introducción a la derivada

CAPíTULO 1

Introducción a la Derivada

Profesor : Roberto Muñoz Rojas

0.1. Conceptos previos. En la sección ?? basados en aproxi-maciones numéricas estimamos las pendientes de las rectas tangentesa una curva . Como ya hemos definido los límites y tenemos técnicaspara calcularlos regresaremos al problema de la tangente.0.1.1. Recta Tangente. Consideremos la curva C de ecuación y =

f(x) en el punto P (a, f(a)) y un punto Q(x, f(x)) cercano a P, lapendiente de la recta secante PQ es

mPQ =f(x)− f(a)

x− a.

A continuación aproximaremos Q a P a lo largo de la curva C, haciendoque x tienda a a. Si mPQ tiende a un número m, definimos la rectatangente t como la recta que pasa por P y tiene pendiente m, donde

m = lımx→a

f(x)− f(a)

x− a.

a x

P ( a ,f( a )

Q ( x ,f( x ) )

f( x ) - f( a )

x -a

0

y = f(x )

x

y

t

Figura 1

Ejemplo 1. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la parábo-la y = 2x2 en el punto P (1, 2).

1

2 1. INTRODUCCIÓN A LA DERIVADA

Solución 1. En este caso f(x) = 2x2 y a = 1; luego

lımx→a

f(x)− f(a)

x− a= lım

x→1

2x2 − 2x− 1 = lım

x→a

2(x− 1)(x+ 1)x− 1 = 4

y entonces la ecuación pedida es y − 2 = 4(x− 1).

Ejemplo 2. Encuentre , la ecuación de la recta tangente a y =3

xen el punto (3, 1).

Solución 2. Propuesto.

0.2. Velocidades. Supóngase que un objeto se mueve a lo largode una trayectoria rectilinea de acuerdo con la ecuación de movimientos = f(t), en donde s es el desplazamiento del objeto medido desde elorigen al objeto en el instante t.La función f que describe el movimiento se llama función de posi-

ción del objeto. En el intervalo de tiempo desde t = a a t = a+ h, elcambio de posición es f(a+ h)− f(a).La velocidad media durante este intervalo de tiempo esta dada por

velocidad media =desplazamiento

tiempo=

f(a+ h)− f(a)

h

este cuociente es igual a la pendiente de la recta secante de la figura

a a + h

P (a ,f(a )

Q (a + h ,f(a + h ))

t

s

0

Figura 2

Suponga ahora que se calculan las velocidades medias sobre inter-valos de tiempo cada vez más pequeños [a, a + h]. Esto quiere decirque h se hace pequeño, vale decir tiende a cero. Entonces definimosla velocidad instantánea o rapidez instantánea v(a) como el límite deestas velocidades medias:

v(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

1. DERIVADAS 3

Esto significa que la velocidad en el tiempo t = a es igual a lapendiente de la recta tangente a f en el punto P.

Ejemplo 3. Se deja caer una pelota desde un edificio de 400 m.Sabiendo que la ecuación de movimiento es s(t) = 4,9t2, hallar:

1. la velocidad de la pelota después de 5 segundos2. la velocidad de la pelota cuando toca el suelo.

Solución 3. Calcularemos en primer lugar la velocidad de la pelotadespués de a segundos,

v(a) = lımh→0

s(a+ h)− s(a)

h= lım

h→0

4,9(a+ h)2 − 4,9t2h

= 9,8a.

1. Para a = 5, v(a) = 49 .2. Cuando la pelota toca el suelo se cumple que s(t) = 400, paraalgún t que buscaremos resolviendo la ecuación 4,9t2 = 400,t = 9,035, luego v(9,035) = 88. 543 m/s.

1. Derivadas

Anteriormente definimos la pendiente de la recta tangente a la curvay = f(x) en el punto P (a, f(a)) como

m = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h,

de la misma forma definimos, la velocidad de un objeto cuya funciónposición estaba dada por s = f(t) en el tiempo t = a como

(1.1) v(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h.

Observamos que los límites de la forma 1.1 aparecen siempre que secalcula una razón de cambio en cualquiera de las ciencias o en inge-niería, como por ejemplo la velocidad de una reacción química o uncosto marginal en economía.Estos límites son especiales y aparecerán frecuentemente de manera

que debemos tenerlos siempre presentes.

Definición 1. La derivada de una función y = f(x) en x = aperteneciente al dominio de f, la cual denotamos por f 0(a) se definecomo

(1.2) f 0(a) = lımh→0

f(a+ h)− f(a)

h

siempre que dicho límite exista.


Una forma equivalente de esta definición se obtiene definiendo x =a+ h, es decir , h = x− a de manera que si h tiende a cero, entoncesx tiende a a. Por tanto se tiene

f 0(a) = lımh→0

f(x)− f(a)

x− a.

Ejemplo 4. Encontrar la derivada de la función f(x) = 3x2+5x−6en x = 1.

Solución 4. Según la definición dada en 1.2

f 0(1) = lımh→0

f(1 + h)− f(1)

h= lım

h→0

3(1 + h)2 + 5(1 + h)− 6− [3 + 5− 6]h

= 11.

La definición anterior se generaliza para cualquier x, en el dominio def, generando una nueva función

f 0(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h,

cuyo dominio consiste en los valores de x, para los cuales existe ellímite.

Otras notaciones.Si empleamos la notación tradicional y = f(x) para indicar que la

variable independiente es x y la dependiente es y, existen otras nota-ciones comunes para la derivada :

f 0(x) = y 0 =dy

dx=

df

dx= Df(x) = Dxf(x).

Los símbolos D yd

dxse llaman operadores de diferenciación o

derivación. El símbolody

dxfue introducido por Leibnitz y no

se debe considerar como una división (por lo pronto) ; sólo esun sinónimo de f 0(x).

Definición 2. Una función f es diferenciable en a si existe f 0(a).Es diferenciable en (a, b) si es diferenciable en todo número del inter-valo.

Ejemplo 5. ¿ Donde es diferenciable la función f(x) =3x

|x| ?

Solución 5. La función anterior podemos reescribirla en dos tramospor las características del valor absoluto,

f(x) =

½3 si x > 0−3 si x < 0

;

1. DERIVADAS 5

la derivada de f es

f 0(x) =

½0 si x > 00 si x < 0

ya que la función es constante en cada tramo, pero como en cero noestá definida no existe la derivada en dicho punto, luego f es diferen-ciable en R− {0}.

