1

Universidad Católica del Norte

Departamento de Matemáticas

Trabajo Nº 1

Antofagasta, 26 de Abril de 2010

Integrantes:

Ignacio González Rut: 16.688.622-8

Jorge Quiroz

Rut: 17.302.286-7 Asignatura:

Calculo Numérico

Profesor:

Mario Salas G.

Ayudante:

Javier González P.

2

CONTENIDO

CONTENIDO .......................................................................................................................... 2

Explicación Teórica. ............................................................................................................... 3

Problema 1............................................................................................................................ 6

Problema 2............................................................................................................................ 8

Problema 3.......................................................................................................................... 12

3

Explicación Teórica.

Método de la bisección

Sea Rbaf ,: una función continua tal que 0 bfaf , entonces por el

teorema del valor intermedio existe un número bax , tal que 0xf , es decir, la curva

xfy intersecta al eje x en el punto 0,x .

Este método aproxima sistemáticamente los extremos del intervalo hasta obtener un

intervalo de ancho suficientemente pequeño en el que se localiza un 0 de la función f .

El proceso de decisión para subdividir el intervalo consiste en el punto medio del intervalo

2

bax

y luego ver:

1) Si xaxxfaf ,0

2) Si bxxbfxf ,0

3) Si xxxf 0

Luego de esto construimos una sucesión con 0nnx , donde

2

nnn

bax

. Si

0 nn bfaf tomar nn aa 1 y nn xb 1 .

En otros casos, tomar nn aa 1 y nn bb 1 . Así 0xf tiene una raíz en 11 , nn ba

Lo siguiente es útil para encontrar el número de iteraciones a utilizar dado un error

permitido. Sea baCf , y 0 bfaf ; Sea 0nnx la sucesión de puntos medios de la

bisección, es decir 2

nnn

bax

entonces existe un número real bax , tal que 0xf y

además nn

abxx

2||

, Nn en este caso está garantizada la convergencia de la sucesión:

xxnn

lim

4

Método de Newton-Raphson

Sean ''' ,,,: ffRbaf , funciones continuas cerca de la raíz x , de 0xf . Esta

condicionante se usa para desarrollar algoritmos que produzcan sucesiones 0nnx que converjan

a x más rápidamente que el método de la bisección o la regula falsi.

Supongamos que 0x está cerca de x , se define el punto 0,x como el punto de

intersección por la recta tangente a la curva xfy en el punto 0, xfx , si calculamos la

pendiente de esta recta tenemos:

0

'

0

01xf

xfxx

Teorema: Newton-Raphson

Sea baCf , y sea bax , tal que 0xf . Si 0'' xf entonces existe 0 tal

que la sucesión 0nnx donde

n

n

nnxf

xfxx

'1 converge a x , cualquiera que sea

xxx ,0 .

Teorema: Criterio de Fourier

Si 0 bfaf y xfxf ''' , son no nulas y conservan el signo para todo bax ,

entonces prosiguiendo de la aproximación inicial bax ,0 tal que 00

''

0 xfxf es posible

utilizando la fórmula n

n

nnxf

xfxx

'1 calcular la raíz de x con cualquier grado de exactitud.

5

Método de la secante

En el algoritmo de Newton-Raphson hay que evaluar dos funciones en cada iteración

nxf y nxf ' . Como ya hemos dicho, el cálculo de xf ' puede llegar a suponer un esfuerzo

considerable, es por eso que sería deseable disponer de un método que converja casi tan rápido

como el método de Newton-Raphson y que solo necesite evaluar xf y no xf '. Uno de estos

métodos es el de la secante.

Se parte con dos puntos iniciales ox y 1x cercanos a la raíz x . El punto 2x se obtiene al

intersectar el eje x con la recta secante que pasa por los puntos 00 , xfx y 11 , xfx . Si

se calcula la pendiente de esta se tiene que:

1

1

2

nn

nnn

nxfxf

xxxfxx

Criterio de convergencia Los siguientes son otros criterios de convergencia (o parada) que pueden aplicarse a

cualquiera de los métodos estudiados anteriormente.

