gabriela cáceres- cálculo numérico

7/26/2019 Gabriela Cceres- Clculo Numrico

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Clculo Numrico

Trabajo Prctico II

Alumna: Gabriela Cceres -44653

Profesor: Hugo Franco Paats

Ao 2.014


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CAPITULO 4

1. Usa el mtodo de la eliminacin de Gauss con pivoteamiento

parcial para resolver el siguiente sistema de ecuaciones,muestra en cada etapa la matriz transformada y los elementos

que intervienen:

3- + = 2,34+ 2 - - 5= 6,9-5+ - 3 = -16,8

10- 4+ 7= -36Seleccionar el elemento mayor en mdulo de la columna 1

5 1 3 04 2 1 53 1 0 60 10 4 7 16,86,92,336

K=1 = = = -5 = = 0= =

5 1 3 00

50 60 10 4 7

16,836

Reordenando, seleccionando el mayor pivot para


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5 1 3 00 10 4 70 6

0

5

16,836

K= 2 = = = 10 = =

5 1 3 00 10 4 70 0 4925 157250 0 5725 17425 16,8364615017750

Reordenando, seleccionando el mayor pivot para

5 1 3 00 10 4 70 0 5725 174250 0 4925 15725

16,8361775046150

K=3 = =

=

5 1 3 00 10 4 70 0 0 0 0

16,836 = = , = , =


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2. Dado el siguiente sistema de ecuaciones, utilice el mtodo de

descomposicin LU con pivoteamiento parcial para obtener la

solucin del sistema

2

, = ,

-0,5 , =, , , =,Como es el mayor entonces no se reordena

2 0,9 30,5 0,1 11 6,35 0,45K= 1

=

= 2 = 2 0,9 3 1 4 1 8 1 41 2 59 10 39 20

Reordenando, para que sea el mayor

2 0,9 312 5910 392014 K=2 = = 59102 0,9 312 5910 392014 5236 197944


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1 0 0 1 0 1 =

3,6115,4012,035

Resolviendo se obtiene: = 3,61 =17,206 = 2 0,9 30 0 0

= 3,6117,206

Resolviendo se obtiene:

=, = , =,3. De los tres sistemas de ecuaciones lineales presentados a

continuacin, identifique aquel que no resolvera usando un

mtodo iterativo como el de Gauss- Seidel. Establezca

claramente el criterio de convergencia

8x + 3y + z = 12 -x + 4y + 5z = 8 x + y + 5z = 7

-6x +7z= 1 -2x + 2y - 3z = -3 x + 4y - z = 4

2x + 4yz = 5 2y z = 1 3x + y - z = 3

El sistema que no resolvera con el mtodo de Gauss- Seidel es

-x + 4y + 5z = 8

-2x + 2y - 3z = -3

2y z = 1

Para que cumpla el criterio de convergencia < 1Aplicando el criterio de convergencia para Gauss- Seidel por el criterio deSassenfeld

1) = + =0,5= + =


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No cumple el criterio, reordenando las ecuaciones

-6x +7z= 1

8x + 3y + z = 12

2x + 4yz = 5

== 1,167=+ = 3,44 = +, = 16,093No cumple el criterio, reordenando las ecuaciones

8x + 3y + z = 12

2x + 4yz = 5

-6x +7z= 1

=+ = 0,5

=

,+

= 0,5

= , = 0,42 CUMPLE EL CRITERIO DE LA CONVERGENCIA2) =+ = 9=+ = 10,5 = +, = 60

No converge, reordenando el sistema

-2x + 2y - 3z = -3

-x + 4y + 5z = 8

2y z = 1

=+ = 2,5


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=,+ = 1,875 = , = 3,75NO CONVERGE EL SISTEMA

3) 3x + y - z = 3

x + 4y - z = 4

x + y + 5z = 7

= + = 0,67

=,+

= 0,41

= ,+, =0,216CUMPLE EL CRITERIO DE LA CONVERGENCIA

4. Dado el sistema de ecuaciones, resuelva por el mtodo de

eliminacin de Gauss con pivoteamiento parcial

6x + 2y +2z = -2

2x + y + z = 1x + 2y - z = 0

Como es el mayor, no se reordena6 2 22 2

3131 2 1

210

K=1 = = 6 =


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6 2 20 0 13

053

43

25313

Como debe de ser mayor entonces se reordena

6 2 20 53 430 0 13

21353

K=2

= 0

= 53

6 2 20 53 430 0 13

21353

Resolviendo

= = =


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5. Hallar las matrices de Jacobi y de Gauss Seidel para la matriz y

determina si los mtodos iterativos son o no convergentes

A =

[

]

B = [ ]

Matriz de Jacobi

+= ( 6+)+ = (-9 + + )+ = (8 + )Matriz de Gauss- Seidel

+ = (6 + )+ = ( -9 + ++ )+ = ( 8 + +)

