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Repaso de clase anterior

•Fórmula del bloqueo de Erlang.

•LFGN y el problema de la Robustez.

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SIMULACIÓN DE DISTRIBUCIONES- MONTE CARLO

Partiendo de la base que utilizando n veces el generador de números aleatorios de las computadoras obtenemos

U1,...,Un iid con distribución U[0,1], queremos construír,

dada una distribución F cualquiera,

una muestra X1,...,Xn iid con distribución F (muestra simulada de F).

La simulación de muestras es una técnica que se usa ampliamente en el Método de Monte Carlo que veremos en un instante.

El procedimiento es bien simple y lo veremos primero en dos casos

particulares muy importantes y luego en forma general.

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1) Caso en que F es discreta.

Si la distribución F corresponde a una variable que toma los valoresa1, ...., ak, ...

con probabilidades respectivasp1, ...., pk, ...y llamamos

q1= p1, q2 = p1+p2, … , qk= p1 + p2+…+ pk, ....

y tenemos los números aleatorios U1,...,Un, definamos Xi del modo siguiente:

• Si Ui q1, definimos Xi = a1,• Si para algún j es qj-1< Ui qj, definimos Xi = aj,

entonces X1,...,Xn iid con distribución F Ejemplo: si 0 < p < 1, y tenemos los números aleatorios U1,...,Un

· Si Ui p, definimos Xi = 1

· Si p < Ui , definimos Xi = 0

y X1,...,Xn iid con distribución Ber(p)

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2) Caso en que F es estrictamente creciente.

Si la distribución F es estrictamente creciente, se prueba en el práctico y de hecho es muy simple, que si U es una variable con distribución U[0,1], entonces F-1(U) tiene distribución F.

En consecuencia, si tenemos los números aleatorios U1,...,Un, y definimos Xi = F-1(Ui),

entonces X1,...,Xn iid con distribución F

Ejemplo: Puede verificarse fácilmente que la distribución de Cauchy standard esF(t)= (arctg(t)/)+1/2

EntoncesF-1(y)=tg( (y-1/2))

por lo que si tenemos los números aleatorios U1,...,Un, y definimos

Xi = tg( (Ui-1/2)),

resulta X1,...,Xn iid con distribución C(0,1)

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3) Caso general (F cualquier distribución). Si la distribución F es cualquiera, se define la función inversa generalizada de F de la manera siguiente

F-1(y) = inf {xR / F(x) y}

(coincide con la inversa habitual cuando F es estrictamente creciente)

Puede verificarse que: F-1(u) t si y sólo si u F(t),

y de allí que, si U es una variable con distribución U[0,1], resulta

P(F-1(U) t) = P(U F(t)) = F(t),

por lo que F-1(U) tiene distribución F.

Si tenemos los números aleatorios U1,...,Un, y definimos Xi = F-1(Ui) ,

entonces X1,...,Xn iid con distribución F

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Ahora que sabemos simular, veamos el método de Monte Carlométodo de Monte Carlo:

Si quiere calcular una probabilidad, un valor esperado o cualquier atributo de una función de distribución, simule muestras muy grandes de la distribución involucrada y estime la probabilidad por la frecuencia observada en la muestra, el valor esperado por el promedio y, en general, el atributo de la distribución subyacente por el mismo atributo de la distribución empírica ( la discreta que asigna, a cada resultado obtenido, como probabilidad, la frecuencia observada).

Más adelante (cuando veamos los Teorema de Glivenko-Cantelli y de

Donsker), detallaremos el grado de precisión de este método.

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Por ejemplo, si la muestra es 0.3, 0.1,0.3, 0.5, 0.3, 0.1, 0.6 la distribución empírica es la discreta concentrada en {0.1, 0.3, 0.5, 0.6} y que asigna lassiguientes probabilidades :

p(0.1)=2/7, p(0.3)= 3/7, p(0.5)=p(0.6)=1/7.

En general si llamamos Fn a la distribución discreta que como probabilidad de cada valor obtenido en la muestra toma la frecuencia observada de dicho valor, obsérvese que la fórmula del valor esperado aplicada a Fn arroja como resultado el promedio, que es la estimación natural del valor esperado cuando éste existe.

Así, Monte Carlo podría resumirse en: si se desea calcular una magnitud expresable como T(F), donde T es cierto funcional y F es una distribución , Monte Carlo lo aproxima por T(Fn), donde Fn es la distribución empírica de la muestra de F construída por simulación.

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Observación:

No hay generadores perfectos de números aleatorios, pero los hay de diversa calidad. Si utilizamos un mal generador, Si utilizamos un mal generador, todas nuestras simulaciones serán malas. Veremos más todas nuestras simulaciones serán malas. Veremos más adelante en este curso como chequear si sus generadores de adelante en este curso como chequear si sus generadores de números aleatorios son buenos o no.números aleatorios son buenos o no. Veamos un primer ejemplo de cómo funciona Monte Carlo, comparando la distribución empírica obtenida en 5000 simulaciones de una Bin(30,1/6) con la distribución exacta.

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Dan resultados sumamente similares!!!!

Bin(30,1/6): comparación distribución exacta- distribución empírica obtenida por simulación (método de Monte Carlo)

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

1 3 5 7 9 11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

Resultado

Pro

bab

ilid

ad

exacta

empírica (simulada)

Veamos un segundo ejemplo: La distribución de La distribución de GumbelGumbel es una distribución muy usada en la Ingeniería de valores extremos (viento más intenso, máxima ola, máxima lluvia, máxima carga, etc.) que se define por

G(x)= exp (-exp(-x)) para todo x.

Calcularemos por Monte Carlo el valor esperado Calcularemos por Monte Carlo el valor esperado de la Gumbel, a partir de la simulación de una de la Gumbel, a partir de la simulación de una muestra de tamaño 10.000 y del cálculo del muestra de tamaño 10.000 y del cálculo del promedio.promedio.P Y E 2012 Clase 11 Gonzalo Perera 10

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Es fácil invertir G: si G(x)=y, entonces

-exp(-x)=log y

por lo que:

G-1(y)=x= -log(-log(y)) para todo y en (0,1).

La gráfica muestra la evolución del promedio en las 10.000 simulaciones y nos quedamos como aproximación de Monte Carlo el último valor, o sea:

0,57035983

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Por otros métodos puede probarse que la esperanza de la Gumbel es la constante de Euler-Mascheroniconstante de Euler-Mascheroni:

0.5772156649015328606,

Por lo que el error absoluto de nuestro Por lo que el error absoluto de nuestro cálculo (que es muy simple y muy rápido) cálculo (que es muy simple y muy rápido) fue del orden de 6,8 *10fue del orden de 6,8 *10-3 -3 y el error y el error relativo fue del orden del 1,19% !!!relativo fue del orden del 1,19% !!!

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•Hay métodos más sofisticados de simulación, como los de aceptación-rechazo.

•En la última década ha crecido mucho el uso métodos de simulación basados en Cadenas de Markov (referiremos a ellas más adelante), dando lugar a lo que se conoce como MCMC(Monte Carlo Markov Chain).