UNIVERSITAT DE BARCELONA

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INTRODUCCIÓN A LA ASTROFÍSICA RELATIVISTA

GUSTAVO E. ROMEROJOSEP M. PAREDES

Departament d’Astronomia i Meteorologia

9 7 8 8 4 4 7 5 3 5 2 9 3

ISBN 978-84-475-3529-3

La astrofísica relativista surgió hace casi medio siglo con el descubrimien-to de los quásares y la postulación de los agujeros negros. Pronto se convirtió en una disciplina científica en rápido desarrollo gracias a asom-brosos descubrimientos de la astronomía de rayos X y gamma. Resultado de la aplicación de la física de partículas y la relatividad al estudio de los procesos más energéticos que ocurren en el universo, la astrofísica relativista es hoy una herramienta indispensable para la comprensión del cosmos. Este libro presenta en forma completa y actualizada el tema, empezando por conocimientos de física básica, y cubriendo de forma exhaustiva los procesos radiativos que sufren las partículas relativistas. Los autores proporcionan, además, una introducción a las técnicas ob-servacionales de la astronomía de rayos gamma. La obra trata además de sistemas astrofísicos como los púlsares, las supernovas, los quásares y los enigmáticos eruptores de rayos gamma. Destinada por igual a estu-diantes graduados e investigadores, el libro es una introducción sucinta pero completa al tema.

Gustavo E. Romero es profesor titular de Astrofísica Relativista en la Uni-versidad Nacional de La Plata, Argentina, e investigador principal del Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas (CONICET).

Josep M. Paredes es catedrático del Departamento de Astronomía y Me-teorología de la Universidad de Barcelona, investigador del Instituto de Ciencias del Cosmos (ICC) e investigador correspondiente del CONICET.

UNIVERSITAT DE BARCELONATEXTOS DOCENTS365

INTRODUCCIÓN A LAASTROFÍSICA RELATIVISTA

Gustavo E. RomeroJosep M. Paredes

Departament d’Astronomia i Meteorologia

Universitat de Barcelona Dades catalogràfiques

© Publicacions i Edicions de la Universitat de Barcelona, 2011Adolf Florensa, s/n – 08028 Barcelona Tel. 934 035 442 – Fax 934 035 446 comercial.edicions@ub.eduwww.publicacions.ub.edu

© Autores, 2011

Diseño de la colección: Marta Serrano

ISBN: 978-84-475-3529-3Depósito legal: B-28.968-2011Impresión: Gráficas Rey, S.L.Impreso en España/Printed in Spain

Queda rigurosamente prohibida la reproducción total o parcial de estaobra. Ninguna parte de esta publicación, incluido el diseño de lacubierta, puede ser reproducida, almacenada, transmitida o utilizadamediante ningún tipo de medio o sistema, sin autorización previa porescrito del editor.

I. Paredes i Poy, Josep Maria II. Universitat de Barcelona. Departament d’Astronomia i MeteorologiaIII. Títol IV. Col·lecció: Textos docents (Universitat de Barcelona) ; 3651. Astrofísica relativista

Apèndixs. BibliografiaA la portada: Departament d’Astronomia i MeteorologiaISBN 978-84-475-3529-3

Romero, Gustavo E.Introducción a la astrofísica relativista. -- (Textos docents ; 365)

A Paula y Margarita

Capıtulo 2

Índice

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Prefacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152. Espacio-tiempo y relatividad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.1 Espacio-tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Objetos y estructura sobre la variedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 El grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Mecanica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.5 Elementos de relatividad general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.5.1 Agujeros negros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3. Partículas elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1 Leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.1 Antipartículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.1.2 Interacciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.2 Hadrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.3 Interacciones entre partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.4 Decaimiento de partıculas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.4.1 Decaimiento electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.2 Decaimientos fuertes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.4.3 Decaimientos débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.4.4 Decaimiento del neutrón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.5 Decaimiento de mesones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.4.6 Decaimiento de leptones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.5 Propiedades intrınsecas de las partıculas: el spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.6 Colores y QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4. Aceleración de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Aceleradores artificiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.2 Rayos cosmicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

4.2.1 Púlsares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.2.2 Remanentes de supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Etapas de un remanente de supernova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.3 Mecanismo de aceleracion difusivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5. Difusión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1 Ecuacion de difusion en una dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.2 Solucion general de la ecuacion de difusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7

