Teoría de Interpolación

Un problema que se presenta con frecuencia en las ciencias experimentales y en ingeniería es tratar de construir una función (denominada “función

interpolante”) de la que se conoce una serie de datos (denominados “datos de interpolación”). Estos datos pueden ser fruto de las observaciones realizadas en

un determinado experimento en el que se relacionan dos o más variables e involucran valores de una función y/o de sus derivadas. El objetivo será

determinar una función que verifique estos datos y que además sea fácil de construir y manipular. Por su sencillez y operatividad los polinomios se usan

frecuentemente como funciones interpolantes.

Un problema de interpolación en general puede enunciarse de la siguiente forma:

Dado un conjunto de datos, generalmente valores de una función y/o sus derivadas en determinados puntos xi, i = 0, 1, · · · n que

llamaremos nodos, nuestro objetivo es construir otra función que coincida con la función dada en los datos de interpolación.

Según el tipo de los datos de interpolación, podemos considerar los siguientes tipos de interpolación:

Interpolación de Lagrange

Interpolación de Taylor

Interpolación De Hermite

Polinomios Interpolantes de Newton-Gregory y Gauss

Polinomio Interpolante de Newton-Gregory

Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio se le parece. Una forma sencilla de

escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos esquiespaciados, es la fórmula del polinomio interpolante de Newton-

Gregory (en avance y retroceso).

Fórmula de Avance// Fórmula de Retroceso// Polinomio Interpolante de Gauss

Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de

diferencias; por ejemplo la fórmula del polinomio interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores

desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig.zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente.

En formula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente.

Interpolación De Hermite

Disponemos de los valores de una función y de algunas de sus derivadas sucesivas en determinados puntos. Por ejemplo, f (xi) y f′ (xi) en n + 1 puntos distintos, xi, i = 0, 1, · · ·, n En general, las funciones interpolantes forman un espacio vectorial de dimensión finita, es decir son del tipo: Ψ (x) = a0 ψ0 (x) + a1 ψ1 (x) + · · · + an ψn (x), Donde ψ0(x), ψ1(x), · · ·, ψn(x) Son funciones dadas que forman base del espacio vectorial correspondiente y ai, i = 0, 1, ·,

n números reales a determinar. Dependiendo del tipo de funciones que utilicemos como funciones interpolantes, la interpolación se llamara

polinómica, racional, trigonométrica, spline polinomial.

Entre las diferentes funciones interpolantes, por su sencillez y facilidad para operar, los polinomios son los utilizados con mayor frecuencia en problemas de interpolación, en este caso las funciones de base son ψi (x) = xi, i = 0, 1, ·

· ·, n.

Sin embargo, no siempre dan una respuesta satisfactoria, especialmente si la solución del problema requiere el uso de polinomios de alto grado o, por ejemplo,

si se observa un comportamiento periódico en los datos de interpolación.

Por simplicidad, nos centraremos en este Tema en el estudio del caso particular de la interpolación polinómica de Langrange.

Interpolación Usando Splines

En el subcampo matemático del análisis numérico, un spline es una curva diferenciable definida en porciones mediante polinomios. En los problemas

de interpolación, se utiliza a menudo la interpolación mediante splines porque da lugar a resultados similares requiriendo solamente el uso de polinomios de bajo grado, evitando así las oscilaciones, indeseables en la mayoría de las aplicaciones, encontradas al interpolar mediante polinomios de grado elevado. Para el ajuste de curvas, los splines se utilizan para aproximar

formas complicadas.

La simplicidad de la representación y la facilidad de cómputo de los splines los hacen populares para la representación de curvas en informática, particularmente en el terreno de los gráficos por ordenador. El término

"spline" hace referencia a una amplia clase de funciones que son utilizadas en aplicaciones que requieren la interpolación de datos, o un suavizado de

curvas. Los splines son utilizados para trabajar tanto en una como en varias dimensiones. Las funciones para la interpolación por splines normalmente se

determinan como minimizadores de la aspereza sometidas a una serie de restricciones.

Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x). Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b. Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1)

funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra función será continua en

dichos puntos, pero no derivable en general.

