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Integración numérica

Javier Segura

Cálculo Numérico I. Tema 4.

Javier Segura (Universidad de Cantabria) Integración numérica CNI 1 / 21

Introducción y definiciones

Estructura de la presentación:

1 Introducción y definiciones

2 Fórmulas de Newton-CotesFórmulas simplesFórmulas compuestasRegla trapezoidal recurrente

3 Integración Gaussiana



DefiniciónDada una función f (x) integrable en [a,b] y una aproximación a la integraldada por

I(f ) =

∫ b

af (x)dx ≈

n∑i=0

wi f (xi )

donde a ≤ x0 < x1 < ... < xn ≤ b, diremos que

Q(f ) =n∑

i=0

wi f (xi )

es una regla de cuadratura de n + 1 puntos que aproxima la integral definida.A los números wi se les llama pesos de la regla de cuadratura.



DefiniciónSe define el error de truncamiento para la regla de cuadratura como

E(f ) = I(f )−Q(f )

y se dice que el grado de exactitud de una regla de cuadratura es K cuandola regla da el resultado exacto de la integral para todos los polinomios degrado menor o igual que K , pero no así para mayores grados.


Fórmulas de Newton-Cotes






Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas simples

Fundamento de las fórmulas de Newton-Cotes: utilización del polinomiointerpolador que pasa por un determinado número de puntos comoaproximante del integrando f (x).Fórmula de Lagrange del polinomio interpolador para n + 1 puntos deinterpolación:

f (x) ≈n∑

i=0

f (xi )Li (x)

Entonces, la fórmula de Newton-Cotes de n + 1 puntos sería:

∫ xn

x0

f (x)dx ≈n∑

i=0

wi f (xi )

siendo

wi =

∫ xn

x0

Li (x)dx



Regla trapezoidal:Tomamos sólo dos puntos de interpolación (n = 1).f (x) ≈ P1(x) = f (x0) x − x1

x0 − x1+ f (x1) x − x0

x1 − x0de modo que la aproximación es:

I(f ) =

∫ x1

x0

f (x) ≈∫ x1

x0

P1(x)dx =

∫ 1

0

1h

(f0h(1− s) + f1sh) h ds

donde se ha considerado el cambio x = x0 + sh, 0 ≤ s ≤ 1 y denotamosfi = f (xi ).Entonces:

I(f ) =h2

(f0 + f1)



Regla de Simpson: La regla de Simpson es la que se obtiene al interpolaren tres puntos: x0 = a, x1 = (a + b)/2 y x2 = b mediante el polinomio degrado 2.

I(f ) =

∫ x2

x0

f (x)dx ≈∫ x2

x0

P2(x)dx =

∫ 2

0

2∑i=0

(si

)∆i f0 h ds

Tenemos pues que

I(f ) ≈ h∫ 2

0

(f0 + s∆f0 +

s(s − 1)

2∆2f0

)ds = h

(2f0 + 2∆f0 +

13

∆2f0

)Es decir,

I(f ) =

∫ x2

x0

f (x)dx ≈ h3

(f0 + 4f1 + f2)



Error de las reglas simples

Sea f (x) suficientemente diferenciable (con continuidad) en [x0, xn],xk = x0 + kh, k = 0, ...,n, entonces ∃cn ∈ (x0, xn) tal que:

1 n = 1 (trapezoidal):∫ x1

x0

f (x)dx =h2

(f0 + f1)− h3

12f (2)(c1) si f (2) es

continua; el grado del método es 1

2 n = 2 (Simpson):∫ x2

x0

f (x)dx =h3

(f0 + 4f1 + f2)− h5

90f (4)(c2), si f (4) es

continua; el grado del método es 3

3 n = 3 (Simpson 3/8):∫ x3

x0

f (x)dx =3h8

(f0 + 3f1 + 3f2 + f3)− 3h5

80f (4)(c3)

si f (4) es continua; el grado es 3.