Seleccionar una tolerancia 0 y generar ,........,, 21 xx hasta que se satisfaga una de las

siguientes condiciones:

1) || 1nn xx ó

2)

||

|| 1

n

nn

x

xx ó

3) nxf|

Donde t 105 , por ejemplo

6

Problema 1

Supongamos que las ecuaciones del movimiento de un proyectil son:

𝑥 = 𝑓 𝑡 = 2400 1 − 𝑒−𝑡15

𝑦 = 𝑔 𝑡 = 4605 1 − 𝑒−𝑡15 − 147𝑡

1) Usando el método de la Bisección con un error menor que 10-5, determine el

tiempo (en minutos) transcurrido hasta el impacto con el suelo, con diez cifras decimales

de precisión.

Desarrollo:

El proyectil impacta cuando 𝑦 = 𝑔 𝑡 = 0

La raíz de esta ecuación se

encuentra en:

𝑡 ∈ [25,26]

Por otra parte:

𝑡 − 𝑡∗ ≤𝑏 − 𝑎

2𝑛

Donde 𝑡 − 𝑡∗ = 10−5

Luego

26 − 25

2𝑛≥ 10−5 ⇒

1

2𝑛≥ 10−5

⇒ 2𝑛 ≥ 106 ⇒ 𝑛 ≥ln 106

ln 2

Tenemos que 𝑛 ≈ 16.6, con lo

cual la precisión se logra con al

menos n=17 iteraciones.

7

Denotamos por 𝑎0 , 𝑏0 = [25,26]

n a n b n t n g(a n ) g(b n ) g(t n )

0 25,0000000000 26,0000000000 25,5000000000 60,2278489330 -30,6779227091 15,2423717372

1 25,5000000000 26,0000000000 25,7500000000 15,2423717372 -30,6779227091 -7,6028627062

2 25,5000000000 25,7500000000 25,6250000000 15,2423717372 -7,6028627062 3,8487226094

3 25,6250000000 25,7500000000 25,6875000000 3,8487226094 -7,6028627062 -1,8698581685

4 25,6250000000 25,6875000000 25,6562500000 3,8487226094 -1,8698581685 0,9912389486

5 25,6562500000 25,6875000000 25,6718750000 0,9912389486 -1,8698581685 -0,4388583983

6 25,6562500000 25,6718750000 25,6640625000 0,9912389486 -0,4388583983 0,2763031368

7 25,6640625000 25,6718750000 25,6679687500 0,2763031368 -0,4388583983 -0,0812494227

8 25,6640625000 25,6679687500 25,6660156250 0,2763031368 -0,0812494227 0,0975339100

9 25,6660156250 25,6679687500 25,6669921875 0,0975339100 -0,0812494227 0,0081440068

10 25,6669921875 25,6679687500 25,6674804688 0,0081440068 -0,0812494227 -0,0365522672

11 25,6669921875 25,6674804688 25,6672363281 0,0081440068 -0,0365522672 -0,0142040200

12 25,6669921875 25,6672363281 25,6671142578 0,0081440068 -0,0142040200 -0,0030299791

13 25,6669921875 25,6671142578 25,6670532227 0,0081440068 -0,0030299791 0,0025570207

14 25,6670532227 25,6671142578 25,6670837402 0,0025570207 -0,0030299791 -0,0002364775

15 25,6670532227 25,6670837402 25,6670684814 0,0025570207 -0,0002364775 0,0011602721

16 25,6670684814 25,6670837402 25,6670761108 0,0011602721 -0,0002364775 0,0004618974

17 25,6670761108 25,6670837402 25,6670799255 0,0004618974 -0,0002364775 0,0001127100

La raíz de esta ecuación se encuentra en 𝑡17 ≈ 25.6670799255, con lo cual

concluimos que el proyectil choca con el suelo después de haber transcurrido 𝑡 ≈

25.6670799255 [𝑚𝑖𝑛]

2) Determine el alcance (en metros) del disparo con diez cifras decimales de

precisión.

Desarrollo:

Sabemos que 𝑡 ≈ 25.6670799255 [𝑚𝑖𝑛], es el tiempo que demora el proyectil en

chocar con el suelo y lograr su máximo alcance, con lo cual:

𝑥 = 𝑓 25.6670799255 = 2400 1 − 𝑒−25.6670799255

15

𝑥 ≈ 1966.416084

El proyectil logra un alcance de 𝒙 ≈ 𝟏𝟗𝟔𝟔.𝟒𝟏𝟔𝟎𝟖𝟒 [mt].