Ejemplo: Interpolar con splines f(x) = 1 / x, en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4F

(1) = 1F

(2) = 0.5F

(4) = 0.25

El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (2,0.5). Surge un sistema lineal de dos

ecuaciones en dos incógnitas:

(1) 1=a+b

(2) 0.5=2a+b

De (1) se obtiene: a=1-b (3) Reemplazando (3) en (2) se obtiene: 0.5=2(1-b)+b, luego b=1.5

Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene: a = - 0.5 Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5

El segundo segmento P2(x) =ax + b deberá unir el segundo punto (2,0.5) con el tercer punto (4,0.25). Análogamente a lo hecho para

P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:

(1) 0.5 = 2a + b

(2) 0.25 = 4a + ba = - 0.125, b = 0.75

Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75

Polinomio Interpolante De Lagrange

El problema de la interpolación polinómica de Lagrange consiste en lo siguiente:

Conocidos los valores de una función f en n + 1 puntos distintos xi, i = 0, 1, · · ·, n de un intervalo [a, b], nos planteamos obtener un polinomio Pn de grado no superior a n, que coincida con la función f en estos n +

1 puntos, es decir, Pn (xi) = f (xi), Para i = 0, 1, · · ·, n.

El polinomio Pn buscado forma parte del conjunto de los polinomios de grado menor o igual que n y, por tanto, Pn (x) será de la forma Pn (x) = an x n + an−1 x n−1 + · · · + a1 x + a0,Y, para determinarla, habría que

hallar los n + 1 coeficientes reales a0, a1, · · ·, an.

En el caso que an sea no nulo, diremos que Pn (x) tiene exactamente grado n.

La existencia y unicidad del polinomio de interpolación Pn (x) se prueba en el siguiente resultado, adamas se determina una primera

forma de construirlo. Sean f: [a, b] → R y {x0, x1, · · ·, xn}, n+1 puntos distintos del intervalo [a, b].

Entonces, existe un único polinomio Pn (x) de grado menor o igual que n, que verifica Pn (xi) = f (xi), i = 0, 1, · · ·, n.

A este polinomio se le denomina polinomio de interpolación de f en los nodos {x0,x1, · · · , xn} y viene dado por Pn (x) =Xni=0f (xi) Li (x), (1.1)

Donde, para cada i ∈ {0, 1, · · · , n}, Li (x) =Ynj=0j=6 ix – xj xi – xj

Tabla de Diferencias

Resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores x en orden ascendente. Además de las columnas para x y f(x), se

deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. La tabla que se muestra a continuación es llamada tabla de diferencias.

Los términos calculados en la tabla de diferencias, permiten determinar los coeficientes de polinomios interpolantes. Es convencional que la letra h sea la diferencia uniforme de los valores x, es decir, h= x. Utilizando

subíndices para representar el orden de los valores x y f(x)

Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton.

La diferencia dividida de newton para la interpolación de polinomios está entre los modelos más populares y útiles. Para un polinomio de

grado n se requiere de n+1puntos. Se usan estos datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de

una tabla de diferencias divididas. Para aplicar el polinomio de interpolación por diferencias divididas por newton, no es necesario que

los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que

aporta el polinomio de newton está sujeto a un error.

Aplicación De Los Métodos Numéricos de Interpolación en la Resolución de Problemas

Fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, lagrange, Hermite, newton, etc, son compatibles con computadoras y debido a las

muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas formulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones

diferenciales ordinarias. El polinomio de interpolación suele usarse para estimar valores de una función tabulada, en las abscisas que no

aparecen en la tabla. El aumento de grado no siempre mejora la aproximación. El polinomio es muy sensible a los errores de los datos.

Sistemas de Numeración y Errores

Error por Truncamiento:

En el subcampo matemático del análisis numérico, truncamiento es el término usado para reducir el número de dígitos a la derecha del separador decimal, descartando los menos significativos.

Por ejemplo dados los números reales:

3,14159265358979...

32,438191288

6,3444444444444

Para truncar estos números a 4 dígitos decimales, sólo consideramos los 4 dígitos a la derecha de la coma decimal.

