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1 I. PROBLEMAS 1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS CAPÍTULO 34 1. La amplitud del campo magnético de una onda electromagnética plana, monocromática es 5,4x10 –7 T. La onda se propaga en un medio en que su rapidez es 0,8c. (a) Calcule la amplitud del campo eléctrico. (b) Calcule la intensidad de la onda. (c) Calcule la longitud de onda si la frecuencia es de 1,0[Hz]. 2. La rapidez v de una onda electromagnética que se propaga en un medio transparente está dada por la relación v 2 = ( κ μ 0 ε 0 ) –1 , donde κ es la constante dieléctrica del medio de propagación. (a) Determine la rapidez de propagación de la luz en agua cuya constante dieléctrica es 1,78 a las frecuencias ópticas. (b) Exprese el índice de refracción del medio en términos de la constante dieléctrica κ, y calcule su valor. 3. ¿Qué potencia debe ser radiada isotrópicamente para que a una distancia de 20 m, la amplitud del campo eléctrico sea de 55 V/m ? 4. Un láser de Helio-Neón para la enseñanza tiene una potencia de operación de 5,0 mW y emite un haz cuya sección transversal es de 4,0 mm 2 . (a) Determine el valor máximo del campo eléctrico en el haz. (b) Calcule la energía electromagnética contenida en 1,0 m de longitud del haz. 5. ¿Cuál es la longitud de una antena de media onda diseñada para transmitir ondas de radio cuya frecuencia es de 20 MHz? 6. Determine el rango de longitudes de onda para: (a) la banda AM de radiofrecuencias que se extiende entre 540 y 1600 kHz, (b) la banda FM de radiofrecuencias que va desde 88 a 108 MHz.

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I. PROBLEMAS

1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

CAPÍTULO 34

1. La amplitud del campo magnético de una onda electromagnética plana, monocromática

es 5,4x10–7 T. La onda se propaga en un medio en que su rapidez es 0,8c.

(a) Calcule la amplitud del campo eléctrico.

(b) Calcule la intensidad de la onda.

(c) Calcule la longitud de onda si la frecuencia es de 1,0[Hz].

2. La rapidez v de una onda electromagnética que se propaga en un medio transparente estádada por la relación v2 = (κ µ0 ε0 )–1, donde κ es la constante dieléctrica del medio de

propagación.

(a) Determine la rapidez de propagación de la luz en agua cuya constante

dieléctrica es 1,78 a las frecuencias ópticas.

(b) Exprese el índice de refracción del medio en términos de la constantedieléctrica κ, y calcule su valor.

3. ¿Qué potencia debe ser radiada isotrópicamente para que a una distancia de 20 m, la

amplitud del campo eléctrico sea de 55 V/m ?

4. Un láser de Helio-Neón para la enseñanza tiene una potencia de operación de 5,0 mW y

emite un haz cuya sección transversal es de 4,0 mm2 .

(a) Determine el valor máximo del campo eléctrico en el haz.

(b) Calcule la energía electromagnética contenida en 1,0 m de longitud del haz.

5. ¿Cuál es la longitud de una antena de media onda diseñada para transmitir ondas de radio

cuya frecuencia es de 20 MHz?

6. Determine el rango de longitudes de onda para:

(a) la banda AM de radiofrecuencias que se extiende entre 540 y 1600 kHz,

(b) la banda FM de radiofrecuencias que va desde 88 a 108 MHz.

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7. Una fuente de microondas de ‘’frecuencia’’ 20 GHz, genera pulsos con período de 1,0 ns y

potencia media por pulso de 25 kW. Un reflector parabólico de 6,0 m de radio se utiliza para

enfocar la radiación como un haz paralelo.

(a) ¿Cuál es la ‘’longitud de onda’’ de las microondas?

(b) ¿Cuál es la energía electromagnética contenida en cada pulso?

(c) Calcule la densidad media de energía contenida en cada pulso.

(d) Determine la ‘’amplitud media’’ de los campos eléctrico y magnético en el haz de

microondas.

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2. ÓPTICA GEOMÉTRICA

CAPÍTULO 35

1. Roemer midió el periodo de la luna Io observando sus eclipses al pasar por detrás del

planeta Júpiter, y encontró que es de aproximadamente 42,5 horas. Como resultado de

cuidadosas observaciones, también encontró que el intervalo entre eclipses sucesivos de Io,aumentaba en 22 minutos en períodos de 6 meses, mientras la Tierra se movía desde el punto

de su órbita más cercano a Júpiter, hasta un punto diametralmente opuesto. Si el periodo de

Júpiter alrededor del Sol es de aproximadamente 12 años, utilice el valor 1.5x108 km como elradio promedio de la órbita de la Tierra alrededor del Sol, para calcular la rapidez de la luz a

partir de estos datos.

2. En un experimento para determinar la rapidez de la luz utilizando el dispositivo de Fizeau,

la distancia entre la fuente de luz y el espejo fue de 11.45 km y la rueda tenía 720 muescas. El

valor de c determinado experimentalmente fue de 2.998 x 108 m/s. Calcule la velocidad angularmínima de la rueda utilizada en este experimento.

3. Cuando un "hombre rana" ve el Sol en un ángulo aparente de 45º medido desde lavertical. ¿Cuál es la posición real del Sol?

4. Un tanque cilíndrico abierto en su parte superior tiene un diámetro de 3m y estácompletamente lleno de agua. Cuando el Sol en el ocaso forma un ángulo de 28º con el

horizonte, la luz solar deja de iluminar el fondo del tanque. ¿Cuál es la profundidad del tanque?

5. Un pez en un lago se encuentra a 15 m de la orilla. ¿A qué profundidad mínima debe

sumergirse para ver una roca ubicada en la orilla?

6. Considere un espejismo común formado por el sobrecalentamiento del aire que se

encuentra exactamente arriba de la carpeta asfáltica. Si una persona observa desde 2 m sobreel camino (donde n = 1.0003) verá agua sobre el asfalto a θ1 = 88.8º, encuentre el índice de

refracción del aire que se encuentra exactamente arriba del pavimento. (Sugerencia: maneje el

problema como si se tratara de la reflexión interna total).

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7. Una fibra óptica está hecha con un plástico transparente de índice de refracción n = 1.50.

¿Qué ángulo debe formar la luz con la superficie para que permanezca dentro de la "guía" de

plástico?

8. Cuando el Sol se encuentra directamente sobre nuestras cabezas, un haz angosto de luz

entra a una catedral a través de una perforación pequeña localizada en el techo y forma unamancha sobre el piso que está 10,0 m más abajo.

(a) ¿Con qué rapidez (en cm/min) se nueve la mancha a través del piso (plano)?

(b) ¿Si un espejo se coloca sobre el piso para interceptar la luz, con qué rapidez semoverá la mancha reflejada a través del techo?

CAPÍTULO 36

1. Con la ayuda de un diagrama de rayos, determine la altura mínima de un espejo vertical

plano de modo que una persona de 1,80 m de estatura pueda verse completamente (de pies acabeza).

2. La altura de la imagen real en un espejo cóncavo es cuatro veces la altura del objeto quese encuentra a 30 cm frente al espejo. Con la ayuda de un diagrama de rayos, determine:

(a) la distancia imagen.

(b) el radio de curvatura del espejo.

3. Una esfera de vidrio (n = 1.50) de 15 cm de radio tiene una pequeña burbuja de aire

ubicada a 5 cm del centro. La esfera se observa desde un punto muy cercano a la línea radialque contiene la burbuja. ¿Cuál es la ‘ profundidad ’ aparente de la burbuja, por debajo de la

superficie de la esfera?

4. Una lente convexa forma la imagen real de un objeto en un punto localizado a 12 cm a la

derecha de la lente. El objeto se coloca a 50 cm a la izquierda de la lente.

(a) Calcule la distancia focal de la lente.

(b) Con la ayuda de un diagrama de rayos, calcule la razón entre la altura de la

imagen y la altura del objeto.

(c) ¿La imagen es derecha o invertida? ¿Real o virtual?

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5. Un objeto real se ubica a 20cm a la izquierda de una lente divergente dedistancia focal f = –32cm.

(a) Determine la ubicación de la imagen.

(b) Con la ayuda de un diagrama de rayos, determine la amplificación de la imagen.

6. Una persona con vista lejana que puede enfocar con nitidez objetos que se encuentran amás de 90 cm de distancia de sus ojos. Determine la distancia focal de las lentes que

permitirán a esta persona leer confortablemente a la distancia de 25 cm.

7. Una persona con vista cercana no puede enfocar con nitidez objetos que se hallan a más

de 200 cm de sus ojos. Determine la distancia focal de las lentes que permitirán a esta

persona ver con claridad objetos distantes.

8. Una lente con distancia focal de 5 cm se utiliza como lente amplificadora.

(a) ¿Dónde debe colocarse el objeto para obtener la máxima amplificación?

(b) ¿Cuál es la amplificación?

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3. ÓPTICA ONDULATORIA

CAPÍTULO 37

1. Se realiza un experimento de interferencia de Young usando luz azul-verde proveniente deun láser de argón. La separación entre rendijas es de 0,50 mm y el patrón de interferencia enuna pantalla ubicada a 3,3 m muestra el primer máximo a 3,4 mm del máximo central.

(a) Calcule la longitud de onda de la luz del láser de argón.

(b) Determine la ubicación de los mínimos adyacentes al primer máximo.

2. Una franja brillante B de un patrón de interferencia de Young se halla a 12 mm delmáximo central, sobre una pantalla que se encuentra a 119 cm de las dos rendijas. Laseparación entre rendijas es de 0,241 mm y ambas son iluminadas con la luz azul (λ=486nm)proveniente de un tubo de descarga de hidrógeno.

(a) ¿Cuántas franjas brillantes hay entre el máximo central y la franja brillante B?

(b) Determine la diferencia de camino entre las ondas que producen la franja brillante B.

3. Dos rendijas cuya separación es d, son iluminadas por un frente de ondas planas delongitud de onda λ, que incide perpendicularmente al plano de las rendijas. Se observa elpatrón de interferencia en una pantalla ubicada a 140 cm del plano de las rendijas.

(a) Calcule el cuociente d / λ para que la intensidad en un punto P ubicado a 8,0 mmdel eje óptico sea el 75% de la intensidad máxima.

(b) Indique si acaso es posible modificar la dirección de incidencia de modo que en elpunto P se ubique el máximo central.

4. Los campos eléctricos provenientes de tres fuentes coherentes, en cierto punto Pestán descritos por: E1 = E0 sen ωt, E2 = E0 sen (ωt + φ) y E3 = E0 sen (ωt + 2φ).

Representando el campo eléctrico resultante por E= ER sen (ωt + α), encuentre ER

y α utilizando el método de representaciones vectoriales para los casos:

(a) φ = 20º (b) φ = 60º (c) φ = 120º

5. Mediante un diagrama de representaciones vectoriales obtenga la resultante de sumar

E1 = E01 sen ωt y E2 = E02 sen (ωt + φ), cuando E02 = 1,5E01 y π /6 ≤ φ ≤ π /3.

Utilice el diagrama y la ley de los cosenos para mostrar que la intensidad resultante parados ondas coherentes, se puede escribir en la forma φ++= cosII2III 2121R .

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6. Considere N fuentes coherentes descritas por E1 = E0 sen (ωt + φ), E2 = E0 sen (ωt + 2φ),E3 = E0 sen (ωt + 3φ) .... , EN = E0 sen (ωt + Nφ).

Encuentre el valor mínimo de φ para el cual ER = E1 + E2 + E3 + .... EN es cero.

7. Una película delgada de MgF2 de 10– 5 cm de espesor (n = 1,38) se utiliza para recubrir lalente de una cámara fotográfica.

¿Alguna longitud de onda visible se intensificará en la luz reflejada?

8. Una burbuja de jabón (n = 1,33 ) refleja fuertemente los colores rojo y verde de la luzblanca. Calcule el espesor de la burbuja de jabón. (En el aire, λ rojo=700nm , λ verde=500nm).

9. Una película de aceite (n = 1,46) que se encuentra en el aire tiene un espesor de 500 nm yes iluminada perpendicularmente.

¿Qué longitud de onda comprendida en el rango de 300 a 700nm se reflejará fuertemente?

CAPÍTULO 38

1. Sobre una rendija de 0,5 mm de ancho incide luz monocromática cuya longitud de onda esde 460 nm. El patrón de difracción se observa en una pantalla ubicada a 120 cm de la rendija.

Determine la distancia desde la segunda franja oscura hasta el eje de simetría del máximocentral.

2. Un patrón de difracción se forma sobre una pantalla que se encuentra a 120 cm de unarendija de 0,4 mm de ancho, iluminada con luz monocromática de 546,1 nm de longitud deonda. Calcule la fracción de intensidad I / I 0 en un punto de la pantalla que se encuentra a 4,1mm del centro del máximo principal.

3. El ángulo límite de resolución del ojo humanopara una longitud de onda de 500 nm tiene elvalor θmín = 2,3 x 10– 4 rad. Para la situación

mostrada en la figura, determine la máximadistancia L a la cual dos objetos puntuales cuyaseparación es de d = 1,0 cm, son distinguidospor la persona.

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4. Encuentre el radio de la imagen de una estrella, que se forma en la retina del ojo, si eldiámetro de la pupila en la noche es de 0,7 cm y la longitud del ojo es de 3,0 cm. Suponga quela longitud de onda de la luz de la estrella, en el ojo, es de 500 nm.

5. Una red de difracción de 3,0 cm de ancho y separación uniforme de 775 nm entre líneas,se ilumina en su totalidad con la luz proveniente de un tubo de descarga que contiene sodio.

Calcule la separación angular, en el espectro de primer orden, entre las dos longitudes deonda que forman el doblete de sodio ( λ1 = 589,0 nm y λ2 = 589,6 nm ).

6. Una red de difracción se emplea para resolver en el orden dos, las dos longitudes de ondaque forman el doblete del sodio: 589,0 nm y 589,6 nm.

(a) Determine el mínimo número de líneas de la red de difracción.

(b) Calcule el ancho de la red de difracción si el doblete aparece a un ángulo de 15º.

7. Luz no polarizada pasa a través de dos placas de polaroid. El eje de la primera placa esvertical, y el de la segunda forma un ángulo de 30º respecto a la vertical

¿Qué fracción de intensidad de la luz incidente es trasmitida por el conjunto de placas?

