jornadas regionales de matemática educativa taller 1

Jornadas Regionales de Matematica EducativaTaller 1-Algebra

Funciones

Marco Uribe [email protected]

Universidad de la Catolica de la Ssma. Concepcion

06 Noviembre 2020

(UCSC-Concepcion 2020) Jornadas Regionales Matematica Educativa 06 Noviembre 2020 1 / 77

Contenidos

1 El concepto de funcion en los documentos del Mineduc

Marco Curricular Chileno

Estandares Formativos

Textos Escolares y Universitarios

2 ¿Porque las Funciones en la ensenanza de las Matematicas?

3 Analizando Problemas y Errores en la ensenanza de lasfunciones.


El Concepto de Funciones en los documentos del Mineduc

Triangulacion de los Documentos Educativos del Mineduc



Bases Curriculares

(1) Comprender las Matematicas y ser capaz de aplicar sus conceptosy procedimientos a la resolucion de problemas reales es fundamentalpara los ciudadanos en el mundo moderno.

(2) Para resolver e interpretar una cantidad cada vez mayor deproblemas y situaciones de la vida diaria, en contextos profesionales,personales, laborales, sociales y cientıficos, se requiere de un ciertonivel de comprension de las matematicas, de razonamientomatematico y del uso de herramientas matematicas.



Continuacion...

(3) Las Matematicas busca que los estudiantes continuendesarrollando su capacidad de analisis y resolucion de modo defavorecer su transito al mundo laboral y profesional.

(4) Se debe proveer a los estudiantes distintos espacios que lespermitan profundizar y desarrollar su conocimiento, razonamiento ypensamiento matematico, su capacidad para resolver problemas y suhabilidad de pensar de forma rigurosa y crıtica y por otra parte ,fortalecer habilidades y virtudes tales como la creatividad, lacomunicacion y la argumentacion precisa y rigurosa.



Organizacion Curricular

(A) Habilidades

• Resolver Problemas

• Representar

• Modelar

• Argumentar y Comunicar




(B) Ejes Tematicos

• Numeros

• Algebra y Funciones

• Geometrıa

• Probabilidad y Estadıstica




(C) Actitudes

• Abordar de manera flexible y creativa la busqueda de soluciones aproblemas de la vida diaria, de la sociedad en general, o propios deotrs asignaturas

• Demostrar curiosidad e interes por resolver desafios matematicos,con confianza en las propias capacidades, incluso cuando no seconsigue un resultado inmediato

• Demostrar interes, esfuerzo, perseverancia y rigor en la resolucionde problemas y la busqueda de nuevas soluciones para problemasreales.




Continuacion... (Actitudes)

• Trabajar en equipo en forma responsable y proactiva, ayudando a losotros, considerando y respetando los aportes de todos y manifestandodisposicion a entender sus argumentos en las soluciones de losproblemas.

• Mostrar una actitud crıtica al evaluar evidencias e informacionesmatematicas y valorar el aporte de los datos cuantitativos en lacomprension de la realidad social.

• Usar de manera responsable y efectiva las tecnologıas de lacomunicacion en la obtencion de informacion, dando credito al trabajode otros y respetando la propiedad y la privacidad de las personas.



Contenidos

(Septimo basico)

• Lenguaje algebraico...

• Reduccion expresiones algebraicas

• Proporcionalidad directa e inversa.

• Uso ecuaciones e inecuaciones lineales para modelar y resolverproblemas.



Contenidos

(Octavo basico)

• Mostrar compresion operatoria de expresiones algebraicas(Pictoricas y simbolicas, areas y volumenes).

• Mostrar comprension de nocion de funcion por medio cambio lineal.

• Uso de representaciones graficas (software educativos)

• Modelar situaciones de la vida diaria, usando ecuaciones lineales(software educativos)

• Resolver inecuaciones lineales con coeficientes racionales yaplicaciones.

• Modelar situaciones de la vida diaria, usando ecuaciones lineales(software educativos)



Contenidos

(Primero Medio)

• Desarrollar los productos Notables de manera concreta, pictorica ysimbolica.

