notas de aula - cálculo numérico

UNEMAT – Universidade do Estado de Mato Grosso – Campus de Sinop - Departamento de Engenharia Civil - Notas de Aula CÁLCULO NUMÉRICO

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Método Interativo de Gauss-Seidel

Seja Sistema �� dado :

O método interativo de Gauss-Seidel consiste em:

a) Partindo-se de uma aproximação inicial

�� , ��, … , � ��; b) Calcule-se a sequência de

aproximações ��, ��, … , � ��... utilizando-

se equações.

Continua-se a gerar aproximações até que um dos critérios abaixo seja satisfeito

�Á�� â !"#1 % " % �&' ( �,) número máximo de interações

25-03-11

Equações Algébricas

Seja uma equação algébrica de grau n�n + 1�:

,�� # � - #� � 1�� . -⋯#1� - #0

Onde os coeficientes ai são números reais e # 1 0

Teorema fundamental da Álgebra

Uma equação algébrica de grau n tem exatamente raízes, reais ou complexas, desde que cada raiz seja contada de acordo cm sua multiplicidade.

Teorema- Se os coeficientes da equação algébrica (1) são reais complexas desta equação conjugados em pares, isto é se:

�1 � 2 - 3" . Raiz de (1) de multiplicidade m, então o número �2 � 2 - 3" , também é uma raiz desta equação e tem a mesma multiplicidade m.

COROLÁRIO-Uma equação algébrica de grau ímpar com coeficientes reais tem, no mínimo, uma raiz real.

Método de Briott-Ruffini

Sejam os polinômios:

,�� # � - #� � 1�� . -⋯#1� - #0

5�� 1�� . -⋯�2� - �1

Dividindo P(X) pelo binômino (x-c), obtém-se a igualdade.

,�� !�. 5�� - 7

Onde Q(x) é o polinômio quociente de grau n-1 e R é uma constate (resto)

O resto da divisão de P(x) por (x-c) é o valor numérico de P(c):

,�!� � �! � !�. 5�!� - � � �



Se R=0, então, c é uma raiz real de P(x)=0

Ex1: Determine todas as raízes do polinômio

,�� 8 � 5�: � 7�� - 29� � 30

1 -5 -7 29 30 -1 1 -6 -1 30 0 -2 1 -8 15 0

Limites das raízes reais

Sejam # ( 0 , #0 1 0 e >�0 % > % � 1� o maior o maior índice dos coeficiente negativo do polinômio P(x);

Então, para o limite superior das raízes positivas da equação (1) pode-se tomar o número:

?@A � 1 - B CD EFG

Onde B é o máximo dos mádulos dos coeficientes do polinômio.

Assim, se Ԑ é a maior das raízes positiva então Ԑ % ?.

Se os coeficientes de P(x) forem todos não negativos então P(x)=0.

Não terá raízes positiva

Os demais limites podem ser obtidos, recorrendo-se à artifícios, tais que:

?". � �?IDJK�

Polinômio auxiliar P(x)=P(x)=0

Limite Inferior Positivo

?". � 1?ILM@�

Polinômio recíproco ,�� . , �K� � 0

Limite Superior negativo

?". � � 1?IDJKLMN�

Polinômio Auxiliar Recíproco ,�� , �� K� � 0

Ex1.: Determine os limites das raízes reias do polinômio:

,�� 8 � 5�: � 7�� - 29� � 30

n=4; k=3; an=1; B=7

?@A � 1 - BOPFQ � 8

,#&�� 8 - 5�: � 7�� - 29� � 30

n=4; k=2; an=1; B=29

?@ASTU � 1 - B�VPFW � 6,38?"�� 6,38

,��!�1/�� 30�8 - 29�: � 7�� 5� - 1

n=4; k=2; an=30; B=29

?@LMNA � 1 - B O:�PFW � 1,48?"-� ,8[ � 0,676

,#��!��1/�� 30�8 � 29�: � 7�� - 5� - 1

n=4; k=3; an=30; B=29

?@AS\]^ � 1 - _2930PFQ � 1,97?I�� 11,97� �0,508

Exercícios :

a)�` - 3�8 � 11�: � 27�� - 10� - 24 � 0

b) �2�` - 12�8 � 20�: - 22� � 12 � 0



c)�a - �` � 25�8 � 5�: - 104�� - 4� � 80 �0

d)�O � 8�` - 52�8 - 19�: � 206�� 12� -208 � 0

Ls+ Li- Li+ Ls- a) 6,196 10 0,485 8 b) 12 -2,2 0,353 -0,50 c) 6 -26 0,5 -0,5 d) 15.35 - 0,722 -0,50 1/04/2011

Grau de Exatidão da Raiz.

