interaccion termica

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  • 7/23/2019 interaccion termica

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    1

    Captulo II.Interaccin trmica y la distribucin cannica segn laaproximacin clsica.

    Leccin 6Distribucin de energa entre sistemas macroscpicos.Factor de Boltzmann. Distribucin cannica.

    Leccin 7Introduccin de la funcin de particin.Energa media de un gas ideal. Presin media de un gas ideal.

    Leccin 8La distribucin cannica y la aproximacin clsica.Espacio de fases clsico. Distribucin de velocidades de Maxwell.

    Leccin 9Aplicaciones de la distribucin de velocidades de Maxwell.

    Efusin y haces moleculares

    Leccin 10Aplicaciones de la distribucin cannica.El teorema de la equiparticin de la energa.

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    2

    Leccin 6

    Distribucin de energa entre sistemas macroscpicos.

    Factor de Boltzmann.

    Distribucin cannica.

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    3

    Vamos a tratar sobre la interaccin trmica entre sistemas macroscpicos

    Situacin:Los parmetros externos de los sistemas (y los niveles de energa)permanecen fijos.

    Objetivo:

    Cmo calcular las propiedades de un sistema macroscpico enequilibrio trmico?

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    4

    Distribucin de energa entre sistemas macroscpicos en contacto trmico:Ms es mejor

    Sean dos sistemas A y A, con energas Ey E (intervalos E) que puedenintercambiar energa entre s

    A A

    E E

    (E) (E)E* = E+E

    A*= A+A

    Una vez puestos en contacto, y alcanzado el equilibrio,cul es la probabilidad de que A tenga una determinada energa?

    De todos los estados accesibles al sistema A*, cuntos tienen

    energa E para el sistema A?

    total

    EEP

    *

    *)(

    )(

    =

    Ejemplo: 1 slido de Einstein

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    5

    cmo vara P(E) con la energa?

    cteEEP = )()( *

    )(')()'(')()( **

    EEEEEE ==

    En equilibrio, el sistema estar en el estado ms probable: maximizar LnP(E)

    )'('ln)(lnlnln)(ln)(ln * EEctecteEEP ++=+=

    EP

    PEP

    ==

    10ln 0'

    ')'(ln)(ln =

    +

    EE

    EE

    EE

    EEE = *'

    '

    )'(ln)(ln

    E

    E

    E

    E

    =

    Y la condicin de equilibrio es:

    Si definimos:EE

    EE

    =

    =

    1)(ln)(

    )'(')( EE =

    -1

    En dos sistemas en contacto trmico hay algo que es igual !

    total

    EEP

    *

    * )()(

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    6

    tiene unidades de inverso de energa:

    Tk

    1

    k: cte con dimensiones de energa, constante de Boltzmann, kB

    T: parmetro que da una medida de la energa en unidades de k

    EEEE

    =

    = 1)(ln)(

    T : temperatura absoluta

    = lnkSEntropa, mide el nmero de estados cunticos

    accesibles al sistema. Es una medida cuantitativadel grado de aleatoriedad del sistema

    eV/KJ/K523 10617.810381.1k

    ==

    Vemos que y ln son magnitudes importantes en la interaccin trmica.

    EkTEE

    =

    =

    ln1ln)(

    E

    S

    TE

    k

    T

    =

    =

    1ln1

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    7

    La condicin de P(E) mxima equivale a Stotal mxima:

    ''max'max)( * TTSSSEP ==+=

    Los dos sistemas estn a la misma temperatura.

    En equilibrio trmico el sistema total est distribuido entre el mayor nmerode estados posibles, es decir, est en su macroestado ms aleatorio.

    Ejemplo: slido de Einstein2 sistemas en contacto

    La energa se distribuye del modo que maximice el nmero de estados accesibles

    Ley de la entropa creciente . 2 Ley de la Termodinmica

    MS ES MEJOR (Y MS PROBABLE)

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    8

    Sistema en contacto con un foco trmico

    Cul es la probabilidad, Pr, de que A est en un estado cuntico rcon energaEr?

