
•••• Asíntotas. Vertical x = 2. Horizontales: Hacia + ∞ y = −1; Hacia −∞ y = 1.
23
Septiembre 2006. Ejercicio 3B. (3 puntos) Dada la función ( ) x2xexf = , se pide:
a) (1,5 puntos). Dibujar su gráfica indicando su dominio, asíntotas, intervalos de crecimiento y
decrecimiento, máximos y mínimos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y puntos de
inflexión
b) (1,5 puntos). Calcular el área comprendida entre el eje OX y la gráfica de f (x) entre −1 ≤ x ≤ 1. Solución.
Dominio = R
Cortes con los ejes:( ) ( )( ) ( )
⇒=⋅==
⇒===⋅ 0 0,0e0y:0yOY
0 0,0x:0xe:0yOX02
x2
Signo de la función. El signo de la función solo depende de la
parte polinómica:
a. (−∞, 0) f(x) < 0. La función está dibujada por
debajo del eje OX
b. (0, +∞) f(x) > 0. La función está dibujada por
encima del eje OX
Asíntotas
- Verticales. No tiene por ser su dominio todo R
- Horizontales:
∞=∞⋅∞=⋅
=∞
=−
==⋅
+∞→
−−∞→
∞∞
−−∞→
⋅∞
−∞→
exLím
01
e2
1Lím
e
xLímexLím
x2
x
x2xH´Lx2x
0x2
x
Tiene asíntota horizontal (y = 0) hacia −∞.
- Oblicua (y = mx + n). De tenerla sola la puede tener hacia +∞
( )∞====
∞→∞→∞→
x2
x
x2
xxeLím
x
xeLím
x
xfLímm
No tiene asíntotas oblicuas.
Estudio de la primera derivada, monotonía, máximos y mínimos relativos. La monotonía de una función se asocia al signo de la primera derivada
• Sí f ‘(x) > 0, la función es creciente • Sí f ‘(x) < 0, la función es decreciente
Las condiciones necesarias y suficientes para que una función alcance un extremo relativo en un
punto son que en ese punto la primera derivada sea nula y que halla un cambio de monotonía.
• Si f ‘(xo) = 0 y la función pasa de creciente ( )( )0xf o >′ − a decreciente ( )( )0xf o >′ + , hay un
MÁXIMO.
• Si f ‘(xo) = 0 y la función pasa de decreciente ( )( )0xf o <′ − a creciente ( )( )0xf o >′ + , hay un
MÍNIMO.
24
( ) ( ) x2x2x2 ex212exe1xf ⋅+=⋅⋅+⋅=′
Ceros de la derivada, la única parte de la expresión que se puede hacer cero es la polinómica ya
que la exponencial siempre es mayor que cero:
( )2
1x:0x21:0ex21 x2
−==+=⋅+
e2
1e
2
1e
2
1
2
1f 12
12
−=−=−=
−
−
−⋅
Mínimo:
−−
e2
1 ,
2
1
Estudio de la segunda derivada. Curvatura y puntos de inflexión.
La curvatura de una función se asocia al signo de la segunda derivada:
• Si f “(x) > 0, f (x) es convexa (∪).
• Si f “(x) < 0, f (x) es concava (∩).
Los puntos de inflexión se pueden caracterizar como puntos donde la segunda derivada se anula
y además cambia de signo.
Segunda derivada:
( ) ( ) ( ) x2x2x2 ex442ex21e2xf +=⋅++⋅=′′
Ceros de la 2ª derivada, la única parte de la expresión que se puede hacer cero es la polinómica
ya que la exponencial siempre es mayor que cero:
4 + 4x = 0 ⇒ x = −1
25
( ) ( )2
212
e
1ee11f
−=−=⋅−=−
−−⋅
Punto de inflexión:
−−
2e
1 ,1
Gráfica de la función
Junio 2006. 3A. (3 puntos)
a) (1 punto). Dibujar la gráfica de la función ( )1x
x2xf
+= indicando su dominio, intervalos de
crecimiento y decrecimiento y asíntotas.
b) (1 punto). Demostrar que la sucesión 1n
n2a n
+= es monótona creciente.
c) (1 punto). Calcular ( )n1n2
naanLím −+
∞→
Solución.