El resultado es:

3,1415

32,4381

6,3444

Nótese que en algunos casos, el truncamiento dará el mismo resultado que el redondeo, pero el truncamiento no redondea hacia arriba ni hacia abajo los dígitos, meramente los corta en el dígito especificado. El error de truncamiento puede ser hasta el doble del error máximo que se puede tener usando redondeo.

Error por Redondeo

Es el proceso mediante el cual se eliminan cifras significativas de un número a partir de su representación decimal, para obtener un valor aproximado.

Reglas de Redondeo

Si tenemos con seguridad una cantidad de cifras exactas de un número decimal, podemos dar una aproximación de ese número de

menos cifras de dos formas:

Truncamiento: Cortamos el número a partir de cierta cifra. Por ejemplo π = 3,141592:::, truncado a las milésimas sería π = 3,141 y a las

diezmilésimas π = 3,1415

Redondeo: Cortamos el número a partir de cierta cifra, pero sumamos uno a la última cifra que aparezca, en el caso de que la primera que

omitamos sea mayor o igual que 5. Por ejemplo, redondeando el número π = 3,141592::: a las centésimas tenemos π = 3,14, a las

milésimas π = 3,142 y a las diez milésimas π = 3; 1416.

En general es preferible el redondeo al truncamiento, ya que cometemos un error menor.

Estimación:

Algunas veces con el fin de facilitar los cálculos, se suelen redondear los números con los que se opera, y los resultados que se obtienen no

son verdaderos, sino que se consideran estimaciones.

Error Relativo y Error Absoluto

Error relativo fraccional = error / valor verdadero, donde:

Error = valor verdadero – valor aproximado.

El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como Ev = (error verdadero/ valor verdadero) 100; Donde

Ev denota el error relativo porcentual. El subíndice v significa la normalización del error al valor verdadero.

Para los métodos numéricos el valor verdadero únicamente se conocerá cuando se habla de funciones que se pueden resolver

analíticamente. Sin embargo, en aplicaciones reales, no se conoce la respuesta verdadera. En estos casos, normalizar el error es una

alternativa usando la mejor estimación posible del valor verdadero, esto es a la aproximación misma, como:

Ea = (error aproximado/ valor aproximado) 100

Donde el subíndice a significa que el error está normalizado a un valor aproximado.

Uno de los retos a que se enfrentas los métodos numéricos es el de determinar estimaciones del error en ausencia de conocimiento de los

valores verdaderos. El error se calcula como la diferencia entre la aproximación previa y la actual. Por lo tanto, el error relativo porcentual

está dado porEa =abs( ((aproximación actual- aproximación previa )/ aproximación

actual) 100)

Si se cumple la relación anterior, entonces se considera que el resultado obtenido está dentro del nivel aceptable, es decir, aun error

previamente fijado(Es):Abs(Ea) <>

Dígitos Significativos

Son aquellos dígitos que le dan a un número o medida un valor real.

Número de dígitos utilizado para indicar qué tan precisa es una medición. El número de dígitos significativos depende de la exactitud del dispositivo de medición, es decir, la unidad de medida provista por

ese dispositivo.

Por ejemplo, 1.2300 significa que el verdadero valor está entre 1.22995 y 1.23005. Por lo tanto, 1.2300 tiene cinco dígitos

significativos, en donde los ceros que siguen a la derecha del punto decimal son significativos.

Sin embargo, los ceros que siguen a la izquierda del punto decimal pueden no ser significativos. El número 123,000 significa que el

verdadero valor de la medición podría estar entre 122,500 y 123,500. Por lo tanto, 123,000 contiene sólo tres dígitos significativos.

Teorema del Valor Medio

O teoría del punto medio es una propiedad de las funciones derivables en un intervalo. Algunos matemáticos consideran que este teorema es el más importante del cálculo (ver también el teorema fundamental del

cálculo integral). El teorema no se usa para resolver problemas matemáticos; más bien, se usa normalmente para demostrar otros teoremas. El teorema de valor medio puede usarse para demostrar

el teorema de Taylor ya que es un caso especial.

Teorema de Rolle

Demuestra la existencia de un punto interior en un intervalo abierto para el cual la derivada de una función derivable se anula

cuando el valor de ésta en los extremos del intervalo es el mismo. Es generalizado mediante el teorema del valor medio, del que este es un caso especial. Es uno de los principales teoremas en cálculo debido a

sus aplicaciones.