    E* = Er+E, y Er

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    9

    )(' *

    rr EEaP =

    rrr EEEE

    EEE =

    = )('ln

    '

    'ln)('ln)('ln

    ***

    ( ) cteEEEEErr

    == )(',exp)(')(' *** Por tanto tendremos,

    ( )rr ECP = exp

    ( ) rEexp Factor de Boltzmann

    Esta funcin de distribucin se llama distribucin cannica

    Haremos lnPr, y desarrollaremos en seriealrededor deE=E*

    Ejemplo: slido de Einstein2 sistemas en contacto: A

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    10

    Distribucin cannica: ( )rr ECP = exp

    Conjunto cannico:Conjunto de sistemas en contacto con un foco

    trmico a temperatura TCmo hallamos C ? Normalizacin de la probabilidad

    1=

    rr

    P ( ) 1exp =

    r r

    EC ( )

    ( )

    =

    rr

    r

    r

    E

    EP

    exp

    exp

    Valores medios de las distintas magnitudes:

    ( )( )

    ==

    r

    r

    rrr

    r

    rrE

    EyyPy

    exp

    exp

    Vale para cualquier sistema en equilibrio con un foco trmico

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    11

    Ejemplo de uso de la distribucin cannica: Paramagnetismo

    externoB

    N0 tomos magnticos por unidadde volumen.

    tomo: spin y momento magntico0.N0

    Material paramagntico: sus propiedades se deben a la orientacin desus momentos magnticos individuales (no hay interaccin entre ellos)Ej. Sales de Tierras raras

    Objetivo:Si el sistema est a una temperatura T, cul es el valor mediodel momento magntico para un determinado campo magnticoexterno?

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    12

    Trataremos uno de esos tomos:

    B

    B

    B00 ,: =+=+ +

    B00 ,: ==

    ( ) ( )BCCP 0expexp == ++

    ( )BCP 0exp =

    ( ) 100,1 +

    +==+ BB

    eeCPP

    kT

    BB 00 =Definimos:

    : razn entre la energa magntica yla energa trmica

    Si Tes muy grande, P+y P-son casi iguales, y el valor medio del momentomagntico tiende a cero

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    13

    =

    +

    =+=

    +

    kT

    B

    ee

    eePP

    BB

    BB

    00000 tanh)(

    00

    00

    Imanacin por unidad de volumen:00 NM =

    0 1 2 30.00.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    00

    0

    N

    M

    kT

    B0

    Lmites:

    saturacinB

    linealA

    =>>

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    14

    Leccin 7

    Introduccin de la funcin de particin.

    Energa media de un gas ideal.

    Presin media de un gas ideal.

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    15

    Energa media de un gas ideal: Partculas en una caja 3D

    N partculas en una caja de lados Lx, Ly, Lz,

    Gas ideal, gas diludo:- interacciones moleculares despreciables- gas no degenerado (muchos ms estados accesibles que molculas)

    Sistema A (1 molcula) en contacto con un sistema Amucho mayor ( elresto del gas) a temperatura T (foco trmico).

    Cul es la probabilidad, Pr, de hallar la molcula en uno de susestados cunticos ( r, r) ?

    ++=

    2

    2

    2

    2

    2

    222

    2z

    z

    y

    y

    x

    x

    rL

    n

    L

    n

    L

    n

    m

    ( )

    ( )

    =

    r

    r

    r

    rP

    exp

    exp

    Esto permite fijarnos en una sola molcula.

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    16

    Calcularemos la energa mediade la molcula:

    ( )

    ( )

    ==

    rr

    r

    rr

    r

    rrP

    exp

    exp

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    r

    r

    r

    r

    r

    rr

    expexpexp

    Si operamos...

    =

    =

    =

    ZZ

    ZZ

    Z ln1/

    Y podemos escribir,

    ( ) r

    rZ exp

    Z : Funcin de particin

    Esta es la forma general de calcular la energa media de un sistema.Hay que evaluar la funcin de particin de la molcula.

    Vale para cualquier sistema en contacto con un foco trmico

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    17

    =

    Zln

    ++=

    x y zn n n z

    z

    y

    y

    x

    x

    L

    n

    L

    n

    L

    n

    mZ

    2

    2

    2

    2

    2

    222

    2exp

    Zes separable:Si la energa es grande comparada con i , separacin entre niveles,

    zyx ZZZZ =

    zyxx ZZZZ ==Calcularemos y

    Calculemos la energa media del gas, y la funcin de particin.