Dominio: ( )[ ] { } { }1R01x/RxxfD −−=≠+∈=
Corte con los ejes: OX. y = 0: 1x
x20
+= : x = 0. El único punto de corte con los ejes es el (0, 0).
Signo de la función:
−=
=
1x:Polos
0x:Ceros Intervalos:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
>∞+
<−
>−∞−
0xf ,0
0xf 0 ,1
0xf 1 ,
Asíntotas: Verticales.
−∞=−
=+
+∞=−
=+
−∞=−
=+
+−→
−−→
−→
+
−
0
2
1x
x2Lím
0
2
1x
x2Lím
:0
2
1x
x2Lím
1x
1x
1x . En x = −1 existe una
asíntota vertical.
Horizontal. 21x
x2Lím
x=
+±∞→. En y = 2 existe una asíntota horizontal. Aunque por el signo que
toma la función y los límites laterales en −1 se puede intuir la posición de la función respecto de la asíntota horizontal, esta se puede estudiar calculando:
26
( )( ) 2LxfLímx
=−±∞→
Siendo L el valor de la asíntota horizontal.
( ) ( ) 2xf02xf002
1x
2Lím2
1x
x2Lím
xx>⇒>−⇒>=
∞−
−=
+
−=
−
+
+
−∞→−∞→
Cuando x tiende a −∞, la función está por encima de la asíntota.
( ) ( ) 2xf02xf002
1x
2Lím2
1x
x2Lím
xx<⇒<−⇒<=
∞+
−=
+
−=
−
+
−
+∞→+∞→
Cuando x tiende a +∞, la función está por debajo de la asíntota. Estudio de la derivada:
( )1x
x2xf
+= ( )
( )
( ) ( ) D x 0
1x
2
1x
1x21x2xf
22∈∀>
+=
+
⋅−+⋅=′
f(x) es creciente en su dominio de definición, no presentando extremos relativos. Gráfica de la función: Hipérbola equilátera desplazada y deformada
Junio 2006. 4B. (3 puntos).
a) (1,5 puntos). Estudiar y representar gráficamente la función:
( )( )22x
1xf
−=
b) (1,5 puntos). Hallar el área de la región acotada comprendida entre la gráfica de la funci6n anterior y las rectas y = 1, x = 5/2.
Solución.
Dominio: ( )[ ] ( ){ } { }2R02x/RxxfD 2−=≠−∈=
Corte con los ejes:
• OX. y = 0: ( )22x
10
−= : 1 ≠ 0. La función no corta al eje OX.
• OY. x = 0: ( ) 4
1
20
1y
2=
−= . La función corta al eje OY en
4
1 0,
Signo de la función: f(x) > 0 ∀ x ∈ Dominio
Asíntotas: Verticales. ( )
( ) ( )
( ) ( )
+∞==−
+∞==−
∞==−
+→
−→
→
+
−
222x
222x
22x
0
1
2x
1Lím
0
1
2x
1Lím
:0
1
2x
1Lím . En x = 2 existe
una asíntota vertical.
Horizontal. ( )
02x
1Lím
2x=
−±∞→. En y = 0 existe una asíntota horizontal. El signo que toma la
función (f(x) > 0 ∀ x ∈ Dominio) indica que la función siempre está por encima de la asíntota horizontal. Estudio de la derivada primera: Monotonía (signo de la 1ª derivada) y extremos relativos (ceros de la 1ª derivada).
( )( )
( ) ( ) ( ) 12x2xf:2x2x
1xf 32
2⋅−⋅−=′−=
−=
−−
( )( ) ( )
==−−
−=′
2x:02x:Polos
tieneNo :Ceros:
2x
2xf 33
27
Monotonía: Intervalos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⇒<′∞+
⇒>′∞−
eDecrecient xf0xf: 2,
Creciente xf0xf:2 ,
Extremos relativos: La condición necesaria, no suficiente, para que una función presente extremos relativos (máximos ó mínimos locales), es que su primera derivada se anule en algún punto. Como la derivada no se anula en ningún punto, la función no presenta extremos relativos.
Estudio de la derivada segunda: Curvatura (signo de la 2ª derivada) y puntos de inflexión (ceros de la 2ª derivada).
( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) 433
2x23xf:2x22x
2xf −−
−⋅−⋅−=′′−⋅−=−
−=′
( )( ) ( )
==−−=′
2x:02x:Polos
tieneNo :Ceros:
2x
6xf 44
Curvatura: ( ) Dominio x 0xf ∈∀>′′ ⇒ f(x) Convexa (∪).