6. Procesos radiativos I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.1 Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776.2 Radiacion termica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.3 Radiacion sincrotron . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6.3.1 Radiación sincrotrón de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 816.3.2 Una aproximación útil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846.3.3 Radiación sincrotrón de una distribución de partículas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.3.4 Absorción de la radiación sincrotrón. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866.3.5 Límite cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 886.4 Una aplicacion de la radiacion sincrotron: el modelo de Van der Laan . . . . . . . . . . . . 896.5 Radiacion de curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.6 Radiacion Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 926.7 Radiacion Compton inversa (IC) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.7.1 La sección eficaz IC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956.7.2 Tasa de enfriamiento y espectro de emisión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.8 Radiacion por produccion de foto-mesones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1006.9 Formacion de pares por interacciones foto-hadronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.10 Produccion de pares en tripletes ( , TPP)triplet pair production . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

7. Procesos radiativos II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

7.1 Interacciones de electrones relativistas con materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.1.1 Bremsstrahlung relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1077.2 Interacciones de protones relativistas con materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

7.2.1 Radiación por decaimiento de piones neutros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.2.2 Radiación por aniquilación protón-antiprotón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.2.3 Pérdidas de energía por ionización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.2.4 Interacciones pión-núcleo y pión-pión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.2.5 Interacción neutrón-protón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.2.6 Aniquilación de electrones y positrones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

8. Absorción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.1 Procesos de absorcion de energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.1.1 Creación de pares en un campo coulombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.1.2 Absorción por creación de pares en un campo de radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1228.1.3 Absorción en campos magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1238.1.4 Interacción Compton directa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.1.5 Debilitamiento de rayos γ por efectos Doppler y gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.2 Cascadas electromagneticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

8.2.1 Cascadas electromagnéticas en la materia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.3 Cascadas hadronicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

9. Detectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9.1 Astronomıa γ desde tierra: telescopios Cherenkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329.2 Astronomıa γ espacial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

9.2.1 30 MeV ≤ E ≤ 300 GeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1369.2.2 1 MeV ≤ E ≤ 30 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.2.3 Eγ ≤ 1 MeV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

9.3 Emision difusa y deteccion de fuentes puntuales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

8

10. Fuentes de rayos γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

10.1 Fuentes pasivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14310.2 Fuentes activas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

10.2.1 Púlsares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14610.2.2 Remanentes de supernovas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15010.2.3 Binarias de estrellas tempranas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15210.2.4 Núcleos galácticos activos (AGNs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.2.5 Microquásares (Mqs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

10.3 Fuentes transitorias de rayos γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.3.1 Erupciones de rayos gamma (Gamma-Ray Bursts, GRBs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

Características fenomenológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Propiedades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163Modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165Colimación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Mecanismo central . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167Implicaciones cosmológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

10.4 Fuentes no identificadas de rayos γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

11. Aspectos cosmológicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

A. Deducción de la intensidad de fotones IC en un campo monocromático 175

B. Funciones de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177

C. Lecturas sugeridas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

D. Constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185

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Capıtulo 2

PRÓLOGO

Desde sus orígenes la astronomía ha servido como laboratorio de frontera para contrastarpor medio de la observación del cosmos las nuevas teorías y predicciones de la física. El des-cubrimiento en el siglo XX de agujeros negros, estrellas de neutrones, rayos cósmicos, ex-plosiones de supernova y destellos de rayos gamma, donde se observan fenomenologías encondiciones físicas extremas, imposibles de reproducir en los laboratorios terrestres, per-mitió poner a prueba las nuevas teorías y leyes de la física. En la astrofísica relativista secombinan los descubrimientos astronómicos más importantes de los últimos 100 años conla física post-Newtoniana. Por ello en la actualidad un alto porcentaje de los artículos cientí-ficos que son publicados en el área astronómica tienen relación con la astrofísica relativista.El dinamismo de esta rama de la astronomía atrae actualmente un gran número de jóvenesinvestigadores.

El primer congreso mundial de astrofísica relativista tuvo lugar en Texas en el año 1963.Casi medio siglo después, este libro de texto, conciso y completo, que introduce al estudian-te de lleno en la astrofísica relativista, sus conceptos básicos, y los procedimientos de cálcu-lo que son necesarios para hacer contribuciones en esta rama de la ciencia, viene a ocuparun espacio largamente vacante. El lector encontrará aquí la información esencial para ex-plorar por sí mismo el mundo de la astrofísica de altas energías, y será de gran utilidad paraestudiantes avanzados y como referencia para investigadores activos en el área. Es en esteúltimo aspecto que difiere de otros libros publicados en inglés.