    ( ) r rZ exp

    ++=

    2

    2

    2

    2

    2

    222

    2z

    z

    y

    y

    x

    x

    rL

    n

    L

    n

    L

    nm

    = Zln

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    18

    =

    =

    0

    22/1

    0 2

    2

    2

    22)exp(exp 2 duudnZ xx

    xL

    xn

    mx

    Lm

    x

    x

    nLm

    u

    2/1

    2

    = cte

    Por tanto, 2/1b = xx LZzyx ZZZZ =

    2/33b = VZ

    =

    ZlnY la energa media por molcula...

    ln

    2

    3lnbln3ln += VZ

    Tk2

    3

    ,2

    31

    2

    3==

    =

    La energa media por molcula es independiente

    del volumen y proporcional a la temperatura

    Para todo el gas: TkNNE2

    3==

    Cambio de variable

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    19

    Presin media de un gas ideal

    dAvm

    - la molcula est en uno de sus estados cunticos, con energar

    - la molcula har una fuerza Fr sobre la pared,

    - y producir un desplazamiento dLx de la pared,

    - la molcula habr ejercido un trabajo (igual a la variacin de su energa):

    x

    r

    rrxrLFddLF

    ==

    Por tanto, la fuerza media ejercida por una molcula:

    ( )( )

    ==

    r

    r

    r x

    r

    r

    r

    rr

    LFPF

    exp

    exp

    P= F/dA

    Supongamos que

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    20

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    r

    r

    xr

    r

    xr x

    rr

    LLL

    exp

    1exp

    1exp

    Y la fuerza ejercida por una molcula es:x

    x

    L

    Z

    Z

    LZF

    =

    =

    ln1/

    1

    2/33b = VZ

    ln2

    3

    lnbln3ln += VZ xxx L

    Tk

    LL

    VF ==

    =

    1ln1

    V= LxLyLz

    Finalmente, la presin:V

    NTk

    LL

    NFp

    zy

    ==

    vm

    Ly

    Lz

    TkNVp =

    Ecuacin de estado del gas ideal

    Z

    Cualquier gas diluido la cumple

    Ley de Boyle (1662)

    ( )

    ( )

    ==

    r

    r

    r x

    rr

    r

    rr

    LFPF

    exp

    exp

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    21

    Leccin 8

    La distribucin cannica y la aproximacin clsica.

    Espacio de fases clsico.

    Distribucin de velocidades de Maxwell.

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    22

    La distribucin cannica segn la aproximacin clsica.

    Hemos estudiado el gas ideal por mtodos estadsticos a nivel microscpico(molculas, estados, niveles de energa discretos, probabilidades)

    Para obtener la presin y la energa, calculamos la funcin de particin delsistema convirtiendo el sumatorio en integral.

    ++=

    x y zn n n z

    z

    y

    y

    x

    x

    L

    n

    L

    n

    L

    n

    mZ 2

    2

    2

    2

    2

    222

    2exp

    xx

    L

    xn

    mx dnZ

    =0 2

    2

    2

    22

    exp

    Discreto Continuo, Clsico

    En qu condiciones es vlida una teora estadstica expresada enfuncin de conceptos clsicos?

    Cmo se formula la teora estadstica en trminos clsicos?

    positivosenterosnnnnLm

    E zyxzyx :),(2

    ,,

    222

    2

    22

    ++= Niveles de energa de una

    partcula en una caja:

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    23

    Cundo podemos pasar de sumatorios a integrales?

    E+EE

    R

    nx

    ny

    nz

    (E) = n de estados hasta E+Emenos n de estados hasta E

    dEEmV

    E 2/12/332

    )2(4

    )(

    =

    dEdE

    dEEEE

    =+= )()()(

    Tk2

    3

    =Obtuvimos la energa media por partcula:

    cundo es igual (E) obtenido contandoy obtenido haciendo la integral?

    Cuando E >>E Cuando k T >> E

    Ej: Hallar (E) contandoy haciendola integral paraE=5,10,20 y E=1

    La aproximacin clsica no vale a baja temperatura.

    2/3

    3

    3 )2(63

    4

    8

    1)( mE

    LRE

    =

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    24

    Evitar efectos cunticos.

    p q Principio de incertdumbre:

    Gas: las distancias y velocidades tpicasasociadas a las molculas deben cumplir:

    Brogliededeondadelongitudrp

    r ,, 000

    0 >>>>

    >> 00 pr

    Tkm

    h

    p

    h

    TkEvmEvmp

    =

    ===

    0

    0

    2

    000

    2

    2

    3,2

    1,

    3/1

    0

    3

    0

    =

    =

    nr

    N

    Vmolculaporvolumenr

    Ej: Estimar la situacin para un gas ideal en C.N.A que T hay efectos cunticos?