Depois de isolar a raiz no intervalo [a,b], passa-se a calculá-la através e métodos numéricos.

Estes métodos devem fornecer uma sequência {xi} de aproximação, cujo limite é a raiz exata ᶓ.

Teorema: Seja ᶓ uma raiz isolada exata e xn uma raiz aproximada da equação b�� 0, com ᶓ e xn pertencentes ao intervalo [a,b] e |b′��| + e ( 0f#�## % � % �

Onde:

e � eí |b′�� |# % � % �

|� � ᶓ| % |b�� |e

O cálculo de m é muitas vezes trabalhoso e difícil de ser feito. Por esta razão, a tolerância Ԑ ´é , muitas vezes, avaliada por um dos três critérios :

|b�� | % i�!�"�é�"�1� |� � � � 1| % i�!�"�é�"�2� |� � � � 1||� | % i�!�"�é�"�3�

Em cada aproximação � da raiz exata Ԑ usa-se um dos critérios e compara-se o resultado com a tolerância Ԑ pré-fixada.

Obs.: Se a raiz é da ordem da unidade, devemos usar o critério 2 (erro absoluto) caso contrário, usa-se o critério 3 (teste relativo do erro). Há casos em que a condição do critério 2 é satisfeita sem que o mesmo ocorra no critério q

Método da Bisseção

Seja b�� uma função contínua no intervalo [a,b] e b�#� � b�� 0.

Dividindo o intervalo [a,b] ao meio, obtém-se x0, havendo pois, dois subintervalos, [a,x0] e [x0,b], a ser considerados.

Se b��0� � 0, então Ԑ=x0; caso contrário, a raiz estará no subintervalo onde a função tem sinais opostos nos pontos extremos, ou seja, se b�#�. b��0� � 0, então Ԑ ∈ �a, x0�; se nãob�#�. b��0� ( 0 então Ԑ ∈ �x0, b�. O novo intervalo [a,b] que contém Ԑ é divido ao meio e obtém-se o ponto x1. O processo se repete até que se obtenha uma aproximação para a raiz exata Ԑ, com tolerância Ԑ desejada.

Ex1 Calcule a raiz da equação b�� I� 2 � 1 com Ԑ % 10.�; Isolando-se a raiz, tem-se que Ԑ ∈ �1, 2�



Na HP 50g nº A B X F(x) ∆x n Na Bn Xn F(xn) Ԑ 0 1 2 1,5 0,253 - 1 1 1,5 1,25 -0,386 0,25 2 1,25 1,5 1,375 -0,090 0,125 3 1,375 1,5 1,438 -0,075 0,063 4 1,375 1,438 1,407 0,007 0,031 5 1,407 1,438 1423 0,036 0,016

6 1,407 1,423 1,415 0,014 0,008 Método de Cordas (Secante)

Seja b�� uma função contínua que tenha derivada segunda com sinal constante no intervalo [a,b], sendo que b’�#�. b�� 0 e que existe somente um número Ԑ ∈ �a, b� tal que b�Ԑ� � 0

No método das cordas ao invés de se dividir o intervalo, [a,b] ao meio, ele é dividido em

partes proporcionais à razão – q�D�q�r�, ou seja :

s1� � # � � b�#��b�#� - b�� Isto conduz a um valor aproximado da raiz ,

�1 � # - s1

�1 � # � b�#�b�� b�#� . �� #� Ao se aplicar este procedimento ao novo intervalo que contém Ԑ�ta, x1uoutx1, bu�, obtém-se uma nova aproximação x2 da raiz.

