INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR

DE PANUCO

INGENIERIA EN SISTEMAS COMPUTACIONALES

ECUACIONES DIFERENCIALES

UNIDAD 1

“INVESTIGACION DERIVADAS E INTEGRALES”

ANEL VERONICA SOSA MEJIA

ME. JOSE SAHID NAVARRO MEZA

S401

22 FEBRERO 2016

DERIVADA

La derivada de una función es la pendiente de la recta tangente a la curva de

dicha función, en el punto de coordenadas P( x, y )

.PROPIEDADES DE LA DERIVADA

1. Si la función f(x): X → Y es diferenciable en un punto P, entonces se puede

concluir que la función f(x) es continua en el punto p.

2. La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las

derivadas de las dos funciones tomadas individualmente.

3. La derivada de la multiplicación de una cantidad escalar con una función es

igual a cuando la cantidad escalar se multiplica a la derivada de la misma

función.

4. La derivada de un número constante es siempre igual a cero.

5. La diferenciación de una variable con respecto a si misma producirá uno.

6. La derivada de la multiplicación de dos funciones es lo mismo que sumar la

multiplicación de la primera función con la derivada de la segunda función y

la multiplicación de la segunda función con la derivada de la primera

función.

7. La derivada de una variable elevada a una potencia es igual a las veces de

la potencia de la derivada de la misma variable elevada a una potencia

reducida por uno. Esta regla es mejor conocida por el nombre de la regla de

la potencia.

8. La derivada de la división de una función con alguna otra función es lo

mismo que la división de la resta de la multiplicación de la primera función

con la derivada de la segunda función y la multiplicación de la segunda

función con la derivada de la primera función con el cuadrado de la

segunda función. Aquí el valor de la función no debería ser igual a cero.

REGLA DE LA CADENA

Es una fórmula para la derivada de la composición de dos funciones.

La regla de la cadena se aplica cuando se tiene que derivar una función con varios

términos y que está este elevado a n números.

FORMULAS DE DERIVACION

Las formulas de derivación son los métodos que se emplean para el cálculo de

la derivada de una función. Dependiendo del tipo de función se utiliza una formula

u otra.

Derivada de una constante por una función

La derivada del producto de una constante por una función es igual al producto de

la constante por la derivada de la función.

Derivada de una suma

La derivada de una suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de

dichas funciones. Esta regla se extiende a cualquier número de sumandos, ya

sean positivos o negativos.

Derivada de un cociente

La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador

por el denominador menos la derivada del denominador por el numerador,

divididas por el cuadrado del denominador.

Máximos y mínimos

Los máximos y mínimos de una función, son los valores más grandes (máximos) o

más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea

dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la

función en su totalidad (extremo global o absoluto).

Aplicaciones de la derivada

1. Tasa de Variación: Esta es la aplicación más utilizada de las derivadas.

Encuentra su aplicación en muchos problemas de la física. La tasa de

variación en la localización de un punto te dará la velocidad de ese punto.

2. Punto Crítico: El Punto crítico tiene una cantidad vasta de aplicaciones que

incluyen la termodinámica, la física de la materia condensada, etc. Un punto

crítico es aquel donde la derivada de la función es cero, no existe en

absoluto.

3. Determinación de Valores Mínimos y Máximos: Este proceso se denomina

optimización. Existen una serie de problemas que requieren la

determinación de los valores mínimos y máximos de alguna función tal

como la determinación del menor costo, aproximación del menor tiempo,

cálculo de mayor ganancia, etc.

4. Método de Newton: Una aplicación digna de notar de las derivadas es el

método de Newton, este es utilizado para rastrear las raíces de una

ecuación en una cascada de etapas para que en cada paso de la solución

encontremos una solución mejor y más adecuada como raíz de la ecuación.

5. Aplicaciones en el Ámbito Del Comercio: Existe una gran cantidad de

lugares en el comercio donde las derivadas son requeridas. Dado que el

objetivo final del comercio es el de maximizar las ganancias y minimizar las

pérdidas, la teoría de máximos y mínimos puede utilizarse aquí para

evaluar la respuesta correcta y así aumentar la productividad total del

comercio.

6. Aproximación lineal: En una serie de ramas de la física. En este utilizamos

una función lineal con el fin de encontrar la aproximación de cualquier

función general. Esta es más comúnmente conocida como una aplicación

de la recta tangencial al gráfico de cualquier función lineal.

DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

La derivada de la derivada de una función se conoce como segunda derivada de

orden superior, es decir, si f(x) es una función y existe su primera derivada f´(x), en

el caso de que se pueda obtener, la derivada de la función obtenida de aplicar la

derivada se le llama segunda derivada.

EJEMPLOS:

DERIVADAS IMPLICITAS

una función está definida en forma implícita cuando no aparece despejada la “y”

sino que la relación entre “x” y “y” viene dada por una ecuación de dos incógnitas

cuyo segundo miembro es cero.