Por Gauss- Jacobi, aplicar el criterio de convergencia

1 =+ = 0,5

2 =+ = 1

3 = + = 0,5= 1 como max < 1 entonces no cumple el criterio de convergencia

Por Gauss-Seidel, aplicar el criterio de convergencia

1=+ = 0,5


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2=..+ = 0,75

3 =+., = 0.375

= 0,75 como max


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k = 3

x1 = , = 1,75

x2 = + , + , = - 2,25x3 =

, = 2,875k = 4

x1 = , = 1,875

x2 = + , + ,

= -2,125

x3 = , = 2,9375k = 5

x1 = , = 1,9375

x2 = + , + , = -2,0625

x3 = , = 2,96875k = 6

x1 = , = 1,96875

x2 = + , + , = -2,03125

x3 = ,

= 2,984375

k = 7

x1 = , = 1,984375

x2 = + , + , = -2,015625


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x3 = , = 2,9921875

k = 8

x1 = , = 1,9921875x2 =

+ ,+ , = - 2,0078125x3 =

, = 2,99609375 Entonces :2,99609375 - 2,9921875 = 0,00390 x1 = 1,9921875

-

2,0078125 2,015625= 0,00781 x2 = - 2,0078125

1,9921875 - 1,984375 = 0,00789 x3 = 2,99609375Criterio de Parada E< x10

-2 en k = 8 E = 0,00789 < x10

-2


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7. Dado el siguiente sistema de ecuaciones lineales:

4

-

+

= 4

+, + 3,5 = 1-+ 4,25 + ,= -1a) Haga el estudio de convergencia para la aplicacin de los

mtodos iterativos y determina el valor inicial en base a

este estudio.

b) Resuelva, utilizando el mtodo de Gauss-Seidel utilizando

como criterio de parada un error relativo menor que 0,5% o

3 iteraciones.c) Convergencia de Gauss-Jacobi

4 = 4 = + =0,5 2,75 3,5 = 1 = +,, =1,6363 4,75 2,75 = 1 = +,, =1,9 > 1 2,75 3,5 = 1 = ,+, =6,254 = 4 = + = 5 4,75 2,75 = 1 = +,, =1,9 > 14 = 4 = + =0,5 4,75 2,75 = 1 = +,, =0,88 2,75 3,5 = 1 = +,, =1,07 > 1

No converge con Gauss-Jacobi

Criterio de Gauss-Seidel


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4 = 4 = + =0,5 2,75 3,5 = 1 = ,+,, =1,454

4,75

2,75

= 1

=,+,,

, =2,4297

> 14 = 4 = + =0,5 4,75 2,75 = 1 = ,+,, =0,7647 2,75 3,5 = 1 = ,+,,, =0,74369 < 1Converge

d) Para los valores iniciales

0 = 1 0 = 0 = < 0,005 3 + = 14 4 + = 417 ( 1 + 2,75)

+ = 27 1 + 2,75+

Para k = 0 Parada

= 4 = 1=0,13025 = 1 2,75 = =0,019 = 1 2,75 = =0,079

= 31238207238 =0,149>0,005


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Para k = 1 Parada

= 4 =0,89448 |0,894480,87| =0,024 = 10,894482,75 =0,1585

0,1585 =0,057

= (10,894482,750,1585)=0,1547 0,1547 =0,0518 = 0,0570,89448 =0,0637>0,005

Para k = 2 Parada

= 40,15850,1547 =0,9217 |0,92170,89448| =0,02722 = (10,92172,750,1547)=0,1185 |0,11850,1585| =0,04 = (10,92172,750,1185)=0,11548 |0,115480,1547| =0,039 = 0,040,9217 =0,043>0,005

Para k = 3 Parada

= 40,11850,11548 =0,9415 |0,94150,9217| =0,019 = (10,94152,750,11548)=0,0885 |0,8850,1185| =0,03 = (10,94152,750,0885)=0,08625 |0,086250,11548| =0,029 = 0,030,9415 =0,03


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8. Para el siguiente circuito:

a) Determina los valores de la corriente en el punto d y por la

resistencia de 5b) Repita los clculos si se cambia el valor de la fuente por

5V

a) Por el mtodo LU

10 5 05 14 20 2 5 K=1 = = 10 = 0 10 5 0 12 232 20 2 5

K=2 = = 23

2

10 5 0 12 232 20 423 10723


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1 0 0 12 1 00 423 1 = 100

Resolviendo

= 1 = =

10 5 00

20 0

=

1

Resolviendo

= = = I= (-)I=

I= 0,0766

b)