8. Luz verticalmente polarizada pasa por tres filtros de polaroid acomodados uno acontinuación del otro. Los ejes de transmisión de los filtros están en la siguiente secuencia deángulos respecto a la vertical: 30º , 60º y 90º.

¿Qué fracción de la intensidad de la luz incidente es transmitida por el conjunto de filtros?

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4. RELATIVIDAD ESPECIAL

CAPÍTULO 39 (CINEMÁTICA)

1. En el marco de referencia de un laboratorio, un observador se percata de que la segundaley de Newton es válida.

(a) Muestre que también es válida para un observador en un marco de referencia quese mueve con rapidez constante respecto al marco de referencia del laboratorio.

(b) Muestre que no es válida para un observador en un marco de referencia que semueve con aceleración constante respecto al marco de referencia del laboratorio.

2. Una bola es lanzada con una rapidez de 20[m/s] en el interior de un bus que se muevesobre la vía con una rapidez de 40[m/s].

Determine la rapidez de la bola respecto al suelo cuando es lanzada :

(a) hacia adelante, (b) hacia atrás, (c) hacia afuera por la puerta lateral.

3. ¿Con qué rapidez constante debe moverse un reloj para que funcione a la mitad del ritmode un reloj en reposo?

4. Determine la rapidez de una regla cuyo largo en reposo es de 1,00[m], si su longitud enmovimiento es de 0,60[m].

5. Los rayos cósmicos de alta energía son protones cuyo factor gama es de orden 1010 , yatraviesan nuestra galaxia, la Vía Láctea, que tiene un diámetro de 105 años luz (ambosvalores medidos por un observador en reposo en la Tierra).

(a) Determine el diámetro de nuestra galaxia, en años luz y en kilómetros, desde elpunto de vista de uno de esos protones.

(b) ¿Cuánto tiempo demora uno de éstos protones en atravesar la Vía Láctea,medido desde el marco de referencia del protón?

6. Un observador ve dos partículas que se mueven en direcciones opuestas, cada una conuna rapidez de 0.9c . ¿Cuál es la rapidez de una partícula respecto a la otra?

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CAPÍTULO 39 (DINÁMICA)

1. Un cubo de acero tiene un volumen de 1[cm3] y una masa de 8[gr] cuando está en repososobre la Tierra. Si al cubo se le proporciona una rapidez de 0,9c ¿cuál es su densidad,medida por un observador en reposo en la Tierra?

2. Obtenga la magnitud del momentum lineal de un protón que tiene una energía total de dosveces su energía en reposo, y exprese el resultado en la unidad MeV/c.

3. Calcule la energía cinética de los protones que constituyen los rayos cósmicos de altaenergía, para los cuales el factor gama es de orden 1010.

4. El acelerador lineal de Stanford tiene una longitud de 3,0[km] y en él es posible acelerarelectrones hasta que alcancen una energía de 20 GeV. Para un electrón con esa energíacalcule,

(a) su factor γ .

(b) su rapidez.

(c) la longitud del acelerador en el marco de referencia del electrón.

5. Un isótopo de Radio decae emitiendo una partícula α al transformarse en un isótopo deRadón de acuerdo con la siguiente reacción: 226 222 4

88 86 2Ra Rn He→ + . Las masas de

los átomos anteriores, en unidades de masa atómica unificada son 226,0254 u ; 222,0175 u y4,0026 u respectivamente. ¿Cuánta energía se libera en el decaimiento?

6. La potencia emitida por el Sol es de 3.8 x 1026 W.

(a) ¿Cuánta masa se convierte en energía en el Sol en un segundo?

(b) ¿Cuánta masa entra y sale del proceso, en un segundo?

7. Un rayo gama (o fotón de alta energía) puede producir un par electrón-antielectrón cuandoentra en el campo eléctrico de un núcleo pesado ( γ → e+ + e- ). ¿Cuál es la energía mínimaque debe tener el rayo γ para producir el par? (Recuerde que las masas del electrón y delantielectrón son iguales).

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5. EFECTOS CUÁNTICOS

CAPÍTULO 40

1. Calcule la energía (en eV) y la longitud de onda para fotones cuyas frecuencias son :

(a) 6,2 x 1014 Hz (b) 3,1 GHz (c) 46 MHz

2. Suponga que la temperatura del cuerpo humano es de 37 ºC y utilice la ley dedesplazamiento de Wien para calcular la frecuencia y longitud de onda de la radiación queemite una persona. ¿En qué parte del espectro electromagnético cae esta longitud de onda?

3. En una fotocelda la corriente electrónica se anula para un potencial de frenado de 0,54 Vcuando se expone a radiación de 750 nm de longitud de onda. Encuentre la función de trabajopara el material de la fotocelda.

4. Cuando se utiliza luz verde emitida por una lámpara de mercurio ( λ = 546,1 nm ) paraproducir el efecto fotoeléctrico en un metal, un potencial retardador de 1,70 V reduce a cero lacorriente de electrones. ¿Qué potencial de frenado se observará cuando se utiliza luz amarillaemitida por un tubo de descarga de helio ( λ = 587,5 nm )?

5. Rayos X con longitud de onda 0,200 nm se dispersan en un bloque de carbón. Si laradiación dispersada se detecta a 60º respecto al haz incidente, encuentre la energía cinéticaque adquieren los electrones en retroceso.

6. Un fotón de rayos X con longitud de onda 0,030 nm es dispersado por un electrón libre. Siel cambio de longitud de onda del rayo X es igual a la longitud de onda de Compton delelectrón, determine la energía cinética y la velocidad del electrón después de la interacción.

7. Un fotón de 0,0016 nm se dispersa en un electrón libre. ¿Para qué ángulo de dispersión(del fotón) el electrón de retroceso y el fotón dispersado tendrán la misma energía cinética?

8. Considere un gran número de átomos de hidrógeno, con todos los electrones inicialmenteen el estado n = 4 correspondiente al modelo de Bohr.

(a) ¿Cuántas longitudes de onda se podrán observar en el espectro de emisión ?

(b) ¿Cuál es la longitud de onda más grande que se podrá observar? ¿A qué seriepertenece?

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9. Determine los niveles de energía y construya un diagrama de niveles para el ion He+ .

¿Cuál es la energía de ionización del He+ ?

10. De acuerdo al modelo de Bohr, calcule la energía potencial y la energía cinética de unelectrón en el primer estado excitado (n=2) del átomo de hidrógeno.

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6. ONDAS CUÁNTICAS

CAPÍTULO 41

1. Calcule la longitud de onda De Broglie para un electrón cuya energía cinética es:

(a) 50 eV (b) 50 keV

2. Calcule la longitud de onda De Broglie para una persona de 75 kg que corre a 5,0 m/s.

3. La habilidad para "ver" o poder de resolución de la radiación, está determinado por sulongitud de onda. Si el tamaño de un átomo es del orden de 0,1 nm, ¿cuán rápido debe viajarun electrón para que tenga una longitud de onda lo suficientemente pequeña para que "vea" aun átomo?

4. Muestre que la longitud de onda De Broglie para un electrón acelerado desde el reposo através de una diferencia de potencial V está dada por λ = 1,226/ V nm, donde V está en Volts.

5. En un microscopio electrónico se aceleran electrones a través de un potencial de 40 kV.Teóricamente, ¿cuál es la mínima distancia que puede ser observada?

6. Para que un electrón esté confinado a un núcleo atómico, su longitud de onda De Brogliedebe ser menor que 10–14 m.

(a) ¿Cuál es la energía cinética de un electrón confinado a una región de ese tamaño?

(b) ¿Esperaría encontrar al electrón en el núcleo? Explique.

7. Un haz de neutrones con una rapidez de 0,4 m/s pasan a través de dos ranuras muyangostas cuya separación es de 1 mm. Un arreglo de detectores se coloca a 10 m de laranura.

(a) ¿Cuál es la longitud de onda De Broglie de los neutrones?

(b) ¿A qué distancia del eje de simetría se encuentra el primer punto de intensidad cerodetectado por los sensores?

(c) ¿Se puede ver a través de qué ranura pasan los neutrones? Explique.

8. Para un protón cuya energía cinética es de 1 MeV, se mide su cantidad de movimientolineal con una incertidumbre de 5% ¿cuál es la mínima incertidumbre en su posición?

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9. Un niño en una escalera deja caer esferitas sobre una mancha que se encuentra en elpiso.

(a) Usando el principio de incertidumbre, muestre que la distancia por la que falla debeser al menos,

1 / 4h H

x ,2 m 2g

∆ = π

donde H es la distancia vertical que cae cada esferita y m es la masa de cadaesferita.

(b) Si H=2,0 [m] y m=0,50 [g], calcule ∆x.

10. Un electrón tiene la siguiente función de onda

2 2 x(x) sen

L Lπ ψ =

Encuentre la probabilidad de encontrar al electrón en el intervalo entre x = 0 y x = L/4.

11. (a) Utilice el principio de incertidumbre para estimar la incertidumbre en la cantidadde movimiento de una partícula que se encuentra en una pozo infinitounidimensional.

(b) Estime la energía del estado base y compare el resultado con la energía real delestado base.

12. Un electrón está contenido en una caja unidimensional de ancho 0,1 nm.

(a) Dibuje el diagrama de niveles de energía del electrón hasta el nivel con n = 4.

(b) Determine la longitud de onda para cada uno de los fotones que pueden seremitidos por el electrón al efectuar transiciones que eventualmente lo lleven desdeel estado con n = 4 hasta el estado con n = 1.

13. En una región del espacio, una partícula con energía cero tiene una función de ondadada por :

2 2x / L(x) Axe−ψ =

(a) Obtenga la energía potencial U(x) correspondiente a la partícula.

(b) Dibuje cualitativamente la función U(x).

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7. ÁTOMOS Y TRANSICIONES

CAPÍTULO 42

1. (a) Determine los números cuánticos l y ml para el ion He+ en los estados con n = 3.

(b) ¿Cuál es la energía de este nivel?

2 La función de onda para un electrón en un estado 2p en el átomo de hidrógeno es

0r /2a2p 3 / 2

00

1 re

a3 (2a )−ψ =

¿ A qué distancia del núcleo atómico es más probable hallar el electrón cuando ocupa unestado 2p ?

3. ¿Cuántos conjuntos de números cuánticos son posibles para un electrón en un estado con:

(a) n = 1, (b) n = 2, (c) n = 3, (d) n = 4 y (e) n = 5 ?

Verifique que sus resultados estén en concordancia con la regla general que establece queel número de conjuntos de números cuánticos es igual a 2n2 .

4. Considere un electrón para el cual n = 4, l = 3 y ml = 3. Calcule el valor numérico de :

(a) el momento angular orbital, y

(b) la componente z del momento angular orbital.

5. Al observar la tabla 42.4 (configuración electrónica de los elementos) en el sentido delnúmero atómico ascendente, se ve que los electrones llenan las subcapas de tal forma que

aquellas con los valores más bajos de n + l se llenan primero. Si dos subcapas tienen el

mismo valor n + l, aquella con el menor valor de n se llena primero. Usando estas dos

reglas,

(a) escriba el orden en el cual se llenan las subcapas para n =7.

(b) prediga la valencia química para los elementos con número atómico 15, 47 y 86.Compárelas con las valencias conocidas.

6. Si se desea producir rayos X con longitud de onda de 0,10 nm, ¿cuál es el voltaje mínimoque se debe usar para acelerar los electrones?

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7. (a) ¿Cuál es la mínima longitud de onda emitida por un tubo de rayos X que opera a unvoltaje de 50 kV?

(b) La longitud de onda de una línea característica de rayos X en un blanco de molibdenoes 0,0709 nm. (Esta línea es aproximadamente 10.000 veces más intensa que elespectro continuo). ¿Cuál es el mínimo voltaje acelerador capaz de producir estalínea?

(c) Muestre que para un fotón la relación entre la longitud de onda λ en nm y la energía Een eV está dada por λ = 1240 / E.

8. La familiar luz amarilla de una lámpara de la calle que contiene vapor de sodio, resulta dela transición 3p → 3s en el átomo de sodio (Na).

Evalúe la longitud de onda, dado que la diferencia de energía es : E3p – E3S = 2,1 eV.

9. Un láser de rubí produce un pulso de 10 ns de duración y potencia media de 1,0 MW. Sitodos los fotones tienen una longitud de onda de 694,3 nm, ¿cuántos fotones contiene elpulso?

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8. MOLÉCULAS

CAPÍTULO 43

1. La separación entre los iones K+ y Cl

– en una molécula de KCl es de 2,8 x 10–10 m.

Asumiendo que los dos iones actúan como cargas puntuales,

(a) determine la fuerza de atracción entre ellos,

(b) determine su energía potencial de atracción, en eV.

2. Una descripción razonable de la energía potencial entre dos átomos en una molécula estádada por el potencial de Lenard-Jones

12 6

A BU

r r= −

donde A y B son constantes.

(a) En términos de A y B, obtenga el valor r0 para el cual la energía U posee un mínimo.

(b) En términos de A y B, obtenga la energía E requerida para romper unamolécula diatómica.

(c) Evalúe r0 en metros , y E en electrónvolts para la molécula de H2.

En sus cálculos use A = 0,124 x 10–120 eV · m12 y B = 1,488 x 10–60 eV · m6.

3. La línea de absorción correspondiente a una transición rotacional desde un estado con J=5hasta otro con J=6, en una molécula diatómica, ocurre a una longitud de onda de 1,35 cm (enla fase de vapor).

(a) Calcule la longitud de onda y la frecuencia correspondientes a latransición desde J = 0 hasta J = 1.

(b) Calcule el momento de inercia de la molécula.

4. La distancia entre los protones en la molécula de H2 es r = 0,75 x 10–10 m.

(a) Calcule la energía del primer estado rotacional (J = 1).

(b) Calcule la longitud de onda de la radiación emitida en la transición desde unestado con J = 1 hasta otro estado con J = 0.

5. El espectro rotacional de la molécula de HCl contiene las siguientes longitudesde onda: 0,0604mm, 0,0690 mm, 0,0804 mm, 0,0964 mm, 0,1204 mm. ¿Cuál es elmomento de inercia de la molécula de HCl?

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18

9. FÍSICA NUCLEAR

CAPÍTULO 45 (EL NÚCLEO, RADIOACTIVIDAD, REACCIONES)

1. El núcleo comprimido de una estrella formada en el seno de la explosión de una supernovapuede contener material nuclear puro, y se llama un pulsar o estrella de neutrones.