Puntos de inflexión: : La condición necesaria, no suficiente, para que una función presente puntos de inflexión, es que su segunda derivada se anule en algún punto. Como la 2ª derivada no se anula en ningún punto, la función no presenta puntos de inflexión. Gráfica:
Modelo 2005. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 3 puntos.
Sea la función ( ) ( ),x1Inxf 2+= donde In significa Logaritmo Neperiano.
a) (1 punto) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los intervalos de concavidad y convexidad.
b) (1 punto) Dibujar la gráfica de la f. c) (1 punto) Calcular las ecuaciones de las rectas tangentes a la gráfica de f sus puntos de inflexión.
Solución.
a. La monotonía de la función se estudia en el signo de la primera derivada, con el siguiente criterio:
( ) ( )( ) ( ) edecrecient es xf0xf Si
creciente es xf0xf Si
⇒<′
⇒>′
Sea:
( ) ( ) ( )22
2
x1
x2x2·
x1
1xf ; x1Lnxf
+=
+=′+=
Signo de f ’(x): Los puntos donde puede cambiar el signo una expresión son los ceros y polos.
tieneNo :0x1 : Polos
0 x: 02x : Ceros2
=+
==
28
Se generan dos intervalos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Creciente xf0xf : 0,
eDecrecient xf0xf : 0,
⇒>′+∞
⇒<′−∞
La curvatura de una función se estudia en el signo de la segunda derivada, con el signo criterio.
( ) 0xf Si <′′ . La función esta por debajo de la tangente. CONCAVA
0f Si >′′ . La función está por encima de la tangente. CONVEXA
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )22
2
22
22
22
2
2x1
x22
x1
x4x22
x1
x2·x2x1·2xf :
x1
x2xf
+
−=
+
−+=
+
−+=′′
+=′
( ) ±==−
′′ tieneNo :Polos
1x:02x2 :Ceros:xf Signo
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
⇒<′′+∞
⇒>′′−
⇒<′′−∞−
CONCAVA es xf0xf:,1
CONVEXA es xf0xf:1,1
CONCAVA es xf0xf:1,
:Intervalos
b.
• ( )( ) ℜ=xfD
• ( ) ( ) OY. a resoecto Simétrica .xfx-fpar Función =
• Cortes con los ejes. OX: y = f (0) = Ln (1 + 02) = 0. (0, 0)
• Ramas en el infinito: ( ) ( )
( ) ( )
∞=∞=+=
∞=∞=+=
+∞→+∞→
−∞→−∞→
lux1lu limxf lim
lux1lu limxf lim
2
xx
2
xx
• Máximos y mínimos: En ( )( )( )
( ) mínimo 0 ,000f signo
00f signo:00f :0x
´
´
⇒
>
<=′=
+
−
• Punto de inflexión: ( ) ( ) 01´´´f:01f´´:1 xEn ≠±=±±= ( )( ) ( )
( )( ) ( )
=
−=−−
Ln2 ,11f ,1
Ln2 ,11f ,1
Septiembre 2004. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 3 puntos
Sea la función ( )22 1xx
1x2)x(f
++
+=
a. (1 punto) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas.. b. (1 punto) Dibujar la gráfica de la función, utilizando la información obtenida en el apartado
anterior, teniendo en cuenta, además, que f tiene exactamente tres puntos de inflexión cuyas
abcisas son 2
31x1
−−= ,
2
1x 2 −= ,
2
31x 3
+−= , respectivamente.
c. (1 punto) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f, el eje OX, la recta x = 0, y la recta x = 2.
Solución. a. Las condiciones necesarias y suficientes para que una función alcance un extremo relativo en un punto son que en ese punto la primera derivada sea nula y que además halla un cambio de monotonía.
• Si f ‘(xo) = 0 y la función pasa de creciente ( )( )0xf o >′ − a decreciente ( )( )0xf o >′ + , hay un
MÁXIMO.
29
• Si f ‘(xo) = 0 y la función pasa de decreciente ( )( )0xf o <′ − a creciente ( )( )0xf o >′ + , hay un
MÍNIMO.
( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )32
2
222
12222
1xx
x3x32
1xx
1x21xx21x21xx2xf
++
+⋅−=
++
+⋅++⋅+−++⋅=′
−
( )( )
( )
−==+
===+⋅=+=
++
+⋅−=′
1 x; 01x
0 x; 03x ; 01x3x ; 0x3x3 ; 0
1xx
x3x32 ; 0xf 2
32
2
Conocidos los valores que anulan la derivada, se comprueba si en ellos cambia el signo de la derivada y por tanto la monotonía de la función, criterio que verificaría que en esos puntos existe extremos relativos.
( )
( ) ( )( ) ( )1
100
102)0(f ; 1
111
112)1(f
2222=
++
+⋅=−=
+−+−
+−⋅=−
En el punto (−1, −1) se dan las condiciones de mínimo relativo
• f ‘(−1) = 0. • f ‘(−1− ) < 0 y f ‘(−1+ ) > 0
En el punto (0, 1) se dan las condiciones de máximo relativo
• f ‘(0) = 0. • f ‘(0− ) > 0 y f ‘(0+ ) < 0
Asíntotas: - Verticales: Teniendo en cuenta que el dominio de la función es todo R(el polinomio del
denominador no tiene soluciones reales), la función no tiene asíntotas verticales. - Horizontales:
( )( ) ( ) ( )
02
1x21xx2
2Lím
H´L1xx
1x2LímxfLím
2x22xx=
∞=
+⋅++=∞
∞
++
+=
±∞→±∞→±∞→. La función
tiene una asíntota horizontal en y = 0(Eje OX) - Oblicuas: Por tener asíntota horizontal, no tiene asíntota oblicua
b. - Dominio: Todo R
- Cortes con OX: ( ) 2
1x ; 01x2 ; 0
1xx
1x2 ; 0)x(f
22−==+=
++
+=
- Cortes con OY: x = 0 ; ( )
1100
102)0(fy
22=
++
+⋅==
Con estos datos más los obtenido en el apartado a y los puntos de inflexión, se traza la gráfica de f (x).
30
Septiembre 2003. Ejercicio 4A. Calificación máxima: 3 puntos Sea la función
xcos2
senx)x(f
−=
definida en el intervalo cerrado y acotado [-2π, 2π]. Se pide: a) (1 punto) Calcular los puntos de intervalo dado donde f alcanza sus valores máximo y mínimo
absolutos. b) (1 punto) Dibujar la gráfica de la función f en el intervalo dado
c) (1 punto) Calcular ∫π
3
0dx)·x(f
Solución.
b. Puesto que cos x ∈ [−1, 1], la expresión 2 − cos x es siempre mayor que 1(no se anula nunca) por lo que la función es continua en todo R, por ser un cociente de funciones continuas cuyo denominador no se anula, y tanto será continua en el intervalo [−2π, 2π]. Simetría.
( )
( )( )( )
)x(fxcos2
xsen
xcosxcos
xsenxsen
xcos2
xsen)x(f −=
−
−=
=−
−=−=
−−
−=− Simetría impar(respecto (0, 0)).
Signo de f(x).
Puesto que 2 − cos x ≥ 1, el signo de la función coincide con el signo de sen x. Sí x ∈ (−2π, −π) ∪ (0, π) ⇒ f (x) < 0 Sí x ∈ (−π, 0) ∪ (π, 2π) ⇒ f (x) > 0
El signo de la función informa de la posición de la función respecto del eje OX. Si f (x) > 0, la función está por encima del eje OX, sí f(x) < 0, la función está por debajo del eje OX.
Asíntotas.
No tiene Derivadas de la función.
31
( )
( )
( )( ) ( )22
22
2 xcos2
1xcos2
xcos2
xsenxcosxcos2
xcos2
sen xsen xxcos2xcos)x('f
−
−=
−
+−=
−
⋅−−⋅=
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )33
2
xcos2
cosx1sen x2
xcos2
sen x·xcos221xcos2xcos2 xsen2)x(''f
−
−−=
−
−⋅−−−⋅−=
Monotonía. Se estudia en el signo de la 1ª derivada con el siguiente criterio:
Ceros y polos de f ‘(x) en el intervalo [−2π, 2π]:
>−
π±=
π±=
===−
0xcos2 tiene.No :Polos3
5x
3x
x:2
1xcos:01xcos2:Ceros
Sobre una recta real se colocan los ceros y polos(sí lo hubiera) y se estudia el signo de la
derivada, interpretándolo de la siguiente manera.