• Resolviendo sistemas de ecuaciones lineales (2x2) relacionados dela vida cotidiana. Modelacion.

• Graficar relaciones lineales en dos variables.



Contenidos

(Segundo Medio)

• Mostrar que comprenden la funcion cuadratica f(x) = ax2 + bx+ c ysus aplicaciones en la vida cotidiana.

• Resolver de manera concreta y simbolica la ecuacion cuadraticaunidimensional, usando TIC’s.

• Explicar el cambio porcentual constante en intervalos de tiempo,resolviendo problemas de la vida diaria.



Contenidos

(Tercero Medio)

• Resolver problemas de algebra de numeros complejos, en formapictorica, simbolica y con uso de herramientas tecnologicas.

• Tomar desiciones de incerteza que involucren el analisis de datosestadısticos con medidas de dispersion y probabilidadescondicionales.

• Aplica modelos matematicos que describen fenomenos osituaciones de crecimiento y decrecimiento, que involucran lasfunciones exponenciales y logarıtmicas, de forma manuscrita, con usode herramientas tecnologicas y promoviendo la busqueda, seleccion,contrastacion y verificacion de informacion en ambientes digitales yredes sociales.

• Resolver problemas de geometrıa euclideana.



Contenidos

(Cuarto Medio)

• Fundamentar decisiones en el ambito financiero y economicopersonal o comunitario a partir de modelos economicos.

• Fundamentar desiciones en situaciones de incerteza a partir delanalisis crıtico de datos estadısticos y con base en los modelosbinomial y normal.

• Construir modelos matematicos de situaciones o fenomenos decrecimiento y periodicos, que involucren funciones potencias deexponente entero y trigonometricas y promoviendo la busqueda,seleccion, contrastacion y verificacion de informacion en ambientesdigitales y redes sociales.

• Resolver problemas acerca de rectas y circunferencias en el plano,mediante su representacion analıtica, de forma manuscrita y con usode herramientas tecnologicas.


Estandares Orientadores

Estandares en la formacion del Profesor de Matematica

(1) Sistemas Numericos y Algebra.

(2) Calculo.

(3) Estructuras Algebraicas.

(4) Geometrıa.

(5) Datos y Azar.



Continuacion...Estandares

Sistemas Numericos y Algebra.

• Estandar 2 Es capaz de conducir el aprendizaje de las operacionesdel algebra elemental y sus aplicaciones a la resolucion deecuaciones e inecuaciones.

• Estandar 3 Es capaz de conducir el aprendizaje del concepto defuncion, sus propiedades y representaciones.

Estructuras Algebraicas.

• Estandar 8 Es capaz de conducir el aprendizaje de la divisibilidad denumeros enteros y de polinomios y demuestra competenciadisciplinaria en su generalizacion a la estructura de anillos.



Estandar 2 Es capaz de conducir el aprendizaje de las operacionesdel algebra elemental y sus aplicaciones a la resolucion deecuaciones e inecuaciones.

Lo que se espera del Profesor

• Construye geometricamente raıces de polinomios

• Resuelve ecuaciones e inecuaciones polinomiales.

• Conoce errores frecuentes y dificultades en el aprendizaje deexpresiones algebraicas.

• Conoce errores frecuentes y dificultades en el aprendizaje de laecuaciones polinomiales.

• Relaciona contenidos de expresiones algebraicas con contenidos deotros sectores del currıculo.



Continuacion...Estandar 2

• Planifica actividades en el contexto de las ecuaciones lineales y susaplicaciones.

• Planifica actividades en el contexto de las ecuaciones einecuaciones, incorporando uso de TIC’s.

• Analiza textos escolares, guias y otros recursos pedagogicos.

• Es capaz de gestionar la clase para que sus estudiantes describanla solucion.

• Diseno de actividades que permitan evaluar contenidos deexpresiones algebraicas.



Estandar 3 Es capaz de conducir el aprendizaje del concepto defuncion, sus propiedades y representaciones..


• Utiliza propiedades de funciones para analizar soluciones deecuaciones.

• Reconoce los contenidos de diferentes niveles del curriculo que serelacionan con el concepto de funcion polinomial.

