introduccion repaso de conceptos de la clase anterior...

Capıtulo X: Flujos Compresibles Estacionarios: Segunda Parte

INTRODUCCIONRepaso de conceptos de la clase anterior.

OBJETIVOS DE LA CLASE

DESARROLLOFlujo adiabatico con friccion en un conducto de seccion constante.Diagramas de Fanno. Aplicaciones.Ondas de choque Normal: Relaciones.Ondas de choque oblicuas.

CONCLUSIONES

() 1 / 1

Objetivos:

Extender el analisis de flujos compresibles a flujos en un conductode seccion constante, donde la friccion no puede ser despreciada.Presentar las relaciones que vinculan entalpıa especifica conentropıa especifica en flujos compresibles.Breve analisis de las ondas de choque.

() 2 / 1

Flujos en conductos de seccion constante.

Flujo adiabatico con friccion

Analicemos el flujo en un conducto tan largo que no podamosdespreciar la friccion del gas contra la pared.Supongamos ademas que no existe la posibilidad de intercambio decalor entre el gas y las paredes del conducto.Si la velocidad en el conducto es del orden de la velocidad delsonido o superiores, el flujo sera turbulento.Sin embargo, consideramos un solo aspecto de la turbulencia:supondremos que los perfiles de velocidades son constantes,u = cte en una seccion. Luego, caudal A · u · ρ equivale al caudalreal en la seccion.

() 3 / 1


Flujo adiabatico con friccionComo el caudal es constante a lo largo del conducto, y estudiamossecciones constantes, entonces:

j = ρu = constante 6= j(x)

donde x es la coordenada sobre el eje del conducto.Como no hay intercambio de calor con el medio, la ecuacion de laenergıa se escribe segun:

h1 +u2

1

2= h2 +

u22

2= const = h+

j2

ρ22(1)

Consideremos la entropıa del gas. Debido a la friccion interna, nopermanece constante sino que crece con la evolucion del gas en elconducto.

Luego,ds

dx> 0

() 4 / 1


Recordando la relacion de Gibbs

Tds = dh− dρ

ρ(2)

reemplazando sobre (??) y derivando respecto a x:

Tds

dx+

1ρ

dp

dx+j2

ρ3

dρ

dx(3)

si desarrollamosdρ

dx=∂ρ

∂p

∣∣∣∣s

dp

dx+∂ρ

∂s

∣∣∣∣p

ds

dx(4)

Reemplazando en (??) tendremos:(T − j2

ρ3

∂ρ

∂s

∣∣∣∣p

)ds

dx= −1

ρ

(1− j2

ρ2

∂ρ

∂p

∣∣∣∣p

)dp

dx(5)

() 5 / 1


Conforme a las relaciones termodinamicas

∂ρ

∂s

∣∣∣∣p

= − ρ

βpCp< 0 βp : factor termico isobaro,

coeficiente de compresibilidad termica.

Recordando que ds/dx aumenta, la expresion del primer miembro en(??) resulta una cantidad positiva. Por otro lado, en el segundo

miembro, el signo dedp

dxdebe coincidir con el de

−

(1− j2

ρ2

∂ρ

∂p

∣∣∣∣p

)= −(1− u2

c2) = Ma2 − 1

Entonces si

Ma < 1 =⇒ dp

dx< 0

Ma > 1 =⇒ dp

dx> 0 (6)

() 6 / 1


Analogamente, como j = ρu = cte. en las secciones, si derivamos respecto a x:

udρ

dx+ ρ

du

dx

Como ρ y u son cantidades positivas, el signo dedρ

dxes contrario al de

du

dx.