O método das cordas equivale a substituir a curva x � b�� por uma corda que passa através dos pontos �t#, b�#�u�yt�, b��u. Quatro situações são possíveis :

b"�� ( 0{|} b�#� � 0�b�� ( 0~#I��b�#� ( 0�b�� 0~#I��b�#� � 0�b�� ( 0~#I��b�#� ( 0�b�� 0~#I��

�

Como exemplo faremos a interpretação do caso I, para os demais o procedimento é análogo.

Caso I :

Pela figura, vê-se que :

b��– b��0�� 0 � 0 � b��0��1 � �0 �1 � �0�b��0� � �� b��0� � b��

�1 � �0– � b��0�b��0� � b�� . ��0 � �� Por indução

� - 1 � � � � b�� b�� b�� . �� n=1,2,3,4 ...

Observando a figura e a equação do caso I conclui-se que :



a) O ponto fixado(a ou b) é aquele no qual o sinal da função b�� coincide com o sinal da sua derivada b”��. b) a aproximação sucessiva xn se faz do lado da raiz Ԑ, onde o sinal da função b��é o oposto ao sinal de sua derivada segunda b”��. Com base no exposto, tem-se a equação geral o cálculo de raiz de equeação pelo método de cordas.

� - 1 � � � � b�� b�� b�!�� . �� !� n=0,1,2,3...

Sendo c o ponto externo do intervalo [a,b] onde a função apresenta o mesmo sinal de f”(x), ou seja,

b�!�. b”�!� ( 0

Ex2: Calcule a raiz da equação b�� K �I" �� 2 com Ԑ % 10. Esta equação tem uma raiz em [1;1,2].

b′�� K � !�I�

b"�� K - I" �

f(1) -0,123189 f(1,2) 0,388078 f”(1) 3,559753 f(1,2) 4,252156

Na HP 50g I X(i-1) F(x(i-1) N Xn f(n) Erro 0 1 -0,123189 1 1,04819 -0,014038 0,04819 2 1,05349 -0,001513 0,0053 3 1,054059 -0,000162 0,000569 4 1,05412 -0,000071 0,000061 5 1,054126 -0,000002 0,000006 Exercícios: Bisseção Ԑ < 10^-2 ou K>10

a) b�� - ��; ԐЄ�0,1; 1�

b) b�� 3� � !�I�; ԐЄ�0; f"/2� c) b�� - 2!��; ԐЄ��f"; 0�Cordas:

a) b�� 2�� - I" � � 10; ԐЄ�f"/2; f"� b)b�� ² � 10� � � 5; ԐЄ�0,4; 1� c) b�� ³ � ��K - 3; ԐЄ�0; 1� d) b�� I� � � � �; ԐЄ�1,5; 3/4f"�Critérios de convergência: Ԑ % 10.:�&> ( 10

a) �� - ��; ԐЄ��, �; �� nº A B X F(x) ∆x N Na Bn Xn F(xn) Ԑ

0 0,1 1 .55 0,2903 -

1 0,1 .55 .325 -0,163 .225

2 0,325 .55 .4375 0,078 .1125

3 0,325 .4375 .38125 -0,037 .05625

4 0,38125 .409375 .409375 0,021 .28125

5 0,38125 .409375 .3953125 -0,007 .0140625

6 0,3953125 .409375 .40234375 0,0069 .00703125

b) �� ; ԐЄ��; ��/�� nº A B X F(x) ∆x N Na Bn Xn F(xn) Ԑ

0 0 1 .5 0,622

1 0 0,5 .25 -0,218 .25

2 0,25 0,5 .375 ,194 .125

3 0,25 .375 .3125 ,0140 .0625

4 0,3125 .375 .34375 ,089 .03125

5 0,3125 .34375 .328125 0377 .015625

6 0,3125 .328125 .3203125 0,1189 .0078125

c) �� - ��; ԐЄ��; �� nº A B X F(x) ∆x N Na Bn Xn F(xn) Ԑ

0

1

2

3

4

5

6



09-04-2011

Método de Newton

Seja b�� uma função contínua n intervalo [a,b] e Ԑ o seu único zero neste intervalo: as derivadas b’�� b’�� 1 0��b"�� devem também ser contínuas. Encontra-se uma aproximação � ara a raiz Ԑ é feita uma expansão em série de Taylor para b�� 0

b�� b�� - b’�� b�� - 1� � 0 � b�� - b’�� - 1 � � �

� b�� b′�� - 1 � �

� - 1 � � � b�� b′�� n=0,1,2,3 ...

O método de Newton é equivalente a substituir um pequeno arco de curva x � b�� por uma reta tangente, traçada a partir de um ponto de curva.

Como no método das cordas, quatro situações são possíveis:

b"�� ( 0 �b�� ( 0�!#I�b �� 0��!#I�� b"�� 0 �b�� ( 0��!#I�b �� 0��!#I� �

A equação do Método de Newton será deduzida a partir do caso I, embora todo as os casos forneçam a mesma equação.

A fim de se obter uma melhor aproximação, a1 da raiz Ԑ, traça-se, a partir do pnto B0[x0,f(x0], uma reta tangente à curva y=f(x), que intercepta o eixo do x no ponto x1. Do ponto b1[x1,f(x1)], traça-se outra reta tangente à curva que corta o eixo dos x no ponto x2, sendo este ponto uma melhor aproximação da raiz. O processo se repete até que se encontre Ԑ=xn com a tolerância Ԑ requerida.

Geometricamente:

�# 2 � b��0��0 � �1 � b’��0� b��0�/�b’��0� � ��0 � �1��1 � �0 � b��/�b’��0�tan 3 � b��1��1 � �2 � b’��1� b��1�/�b’��1� � ��1 � �2�

�2 � �1– b��1�b′��1� Escolha di x0

Pela figura vê-se que o traçado a tangente a partir do ponto �t�0, b��0�u pode-se encontrar um ponto �’1∄t#, �u e o método de Newton pode não convergir.

Por outro lado escolhendo-se � � �00 processo convergirá.

É condição suficiente para a convergência do método de Newton que: b’�� e “b�� sejam não nulas e preservem o sinal em �#, �� e �0 seja tal que b��0�. b”��0� ( 0

A equação de Newton fica então :

� - 1 � � � b�� b’�� ; � 0,1,2…Onde:



b��0�. b”��0� ( 0�!�"�é�"��!� ��ê !"#� Ex1 Ache a raiz de b�� 2�³ - � � � 5 com Ԑ % 10.O ,sabendo que Ԑ ∈ t1,2u

b�� 6�� - 1�b”�� 12� � 1��

f(1)-3 f(2)=-11,69314718 f”(1)=11 f”(2)=23,75

N Xn F(xn) F’(xn) Ԑ 1 2 3 4 5

a)b�� 2� � I" � - 4; � ∈ t�3,�2u b) b�� K � �# �; � ∈ t1, 1,4u c) b�� 2 � 2� - �N¢@K; � ∈ t0, 0,8u 30-04-2011

Integração Numérica Trapézios

Seja b�� uma função positiva no intervalo [a,b] temos :

∆� � r.D

��#f � y - �2 . s

�" � �¤¥� - ¤¥�/2. ∆�

� �¦�" ¥§

� � ¤0 - ¤12 . ∆� - ¤1 - ¤22 . ∆� - ¤2 - ¤32 . ∆� …- ¤ � 1 - ¤ 2 . ∆�

� � ∆� ¨¤0 - ¤ 2 - ¤1 - ¤2 -⋯¤) � 1©Ex1

Obter o valor da integral abaixo, com n=5

� � ª 1/�� 2 � 0,693

∆¤ � 2 � 15 � 0,2� � 0,695� � 0,2 ¨1 - 0,52 - 0,833 - 0,714 - 0,625 - 0,556©

n Xn Yn 0 1 1 1 1,2 0,833 2 1,4 0,714 3 1,6 0,625 4 1,8 0,556 5 2 0,5 ∆x=2-1/10=0,1

N Xn Yn 0 1 11 1,1 0,9092 1,2 0,8033 1,3 0,7694 1,4 0,7145 1,5 0,6676 1,6 0.6257 1,7 0,5888 1,8 0,5569 1,9 0,52610 2 0,5



� � 0,1 ¨1 - 0,52 - I�e#�x1: x9�©� � 0,694

Método de Simpson

Consiste em fazer um ajustamento na curva da função usando parábolas.