Fórmulas de Newton-Cotes Fórmulas compuestas

Derivación de las reglas compuestas: subdividir el intervalo [a,b] enintervalos más pequeños y aplicar reglas de Newton-Cotes de orden bajo.Dado un intervalo [a,b] podríamos considerar una partición equiespaciadade este intervalo

a = x0 < x1 < ... < xn = b , xk = x0 + ih , i = 0...n , h = (b − a)/n

y aplicar la regla trapezoidal en cada uno de estos subintervalos:∫ xk

xk−1

f (x)dx ≈ h2

(f (xk−1) + f (xk ))

f

f(x)

f

x

0

n

a=x0 x1b=x n



Teorema (Regla trapezoidal compuesta)

Sea f (x) con derivada segunda continua en [a,b], y sea la partición delintervalo a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0,1, ...,n, entonces∫ b

af (x)dx =

h2

(f0 + f1) + hn−1∑i=1

fi + ETn (f )

donde fi ≡ f (xi ) y

∃τ ∈ [a,b] : ETn (f ) = − (b − a)h2

12f ′′(τ) = − (b − a)3

12n2 f ′′(τ)



Teorema (Regla de Simpson compuesta)

Sea f (x) con derivada cuarta continua en [a,b], y sea la partición delintervalo a = x0 < x1 < ... < xn = b, xi = x0 + ih, i = 0,1, ...,n = 2m,entonces

∫ ba f (x)dx = h

3 (f0 + fn) + 2h3

m−1∑i=1

f2i +4h3

m∑i=1

f2i−1 + ESn (f )

= h3 (f0 + 4f1 + 2f2 + 4f3 + ...+ 2fn−1 + 4fn−1 + fn) + ES

n (f )

donde fi ≡ f (xi ) y

∃τ ∈ [a,b] : ESn (f ) = − (b − a)h4

180f (4)(τ) = − (b − a)5

180n4 f (4)(τ)


Fórmulas de Newton-Cotes Regla trapezoidal recurrente

Consideramos los nodos:

a ≤ x0 < x1 < ... < xn , n = 2m , m ∈ N

la cuadratura trapezoidal con espaciado h (h = xi+1 − xi ), T (f ,h), se puedeentonces escribir ∫ b

af (x)dx ≈ T (f ,h) =

h2

n−1∑i=0

(fi + fi+1)

Por otra parte

T (f ,2h) = hm−1∑i=0

(f2i + f2i+2)

de modo que

T (f ,h) =T (f ,2h)

2+ h

m∑i=1

f2i−1



Algoritmo para la regla trapezoidal recurrente

Input: ε > 0, f (x), b, a.Output:

∫ ba f (x)dx

(1) h = b − a, I = h2 (f (a) + f (b))

(2) ∆ = 1 + ε; n = 1

(3) Repetir mientras ∆ > ε

(4) h = h/2; I0 = I

(5) I = I0/2 + hn∑

i=1

f (a + (2i − 1)h)

(6) n = 2n

(7) ∆ = |I − I0|

(6) Ir a (3)



La regla de Simpson también se puede calcular recurrentemente utilizandosu relación con la regla trapezoidal.Si denotamos por S(f ,h) la regla de Simpson con espaciado h se cumple que

S(f ,h) =4T (f ,h)− T (f ,2h)

3= T (f ,h) +

T (f ,h)− T (f ,2h)

3

donde

T (f ,h) = h2 (f0 + f2m) + h

2m∑i=0

fi

T (f ,2h) = h(f0 + f2m) + 2hm∑

j=1

f2j

S(f ,h) = h3 (f0 + f2m) + 2h

3

m−1∑j=1

f2i +4h3

m∑j=1

f2i−1


Integración Gaussiana







Idea fundamental: elección “adecuada” de los nodos y de los pesos.∫ b

af (x)dx ≈ Q(f ) =

n∑i=1

wi f (xi )

Tenemos 2n (wi , xi ) parámetros que se pueden intentar fijar de manera quela regla de cuadratura Q(f ) sea exacta para polinomios de grado lomayor posible.

¿Cuál es el mayor grado de exactitud posible?Parece lógico pensar que será 2n − 1, pues los polinomios de grado 2n − 1tienen en general 2n coeficientes, que es el número de parámetros libres.Veamos un ejemplo



Ejercicio

Obtener la regla de cuadratura con dos nodos Q(f ) con mayor grado de exactitud posible para aproximar

I(f ) =

∫ 1

−1f (x)dx.