Introduciendo la expresion deds

dxque obtuvimos en (??) en (??)

dρ

dx=

1c2dp

dx− ρ

βpCp

ds

dx=

[1− (Ma2 − 1)

TβpCp

c2 +Ma2

]1c2dp

dx

Resumiendo, podemos concluir que si:

Ma < 1 =⇒ du

dx> 0

dρ

dx< 0

Ma > 1 =⇒ du

dx< 0

dρ

dx> 0

Es decir que la velocidad crece aguas abajo en movimiento subsonico ydecrece en movimiento supersonico, a la vez que la densidad decrece ycrece respectivamente.

() 7 / 1


Estudiaremos la forma de las curvas de la entropıa en funcion de la presion. Apartir de (??) puede deducirse una relacion para la variacion de la entropıacon la presion.

ds

dp=

1ρ

Ma2 − 1

T − j2

ρ

3 ∂ρ∂s

∣∣∣p

(7)

de aquı, vemos que para Ma = 1, la entropıa presenta un extremo.Las curvass(p) tienen una forma:

Podemos estudiar las evoluciones a partir de la Figura.

() 8 / 1


Sea la velocidad a la entrada del conducto u, subsonica. Como debe cumplirse queds

dx> 0 y la relacion deducida en (??),

dp

dx< 0, se define una region donde u < c.

La curva no puede recorrerse en su totalidad pues a partir del maximo,ds

dx< 0.

Luego, el flujo que ingresa a un conducto de seccion constante subsonico, permanecesubsonico.

() 9 / 1


Por otro lado, si el flujo ingresa supersonico, el desplazamiento a lo largo de la ramade la izquierda del grafico describe el flujo.Supongamos que el maximo de entropıa se alcanza para x = lK . Si el largo delconducto l es menor a lk, el flujo permanece supersonico en todo el largo.Si el largo l > lk, nuevamente, no es posible continuar la evolucion de la curva. Eneste caso, se desarrolla un onda de choque que permite que el flujo pase a la region

subsonica y que cumplads

dx> 0.

El flujo alcanzara finalmente en el extremo del conducto la presion exteriorcorrespondiente.

() 10 / 1


Para analizar la relacion entre la entalpıa y la entropıa, recordemos las relaciones:

u2

2+ h = C1 = cte

j = ρu = C2

Luego,1

2

„C2

ρ

«2+ h = C3

Es decir que para una densidad de flujo dada j, se tiene h = h(ρ).Como s = s(ρ, h) podemos construir para distintas j diagramas h− s que son llamados diagramas deFanno.

Al igual que con las toberas, el caudal masico se encuentra acotado por el fenomeno de bloqueo o

atoramiento correspondiente a la condicion Ma = 1.

() 11 / 1

Diagramas de Fanno en toberas convergentes.

() 12 / 1

Diagramas de Fanno en toberas de Laval.

() 13 / 1

Onda de choque Normal.

Analicemos la onda de choque de la figura

Considerando la ecuacion de continuidad:

m = ρ1A1V1 = ρ2A2V2

La ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento nos permite escribir:XFx = p1A1 − p2A2 = m(V2 − V1)

Como el espesor de la onda es muy pequeno, A2 ' A1 y entoncesreemplazando obtenemos:

p2 − p1 = ρ1V21 − ρ2V

22 (8)

que es el salto de presion a traves de la onda.

() 14 / 1


Considerando que el proceso es adiabatico, hemos visto que

V 21 − V 2

2 =2k

k − 1

„p1

ρ1− p2

ρ2

«(9)

Resolviendo, surgen las relaciones de la onda de Choque.

p2

p1=

2kMa21 − (k − 1)

k + 1T2

T1=

[2kMa21 − (k − 1)][2 + (k − 1)Ma2

1]

(k + 1)2Ma21

V2

V1=

ρ1

ρ2=

(k − 1)Ma21 + 2

(k + 1)Ma21

() 15 / 1


Para un gas perfecto diatomico, podemos entonces sintetizar las ecuaciones en elsiguiente grafico:

() 16 / 1


Recordando la relacion de Gibbs (??) y las relaciones termodinamicas de gasesperfectos:

dh =k

k − 1d

„p

ρ

«ds = ρRd

„1

ρ

«+ Cv

dT

T

Surge al integrar que:

s2 − s1 = Cvln

p2

p1

„ρ2

ρ1

«−k!= Cvln

„p2

p1

„(k − 1)p2/p1 + k + 1

(k + 1)p2/p1 + k + 1

««Para p2/p1 ' 1 + α con α pequeno, esta expresion tiene como lımite:

s2 − s1

Cv=k2 − 1

12k2

„p2 − p1

p1

«3

(10)

Que indica que las ondas de choque son de compresion, necesariamente p2 es mayor

que p1.

() 17 / 1


Considerando la ecuacion de conservacion (??), la reescribimos por comodidadexpresando volumenes especıficos v = 1

ρen vez de densidad.

j2 =p2 − p1

v1 − v2=

∆p

∆v(11)

Como

j > 0 =⇒

∆p < 0 ∆v < 0∆p > 0 ∆v > 0

Dado que ∆p es positivo, necesariamente la segunda posibilidad es la unica quepuede tomar lugar. La ecuacion de conservacion de la energıa en estos sistemas,escrita en terminos de v

h1 +(jv1)2

2= h2 +

(jv1)2

2Reemplazando (??) en la anterior, se obtiene la llamada relacion de Hugoniot:

h1 − h2 +1

2(v1 + v2)(p2 − p1) = 0 (12)

Por otro lado, en terminos de energıa interna e = h− pv

e1 − e2 +1

2(v1 − v2)(p1 + p2) = 0 (13)

() 18 / 1


Si el gas es perfecto la relacion deHugoniot conduce a:

p2

p1=

(k + 1)(v1/v2)− (k − 1)

(k + 1)− (k − 1)(v1/v2)(14)

() 19 / 1

Conductos de seccion constante aislados termicamente.

Ecuacion de continuidadjA = m

Ecuacion de conservacion de la cantidad de movimiento.

d(u2/2)

dx+

1

ρ

dp

dx= −λ u2

8Γh

Ecuacion de la energıa

h+u2

2=

k

k − 1

p

ρ+u2

2= h0

Para determinar la importancia de la friccion en el flujo, comparamos el terminoinercial frente al de friccion:

u2

2L: λ

u2

8Γh=⇒ λL

4Γh� 1 =⇒ friccion despreciable

λL4Γh� 1 =⇒ friccion dominante

() 20 / 1


Combinando apropiadamente, se llega a:

p2 =k − 1

k

„m

A

«h0

Ma2[1 + (k − 1)Ma2/2]

T =h0

1 + (k − 1)Ma2/2

Por lo que la presion y la temperatura en cada posicion a lo largo del eje delconducto dependen del valor local del numero de Mach.La distribucion del numero de Mach surge de:

1

ρ

dρ

dx+

1

u

du

dx+

1

A

dA

dx= 0

k

k − 1

1

ρ

dp

dx− k

k − 1

p

ρ2

dρ

dx+ u

du

dx= 0

h0 = h[1 + (k − 1)Ma2/2]

Luego,1

Ma2

d(Ma2)

dx=

2

u

du

dx− 1

p

dp

dx+

1

ρ

dρ

dx

() 21 / 1


Se llega a la siguiente ecuacion diferencial

1

Ma2dx =

2 + (k − 1)Ma2

1−Ma2

λkMa2

8Γh

que integrada resulta:

1

Ma2− 1

Ma2(0)+k + 1

2ln

»[2 + (k − 1)Ma2(0)]

[2 + k + 1)Ma2]

Ma2

Ma2(0)

–=kλx

4Γh(15)

Si la entrada al conducto es subsonica, p(L) = pa

() 22 / 1


Si la longitud del conducto es tal que se produce la onda de choque (condicionsonica a la salida), se supone que la onda de choque esta situada a una distanciaL1 > L de la entrada, entonces:

1

Ma2(L1)− 1

Ma2(0)+k + 1

2ln

»[2 + (k − 1)Ma2(0)]

[2 + k + 1)Ma(L1)2]

Ma2

Ma2(0)

–=kλL1

4Γh(16)

1

Ma2(L)− 1

Ma2(L1)+k + 1

2ln

»[2 + (k − 1)Ma2(L1)]

[2 + k + 1)Ma(L)2]

Ma2

Ma2(L1)

–=kλL

4Γh(17)

A lo largo de la onda de choque, el salto de Ma esta dado por

Ma22(L1) =

2 + (k − 1)Ma21(L1)

2kMa21(L1) + 1− k (18)

Y el problema se cierra imponiendo la condicion de descarga a presion ambiente.

p(L) = pa =k − 1

k

„m

A

«2h0(0)

Ma2(L)[1 + (k − 1)Ma2(L)/2](19)

() 23 / 1


En un conducto puede ingresar flujo supersonico si, por ejemplo, este proviene desdeuna tobera acoplada al mismo. Luego, Ma(0) y m son determinados por lascondiciones de salida en la tobera.

m =

„2

k + 1

«k+1

2(k − 1)ρ0c0Ag

donde Ag es el area de la garganta.

m = Ma(0)ρ0c0A

»1 +

k − 1

2Ma2(0)

–k+1

2(k − 1)

Conocidas estas condiciones, se pueden determinar las condiciones a la salida,Ma(L) y p(L).

() 24 / 1


La presencia de una onda de choque tiene asociada el crecimiento de entropıa, aunen el caso de movimientos que pueden ser considerados en todo el espacio comoflujos perfectos (ausencia de efectos viscosos y termoconduccion).El incremento de entropıa implica la presencia de un mecanismo de disipacion deenergıa. Por lo que la paradoja de D’Alembert en el caso existan discontinuidadescomo las ondas de choque no tiene mas validez ya que al movimiento de un cuerpoen este caso el fluido opone una resistencia.El aumento de entropıa ejerce tambien otra influencia sobre el movimiento. Engeneral, si el movimiento del gas antes del choque es potencial. Luego del mismo, seconvierte en rotacional.

() 25 / 1

Onda de choque oblicua.

Habıamos mencionado que una perturbacion puntual sobre un flujo supersonicotiene consecuencias solamente aguas abajo de la misma.El flujo alrededor de un cuerpo avanzando a velocidad sonica presentacaracterısticas muy distintas respecto a uno que lo hace a velocidad subsonica.Recordando el angulo de Mach que se forma a partir de la consideracion de lavelocidad del flujo u y la de la perturbacion c, se observan ondas de choque oblicuasrespecto a la direccion principal del escurrimiento.

() 26 / 1


En el estudio de las ondas de choque normales, determinamos que estas ajustan lascondiciones externas (presion) respecto a las condiciones de salida teoricas,isoentropicas en conductos.Por el contrario, las ondas de choque oblicuas aparecen como consecuencia decambios abruptos en la geometrıa del flujo.Las ondas de choque oblicuas son similares a las ondas normales, en tanto que paramodelizar ambas consideramos discontinuidades en magnitudes como la presion,densidad, etc. , que tienen asociadas un aumento de la entropıa.En el siguiente esquema se estudia un caso general:

θ: Angulo del choqueβ: Angulo de defleccion.