Máximos y mínimos. La condición necesaria y suficiente para que una función alcance un extremo relativo (máximo ó mínimo) en un punto, es que en ese punto la 1ª derivada sea nula y la 2ª no nula, con el siguiente criterio.
( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )( )
⇒<=
⇒>=
máximoun existe xf ,x 0x'' fy 0x' f Sí
mínimoun existe xf ,x 0x'' fy 0x' f Sí
oooo
oooo
utilizando los valores que anulan la 1ª derivad obtenidos en el estudio de la monotonía y con la 2ª derivada, se hace el estudio de los extremos relativos.
máximoun alcanza f(x) 3
3 ,
3:
0
2
12
2
11
2
32
3cos2
3cos1
3sen2
3''f
3
3
2
12
2
3
3cos2
3sen
3f
:03
'f
32
π
<
−
−⋅−
=
π−
π−⋅
π−
=
π
=
−
=π
−
π
=
π
=
π
mínimoun alcanza f(x) 3
3 ,
3
5:
0
2
12
2
11
2
3·2
3
5cos2
3
5cos1
3
5sen2
3
5''f
3
3
2
12
2
3
3
5cos2
3
5sen
3
5f
:03
5'f
32
−
π
<
−
−⋅
−−
=
π−
π−⋅
π−
=
π
−=
−
−
=π
−
π
=
π
=
π
32
teniendo en cuenta que la función presenta simetría impar:
Si en
π
3
3 ,
3 existe un máximo ⇒ en
−
π−
3
3 ,
3 existe un mínimo.
Si en
−
π
3
3 ,
3
5 existe un mínimo ⇒ en
π−
3
3 ,
3
5 existe un máximo.
Curvatura. Se estudia en el signo de la 2ª derivada con el siguiente criterio
Ceros y polos de )x(''f en el intervalo [−2π, 2π]:
( )
>−
π=
π−===−
π=
=
π−=
=
==−⋅
0xcos2 tiene.No :Polosx
x:1xcos:0xcos1
2x
0x
2x
:0x sen
x:0xcos1 xsen2:Ceros
Sobre una recta real se colocan los ceros y polos(sí lo hubiera) y se estudia el signo de la 2ª derivada, interpretándolo de la siguiente manera.
Traspasando todos los datos a unos ejes coordenados se obtiene la gráfica de la función.
33
Septiembre 2003. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 3 puntos
Sea la función x4·x2)x(f −=
a) (1 punto) Estudiar su continuidad y su derivabilidad. b) (1 punto) Dibujar su gráfica. c) (1 punto) Calcular el área del recinto acotado por la gráfica y = f (x), las rectas x = 0, x = 5, y
el eje OX. Solución. Se pide estudiar una función en cuya expresión aparece el valor absoluto. El primer paso del estudio es expresar la función por intervalos, generando estos intervalos los valores que anulen la expresión que lleva el valor absoluto.
4 − x = 0 : x = 4:
<−⇒>
>−⇒<
0x4 4 xSi
0x4 4 xSi
( )( )[ ]
≥−−⋅
<−⋅=
4 xSi x4x2
4 xSi x4x2)x(f
operando y ordenando
≥−
<−=
4 xx82x
4 xSi x2x8)x(f
2
2
b.
≥−
<−=
4 xSi x82x
4 xSi x2x8)x(f
2
2. Se trata de ramas parabólicas
Junio 2003. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 3 puntos.
a) (1 punto) Dibuja la grafica de la función ( ) xexg x −= .
b) (1 punto) Calcular el dominio de definición de ( )xe
1xf
x−
= y su comportamiento para
∞→∞→ -y x x
c) (1 punto) Determinar (si existen) los máximos y mínimos absolutos de f(x) en su dominio de definición.