1 0 0 12 1 00 423 1

= 500

Resolviendo

= 5 = = 10 5 00 20 0

= 5


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= = = I= (-)I=

-

I= 0,38318

9. Utilice uno de los mtodos numricos para resolver:

0,3x + 0,52y + z = -0,01

0,5x + y + 1,9z = 0,67

0,1x + 0,3y + 0,5 z = -0,44

Por el Mtodo de eliminacin de Gauss

0,3 0,52 10,5 1 1,90,1 0,3 0,5 0,010,670,44

K=1 =

=0,3

=

0,3 0,52 10 215 7300 19150 16 0,01103150131300

K= 2 =

=2

15

0,3 0,52 10 215 7300 0 11200 0,01103150 10891000

Resolviendo


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z = y= x=

CAPITULO 5

1. Encontrar el polinomio cuadrtico que mejor aproxima a f(x)=en [0; 1] por mnimos cuadradosPolinomio cuadrtico a+ bx + c = 0

x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 3

y 2,71828 2,2255 1,8221 1,4918 1,2214 1 10,47908

x^2 0 0,04 0,16 0,36 0,64 1 2,2

x^3 0 0,008 0,064 0,216 0,512 1 1,8

x^4 0 0,0016 0,0256 0,1296 0,4096 1 1,5664

gx =x = agx = x = bgx = 1 = cgxgx gxgx gxgx = f(x) gx1,5664+ 1,8 +2,2 = 2,6993

gxgx gxgx gxgx =f(x)

gx

1,8 + 2,2 + 3 = 4,04614gxgx gxgx gxgx = f(x) gx2,2 + 3+ 6 = 10,47908 =0,84326 = -2,5481 = 2,71138

, ,x + 2,71138 = 0


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2. Considere la siguiente tabla de valores y encuentre un

polinomio de segundo grado que aproxime a la funcin por

mnimos cuadrados

x 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2

y 3,1437 4,4169 6,0203 8,6512 11,0078 16,2161

x 0 0,4 0,8 1,2 1,6 2 6

y 3,1437 4,4169 6,0203 8,6512 11,0078 16,2161 49,456

x^2 0 0,16 0,64 1,44 2,56 4 8,8

x^3 0 0,064 0,512 1,728 4,096 8 14,4

x^4 0 0,0256 0,4096 2,0736 6,5536 16 25,0624

gxgx gxgx gxgx = f(x) gx6+ 6+ 8,8 = 49,456gxgx gxgx gxgx = f(x) gx6+ 8,8+ 14,4 = 67,00912

gxgx gxgx gxgx =f(x)

gx

8,8+ 14,4+ 25,0624= 110,061792 =3,324189286 =1,20461875 =2,532176339Y= , , ,


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3. Aproxima los valores de la tabla por un polinomio de 2gradoaplicado mnimos cuadrados

x 1 1,5 2 2,5 3

y 1,941 1,512 1,177 0,917 0,714

x 1 1,5 2 2,5 3 10

y 1,941 1,512 1,177 0,917 0,714 6,261

x^2 1 2,25 4 6,25 9 22,5

x^3 1 3,375 8 15,625 27 55

x^4 1 5,0625 16 39,0625 81 142,125

x+

x +

= 0

gx =1gx = xgx = xgxgx gxgx gxgx = f(x) gx5+ 10+ 22,5= 6,261gxgx gxgx gxgx = f(x) gx10+ 22,5+ 55= 10,9975gxgx gxgx gxgx = f(x) gx22,5+ 55+ 142,125=22,20825 =2,9988 =1,212085714

=0,1505714286= , , ,


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4. Resuelva el problema anterior para aproximar por una funcin

del tipo y= Ax 1 1,5 2 2,5 3 10

y 1,941 1,512 1,177 0,917 0,714 6,261Ln(y) 0,6632 0,41343 0,16297 -0,08665 -0,33687 0,81608

y= AeNo es lineal, se aplica linealizacinLn(y) = Ln(AeLn(y) = Ln(A) + Bx

= LnA

gx = 1

= B gx = xgxgx gxgx = f(x) gx5+ 10= 0,81608gxgx gxgx = f(x) gx10+ 22,5= 0,38205

=1,163304

= 0,5Como:

A= eB= Y= e,e,

Y= 3,2 ,


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5. Para los valores de la tabla ajusta una funcin del tipo f(x)= a+

por el mtodo de los mnimos cuadradosx 1 1,5 2 2,5 3

y 1,941 1,512 1,177 0,917 0,714

x 1 1,5 2 2,5 3 10

y 1,941 1,512 1,177 0,917 0,714 6,261

x^1/2 1 1,22474 1,414 1,581 1,732 6,95174

1/x 1 0,67 0,5 0,4 0,33 2,9

gx = x

gx = 1x10a + 3,7334b = 8,143932192

3,7334a + 1,966b = 4,1423

a = 0,095444

b = 1,92572

f(x) = ,+ ,


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6. Dado los puntos [1; 0,5] , [ 2; 1,7] , [3 ; 3,4] y [4; 5,7]. Encontrar la

ecuacin del tipo y= que aproxima dichos puntos utilizandoel mtodo de mnimos cuadrados con linealizacin de los datos.