Si   es una función continua definida en un intervalo cerrado derivable sobre el intervalo abierto    y   , entonces:

Existe al menos un punto   perteneciente al intervalo   tal que .

Teorema de Taylor

Este teorema permite aproximar una función derivable en el entorno reducido alrededor de un punto a Є (a, d) mediante

un polinomio cuyos coeficientes dependen de las derivadas de la función en ese punto. Más formalmente, si   ≥ 0 es un entero y   una función que es derivable   veces en el intervalo cerrado [ ,  ] y  +1

veces en el intervalo abierto ( ,  ), entonces se cumple que:

O en forma compacta

Donde   denota el factorial de  , y   es el resto, término que depende de   y es pequeño si   está próximo al punto  . Existen dos

expresiones para   que se mencionen a continuación:

donde   y  , pertenecen a los números reales,   a los enteros y   es un número real entre   y  :2

Teorema Fundamental del Algebra

Nos dice que todo polinomio a coeficientes complejos tiene un raíz compleja, es decir existe un número complejo donde el polinomio evalúa a cero. Hay muchas demostraciones de este importante

resultado. Todas requieren bastantes conocimientos matemáticos para formalizarlas. Sin embargo, si se deja de lado algo del rigor

matemático, hay argumentos simples y creíbles, que le permiten a uno convencerse de la veracidad del TFA. Nuestro objetivo es presentar a

continuación uno de estos argumentos.

Consideremos entonces un polinomio P(z) cualquiera de grado n. Luego, su n-ésimo coeficiente Pn no puede ser igual a 0. Si P(0)=0,

estaríamos listos pues tendríamos que 0 es una raíz de P. Supondremos entonces que se tiene el caso no trivial, es decir,

que P(0) no es 0. Notar que esto significa que P0 es distinto de 0, puesto que P(0)=P0.

Sea Cr al conjunto de números complejos de módulo r, i.e., Cr= { z : |z|=r }. Geométricamente dichos números están ubicados en un círculo de radio r en torno al origen del plano complejo. Por ejemplo, si r=1,

entonces Cr es:

Solución de Ecuaciones No Lineales

Los métodos numéricos de resolución de ecuaciones no lineales suelen ser métodos iterativos que producen una sucesión de valores aproximados de la solución, que se espera, que converja a la raíz de

la ecuación. Estos métodos van calculando las sucesivas aproximaciones sobre la base de los anteriores, a partir de una o

varias aproximaciones iniciales.

El comportamiento de los algoritmos de búsqueda de raíces se estudia en análisis numérico. Funcionan mejor cuando se toman en cuenta las características de la función. Para saber que método debemos aplicar,

hay que tener en cuenta la capacidad de separar raíces cercanas, confiabilidad en el alcance de soluciones evitando errores numéricos

graves y orden de convergencia.

Método de la Falsa Posición

El método de la falsa posición pretende conjugar la seguridad del método de la bisección con la rapidez del método de la secante. Este método, como en el método de la bisección, parte de dos puntos que

rodean a la raíz f(x) = 0, es decir, dos puntos x0 y x1tales que f(x0)f(x1) < 0. La siguiente aproximación, x2, se calcula como la

intersección con el eje X de la recta que une ambos puntos. La asignación del nuevo intervalo de búsqueda se realiza como en el

método de la bisección: entre ambos intervalos, [x0,x2] y [x2,x1], se toma aquel que cumpla f(x)f(x2) < 0.

Método de Newton

Este método parte de una aproximación inicial x0 y obtiene una aproximación mejor, x1, dada por la fórmula:

La expresión anterior puede derivarse a partir de un desarrollo en serie de Taylor. Efectivamente, sea r un cero de f y sea x una aproximación

a r tal quer=x+h. Si f'' existe y es continua, por el teorema de Taylor tenemos:

0 = f(r) = f(x+h) = f(x) + hf'(x) + O (h2)

En donde h=r-x. Si x está próximo a r (es decir h es pequeña), es razonable ignorar el término O (h2):

0 = f(x) + hf'(x)

Por lo que obtenemos la siguiente expresión para h: