Download - Interpolación daylenis ramos
República Bolivariana De Venezuela
Politécnico “Santiago Mariño”
Extensión -Barinas
Alumna:
Daylenis Ramos
CI 20.539.938
San Felipe, Julio de 2014
EJERCICIOS DE INTERPOLACION
1. Encuentre el 5lo g mediante interpolación lineal.
a. Interpole entre 4 = 0 ,6 0 2 0 6lo g y 7= 0 ,7781513log (2%)
b. Interpole entre 4 ,5 = 0 ,6 5 3 2 1 2 5lo g y 5 ,5= 0 ,7403627log (2%)
c. Calcule el error relativo porcentual para cada caso, sabiendo que 5 = 0 ,6 9 8 9 7 0lo g (1%)
Fórmula de Interpolación Lineal :
1 0
0 0
1 0
( ) ( )( ) ( ) ( )
f x f xf x f x x x
x x
donde: 0 1
4 , 7 ( ) lo g x x y f x x ;
a. Para 5x , (5 ) 0 ,6 9 8 9 7 0f , 4 = 0 ,6 0 2 0 6lo g y 7 = 0 ,7 7 8 1 5 1 3lo g
0 0 ( ) 4 ( ) 0 ,6 0 2 0 6f x lo g f x
1 1 ( ) 7 ( ) 0 ,7 7 8 1 5 1 3f x lo g f x
0 ,7 7 8 1 5 1 3 0 ,6 0 2 0 6(5 ) 0 ,6 0 2 0 6 (5 4 ) (5 ) 0 , 6 6 0 5 7 1
7 4f f
b. Para 5x , (5 ) 0 ,6 9 8 9 7 0f , 4 ,5 = 0 ,6 5 3 2 1 2 5lo g y 5 ,5 = 0 ,7 4 0 3 6 2 7lo g
0 0 ( ) 4 ,5 ( ) 0 ,6 5 3 2 1 2 5f x lo g f x
1 1 ( ) 5 ,5 ( ) 0 ,7 4 0 3 6 2 7f x lo g f x
0 ,7 4 0 3 6 2 7 0 ,6 5 3 2 1 2 5(5 ) 0 ,6 5 3 2 1 2 5 (5 4 , 5 ) (5 ) 0 , 6 9 6 7 8 7 6
5 , 5 4 , 5f f
El error es: 0 , 6 9 8 9 7 0 0 , 6 9 6 7 8 7 6
% 1 0 0 % % 0, 3 1, %0, 6 9 8 9 7 0
e x e
c. Error en el caso (a) es:
0 , 6 9 8 9 7 0 0 , 6 6 0 5 7 1
% 1 0 0 % % 5, 4 9 %0, 6 9 8 9 7 0
e x e
Error en el caso (b) es:
0 , 6 9 8 9 7 0 0 , 6 9 6 7 8 7 6% 1 0 0 % % 0, 3 1, %
0, 6 9 8 9 7 0e x e
El error porcentual redujo un 5,18%
2. Dado los datos:
x 1 2 2,5 3 4 5
( )f x 1 5 7 8 2 1
Calcule f (3,4) usando un polinomio de Newton de 2º y 3º grado.(5%)
Fórmula de Newton para el polinomio de interpolación:
2do Grado 2 0 1 0 2 0 1
( ) ( ) ( ) ( )p x A A x x A x x x x
3do Grado 3 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x A A x x A x x x x A x x x x x x2
( )p x
Donde 0 0 1 0 1 2 0 3 0 4 0
, , , , , ,A y A f x x A y A y A y
Tabla de Diferencias Divididas para obtener los coeficientes:
ix ( )
i iy f x
1,
i if x x 1 2
, ,i i i
f x x x 0 1 2 3, , ,f x x x x
1
0A 1
2 5
1 0 1
5 1, 4
2 1A f x x
2,5 7
1 2
7 5, 4
2 , 5 2f x x 2 0 1 2
4 4, , 0
2 , 5 1A f x x x
3 8
2 3
8 7, 2
3 2 , 5f x x
1 2 3
2 4, , 2
3 2f x x x
3 0 1 2 3
2 0, , , 1
3 1A f x x x x
4 2
3 4
2 8, 6
4 3f x x
2 3 4
6 2, , 5 , 3 3
4 2 , 5f x x x
1 2 3 4
5, 3 3 ( 2 ), , , 1, 6 7
4 2f x x x x
5 1
4 5
1 2, 1
5 4f x x
3 4 5
1 ( 6 ), , 2 , 5
5 3f x x x
2 3 4 5
2 , 5 5 , 3 3, , , 1,1 3
5 2 , 5f x x x x
3. Con los datos:
x 1 2 3 5 6
( )f x 4,75 4 5,25 19,75 36
Calcule f (4) usando un polinomio de interpolación de Newton de 3º grado (5%)
Polinomio de grado n para diferencias divididas de newton como:
0 1 0 2 0 1 0 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n nf x b b x x b x x x x b x x x x x x x x
En este caso, el polinomio es de 3er grado:
3 0 1 0 2 0 1 3 0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )p x b b x x b x x x x b x x x x x x x x
Donde,
0 0
1 1 0
2 2 1 0
3 3 2 1 0
,
, ,
, , ,
b f x
b f x x
b f x x x
b f x x x x
i ix ( )
if x 1ra dif. div. 2da dif. div.