8

Problema 2

La curva formada por un cable colgante se llama catenaria. Supongamos que el punto más bajo de

una catenaria es el origen, entonces la ecuación de la catenaria es:

𝑦 = 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕 𝑥

𝛽 − 𝛽

1) Usando el método de Newton-Raphson con un error menor que 510

y con diez cifras

decimales de precisión. Pruebe que la catenaria que pasa por los puntos (±10,6) es:

𝑦 = 9.1889𝑐𝑜𝑠𝑕 𝑥

9.1889 − 9.1889

Desarrollo.

Como se nos indica la catenaria pasa por los puntos (±10,6). Además se supone que en el punto

(0,0) se presencia el punto intersección de la función.

La representación grafica de la función planteada en el punto 2.1

Como se puede apreciar, la grafica

es simétrica. Por lo que usaremos el

intervalo (0,10) como datos.

Considerando que se nos da el punto

(10,6), y nos piden demostrar que

β=9.1889. Reemplazamos x e y

respectivamente, y se define una

nueva función que llamaremos ψ(β)

6 = 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕 10

𝛽 − 𝛽 ⇒ 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕

10

𝛽 − 𝛽 − 6 = 0

𝜓 𝛽 = 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕 10

𝛽 − 𝛽 − 6

9

Derivamos la función:

𝜓 ′ 𝛽 =−10𝑠𝑖𝑛𝑕

10𝛽

𝛽+ 𝑐𝑜𝑠𝑕

10

𝛽 − 1

Derivamos por segunda vez la función, para poder usar el Criterio de Fourier.

𝜓 ′′ 𝛽 =100𝑐𝑜𝑠𝑕

10𝛽

𝛽3

Determinamos dos funciones G(β) y H(β), tal que 𝜓 𝛽 = 𝐺 𝛽 − 𝐻(𝛽)

Sean:

𝐺 𝛽 = 𝛽 cosh 10

𝛽 𝐻 𝛽 = 𝛽 + 6

Evaluamos estas dos funciones en el intervalo (0,10]

β G(β) H(β) β G(β) H(β)

0,5 121291299 6,5 5 18,8109785 11

1 11013,2329 7 5,5 17,3881612 11,5

1,5 589,32995 7,5 6 16,450097 12

2 148,419897 8 6,5 15,8344247 12,5

2,5 68,2705821 8,5 7 15,4433472 13

3 42,1009483 9 7,5 15,2147439 13,5

3,5 30,5709962 9,5 8 15,107391 14

4 24,5291579 10 8,5 15,0929128 14,5

4,5 21,0064103 10,5 9 15,1511614 15

Para poder apreciar en qué punto se

intersecan estas funciones, se

graficara considerando el intervalo

[3,10]. Ya que para 𝐺 (0,3) son

valores muy altos y no se podría

apreciar bien la grafica.

Basados en la grafica, se dice que la

raíz se encuentra en [9,10].

En Efecto:

𝜓 9 = 0.151161444

𝜓 10 = −0.5691936518

𝜓 9 ∗ 𝜓(10) < 0

10

β ψ(β) ψ'(β) ψ''(β)

9 0,15116144 -0,82128139 0,23092762 + - +

9,1 0,07017153 -0,79867867 0,22122027 + - +

9,2 -0,00860573 -0,7770193 0,21205393 - - +

9,3 -0,08526203 -0,75625109 0,20339145 - - +

9,4 -0,15988403 -0,73632536 0,19519867 - - +

9,5 -0,23255367 -0,71719675 0,18744419 - - +

9,6 -0,30334853 -0,69882288 0,18009906 - - +

9,7 -0,37234208 -0,68116418 0,17313659 - - +

9,8 -0,43960397 -0,66418363 0,16653216 - - +

9,9 -0,50520026 -0,64784658 0,160263 - - +

10 -0,56919365 -0,63212056 0,15430806 - - +

Se garantiza, con β0=9,1 la convergencia del Método Newton Raphson.

Reemplazamos ψ(β) y ψ’(β) en el Método de Newton Raphson

𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −𝛽𝑛𝑐𝑜𝑠𝑕

10𝛽

− 𝛽𝑛 − 6

−10𝑠𝑖𝑛𝑕 10𝛽𝑛

𝛽𝑛+ 𝑐𝑜𝑠𝑕

10𝛽𝑛

− 1

n βn Error

0 9,1000000000 0,08890000

1 9,1878595273 0,00104047

2 9,1889412422 0,00004124

3 9,1889414022 0,00004140

Comprobamos que con 𝛽3 = 9.1889414022 se cumple 𝑦 10 = 6.