Solución. a. Dominio: Todo R
Simetría: g (−x) = e−x − (−x) = e−x + x
−≠
≠
)x(g
)x(g. No tiene simetría
Cortes con los ejes:( )
=−==
==−=
1 ,0:10ey:0x:OY
corta lo No solución. tieneNo :xe:0xe:0y:OX0
xx
Signo. Dado que no corta al eje OX, es continua en todo R y pasa por (0, 1), f (x) > 0 para todo x real. La función está íntegramente dibujada por encima del eje OX Asíntotas verticales. No tiene por ser todo R su dominio Asíntotas Horizontales
34
( ) ( ) ( ) ∞=∞+=∞−−=−∞=
>>>
∞→=−
∞−
−∞→∞→0exeLím:
xe
xxeLím x
xx
x
x
No tiene asíntotas horizontales Asíntotas oblicuas. y = mx + n
1x
xeLímm:
x
xeLímm
x
x
x
x−=
−=∞=
−=
−∞→∞→
no tiene asíntota oblicua hacia +∞
( )[ ] 0eeLímx)·1(xeLímn x
x
x
x===−−−= −∞
−∞→−∞→
tiene asíntota oblicua hacia −∞. y = −x
Extremos locales. g (x) = ex − x ; g´(x)= ex − 1 ; g´´(x) = ex g´(x) = 0 : ex − 1 = 0 : ex = 1 : x = 0 : g´´(0) = e0 = 1 > 0. En (0, 1) la función presenta un mínimo.
Monotonía:
<⇒<
>⇒>
edecrecient g(x) : 0 g´(x) 0 xSí
creciente g(x) : 0 g´(x) 0 xSí
Curvatura: Para todo x real g´´(x) > 0. Cóncava hacia arriba Gráfica
b. Dominio. Todo R. ex − x > 0 para todo x real
( )0
0
1
e
1
xe
1Lím:0
1xe
x
xe
1Lím
xxxxx
=∞+
=∞−−
=−
=∞
=
>>
∞→=
−∞−−∞→∞→
c. ( )
( )2x
x
xxe
1e)x´(f:
xe
1)x(f
−
−−=
−=
( )( )
( )( ) ( ) mínimoun existe 0,1 En
edecrecient f:00f
creciente f:00f:0x:1e:01e:0
xe
1e)x´(f xx
2x
x⇒
<
>===−=
−
−−=
+
−
gráfica de la función
La función está acotada entre ( ]1 ,0 . La función tiene
0 Ínfimo
1 Supremo, tiene máximo absoluto en 1,
pero carece de mínimo absoluto.
Modelo 2003. Ejercicio 4B. Calificación máxima: 3 puntos. Se considera la función real definida por:
( ) 33 x1xxf −+=
Se pide: a) (1 punto) Hallar sus máximos y mínimos relativos y sus asíntotas. b) (0,5 puntos) Hallar los puntos donde la gráfica de f tiene tangente vertical. c) (0,5 puntos) Representar gráficamente la función.
35
d) (1 punto) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de la función, el eje OX y las rectas 1. x,1x =−=
Nota.- Para obtener las asíntotas puede ser de utilidad la igualdad:
22
33
BABA
BABA
++
−=−
Junio 2002. Ejercicio 4B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función:
<
≥++
=
1- x si 1-x
2x
-1 xsi x
1x3x
)x(f
2
Se pide: a) (0,5 puntos) Estudiar el dominio y la continuidad de f. b) (1,5 puntos) Hallar las asíntotas de la gráfica de f. c) (1 punto) Calcular el área del recinto plano acotado limitado por la gráfica de f y las rectas y = 0,
x = 1, x = 2. Solución b. Asíntotas
Verticales: en x = 0 : ∞=→
)x(f0x
Lím
Generales:
( )
=
−
++=−=
=++
=
++
==∞+
=−
∞−
∞→∞→
∞→∞→∞→
−∞→
3x·1x
1x3xLímmx)x(fLímn
1x
1x3xLím
xx
1x3x
Límx
)x(fLímm
.Oblicua .A:hacia
21x
x2Lím.H.A:hacia
2
xx
2
2
x
2
xx
x
Modelo 2002. Ejercicio 4B. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función f(x) = xe3x.
a. (1,5 puntos) Estudiar y representar gráficamente la función f. b. (1,5 puntos) Sabiendo que el área de la región determinada por la gráfica de f y el eje OX entre
x = 0 y x = p (p>0) vale 1/9, calcular el valor de p Septiembre 2001. Ejercicio 2B. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sea P(x) un polinomio de grado 4 tal que:
1. P(x) es una función par.
36
2. Dos de sus raíces son x = 1, x = 5− . 3. P(0) = 5.
Se pide: (a) (1 punto) Hallar sus puntos de inflexión. (b) (1 punto) Dibujar su gráfica.
