República Bolivariana De Venezuela

Politécnico “Santiago Mariño”

Extensión -Barinas

Alumna:

Daylenis Ramos

CI 20.539.938

San Felipe, Julio de 2014

EJERCICIOS DE INTERPOLACION

1. Encuentre el 5lo g mediante interpolación lineal.

a. Interpole entre 4 = 0 ,6 0 2 0 6lo g y 7= 0 ,7781513log (2%)

b. Interpole entre 4 ,5 = 0 ,6 5 3 2 1 2 5lo g y 5 ,5= 0 ,7403627log (2%)

c. Calcule el error relativo porcentual para cada caso, sabiendo que 5 = 0 ,6 9 8 9 7 0lo g (1%)

Fórmula de Interpolación Lineal :

1 0

0 0

1 0

( ) ( )( ) ( ) ( )

f x f xf x f x x x

x x

donde: 0 1

4 , 7 ( ) lo g x x y f x x ;

a. Para 5x , (5 ) 0 ,6 9 8 9 7 0f , 4 = 0 ,6 0 2 0 6lo g y 7 = 0 ,7 7 8 1 5 1 3lo g

0 0 ( ) 4 ( ) 0 ,6 0 2 0 6f x lo g f x

1 1 ( ) 7 ( ) 0 ,7 7 8 1 5 1 3f x lo g f x

0 ,7 7 8 1 5 1 3 0 ,6 0 2 0 6(5 ) 0 ,6 0 2 0 6 (5 4 ) (5 ) 0 , 6 6 0 5 7 1

7 4f f

b. Para 5x , (5 ) 0 ,6 9 8 9 7 0f , 4 ,5 = 0 ,6 5 3 2 1 2 5lo g y 5 ,5 = 0 ,7 4 0 3 6 2 7lo g

0 0 ( ) 4 ,5 ( ) 0 ,6 5 3 2 1 2 5f x lo g f x

1 1 ( ) 5 ,5 ( ) 0 ,7 4 0 3 6 2 7f x lo g f x

0 ,7 4 0 3 6 2 7 0 ,6 5 3 2 1 2 5(5 ) 0 ,6 5 3 2 1 2 5 (5 4 , 5 ) (5 ) 0 , 6 9 6 7 8 7 6

5 , 5 4 , 5f f

El error es: 0 , 6 9 8 9 7 0 0 , 6 9 6 7 8 7 6

% 1 0 0 % % 0, 3 1, %0, 6 9 8 9 7 0

e x e

c. Error en el caso (a) es:

0 , 6 9 8 9 7 0 0 , 6 6 0 5 7 1

% 1 0 0 % % 5, 4 9 %0, 6 9 8 9 7 0

e x e

Error en el caso (b) es:

0 , 6 9 8 9 7 0 0 , 6 9 6 7 8 7 6% 1 0 0 % % 0, 3 1, %

0, 6 9 8 9 7 0e x e

El error porcentual redujo un 5,18%

2. Dado los datos:

x 1 2 2,5 3 4 5

( )f x 1 5 7 8 2 1

Calcule f (3,4) usando un polinomio de Newton de 2º y 3º grado.(5%)

Fórmula de Newton para el polinomio de interpolación:

2do Grado 2 0 1 0 2 0 1

( ) ( ) ( ) ( )p x A A x x A x x x x

3do Grado 3 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x A A x x A x x x x A x x x x x x2

( )p x

Donde 0 0 1 0 1 2 0 3 0 4 0

, , , , , ,A y A f x x A y A y A y

Tabla de Diferencias Divididas para obtener los coeficientes:

ix ( )

i iy f x

1,

i if x x 1 2

, ,i i i

f x x x 0 1 2 3, , ,f x x x x

1

0A 1

2 5

1 0 1

5 1, 4

2 1A f x x

2,5 7

1 2

7 5, 4

2 , 5 2f x x 2 0 1 2

4 4, , 0

2 , 5 1A f x x x

3 8

2 3

8 7, 2

3 2 , 5f x x

1 2 3

2 4, , 2

3 2f x x x

3 0 1 2 3

2 0, , , 1

3 1A f x x x x

4 2

3 4

2 8, 6

4 3f x x

2 3 4

6 2, , 5 , 3 3

4 2 , 5f x x x

1 2 3 4

5, 3 3 ( 2 ), , , 1, 6 7

4 2f x x x x

5 1

4 5

1 2, 1

5 4f x x

3 4 5

1 ( 6 ), , 2 , 5

5 3f x x x

2 3 4 5

2 , 5 5 , 3 3, , , 1,1 3

5 2 , 5f x x x x

3. Con los datos:

x 1 2 3 5 6

( )f x 4,75 4 5,25 19,75 36

Calcule f (4) usando un polinomio de interpolación de Newton de 3º grado (5%)

Polinomio de grado n para diferencias divididas de newton como:

0 1 0 2 0 1 0 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

n n nf x b b x x b x x x x b x x x x x x x x

En este caso, el polinomio es de 3er grado:

3 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x b b x x b x x x x b x x x x x x x x

Donde,

0 0

1 1 0

2 2 1 0

3 3 2 1 0

,

, ,

, , ,

b f x

b f x x

b f x x x

b f x x x x

i ix ( )

if x 1ra dif. div. 2da dif. div.

