interpolaciÓn y aproximaciÓn polinomialpreliminares interpolación teorema teorema teorema: serie...

PreliminaresInterpolación

INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓNPOLINOMIAL

INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMIAL


Contenido

1 PreliminaresTeorema

2 InterpolaciónIntroducción a la InterpolaciónInterpolación de LagrangePolinomio Interpolador de Newton



Teorema

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Teorema

Teorema

Teorema: Serie de TaylorSupongamos que f (x) admite derivadas continuas de todos losórdenes en un intervalo (a, b) en el que está el punto x0.Supongamos que la sucesión de polinomios de Taylorconverge a f (x), o sea,

f (x) = l«ımN→∞

PN(x) = l«ımN→∞

N∑k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k ,



Teorema

Teorema

para todo x ∈ (a, b), entonces f es analítica y puededesarrollarse en serie de Taylor alrededor de x0

f (x) =∞∑

k=0

f (k)(x0)

k !(x − x0)

k .



Introducción a la InterpolaciónInterpolación de LagrangePolinomio Interpolador de Newton

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Introducción a la Interpolación

La información necesaria para construir el polinomio deTaylor es el valor de f y los de sus derivadas en x0.Debemos conocer las derivadas de orden superior y, amenudo, suele ocurrir que o bien no están disponibles, obien son difíciles de calcular.





Supongamos que conocemos N+1 puntos(x0, y0) , (x1, y1) , ..., (xN , yN) de la curva y = f (x), dondelas abcisas xk se distribuyen en un intervalo [a, b] demanera que

a ≤ x0 < x1 < ... < xN ≤ b

y yk = f (xk ). Construiremos un polinomio P(x) de grado Nque pase por estos N+1 puntos. Para construirlo,únicamente necesitaremos conocer los valores xk e yk , asíque las derivadas de orden superior no nos harán falta.





El polinomio P(x) puede usarse luego como unaaproximación a f (x) en todo el intervalo [a, b].

Existen funciones especiales y = f (x), que aparecen enanálisis de tipo estadístico o científico, para las que sólodisponemos de una tabla de valores; es decir, sóloconocemos N+1 puntos (xk , yk ) y es necesario dar unmétodo para aproximar f (x) en abcisas que no estántabuladas.





1 Si el error de los valores tabulados es significativo,entonces es mejor usar los métodos de ajuste de curvas(próximo capítulo).

2 Si los puntos (xk , yk ) tienen un grado alto de precisión,entonces podemos considerar el polinomio y = P(x) quepasa por todos ellos.

3 Cuando x0 < x < xN , la aproximación P(x) se conocecomo valor interpolado.

4 Si se tiene x < x0 o bien xN < x , entonces P(x) se conocecomo valor extrapolado.




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Interpolación de Lagrange

Interpolar significa estimar el valor desconocido de unafunción en un punto, tomando una media ponderada desus valores conocidos en puntos cercanos al dado.

En la interpolación lineal se utiliza un segmento rectilíneo quepasa por dos puntos que se conocen. La pendiente de la rectaque pasa por dos puntos (x0, y0) y (x1, y1) es

m =y1 − y0

x1 − x0,





así que en la ecuación de la recta y = m(x − x0) + y0 podemossustituir m y obtener

y = P(x) = y0 + (y1 − y0)x − x0

x1 − x0. (1)

(1) es un polinomio de grado ≤ 1 y la evaluación de P(x) en x0y x1 produce

P(x0) = y0 + (y1 − y0) (0) = y0, P(x1) = y0 + (y1 − y0) (1) = y1. (2)





J.L. Lagrange descubrió que se puede encontar este polinomiousando un método distinto: Si escribimos

y = P1(x) = y0x − x1

x0 − x1+ y1

x − x0

x1 − x0=

1∑k=0

ykL1,k (x), (3)

donde L1,0(x) = x−x1x0−x1

y L1,1(x) = x−x0x1−x0

son los polinomioscoeficientes de Lagrange para los nodos x0 y x1. Nótese quecada uno de los sumandos del miembro derecho de (3) es untérmino lineal, por lo tanto P1(x) es un polinomio de grado ≤ 1.