Solución: a. Se pide calcular los puntos de inflexión y la gráfica de una función que se desconoce, pero de la que se da información suficiente para determinarla. Como primer paso habrá que determinar la función y para ello se tendrá en cuenta los datos que se dan.
i. P(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, por ser polinómica de cuarto grado. ii. P(x) = ax4 + cx2 + e, por ser de simetría par, los coeficientes de los monomios de grado impar
son nulos
iii. ( ) ( ) ( )
=
=++
=++
⇒
=++=
=+−+−=−
=++=
5e
0ec5a25
0eca
5e0·c0·a:0)0(P
0e5·c5·a:05P
0e1·c1·a:0)1(P
24
24
24
resolviendo el sistema:
=
−=
=
5e
6c
1a
P(x) = x4 − 6x2 + 5
Punto de inflexión: En los puntos de inflexión la segunda derivada de la función se anula, y la tercera derivad es distinta de cero.
P’(x) = 4x3 − 12x P’’(x) = 12x2 − 12
P’’’(x) = 24x
{ 0)1(P)1(P:024)1·(24)1('''P
0241·24)1('''P:1x012x12:0)x(''P 2
=−=
≠−=−=−
≠==±=⇒=−=
P(x) tiene puntos de inflexión en (−1, 0) y en (1, 0) b. P(x) = x4 − 6x2 + 5 = (x2 − 1)·(x2 − 5) Dominio: R
Ceros: ( )( )
±==−
±==−=−−=
5x:05x
1x:01x:05x·1x:0)x(P
2
222
Corte con OY: (0, 5) Tendencias: +∞=
±∞→)x(PLím
x
Extremos relativos: P’(x)=0
( ) ( ) ( ) ( )
−==−
=
<=−
<−=
±=
==−=−
43P3P
5)0(P:
0483''P
012)0(''P:
3x
0x:03x·x4:0x12x4 23
la función presenta un máximo en (0, 5), y dos mínimos en ( )4,3 −− y en ( )4,3 −
37
Junio 2001. Ejercicio 2B. (Puntuaci6n máxima: 2 puntos)
(a) (1 punto) Determinar los extremos relativos de la función f(x) = x2 − 4x + 2. Dibujar su gráfica. (b) (1 punto) Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes a la gráfica de f que pasan por el
punto P(3, −5). Septiembre 2000. Ejercicio 1A. Calificación máxima: 2 puntos.
Sea la función f(x) = 2x + sen 2x. a) (1 Punto) Determínese si tiene asíntotas de algún tipo. b) (1 punto) Estudiar su monotonía y la existencia de extremos relativos. Septiembre 2000. Ejercicio 3B. Calificación máxima: 3 puntos. Sea la función f(x) = x4 − 4x³ + x² + 6x a) (1’5 puntos) Determinar los puntos de corte de su gráfica con los ejes y los intervalos de crecimiento
y decrecimiento. b) (0’5 puntos) Esbozar la gráfica de la función. c) (1 punto) Calcular el área determinada por la gráfica de f, el eje horizontal y las rectas x = −1 y x = 2.
Junio 2000. 2B. Calificación máxima: 2 puntos (a) (1 punto) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0 ,
4] que tenga al menos un máximo relativo en el punto ( 2, 3 ) y un mínimo relativo en el punto ( 3, 4 ).
(b) (1 punto) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado?
Modelo 2000. Ejercicio 4A. Calificación máxima: 3 puntos Se considera la función
( )2x4
1xf
−=
a) (1 punto) Indicar el dominio de definición de la función f y hallar sus asíntotas. b) (1 punto) Hallar los extremos relativos de la función f sus intervalos de concavidad y
convexidad. c) (1 punto) Dibujar la gráfica de f y hallar su máximo y su mínimo absolutos en el intervalo [‒1,1].
Septiembre 1997. 3A. ((Puntuación máxima: 3 puntos) Sea la función f(x) = x· |x – 1| Se pide: a) Hacer un dibujo aproximado de la gráfica de la función. b) Estudiar la derivabilidad de la función en x = 1. c) Calcular el área limitada por la gráfica de la función f(x), el eje de abscisas y las rectas x = 0; x =
1.