Ejemplo 6. Determine donde es diferenciable f(x) = |2x− 5| .

Solución 6. La función la reescribimos por tramos

f(x) =

½2x− 5 si x ≥ 2,55− 2x si x < 0

.

Se tiene que para x > 2,5, 2x > 5, es decir 2x−5 > 0 y podemos elegirun h suficientemente pequeño de modo que 2(x + h)− 5 > 0, así parax > 2,5 tenemos que

f 0(x) = lımh→0

2(x+ h)− 5− (2x− 5)h

= lımh→0

2h

2= 2.

De igual forma para x < 2,5 sucede que f(x) = 5 − 2x y es factibleescoger un h suficientemente pequeño de modo que 5 − 2(x + h) > 0.Así para x < 2,5

f 0(x) = lımh→0

5− 2(x+ h)− (5− 2x)h

= lımh→0

−2hh

= −2.

Para x = 2,5 debemos analizar el límite:

lımh→0

f(2,5 + h)− f(2,5)

h= lım

h→0

|2(2,5 + h)− 5|h

= lımh→0

|2h|h

y este último límite no existe ya que los límites laterales son dis-tintos. Por tanto f es diferenciable en R − {2,5}. En la gráfica def(x) = |2x− 5| se observa que en x = 2,5, f posee una esquina afila-da o no suave. Esta característica permite identificar gráficamente lospuntos en que las funciones no poseen derivada.


0

2

4

6

8

10

12

14

-4 -2 2 4x

f(x) = |2x− 5|Teorema 1. Si f es diferenciable en a, entonces f es continua en

a.

Demostración. Debemos probar que

lımx→a

f(x) = f(a), x 6= a

para ello consideremos:

f(x)− f(a) =f(x)− f(a)

x− a(x− a) ; x 6= a

y apliquemos límite a la igualdad, obteniendo

lımx→a(f(x)− f(a)) = lım

x→a

f(x)− f(a)

x− a(x− a) = lım

x→a

f(x)− f(a)

x− alımx→a(x− a)

= f 0(a) · 0 = 0;

Finalmente lımx→a(f(x) − f(a)) = lım

x→af(x) − lım

x→af(a) = lım

x→af(x) −

f(a) = 0, de donde lımx→a

f(x) = f(a). ¤

Observación 1. El recíproco del teorema reciente es falso; es decirexisten funciones que son continuas y no diferenciables; por ejemplof(x) = |2x− 5| es continua en 2,5 pero no es diferenciable allí.

2. Reglas de Derivación

Calcular los límites usando la definición resulta largo y complicadoen algunos casos. Para hacer más ágil y expedito este proceso se utilizanreglas que a continuación indicamos a través de teoremas.

Teorema 2. Si f(x) = c, entonces f 0(x) = 0. En palabras diremosque la derivada de una función constante es la función cero.

2. REGLAS DE DERIVACIÓN 7

Demostración. f 0(x) = lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h= lım

h→0

c− c

h=

lımh→0

0

h= 0. ¤ f(x) = c

⇓f 0(x) = 0Ejemplo 7. Si f(x) = (3x− 7)0, determine f 0(x).

Solución 7. Como f(x) = 1, entonces f 0(x) = 0.

Teorema 3. Si f(x) = xn, entonces f 0(x) = nxn−1, n ∈ N. Esteresultado puede generalizarse aún más para n ∈ Q.

f(x) = xn

⇓f 0(x) = nxn−1Demostración. Probaremos el caso n = 3.

f 0(x) = lımh→0

(x+ h)3 − x3

h= lım

h→0

x3 + 3x2h+ 3xh2 + h3 − x3

h

lımh→0

3x2h+ 3xh2 + h3

h= lım

h→0

h(3x2 + 3xh+ h2)

h= lım

h→0(3x2 + 3xh+ h2) = 3x2.

Si n = 1/2, f 0(x) = lımh→0

(x+ h)1/2 − x1/2

h=

lımh→0

(x+ h)1/2 − x1/2

h

(x+ h)1/2 + x1/2

(x+ h)1/2 + x1/2= lım

h→0

x+ h− x

h((x+ h)1/2 + x1/2)

lımh→0

1

1((x+ h)1/2 + x1/2)=

1

2√x=1

2x−

12 . ¤

Teorema 4. Si h(x) = f(x) + g(x) y f y g son funciones deriv-ables, entonces h0(x) = f 0(x) + g0(x).

Demostración. Calculando la derivada de h por definición ten-emos que

h0(x) = lımh→0

f(x+ h) + g(x+ h)− (f(x) + g(x))

h

= lımh→0

f(x+ h)− f(x)

h− lım

h→0

g(x+ h)− g(x)

h= f 0(x) + g0(x).

¤Teorema 5. Si h(x) = f(x) − g(x) y f y g son funciones deri-

vables, entonces h0(x) = f 0(x)− g0(x).

Demostración. Propuesto. Ver demostración anterior. ¤Teorema 6. Si F (x) = cf(x), con c constante y f función deri-

vable, entonces

(2.1) F 0(x) = cf 0(x).


Demostración. Propuesto. ¤

Ejemplo 8. Si f(t) = 3t2 + 5t + 6,representa la ecuación delmovimiento de una partícula ( la distancia se mide en metros. y eltiempo en segundos) determine la velocidad de ésta en t = 2 s.

Solución 8. La velocidad en t = x corresponde a f 0(x) = (3x2)0+(5x)0 + (6)0 = 6x+ 5, por tanto en t = 2 la velocidad es f 0(2).

Ejemplo 9. Sea f(x) = 5 5√x, determine f 0(x).

Solución 9. Reescribamos, f(x) = 2(x)15 , entonces f 0(x) = 2(1

5)x1/5−1 =

25x−

45 = 2

5x45= 2

55√x4.

Ejemplo 10. Sea g(x) = 4x3+9 3√x+3√x+8x2− 1

x2+23√x. Hallar

g0(x).

Solución 10. Reescribimos la función para aplicar los teoremasprevios.

g(x) = 4x3 + 9x

1

3 + 3x

1

2 + 8x2 − x−2 + 2x−1

3 ,

entonces

g0(x) = 12x2 + 9(1

3)x−2

3 + 3(1

2)x−1

2 + 16x− (−2)x−3 + 2(−13)x−4

3 ,

finalmente obtenemos

g0(x) = 12x2 + 3x−2

3 +3

2x−1

2 + 16x+ 2x−3 − 23x−4

3 .

g0(x) = 12x2 +3

3√x2+

3

2√x+ 16x+

2

x3− 2

33√x4.

Ejemplo 11. Sea h(x) =3x2 + 5x+ 6a√

a2 + b2, donde a y b son con-

stantes, hallardh

dx.

Solución 11. Reescribamos la función h

h(x) =1√

a2 + b2(3x2 + 5x+ 6a),

3. DERIVADAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 9

aplicando ahora la propiedad 2.1, tenemos que1√

a2 + b2representa una

constante, asi

h0(x) =1√

a2 + b2(3x2 + 5x+ 6a)0

h0(x) =1√

a2 + b2(6x+ 5).

Teorema 7. Si f y g son derivables en c y h(x) = f(x)g(x),entonces

(2.2) h0(c) = f 0(c)g(c) + f(c)g0(c).

Ejemplo 12. Considere la función f(x) = (x2 + 3)(3x4 − 5). De-termine la derivada de f.

Solución 12. Utilizando 2.2, tenemos que

f 0(x) = (x2 + 3)0(3x4 − 5) + (x2 + 3)(3x4 − 5)0

= (2x)(3x4 − 5) + (x2 + 3)(12x3)= 18x5 + 36x3 − 10x.

Derive f resolviendo previamente el producto (x2 + 3)(3x4 − 5).Compruebe que de esta forma obtiene el mismo resultado.

Teorema 8. Si f 0(x) y g0(x) existen con g0(x) 6= 0, entonces

(2.3)µf(x)

g(x)

¶0=

f 0(x)g(x)− f(x)g0(x)

(g(x))2.

Ejemplo 13. Considere la función f(x) =3x2 + 5

5x3 − 4 . Hallar f0(x)

Solución 13. Utilizando la relación 2.3, tenemos que

f 0(x) =(3x2 + 5)0(5x3 − 4)− (3x2 + 5)(5x3 − 4)0

(5x3 − 4)2

=(6x)(5x3 − 4)− (3x2 + 5)(15x2)

(5x3 − 4)2

=−15x4 − 75x2 − 24x

(5x3 − 4)2 .

3. Derivadas de las funciones trigonométricas

Recordaremos previamente algunas identidades fundamentales queserán útiles en el cálculo de las derivadas.


a) sen2 (x) + cos2(x) = 1 b) tan(x) =sen (x)

cos(x), cosx 6= 0

c) sec(x) =1

cos(x), cosx 6= 0 d) cot(x) =

cos(x)

sen (x), sen(x) 6= 0

e) csc(x) =1

sen (x), sen(x) 6= 0 f) 1 + tan2(x) = sec2(x)

g) cot(x) =1

tan(x), tanx 6= 0 h) 1 + cot2(x) = csc2(x)

Las siguientes reglas rigen las derivadas de las funciones trigonométri-cas.

Proposición 1. Consideremos las funciones f(x) = sen (x) yg(x) = cos(x), entonces f 0(x) = g(x) y g0(x) = −f(x).

Demostración. Utilice la definición de derivada para comprobarla veracidad de las identidades. ¤Proposición 2. Considere f(x) = tan(x) , entonces f 0(x) = sec2(x).

Demostración. Escriba f(x) =sen(x)

cos(x)y aplique la derivada de

un cuociente, para comprobar la proposición. ¤Proposición 3. Si f(x) = cot(x), entonces f 0(x) = − csc2(x).

Demostración. Recuerde que cot(x) =cos(x)

sen (x)y aplique la deriva-

da de un cuociente. ¤Proposición 4. Si f(x) = sec(x) y g(x) = csc(x) , entonces

f 0(x) = sec(x) tan(x) y g0(x) = − csc(x) cot(x).

Demostración. Propuesto. Hágalo. ¤Ahora empezaremos a combinar todas las fórmulas para darle más

emoción a la materia.

Ejemplo 14. Hallardy

dxsi y =

sen(x)− cos(x)sen(x) + cos(x)

.

Solución 14. Aplicando la derivada de un cuociente,dy

dx=(sen(x)− cos(x))0(sen(x) + cos(x))− (sen(x)− cos(x))(sen(x) + cos(x))0

(sen(x) + cos(x))2


dy

dx=(cos(x) + sen(x))(sen(x) + cos(x))− (sen(x)− cos(x))(cos(x)− sen(x))

(sen2(x) + 2sen(x) cos(x) + cos2(x))

dy

dx=

(cos(x) + sen(x))2 + (cos(x)− sen(x))2

1 + sen(2x)=

2

1 + sen(2x).

Ejemplo 15. Dada y =1− tan(z)sec(z)

, determinedy

dxydy

dz.

Solución 15. Como x es una constante para z, se tiene quedy

dx= 0. Para

dy

dz, usamos la derivada del cuociente para obtener

dy

dz=

(1− tan(z))0 sec(z)− (1− tan(z))(sec(z))0sec2(z)

dy

dz=− sec2(z) sec(z)− (1− tan(z)) sec(z) tan(z)

sec2(z)

dy

dz=−(1 + tan(z))

sec(z).

3.1. Regla de la Cadena. Recordemos que la composición dedos funciones se ha definido como:

(f ◦ g)(x) = f(g(x))

con las recomendaciones inherentes para que este producto esté biendefinido.Para calcular la derivada de la función compuesta se necesita pre-

viamente las derivadas de f y g quedando dicha derivada de la siguienteforma:

(3.1) (f ◦ g)0(x) = f 0(g(x)) · g0(x).En palabras podemos decir que la derivada de (f ◦g)(x) está forma-

da por la derivada de f evaluada en g(x), multiplicada por la derivadade g evaluada en x.Sea y = f(g(x)) y consideremos a g(x) como una variable u, es

decir u = g(x), entonces la igualdad 3.1 se escribe

dy

du· dudx=

dy

dxque es otra forma de presentar la regla de la cadena.

Ejemplo 16. Derivar usando la regla de la cadena, la funciónf(x) = (3x− 3)12.


Solución 16. Podemos considerar g(x) = x12 y h(x) = 3x − 3.,entonces se tiene que f(x) = (g ◦ h)(x). Usando la fórmula 3.1 obten-emos

f 0(x) = g0(h(x))h0(x).