Vn1 = V1 sin(θ) Vn2 = V2 sin(θ − β)

Vt1 = V1 cos(θ) Vt2 = V2 cos(θ − β)

Se pueden definir las variaciones del numero de Mach:

Mn1 = M1 sin(θ) Mn2 = M2 sin(θ − β)

Mt1 = M1 cos(θ) Mt2 = M2 cos(θ − β)

() 27 / 1


Las ecuaciones de conservacion considerando un volumen de control paralelo al choque son:

Conservacion de la masa ZSρV · nds = 0 =⇒ ρ1Vn1 = ρ2Vn2 (20)

Conservacion de la cantidad de movimiento.ZSρV (V · n)ds =

ZStds

En la direccion tangente:Vt1(ρ1Vn1S1) = Vt2(ρ2Vn2S2)

La que considerando (??) conduce aVt1 = Vt2 (21)

En la direccion normal:(p1 + ρ1V

2n1)S1 = (p2 + ρ2V

2n2)S2

Conservacion de la energıa

h1 +V 21

2= h2 +

V 22

2

h1 +V 2

n1 + V 2t1

2= h2 +

V 2n1 + V 2

t1

2

recuperando lo hallado en (??) se obtiene:

h1 +V 2

n1

2= h2 +

V 2n2

2

Entonces, las 3 ecuaciones de conservacion guardan igual forma que las ecuaciones deducidas para ondas

normales. Luego es posible analizar una onda de choque oblicua como normal siempre que consideremos

que V ≡ Vn y Ma ≡ Man.

() 28 / 1


Dado que en la mayorıa de los problemas, conocemos los datos del flujo V1 y elangulo β, resulta mas conveniente expresar θ en funcion de M1 y β.Considerando que Vt1 = Vt2 =⇒Mt1

√kRT1 = Mt2

√kRT2.

De donde, Mt2 = Mt1

rT1

T2Luego, como Mn2 = Mt2tg(θ − β) entonces:

Mn2 = Mt1

rT1

T2tg(θ − β) = M1 cos(θ)

rT1

T2tg(θ − β) (22)

Tomando en cuenta la relacion de temperatura de choques normal, aplicada achoques oblicuos:

T1

T2=

1 + k−1

2M2n2

1 + k−12M2n1

!(23)

Reemplazando, se obtiene:

M2n2 = M2

1 cos2(θ)

1 + k−1

2M2n2

1 + k−12M2n1

!tg2(θ − β) (24)

De la relacion para onda de choque normal para el numero de Mach:

M2n2 =

2 + (k − 1)M2n1

(1− k) + 2kM2n1

() 29 / 1


Se llega a:

β = θ − arctg"

1

sin(θ)

k − 1

k + 1sin

2(θ) +

2

k + 1

1

M21

!#

La solucion de esta ecuacion se representa en la siguiente figura:

Vemos que existen para β y Ma dados 2 soluciones: una que correponde a la onda de choque fuerte y otraa la onda de choque debil, de angulos pequenos y menores relaciones de presion p2/p1.En la practica, la primera solucion se da para ∆p muy elevados que son improbables, luego, se considerasolamente la solucion debil.El grafico muestra que hay solucion para angulos menores que un cierto lımite. Mas alla de ese valor, no esposible encontrar su correspondiente θ. Se dice en estos caso, que la onda del choque se separa del cuerpo.

() 30 / 1


Cerca de la nariz del cuerpo, existe una zona subsonica y la onda de choque sesepara del perfil.Detras de la onda de choque, solo la componente normal de la velocidad debe serinferior a la velocidad sonica.

() 31 / 1

Conclusiones.

Hemos estudiado la evolucion de la entropıa para flujos compresibles en conductoslargos.

Apoyandonos en el segundo principio de la termodinamica, vimos que en un conductoaparece una dependencia de las caracterısticas del regimen respecto del numero deMa en la entrada.

Basandonos en las ecuaciones de estado, y en las leyes de conservacion, presentamoslos diagramas de Fanno que vinculan en distintos flujos la entropıa con la entalpıa.

Hemos cerrado formulando la relacion que existe entre las magnitudestermodinamicas, cuando existe una onda de choque normal. La descripcion acabadade esta onda, ası como la de una onda oblicua, excede los alcances del curso.

() 32 / 1

introduccion repaso de conceptos de la clase anterior...

Documents