� � ¬s3 �¤0 - 4¤1 - ¤2� - ¬s3 �¤2 - 4¤3 - ¤4�- ¬s3 �¤4 - 4¤5 - ¤6� -…- ¬s3 �¤ � 2 - 4¤ � 1 - ¤ �

FÓRMULA GERAL DO MÉTODO DE SIMPSON

� � ¬∆�3 tx� - x - 4�¤1 - ¤3 -⋯- ¤ � 1�- 2�x2 - x4 -⋯- x � 2�u

OBSERVAÇÃO

Na regra de Simpson n deverá ser PAR !

s � ∆�� ¬0,13 t1 - 0,5

- 4�0,909 - 0,769 - 0,667 - 0,588- 0,526�- 2�0,833 - 0,714 - 0,625- 0,556�u� � 0,693

Calcule o valor das integrais todas com n=4

a)� � ® �2� - 3��

b)� � ® N¢DK��K��

c)� � ® 8�KW� ��

d)� � ® ¯¢°K�KWK�:8� ��

e)� � ® �²/�� 1�².� ��

f)� � ® ��K��

g)� � ® ln�� - 1��

06-05-11

Equações Diferenciais Ordinárias

Problema de valor Inicial (PVI)

Método de Eüller

Seja o ,�� x´� b��, x�;x��0� � x0 � � , n dado (1)

Desejam-se aproximações x1, x2, . . . x para as soluções exatas x�1�, x��2�, . . . ¤� �. Vai-se, primeiramente, com auxílio da figura, procurarx1

Como se desconhece o valor x��1�, toma-se x1 como aproximação para x��1�. Para isso toca-se a tangente T à curva x�� no ponto. ��0�, x��0�0, suja equação é :



x�� x��0� � �� 0�x’��0� (2)

Fazendo em (2) X=X1 e lembrando que x��0� � x0, �1 � �0 � s, x’��0� � b��0, x��0�� e x1 � x��1�. Tem-se:

x1 � x0 - sb��0, x��0�(3)

O erro cometido na aproximação de x��1� por x1 é �1 � x1 � x��1� Ou seja, a diferença entre a solução numérica e a solução exata.

Ex:

Achar as aproximações para a solução PVI

�x’ � � � x - 2;¤�0� � 2 � na malha de [0,1] com h =

0,1

Semelhante ao método de Newton na sua fórmula

²# �2 � x1 � x0�1 � �0 � x’No entanto, com uma peculiaridade. Precisamos encontrar neste método o Y1 e não o X1 como no método de Newton.

Logo ,

¤ � x0 - x’��1 � �0�s � ��1 � �0�

x1 � x0 - sb��0, x0� x2 � x1 - sb’��1, x1�x - 1 � x - sb�� , x �MÉTODO DE EÜLLER MELHORADO

O problema é o mesmo

� x´� b��, x�;x��0� � x0 � �

Da interpolação geométrica temos :

e1 � b��0, x0�x1³³³³ � x0 - s.e1

e2 � b��0 - s, x1³³³³�x1 � x0 - ¬e1 -e22 . s

e1 � b�� , x �x - 1³³³³³³³³³³ � x0 - s.e1

e2 � b�� - s, x - 1³³³³³³³³³�x - 1 � x - ¬e1 -e22 . s

Ex2 Achar as aproximação para a solução PVI

�x’ � � � x - 2;¤�0� � 2 � na malha de [0,1] com h =

0,2

Exercícios calcular pelos 2 métodos

a) x´� x � ��K� x�0� � 1; t0,1us � 0,2

b) x´� K x�0� � 0; t1,2u!�es � 0,1



c) x’ � @M �K�.´MU

x�0� � 1; t0,1u!�es � 5

d) x’ � x � �K - 1

x�0� � 2; t0,1u!�es � 5

e) x’ � � � 2x - 1

x�0� � 2; t0,1u!�es � 5

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