Como g0(x) = 12x11 y h0(x) = 3, obtenemos que g0(h(x) = 12h(x)11 yf 0(x) = 12h(x)113 = 36(3x− 3)11.

Ejemplo 17. Hallar dydxsi y = sen3(x).

Solución 17. Consideremos que y = u3 y u = sen(x), entonces

dy

du= 3u2 y

du

dx= cos(x)

por tanto

dy

dx=

dy

du

du

dx= 3u2 cos(x) = 3(sen(x))2 cos(x).

Generalización de la regla de la cadena.Si y = f(u) y u = v(z), y z = h(x), entonces,

dy

dx=

dy

du

du

dz

dz

dx.

Por supuesto se puede ampliar a un número finito de variables.

Ejemplo 18. Consideremos que f(x) = sen3(4x2 − 5). Determinef 0(x).

Solución 18. Sea y = f(x) = u3, u = sen(v) , v = 4x2 − 5,entonces

dy

dx=

dy

du

du

dv

dv

dx= 3u2 cos(v)(8x)

= 3(sen2(v)) cos(v)(8x) = 24xsen2(4x2 − 5) cos(4x2 − 5).

Ejemplo 19. Derivar y = 3p(x2 + 1)4, con respecto a x.

Solución 19. Expresemos y como una potencia, y = (x2 + 1)4/3 yconsideremos que y = u4/3, u = x2 + 1, luego tendremos

y0 =4

3u13 · (2x) = 4

3(x2 + 1)

13 · (2x) = 8x

33√x2 + 1.

Ejemplo 20. En algunos ejercicios es posible evitar usar la reglade la cadena, como en y = 4u2 + 9u− 3 , con u = 2x+ 3. Para hallardydx, es posible usar o no la regla de la cadena. Determine dy

dxsin usar la

regla de la cadena.


Solución 20. Reescribimos y = 4(2x + 3)2 + 9(2x + 3) − 3 =16x2 + 66x+ 60, entonces

dy

dx= 32x+ 66.

Obtenga la derivada, usando la regla de la cadena.

Ejemplo 21. Supongamos que la cantidad de gasolina,G, en litros,conmsumida por un auto depende de la distancia recorrida, s, en km,y que la distancia recorrida s depende del tiempo t, medido en horas.Si 2 litros de bencina se consumen cada 15 kilómetros, y el auto viajaa una velocidad de 80 km por hora. ¿ Con que rapidez se consume labencina ?

Solución 21. Nos dicen quedGds= 2

15l/km ds

dt= 80 km/h,

deseamos calcular dGdt, por la regla de la cadena tenemos que

dG

dt=

dG

ds· dsdt,

por tanto la bencina se consume a razón de

dG

dt=2

15l/km · 80 km/h =

32

3l/h,

es decir aproximadamente 10,7 litros por cada hora de viaje.

Las fórmulas anteriores de derivación pueden generalizarse con laregla de la cadena.

Proposición 5. Considere que u es una función de la va-riable x, entonces:

1. Si y = un, entonces dy

dx= nun−1

du

dx.

2. Si y = sen(u), entonces dy

dx= cos(u)

du

dx

3. Si y = ln(u) , u(x) > 0, entonces dy

dx=1

u

du

dx.

4. Si y = au , a > 0, entonces dy

dx= au ln a

du

dx.

5. Si y = eu , entonces dy

dx= eu

du

dx. Note que este caso

corresponde al anterior con a = e.



dxsi y = ln(2x+ 3).

Solución 22. Hacemos y = lnu, con u = 2x+ 3, entonces

dy

dx=1

u

du

dx=

1

2x+ 32 =

2

2x+ 3.


dxsi y = ln4(2x+ 3).

Solución 23. Rescribimos y = u4, con u = ln v y v = 2x + 3,entonces

y0 = 4u3du

dv= 4u3

1

v

dv

dx= 4u3

1

v2 = 8(ln v)3

1

2x+ 3

= 8ln3(2x+ 3)

2x+ 3.


dtsi y = e−

t2

2 .

Solución 24. Hacemos y = eu, donde u = −t2

2. Derivando obte-

nemosdy

dt= eu

du

dt= e−

t2

2 (−t) = −te− t2

2 .

4. Derivada de la función implícita

Si la dependencia entre x e y viene dada por la relación

(4.1) F (x, y) = 0

donde F (x, y) indica una función en x e y , para hallar dydxbasta:

1. Calcular la derivada con respecto a x del primer miembro de4.1, considerando y una función de x.

2. Igualar a cero la derivada obtenida en 1.3. Resolver la ecuación obtenida considerando como incógnita a

y0.

Ejemplo 25. Hallar y0 si x2 + y2 − 2xy = 8.Solución 25. Reescribimos, x2 + y2 − 2xy − 8 = 0 y derivando

implícitamente obtenemos

2x+ 2yy0 − 2(y + xy0) = 0

y0(2y − 2x) = 2y − 2x

y0 =y − x

y − x= 1, y 6= x.

4. DERIVADA DE LA FUNCIÓN IMPLíCITA 15

Ejemplo 26. Hallar y0 si tan(y) = xy.

Solución 26. Haciendo tan(y)− xy = 0, y derivando obtenemos

sec2(y)y0 − (y + xy0) = 0

y0(sec2(y)− x) = y

y0 =y

sec2(y)− x.

Ejemplo 27. Hallar la ecuación de la recta tangente a la circun-ferencia x2 + y2 = 4, en el punto (

√2,√2).

Solución 27. Derivemos implícitamente

2x+ 2yy0 = 0,

luego,

y0 =−xy,

es decir la pendiente buscada es −1.Por tanto la ecuación de la rectatangente es,

y −√2 = −(x−

√2).

4.0.1. Derivada logarítmica. Se llama derivada logarítmica de unafunción y = f(x) a la derivada del logaritmo de dicha función, a saber

d

dx(ln y) =

1

yy0.

Este proceso se aplica cuando las funciones contienen productos,cuocientes, potencias, raíces, etc. y permiten facilitar el cálculo de lasderivadas.

Ejemplo 28. Hallar y0 si

y =1 + x2

1− x2sen(3x) cos(5x).

Solución 28. Aplicando logaritmo natural a la función y y tenien-do en cuenta las propiedades de los logaritmos obtenemos:

ln(y) = ln(1 + x2)− ln(1− x2) + ln(sen(3x)) + ln(cos(5x),

ahora derivamos implícitamente

1

yy0 =

2x

1 + x2− −2x1− x2

+3 cos(3x)

sen(3x)+−5sen(5x)cos(5x)


y despejando y0,

y0 = y

∙2x

1 + x2+

2x

1− x2+3 cos(3x)

sen(3x)− 5sen(5x)cos(5x)

¸=

1 + x2

1− x2sen(3x) cos(5x)

∙2x

1 + x2+

2x

1− x2+ 3 cot(3x)− 5 tan(5x)

¸.

Ejemplo 29. Hallar y0 si y =(x+ 3)3p

(x+ 1)3(x− 1)5.

Solución 29. Apliquemos previamente logaritmo natural, obte-nemos

ln(y) = ln(x+ 3)2

(x+ 1)3/2(x− 1)5/2

= ln(x+ 3)2 − ln(x+ 1)3/2 − ln(x− 1)5/2

= 2 ln(x+ 3)− 32ln(x+ 1)− 5

2ln(x− 1).

Derivamos ahora implícitamente con respecto a x,1

yy0 =

2

x+ 3− 32

1

x+ 1− 52

1

x− 1

y0 = y

∙2

x+ 3− 32

1

x+ 1− 52

1

x− 1

¸.

4.1. Derivadas de órdenes superiores.

Definición 3. Se llama derivada de segundo orden o derivada se-gunda de una función y = f(x) a la derivada de su derivada que sedenota

d2y

dx2=

d

dx

µdy

dx

¶o también

y00 = (y0)0.

De la misma forma se define la tercera derivada , es decir

d3y

dx=

d

dx

µd2y

dx2

¶o bién

y000 = (y00)0.

Generalizando podemos decir que la derivada de órden n de la funcióny = f(x) se define como

dny

dxn=

d

dx

µdn−1y

dxn−1

¶, n ∈ N,


o biény(n) = (y(n−1))0.

Ejemplo 30. Hallard2y

dx2si y = ln(x2 + 1).

Solución 30. Dado que se pide la segunda derivada de la función,obtendremos previamente la primera derivada.

y0 =1

x2 + 12x. Derivando y0 obtenemos

y00 =2(x2 + 1)− 2x(2x)

(x2 + 1)2=2− 2x2(x2 + 1)2

.

Ejemplo 31. Hallar y000 si y = 4x3 − 5x2 + 2x− 7.Solución 31. y0 = 12x2 − 10x+ 2 ; y00 = 24x− 10 ; y000 = 24.

Ejemplo 32. Demuestre que la función y = c1e−x + c2e

−2x, paracualquier valor de las constantes c1 y c2 satisface a la ecuación

(4.2) y00 + 3y0 + 2y = 0.

Solución 32. Calculamos primeramente y0 e y00,

y0 = −c1e−x − 2c2e−2x

y00 = c1e−x + 4c2e

−2x,

reemplazando en 4.2 obtenemos,

c1e−x + 4c2e

−2x + 3(−c1e−x − 2c2e−2x) + 2(c1e−x + c2e−2x) = 0.

Ejemplo 33. Obtenga una fórmula para determinar y(n) si y =√2x.

Solución 33. Obtendremos las primeras tres derivadas, y0, y00 ey000 para tener una visión de la forma de las derivadas. Previamente

reescribimos y =√2x

1

2 . La primera derivada es

y0 =√21

2x−1

2 ; y00 = −√21

22x−3

2 ; y000 =√21

223

2x−5

2 ; y(4) =

= −√21

223

2

5

2x−7

2

y(n) = (−1)n+1√21

223

2

5

2· · · 2n− 1

2x−2n− 12 =

y(n) = (−1)n+1√21 · 3 · 5 · · · · (2n− 3)

2nx−2n− 12 .


y

x0a b

f(a)=f(b)

c

y=f(x)

Figura 3

4.1.1. Dos teoremas notables de derivadas. Consideraremos ahorados teoremas de existencia.

Teorema 9. (de Rolle) Sea f una función definida en el intervalo[a, b] y derivable en el intervalo abierto (a, b), tal que f(a) = f(b).Entonces existe un punto c ∈ (a, b) tal que f(0c) = 0Observación 2. Geométricamente este teorema nos dice que si la

función toma el mismo valor en a y b, existe un valor c ∈ (a, b) tal quela recta tangente a f en (c, f(c)) es paralela al eje x.

Ejemplo 34. Considerar la función f(x) = x2− 4x en el intervalo[0, 4]´. Verificar que esta función satisface el teorema de Rolle.

Solución 34. Como f es un polinomio las hipótesis de continuidady derivabilidad se cumplen fácilmente. Además f(0) = f(4) = 0. Portanto debemos encontrar un valor c ∈ (0, 4) tal que f 0(c) = 0. Derive-mos f(x),

f 0(x) = 2x− 4 = 0; por tanto x = 2 = c.

El teorema siguiente es una generalización del teorema de Rolle ytambién es conocido como teorema de Lagrange.

Teorema 10. (del Valor medio) Sea f una función continua en elintervalo [a, b]y derivable en el intervalo abierto (a, b). Entonces existeun punto c ∈ (a, b) tal que

f 0(c) =f(b)− f(a)

b− a.

Observación 3. Geométricamente este teorema nos indica que ex-iste una recta paralela a la recta que pasa por A y B , que es tangente ala gráfica de f en un punto C, cuya abscisa se halla entre las abscisasde los puntos A y B.


y

x0

y= f (x)

a b

f (a)

f (b)

c

T

Figura 4. mT = f 0(c) =f(b)− f(a)

b− a

Ejemplo 35. Verifique el teorema de Lagrange con la función f(x) =x2 − 3x− 4 , en el intervalo [0, 5].

Solución 35. Como la función es función polinomial se verificanla condiciones de continuidad y derivabilidad , además.

f 0(x) = 2x− 3 = f(5)− f(0)

5− 0 = 2

x =5

2,

por tanto c =5

2.

Corolario 1. (del teorema de Lagrange). Si f : I ⊆ R→ R, esuna función derivable definida en el intervalo abierto I de R y f 0(x) = 0para todo x ∈ I, entonces la función es constante.

Ejemplo 36. Verifique que la función dada por

f(x) = cos2(3x) + sin2(3x)

es constante en los reales.