• Es capaz de aplicar programas computacionales para que susalumnos reconozcan propiedades de los graficos de polinomios.

• Disena instrumentos de evaluacion acerca de los aprendizajesrelacionadas con polinomios de los niveles escolares.

• Reflexionar acerca de complejidades propias de la evaluacion deconocimientos matematicos a nivel escolar.



Estandar 8 Es capaz de conducir el aprendizaje de la divisibilidad denumeros enteros y de polinomios y demuestra competenciadisciplinaria en su generalizacion a la estructura de anillos.


• Utiliza el teorema del resto, del factor y de las raices racionales deun polinomio entero, para demostrar otros resultados.

• Demuestra propiedades de funciones polinomiales, utilizando elresultado que todo polinomio de grado n sobre un cuerpo tiene a losumo n raices.

• Conoce el desarrollo historico de la solucion de ecuacionespolinomiales.

• Elabora actividades para desarrollar habilidades en sus estudiantesrelativas a raices y factorizacion de polinomios.



¿Porque los textos en el contexto educativo?

(1) El texto permite observar los resultados de la transposiciondidactica esto es, los cambios que experimenta el conocimientomatematico cuando es adaptado para la ensenanza Chevallard,(1991).

(2) El libro de texto juega un papel importante puesto quepracticamente norma todas las acciones de ensenanza y aprendizajeo por lo menos tiene una gran influencia en ellas. Cordero y Flores(2007)



¿Porque los textos en el contexto educativo?

(3) Desde el currıculo propuesto en las directrices curriculares alimplementado en el aula, una fase importante es el currıculo escrito,que se plasma en los libros de texto Herbel, (2007).

(4) Es necesario el estudio de la transposicion didactica plasmado enlos libros de texto, para asegurar que no se producen desajustesrespecto al significado institucional de los objetos matematicos, DeGea, (2014).



¿Como introducen los textos escolares el concepto de funcion?

(1) Septimo Basico




Continuacion... Septimo Basico




(2) Octavo Basico




Continuacion... Octavo Basico




(3) Primer Ano Universidad (Stewart)



¿Como Introducen los textos escolares el concepto de funcion?

Continuacion... Primer Ano Universidad


Importancia de las Funciones

¿Porque es importante el concepto de funcion?

(1) La idea mas util de modelar el mundo real es a traves del conceptode funcion, pues en casi todos los fenomenos fısico vemos unavariable dependiendo de la otra (Stewart).

(2) El entorno que nos rodea puede ser clasificado en dos grandestipos de fenomenos, los estaticos y los dinamicos, en estos ultimos serequiere comprender la evolucion en el tiempo. (Uribe).


Importancia de las Funciones

¿Porque es importante el concepto de funcion?

(3) Trabajar el concepto de funcion en los estudiantes permitedesarrollar las habilidades declaradas en el curriculum: ResolverProblemas, Representar, Modelar, Argumentar y Comunicar, entreotras (Mineduc).

(4) Las funciones polinomiales (lineales, cuadraticas, orden superior)son una buena aproximacion para comprender fenomenosdeterminısticos (Taylor).


Funciones Polinomiales

Definicion: Funciones PolinomialesUna funcion polinomial (o polinomio) de grado n es una funcion de laforma

p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0

donde n es un entero no negativo y an 6= 0

Observacion• Los numeros a0, a1, ...,an se llaman coeficientes del polinomio.

• El valor a0 se llama termino constante del polinomio.

• El valor an se llama coeficiente principal del polinomio.

• El termino anxn se llama termino principal del polinomio.



Ejemplo 1

• p(x) = ax+ b es el polinomio afın de grado uno.



Continuacion...

• p(x) = ax2 + bx+ c es el polinomio cuadratico de grado dos.



Continuacion...

• p(x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0 es el polinomio general degrado n.



Ejemplo 2

• Considere el polinomio de grado 5 definido por

p(x) = x5 + x4 − 13x3 − 4x2 + 48x

• Use la aplicacion Geogebra o Desmos para graficar el polinomio p.