𝑦 10 = 9.1889414022𝑐𝑜𝑠𝑕 10

9.1889414022 − 9.1889414022

𝑦 10 = 6.0000000000165

Con 𝜷𝟑 = 𝟗. 𝟏𝟖𝟖𝟗𝟒𝟏𝟒𝟎𝟐𝟐 se cumple el enunciado.

11

2) Halle, usando el método de la Secante con un error menor que 510

y con diez cifras

decimales de precisión, la catenaria que pasa por los puntos 5,12

𝑦 = 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕 𝑥

𝛽 − 𝛽

Desarrollo:

Considerando que usamos la misma función, podemos deducir que es simétrica, por lo que

utilizaremos el intervalo (0,12]. Es decir, tendremos un punto (12,5), sabiendo esto reemplazamos

x e y de la ecuación.

5 = 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕 12

𝛽 − 𝛽 ⇒ 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕

12

𝛽 − 𝛽 − 5 = 0

𝜓 𝛽 = 𝛽𝑐𝑜𝑠𝑕 12

𝛽 − 𝛽 − 5

Reemplazamos 𝜓(𝛽) en el Método de la Secante.

𝛽𝑛+1 = 𝛽𝑛 −𝜓 𝛽𝑛 ∗ (𝛽𝑛 − 𝛽𝑛−1 )

𝜓 𝛽𝑛 − 𝜓 𝛽𝑛−1

Consideramos 𝛽0 = 9.0 y 𝛽1 = 9.1

n β n ψ(β n ) Error

0 9,0000000000 4,2576926476

1 9,1000000000 4,1271910339

2 12,2625593875 1,3553124508 0,2579037

3 13,8088955584 0,5505254337 0,11198116

4 14,8666877109 0,1117687587 0,07115184

5 15,1361494026 0,0112569789 0,01780253

6 15,1663281993 0,0002546571 0,00198986

7 15,1670267105 0,0000005933 4,6055E-05

8 15,1670283416 0,0000000000 1,0754E-07

Comprobamos que con 𝛽8 = 15.1670283416 se cumple 𝑦 12 = 5.

𝑦 12 = 15.1670283416𝑐𝑜𝑠𝑕 12

15.1670283416 − 15.1670283416

𝑦 12 = 5.0000000000226

Con 𝜷𝟖 = 𝟏𝟓. 𝟏𝟔𝟕𝟎𝟐𝟖𝟑𝟒𝟏𝟔 se cumple que 𝒚 𝟏𝟐 = 𝟓.

12

Problema 3

Para un flujo incompresible a régimen permanente con profundidad constante en un canal

prismático abierto, sea usa la fórmula de Manning

𝑉 =𝐶𝑚

𝑛 𝑅23

𝑆2

Donde Cm es 1 para unidades del sistema inglés del SI; V es la velocidad promedio en la sección

transversal; R es el radio hidráulico á𝑟𝑒𝑎

𝑝𝑒𝑟 í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜, 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 y S son

las pérdidas por unidad de peso y unidad de longitud del canal, o la inclinación en el fondo del

canal, y n es el factor de rugosidad de Manning. Al multiplicar la ecuación de Manning por el área

de la sección transversal A, queda:

𝑄 =𝐶𝑚

𝑛𝐴 𝑅23

𝑆2 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑄 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑔𝑢𝑎 𝑒𝑛 𝑚3

𝑠

Usando el método de Newton-Raphson con un error menor que 510

y con diez cifras

decimales de precisión, se desea saber qué profundidad se requiere para un flujo de

s

m3

4

en

un canal rectangular (como el de la figura) de concreto acabado (n=0.012) de mb 2 de ancho

y una inclinación de fondo (pendiente del canal) de 0.002.

y

b

13

Desarrollo:

Datos:

𝑛 = 0.012 𝑏 = 2 𝑚

𝑄 = 4 𝑚3

𝑠 𝑆 = 0.002

𝐶𝑚 = 1

𝑥 = 0.887510492522

Se puede apreciar que:

𝐴 𝑦 = 𝑏 ∗ 𝑦 ⇒ 2𝑦

𝑃 𝑦 = 𝑏 + 2𝑦 ⇒ 2(1 + 𝑦)

Reemplazamos los datos dados, obtenemos una función Q(y).