Solución 36. Derivemos la función f

f 0(x) = 2 cos(3x)(−sen (3x))3 + 2sen (3x) cos(3x)3 = 0,por tanto el corolario nos garantiza que f es constante. Si queremossaber el valor de la constante nos basta evaluar f en un valor fácil decalcular como x =

π

3.


5. La Regla de L’Hôpital

Esta regla permite calcular límites de formas indeterminadas del

tipo0

0, en forma rápida gracias al uso de la derivada.

Teorema 11. (Regla de L’Hôpital) Sean f y g funciones derivablesen un intervalo abierto I = (c, d) , ( (m,∞) o (−∞,m), m ∈ R ), cong0(x) 6= 0 en I, ((m,∞) o (−∞,m), m ∈ R ) tales que

1. f(x)→ 0 y g(x)→ 0 cuando x→ a (o x→∞, o x→ −∞),y además

lımx→a

f 0(x)

g0(x)= l,

donde l es un número real o ∞ o −∞, entonces

lımx→a

f(x)

g(x)= l.

2. f(x) → ±∞ y g(x) → ±∞ cuando x → a (o x → ∞, ox→ −∞), y además

lımx→a

f 0(x)

g0(x)= l,

donde l es un número real o ∞ o −∞, entonces

lımx→a

f(x)

g(x)= l.

Ejemplo 37. Determine lımx→0

sen(5x)

7x.

Solución 37. Observamos que tanto numerador como denomi-nador tienden a cero, por tanto es posible aplicar L’Hôpital,

lımx→0

sen(5x)

7x= lım

x→0

5 cos(5x)

7=5

7.

6. Extremos de las Funciones

Uno de los aspectos importantes de la vida diaria es la optimización:queremos obtener el máximo interés en las cuentas bancarias, tener elmínimo gasto para construir una ventana, etc. Se busca localizar puntosdonde cierta función alcance su mayor o menor valor. Comenzaremosestudiando el problema de determinar los extremos absolutos de unafunción en un cierto intervalo cerrado.

6. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES 21

6.1. Extremos absolutos de una función. Sea I un subcon-junto de R y f : I → R una función

1. Si para algún x0 ∈ I se tiene que m = f(x0) ≤ f(x) para todax ∈ I decimos que x0 es un punto en donde la función alcanzaun mínimo absoluto en I.

2. Si para algún x1 ∈ I se tiene queM = f(x1) ≥ f(x) para todax ∈ I decimos que x1 es un punto en donde la función alcanzaun máximo absoluto en I. Ver gráfico adjunto.

a b

m

M

0

y=f(x)

A los valoresm = f(x0) yM = f(x1) se les llama mínimo y máximoabsolutos de la función f en I.

Ejemplo 38. Si consideramos la función f(x) = x2, determine elvalor mínimo absoluto en I = R.

Solución 38. Notamos que en x = 0 la función alcanza su valormínimo absoluto considerando I = R, ya que por propiedades de losnúmeros reales x2 = f(x) ≥ 0, para cada x ∈ R.

6.1.1. Extremos locales.

Definición 4.

Una función f tiene un máximo local( o máximo relativo) en c si existe un in-tervalo abierto I que contiene a c, tal quef(c) ≥ f(x) para todo x ∈ I. Igualmentef posee un mínimo local en c ( o mínimorelativo ) si existe un intervalo abierto, Ique contenga a c, tal que f(c) ≤ f(x) paratodo x ∈ I .


Ejemplo. La funciónf(x) = cos(2x) alcanza suvalor máximo (absoluto ylocal) 1 infinitas veces dadasu condición de funciónperiódica.

-1

-0.5

0

0.5

1

-4 -2 2 4x

f(x) = cos(2x)

Teorema del valor extremo. Si f es continua en unintervalo cerrado [a, b], entonces f alcanza un valor máx-imo absoluto, f(c), y un valor mínimo absoluto, f(d), enciertos números, c y d de [a, b].

El teorema del valor extremo, no indica como encontrar los valoresextremos, el teorema siguiente nos da una luz al respecto.

Teorema 12. (de Fermat). Si f tiene un extremo local (es decirun máximo o mínimo) en c, y si existe f 0(c), entonces f 0(c) = 0.

Ejemplo 39. Determine los máximos locales de f(x) = 2x − 1 ;0 ≤ x ≤ 3.

Solución 39. La función f es derivable en (0, 3) y su derivada esf 0(x) = 2, luego no posee extremos locales en su dominio, pero si tieneextremos absolutos según garantiza el teorema del valor extremo.

Observación 4. El teorema de Fermat, no dice que si en x = cexiste un extremo para f, se tenga que f 0(c) = 0. En otras palabras enc puede haber un extremo de f y f 0(c) no existe . Por otra parte puedeocurrir también que f 0(c) = 0 y en c la función no tenga extremo.

Definición 5.Un número crítico de una función f esun número c en el dominio de f, tal quef 0(c) = 0, o bien f 0(c) no existe.

Ejemplo 40. Determina los números críticos de f(x) = x2/5(5−x).

Solución 40. De acuerdo con la regla del producto

f 0(x) =2

5x−3

5 (5− x) + x2/5(−1) = −15

−10 + 7x( 5√x)3 ,

6. EXTREMOS DE LAS FUNCIONES 23

de donde se concluye que f 0(x) = 0 si x =10

7y f 0(x) no existe si

x = 0, es decir los valores críticos son, 0 y10

7.

Determinación de Extremos absolutos de f en un intervalocerrado.Para determinar los extremos absolutos de una función continua f enun intervalo cerrado [a, b] :

1. Se determinan los valores de f en los números críticos de f en(a, b).

2. Se encuentran los valoresde f en a y en b.3. El valor máximo de los obtenidos en 1. y 2. es el valor máx-imo absoluto; el valor mínimo de lo obtenidos es el mínimoabsoluto.

Ejemplo 41. Encuentre los valores máximo y mínimo absoluto de

f(x) = x3 − 3x2 − 2x+ 1 − 13≤ x ≤ 3.

Solución 41. Como f es continua en [−13, 3], se emplea el proced-

imiento dado.1. f 0(x) = 3x2 − 6x− 2

3x2−6x−2 = 0, x1 = 1+ 13

√15 = 2. 290 99, x2 = 1− 1

3

√15

= −. 290 99f(1+ 1

3

√15) = −7. 303 29, luego f(1− 1

3

√15) = 1. 303 32 .

2. f(−13) = 1. 296 3 y f(3) = −5,0.