Calcule la masa de 10 cm3 de un pulsar.

2. Considere el átomo de hidrógeno como una esfera de radio igual al radio de Bohr (a0 ) ycalcule el valor aproximado de la razón entre la densidad nuclear y la densidad atómica.

3. Calcule el diámetro de una esfera de material nuclear que tendría una masa igual a la de laTierra. En los cálculos considere un radio terrestre de 6,37 x 106 m, una densidad terrestre de5,52 x 103 kg/m3 y como densidad de la materia nuclear el valor 2,3 x 1017 kg/m3 .

4. Considere una dispersión frontal de una partícula con un núcleo de oro.

(a) ¿Que energía cinética permitiría que una partícula alfa se acercara a una distanciade 10 fm del núcleo?

(b) ¿Qué energía cinética necesitaría un protón para aproximarse hasta la distancia de10 fm del núcleo?

(c) Si la partícula alfa y el protón son acelerados desde el reposo a través de lasdiferencias de potencial Vα y Vp respectivamente, calcule la razón Vp / Vα .

5. Utilizando la masa atómica de Fe5626 cuyo valor es 55,934939 u, calcule su energía de

ligadura. Después calcule la energía de ligadura por nucleón y compare el resultado con elvalor 8,5 MeV que se obtiene por lectura en la figura correspondiente a la energía de ligadurapor partícula.

6. (a) Estime la energía potencial electrostática debida a la repulsión de Coulomb entre dosprotones cuya separación en un núcleo es de 3,0 fm.

(b) Compare este valor con la energía en reposo de un electrón.

7. Las mediciones en una muestra de un isótopo radioactivo muestran que su actividaddisminuye en un factor 5 durante un intervalo de 2 horas.

Determine la constante de decaimiento y la vida media del isótopo radiactivo.

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19

8. Calcule el número de átomos radioactivos contenidos en una muestra que tiene unaactividad de 0,2 µCi y una vida media de 8,1 días.

9. Identifique el nucléido faltante ( X ) en cada una de las siguientes reacciones.

(a) γ+→ Ni6528X

(b) α+→ XPo21584

(c) ν+β+→ +Fe5526X

(d) ν+→+ AgCd 10947

10948 X

(e) 14 17N( ,X) Oα

10. Halle la energía liberada en el decaimiento alfa de U23892 de acuerdo a la reacción :

HeThU 42

23490

23892 +→

La masa de los nucléidos involucrados en el proceso son:

( ) u050786,238U23892 =M ( ) u043583,234Th234

90 =M ( ) u002603,4He42 =M

11. Calcule la energía cinética de una partícula alfa emitida por el nucléido 23892U en el

proceso de decaimiento descrito en la pregunta anterior. Desprecie la velocidad deretroceso del núcleo hijo, 234

90Th .

12. Hay unas cuantas reacciones nucleares en las cuales la partícula emitida y el núcleoproducto son idénticos. Un ejemplo de esto es la reacción

( ) He,Li 42

73 αp

Calcule el valor de Q para esta reacción.

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20

CAPÍTULO 46 (FISIÓN Y FUSIÓN)

1. El estroncio 90 es un producto de la fisión de 235U, particularmente peligroso debido a quees radioactivo y capaz de sustituir el calcio de los huesos. ¿Qué otros productos directos de lafisión lo acompañarán en la fisión del 235U inducida por neutrones? (Nota: esta reacciónpuede liberar 2, 3 ó 4 neutrones).

2. Calcule la energía liberada en la siguiente reacción de fisión:

( )n3KrBaUn 10

9236

14156

23592

10 ++→+

Las masas de los nucléidos involucrados son:

( ) u008665,1n10 =M , ( ) u043915,235U235

92 =M , ( ) u9139,140Ba14156 =M , ( ) u8973,91Kr92

36 =M

¿Qué fracción de la energía inicial del sistema es liberada en el proceso?

3. (a) ¿Cuántos kilogramos de 235U se deben fisionar durante un año de operaciones deuna planta de energía eléctrica que produce una potencia de salida de 1,0 GW?Asuma que la planta tiene una eficiencia total del 30%.

(b) Si la densidad del 235U es 18,7 g/cm3 , calcule el radio de una esfera formada por lamasa de Uranio calculada en la parte (a).

4. Dos núcleos de números atómicos Z1 y Z2 se aproximan entre sí con energía cinéticainicial K medida respecto a un sistema de referencia en el centro de masas.

(a) En términos de Z1 y Z2 , estime K para que los núcleos se fusionen,suponiendo que para ello deben acercarse hasta que la distancia entre ellossea al menos de 10–14 m.

(b) Estime la energía cinética mínima de la fusión para las reacciones D-D y D-T.

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21

II. DATOS Y RELACIONES

1. FÍSICA CLÁSICA

CONSTANTES

8c 3 1 0 [m/s]; i ; 19e 1,6 1 0 [C]−≈ i ;

9 2 2c

0

1k 9, 1 0 [Nm /C ]4

=πε

; i i ; 7 20 4 10 [N/A ]−µ π; i

REPASO DE MECÁNICA Y ELECTROMAGNETISMO CLÁSICO

netadp

Fd t

=rr

; p mv=r r

;2

cvaR

=

E K U= + ; 21K mv2

= ; 21

2

mgh

U kx

q V

=

∆ i

( )F q E V B= + ×r r r r

ECUACIONES DE MAXWELL

0E dA Q/= ε∫r r

iÑ ; B dA 0=∫r r

mdE dsdt

= − φ∫r riÑ ; 0 0 0 e

dB ds Idt

= µ +µ ε φ∫r riÑ

Page 22: Curso de física relativista - cuantica

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22

ONDA ELECTROMAGNÉTICA

2 2y y

2 2 2

E E1x v t

∂ ∂=

∂ ∂i ; 1v =

εµ

kr

Br

Er

0S ExB/= µr r r

y 0E (x,t) E cos(kx t)= − ω ; 0 0B E / v= ;cnv

=

kv v ƒω = ↔ = λi ; 2 ƒω = π , k 2 /= π λ

20prom

1 v E2

S I v u ε= = =i ; promS / A= P p U/c=

ÓPTICA GEOMÉTRICA

n c / v=

1 1 2 2n nλ = λ

i rθ = θ

1 i 2 tn sen n senθ = θ

1 1 1s s ' ƒ

+ = ;

ƒ R/2:espejos=

( )1 2

1 1 1n 1 : lentesƒ R R

= − −

Page 23: Curso de física relativista - cuantica

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23

ÓPTICA ONDULATORIA

Dos fuentes en fase: 20I I cos

2φ =

; kdsenφ = θ ;

m : máximosdsen 1m : mínimos

2

λ

θ = + λ

Una rendija : 2

0sen / 2I I

/ 2β = β

kasenβ = θ ; asen m :mínimos.θ = λ

Red de difracción: dsen m :máximos.θ= λ

Page 24: Curso de física relativista - cuantica

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24

2. FÍSICA MODERNA

CONSTANTES

34 15h 6,6 10 [J s] 4,1 1 0 [eV s]− −= =i i i i

h / 2= πh

23 1AN 6,0 10 [mol ]−= i

191[eV] 1,6 10 [J]−= i

[ ] 27 21 u 1,66 10 [kg] 931,5 M e V / c− = = i

151[ƒm] 10 [m]−=

RELATIVIDAD ESPECIAL

( )x ' x vt= γ − ; y ' y= ;

z ' z= ; ( )2t ' t v x / c= γ − , 2

11 (v/c)

γ =−

xx 2

x

u vu'1 u v / c

−=− i ; ( )

yy 2

x

uu'

1 u v / c=

γ − i ; ( )z

z 2x

uu'1 u v / c

=γ − i

0LL =

γ; 0τ = γ τ

Dinámica de una partícula:

dpFdt

= ; p mu= γ ; 20E mc= ; 2

0E mc E K= γ = + ; ( )22 20E E pc= +

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25

CUÁNTICA

Bhp

λ = ; E hƒ= ; máx. 0hƒ K= + φ ; ( )h 1 cosmc

'λ − λ = − θ

2dsen mθ = λ ; xx p h∆ ∆ ≥i ; ( )2

2 U r,t i .2m t

∂Ψ− ∇ + Ψ = ∂

rh h

1 – Dimensión :

22

2d U E

2m dxψ− + ψ = ψh ; ( ) ( ) i E t /x,t x e−Ψ = ψ hi

2 ikx' ' k 0 e±ψ + ψ = ⇒ ψ = ; 2 x' ' 0 e±αψ + α ψ = ⇒ ψ =

POZO INFINITO

U(x) 0 , 0 x L= < <

(x) Asenkxψ = ; nk n /L= π ; 2 2

2n 2E n

2mLπ= h i

ÁTOMOS HIDROGENOIDE

2

n 2ZE 13,6[eV]n

= − i ; ( )L 1 , 1= + ∆ = ±l l h l ; zL m , m 0, 1= ∆ = ±l lh

CONFIGURACIÓN ELECTRÓNICA

1s2s 2p3s 3p 3d4s 4p 4d 4ƒ5s

L LM

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26

MOLÉCULAS

rot. vib.E E E= +

( )rot.E J J 1 ; J 12I

= + ∆ = ±h , vib.1E hƒ ; 12

= ν + ∆ ν = ±

NUCLEAR

AZ NX , A Z N= + ; [ ]1/3R 1,2 A ƒm= i

DECAIMIENTO

t0N(t) N e−λ= i ; A N= λ

t / T0N(t) N 2−= i ; ( )T 2λ = ln

42: He , : e± ± ±α β + ν

ENERGÍA DE LIGAZÓN ( )bE

( ) ( )A 2Z p n bM X Z m N m E / c= + −i i

ENERGÍA EN REPOSO MeV

• Electrón : 0,511

• Neutrón : 939,57

• Tritión 31H : 2808,94

• Protón 11H : 938,28

• Deuterón 21H : 1875,63

• 42He : 3727,40

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27

III. SOLUCIONES

1. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS

CAPÍTULO 34

1. (a) 70B 5,4 10 [T]−= i

v 0,8c= 8 7 20 0E vB 0,8 3, 1 0 5,410 1,310 [V/m]−⇒ = = =i i i i i

(b) 2prom 0

1I S v E2

= = ε

0 0 0

1 1v ; c= =εµ ε µ

2 20

00 0 0

c cv v

εµ ε ⇒ = = ⇒ ε = ε ε µ ε

Entonces,

( )

22 2

0 0 0 0

28 12 2 2

1 c 1 cI v E c E2 v 2 v1 1I 3,10 8,910 1,3 1 0 28[W/m ]2 0,8

= ε = ε

= ≈

i i

i i i i i

(c) 8 8v / ƒ 0,8 3, 1 0 2,410 [m]λ = = =i i i

2. (a) 2

0 0

1vK

=µ ε

; 2

0 0

1c =µ ε

22 c cv v

K K⇒ = ⇒ = ;

8

83,10v 2,2 1 0 [m/s]1,78

= =i i

(b) Índice de refracción del medio : cn n K ; n 1,33v

= ⇒ = =

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28

3. Potencia = Intensidad • Área

P = I • A

La energía electromagnética que se genera en C es

emitida en todas direcciones (isotrópicamente) y un instante

después atraviesa la superficie S. En promedio, la energíaque se genera y la que sale atravesando la superficie S, en

un lapso determinado, son iguales.

C

R

S

20 0

1I c E2

= ε ; 2P I 4 R= πi 2 20 0

1P c E 4 R2

⇒ = ε πi .

Dato: 9 2 2

0

1 9 1 0 [Nm /C ]4

≈πε

i i ; 2 2

89

1 55 20P 3, 1 0 20[kW]2 910

= =ii i .

4. (a) 3P 5,0 1 0 [W]−= i ; 2A 4,0[mm ]= ; 1,0[m]=lHaciendo un modelo en que dentro del haz se considere una onda plana y fuera de él se

considere que no existe onda, tenemos:

20 0 0

0 0

P 1 2P 2 4 PI c E EA 2 c A c 4 A

π= = ε ⇒ = =ε πε

ii .

Numéricamente, 1/23 9

20 8 6

8 5, 1 0 9,10E 9,7 1 0 [V/m]3,10 4,010

− π= =

i i i i ii i i .

(b) Energía = densidad de energía x volumen = w Ai i l I P

w c A I A Pw A Pc c c

ε = = = = = τi i il i il ili il i

es decir, Energía = potencia x tiempo ( en que la onda avanza la longitud l )

311

85,0 1 0 [W]1,0[m] 1,7 1 0 [J]

3,0 1 0 [m/s]

−−ε = i i ; ii .

5. 8 6c / ƒ 3 1 0 /2010 300/20 15[m]λ = = = =i i .

La antena de media onda es de longitud : 1 7,5[m]2

λ = .

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29

6. (a) Banda AM : desde 540[kHz] hasta 1600[kHz] ; esto significa longitudes de onda desde

8

1 63 1 0 187,5[m]

1,610λ = =i

i hasta 8

2 5310 555,6[m]

5,410λ = =i

i .

Conviene recordar que el orden de magnitud para la longitud de onda en la banda

AM es 102[m].

(b) Banda FM : desde 88[MHz] hasta 108[MHz]. En términos de longitud de onda, esto

es desde

8

1 6310 3,4[m]

8810λ = =i

i hasta 8

2 6310 2,8[m]

10810λ = =i

i ,

es decir, la longitud de onda en la banda FM es de orden de magnitud 100[m] .

7. 8 9ƒ 20[GHZ] c / ƒ 3 1 0 /2010 [m] 1,5[cm]= ⇒ λ = = =i i

1,0[ns]τ =

3 9 5P 25[kW] P 2510 1,0 1 0 2,5 1 0 [J]− −= ⇒ ε = τ = =i i i i i

R 6[m]=

También, c

w A w A cτ

ε = = τi

i il i i i , donde l es la periodicidad espacial de los pulsos.

Luego;

57 3

2 8 92,510w 7,4 1 0 [J/m ]

A c 6 3 1 0 1,010

−−

−ε= = =

τ πi ii i i i i i i .

Page 30: Curso de física relativista - cuantica

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30

2. ÓPTICA GEOMÉTRICA

CAPÍTULO 35

1. 8 8

TS TSR 1,5 1 0 [ k m ] D 3 1 0 [km]= ⇒ =i i

3t 22[min] 1,32 10 [s]∆ = ≈A8 8

TS

3 3

5

D 3 1 0 [km] 310 [km]c

t 1,32 1 0 [ s ] 10 [s]

c 3 1 0 [km/s] .