CARACTERISTICAS

Para poder derivar una función implícita se usa la regla de la cadena, en el caso

de la variable independiente no hay problema ya que se deriva directamente, para

la variable dependiente se considera como una función que a su vez está en

función de la variable independiente:

Dada una función  , implícita, si queremos calcular la derivada

de y respecto de x:  .

Si consideramos   es una función en términos de la variable

independiente x y   es una función en términos de la variable dependiente y,

dado que  , entonces para obtener la derivada:

DERIVADAS PARCIALES

Una derivada parcial es la derivada respecto a cada una de esas variables

manteniendo las otras como constantes. 

Donde   es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

O bien   que es la primera derivada respecto a la variable   y

así sucesivamente. 

PROBLEMA DEL ESTUDIO DE LA INTEGRAL

El problema esencial del Cálculo integral es calcular áreas de superficies,

particularmente el área bajo la gráfica de una función; de manera más sencilla,

sumar áreas de rectángulos. Varios conceptos son descritos como el producto de

dos variables; por ejemplo: trabajo, como fuerza por distancia; fuerza como el

producto de la presión por el área; masa como densidad por volumen. Si cada uno

de los factores que componen el producto se asocian con cada uno de los ejes

coordenados; el producto se asocia en el plano con una área que puede ser

calculada a través de una integral.

¿QUE ES LA INTEGRAL?

Dada una función f(x) y un intervalo [a,b], la integral es igual al área limitada entre

la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y las rectas verticales x = a y x=b.

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO

El teorema fundamental del cálculo dice que la derivada de la función integral de la

función continua f(x) es la propia f(x).

F'(x) = f(x)

El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración

son operaciones inversas.

Al integrar una función continua y luego derivarla se recupera la función original

EJEMPLO:.

USO DE LAS FORMULAS DE INTEGRACION

Formulas básicas de integración

La integral de “n” numero siempre será nx + C.

La integral de una constante siempre será constante * variable +C (ax+C)

La integral de X elevado a “n” numero será Xn+1, lo que se haga en la

exponenciación de la X se pondrá también abajo dividiéndola, es una regla

establecida.

La integral que divide arriba sobre una variable abajo será logaritmo natural

de variable mas C. La formula marca lnX+C porque arriba en dx no tiene

constante ni variable pero sí un 1 imaginario.

La integral de un producto se puede separar siempre y cuando no se altere

su ecuación. De esta forma se integra en partes. No tienen que ser 3

productos necesariamente para usar la formula 

METODOS DE INTEGRACION

Integración por cambio de variable

Nos proporciona un proceso que permite reconocer cuándo un integrando es el

resultado de una derivada en la que se ha usado la regla de la cadena.

 Sea f(x) la función que deseamos integrar, entonces hacemos el siguiente cambio

de variable: x = g(t), d(x) = g'(t)dt, con lo que:

 

Integración por partes

Este método nos permitirá resolver integrales de funciones que pueden

expresarse como un producto de una función por la derivada de otra. Sean u y v

dos funciones continuas, derivables y sus derivadas du y dv son integrables,

entonces:

u=f(x), v=g(x), luego du=f'(x)dx, dv=g'(x)dx

Integrales racionales

En las integrales racionales suponemos que el grado del numerador es menor que

del denominador, si no fuera así se dividiría.

¿QUE ES LA INTEGRAL DEFINIDA?

La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de las áreas

limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que, para cada uno de

sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o igual que 0 en [a, b].

EJEMPLOS:

¿QUE ES UNA INTEGRAL MULTIPLE?

Una integral múltiple es una integral definida aplicada a funciones de más de una

variable real,

CONCLUSION:

En este trabajo se realizo una gran investigación de lo que son las derivadas e

integrales así como también lo que es el teorema fundamental del calculo que nos

dice que la integral y la derivada son operaciones inversas, la derivada es la

pendiente de la recta tangente a la curva de dicha función y la integral es el area

limitada bajo una curva. Esta investigación es de gran ayuda para comprender

mejor las propiedades de la derivada e integral así mismo las formulas básicas

que se utilizan. Una dificultad en esta investigación fue que no toda la información

estaba en los libros que consulte por eso mismo tuve que recurrir a páginas de

Internet. El aprendizaje que se obtuvo fue de gran ayuda para entrar de lleno a las

ecuaciones diferenciales y así poder comprender mejor el curso.

REFERENCIAS:

PERCEY F. SMITH WllLlAM RAYMOND lONG lEY. (2009). Calculo Diferencial e

Integral. México: LIMUSA.

http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/docums/perez-calculo1.pdf

http://www.vitutor.com/fun/4/derivada.html

http://www.vitutor.com/integrale.html

Dennis G. Ziil. (2008). Matematicas Avanzadas para Ingenieria. Mexico: Mc Graw

Hill.