3. Por tanto el valor máximo se alcanza en x = 1 − 13

√15 y el

valor mínimo se alcanza en x = 1 + 13

√15. Observemos la

gráfica de f

-8

-6

-4

-2

0

2

4

-1 1 2 3 4x

f(x) = x3 − 3x2 − 2x+ 1

Observe que el gráfico nosconfirma los resultadosobtenidos. En este caso enlos extremos no se presentanextremos relativos.

El teorema del valor medio sirve para establecer algunos hechosbásicos del cálculo difrencial, uno de los cuales es el siguiente teorema.

Teorema 13. Si f 0(x) = 0 , para todo x ∈ (a, b), entonces f esconstante en (a, b).


Corolario 2. Si f 0(x) = g0(x), para todo x ∈ (a, b), entonces f−ges constante en (a, b).

7. Funciones monótonas y la prueba de la primera derivada.

Al trazar la gráfica de una función resulta de mucha utilidad conocerdonde la función sube y donde baja.

x

y

A

B

C

a b c d

y= f(x)

x x1 2

f(x 1)f(x 2)

D

0

C1

En la figura C1 vemos que f sube de A a B y baja de B a C yvuelve a subir de C a D. Se dice que la función es creciente en [a, b],decreciente en [b, c] y de nuevo creciente en [c, d].

Definición 6. Una función f es:1. creciente en el intervalo I , si

f(x1) ≤ f(x2)

siempre que x1 < x2 en I.2. decreciente en el intervalo I , si

f(x1) ≥ f(x2).

siempre que x1 < x2 en I. Una función que es creciente odecreciente en I se denomina , monótona en I.

Para ver como nos puede ayudar la derivada para determinar si unafunción es creciente, observe la gráfica siguiente, cuando la función escreciente la recta tangente T1 tiene pendiente positiva y cuando f esdecreciente la pendiente de la recta tangente T2 es negativa, este hechose refleja en el teorema siguiente.

7. FUNCIONES MONÓTONAS Y LA PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA.25

y

x0a bc

T1T2

y = f(x )

Figura 5

Teorema 14. Supongamos que f es una función continua en unintervalo [a, b] y es diferenciable en (a, b) ,

a) si f 0(x) > 0 para todo x ∈ (a, b) , entonces f es creciente en[a, b] .

b) si f 0(x) < 0 para todo x ∈ (a, b) , entonces f es decreciente en[a, b] .

Ejemplo 42. Determina donde es creciente y donde es decreciente

la función f(x) =x3

3− 3x2 + 5x+ 2

Solución 42. Debemos conocer donde f 0(x) > 0 y donde f 0(x) < 0,para ello debemos resolver inecuaciones.Es suficiente resolver f 0(x) = x2 − 6x + 5 = (x − 5)(x − 1) > 0

. Esto ocurre si x ∈ (−∞, 1) ∪ (5,∞), por tanto f es creciente en(−∞, 1]∪[5,∞) y decreciente en [1, 5] . Observemos la gráfica de f(x) =x3

3− 3x2 + 5x+ 2 y nos damos cuenta que en x = 1 existe un máximo

local y en x = 5 existe un mínimo local. Ademas antes de 5 el signode la derivada es negativo y posterior a 5 el signo de la derivada espositivo, este hecho lo generalizamos en el siguiente teorema


-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -2 2 4 6 8 10x

f(x) =x3

3− 3x2 + 5x+ 2

Teorema 15. Supongamos que c es un número crítico de una fun-ción continua f,

a) Si f 0 cambia de positiva a negativa en c, entonces f tiene unmáximo local en c.

b) Si f 0 cambia de negativa a positiva en c, entonces f tiene unmínimo local en c.

c) Si f 0 no cambia de signo en c ( es decir es positiva a amboslados de c, o negativa a ambos lados ), entonces f no tieneextremos locales en c.

Ejemplo 43. Determine los extremos locales de f(x) = 2x5 − 5.Solución 43. f es continua en R por ser un polinomio, derivando

obtenemosf 0(x) = 10x4 = 0, x = 0,

por tanto el único valor crítico es x = 0, como x4 es siempre positivapara x 6= 0, tenemos que en 0 la derivada no presenta cambios de signopor lo que f no posee extremos relativos.

-30

-20

-10

0

10

20

30

-4 -2 2 4x

f(x) = 2x5 − 5

7. FUNCIONES MONÓTONAS Y LA PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA.27

Ejemplo 44. Determine los extremos locales de f(x) = x(2− x)

1

5

y luego trace su gráfica.

Solución 44. Hallaremos primero los números críticos de f.

f 0(x) = (2− x)

1

5 + x1

5(2− x)

−45 (−1) = 0(7.1)

= −25

−5 + 3x³5p(2− x)

´4 = 0.(7.2)

La derivada f 0(x) es cero si x =5

3y no existe si x = 2 ; por consiguiente

los números críticos son5

3y 2.

A continuación formamos la tabla siguiente que divide la recta realen intervalos cuyos extremos son los números críticos.

Intervalo −5 + 3x³

5p(2− x)

´4f 0(x) f

x <5

3− + + creciente

5

3< x < 2 + + − decreciente

x > 2 + + − decreciente

.

Observe que para determinar el signo de f debemos tener en cuenta

el signo negativo de2

5en 7.2. Finalmente en x =

5

3, f posee un máximo

local de valor f(5

3).

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

-4 -2 2 4x

f(x) = x(2− x)

1

5


8. Problemas aplicados de Máximo y Mínimo.

Los métodos para determinar máximos y mínimos tiene aplicacionesprácticas en muchas áreas. Un empresario desea minimizar los costosy maximizar las ganancias. En óptica el Principio de Fermat estableceque la luz recorre la trayectoria que recorre el menor tiempo.Al resolver estos problemas el mayor reto deriva muchas veces de

identificar correctamente la función que debemos maximizar o mini-mizar.Pasos para resolver problemas de máximos y mínimos.1. Comprender el problema. Preguntarnos ¿ Qué se desconoce? ¿ Cuáles son las condiciones establecidas ?

2. Dibujar un diagrama. Identificar él las cantidades dadas ypedidas, es decir datos e incógnitas.

3. Adoptar una notación. Hay que asignar un símbolo a lascantidades que se van a máximizar.

4. Reducir la función a una función de una variable, realizandopreviamente las sustituciones adecuadas.

5. Finalmente a la función encontrada determinarle los extremos.

Ejemplo 45. La suma de dos números positivos es 6. Hallar quenúmeros positivos hacen que el cuadrado del primero por el segundo seamáximo.