= = ≈∆

i ii

iT

J

J'

T'

8TSD 310[km]= i

2. 720 muescas = N ; 8c 2,99810 [m/s]= iTiempo empleado por la luz en viajede ida y regreso T M T→ → :

55

22,9[km]2Lt 7,6610 [s]c 2,9910 [km/s]

−∆ = = = ii

T:rueda M:espejo

L=11,45[km]

Tiempo empleado por la rueda T para obstaculizar el paso del rayo de luz que

regresa de M a T:

22Nt 'N

πθ π∆ = = =ω ω ω

[ ]8

3c 2,9910t t ' 113,8 r a d s 1087[rpm]

NL 72011,4510π π∆ = ∆ ⇒ ω = = i i ; ;i i .

Page 31: Curso de física relativista - cuantica

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31

3. 1n 1≈ ; 23n 1,33 4≈ ≈ ; 2 45θ = °

1 1 2 2n sen n senθ = θ

1141 sen 3 2

θ =i i

1 12 2sen 0,44 70

3θ = ≈ ⇒ θ ≈ °

n2

n1

4. 1n 1= ;

24n 3= ;

1 62θ = °

2 2

2sen9 H

θ =+

29 H+

162θ = ° 28°

H H

3[m]

1 1 2 2n sen n sen⇒ θ = θ ( ) ( )2

2

4 3 161sen 62 H 93 sen629 H

⇒ ° = ⇒ = −°+

i i

( )216H 9 3,4[m]

sen62= − ≈

° .

5. La profundidad máxima para ver la rocaviene dada por el ángulo crítico 2 cθ = θ

1n 1,0=

24n 1,333

= ≈

1 1 2 2 c4n sen n sen 1 sen3

θ = θ ⇒ = θ

c3sen 0,754

θ = = c 48,8⇒ θ = °

n2

15[m]

h

n1

Si 2 cθ = θ , se ve lo que está en la superficie del agua.

Entonces, 2 2 2

3 15sen h 5 7 13,2[m]4 15 h

θ = = ⇒ = ≈+

.

Page 32: Curso de física relativista - cuantica

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32

CAPÍTULO 36

1. BDDHC CHB GH HI2

= ⇒ = =S S

Análogamente, ABEF FG2

= = .

Por lo tanto, un espejo de longitud FH cumple

las condiciones donde:

AB BD ADF H FG GH2 2 2

= + = + = h

h/2

E

D

A

B

C H

GF

Entonces, se requiere un espejo de altura igual a la mitad de la estatura de la persona.

2. S 30[cm]=

a) h' 4 h' 4hh

= − ⇒ = − ;

por semejanza de triángulos :

h' S' S' 120[cm]h S

= − ⇒ =

b) 1 1 2 1 1 2 R 48[cm]S' S' R 30 120 R

+ = ⇒ + = ⇒ =

FC

h

S'

S

h'

Page 33: Curso de física relativista - cuantica

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33

3. 1n 1,50= ; R 15[cm]= − ; S 10[cm]=

1 2 2 1n n n nS S' R

−+ =

1,5 1 1 1,5 110 S' 15 30

−+ = =−

60S' [cm]7

S' 8,5[cm]

⇒ = −

≈ −

15[cm]

10[cm]

4. a) 1 1 1 S ' S 1250 600ƒ [cm]S S' ƒ S' S 12 50 62

+ = ⇒ = = =+ +i i

ƒ 9,67[cm]∴ ;

b) ABCsemejante a EDC∆ ∆

AB ED h h ' h ' S' 12 0,24S S' S S' h S 50

∴ = ⇒ = ⇒ = = =

h'

h C

D

E

B

A

S'S

c) La imagen es invertida y real.

5. S 20[cm]= ; ƒ 32[cm]= −

a) 1 1 1 1 1S'1 1 1 1S S' ƒƒ S 32 20

+ = ⇒ = =− −

160S' [cm] 12,3[cm]13

= − ≈ −F

32[cm]

20[cm]

Page 34: Curso de física relativista - cuantica

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34

b) ABCseme jan tea DEC∆ ∆ ⇒ AB ED h h 'S S' S S'

= ⇒ =

h ' S' 160 16M 0,62h S 1 3 2 0 26

= = = − = ;i

Ch'h

E

D

B

A

F

S

S'

6. S 25[cm]= ; S' 90[cm]= −

1 1 1+ =S S ƒ

⇒S S' 2 5 ( 90)

ƒ 35,[cm]S S ' 25 90

−= = =

+ −i i

S'

S

7. 1 1 1S S' ƒ

+ =SS' 200[cm]

→ ∞= −

1 1 1 ƒ 200[cm]200 ƒ

⇒ − = ⇒ = −∞

S'

Page 35: Curso de física relativista - cuantica

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35

8. 1 1 1S S' ƒ

+ = ; h ' S 'Ah S

−= − =

1 S1S' ƒ

S⇒ + = 1 S1

A ƒ⇒ − = 1A(S)

S1 ƒ⇒ =

Para S ƒ→ ; A → ∞

A

S/ƒ0

1

1

h F

S'

F

S

h'

3. ÓPTICA ONDULATORIA

CAPÍTULO 37

1. a) d 0,50[mm]=

D 3,3[m]=

1y 3,4[mm]= : máximo θy1

d

D

Para máximos de interferencia de dos fuentes: dsen mθ = λ , en este caso m=1.

Para 1D y? ; 11

ysen

Dθ ; . Luego; 1

1y

dsen dD

λ = θ ; .

3 370,510 3,410 5,1510 [m] 515[nm]

3,3

− −−λ = =i i i; i : color azul-verde.

Page 36: Curso de física relativista - cuantica

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36

b) Para mínimos: ( )dsen 2m 12λθ = − i ; en este caso lo que se pide evaluar corresponde

a m=1 y m=2. Los valores correspondientes a dsen θ son 12

λ y 32

λ , mientras que

para el primer máximo es λ . Entonces,

1 71

1 3

2dsen

y D 5,1510 3,3y 1,7[mm]D 2d 20,510

λθ = λ ⇒ = =

i i ;i i

Análogamente, 23 Dy 5,1[mm]2dλ= ;

2. a) y 12[mm]= ; D 119[cm]= ; d 0,241[mm]= ; 486[nm]λ =

Para franjas brillantes, dsen mθ = λ . Además, my D msen y m 2,4[mm]D d

λθ ⇒ = =i; i .

Si m 5= , 5y 12[mm]= . Luego, entre la franja brillante B y el máximo central (m=0) hay

otras 4 franjas brillantes.

b) La diferencia de camino es dsen θ , y en este caso corresponde a 5λ .

3. a) D 140[cm]=

y 8,0[mm]=

máx.I 0,75 I= θ

D

Py

La intensidad depende de la diferencia de fase φ ; según ( )2máx.I I cos 2= φ ,

con 2 dsenπφ = θλ

i , y ysen

Dθ ; .

Entonces, en este caso: ( )2 5cos 2 0,75 , , . . . .2 6 6φ π πφ = ⇒ =

Luego,d y2 d D 29,D 3 6y

π π= ⇒ = =λ λ

ii

Note que hay otras soluciones. Acá se ha escogido la que surge de tomar el menorvalor de φ .

Page 37: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

37

b) La diferencia de camino en la respuesta (a) es 1dsen6

θ = λ . Esta diferencia se puede

cancelar modificando la dirección de incidencia como se indica en las figuras.

16

λ

16

λ

16

λ

La dirección de incidencia debe formar el ángulo θ con el eje (determinado por el punto P).

0,8sen 0,0057140

θ ; ;

4. 1 0E E sen t= ω

( )2 0E E sen t= ω + φ

( )3 0E E sen t 2= ω + φ φ

φ

E2φα

ER

E3

E1

De la representación vectorial se concluye que:

α = φ ; R 0 0E 2E cos E= φ +

Este resultado es válido para todos los valores dados de φ . Haga el cálculo para cada caso

con los valores numéricos dados.

5. 1 01E E sen t= ω

( )2 02E E sen t= ω + φ

E01

E02

ER

φ

Page 38: Curso de física relativista - cuantica

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38

( )2 2 2R 01 02 01 02

cos

E E E 2E E cos− φ

= + − π − φi i14243

2 2 2R 01 02 01 02E E E 2E E cos= + + φi i

Puesto que la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado del campo eléctrico;

20 0

1I c E2

= ε ,

entonces: R 1 2 1 2I I I 2 I I cos= + + φi .

6. ( )1 0E E sen t= ω + φ

( )2 0E E sen t 2= ω + φ

( )3 0E E sen t 3= ω + φ

M( )N 0E E sen t N= ω + φ

El diagrama debe cerrarse como sugiere la figura.

Luego N 2φ = π ⇒ 2 / Nφ = π .EN

φE3

E2

E1

φ

φ

INICIO Y FINAL

7. Para máximos en la luz reflejada que sale perpendicularmente hacia atrás, en este caso

tenemos:

n2d m , m 1,2, . . . . .= λ =i , 0n n

λλ = .

Entonces:7

02 1,38 1 0 [m] 276[nm]2nd

m m m

λ = = =i i

Ningún valor de m da longitud de onda en rango visible.

2d2λ +

1,501,381,00

d

Page 39: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

39

8. En este caso la expresión para máximos en la reflexión perpendicular es( )

02m 12d2n+ λ= .

Se exige que ésta se cumpla para los colores rojo y verde, aprovechando que el parámetro

entero m puede adoptar diferentes valores. Entonces,

( )

( )( ) ( )

R R

R R v vv v

2m 12d

2n 2m 1 2m 12m 1

2d2n

+ λ =

⇒ + λ = + λ+ λ =

Luego, R v

v R

2m 1700 7500 2m 1 5

λ += = =λ +

.

Se ve que hay una solución con vm 3= y Rm 2= .

El espesor d puede calcularse con cualesquiera de las dos expresiones anteriores, ambasdan el mismo resultado; por ejemplo:

( )2 2 1 700[nm] 15d 700 656[nm]4 1,33 16

+= =i i ; ii .

9. Máximos en la luz reflejada que saleperpendicularmente hacia atrás:

( )02d 2m 12nλ= + .

Entonces, 04d n 2920[nm]

2m 1 2m 1λ = =

+ +i

Los valores de m : 2, 3 y 4 son soluciones en elrango pedido, que son: 584[nm] , 417[nm] y

324[nm] respectivamente.2d

1,001,461,00

d

Page 40: Curso de física relativista - cuantica

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40

CAPÍTULO 38

1. a 0,5[mm]=

460[nm]λ =

D 120[cm]= θy

a

D

a sen4

θ

2a sen4 2

λθ = , 22 2

y 2Dsen yD a

λθ = ⇒ =

7

2 32 1,2 4,6010y 2,2[mm]

0,510

−= =i i ii

2. D 120[cm]= ; a 0,4[mm]= ; 546,1[nm]λ =

y 4,1[mm]=2

máxsen 2I I

2β = β

; 2 asenπβ = = θλ

33y 4,110sen 3,410

D 1,20

−−θ = = =i i

3 3

72 0,410 4,110 2 2,50[rad] 900 sen 1

25,46110 1,2

− −

−βπβ = = π = ° ⇒ =i i i i ii i

( )máx

máx2I 1

I 0,016I2,5

= =πi

3. 500[nm]λ = ; 4mín 2,3 1 0 [rad]−θ = i ; d 1,0[cm]= .

m máxmín

d dsen LL sen

θ ⇒ =θ

;

máxL 43,5[m]=

Page 41: Curso de física relativista - cuantica

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41

4. D 0,7[cm]= ;

3,0[cm]=l500[nm]λ =

mínDsen 1,22θ = λ ; 2Rθ = l7 2

92

1,22 1,22 5,0 1 0 3,010R 1,3 1 0 [m]2D 2 0,710

− −−

−λ= = =il i i i i ii i

R 1,3[ m]= µ (menor que la separación entre conos).

D

θ

2R

l

5. d 775[nm]=

1 589,0[nm]λ = Máximos de interferencia (principales)

2 589,6[nm]λ = dsen mθ = λ ; m=1 (primer orden)

Entonces, derivando respecto a λ : ddcos 1d

θθ =λ

i

dcos∆λ⇒ ∆ θ =

θcon 1λ se calcula 1θ según:

11

589,0[nm]sen 0,76d 775[nm]λ

θ = = = 1 49,4⇒ θ = ° .

Con 2 1 0,6[nm]∆ λ = λ − λ = se calcula 0,068∆ θ = ° .

Page 42: Curso de física relativista - cuantica

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42

6. a) 1 589,0[nm]λ = Máximos de interferencia (principales)

2 589,6[nm]λ = dsen mθ = λ ; m=2 (segundo orden)

Mínimos adyacentes (a máximo principal de orden m) : dsen mNλθ = λ +

Entonces,

1 1dsen 2θ = λ

12 1dsen 2

Nλθ = λ +

El mínimo anterior debe corresponder a máximo para 2λ : 2 2dsen 2θ = λ .

Luego, 11 22 2

Nλλ + = λ

( ) 12 12

Nλ⇒ λ − λ = ( )

1

2 1

589,0N 49120,62

λ⇒ = = =λ − λ i

b) ancho : a = N • d

1 15θ = ° 1

1

2d 4551[nm] a 2,24[nm]sen

λ⇒ = = ⇒ =θ

7. Al primer polarizador llega luz no polarizada. En uninstante dado el campo E

r podría formar un ángulo θ

con la vertical, y al instante siguiente cambiar a otroángulo. Para obtener la intensidad después del primer

polarizador es necesario hacer un promedio, suponiendoque todos los ángulos θ son igualmente probables.

Entonces,

30°

2°1°

22

00

dI I cos I I2

π

θ θθ= θ ⇒ =π∫

22

0 00

1 1I I cos d I2 2

π

= θ θ =π ∫ θ

0Er1°

Page 43: Curso de física relativista - cuantica

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43

Después del primer polarizador, Er

está en dirección vertical y la intensidad es 1 01I I2

= .

Segundo polarizador: 2 1 13E E cos30 E

2= ° =i i 2 1

3I I4

⇒ = .

Luego, 2 03I I8

= , es decir, es transmitida la fracción 38

de la intensidad incidente.