• Determine graficamente y analıticamente los intervalos donde elpolinomio es positivo y negativo.

• Determine los puntos donde la grafica de p corta al eje X y al eje Y .

• Determine el conjunto de puntos donde p(x) ≥ 10 y el conjunto depuntos talque −1 < p(x) < 7.



Ejemplo 3

• Haga un estudio lo mas completamente posible del polinomiocuadratico

p(x) = ax2 + bx+ c

• Haga un estudio lo mas completamente posible del polinomio cubico

p(x) = ax3 + bx2 + cx+ d

ObservacionNotar que el numero de parametros para polinomios en una variablereal son 3 en el caso cuadratico, 4 en el caso cubico y n+ 1 en el casode un polinomio de grado n



• Identificando graficos de polinomios

Dos caracterısticas importantes de los graficos de polinomios son sucontinuidad (sin saltos ni huecos) y su suavidad (sin cuspides niesquinas)



• Identificando comportamientos de polinomios



Definicion: Ceros de polinomios

Diremos que el numero real x = c es un cero del polinomio p(x) si

p(c) = 0

Observacion• Los ceros de una funcion polinomial son las soluciones de laecuacion polinomial p(x) = 0 .

• Los ceros de un polinomio p(x) son los valores de interseccion conel eje X del grafico de y = p(x).



Ejemplo 1:

• El polinomio asociado a la grafica siguiente tiene tres ceros.



Ejemplo 2:

• Observe los valores dados en las siguiente grafica, que puedeconcluir?



Teorema: Valor intermedio para polinomios

Si P es una funcion polinomial tal que P (a) y P (b) tienen signoscontrarios, entonces existe al menos un valor c entre a y b para el cual

p(c) = 0



Teorema: Ceros de funciones polinomialesSi P es un polinomio y c es un numero real, entonces las siguientesafirmaciones son equivalentes

1 c es un cero de P .2 x = c es una solucion de la ecuacion P (x) = 0.3 x− c es un factor de P (x).4 c es un punto de interseccion de la grafica de P con el eje X.



Guıa para graficar polinomios

Si P es un polinomio de grado n entonces para obtener una graficaaproximada se debe obtener:

1 Ceros Factorizar el polinomio y hallar todos los ceros reales.Estos son puntos e interseccion con el eje X,

2 Puntos de prueba Hacer una tabla de valores para determinar elsigno del polinomio, se suguiere construir la tabla francesa.

3 Comportamiento final Determine el comportamiento final delpolinomio.

4 Grafica Localizar puntos de interseccion con el eje X y otrospuntos que se encuentre en la tabla.



Ejemplo 1:

• Trazar la grafica de la funcion polinomial

P (x) = (x+ 2)(x− 1)(x− 3)

Solucion• Los ceros de una funcion polinomial son x = −2, x = 1 y x = 3.

• Los ceros de un polinomio determinan intervalos de signo constantepara p(x).



continuacion...• Localizar puntos de interseccion con el eje X y otros puntos que seencuentre en la tabla



Ejemplo 2:

• Hallar los ceros y trazar la grafica de la funcion polinomial

P (x) = x3 − 2x2 − 4x+ 8



Solucion• Para determinar los ceros de la funcion polinomial, factorizamoscompletamente.

P (x) = x3 − 2x2 − 4x+ 8

= x2(x− 2)− 4(x− 2)

= (x2 − 4)(x− 2)

= (x+ 2)(x− 2)(x− 2)

= (x+ 2)(x− 2)2

Los ceros de P (x) son: x = −2 y x = 2.



continuacion...• Los puntos de interseccion con el eje X son x = −2 y x = 2. Elpunto de interseccion con el eje Y es P (0) = 8.Como P es de grado impar y coeficiente principal es positivo, tiene elsiguiente comportamiento final.

y →∞, cuando x→∞, y → −∞, cuando x→ −∞



Ejercicios:

Use geogebra para trazar la grafica de los siguientes polinomios,localice los ceros de la funcion, intervalos de signos, numero depuntos de maximo y de mınimos y el comportamiento al infinito.