x 1 2 3 4y 0,5 1,7 3,4 5,7

x 1 2 3 4

Log (y) -0,301 0,2304 0,5314 0,75587

Log(x) 0 0,301 0,47712 0,6021

y=

axAplicando linealizacin

Log(y) = log(ax)Log(y) = Log(a) + b log(x) =Log(a) gx =1 = b gx =log(x)

gxgx gxgx =f(x)

gx

4+ 1,38022= 1,21667gxgx gxgx = f(x) gx1,38022+ 0,6808= 0,778 = -0,3 = 1,7511Como =Log(a) entonces-0,3 = log(a)

a= 0,50119

b= 1,7511

y= 0,50119,


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7. En el circuito RC la corriente est dada por la funcin del tiempo

I= en donde I se mide en amperes (A), R en ohms y C enfaradios (F). Considerando los valores de la siguiente tabla:

Calcule el valor de I y el producto RC mediante el mtodo de los

mnimos cuadrados.

t 1 2 3 4 5

I(A) 8,187 6,703 5,488 4,493 3,679

t 1 2 3 4 5 15

I(A) 8,187 6,703 5,488 4,493 3,679 28,55

ln(I) 2,1025 1,90256 1,70256 1,5025 1,3026 8,51272

Ln(I) = LnIe Ln(I) = ln (I+ gx = 1 =LnIgx = t = gxgx gxgx = f(x) gx5

+ 15

= 8,51272

gxgx gxgx = f(x) gx15+ 55= 23,5383 =2,302502 = 0,2Como = LnIentonces2,302502 = LnI =Como = entonces0,2= 1RC= I= ,


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8. Ajuste, minimizando la funcin , la curva y= a+ ba la tablade datos

x 0 1 1,5 2 2,5

y 5,1 8,2 22 112,1 1039

x 0 1 1,5 2 2,5

y 5,1 8,2 22 112,1 1039

e^(x)^2 1 2,71828 9,4877 54,598 518,01

gx = 1 = agx = e = bgxgx gxgx = f(x) gx5+ 585,817= 1186,4gxgx gxgx = f(x) gx585,817+ 271,42k = 544,572k =2,95206

= 2

Y = 2,95206 + 2


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9. Se desea que una va de comunicacin que une las ciudades

A(0;0) B(5;0) pase prxima a los pueblos C(4;1) D(3;2). Por

razones de ndole tcnica, el trazado de la va debe coincidir con

la grfica del tipo h(x)= a + bx + c

x 0 5 4 3

y 0 0 1 2

x 0 5 4 3

y 0 0 1 2

x^2 0 25 16 9

x^3 0 125 64 27

x^4 0 625 256 81

g1x=1

g2

x=xgx = xgxgx gxgx gxgx = f(x) gx4+ 12 + 50 = 3gxgx gxgx gxgx = f(x) gx12+ 50 + 216 = 10gxgx gxgx gxgx = f(x) gx50+ 216 + 962 = 34 =0,0138 =1,5691 = 0,3177h(x) =

,+

,x

,


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10. Obtener la parbola de ajuste de mnimos cuadrados que

aproxima a la funcin f(x)= en los puntos (-1; 0; 8)x -1 0 8 7

y -1 0 2 1x^2 1 0 64 65

x^3 -1 0 512 511

x^4 1 0 4096 4097

x+ x += 0gx =x

g

x = x

gx = 1

gxgx gxgx gxgx = f(x) gx4097+ 511+ 65= 127gxgx gxgx gxgx = f(x) gx511+ 65+ 7= 17gxgx gxgx gxgx = f(x) gx65

+ 7

+ 3

= 1

= -0,0833 = 0,9167 = 0-0,0833+ 0,9167x = 0


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11. Utiliza el mtodo de linealizacin de datos para hallar un

ajuste exponencial a los datos que se muestran en la tabla

realizando los cambios de variable correspondiente:

a) Aproximar por y= C

b) Aproximar por y= +x -1 0 1 2 3

f(x) 6,62 3,94 2,17 1,35 0,89

a)

x -1 0 1 2 3

y 6,62 3,94 2,17 1,35 0,89

Ln(f(x)) 1,89 1,37118 0,7747 0,3 -0,1165

y= CePor linealizacin

Ln(y) = Ln (CeLn(y) = Ln(C) + Ax

gx = 1 =Lnc

g

x = x

= A

gxgx gxgx = f(x) gx5+ 5= 4,21938gxgx gxgx = f(x) gx5+ 15 = 0,8648 =1,352294 =0,508418Como =Lncentonces1,352294=LncC = 3,86628

Y= 3,86628 ,


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b)y= Ax + Bx -1 0 1 2 3

1/y 0,151 0,2538 0,4608 0,74074 1,12359

=A gx = x = B gx = 1gxgx gxgx = f(x) gx15+ 5 =5,16204009gxgx gxgx = f(x) gx5+ 5 = 2,730030248 =0,2432009842 =0,3028050654y= 0,2432x + 0,3028 = , ,


31/57

CAPITULO 6

1. Si se utiliza la Regla del Trapecio Repetida para aproximar el valor

de I = 2(x)dxa) Qu nmero de sub intervalos sera suficiente elegir para que elerror sea menor que x10-3?b) Calcular un valor aproximado de la integral utilizando 5 sub

intervalos.

a) f(x) = Log2(x) M2 = 0,868 entonces :

f `(x) = 2

.