8. Después del primer polarizador;

21 0I I cos 30= °i

Después del segundo polarizador;

( )22 1I I cos 60 30= ° − °i

Después del tercer polarizador;

( )23 2I I cos 90 60= ° − °i

30°

30°

30°

VERTICAL

I0

Finalmente,

( ) ( )6

32 63 0 0 0

3I I cos 30 I cos 30 I2

= ° = ° =

i i i

( ) ( )3

3 0 03 27I I I4 64

= =i i .

Page 44: Curso de física relativista - cuantica

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44

4. RELATIVIDAD ESPECIAL

CAPÍTULO 39 (CINEMÁTICA)

1. Segunda Ley de Newton : resultanteF ma=r r

a) x x ' X x ' Vt= + = +

Derivando respecto al tiempo t :

dx dx ' V v v ' Vdt dt

= + ⇒ = +

Derivando nuevamente respecto al tiempo :

0

dv dv ' dV dv ' dv dv ' a a 'dt dt dt dt dt dt

= + = ⇒ = ⇒ =

V

y'y

xx

x'X=Vt

S'L

En sistema S' : F ma

F' ma' ma F F ' F

F' ma'

== = = ⇒ =

=

b) dVAdt

= ( aceleración de sistema S' respecto a L )

dx dx' dXx x ' X v v ' Vd t d t dt

= + ⇒ = + ⇒ = +

dv dv ' dVv v ' V a a ' A a ' a Adt dt dt

= + ⇒ = + ⇒ = + ⇒ = −

Por lo tanto, en sistema S' :

( ) F

F' ma' m a A ma mA F mA= = − = − = −

F' F≠∴

2. v ' 20[m/s]= ; V 40[m/s]=

a) v v ' V 20[m/s] 40[m/s] 60[m/s] v 60[m/s]= + = + = ⇒ =

b) v v ' V 20[m/s] 40[m/s] 20[m/s] v 20[m/s]= − + = − + = ⇒ =

c) ( ) ( )2 22 2v v ' V 20 40 v 44,7[m/s]= + = + ⇒ =

v

v'

V

Page 45: Curso de física relativista - cuantica

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45

3.

( )0 0

0 20

t 1/2 t t 1t 22t t v1 c

∆ = ∆ γ∆⇒ ∆ = − ⇒ γ = =

∆ = γ∆ −

( )2 3 v 3 3v v c 0,866cc 4 c 2 2⇒ = ⇒ = ⇒ = ≈

4. 0L' 1[m] L= = ( longitud propia ) ; L 0,6[m]=

( ) ( )2 2L ' v vL L ' 1 0,6 1 1c c= = − ⇒ = −γ

i

( ) ( )2 2v v v0,36 1 0,64 0,8c c c⇒ = − ⇒ = ⇒ =

v 0,8c=∴

5. Rayos cósmicos.1 010γ =5

V.L.D 10 [A.L.]= : longitud propia para observador en Tierra.

a) 5

5 8V.L10

D 10D 10 [A.L.] 10 [km]10

−= = =γ

A

15

12

1 3

1[A.L.] 9,46 10 [m]9,46 10 [km]10 [km]

≈≈

A ii

b) 5Dt 10 [año]c

−= =

6. xx 2

x

u vu

1 u v c'−

−= i

1v v 0,9c= = ; x 2u v 0 ,9c= − = −

L1v 0.9c=2v 0.9c=

x

Luego,( ) ( )x

2

1,8c0,9c 0,9c 1,8u c 0,99 c1 0,81c 1,810,9c 0,9c

1c

'−− − −= = −+−

−= ;i

La velocidad relativa es aproximadamente 0,99c.

Page 46: Curso de física relativista - cuantica

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46

CAPÍTULO 39 (DINÁMICA RELATIVISTA)

1. 3Vol 1[cm ]= ; M 8[g]= ; v 0,9 c=

0 3 3 30 0

8[g] gM M 8V 1[cm ] cmL

ρ = = = =

032 0 00

M M MLV LL

= = = γ = γ ρ

γ

ρi

L0

L0

L0

Vol = L03

( )2

1 1 2,30,19v1 c

γ = =−

;

Por lo tanto:

0 3

g18

cm ρ = γ ρ

;

2. 0E 2E= ( )22 20E pc E= +

0E 938[MeV]= ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 20 0 0 0 02E pc E 4E E 3E pc= + ⇒ − = =

22 0 0

2

3E Ep p 3

cc= ⇒ =

Luego :

MeVp 3 938c

MeV1624,6c

=

=

i

3. 1010γ = , KE energía cinética= ,

0E energía en reposo ( 938 [MeV] )=

[ ] 10K 0 0 0 0 0

1010

E E E E E 1 E 10 1 E

= − = γ − = γ − = − 14243

⇒ 10 12 13KE 938 10 9,38 10 [MeV] 10 [MeV]= =i i ;

Page 47: Curso de física relativista - cuantica

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47

4. L 3[km]= ; 4E 20[GeV] 2,0 10 [MeV]= = i ; 0E 0,511[MeV]=

a)4

4

0

2,010 [MeV]E 3,9 10E 0,511[MeV]

= γ = ≈i i

b)

( )( ) 22

1 1v 1cv1 c

γ = ⇒ = −γ−

⇒ 2 21 1v 1 c 1 c

2 = − − γ γ

;

1 02

c v 1 3,3 10c 2

−− =γ

; i

La velocidad v es muy cercana a la velocidad de la luz. El resultado anterior corresponde a la

diferencia, con el número apropiado de cifras significativas.

c) LL 7,7[cm]' =γ

;

5. Ram 226,0254[u]= ; Rnm 222,0175[u]= ; Hem 4,0026[u]=

Rn Hem m 226,0201[u]+ =

( )Ra Rn Hem m m m∆ = − +

m 226,0254 226,0201 0,0053[u]∆ = − =

( 271[u] 1,66 10 [kg]−= i

⇒ ( )2 7m 0,0053 1,66 10 [kg]−∆ = i i3 0 3 0m 8,7910 [kg] 8,810 [kg]− −∆ = ≈i i

⇒ 2 14 13E mc 8,8 9 1 0 [J] 7,9210 [J]− −= ∆ = ≈i i i

1 3

1 9

7,92 10[eV] 4,94[MeV]

1,6 10

−= ≈ii

6. 26P 3,810 [W]= i ( )263,810 [J] en cada segundoi

a) 2E mc= ∆ ⇒

( )2 6

92 1 6

3,8 10 [J]Em 4,2 10 [kg] en cada segundoc 9 10 [m/s]

∆ = = =i ii

Page 48: Curso de física relativista - cuantica

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48

b) Proceso de fusión que ocurre en el Sol puede sintetizarse en la reacción:

1 41 24 H He 2e 2+→ + + ν

Balance de energía : ( ) ( )1 2 4 2 21 2 e liberada4m H c m He c 2m c E= + +i i i

[ ]l iberadaE 4 938,28 3727,40 2 0,511 24,7 MeV⇒ = − − =i i

El número de repeticiones de este proceso que producen la energía que irradia el Sol encada segundo viene dado por:

26 263 8

liberada 6 19

3,8 10 [J] 3,810 [J]E N E N 9,6 10

24,7[MeV] 24,7 10 1,6 10 [J]−= ⇒ = =i ii ; ii i i

En cada segundo entran al proceso 4N núcleos de 11H cuya masa es aproximadamente

:

27 114N 1,007825 1,66 10 [kg] 6,42 10 [kg]−i i i ; i .

En cada segundo salen del proceso N núcleos de 42 He y 2N positrones, que en conjunto

poseen una masa igual a N átomos de He, cuyo valor es aproximadamente:

27 1 1N 4,002603 1,66 10 [kg] 6,3810 [kg]−i i i ; i .

Note que ambos valores de masa son muy cercanos entre sí; la diferencia entre ellos esequivalente a la energía de 263,8 10 [J]i .

7. Conviene analizar la situación en un sistema de referencia en que el momentum inicial escero.

Inicialmente Finalmente

Conservación de momentum: hƒP 0

c− = (finalmente están todos en

reposo)

Conservación de energía :2

2 2 2e

Phƒ Mc Mc 2m c2M

+ + = + .

Page 49: Curso de física relativista - cuantica

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49

Despreciando la energía cinética del núcleo pesado, se obtiene la solución aproximada:

2ehƒ 2m c 2 0,511[MeV] 1,022[MeV]= = =i i .

Esta solución puede corregirse, considerando que Pc hƒ= ; entonces:

( )2

2e2

hƒhƒ 2m c

2Mc+ = i

( )22e2

e 2

2m chƒ 2m c

2Mc−

i; i

2 ee

mhƒ 2m c 1

M −

; i

Note que la corrección es muy pequeña para el caso de un núcleo pesado.

Page 50: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

50

5. EFECTOS CUÁNTICOS

CAPÍTULO 40

1. E h ƒ= i ; con 34

3419

6,610h 6,610 [Js] [eV s]

1,610

−−

−= =

ii i ii15h 4,110 [eV s]−; i i

a) E 2,5[eV]= ; b) 5E 1,310 [eV]−= i ; c)7E 1,910 [eV]−= i

2. 2max T 0,29 1 0 [mK]−λ =i i i T = 273 + 37 = 310 [K].

35

max 2

2,9100,9410 [m]

3,110

−−λ =

i ; ii8

13max 5

max

c 310ƒ 3,210 [Hz]

0,94 10−= = =λ

i ii

max maxE h ƒ 0,13[eV]= =i

3. ƒ max ƒV 0,54[V] K eV 0,54[eV]= ⇒ = =

15 80

9

c 4,110 310 4,13hƒ h 10 [eV] 1,64[eV]

75010 7,5

−= = = =

λi i i i ii

max maxhƒ K hƒ K 1,10[eV]= + φ ⇒ φ = − =

4.15 8

1 7

4,110 3 10hƒ 2,25[eV]

5,46110

−= =

i i ii ; max,1K = ƒ1eV 1,70[eV]=

⇒ φ = − =1 max,1hƒ K 0,55[eV]

−= =

i i ii

15 8

2 7

4,110 310hƒ 2,09[eV]

5,87510⇒ = = − φ

2ƒ max,2 2eV K hƒ

= ⇒ =2 2ƒ ƒeV 1,54[eV] V 1,54[V]

E[eV]

Magnitud de la cargadel electrón, en [C]

2 3

visibleultravioletainfrarrojo

Page 51: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

51

5.

Conservación de la energía: = +λ λ e

hc hcK

'−

−= =

λi i i ii

15 83

10

hc 4,110 3 106,1510[eV]

2,00 10; ;2

em c 0,511[MeV]

−−

λ

∆λ = − =oi i i ; i14243i14243

15 810

612Compton

4,110 310(1 cos60 ) 0,01210 [m] 0,0012[nm]

0,51110

Para corregir el manejo de cifras significativas, supongamos que el dato del enunciado esλ = 0,2000[nm] ; entonces:

0,2000 0,0012 0,2012[nm]'λ = + =

Finalmente,

( )= − = −λ λ

;e

hc hcK 6,150 6,110 [keV] 40[eV]

'

6. λ = 0,030[nm] ; −λ = = = λii10

Compton ce

h0,02410 [m]

m c

( ) ∆λ = λ − θ ⇒ θ = ∆λ = λλ = λ + λ = +

oic c

c

1 cos 90 pues' 0,030 0,0024[nm]

λ =' 0,0324[nm] .

Nuevamente, usando conservación de la energía:

( )= − = −λ λ

i i4 4e

hc hcK 4,10010 3,79610 [eV]

'

;eK 3,04[keV].

Comparando eK con la energía en reposo del electrón: ;0E 511[keV] , resulta ?0 eE K .

Entonces, se usa relación no relativista entre eK y velocidad:

= ⇒ =i i;

22 e

e 2e

1 2K c 2 3,04K mv v c

2 m c 511 ⇒ ; ; i 7v 0,11c 3 10 [m/s] .

Determine usted la dirección de rv .

λ e

e

θ λ ' e'

h(1 cos )

m cλ − λ∆λ = − θ

⇒ λ = λ + ∆ λ'

Page 52: Curso de física relativista - cuantica

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52

7.

λ λ= =λ λ'

hc hcE E

'λ λ

λ λλ

= + ⇒ =

= ' e

'' e

E E KE 2E

E K

Entonces: λ = λ' 2

Además: c c0,0016[nm] 0,0024[nm]

' (1 cos ) (1 cos )λ − λ = λ − θ ⇒ λ = λ − θ

⇒ − θ = =0,0016 2

1 cos0,0024 3

θ = ⇒ θ o;1cos 71

3

8.

−−λ = = = =

− − +

i i i6 2

62 2

2 2

hc 1,2310 (43)[m] 1,8610 [m] 1860[nm]

1 1 13,6(4 3 )13,6[eV]4 3

Esta línea espectral corresponde a la serie de Paschen.

Nota: Estudie respuesta (a) para el caso del modelo cuántico actual.

9. Niveles de energía para átomos hidrogenoide (con Z protones y un solo electrón):

= − =i2

n 2

ZE 13,6[eV] ; n 1,2,3,...

n

Acá 1 2 3Z 2 E 54,4[eV],E 13,6[eV],E 6,0[eV],etc.= ⇒ = − = − = −

Primera energía de ionización: 54,4 [eV]. Dibuje usted la transición.

λ e

e

θ λ '

n=1

n=2

n=3

n=4

a) Se observan tres longitudes de onda, correspondientesa las transiciones mostradas.

b) − = = −λ4 3 n 2

hc 13,6[eV]E E ; E

n

Page 53: Curso de física relativista - cuantica

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53

10. Energía potencial: = −i 2

ck ZeU

r; Energía cinética: = 2

e

1K m v

2.

Segunda Ley de Newton: = ⇒ =2 2 2

2c ce e2

k Ze v 1 k Zem m v

r r 2 2r.

Entonces, = −1

K U2

. Además, + = = −2

2

ZK U E 13,6 [eV]

n.

Luego, = = − 2

27,2U 2E [eV]

n ; = 2

13,6[eV]K

n , donde se usó =Z 1 (hidrógeno) y

debe reemplazarse n 2= .

Page 54: Curso de física relativista - cuantica

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54

6. ONDAS CUÁNTICAS

CAPÍTULO 41

1. 20 eE (electrón)=m c 511[keV].i ;

a) 2

0e

pK 50[eV] E relación no relativista : K=

2m= ⇒ ⇒=

2e

1 1p 2m c K 2 511 0,050 [keV] pc 7,1[keV].

c c= = ⇒i i i ;

15 810

B 3

h 4,1 10 [eV s] 3 10 [m/s]1,7 10 [m].

p 7,1 10 [eV]

−−λ = = =

i i i i ii

b) 0

1K 50[keV] E (electrón).

10= ; Es aconsejable usar mecánica relativista.

( ) ( )( )

22 2 2 2 22 20 0 0 00

50 0

pc E E E K E K 2E KE E pc

E E K pc K K 2E 2,310[eV] .

= − = + − = += + ⇒

= + = + = i15 8

12B 5

h 4,110 3105,3 1 0 [m]

p 2,310

−−λ = = =

i i i ii Notar que es más pequeña que en caso (a).

2.

[ ]J s / m

mp mv 755,0 kg

s = =

i

i i14243

, 34

36B

6,610 [Js]1,810 [m].

75 5,0[Js/m]

−−λ = ≈

i i ii i

Bλ resulta muy pequeño al compararlo hasta con el tamaño de un núcleo atómico. Se

considera que estas condiciones no revelan el comportamiento ondulatorio de la materia.

3. Un electrón ve a un átomo cuando la longitud de onda del electrón es comparable altamaño atómico, es decir:

155

B e 10B

h 4,110 [eV s]0,1[nm] p 4,110 [eV s / m]

10 [m]

−−

−λ = ⇒ = = =λ

i i i i

=i i 4ep c 1,210[eV] . Vea ejercicio 1 y concluya que en este caso es aconsejable usar

mecánica no-relativista.

2 4 86e e

e e 2 5e e

p p c 1,210 310p m v v 7,010 [m/s ]

m m c 5,1110= ⇒ = = = =

i i i i iiv 0,02 c c⇒ ; i =

Page 55: Curso de física relativista - cuantica

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55

4.

4.4

K = 0 U = 0

U = eV K = eV

2

e

peV

2m= ;

e

h hp 2m eV

λ = ⇒ λ = ⇒i

349

31 19

6,6 1 0 [J s] 1 1,2210 [m]

V V2 9,110 [kg]1,610 [C]

−−

− −λ = =

i i i ii i i i

5. = ⇒ =V 40[kV] K 40[keV]

2ep

K2m

= 2e ep 2mK p c 2m c K⇒ = ⇒ =i i i

ep c 251140[keV] 202[keV]= =i i ;15 8

B 3e e

h hc 4,110 310[m]

p p c 20210

λ = = =i i i

i−= i 126,110 [m] .

Teóricamente, podría observarse distancias tan pequeñas como Bλ obtenido más arriba. Note

que se hizo un cálculo no relativista, por ser más simple. Para la energía dada se requiere hacerel cálculo con mecánica relativista, como en el ejercicio 1 b) El resultado varía poco y puededecirse que teóricamente sería posible observar distancias del orden de 1110 [m]− .

6. a) 14B 10 [m]−λ ≤ . Los resultados del problema 1, indican que en este caso el electrón

debe ser tratado con mecánica relativista.

Del problema 1, parte b) : ( )e 0p c K K 2E= +i . Además, Be

hp

λ =

( )−

⇒ + = = = λ

i i i i i ?2 215 8 28 2

0 014B

hc 4,110 310 [eV m]K(K 2E ) 1,210 [eV] E

10 [m]

Resolviendo la ecuación de 2° grado, para K se obtiene:

( ) ( )2

2 22 5 8 50 0

B

hcK E E 5,1110 1,210 5,1110 [eV]

= + − = + − λ

i i i

Page 56: Curso de física relativista - cuantica

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56

80K 1,210 [eV] E= i ? . Note que numéricamente ha resultado 8

eK p c 1,210 [eV].= =i i Al

calcular ep c al principio y observar que e 0p c E? , de inmediato se puede concluir que

eK p c= . Para comprenderlo bien repase dinámica relativista.

b) No. El modelo de Bohr muestra que las energías de electrones atómicos son de orden10[eV], ....

7. 27 27n np m v 1,710 [kg] 0,4[m/s] 0,6810 [Js/m]− −= =i i i ; i i

a) 34

7B 27

n

h 6,610 [J s]9,7 1 0 [m]

p 0,6810 [Js/m]

−−

−λ = = =i i ii i

b)

..

7

1 3

31

9,710y D 10 [m]

2d 210y 4,9 1 0 [m] 4,9[mm]

λ⇒ = =

= =

ii i ii

c) No.

8. =K 1,0[MeV] ; 0E (proton) 938[MeV]; ; ⇒= 0K E usar mecánica no relativista.

( )222

p2p p

pcpK pc 2K m c

2m 2m c= = ⇒ = ii ; pc 21938[MeV] 43,[MeV]= i i ; ,

p 5%p 0,05p 2,2[MeV / c ]∆ = = =

15 813

x 6x

h 4,110 [eV s] 3 1 0 [m/s]x p h x 5,610 [m]

p 2,210 [eV]

−−∆ ∆ ≥ ⇒ ∆ ≥ =

∆i i i ii ; ii

mínima incertidumbre en su posición: 13x 5,610 [m].−∆ = i

θ = λ

Interferencia1

dsen dedos fuentes2

enfase .....

1ysen

Dθ ;

Page 57: Curso de física relativista - cuantica

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57

9. a) Si la pelota se suelta desde el punto (D,H),entonces cae al suelo en el punto ( )± ∆D x,0 . x∆

aparece como consecuencia del principio de

incerteza, aplicado al instante de partida, lo cualgarantiza una velocidad horizontal v0.

Clásicamente: 2

0

1y(t) H gt

2x(t) D v t

= −

= +

∆2 x

Llegada al suelo : 1 1

2Hy(t ) 0 t

g= ⇒ = y entonces : 1 0 1x x(t ) D v t .∆ = − = i

La incerteza del momentum lineal es la misma al principio que al final : xx p2

∆ ∆ ≥hi ,

entonces : 1 / 4

1

x h h 2Hx m x

t 4 2 m g ∆

∆ ≥ ⇒ ∆ ≥ π π i i i

b) 16x 3,610 [m]−∆ ≥ i

10.2 2 x

(x) senL L

π ψ =

; π = ψ =

∫ ∫L / 4 L / 4

2 2

0 0

2 2 xP dx sen dx

L L

1 1áreaachurada: L4 2

2 1P (área bajo la curva dibujada)

L 4=

i

i14444444244444443

2 1 1 1P L

L 4 2 4= =i i

Notar que: ψ =∫L 2

0dx 1 , donde la integral representa la probabilidad de encontrar al electrón

en el intervalo 0 x L≤ ≤ .

Se calcula la integral con la ayuda de la gráfica anterior:

=

= =

i

i i1444444244444431 1L area del rectangulo2 2

2 2 1area bajo la curva dibujada L 1

L L 2

Page 58: Curso de física relativista - cuantica

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58

11. a)

xL0

Es evidente que x L∆ ≤ pues la partícula está

restringida a estar dentro del pozo infinito.Entonces, xx p h∆ ∆ ≥i .

x

h hp

x L⇒ ∆ ≥ ≥

b)2p

E2m

= .

Usando la estimación anterior, como valor de p; es decir, haciendo = ∆ xp p , se estima

( )2 2

2

p hE

2m 2mL∆

= = . Esto es comparable a la energía del estado base: 2

1 2

hE

8mL= .

Luego, la estimación dada es muy buena.

12.2 2

2n 12 2

h hE n E

8mL 8mL= ⇒i ; 2 1E 4E= ; 3 1E 9E= ; 4 1E 16E=

n=4

n=1

4 1 11

chƒ h E E 15E= = − =λ

Otras transiciones de emisión:

→ =λ

→ =λ

→ =λ

→ =λ

→ =λ

4 2 12

3 1 13

4 3 14

3 2 15

2 1 16

hcE E 12E

hcE E 8E

hcE E 7E

hcE E 5E

hcE E 3E

Energía del fotón parauna transición directa.

Page 59: Curso de física relativista - cuantica

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59

El paso de 4E hacia 1E puede hacerse de diferentes maneras, pasando por estados

intermedios.

4 1E E→ : un fotón: 1λ

4 2 1E E E→ → : dos fotones: 2 4,λ λ

4 3 1E E E→ → : dos fotones: 4 3,λ λ

4 3 2 1E E E E→ → → : tres fotones: 4 5 6, ,λ λ λ

Nota: Las longitudes de onda han sido ordenadas de menor 1( )λ a mayor 6( )λ

13. a) E 0=2 2x / L(x) A e−ψ = i

Ecuación de Schröedinger :2

''(x) U(x) (x) E (x)2m

− ψ + ψ = ψh i

Derivando :2 2x /L

2

2x'(x) A e

L− ψ = −

i i ;

2 2 2 22

x / L x / L2 2

2x 2'' A e A eL L

− − ψ = − −

i i i i

ψ = ψ −

i

2

2 2

2 2x''(x) (x) 1

L L

Sustituyendo en la ecuación Schröedinger:

2 2 2 2

2 2 2 2

2 2x 2x(x) 1 U(x) (x) 0 U(x) 1

2m L L mL L

− ψ − + ψ = ⇒ = −

h hi

b)

cero

Este es un potencial armónico

Page 60: Curso de física relativista - cuantica

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60

7. ÁTOMOS Y TRANSICIONES

CAPÍTULO 42

1. a) =n 3 ; 0,1,2=l ; m 0, 1,....= ± ±l l .

Identificando cada estado con tres números cuánticos: ( )lln, , m todos los estados con

=n 3 son: ( )3,0,0 ( )3,1,0 ( )−3,1, 1 ( )3,1,1 ( )3,2,0 ( )3,2,1 ( )−3,2, 1 ( )3,2,2 ( )−3,2, 2 .

Son 9 estados (sin incluir spin electrónico).

b) = − i2

n 2

ZE 13,6 [eV]

n; =n 3 ; =Z 2 ⇒ = − ≈i3

4E 13,6 [eV] 6,0[eV]

9.

2. La función dada depende de r y no de las coordenadas θ ϕy . Entonces, la probabilidad

de encontrar al electrón en un cascarón esférico de espesor dr es:

2 2P(r)dr 4 r dr= ψ πi

Luego, basta encontrar un máximo de la función 2 2P(r) 4 r= ψ πi .

−π= ii i

0

4r / a

3 20 0

4 rP(r) e

3(2a ) a

Derivando e igualando a cero tenemos:

=dP

0dr

− ⇒ − =

0

4r / a3

0

r4r e 0

a −

⇒ − = ⇒

0r / a3

0

rr 4 e 0

a

Tres soluciones r=0: mínimo ; r=4a0 : máximo, → ∞r : mínimo.

La densidad de probabilidad radial correspondiente al máximo es:

−−π

=i 4

10

0

128 eP(4a ) [m ]

3a

Page 61: Curso de física relativista - cuantica

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61

3. a) =n 1 ; =l 0 ; =lm 0 ; =1

s2

; = ±s

1m

2 ( )⇒ =i i i i i 21 1 1 1 2 2estados 2 1

b) =n 2 ; 0,1=l

= = = = ± ⇒ = = ± = = ± ⇒ =

l

l

l

l i i i i

s

s

1 10, m 0, s , m 2 estados

2 21 1

1, m 0, 1, s , m 1 1 3 1 2 6 estados2 2

Total 8 estados

( )i 22 2 .

e) =n 5 ;

s

s

s

s

1 10, m 0, s , m ...11112 2estados

2 21 1

1, m 0, 1, s , m . . .11312 6estados2 21 1

2, m 0, 1, 2, s , m . . .11512 10estados2 21 1

3, m 0, 1, 2, 3, s , m . . .11712 14estados2 21

4, m 0, 1, 2, 3, 4, s

= = = ± =

= ± = = ± =

= = ± ± = = ± =

= ± ± ± = = ± =

= ± ± ± ± =

l

l

l

l

l

i i i i

i i i i

l i i i i

i i i i

s1

, m .. .11912 18estados2 2

= ± =

i i i i

Total 50 estados ( )i 22 5 .

4. =n 4 ; =l 3 ; =lm 3

a) ( )= + =l l ih hL 1 12 b) = =l ih hZL m 3 .

θ

L

LZ

El ángulo entre L y Lz está dado por :

ZL 3 3 3cos 30

L 23 4 4θ = = = = ⇒ θ ≈ o

i.

5. a) =n 7 : capa ; subcapas correspondientes poseen =l 0,1,2,3,4,5,6

s p d f g h i

y se denominan 7s, 7p, 7d, 7f, 7g, 7h y 7i.

De acuerdo al enunciado deben llenarse en el orden que están escritas, pues + ln está en

orden ascendente: 7,8,9,10,11,12 y 13.

Page 62: Curso de física relativista - cuantica

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62

b) Conviene determinar primero la estructura electrónica de los elementos mencionados.

Para ello se usa el diagrama:1s 2 2 Z=15

2s 2p 8 10 2 2 6 2 31s 2s 2p 3s 3p

3s 3p 3d 18 28 ⇒ valencia 3

4s 4p 4d 4f 32 60 (subcapa 3p incompleta,

5s 5p 5d 5f 5g le faltan 3 electrones)

6s 6p

7s

Z=47 2 2 6 2 6 2 10 6 2 91s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d

⇒ valencia 1 (subcapa 4d incompleta, le falta un electrón)

Z=86 2 2 6 2 6 10 2 6 2 10 6 2 14 10 61s 2s 2p 3s 3p 3d 4s 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p

⇒ valencia 0 : (subcapas completas).

6.

mín. fV K 0⇒ = ; luego : ním. mín

hceV hf V

e= ⇒ =

λ34 8

3mín. 19 10

6,610 310V [V] 12, 10 [V] 12[kV]

1,610 10

− −= = =

i i i ii i .

7. a) Usando planteamiento del ejercicio anterior (pues fmínima fmáxima K 0λ ⇒ ⇒ = ),

entonces : = ⇒ λ =λ imin.

min.

hc hceV

e V.

−−λ = =

i i i i ii15 8

10min. 3

4,110 [eV s] 3 10 [m/s]0,2510 [m]

5010 [eV].

b) λ = 0,0709[nm] ; = =λmin.

hcV 17,5[kV]

e.

6

= +i fK K hf

= = λiK eV ; c f

Page 63: Curso de física relativista - cuantica

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63

c) Fotón:15 8E hf hc hc 4,110 [eV s] 3 10 [m/s]

EE Ec f

−= ⇒ = ⇒ λ = = λ= λ

i i i i

λ =i 712,310

[m]E

, si E está en [eV] . Entonces : λ =1230

[nm]E

Use usted un valor más preciso de h en i[eV s] para que obtenga exactamente lo pedido en el

ejercicio.