Los profesores Romero y Paredes son dos expertos reconocidos mundialmente en estaárea del conocimiento. Ambos han hecho contribuciones importantes como investigado-res y han dictado durante muchos años cursos sobre estos temas en diversas universidades,formando grupos de excelencia en investigación científica en sus respectivos países. Paramí es un gran placer constatar que han decidido dedicar el tiempo necesario para escri-bir este excelente libro que servirá para el desarrollo futuro de la astrofísica relativista enHispanoamérica.

Dr. I. F. MIRABEL

Investigador superior del CONICET, Argentina, yDirector de investigaciones científicas de la Comisión de EnergíaAtómica y Energías Alternativas de Francia

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Capıtulo 2

PREFACIO

El libro que ofrecemos al lector está basado en apuntes y notas para cursos de astrofísicade altas energías que los autores han dictado en las universidades de Barcelona, La Plata,Campinas y en el CBPF (Brasil). Nuestro objetivo ha sido presentar en forma directa y claralos conceptos básicos de esta rama de la astrofísica y proveer al lector con las herramientaspara realizar cálculos y estimaciones en el estudio de las fuentes cósmicas de rayos gamma.Los conocimientos requeridos para comprender el libro se limitan a la mecánica y electro-dinámica clásica, así como a elementos de mecánica cuántica. Los dos primeros capítulosestán destinados a introducir las nociones básicas de relatividad y física de partículas, porlo cual no se requieren conocimientos previos en estos campos.

La astronomía gamma ha tenido un desarrollo explosivo en los últimos años. Cada vezmás cursos dedicados a ella se dictan en universidades de habla castellana. Esperamos queel presente libro, el primero escrito sobre esta temática en castellano, sea de utilidad paraestudiantes avanzados e investigadores de astronomía y física tanto en España como enAmérica Latina.

Deseamos agradecer a los numerosos alumnos y colegas que han asistido a los cursosy han colaborado activamente, con preguntas y sugerencias, a la mejora del texto. Estamosparticularmente agradecidos a los ayudantes de cátedra Anabella Araudo, Mariana Orellanay Gabriela Vila por su ayuda en la preparación de versiones previas que fueron usadas enclase. Nos hemos beneficiado con la discusión y los aportes de un gran número de colegas alo largo de los años que llevamos enseñando estos temas. Deseamos mencionar aquí a FelixAharonian, Felix Mirabel, Josep Martí, Stan Owocki, Chuck Dermer, Atsuo Okazaki, ChemaReyes, Paula Benaglia, Marc Ribó, Jorge Combi, Valentí Bosch-Ramon, Dmitri Khangulyan,Santiago Perez Bergliaffa, Leonardo Pellizza, Matías Reynoso, Marina Kaufman Bernadó,Mariana Orellana, Anabella Araudo, Gabriela Vila, Javier Moldón y Sofía Cora.

Un agradecimiento especial es para nuestras familias, a quienes dedicamos la obra.

GUSTAVO E. ROMERO y JOSEP MARIA PAREDES POY

La Plata – Barcelona, enero de 2011.

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Capıtulo 2

ESPACIO-TIEMPO Y RELATIVIDAD

2.1. Espacio-tiempo

Cuando se observa el mundo, por poca atención que se preste, resulta obvio que en él haycosas y que estas tienen propiedades. La característica definitoria de las cosas es que se aso-cian para formar nuevas cosas. Así, las moléculas forman células, las células organismos,los organismos pueden formar sociedades, etc.

Las propiedades de las cosas son de dos tipos: intrínsecas y relacionales. Las primerassólo dependen de la cosa en cuestión (por ejemplo, la carga de la partícula) mientras quelas segundas dependen también de otras cosas (por ejemplo, la velocidad de la partícula).Cuando las cosas se combinan para formar nuevas cosas, las cosas resultantes pueden tenerpropiedades emergentes, que las cosas constituyentes no tienen. A su vez, las propiedadesemergentes pueden ser intrínsecas o relacionales. Así, por ejemplo un gas puede tener tem-peratura y presión, propiedades de las que carecen las moléculas constitutivas.

Dada una cosa x llamaremos� al conjunto de todas sus propiedades:

� = {p/px }. (2.1)

Los elementos de � pueden ser representados por funciones matemáticas (supuesto me-todológico básico de la Ciencia). Llamamos espacio de estados de una cosa x (S(x )) al con-junto de funciones (de dominio M ) que representan a los elementos de � . Una ley es unarestricción sobre S(x ). Nos dice que las propiedades de una cosa no pueden tomar cualquiervalor. Llamaremos SL(x ) al conjunto de estados legales de x . Estos son los estados accesi-bles en principio a la cosa x de acuerdo con las restricciones legales que imperan sobre ella.El estado real de una cosa concreta x es un punto de SL(x ).

Un cambio es un par ordenado de estados de la cosa que cambia:

(s1, s2)∈ EL(x ) =SL(x )×SL(x ). (2.2)

El conjunto de todos los cambios de una cosa es el espacio de eventos (EL(x )) de esa cosa.Definimos ahora el espacio-tiempo de la siguiente manera:

El espacio-tiempo es el conjunto de todos los eventos de todas las cosas.

Todo lo que ha ocurrido, ocurre o ocurrirá a alguna cosa es un punto (elemento) del espacio-tiempo. Un proceso (sucesión de cambios) es una línea (o subconjunto) del espacio-tiempo.

Debemos ahora caracterizar matemáticamente al espacio-tiempo si queremos hacerpredicciones precisas sobre ciertos eventos.

Postulado: el espacio-tiempo se representa por una variedad real cuadridimensionaldiferenciable.

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Una variedad real es un concepto que puede ser completamente cubierto por subconjuntoscuyos elementos pueden ser puestos en correspondencia 1 a 1 con subconjuntos de R4 (sila variedad es cuadridimensional; Rn si es n-dimensional). En forma estricta:

M es una variedad real n-dimensional diferenciable si y solo si:

1. M es un conjunto2. ∃O/O = {Oα ⊂M }.3. Todo elemento p ∈M es tal que ∃Oα ∈O/p ∈Oα.4. ∀α∃Φα : Oα→Uα, con Uα subconjunto abierto de Rn .5. Si existen dos conjuntos O1 y O2/O1 ∩O2 �= ( = vacío) ⇒ ∃Φ2.Φ−1

1 que ponen encorrespondencia 1 a 1 los puntos de U1 ⊂Rn con los de U2 ⊂Rn .

Vemos de esta definición por qué postulamos una variedad para representar el espacio-tiempo: independientemente de la estructura geométrica de este, podemos adoptar coor-denadas (números reales) para describir procesos que ocurren en él y siempre podemosencontrar una transformación apropiada que permita cambiar el sistema de referencia. Es-to último es fundamental, ya que los procesos físicos deben ser independientes de la formaen que los describimos en nuestros lenguajes matemáticos.

Dado un elemento p ∈ M podemos designar distintos sistemas de coordenadas. Porejemplo,

p ←→{xμ}p ←→{x ′μ}

=⇒∃ x ′μ = x ′μ({xμ}) (2.3)

donde μ = 0, 1, 2, 3. Adoptamos 4 coordenadas porque el mundo parece ser cuadridimen-sional, pero en principio no hay limitaciones en ese sentido (véase la figura 1.1).

M

O1

O2 x ′μ

R4

R4

U2

U1

x ′μ= x ′μ(x )xμ

xμ = xμ(x ′)

Figura 2.1. Esquema para una variedad cuadridimensional.

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Para poder hacer física sobre nuestra variedad (esto es, para poder describir procesosreales) necesitamos definir sobre ella objetos matemáticos que puedan ser utilizados luegopara representar objetos físicos y sus propiedades.

2.2. Objetos y estructura sobre la variedad

Los objetos sobre la variedad se definen por sus propiedades de transformación frente acambios de coordenadas {xμ}←→ {x ′μ}. El objeto más simple es un escalar:

φ(xμ) =φ′(x ′μ). (2.4)

El valor del escalar no cambia cuando el sistema coordenado cambia de {xμ} a {x ′μ}. Notarque la forma φ sí puede cambiar.