𝑄 𝑦 =1

0.012

𝐴 𝑦 5

𝑃 𝑦 2

3

0.0022 ⇒ 3.726779962 2𝑦 5

2 1 + 𝑦 2

3

𝑄 𝑦 = 7.453559924 𝑦5

(𝑦 + 1)2

3

Como nos piden obtener la altura Optima para el caudal indicado reemplazamos Q(y) por 4.

4 = 7.453559924 𝑦5

𝑦 + 1 2

3

⇒ 7.453559924 𝑦5

𝑦 + 1 2

3

− 4 = 0

𝛷 𝑦 = 7.453559924 𝑦5

𝑦 + 1 2

3

− 4

Derivamos la función.

𝛷′ 𝑦 = 7.453559924 𝑦 +4

3

𝑦2

𝑦 + 1 5

3

Derivamos por una segunda vez, para usar el Criterio de Fourier.

𝛷′′ 𝑦 = 7.453559924 𝑦2

𝑦 + 2 5

3

− 7.453559924 𝑦 −2

3 𝑦 +

4

3

1

𝑦 𝑦 + 1 8

3

14

Determinamos dos funciones G(y) y H(y), tal que:

𝛷 𝑦 = 𝐺 𝑦 − 𝐻(𝑦)

Sean:

𝐺 𝑦 = 7.453559924 𝑦5

𝑦 + 1 2

3

𝐻 𝑦 = 4

Evaluamos estas dos funciones en el intervalo (0,1.5]

y G(y ) H(y) y G(y ) H(y)

0,075 0,094738581 4 0,825 3,621971948 4

0,15 0,287552591 4 0,9 4,076294277 4

0,225 0,54188927 4 0,975 4,539346905 4

0,3 0,841272973 4 1,05 5,010064747 4

0,375 1,175476799 4 1,125 5,487552167 4

0,45 1,537467469 4 1,2 5,971049941 4

0,525 1,922129706 4 1,275 6,459909811 4

0,6 2,325604413 4 1,35 6,953574629 4

0,675 2,7449019 4 1,425 7,451562687 4

0,75 3,177658001 4 1,5 7,953455216 4

Para poder apreciar en qué punto se

intersecan estas funciones, se

graficara considerando el intervalo

(0,1].

Basados en la grafica, se dice que la

raíz se encuentra en [1, 1.125].

En Efecto:

𝛷 1.05 = −0.1557405885

𝛷 1.125 = 0.2434387411

𝛷 1.05 ∗ 𝜓(1.125) < 0

15

y n Φ(y) Φ'(y) Φ''(y)

0,1 -3,84930392 1,9636156 2180,70895 - + +

0,2 -3,54853276 2,88437404 241,641333 - + +

0,3 -3,15872703 3,52327997 57,1370657 - + +

0,4 -2,70666298 4,00318602 18,4796474 - + +

0,5 -2,20835107 4,37958628 7,29369453 - + +

0,6 -1,67439559 4,68350889 3,49366852 - + +

0,7 -1,11223931 4,93426896 2,10900773 - + +

0,8 -0,52731502 5,14471849 1,60979571 - + +

0,9 0,07629428 5,32381514 1,45489321 + + +

1 0,69544852 5,47802328 1,43472038 + + +

Se garantiza, con y0=0.8 la convergencia del método newton Raphson.

Reemplazamos Φ(y) y Φ’(y) en el Método de Newton Raphson

𝑦𝑛 +1 = 𝑦𝑛 −

7.453559924 𝑦𝑛

5

𝑦 + 1 2

3

− 4

7.453559924 𝑦𝑛 +43

𝑦𝑛2

𝑦𝑛 + 1 5

3

𝑦𝑛 +1 = 𝑦𝑛 −−0.5366563147(𝑦𝑛 + 1) (𝑦𝑛 + 1)23 − 1.863389981 𝑦𝑛

53

𝑦𝑛23 𝑦𝑛 +

43

n yn Error

0 0,80000000000000 0,087510492522

1 0,90249637918739 0,014985886665

2 0,88530908059219 0,002201411930

3 0,88784196321028 0,000331470688

4 0,88746076488270 0,000049727639

5 0,88751795683406 0,000007464312

Comprobamos que con 𝑦4 = 0.8875179568306 se cumple 𝑄 𝑦4 ≈ 4.

𝑄 𝑦4 = 7.453559924 0.8875179568306 5

0.8875179568306 + 2 2

3= 4.00004552378

Con 𝒚𝟒 se cumple que 𝑸 𝒚𝟒 = 𝟒.