.

E =

. h2. M2 b = 2; a = 1;

f ``(x) = .( ) h = 0,17836300f ``(1) = 0,3772 ; f `` (1,5) = 0,1047 ; f `` (2) = 0,0399 m >

Entonces : m >5,606

m = 6

b) h = 0,2 I = 2(x)dxI = [ f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) ) + f(x5) ]I =

, [ 0 + 2 (6,269 x10-3 + 0,21353 + 0,041664 + 0,065164) + 0,090619 ]I = 0,07438742 Valor Real = 0,0355


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2. Integral la funcin f(x) en el intervalo [0; 4]

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

y -4,271 -2,522 -0,499 1,795 4,358 7,187 10,279 13,633 17,247

a) Por el mtodo del trapecio.

b) Es posible aplicar la regla de Simpson de 1/3? Por qu? Si

su respuesta es positiva calcule el valor aproximado.

c) Es posible aplicar la regla de Simpson de 3/8? Por qu? Sisu respuesta es positiva calcule el valor aproximado.

a) h =

= 0,5

I = [ f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3). + f(xn-1) ) + f(xn) ]I =

, [ -4,271 + 2 (-2,5220, 499 + 1,795 + 4,358 + 7,187 + 10,279 + 13,633 )+ 17,347 ]

I = 20,3595

b) Para saber si aplicar la regla de Simpson de 1/3 m debe ser par

h = Xi +1Xi Como m = 8 entonces es parh = 3,53 = 0,5

I = [ f(x0) + 4 (f(x1) + f(x3)+ f(xn-1)) + 2 (f(x2) + f(x4+ .. f(xn-2) ) + f(xn) ]

I =, [ -4,271 + 4 (-2,522 + 1,795 + 7,187 + 13,633 ) + 2 ( - 0, 499 + 4,358 +

10,279) + 17,347 ]

I = 20,2706667

c) No es posible aplicar la regla del trapecio 3/8 ya que no cumple lacondicin de que m sea mltiplo de 3.


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3. Evala la siguiente integral I = , dx por el mtodode Simpson 1/3 con 4 decimales de precisin.

F(x) =

1

(x) (0) = 3

F(x) =

2

(x) (0,75) = 7,9

F(x) = 3 (x) (1,5) = 29,13F(x) = 4 entonces = 29,13(x) = 5E >

. h4. Donde E = 1 x10-4 ; b = 1,5 ; a = 0h < 0,14246 entonces h = 0,125 y m = 12

I =

[ f(x0) + 4 (f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(xn-1)) + 2 (f(x2) + f(x4+ .. f(xn-2) ) + f(xn) ]

I = , [ 1 + 4 (1,27479 + 2,0006 + 3,035899 + 4,49789 + 6,54546 + 9,39330) + 2(1,60503 + 2,47308 + 3,70475 + 5,43656 + 7,85327) + 11,20422 ]

I = 6,7225165


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4. Se evala I = = por el mtodo del Simpson 1/3 conun error igual a x10-3. Si los valores de la funcin en losextremos es igual a 0, determina:

a) El valor de f(1)b) El valor mximo de (x)Si f(0) y f(2) = 0 si tomamos h = 1 y hacemos el mtodo de Simpson 1/3

a)

I = [ f(x0) + 4 (f(x1) + f(x2) ] = 4

Entonces 4 = ( 0 + 4 f(1) + 0 )f(1) = 3b)

E > . h4. M4 donde b = 2; a = 0 ; h = 1 y E = x10-3

Entonces M4 = 0,09


35/57

5. Sabiendo que I = + Calcula un valor aproximado de porel mtodo del trapecio y de Simpson 1/3 utilizando 10 subintervalos.

h = 0,1 porque son 10 subintervalos.

x 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Valor real = 0,7853981634

Mtodo del trapecio

I = [ f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3). + f(xn-1) ) + f(xn) ]

I =

, [ 1 + 2 (0,990 + 0,961 + 0,917 + 0,862 + 0,8 + 0,735 + 0,671 + 0,609 +

0,552) + 0,5 ]

I = 0,7847

Mtodo Simpson 1/3

I = [ f(x0) + 4 (f(x1) + f(x3) + f(x5) + f(xn-1)) + 2 (f(x2) + f(x4+ .. f(xn-2) ) + f(xn) ]

I = , [ 1 + 4 (0,990 + 0,917 + 0,8 + 0,671 + 0,552) + 2 (0,961 + 0,862 + 0,735 + 0,609)+0,5]I = 0,7518


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6. Una cuerda vibra adoptando la forma Y = senx, entre lasabscisas X = 0 y X = 4 en un instante "To Calcule el valoraproximado de la longitud de la cuerda, utilizando un mtodonumrico con m = 8.