• (1) f(x) = x4 + x3 − 16x2 − 4x+ 48

• (2) f(x) = x5 + 3x4 − 5x3 − 15x2 + 4x− 15

• (3) f(x) = 7x4 + 3x3 − 10x

• (4) f(x) = x3 − ax2 Como se afecta la grafica con el parametro a?


Teorema Fundamental del Algebra


Toda funcion polinomial de orden n

P (x) = anxn + an−1x

n−1 + ...+ a1x+ a0

tiene a lo mas n raices reales.

Teorema Factorizacion Completa

Si la funcion polinomial de orden n


n−1 + ...+ a1x+ a0

tiene exactamente n raices reales, entonces

P (x) = a(x− r1)(x− r2) · · · (x− rn)



ObservacionSea P una funcion polinomial con coeficientes reales

(1) Si el factor x− r se repite k veces en el Teorema de FactorizacionCompleta, entonces k se llama la multiplicidad de la raiz x = r. Porejemplo, el polinomio de grado 7

P (x) = 2(x− 1)2(x− 5)2(x− 6)3

tiene raices x = 1, x = 5 y x = 6 con multiplicidades 2, 2 y 3respectivamente.

(2) Todo polinomio con coeficientes reales, puede ser factorizado enun producto de factores lineales y cuadraticos irreducibles concoeficientes reales. Por ejemplo

P (x) = x4 + 2x2 − 8⇔ P (x) = (x−√2)(x+

√2)(x2 + 4)



Ejercicios

(1) Considere el polinomio

P (x) = x4(x− 2)3(x+ 1)2

Determine el grado y las raices del polinomio. Determine los intervalosdonde el polinomio es positivo y negativo. Trazar la grafica aproximadade P .

(2) Determine el numero de raices del polinomio

P (x) = x9 − 4x8 + x7 + 10x6 − 4x5 − 8x4 + ε

para ε pequeno parametro real.

(3) Considere la familia de polinomios

P (x) = x5 − ax2.

Determine el numero de raices del polinomio para cualquier a ∈ R.(UCSC-Concepcion 2020) Jornadas Regionales Matematica Educativa 06 Noviembre 2020 55 / 77

Dinamica asociada a Polinomios

Consideremos la funcion polinomial de orden n


n−1 + ...+ a1x+ a0

y x = c una raiz real.

(1) Podemos clasificar la raiz x = c en tres tipos: raiz atractiva(atractor), raiz repulsiva (repulsor) o raiz nodal (nodo), si el polinomiocambia de positivo a negativo, de negativo a positivo o no hay cambiode signo de p en c respectivamente.



(2) Dos polinomios f y g se dice que son dinamicamente equivalentessi f y g tienen el mismo numero de raices y de izquierda a derechacada raiz es del mismo tipo.



(3) Sea f un polinomio, diremos que fε es una pequena perturbacionde f si fε = f + ε para pequenos valores de ε (ε ∼ 0).



(4) Un polinomio f se dice estable si f es equivalente a fε para parapequenos valores de ε, en caso contrario se dice inestable.

EjemploEl polinomio p(x) = (x+ 2)(x− 1)(x− 3) es estable.



Teorema (U.)Sea f un polinomio de orden n. Si f no tiene raices nodales, entoncesf es estable.



Analisis de Problemas y Errores en objetos matematicos


Analisis de Problemas y Errores

Analisis de Problemas



Continuacion...



¿Que elementos podemos considerar paraanalizar los problemas matematicos?

(1) Analisis de significado de los conceptos matematicos.

(2) Analisis taxonomico para evaluar los niveles de conocimientos delos conceptos matematicos (Bloom).

(3) Establecer la situacion-Problema y los campos de problemasasociados al objeto matematico.

(4) Establecer un mapeo de la solucion experta de los problemasrespectos de los objetos primarios del Enfoque Ontosemiotico.


Enfoque Ontosemiotico

Analisis de Problemas y Analisis de Errores en ensenanza Funciones

El enfoque teorico EOS proporciona una perspectivapragmatico-antropologica sobre el conocimiento matematico ypropone tres dimensiones: epistemologica, cognitiva e instruccional.