Sustituir Valores
0
0x
0( )f x
1, 0
1, 0
1, 0
( ) ( )f x f xf x x
x x
2 1 1 0
2 1 0
2 0
, ,, ,
f x x f x xf x x x
x x
2 , 1
2 , 1
2 , 1
( ) ( )f x f xf x x
x x
1 1
x 1
( )f x 2 1 1 0
2 1 0
2 0
, ,, ,
f x x f x xf x x x
x x
3 , 2
3 , 2
3 , 2
( ) ( )f x f xf x x
x x
2 2
x 2
( )f x
2 1 1 0
2 1 0
2 0
, ,, ,
f x x f x xf x x x
x x 4 , 3
4 , 3
4 , 3
( ) ( )f x f xf x x
x x
3 3x
3( )f x
i ix ( )
if x 1ra dif. div. 2da dif. div. 3ra dif. div.
0 1 4,75 -0,75
1
0,25
1 2 4
1,25
2 3 5,25
2 7,25
3 5 19,75
3( ) 4 , 7 5 0 , 7 5 ( 1) ( 1)( 2 ) 0 , 2 5 ( 1)( 2 )( 3 )p x x x x x x x
El polinomio de Newton:
3 2
3( ) 0, 25 0, 50 6, 50p x x x x
Para 4x , entonces:
3 2
3(4 ) 0, 25(4 ) 0, 50(4 ) (4 ) 6, 50 10, 50p
4. Repita el ejercicio número 3 utilizando un polinomio de Lagrange de tercer grado. (5%)
Respuesta: Polinomios auxiliares de Lagrange para el soporte de 4 puntos, que son los siguientes:
0 1 2 3, , , 1, 2 , 3, 5S x x x x
0 2 3
0
0 1 0 2 0 3
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
x x x x x xL x
x x x x x x
0 2 3
1
1 0 1 2 1 3
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
x x x x x xL x
x x x x x x
0 2 3
2
2 0 2 1 2 3
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
x x x x x xL x
x x x x x x
0 2 3
3
3 0 3 1 3 2
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
x x x x x xL x
x x x x x x
Sustituyendo:
0
( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )
(1 2 )(1 3)(1 5 ) 1 0
x x x x x xL x
1
( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )
( 2 1)( 2 3)( 2 5 ) 3
x x x x x xL x
2
( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )
(3 1)(3 2 )(3 5 ) 4
x x x x x xL x
3
( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( )
(5 1)(5 2 )(5 3) 2 4
x x x x x xL x
Polinomio interpolador de Lagrange:
0
( ) ( )
n
n j j
j
p x y L x En este caso es de grado 3:
3
3 0 0 1 1 2 2 3 3
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )j j
j
p x y L x y L x y L x y L x y L x
Donde, 0 1 2 3, , , 4 , 7 5; 4; 5, 2 5;1 9 , 7 5y y y y y
Sustituyendo:
3
( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 )( ) ( 4 , 7 5 ) ( 4 )
1 0 3
( 1)( 2 )( 3 ) ( 1)( 2 )( 3 ) (5 , 2 5 ) (1 9 , 7 5 )
4 2 4
x x x x x xp x
x x x x x x
2 2
3
2 2
( ) ( 0 , 4 7 5 )( 3 2 )( 3 ) (1, 3 3 3( 3 2 )( 3 )
(1, 3 1 2 5 )( 3 2 )( 3 ) (0 , 8 2 2 9 ( 3 2 )( 3 )
p x x x x x x x
x x x x x x
2
3( ) ( 3 2 )( 3) 0 , 4 7 5 1, 3 3 3 1, 3 1 2 5 0, 8 2 2 9p x x x x
3 2 2 3 2
( ) ( 2 , 9 9 3 4 )( 3 2 3 9 6 ) ( 2 , 9 9 3 4 )( 6 1 1 6 )p x x x x x x x x x
3 2( ) 2 , 9 9 3 4 1 7 , 9 6 0 4 1 9 7 , 5 6 4 4 1 7 , 9 5 0 4p x x x x