I = 1 ` y = senx ; y`= cos xI = 1 Longitud de la cuerdam = 8 ; h = 0,5

x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4

I =

[ f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3). + f(xn-1) ) + f(xn) ]

I =, [ 1,4142 + 2 (1,3304 + 1,1366 + 1,0024 + 1,083 + 1,2813 + 1,4071 + 1,37)

+1,1946 ]

I = 4,95765 Valor Exacto = 4,96661


37/57

7. Evaluar la funcin I = , usando la siguiente tabla:X 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,95 1,2

0 6,84 4,00 4,20 5,51 5,77 1,00

I = , + ,, donde I1 = , y I2 = ,, I =

[f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2) + f(x3). + f(xn-1) ) + f(xn) ]

I1 =,

[0 + 2 ( 6,84 + 4 + 4,2) + 5,51 ] h = 0,2

I1 = 3,559

I2 =, [5,51+ 2 (5,77) + 1 ] h = 0,25

I2 = 2,25625

I = I1 + I2

I = 5, 81525


38/57

8. La regla del Trapecio aplicada a nos da valor 4 y laregla de Simpson 1/3 nos da valor 2. Qu valor tiene f(1)?

Tomando m = 2 entonces h = 1 donde X0= 0 ; X1 = 1 ; X2= 2

I = [ f(x0) + 2 (f(x1) + f(x2)] = 4 trapecio

I = [ f(x0) + 4 (f(x1) + f(x3)] = 2 Simpson 1/3

Si h = 1 entonces f(x0) + 2 f(x1) + f(x2) = 8

f(x0) + 4 f(x1) + f(x3) = 6

Restando ambas ecuaciones

-2 f(x1) = 2

f(x1) = -1


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9. Calcule la derivada de f(x) cuyos valores se definen en la tablasiguiente, en x = 2 utilizando 3 puntos, utilizando: a) lasdiferencias progresivas b) las diferencias regresivas c) las

diferencias centrales

x 1 1,5 2 2,5 3

f(x) 1,941 1,512 1,177 0,917 0,714

h = 21,5 = 0,5

F `(x) =i i

h =

,,,

= - 0,52 Progresiva

F `(x) =i i h = ,,, = - 0 ,67 Regresiva

F `(x) =i i h = ,,, = - 0,595 Central


40/57

10. Aproxima el valor de la derivada funcin y =+ en x = 1,8,

por medio de las diferencias progresivas, regresivas y

centrales. Utiliza en todos los caso = 0,2. Calcula el errorcometido comparando con el valor exacto de la derivada y` =++/h = 0,2 f(1,6) = 0,8547 ; f(2,0) = 1 ; f(1,8) = 0,9304

F(x) =i i

h =

,

, = 0,348 Progresiva

F (x) =i i h = ,,, = 0 ,3785 Regresiva

F(x) =i i h = ,, = 0,36325 Central

Error Absoluto

Valor Real = 0,3626983869 = f `( 1,8)

E1 = 0,36269838690,348 = 0,01469

E2 = 0,36269838690,3785 = 0,01580

E3 = 0,36269838690,36325 = 0,000551


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11. Utiliza las frmulas de las diferencias progresivas, regresivas ycentrales para aproximar el valor de la derivada de la funcin

f(x) = (1 + x) en el punto x = 0,6 para un polinomio deaproximacin de grado dos. Repite los clculos para unpolinomio de grado tres.x 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2

F(x) 1 1,4656 2,0885 2,9153 4,0059 5,4365 7,3042

h = 0,2

Progresivas

Segundo Orden x1= 0,6

F`(x1) = f+ ffh = ,+,., , = 4,603

Tercer Orden x1= 0,6

F`(x1) =f f+ ffh = , , + , ,, = 4,76483

Regresivas


F`(x4) =f f+ fh = , ,+ ,, = 4,64375


F`(x4) =f f+ ffh = ,,+ , ,

= 4,7214

Central


F`(x3) =ffh = , ,, = 4,7935



42/57

F`(x3) =f+ f f+ fh = ,+ , ,+ ,,

= 4,7367

12. Aproxima el valor de la derivada de la funcin definida en la

tabla en x = 2,0 por aproximacin de un polinomio de 2 grado yde 3er grado.

x 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0F(x) -4,271 -2,522 -0,499 1,795 4,358 7,187 10,279 13,633 17,247

a) las diferencias progresivasb) las diferencias regresivasc) las diferencias centrales

d) repite todos los puntos anteriores para evaluar la derivada en x =4,0

h = 0,5

a) Progresivas


F`(x1) = f+ ff

h =

,+.,.,

,= 5,395


F`(x1) =f f+ ffh = , , + , ,,

= 5,394

b) Regresivas


F`(x4) =f f+ f

h=

, ,+,,

= 5,395

Tercer Orden x4= 2.0

F`(x4) =f f+ ffh = ,,+ , ,, = 5,3937


43/57

c) Central


F`(x3) =ffh = ,,, = 5,392


F(x3) =f+ f f+ fh = ,+ , ,+,,

= 5,393

d) Progresivas


F(x1) = f+ ffh = No es posible calcular con los datos de la tablaTercer Orden x1= 4,0