Como

L1,0(x0) = 1, L1,1(x0) = 0, L1,0(x1) = 0, L1,1(x1) = 1,

entonces P1(x) definido en (3) también pasa por los dospuntos dados:

P1(x0) = y0 + y1(0) = y0, P1(x1) = y0(0) + y1 = y1.





El polinomio interpolador de Lagrange cuadrático para lospuntos (x0, y0), (x1, y1) y (x2, y2) es

P2(x) = y0(x − x1) (x − x2)

(x0 − x1) (x0 − x2)+ y1

(x − x0) (x − x2)

(x1 − x0) (x1 − x2)+ y2

(x − x0) (x − x1)

(x2 − x0) (x2 − x1).





El polinomio interpolador de Lagrange de grado N=3 para lospuntos (x0, y0), (x1, y1), (x2, y2) y (x3, y3) es

P3(x) = y0(x − x1) (x − x2) (x − x3)

(x0 − x1) (x0 − x2) (x0 − x3)+ y1

(x − x0) (x − x2) (x − x3)

(x1 − x0) (x1 − x2) (x1 − x3)

+y2(x − x0) (x − x1) (x − x3)

(x2 − x0) (x2 − x1) (x2 − x3)+ y3

(x − x0) (x − x1) (x − x2)

(x3 − x0) (x3 − x1) (x3 − x2).





Generalizando, para construir un polinomio PN(x) de grado≤ N y que pase por N+1 puntos (x0, y0) , (x1, y1) , ..., (xN , yN) lafórmula es

PN(x) =N∑

k=0

ykLN,k (x), (4)

donde LN,k es el polinomio coeficiente de Lagrange para losnodos x0, x1, ..., xN definido por

LN,k (x) =(x − x0) ... (x − xk−1) (x − xk+1) ... (x − xN)

(xk − x0) ... (xk − xk−1) (xk − xk+1) ... (xk − xN)=

QNj=0,j 6=k (x − xj)QNj=0,j 6=k (xk − xj)

.





Para cada k fijo, el polinomio coeficiente de Lagrange LN,k (x)tiene la siguiente propiedad:

LN,k (xj) =

{1, j = k0, j 6= k

. (5)





La sustitución de (5) en (4) prueba que la curva polinomialy = PN(x) pasa por los puntos

(xj , yj

):

PN(xj) = y0LN,0(xj) + ... + yjLN,j(xj) + ... + yNLN,N(xj)

= y0(0) + ... + yj(1) + ... + yN(0) = yj .

Aplicando el Teorema Fundamental del Álgebra se puedeprobar que PN(x) es único.





Teorema: Polinomio Interpolador de Lagrange

Supongamos que f ∈ CN+1 [a, b] y que x0, x1, ..., xN ∈ [a, b] sonN+1 nodos de interpolación. Si x ∈ [a, b], entonces

f (x) = PN(x) + EN(x),

donde PN(x) es un polinomio que podemos usar paraaproximar f (x):

f (x) ≈ PN(x) =N∑

k=0

f (xk ) LN,k (x),





llamado polinomio interpolador de Lagrange de f para losnodos dados, y el término del error EN(x) se puede escribircomo

EN(x) =(x − x0) (x − x1) ... (x − xN) f N+1(c)

(N + 1)!,

para algún valor c = c(x) del intervalo [a, b].




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Polinomio Interpolador de Newton

En ocasiones es útil considerar varios polinomiosaproximantes P1(x), P2(x), ..., PN(x) y, después, elegir elmás adecuado a las necesidades.

Uno de los inconvenientes de los polinomiosinterpoladores de Lagrange es que no hay relación entre laconstrucción de PN−1(x) y la de PN(x); cada polinomiodebe construirse individualmente y se requieren muchasoperaciones para calcular polinomios de grado elevado.