(1) Teorıa de los significados institucionales y personales de losobjetos matematicos.

(2) Teorıa de las funciones semioticas.

(3) Teorıa de las configuraciones didacticas.



Continuacion

Seis tipos de objetos matematicos primarios: situaciones-problema,lenguaje, conceptos, propiedades, procedimientos y argumentos.



Objetos Primarios del EOS

(1) Situaciones-problemas: Situaciones fenomenologicas que originanactividades matematicas (situaciones-problemas, aplicaciones) dedonde surge el objeto; a veces las podemos categorizar en tipos ocampos de problema.

(2) Lenguaje: Representaciones materiales utilizadas en la actividadmatematica. Las notaciones, graficos, palabras y otrasrepresentaciones del objeto que se pueden usar para referirnos a el.El lenguaje es esencial en la teorıa del aprendizaje debido a sufuncion comunicativa e instrumental, que modifica el propio sujeto quelos utiliza como mediadores.

(3) Procedimientos: Modos de actuar ante situaciones o tareas(algoritmos, operaciones, reglas de calculo). Cuando un sujeto seenfrenta a un problema y trata de resolverlo o comunicar la solucion aotras personas, validar y generalizar la solucion a otros contextos yproblemas, etc., realiza distintos tipos de acciones que se llegan aalgoritmizar.(UCSC-Concepcion 2020) Jornadas Regionales Matematica Educativa 06 Noviembre 2020 68 / 77


Continuacion...

(4) Conceptos-definicion: Estos introducidos mediante definiciones odescripciones.

(5) Proposiciones: Son las propiedades asociadas al objetomatematico y objetos relacionados, que no se limitan a descripcionesde dichos objetos sino los ponen en relacion.

(6) Argumentos: Finalmente, todas estas acciones y objetos se liganentre sı mediante argumentos o razonamientos que se usan paracomprobar las soluciones de los problemas o explicar a otro lasolucion. La forma usual de demostracion en matematicas es ladeductiva, que es la mas extendida en los libros universitarios. Estetipo de argumentacion se completa o sustituye por otras como labusqueda de contraejemplos, generalizacion, analisis y sıntesis,simulaciones con ordenador, demostraciones, etc.



Analisis de Errores en objetos matematicos



Clasificacion 1: Errores segun Radatz (1979)

(1) Errores debidos a un aprendizaje deficiente de conceptos (E1).

(2) Errores debidos a asociaciones incorrectas de conceptos (E2).

(3) Errores de proceso (E3):



Ejemplo 1



Ejemplo 2



Ejemplo 3



Clasificacion 2: Errores bajo los objetos primarios del EOS

(1) Error conceptual: cuando se emplea incorrectamente un conceptoque impide resolver adecuadamente el problema.

(2) Error de lenguaje: cuando el lenguaje matematico no es eladecuado

(3) Error de procedimental: Estos son los de tipo analıtico.

(4) Error en proposiciones: Mal uso de propiedades matematicas.

(5) Error de argumentacion: cuando el analisis argumentativo no estaen concordancia con los procedimientos realizados.



Ejemplo 4


BIBLIOGRAFIA

MINEDUC (2015) Bases curriculares.

Estandares Orientadores para Profesores de Ensenanza Media (2012).

James Stewart, Lothar Redlin, Saleem Watson: PreCalculo: Matematicas para el Calculo: Cengage Learning, Inc.(2012).

Gomez, Ortiz, Gea (2014). Conceptos y propiedades de probabilidad en libros de texto espanoles de educacion primaria.Avances de Investigacion en Educacion Matemtica. 2014, N 5, 49 - 71.

Godino, J. D., Batanero, C., y Font, V. (2009). Un enfoque ontosemiotico del conocimiento y la instruccion matematica.ZDM. The International Journal on Mathematics Education, 39, 127-135.

Marin P (2020) Analisis de textos y analisis de errores en futuros profesores de matematica frente a actividadesevaluativas sobre la ecuacion cuadratica bidimensional bajo el enfoque ontosemiotico (Tesis de Magister UCSC).


jornadas regionales de matemática educativa taller 1

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