Sustituir Valores

0

0x

0( )f x

1, 0

1, 0

1, 0

( ) ( )f x f xf x x

x x

2 1 1 0

2 1 0

2 0

, ,, ,

f x x f x xf x x x

x x

2 , 1

2 , 1

2 , 1

( ) ( )f x f xf x x

x x

1 1

x 1

( )f x 2 1 1 0

2 1 0

2 0

, ,, ,

f x x f x xf x x x

x x

3 , 2

3 , 2

3 , 2

( ) ( )f x f xf x x

x x

2 2

x 2

( )f x

2 1 1 0

2 1 0

2 0

, ,, ,

f x x f x xf x x x

x x 4 , 3

4 , 3

4 , 3

( ) ( )f x f xf x x

x x

3 3x

3( )f x

i ix ( )

if x 1ra dif. div. 2da dif. div. 3ra dif. div.

0 1 4,75 -0,75

1

0,25

1 2 4

1,25

2 3 5,25

2 7,25

3 5 19,75

3( ) 4 , 7 5 0 , 7 5 ( 1) ( 1)( 2 ) 0 , 2 5 ( 1)( 2 )( 3 )p x x x x x x x

El polinomio de Newton:

3 2

3( ) 0, 25 0, 50 6, 50p x x x x

Para 4x , entonces:

3 2

3(4 ) 0, 25(4 ) 0, 50(4 ) (4 ) 6, 50 10, 50p

4. Repita el ejercicio número 3 utilizando un polinomio de Lagrange de tercer grado. (5%)

Respuesta: Polinomios auxiliares de Lagrange para el soporte de 4 puntos, que son los siguientes:

0 1 2 3, , , 1, 2 , 3, 5S x x x x

0 2 3

0

0 1 0 2 0 3

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x x x x x xL x

x x x x x x

0 2 3

1

1 0 1 2 1 3

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x x x x x xL x

x x x x x x

0 2 3

2

2 0 2 1 2 3

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x x x x x xL x

x x x x x x

0 2 3

3

3 0 3 1 3 2

( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

x x x x x xL x

x x x x x x

Sustituyendo:

0

( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )

(1 2 )(1 3)(1 5 ) 1 0

x x x x x xL x

1

( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )

( 2 1)( 2 3)( 2 5 ) 3

x x x x x xL x

2

( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )

(3 1)(3 2 )(3 5 ) 4

x x x x x xL x

3

( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )

(5 1)(5 2 )(5 3) 2 4

x x x x x xL x

Polinomio interpolador de Lagrange:

0

( ) ( )

n

n j j

j

p x y L x En este caso es de grado 3:

3

3 0 0 1 1 2 2 3 3

0

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j

j

p x y L x y L x y L x y L x y L x

Donde, 0 1 2 3, , , 4 , 7 5; 4; 5, 2 5;1 9 , 7 5y y y y y

Sustituyendo:

3

( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( ) ( 4 , 7 5 ) ( 4 )

1 0 3

( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 ) (5 , 2 5 ) (1 9 , 7 5 )

4 2 4

x x x x x xp x

x x x x x x

2 2

3

2 2

( ) ( 0 , 4 7 5 )( 3 2 )( 3 ) (1, 3 3 3( 3 2 )( 3 )

(1, 3 1 2 5 )( 3 2 )( 3 ) (0 , 8 2 2 9 ( 3 2 )( 3 )

p x x x x x x x

x x x x x x

2

3( ) ( 3 2 )( 3) 0 , 4 7 5 1, 3 3 3 1, 3 1 2 5 0, 8 2 2 9p x x x x

3 2 2 3 2

( ) ( 2 , 9 9 3 4 )( 3 2 3 9 6 ) ( 2 , 9 9 3 4 )( 6 1 1 6 )p x x x x x x x x x

3 2( ) 2 , 9 9 3 4 1 7 , 9 6 0 4 1 9 7 , 5 6 4 4 1 7 , 9 5 0 4p x x x x