Los polinomios interpoladores de Newton se calculan medianteun esquema recursivo

P1(x) = a0 + a1 (x − x0) , (6)

P2(x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0) (x − x1) ,

P3(x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0) (x − x1) + a3 (x − x0) (x − x1) (x − x2) ,

... ... ...

PN(x) = a0 + a1 (x − x0) + a2 (x − x0) (x − x1) + a3 (x − x0) (x − x1) (x − x2)

+a4 (x − x0) (x − x1) (x − x2) (x − x3) + ...

+aN (x − x0) (x − x1) (x − x2) ... (x − xN−1) .





PN(x) se obtiene a partir de PN−1(x) usando la recurrencia

PN(x) = PN−1(x) + aN (x − x0) (x − x1) (x − x2) ... (x − xN−1) .

Se dice que PN(x) es un polinomio de Newton con N centrosx0, x1, ..., xN−1.





Como PN(x) involucra sumas de productos de factoreslineales, siendo

aN (x − x0) (x − x1) (x − x2) ... (x − xN−1)

el de mayor grado, entonces PN(x) es de grado ≤ N.





Diferencias Divididas: Queremos encontrar los coeficientesak de todos los polinomios P1(x), P2(x), ..., PN(x) que sirvenpara aproximar una función dada f (x).

De (6a):

f (x0) = P1 (x0) = a0 + a1 (x0 − x0) = a0 ⇒ a0 = f (x0) . (7)

De (6a) y (7):

f (x1) = P1 (x1) = a0+a1 (x1 − x0) = f (x0)+a1 (x1 − x0) ⇒ a1 =f (x1)− f (x0)

x1 − x0.





De (6b):

f (x2) = P2 (x2) = a0 + a1 (x2 − x0) + a2 (x2 − x0) (x2 − x1)

⇒ a2 =f (x2)− a0 − a1 (x2 − x0)

(x2 − x0) (x2 − x1)=

f (x2)−f (x1)x2−x1

− f (x1)−f (x0)x1−x0

x2 − x0.





DefiniciónDiferencias Divididas. Las diferencias divididas de unafunción f (x) se definen como:

f [xk ] = f (xk ) ,

f [xk−1, xk ] =f [xk ]− f [xk−1]

xk − xk−1,

f [xk−2, xk−1, xk ] =f [xk−1, xk ]− f [xk−2, xk−1]

xk − xk−2,

f [xk−3, xk−2, xk−1, xk ] =f [xk−2, xk−1, xk ]− f [xk−3, xk−2, xk−1]

xk − xk−3,

... ... ...

f [xk−j , xk−j+1, ..., xk ] =f [xk−j+1, ..., xk ]− f [xk−j , ..., xk−1]

xk − xk−j.





Tabla de diferencias divididas para y = f (x)

xk f [xk ] f [ , ] f [ , , ] f [ , , , ] f [ , , , , ]

x0 f [x0]

x1 f [x1] f [x0, x1]

x2 f [x2] f [x1, x2] f [x0, x1, x2]

x3 f [x3] f [x2, x3] f [x1, x2, x3] f [x0, x1, x2, x3]

x4 f [x4] f [x3, x4] f [x2, x3, x4] f [x1, x2, x3, x4] f [x0, x1, x2, x3, x4]





Teorema: Polinomio Interpolador de NewtonSupongamos que x0, x1, ..., xN son N+1 números distintos en[a, b]. Entonces existe un único polinomio PN(x) de grado ≤ Ntal que

f(xj

)= PN

(xj

); j = 0, 1, ..., N.

La forma de Newton de este polinomio interpolador es

PN(x) = a0+a1 (x − x0)+...+aN (x − x0) (x − x1) ... (x − xN−1) ,

siendo ak = f [x0, x1, ..., xk ] ; k = 0, 1, ..., N.


Apéndice

Bibliografía

MATHEWS, John; KURTIS, Fink.Métodos Numéricos con MATLAB.Prentice Hall, 2000.


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