Solución 45. Apliquemos la parte 1. Buscamos números x, y talesque x > 0, y > 0 y x+ y = 6, de modo que P = xy2 sea máximo.La parte 2 en este caso no es necesaria si bien se le podría asignar

una interpretación geométrica a los valores x e y.La notación ya fue adoptada considerando la función producto P =

xy2.Expresemos ahora P en función de la variable x. Tenemos que

y = 6 − x, por tanto P (x) = x(6 − x)2 , x > 0. Ahora procedemosa máximizar la función P, para ello derivamos P,

P 0(x) = (6−x)2+2x(6−x)(−1) = 36−24x+3x2 = 3 (x− 2) (x− 6) ,los valores críticos son 2 y 6 :

Intervalo x− 2 x− 6 P 0(x) Px < 2 − − + creciente2 < x < 6 + − − decrecientex > 6 + + + creciente

Por tanto en x = 2 existe un máximo local y en x = 6 existe unmínimo local. Por lo tanto los números pedidos son x = 2 e y = 4.

8. PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMO Y MíNIMO. 29

0

20

40

60

80

100

120

140

160

2 4 6 8 10x

P (x) = x(6− x)2

Ejercicios1. Hallar y0 tomando previamente logaritmo

a)

y =(x+ 2)2

(x+ 1)3(x+ 3)4

b)y = (cos(x))sen(x)

c)

y =

µ1 +

1

x

¶x

2. Hallar dydxde las siguientes funciones implícitas

a)

y3 =x− y

x+ y

b)xy = yx

c)

xy = arctgx

y

3. Hallar las ecuaciones de la recta tangente y normal a la curvade ecuacióny4 − 6xy − 4x4 = 0 en el punto (1,2).

4. Hallar f 000(3) si f(x) = (2x− 3)5.5. Demuestre que la función y = e2xsen(5x) satisface la ecuacióndiferencial

y00 − 4y0 + 29y = 06. Hallar la derivada n-ésima de y = e−3x


7. Hallar y00 en el punto (1, 1) si

x2 + 5xy + y2 − 2x+ y − 6 = 08. Hallar y0 si

y =3√x21− x

1 + x2sen3xcos2x

9. Determine números críticos dea)

f(x) =

√x+ 2

x2 − 1b)

f(x) = x23

c)

f(x) =x− 54x− 9

10. Sea y = sen(sen(x)) muestre que

d2y

dx2+ tg(x)

dy

dx+ ycos2(x) = 0.

EjerciciosProblemas de Máximos y Mínimos

1. Para cada una de las siguientes funciones hallar el máximo yel mínimo en los intervalos indicados.a) f(x) = x3 − 2x2 − 8x+ 1 sobre [−2, 2].b) f(x) =

1

x5 + x+ 1sobre [−1/2, 1].

c) f(x) =x

x2 − 1 sobre [0, 5].2. Demuestre que entre todos los rectángulos de igual perímetro,elde mayor área es el cuadrado.

3. Entre todos los cilindros circulares rectos de volumen fijo V,hallar el de menor superficie.( incluyendo las superficies de las caras superior e inferior)

4. Determine dydx,si y es una función de x definida implícitamente

en cada caso

a) 2xy − y2 = 19 b) x2y − xy3 + x2 − y2 = 0 c) x2

a2+ y2

b2= 1

d) x3y − x2y3 + x2 − 2y + 7 = 0 e) x−yx+y

= y3 f)3√x2 + 3

py2 − 3

√a2 = 0

g) ln(x) + e−yx = c h) arctan y

x= 1

2ln(x2 + y2) i) y2 = x+ ln( y

x)

8. PROBLEMAS APLICADOS DE MÁXIMO Y MíNIMO. 31

5. Determine d2ydx2

en cada caso:

a) y = x4 − 6x3 − 7x− 9 = 0 b) y = ln( 3√1 + x2) c) y = (1 + x2)arctg(x)

d) 6xy − ln(xy) = x2 e) y = x+ ln(y) f) x4 − xy + y4 = 1 en el punto(0, 1).

6. Hallar y000en el punto (2,1), de la ecuación x2 − y2 − x = 1.

7. Hallar y000en el punto (1,1), de la ecuación x3− 3x2y− 6xy2+

2y3 = 0.8. Sea y = e−2x(sen(2x)+cos(2x)). Demostrar que y

00+4y

0+8y =

0.9. Encuentre la derivada de las siguientes funciones aplicandoderivación logarítmica

a) y = (1− x)(3x+ 1)(4x− 8) b) f(x) =q

x(x+1)2x−3

c) y = xcosx d) y = (x−5)7√(x−2)3()x−312

10. Determine el valor de b para que el polinomio x2+bx−7 tengaun mínimo local en x = 5.

11. En cada una de las siguientes funciones ,determine intervalosde crecimiento ,intervalos de decrecimiento,máximos y míni-mos locales y puntos de inflexión según corresponda.

a) f(x) = 5− x2 b) f(x) = x2 − 6x− 7 c) f(x) = −3x+1

d) f(x) = x2

x−1 e) f(x) = x3 − 5x2 + 6x− 5 f) f(x) = x4 − 5x− 9h) f(x) = 3x+ 2sen(x) i) f(x) = x− 2cosx i) f(x) = 3

x4−4

12. Hallar una función f tal que f 0(2) = f 00(2) = 0 y tal quef(2) = 3 .

13. Hallar el área máxima de un rectángulo cuyo perímetro es de45 mt.

14. Hallar dos números positivos x e y tales que x + y = 6 y x2ysea máximo .

15. Hallar un número positivo tal que la suma de dicho númerocon su recíproco sea mínimo.

16. Hallar dos números positivos x e y tales que su producto sea36 y tales que la suma de sus cubos es un mínimo.

17. Se va a construir una caja de cartón sin tapa y cuyo volumenes de 108 cm3.Hallar el área mínima de cartón que se necesita.

18. Se desea cercar un sitio rectangular que tenga 4000 m2 desuperficie,con un muro en uno de sus lados.Si no se necesitacerca en el muro. ¿Que dimensiones debe tener el sitio parausar la menor cantidad de cerca ?

introducción a la derivada

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