F(x1) =f f+ ffh = No es posible calcular con los datos de la tabla

Regresivas


F(x4) = f f+ fh = , ,+,, = 7,488Tercer Orden x4= 2.0

F(x4) =f f+ ffh = ,,+ , ,, = 7,4867

Central


F`(x3) =

f

f

h = No es posible calcular con los datos de la tabla


F`(x3) =f+ f f+ fh = No es posible calcular con los datos de la tabla


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CAPITULO 7

1. Considera la ecuacin diferencial

= / con condicin

inicial = . Utiliza el mtodo de Euler para obtener lasolucin aproximada en el intervalo [0; 3] en cuatro pasos.Evala el error cometido sabiendo que la solucin exacta es: = / .Siendo el intervalo [0; 3] y considerando 4 pasos tendremos:

= |

| = 3 04 =0,75

Luego: = 0; = 1; ; = / 2Entonces: = = 0 , 7 5 = ; = 1 0,750 12 =0,625Resumiendo los resultados en la siguiente tabla:

n 0 0 1

1 0,75 0,625

2 1,5 0,671875

3 2,25 0,982421875

4 3 1,457763672

En 4 pasos ,El valor real :

= 3 / 2


45/57

= 3 / 3 2=1,66939048El error:

||= 1,669390481,457763672 = 0,211626808|%| = 1,669390481,4577636721,66939048 100%=,%

2. Repita el problema anterior utilizando el mtodo de Heun.

Siendo el intervalo [0; 3] y considerando 4 pasos tendremos:

= | | = 3 04 =0,75Luego: = 0; = 1; ; = / 2Entonces:

= = 0 , 7 5

= ; = 1 0,750 12 =0,625 = ; ; 2 =1,679450439


46/57

Resumiendo los resultados en la siguiente tabla:

n 0 0 1 1

1 0,75 0,625 0,83593752 1,5 0,8037109375 0,950378418

3 2,25 1,156486511 1,258466244

4 3 1,630291402 1,701199185

En 4 pasos:

,Como el valor real es:=1,66939048El error:

|| = 1,66939048 1,701199185= 0,03180870538|%| = 1,669390481,7011991851,66939048 100%=,%


47/57

3. Utiliza el mtodo de Euler con h = 0,2 para estimar la solucin

del siguiente problema de valor inicial:

= ;

= ;

=

Siendo = 1, = 0y, = tendremos: = | | = 2 10,2 = 5

Por lo tanto, sern necesarios cinco pasos para llegar a la aproximacin

deseada.

Luego:

= = 1 , 2

= ; = 0 0 , 2 =0,2Resumiendo los resultados en la siguiente tabla:

n 0 1 0

1 1,2

0,2

2 1,4 0,4442805516

3 1,6 0,7561541331

4 1,8 1,182167831

5 2 1,834455188

En 5 pasos:

,


48/57

4. Sea la ecuacin diferencial = , con la condicininicial = , usando el mtodo de Euler con h = 0,5aproximar y(1).

Siendo = 0, = 2y, = 2tendremos: = | | = 1 00,5 = 2Por lo tanto, sern necesarios dos pasos para llegar a la aproximacin deseada.

Luego: = = 0 , 5

= ; = 2 0 , 50 2 2 = 2

Resumiendo los resultados en la siguiente tabla:

n 0 0 2

1 0,5 22 1 2,25

En 2 pasos: ,


49/57

5. Considere el problema de valor inicial =, ; x [0; 1]; y(0) = 1Resuelva por el mtodo de Runge-Kutta de tercer orden en

cuatro pasos.

Siendo el intervalo [0; 1] y considerando la cantidad de pasos tendremos:

= | | = 1 04 =0,25Luego: = 0; = 1; ; =0,5 Para poder calcular el valor de

, debemos calcular primero los valores de

, .

= ; =0,125 = 2 ; 2 =0,115234375 = ; 2 =0,1040039063 = 16 4 =0,8850097656 =0,25Calculando el valor de

:

= ; =0,1028137207 = 2 ; 2 =0,08662223816 = ; 2 =0,1723947525 = 16 4 =0,781393528 =0,5Calculando el valor de : = ; =0,066424191 = 2 ; 2 =0,04469455406 = ; 2 =0,02449107636 = 16 4 =0,7364446141 =0,75


50/57

Calculando el valor de : = ; =0,02174307676

= 2 ;

2 =0,005006490538

= ; 2 =0,02897491601 = 16 4 =0,740987581 = 1En 4 pasos:

,


51/57

6. Repita el problema anterior pero utilizando el mtodo de Runge-

Kutta de 4 orden. Evala el error para ambos mtodos si la

solucin exacta est dada por = /.Siendo el intervalo [0; 1] y considerando la cantidad de pasos tendremos:

= | | = 1 04 =0,25Luego: = 0; = 1; ; =0,5 Para poder calcular el valor de , debemos calcular primero los valores de

,

,

.