Introduzcamos ahora un objeto de cuatro componentes Aμ. Si realizamos un cambiode coordenadas {xμ}→ {x ′μ}⇒

A ′μ =4∑

ν=1

Aν ∂ x ′μ∂ x ν

. (2.5)

De aquí en adelante adoptaremos la convención de la suma de Einstein: se suma sobreíndices repetidos (de 0 a 4, o a n , dependiendo de la dimensión de la variedad). Luego laecuación 2.5 se escribe

A ′μ = Aν ∂ x ′μ∂ x ν

. (2.6)

Un objeto que se transforma de esta manera es un vector contravariante. Un ejemplode este tipo de objetos es la línea que une dos puntos arbitrariamente próximos de la varie-dad:

d x ′μ = ∂ x ′μ∂ x ν

d x ν . (2.7)

Los vectores contravariantes se definen por medio de:

B ′μ =∂ x ν

∂ x ′μ Bν . (2.8)

Un ejemplo es el gradiente de un campo escalar:

∂ φ

∂ x ′ν =∂ xμ

∂ x ′ν∂ φ

∂ xμ. (2.9)

En general, a los vectores sobre la variedad se los llama tensores de rango 1. Podemosdefinir tensores contravariantes (o covariantes) de rango arbitrario:

T′

n︷ ︸︸ ︷. . .μ . . .

. . .ν . . .︸ ︷︷ ︸m

= . . .∂ x ′μ∂ xρ

. . .∂ xσ

∂ x ′ν . . . T ...ρ......σ... (2.10)

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El tensor es n veces contravariante y m veces covariante. Ejemplos de tensor de rango 2:

T ′μν = ∂ x ′μ∂ xα

∂ x ′ν∂ xβ

T αβ 2 veces contravariante, (2.11)

T ′μν =∂ xα

∂ x ′μ∂ xβ

∂ x ′ν Tαβ 2 veces covariante, (2.12)

T ′μν =∂ x ′μ∂ xα

∂ xβ

∂ x ′ν T αβ 1 vez contravariante, 1 vez covariante. (2.13)

Un ejemplo de tensor de rango 2 es el tensor de energía-impulso que caracteriza a cualquiersistema físico (véase sección 2.5).

Un campo tensorial definido sobre alguna región de la variedad es una asociación deun tensor de la misma variedad a cada punto de la región:

p −→ T ...μ......ν... (p ), (2.14)

donde T ...μ......ν... (p ) es el valor del tensor en p . El campo tensorial se llama continuo o diferen-

ciable si las componentes del tensor lo son.Debido a sus propiedades de transformación, toda relación entre tensores mantendrá

su relación al cambiar de sistema de coordenadas. Como de las leyes de la física se esperaque tengan la misma forma en todos los sistemas coordenados, deben ser expresadas enforma de ecuaciones tensoriales. En tal caso se dice que son covariantes. La covariancia esinvariancia de forma.

Aunque hemos definido objetos sobre la variedad que representa al espacio-tiempo,aún no sabemos medir distancias entre puntos (eventos) de la variedad. Para poder medirdistancias debemos asignar una estructura geométrica a la variedad. Esto se hace introdu-ciendo un tensor de rango 2 llamado tensor métrico. El mismo nos dice cómo calcular ladistancia d s entre dos eventos arbitrariamente próximos ε1 y ε2:

d s 2 = gμν d xμd x ν , (2.15)

Figura 2.2. Albert Einstein (1879-1955). Figura 2.3. Hermann Minkowski(1864-1909).

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donde gμν es el tensor métrico. En un espacio-tiempo euclídeo, por ejemplo,

gμν =δμν =

�+1 siμ= ν

0 siμ �= ν(2.16)

y

d s 2 = (d x 0)2+(d x 1)2+(d x 2)2+(d x 3)2. (2.17)

El tensor métrico gμν tiene un contenido empírico: depende de la naturaleza del Mundo.Durante más de dos mil años se pensó que la geometría del espacio-tiempo era euclídea.Entre 1905 y 1908 Einstein y Minkowski propusieron que el tensor métrico del espacio-tiempo es un tensor de rango 2 y traza -2:

gμν =ημν =

⎛⎜⎜⎜⎜⎝1 0 0 0

0 −1 0 0

0 0 −1 0

0 0 0 −1

⎞⎟⎟⎟⎟⎠ , (2.18)

conocido como tensor de Minkowski.El intervalo entre dos eventos resulta ser:

d s 2 =ημνd xμd x ν

= (d x 0)2− (d x 1)2− (d x 2)2− (d x 3)2. (2.19)

La geometría resultante es pseudoeuclídea.1 Un punto importante a notar es que ημν tieneel mismo valor sobre toda la variedad (esta condición se relaja en la Teoría General de laRelatividad, donde gμν es un campo tensorial cuyas componentes son funciones determi-nadas por el contenido de energía-impulso de los sistemas físicos en el espacio-tiempo).