Tenemos

I(f ) =

∫ 1

−1f (x)dx ≈ Q(f ) = w1f (x1) + w2f (x2)

El mayor grado de exactitud posible será 3. Determinamos los parámetros exigiendo que I(f ) = Q(f ) para cualquier polinomiode grado 3, o, equivalentemente:

I(xk ) = Q(xk ), k = 0, 1, 2, 3

k = 0→ 2 = w1 + w2k = 1→ 0 = w1x1 + w2x2k = 2→ 2

3 = w1x21 + w2x2

2k = 3→ 0 = w1x3

1 + w2x32

Resolviendo el sistema, obtenemos w1 = w2 = 1, x1 = −x2, |x1| = 1/√

3 y la cuadratura buscada es

I(f ) =

∫ 1

−1f (x)dx ≈ Q(f ) = f (−1/

√3) + f (1/

√3)

Es inmediato comprobar que la regla no es exacta para polinomios de grado 4, luego el grado de exactitud es 3.



No demostraremos la existencia en general de las fórmulas Gaussianas, pero vamosa enunciar un resultado que prueba su existencia.Consideraremos un caso algo más general de integrales:

I(f ) =∫ b

af (x)w(x)dx

donde w(x) es una función peso en [a, b] (función no negativa y tal que∫ b

a xk f (x)dxestá definida para cualquier k natural.

Diremos que Q(f ) =∑n

i=1 wi f (xi) tiene grado de exactitud K si I(f ) = Q(f ) para fcualquier polinomio de grado a lo sumo K pero no así para grado mayor que K .

Según sea la función peso y el intervalo, la cuadratura Gaussiana recibe distintosnombres. Algunas cuadraturas clásicas son la de legendre (w(x) = 1 en [−1, 1]),Hermite (w(x) = e−x2

en (−∞,∞)) y Laguerre (w(x) = e−x en [0,+∞)),

El siguiente resultado prueba la existencia de la cuadratura Gaussiana (la de mayorgrado de exactitud posible) y da una alternativa de cálculo a la anteriormente vista,además de un término de error.




Teorema

Sea Pn(x) un polinomio de grado n (por ejemplo mónico) tal que

∫ b

axk Pn(x)w(x)dx = 0 , k = 0, ..., n − 1

donde w(x) es una función peso en [a, b]. Sean x0, ..., xn los ceros de Pn(x) (necesariamente todos en [a, b]). Entonces

∫ b

af (x)w(x)dx ≈ QG

n (f ) =n∑

i=1

wi f (xi )

donde wi =∫ b

a Li (x)w(x)dx , siendo Li (x) de la base de los polinomios interpoladores de Lagrange (Li (xj ) = δij ). La regla de

cuadratura QGn+1(f ) es exacta para los polinomios de grado menor o igual que 2n − 1 y se verifica que

∃η ∈ (a, b) :

∫ b

af (x)dx = QG

n (f ) + γf (2n)(η)

(2n)!

siendo γ una constante que se puede obtener aplicando la regla de cuadratura a un polinomio de grado 2n.



Ejercicio

Obtener la regla de cuadratura con tres nodos Q(f ) con mayor grado de exactitud posible para aproximar

I(f ) =

∫ +∞

−∞f (x)e−x2

dx.

El intervalo de integración es todo R y el peso w(x) = e−x2.

Consideramos el polinomio de grado 3 mónico (coeficiente del término de máximo grado igual a 1):

P3(x) = x3 + Bx2 + Cx + D

y exigimos que I(xP3(x)) = 0, k = 0, 1, 2. Con esto obtenemos un sistema lineal para B, C, D que se resuelve sencillamente(utilizamos que I(xm) = (1 + (−1)m)

√π2−m/2(m − 1)!!), llegando a:

P3(x) = x3 −3

2x

Los nodos son entonces las soluciones de P3(x) = 0→ x1 = −√

3/2, x2 = 0, x3 =√

3/2Los pesos los podemos obtener de wi =

∫ +∞−∞ Li (x)w(x)dx o también de I(xk ) = Q(xk ), k = 0, 1, 2, 3, 4, 5. De hecho, es

suficiente con considerar k = 0, 1, 2, de donde:

I(1) =√π = Q(1) = w1 + w2 + w3

I(x) = 0 = Q(x) =√

3/2(−w1 + w3)

I(x2) =√π/2 = Q(x2) = 3

2 (w1 + w2)

Y de aquí w1 = w3 =√π/6, w2 = 2

√π/3.

Si quisiéramos estimar el error, sabemos que I(f )− Q(f ) = γf (6)(c)/6! y necesitaríamos obtener γ. Una forma de hacerlo estomar f (x) = x6; tenemos γ = I(x6)− Q(x6) = 15

√π/8− 9

√π/8 = 3

√π/4.


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