8.−

−− = ⇒ λ = =λ

i i i i15 8

73p 3s

hc 4,110 310E E 5,9 10 [m]

2,1

9.

=λfoton

hcE = ipulso fotonE N E

6

2pulso

10[ns]10 [W]

E Potenciamedia duración 10 [J]−= × =14243144424443

− −

−= =

i i ii i i i2 9

1634 8

10 [J] 694,3 10 [m]N 3,510 fotones

6,610 [J s] 3 10 [m/s].

λ ; 590[nm] : visible!! (amarillo)

Page 64: Curso de física relativista - cuantica

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64

8. MOLÉCULAS

CAPÍTULO 43

1. a)( )

( )−

−= = =

i i ii ii

29 1929c

22 10

9, 10 1,610k eF [N] 2,9 10 [N]

r 2,8 10.

b) 2 9 19

0c10

k e 9 10 1,610U [eV] 5,110 [eV]

r 2,810

−= = =

i i i i ii

2. a) = −12 6

A BU

r r ; = ⇒ − + = ⇒ =13 7 7 13

0 0 0 0

dU 12A 6B 6B 12A0 0

dr r r r r

⇒ =60

2Ar

B ; el mínimo ocurre en =

1/6

02ArB

.

b) ( )= − = − + = − +

0 212 60 0

A B A BE U r

2Ar r 2ABB

= − + =2 2 2

2

AB B BE

2A 4A4A

c)

( )

1 / 612010

0 60

2260

120

2 0,12410r [m] 0,74210 [m]

1,48810Para moléculaH

1,48810E [eV] 4,464[eV]

4 0,12410

−−

= ≈

= =

i i iii

i i

Page 65: Curso de física relativista - cuantica

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65

3.

fotón absorbido: λ =5 1,35[cm] ;

− =λ6 5

5

hcE E

+=

h2

J0

J(J 1)E

2I: Niveles rotacionales.

− = − = =i h i h h h2 2 2 2

6 50 0 0 0

6 7 5 6 12 6E E

2I 2I 2I I

a)2

1 00

E EI

− =h

; − =λ1 0

0

hcE E 6 5 0

1 0 5

E E6

E E− λ

⇒ = =− λ

⇒ λ = λ =i0 5 6 8,10[cm] ; −= = =λ

i ii8

92

0

c 310[m/s ]ƒ 3,70 10 [Hz]

8,110 [m]

b)− −λ λ

= ⇒ = = =λ π π π

h i i i i ii i i2 2 34 2

25 50 2 2 2 8

0 5

6 hc 6h 6h 6 6,610 1,3510I [kgm ]

I 4 hc 4 c 4 310

−⇒ = i i44 20I 0,45 1 0 [kg m ] : momento de inercia.

4.

r

mm

a)( )−

− −

+= ⇒ = = =

π π

ih hi i i i

2342 2 2

J 1 2 2 48 190 0 0

6,610J(J 1) 2 hE E [eV]

2I 2I 4 I 4 4,710 1,610

−= i 21E 1,510 [eV].

λE1

E0

J=1

J=0

− − = = =

i i i2

2 27 10 20

1 1 1I m r 2 mr 1,6710 (0,7510 )2 2 2

−= i i48 20I 4,7 1 0 [kgm ] : momento de inercia.

Page 66: Curso de física relativista - cuantica

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66

b) =0E 0 − = ⇒ λ =λ −1 0

1 0

hc hcE E

E E

−−

−λ = =

i i i ii15 8

52

4,110 310[m] 8,210 [m]

1,510: fotón infrarrojo.

5.+

=h2

J0

J(J 1)E

2I ; −

−=

i ih2

J 10

(J 1) JE

2I

( )−− = + − + =ih h i

2 2

J J 10 0

JE E J 1 J 1 J

2I I

0 JJ J 1 J 2

J J 1

hc hcI J 1E E

J J−−

λ −− = ⇒ λ = ⇒ =

λ λhDatos: λ =a 0,1204[mm] ; λ =b 0,0964[mm] ; λ =c 0,0804[mm]

λ =d 0,0690[mm] ; λ =e 0,0604[mm]

λ=

λa

b

1,25 , λ

b

c

1,20 , λ

c

d

1,17 , λ

d

e

1,14

a a b c d

e b c d e

2,00λ λ λ λ λ

= =λ λ λ λ λ

i i i .

Suponiendo que los datos representan transiciones correspondientes a niveles puramente

rotacionales consecutivos;

( )( )( )

( )( )

( )( )

a

e

J 1 J 2 J 3J J2,00 2,00

J 1 J 2 J 3 J 4 J 4− − −λ

= = ⇒ = ⇒λ − − − − −

i i i = − ⇒ =J 2J 8 J 8

− −−⇒ = λ = =

π πi i ii i i ii i

3 342 47 2

0 a 2 2 8

h 0,120410 6,610I [kg m ] 2,710 [kg m ]

c 310

EJ

EJ-1

λ

∆ = −J 1 : emisión.

Page 67: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

67

9. FÍSICA NUCLEAR

CAPÍTULO 45 (EL NÚCLEO, RADIOACTIVIDAD, REACCIONES)

1. Densidad de núcleos : ( )

3N 315

A[u/m ]

41,210 A

3−

ρ =π i

Masa :45

6 273

310M V 1010 [u]1,6610 [kg/u]

4 (1,2)− −= ρ =

πii i i i i ; ; i 12M 2,210 [kg]

2. Å;0a 0,5[ ] Densidad del átomo H : A30

1[u]4

a3

ρπ

;

Densidad del núcleo H:( )

N 315

1[u]4

1,2103

−ρ

π;

i

( )( )

ρ = ρ

i; i ; ii

311 312 13N

3 45A

5 10 510 7, 10

1,21,2 10

3. ρ = TT

T

MV

ρ = NN

N

MV

= ⇒ ρ = ρ iT N T T N NM M V V

= π 34V R

3( )⇒ ρ = ρ ⇒ = ρ ρi i 1/33 3

T T N N N T T NR R R R /

( )= i i i i ;1/36 3 17NR 6,3710 5,5210 /2,310 [m] 184[m]

4. a) Oro: 19779 Au α4

2He:

0

Page 68: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

68

+ =K U constante ⇒( ) ( ) −

−= = =i i i i i

i9 19 2

i f c 15

2e 79e 9 10 2 79(1,610 )K U k

d 101012 7

iK 3,6 1 0 [J] 2,310[eV] .−= =i i

b) ci i

k (e)(79e) 1K K 11[MeV]

d 2' = = ; .

c) α=iK 2eV ; i pK eV' = pi

i p

VK 2eV 12 1

K ' eV V 2α

α

⇒ = ⇒ = =i

5. 5626Fe ( ) ( )56 2

26 p n bM Fe 26m 56 26 m E / c= + − −

2b55,934939[u] 2 6 1,007276[u] 3 0 1,008665[u] E / c= + −i i .

2 2 2bE 0,514187[u] c 0,514187[u] c 931,5[MeV/u c ]⇒ = =i i i i

;bE 479[MeV] ; ;bE8,6[MeV]

A( )=A 56

6. a)2 9 19

5c 15

e 910 1,610 eU k 4,810[eV] 0,48[MeV]

d 3,010

−= = = =

i i i ii iib) ;0E (electron) 0,511[MeV]

Ambos valores son del mismo orden de magnitud.

7. −= i t / TA(t) A(0) 2 ; 2 / TA(2) A(0) 2−= i ; −= ⇒ = 2 /T1 1A(2) A(0) 2

5 5

2 /T 2 2ln25 2 ln5 ln2 T 0,86[h]

T ln5= ⇒ = ⇒ = ;

−λ = = = 1ln2 1ln5 0,80[h ]

T 2

8. = λA N T ln2 N A/ AT/ln2λ = ⇒ = λ =−

=i i i i i i ; i

610 90,2 10

N 3,710 8,1243600 7,5 10ln2

(núcleos).

Page 69: Curso de física relativista - cuantica

Programa ICIPEV – AutoAyuda FIS 140

69

9. a) ( )=*65

28X Ni b) = 21182X Pb c) = 55

27X Co

d) −=X e e) 11X p=

10. = +i i2 2inicial final liberadaM c M c E

( ) 2liberada 2

MeVE 238,050786 234,043583 4,002603 c [u]931,5

u c = − −

i i i i;liberadaE 4,3[MeV]

11. Despreciando la velocidad de retroceso del núcleo 24390Th , la energía cinética

de la partícula α es aproximadamente 4,3[MeV]. . Sin hacer tal aproximación,

tenemos:

Conservación de momentum lineal :

= αi iM(Th) v M( ) V

Conservación de energía :

= + αi i2 2liberada

1 1E M(Th) v M( ) V

2 2

2liberada

K

12

M( )E M( ) V 1

M(Th)α

α ⇒ = α +

i

142434,3K 4,2[MeV]41234

α⇒+

; ;

12. 1 7 4 41 3 2 2p Li He He+ → +

2 2 2

1,007276[u] 7,016005[u] 4,002603[u]

m(p) c m(Li) c 2 m(He) c Q+ = +i i i123

2 2Q 0,018075[u] c 931,5[MeV/uc ] 16,8[MeV]= i i i ;Este resultado es muy parecido al valor medido experimentalmente, que es : 17,3[MeV].

Page 70: Curso de física relativista - cuantica

70

CAPÍTULO 46 (FISIÓN Y FUSIÓN)

1.

90 144 138 54 0

235 1 90 143 192 0 38 54 0

90 142 138 54 0

Sr Xe 2 nU n Sr Xe 3 n

Sr Xe 4 n

+ +

+ → + + + +

Aparecen los isótopos de Xenón indicados.

2. 2 2 2 2 2n n liberada

inicialE 219.883[MeV]

m c m(U) c m(Ba) c m(Kr) c 3m c E+ = + + +;

i i i i i1442443

Usando los datos del problema, se obtiene: liberadaE 200[MeV];4

liberada inicialE /E 9 10−; i

3. a) útil liberadaE / E 0,30= 16útilE 1,0[GW]1,0[año] 3,1510 [J]= i ; i

lib.E 200[MeV]N= i úti lEN

200[MeV] 0,30⇒ = i

16

23A

N 3,1510 [J] 235[g]M 235[g]

N 0,3 200[MeV] 6 10= =

i ii i i i31,2910 [kg]; i

b) 3

3

3 3

1,2910 [kg]M M MR R 2,54[dm]4 4 4V R 18,7[kg/dm ]3 3 3

ρ = = ⇒ = = ⇒π πρ π

i ;i

Page 71: Curso de física relativista - cuantica

71

4. a)

Inicialmente Finalmente(justo antes de fusionarse)

K U constante,+ = con Uinicial = 0 y Kfinal = 0. Entonces,

c 1 21 2

k Z e Z eK K Kd

= + = i

91 2 1 2

eK 9 1 0 Z Z [eV] 0,144 Z Z [MeV]d

= =i i i i

b) 21D H= , 3

1T H= , 1 2Z Z 1= =

K 0,144[MeV]⇒ = (para ambas reacciones).

Page 72: Curso de física relativista - cuantica

72

IV. MECÁNICA ESTADÍSTICA

1. GLÓBULO

Sistemas de muchas partículas tales como: el aire en una habitación, la radiación

electromagnética en una cavidad, o los electrones en un metal, requieren mecánica estadística para

el estudio de sus propiedades. Los tres sistemas mencionados tienen características comunes y se

estudian mediante un modelo de gas ideal en que las partículas no interactúan entre sí, y llegan al

equilibrio térmico mediante intercambio de energía a través de las paredes del recipiente. En el

estado de equilibrio, los sistemas poseen una temperatura definida y una distribución determinada de

la energía entre las partículas.

La energía total U de un sistema de partículas se calcula sumando la energía de cada una de

ellas (pues no hay energía de interacción entre ellas). Para un sistema de niveles discretos de

energía

,i

i iE NU = ∑iNiE

donde iN es el número de partículas en el nivel de energía iE . Para sistemas en que la energía es

una cantidad continua,

( ) ,dNU EdN E dEdE

= =∫ ∫donde dN es el número de partículas con energía entre E y E dE+ . Esta manera de calcular la

energía también es útil para sistemas que poseen un volumen macroscópico, pues en tal caso la

separación entre niveles adyacentes es muy pequeña.

0

E

E + dE

E

Page 73: Curso de física relativista - cuantica

73

Conviene distinguir entre el número de partículas en un nivel de energía ( )iN y el número de

estados disponibles correspondientes a dicho nivel ( )ig . En la figura se ilustra el caso de un nivel

con 7 estados disponibles ( )7ig = , tres de los cuales están ocupados ( )3iN = .

En un estado de equilibrio térmico, el número de partículas en un nivel de energía iε ( o número

de estados ocupados con energía iε ) se construye como el producto del número de estados

disponibles ( )ig por la probabilidad de ocupación.

La probabilidad de que sea ocupado un estado de energía iε depende de :

a) el tipo de partículas que constituyen el sistema, y

b) la relación entre la longitud de onda De Broglie ( )Bλ de una partícula típica y la distancia

típica ( )d entre ellas.

Si B dλ = , las partículas obedecen a la estadística clásica de Maxwell-Boltzmann, y el

número de estados ocupados con energía iε es :

( )/i kTi iN g e α ε− += .

Si B dλ ∼ , las partículas obedecen a una estadística cuántica. Acá aparece una distinción entre

sistemas de partículas con spin entero ( 1, 2, ... ) o bosones que obedecen a la estadística de Bose-

Einstein, y partículas con spin semientero (1/2 , 3/2, ...) o fermiones que obedecen a la estadística de

Fermi-Dirac. Para ambos casos, el número de estados ocupados con energía iε se escribe :

/i

ii k T

gNeα ε δ+=

+ ,

donde 1δ = − para bosones, 1δ = para fermiones. El parámetro α determina para cada sistema

en particular.

Notar que para niveles de energía tales que δ se puede despreciar en comparación con la

exponencial, se obtiene una aproximación que coincide con la estadística clásica.

NÚMERO DE ESTADOS DISPONIBLES EN UNA CAJA CÚBICA DE PAREDES DURAS.

Page 74: Curso de física relativista - cuantica

74

El estado de una partícula se describe con tres números enteros positivos ( ), ,x y zn n n asociados a

las ondas estacionarias en cada una de las tres direcciones espaciales paralelas a los lados de la

caja, más los números que describen el estado interno de una partícula. La energía de una partícula

es función de ( )1/22 2 2x y zn n n n= + + .