Es inmediato establecer que:

ημαηαν =δνμ. (2.20)

A las tres coordenadas que aparecen con signo negativo en el intervalo se las suele denomi-nar espaciales y se las representa por:

x 1 = x , x 2 = y , x 3 = z . (2.21)

La coordenada que aparece con el signo opuesto es llamada temporal:

x 0 = c t . (2.22)

Aquí c es una constante que permite uniformizar las dimensiones, que en principio no tie-nen por qué ser iguales. Esta constante coincide con el valor de la velocidad de la luz en elvacío.

En coordenadas esféricas polares tenemos:

xμ = (c t , r, θ , φ), (2.23)

11 Porque d s 2 no es definido positivo.

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donde

x = r senθ cosφy = r senθ senφz = r cosθ .

(2.24)

Luego, el intervalo en estas coordenadas resulta:

d s 2 = c 2d t 2−d r 2− r 2dθ 2− r 2 sen2θ dφ2. (2.25)

La introducción del intervalo nos permite dividir la variedad, en cada punto (evento), entres regiones bien definidas:

d s 2 < 0 : región tipo espacio,

d s 2 = 0 : región tipo luz,

d s 2 > 0 : región tipo tiempo.

(2.26)

Sólo las dos últimas regiones son accesibles a sistemas físicos. La región tipo luz, en parti-cular, sólo a sistemas que se muevan a la velocidad de la luz. Si reescribimos

d s 2 = d t 2

�c 2− d x 2+d y 2+d z 2

d t 2

�= d t 2[c 2−v 2], (2.27)

donde v es la velocidad del sistema, obtenemos las siguientes equivalencias:

d s 2 < 0 ⇐⇒ v > c .

d s 2 = 0 ⇐⇒ v = c .

d s 2 > 0 ⇐⇒ v < c .

(2.28)

Como nunca ocurre que v > c (esto lo sabemos de electromagnetismo), los eventos en laregión tipo espacio no pueden estar causalmente ligados a eventos de las otras regiones.Esta situación puede representarse gráficamente a través del llamado cono de luz, que semuestra en la figura 2.4.

Figura 2.4. Diagrama de un cono de luz.

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Al graficar el cono de luz hemos removido la dimensión z y hemos fijado unidades talesque c = 1. Las partículas materiales que tienen un estado ε0 coincidente con el origen sólopueden sufrir cambios o procesos que las lleven a estados que estén dentro del cono. Parair fuera del cono los procesos deberían ocurrir a una velocidad mayor que c .

Podemos diferenciar ahora pasado y futuro de un evento dado. Un vector xμ dentrodel cono señala hacia el futuro si

ημνxμT ν > 0, (2.29)

con T ν = (1, 0, 0, 0). En forma similar, xμ señala hacia el pasado si:

ημνxμT ν < 0. (2.30)

Es posible definir el tiempo propio de un sistema físico que se mueve con velocidad v res-pecto de un cierto sistema coordenado como

dτ2 =1

c 2d s 2. (2.31)

Este es el tiempo que mide un reloj fijo al sistema físico. Nótese que:

dτ2 =1

c 2(c 2d t 2−d x 2−d y 2−d z 2)

= d t 2

�1− 1

c 2

��d x

d t

�2

+�

d y

d t

�2

+�

d z

d t

�2��

(2.32)

= d t 2

�1− v 2

c 2

�,

y si introducimos el factor de Lorentz

γ=1�

1−β 2, conβ =

v

c, (2.33)

obtenemos:

dτ=d t

γ. (2.34)

Debido a que γ ≥ 1, el tiempo respecto al sistema propio se dilata. Para un sistema conβ =β (t ), obtenemos:

τ=

∫ t2

t1

d t

γ(t ). (2.35)

2.3. El grupo de Lorentz

El grupo más general de transformaciones lineales y homogéneas entre dos sistemas dereferencia inerciales es el de Lorentz:

L =�

xμ −→ x ′μ = Lμνx ν�

, (2.36)

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