= ; =0,125 = 2 ; 2 =0,115234375 = 2 ; 2 =0,1158447266 = ; =0,1027069092 = 16 2 2 =0,8850224813

=0,25

Calculando el valor de : = ; =0,1028153102 = 2 ; 2 =0,08662372828 = 2 ; 2 =0,08763570215 = ; =0,06842334739 = 16 2 2 =0,7983962282

=0,5


52/57

Calculando el valor de : = ; =0,068549522853

= 2 ;

2 =0,046687058

= 2 ; 2 =0,0480534624 = ; =0,02348034573 = 16 2 2 =0,7514777424 =0,75Calculando el valor de :

= ; =0,0236222178

= 2 ; 2 =0,003244795814 = 2 ; 2 =0,001565607463 = ; =0,03086958127 = 16 2 2 =0,7542891041 = 1Entonces:

,El error para el primer mtodo:|| = 0,7542853820,740987581=0,01329780101|%| = |0,7542853820,740987581|0,754285382 100%=,%El error para el segundo mtodo:

|| = 0,754285382 0,7542891041|%| = |0,7542853820,7542891041|0,754285382 100%=,%


53/57

7. Sea la ecuacin diferencial = , con la condicininicial y(0) = 2, usando el mtodo de Runge-Kutta de cuarto

orden con h = 0,5 aproximar y(1).

Siendo = 0, = 2y, = 2tendremos: = | | = 1 00,5 = 2Por lo tanto, sern necesarios dos pasos para llegar a la aproximacin deseada.

Para poder calcular el valor de , debemos calcular primero los valores de

,

,

.

= ; = 0 = 2 ; 2 =0,125 = 2 ; 2 =0,09375 = ; =0,203125 = 16 2 2 =2,106770833

=0,5


= 1De lo cual, concluimos que la aproximacin buscada es:

,


54/57

8. Un paracaidista de masa M kg salta de un avin en t=0.

Consideremos que la velocidad vertical inicial del paracaidista

es cero en t=0 y que la cada es vertical. Si el arrastre

aerodinmico est dado por

= , donde c es una

constante y v es la velocidad vertical (positiva hacia abalo),asuma M = 70 kg, c = 0,27 kg/m. Sabiendo que la ecuacin de

equilibrio de fuerzas satisface = , =,/, encuentra la velocidad del paracaidista para t 20seg en cuatro pasos.

Considerando que:

= = M = 70 kg c = 0,27Tendremos: = 0,27 68670 Siendo el intervalo [0; 20] seg y considerando la cantidad de pasos tendremos: = | | = 2 0 04 = 5Luego:

= 0; = 0; ; = ,+ Para poder calcular el valor de , debemos calcular primero los valores de, , . = ; = 49 = 2 ; 2 =37,42375 =

2;

2=42,24741058

= ; =14,57801434

= 16 2 2 =37,15338925 = 5


55/57

Calculando el valor de :

=

;

=22,37849501

= 2 ; 2 =3,929082665 = 2 ; 2 =19,48875906 = ; =12,8749929 = 16 2 2 =46,54325351 = 10Calculando el valor de

:

= ; =7,221849944 = 2 ; 2 =0,4879116286 = 2 ; 2 =6,782742984 = ; =5,842050969 = 16 2 2 =49,19677154

= 15



= ,/


56/57

9. El circuito elctrico que se muestra en la figura tiene una

resistencia de R = 12 y una inductancia de 4H. Si la batera

proporciona un voltaje de 60V y el interruptor se cierra en t=0.

Utiliza el mtodo de Runge-Kutta de 4 orden y 4 pasos para

determinar el valor de la corriente transcurrido 1 seg.

Siendo el intervalo [0; 1] seg y considerando la cantidad de pasos tendremos:

= |

| = 1 04 =0,25

Planteando la ecuacin del circuito:

= 4 1 2 = 6 0 = 1 5 3 Luego:

= 0; = 0; ; = 1 5 3 Para poder calcular el valor de , debemos calcular primero los valores de, , . = ; =3,75 = 2 ; 2 =2,34375 = 2 ; 2 =2,87109375

= ; =1,596679688 = 16 2 2 =2,629394531 =0,25


57/57

Calculando el valor de :

=

;

=1,777954102

= 2 ; 2 =1,111221313 = 2 ; 2 =1,361246109 = ; =0,7570195198 = 16 2 2 =3,876045942 =0,5Calculando el valor de

:

= ; =0,8429655433 = 2 ; 2 =0,5268534645 = 2 ; 2 =0,6453954941 = ; =0,3589189227 = 16 2 2 =4,467109673

=0,75



gabriela cáceres- cálculo numérico

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