En un sistema de coordenadas ortogonales ( ), ,x y zn n n cada punto con ,x y zn n ny enteros

positivos representan η estados, siendo η el número de estados internos de una partícula. Para

contar aproximadamente muchos estados, conviene asociar a cada punto con , ,x y zn n n enteros

positivos un volumen cúbico de lados 1x y zn n n∆ = ∆ = ∆ = y a continuación calcular el volumen

correspondiente al conjunto de puntos que se desea contar.

Entonces, el número de estados ( )dng n en el rango comprendido entre n y n dn+ , corresponde

a 1/8 del volumen del cascarón esférico de radio exterior n y espesor dn . Es decir,

( ) 21 48g n dn n dnη π= i .

Cascarón deradio n yespesor dn.

Puntos de la red conseparación unitaria.Definen una celda enel espacio n devolumen unitario. xn

zn

yn

Partículas cuánticas. La energía de una partícula se expresa como 20E nε= i , y el número de

estados con energía en el rango comprendido entre E y E dE+ que resulta de sustituir 2n dn en

la expresión anterior es :

( )0

1/2

04Eg E dE dEπη ε ε

= i .

La cantidad ( )g E se denomina densidad de estados disponibles. La cantidad ig que se usa cuando

los niveles son discretos, se denomina degenerancia o número de estados disponibles.

Page 75: Curso de física relativista - cuantica

75

Radiación. La energía de un fotón se expresa como 0E nε= i , y el número de estados con energía

en el rango comprendido entre E y E dE+ que resulta de sustituir 2n dn en la expresión para

( )g n dn es:

( )0

2

02Eg E dE dEπη ε ε

= i .

Note que la densidad de estados para fotones (partículas sin masa) resulta diferente que para

partículas con masa.

Page 76: Curso de física relativista - cuantica

76

2. PROBLEMAS – 10 EJERCICIOS

1. Una partícula tiene la misma probabilidad para estar enA que en B. Determine la cantidad de posibilidades para 3 y

para 1023 partículas.

2. Un sistema posee los niveles de energía (de una partícula) igualmente espaciados: 0, E,

2E, 3E, 4E, 5E, .... con degenerancias: 2, 1, 2, 1, 2, 1, ..... respectivamente. Representegráficamente las posibles maneras de repartir cuatro partículas (con energía total 4E) en los

niveles de energía indicados, si :

a) las partículas son bosones,

b) las partículas son fermiones.

3. N partículas clásicas en equilibrio a temperatura T se reparten en dos niveles de energía: 0 y E(ambos con la misma degenerancia).

a) Determine la energía promedio ( por partícula ).

b) Examine el límite E kT= y comente.

c) ¿A qué temperatura T la cantidad promedio de partículas en el nivel de energía E es 1/4

del total?

4. Los posibles valores de energía para un sistema de partículas clásicas es

0, E, 2E, ... , nE, ....

a) Determine la energía media de las partículas.

b) Examine el límite de E kT= .

5. Si en un gas ideal clásico se cumple que E pc= , determine la energía promedio por partícula.

6. Estime a qué longitud de onda emite máxima radiación el cuerpo humano.

7. En el Sol la temperatura interior es de 107[K] y la concentración de electrones es de 1030[cm-3].

¿Qué distribuciones usaría para calcular propiedades térmicas? Justifique.

Page 77: Curso de física relativista - cuantica

77

8. ¿Qué estadística se aplica a electrones en un trozo de Cu a temperatura ambiente y a

temperatura de 8[K]?

9. Calcule el número de electrones libres por átomo de un metal con energía de Fermi de

3,8[eV], función de trabajo de 2,5[eV], masa molar de 138[g/mol], densidad de 3,78[g/cm3] y a

temperatura ambiente.

10. Determine la corriente promedio y la potenciamedia disipada en la resistencia 10R = Ω . Cada

batería tiene la misma posibilidad de estar encualquiera de las posiciones:

durante cada segundo.

Page 78: Curso de física relativista - cuantica

78

3. SOLUCIONES – 10 EJERCICIOS

1. : número de partículas en zona A.An

:número de partículas en zona B.Bn

= + : número total de partículas.A BN n n

Consideremos todas las posibilidades para diferentes valores de N.

= 2N

An 0 1 2

Bn 2 1 0

Posibilidades 1 2 1 Total : 4 = 22

= 3N

An 0 1 2 3

Bn 3 2 1 0

Posibilidades 1 3 3 1 Total : 8 = 23

= 4N

An 0 1 2 3 4

Bn 4 3 2 1 0

Posibilidades 1 4 6 4 1 Total : 16 = 24

En general :

An 0 1 2 3 N-1 N

Bn N-1 N-2 N-3 1 0

Posib. 1 N ( )− 1

2

N N N 1 Total : 2N

( ) ( )( )

− − = = − i

1 2 !2 3 3! 3 !3

NN N N NN

Probar por inducción que : =

=

∑0

2N

N

k

Nk

Page 79: Curso de física relativista - cuantica

79

2. a) Bosones

4E

3E

2E

E

0

Para bosones, no hay restricción a la ocupación en cada nivel. Puede haber un

número arbitrario de bosones en el mismo estado cuántico.

b) Fermiones

4E

3E

2E

E

0

Para fermiones, la ocupación no puede exceder a la degenerancia, en cada nivel.

3. E −= i / BE k TEn g e

0 = i 00n g e

( )−= + = +0 1 BE k TEN n n g e

−= + =i i i00 BE k TT EE n E n g E e

Entonces ;

a) ( )− −

−−= =

++i i

11

B B

BB

E k T E k TT

E k TE k T

E g E e E eN eg e

b) Si = BE k T ; − ; 1BE k Te ⇒ ; 12

TE EN

Notar que en estas condiciones; = =012En n N .

Page 80: Curso de física relativista - cuantica

80

4. Supondremos que la degenerancia es igual para todos los niveles ( )g .

( ) −= i n BE k Tnn E g e

( )

− −

∞− − −

=

= + + +

= + + + = ∑

i i LLL i

2

2

01

B B

B B B

E k T E k T

E k T E k T nE k T

n

N g g e g e

g e e g e

( ) ( ) ( )− −

∞−

=

= + + +

= + + +

= ∑

i i i L

i i i i L

i

2

0

0 0 2 2

0 2B B

B

T

E k T E k T

n E k T

n

E n E n E E n E

E g e E g e

g n E e

Probar que ∞

−−

==

−∑

0

11

B

B

n E k TE k T

ne

e, por tratarse de una serie geométrica.

Entonces, con β = 1Bk T

; β

∞−

=

∂ = − = −∂ ∑

0

Bn E k TT

n

N g nEe E .

Luego;

−=−

i 11 BE k TN g

e;

( )β

−∂ =∂ −

21

B

B

E k T

E k T

gEeN

e ;

( )−

−=

−2

1

B

B

E k T

T E k T

gEeEe

a) −

−=−i

1

B

B

E k TT

E k T

E E eN e

b) Si = BE k T ; − −; 1BE k TBe E k T ;T

BE k TN

5. Consideremos que el gas está encerrado en un cubo de paredes duras. Las funciones de ondadeben anularse en los extremos del cubo. Entonces, en cada una de las tres direcciones espacialesse cumple: π=i ik L n , con = 1, 2,. . .n . El momentum p es de magnitud:

π= + + = + + =h h i2 2 2 2 2 2

2x y z x y zhp k k k n n n n

L L

Luego; = = i2hcE pc n

L. En estas condiciones la densidad de estados es (ver Glóbulo de

Mecánica Estadística) : ( )( )π=

3 2

34 L Eg E

hc.

Page 81: Curso de física relativista - cuantica

81

Entonces; ( ) ( )α∞

− += ∫ i

0

BE k TN e g E dE ; ( ) ( )α

∞− +

= ∫ i i0

BT

E k TE e E g E dE

( )( )

−= = =

ii

i

34

03

2

0

3!3

2!

B

B

BTB

B

E k T

E k T

E e dEk TE

k TN k TE e dE

6. λ −=i i i32,8978 10 [ ]máx T m K : Ley de Wien.

= + =273 37 310[ ]T K

λ µ−

−=i ; i ∼i

35

2

2,8978 100,93 10 [ ] 10[ ]

3,10 10máx m m .

7. En el interior del Sol hay radiación, electrones y protones (esencialmente). Para la radiación se

usa la estadística de Bose-Einstein. Para las partículas, se calculan y comparan la longitud de ondade Broglie ( )λB y la distancia media ( )d entre partículas.

=

30

3

101

N electronesV cm

⇒ [ ]− − = ⇒ = ;

13

30 3 1010 10V Vcm d cmN N

.

La distancia media entre partículas es [ ]−; 1210d m .

Para estimar λB se usan : ∼ BE k T ; ∼2

2pEm

; λ =Bhp

.

Entonces; λ

=2

22Be B

hk Tm

λ⇒ ;2

Be B

hm k T

λ−

−= i i i i; ; ii i i i i

15 812

2 76

4,1 1 0 [ ] 3 10 [ / ] 43, 10 [ ]2 1 102 0,511 1 0 [ ]

40 300

B

e B

eV s m shc mm c k T eV

( )

00

BB

B

k Tk T

k T

[ ] =; 01 300[ ]

40eV a T K

Para electrones λ >B d ⇒ debe usarse estadística cuántica de Fermi-Dirac.

Para protones λ ;B d ⇒ también debe usarse estadística de Fermi-Dirac.

Constante de Boltzman

−= i 231,38 10 [ / ]Bk J k

Page 82: Curso de física relativista - cuantica

82

8. Datos para Cobre: ρ = 38,9 /g cm , = 63,5[ / ]g molM .

a) Se requiere calcular aproximadamente la distancia media ( )d entre electrones libres, y la

longitud de onda de Broglie ( )λB . Consideremos un electrón libre por átomo, [ ]= 300ambienteT K y

el dato [ ]; 140B ambientek T eV .

Puesto que =

13Vd

N , entonces :

ρ

ρ ρ

= = = =

= = =

i ii

i i i3

231 63,5 /

8,9 6 10

CuC u Cu

Cu

A Cu

A A

mV V Vm mN N m M

N mcm átomo

N NM

− ; 23 310 /V cm átomoN

[ ]− −⇒ ; i ; i8 102, 10 2, 10 [ ].d cm m

Para obtener λB se procede como en el ejercicio anterior.

λ = =; ;i2 22 2 2

Be e e B

h h hc hcp m E m c E m c k T

[ ]λ− −

−= =i i i i i ; ii i i

15 8 710

36

4,1 10 3 10 12 10 6, 72 101012 0,5 10

40

B m

Luego, λ >B d ; lo cual significa que se requiere la estadística cuántica de Fermi-Dirac.

b) A = 8[ ]T K , λB es aún mayor que en el caso anterior, y se sigue cumpliendo la condición

para usar una estadística cuántica de Fermi-Dirac.

Page 83: Curso de física relativista - cuantica

83

9. Datos: = 3,8[ ]FE eV ; φ = 2,5[ ]eV ; = 138[ / ]g molM ;

ρ = = i3 6 33,78[ / ] 3,78 10 [ / ]g cm g m

Consideremos electrones libres en una caja cúbica de paredes duras, a = 0[ ]T K . El resultado

pedido es casi independiente de la temperatura y el cálculo se simplifica enormemente a T = 0[K] .

En este caso ( ) πε

= i 1 23 20

24

g E E ,

con ε =2

0 28hmL

. ( Ver Glóbulo de

Mecánica estadística )

( )= ∫N n E dE ⇒ π πε ε= =∫i i3 / 2 3 / 2

1/2 3 2

0 00

2 2 234 4

FE

FN E dE E

( )= ∫ iTE E n E dE ⇒ π πε ε= =∫i i3 / 2 3 / 2

3 / 2 5 2

0 00

2 2 254 4

FE

T FE E dE E

Notar el importante resultado : = 35

TF

E EN

.

Tenemos :

( )π=

3 2 3

3

83

FmE LN

h⇒

( )( )

π= = =

3 22

3 3

8

3e Fm c EN N n

VL hc

: número de electrones por unidad de volumen.n

Numéricamente;

( )( )

π= =i ii i i

i

3 230 28 3

3

2 0,5 3,88 10 3,3 10 [electrón/m ]3 4,1 3

n

Finalmente;

= = =i i i i ielectrones electrones átomo A

átomos átomos átomos átomo A A

N N m N nVV VnN V N N m N M N

M

ρ= = =

i ii i i

28

6 23

3,3 10 1382

3,78 10 6, 10A

nNM

4 • 2

Page 84: Curso de física relativista - cuantica

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10. Consideremos N baterías en serie, n de las cuales poseen voltaje +v y −N n poseen

voltaje −v . El voltaje total es la suma : ( ) ( ) ( )= + − −iV n n v N n v .

Entonces,

( ) ( )= − i2V n n N v .

La corriente correspondiente es : ( ) ( )=

V nI n

R .

La potencia es : ( ) ( ) =2

V nP n

R .

La corriente media y la potencia media se obtienen haciendo el promedio ponderado, de

acuerdo al número de maneras de obtener cada valor ( )V n .

( ) ( )

( ) ( )

=

=

=

=

i

i0

0

N

n

N

n

I I n p n

P P n p n

Se deja las sumas como ejercicio.

Lo anterior se ilustra mostrando todas las posibilidades con algunos valores de N .

= 2N = 3N

=

= =

= =

=

+ + =

+ − =

− + =

− − =14424432

21= posibilidades de obtener 2 2

22 posibilidades de obtener 11

21 posibilidades de obtener 00

2 =2 4

2

1

1

0N

n

n

n

posibilidades

v v n

v v n

v v n

v v n

( )

( )

( )

( )

=

=

=

=

= =

+ + + =

+ + − =

+ − + =

+ − − =

− + + =

− + − =

− − + =

− − − =14444444244444443

31

3

33

2

33

1

3 10

32 8 posibilidades2

3

2

2

1

2

1

1

0

N

v v v n

v v v n

v v v n

v v v n

v v v n

v v v n

v v v n

v v v n

Por inducción probar el resultado dado anteriormente :

( )p n es la probabilidad de cada valor ( )V n .

( ) =2N

N

np n (ver ejercicio 1)

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( ) ( )

= = − 1 !

2 2 ! !N N

N Np nn N nn