iniciación a la derivada en un punto
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INICIACIÓN A LA DERIVADA EN UN PUNTO
CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN
TASA DE VARIACIÓN MEDIADEFINICIÓN DE DERIVADA EN UN PUNTO
Aurora Domenech
CRECIMIENTO en un intervalo (a,b)
)()(;)( bfafcumplesebayxfDada
Observa el crecimiento de estas dos funciones en el intervalo [1,2]
41.12)2(11)1(
)2()1(21
fyfporque
ffcumplese
xxf )(xxf 2)(
42)2(22)1(
)2()1(2121
fyfporque
ffcumplese
Ha “crecido” aprox. 0.41 unidades
Ha “crecido” 2 unidades
Observa que aunque ambas crecen, no lo
hacen con igual “velocidad”
DeCRECIMIENTO en un intervalo (a,b)
)()(;)( bfafcumplesebayxfDada Observa el decrecimiento de estas dos funciones en el intervalo [-3,-1]
2)1(4)3(
)1()3(13
fyfporque
ffcumplese
xxf 1)(
x
xf
2
1)(
Ha “decrecido” aprox. 2 unidades
22
1)1(8
2
1)3(
)1()3(1313
fyfporque
ffcumplese
Ha “decrecido” 6 unidades
Observa que aunque ambas decrecen, no lo hacen con igual
“velocidad”
Crecimiento, decrecimiento y tangentes a la curva (I)
En los puntos donde la curva es creciente, la tangente es una recta de pendiente positiva.
En los puntos donde la curva es decreciente, la tangente es una recta de pendiente negativa.
Observa esta gráfica en la que se han trazado algunas rectas tangentes a la curva en algunos puntos de la misma, escogidos al azar.
Crecimiento, decrecimiento y tangentes a la curva (II)
En los puntos donde la curva no es creciente, ni decreciente la tangente es una recta horizontal de pendiente cero.
Estas tres observaciones
son las que darán lugar a las
herramientas de estudio del
comportamiento de algunos
aspectos de una función mediante
su primera derivada.
Lo veremos más adelante.
TASA DE VARIACIÓN MEDIALa tasa de variación media de una función
f(x) en un intervalo [a,b] es el cociente:
xdeiación
xfdeiación
var
)(var
b-a
f(b)-f(a)
ab
afbfbaTVM
)()(
,
Como b-a es siempre positivo, el signo de TVM dependerá de f(b)-f(a)
crecienteafbfafbf )()(0)()(
edecrecientafbfafbf )()(0)()(
Cómo se calcula TVMHallar la TVM de la función f(x)=(x-1)·(x-2) en los intervalos que se
indican
21
20
01
)0()1(1,0
ff
TVM
41
26
01
)0()1(0,1
ff
TVM
12
2
13
)1()3(3,1
ff
TVM
“f(x) varía 4 unidades de
forma decreciente entre –1 y 0”
“f(x) varía 1 unidades de forma creciente durante dos unidades de variación de x”
“f(x) varía 2 unidades de forma decreciente entre
0 y 1”
¿Coinciden cálculos e interpretación?
41
26
01
)0()1(0,1
ff
TVM
Aquí sí.
21
20
01
)0()1(1,0
ff
TVM
Aquí si.
Aquí no sería cierto que crece en todo el intervalo ya que no se refleja el “decrecimiento” que hay en [1, 1.5] .
12
2
13
)1()3(3,1
ff
TVM
“Afinando la TVM”Para que la información aportada por el cálculo de la
TVM sea realmente fiable, hace falta que el intervalo en el que nos movemos sea “suficientemente pequeño” para que no nos lleve a error.
Observa esta gráfica
¿Qué TVM sería mas fiable?¿La calculada entre los puntos A y B?¿Entre B y C?¿Entre A y D? ¿Entre C y D?
Entre B y C nos daría TVM=0 cuya interpretación
podría sugerir que la función no varía en ese
tramo, es decir ue ni sube ni baja, y eso no es así
Entre C y D nos daría TVM>0 cuya interpretación
podría sugerir que la función varía en ese tramo
de forma creciente y en ese caso sí es así
¿Cómo “afinamos”?
Calculamos TVM en un intervalo “minúsculo” [a,
a+h] aha
afhafhaaTVM
)()(
,
h
afhafhaaTVM
)()(,
La TVM así obtenida será una expresión algebraica que dependerá del valor de h.
Podemos hacer el intervalo tan pequeño como deseemos, dando a h valores tan próximos al cero como queramos.
¿qué concepto matemático explica el acercarse a un valor tanto como se quiera?
Los límites en un punto.
EjemploCalcula la TVM en el intervalo [2,2+h] de
44
1142,2
2
2
hndosimplificah
hh
h
hhhTVMComo
3)( 2 xxf
14
344
3)2()2(
2
2
2
hh
hh
hhf
Calculamos134
3)2()2( 2
f
Calculamos
Sustituimos en TVM
TVM[2 , 2´1]= 0.1+4 =4.1
TVM[2 , 2´01]= 0.01+4 =4.01
TVM[2 , 2´001]= 0.001+4 =4.001
TVM[2 , 2´0001]= 0.0001+4 =4.0001
Cuánto mas pequeño es el intervalo, mas
fiable es la información respecto al
crecimiento o decrecimiento
de la función en ese punto.
¿Qué es la TVM geométricamente hablando?
Es el valor de la pendiente de la recta que une los puntos f(a) y f(b) de la gráfica
ab
afbftgm
)()(
Geométricamente hablando…
Cuando calculamos la TVM de un intervalo cada vez mas pequeño, lo que acabamos calculando es la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto de comienzo del intervalo.
DERIVADA EN UN PUNTO
h
afhafaf
h
)()(lim´
0
Dada una función f(x) y un punto x=a, se llama derivada de la función en ese punto, al valor – si existe – del límite de la TVM cuando la amplitud del intervalo tiende a cero.
Y geométricamente, es el valor de la pendiente de la recta tangente a la función f(x) en el punto (a,f(a)).
La ecuación de esta recta tangente vendrá dada por lo tanto, por:
axafafy ·´)(
Otra forma de decir lo mismo
ax
afxfaf
ax
)()(lim´
El intervalo de estudio para la TVM sería ahora [a, x] ; con “x” en vez de “b” para indicar que lo vamos a hacer variar de forma que el intervalo sea cada vez mas “ minúsculo”.¿Cómo? Haciendo que “X” se acerque al inicio del intervalo “a” tanto como queramos.De nuevo: concepto de límite en un punto.