    13/1

    0

    0

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    25

    2/3

    3

    3

    )2(63

    4

    8

    1

    )( mE

    L

    RE

    =

    =

    N de estados >> N de partculas

    E

    >>

    2/3

    2

    2)()(

    2/123

    2,1

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

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    26

    Cmo se especifica el estado microscpico de un sistema descrito entrminos de la mecnica clsica?

    Especificar las posiciones ymomentos de cada partcula Puntos en el espacio de fases

    Sistema de N partculas:El espacio de fases tiene N x 6 dimensiones

    El estado de un sistema, en mecnica clsica,puede describirse especificando la celdilla delespacio de fases en el que se encuentran lasposiciones y momentos de las partculas delsistema.

    Definicin de equilibrio:Un sistema aislado est en equilibrio si se halla con igual probabilidad encada uno de sus estados accesibles, es decir, en cada una de las celdillasaccesibles del espacio de fases

  • 7/23/2019 interaccion termica

    27/48

    27

    Volvemos a la distribucin cannica, ahora en trminos de posiciones ymomentos de las partculas

    Antes:

    ++= 2

    2

    2

    2

    2

    222

    2z

    z

    y

    y

    x

    x

    rL

    n

    L

    n

    L

    n

    m

    ( )

    },,.....,,,,{

    exp

    111 NzNyNxzyxr

    rr

    nnnnnnEE

    EP

    =

    },,.....,,,,;,,.....,,,,{ 111111 NzNyNxzyxNzNyNxzyxr pppppprrrrrrEE =

    Ahora:

    Nh

    pdrd

    prEpdrdpr 30

    )),(exp(),(

    y usaremos una densidad de probabilidad:

    dpdrh =0

    pdrdprECpdrdpr

    )),(exp(),( =

    = 1),( pdrdprC

  • 7/23/2019 interaccion termica

    28/48

    28

    Distribucin de velocidades de Maxwell

    Gas ideal,Nmolculas en un volumen V, en equilbrio a temperatura T.

    m

    pvm

    22

    1 22==

    Buscamos la probabilidad de hallar la molcula en una celdilla del espacio de fases:

    pdrdmppdrdpr

    )]2/(exp[),( 2

    En el equilibrio, el gas est uniformemente distribuido en V:

    Buscaremos el n medio de molculas, por unidad de volumen,con velocidad entre y vdvv

    +

    Tratamos una molcula (clsicamente):

    vdeC

    rd

    vdrdvrNvdvf

    mv

    2

    2

    1),(

    )(

    ==

    Funcin de distribucin develocidades de Maxwell

  • 7/23/2019 interaccion termica

    29/48

    29

    Cmo hallamos C ?

    vdeCrd

    vdrdvrNvdvf mv

    22

    1

    ),()( == Si integramos a todas las velocidadestendremos el nmero de molculas porunidad de volumen, n

    nvdeC

    mv

    =

    2

    2

    1 2222zyx vvvv

    ++=

    es separable

    2/1

    2

    2

    121exp

    =

    mdvmv xx

    Para vx2/3

    2

    =

    mnC

    vdemnvdvfmv

    22/3

    2

    1

    2)(

    =

    Funcin de distribucin develocidades de Maxwell

  • 7/23/2019 interaccion termica

    30/48

    30

    Leccin 9Aplicaciones de la distribucin de velocidades de Maxwell.

    Efusin y haces moleculares

  • 7/23/2019 interaccion termica

    31/48

    31

    Funcin de distribucin develocidades de Maxwell

    Aplicaciones de la distribucin de velocidades de Maxwell

    Es interesante estudiar:- la distribucin de una componente de la velocidad (movimientodel gas)

    - la distribucin de los mdulos de las velocidades moleculares(molculas rpidas y lentas, distribucin de energa)

    vdem

    nvdvfmv

    22/3

    2

    1

    2)(

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

    32/48

    32

    Distribucin de una componente de la velocidad

    Buscaremos el n medio de molculas, por unidad de volumen,con la componente x de la velocidad entre vx y vx+dvx

    ==

    y zv vxx

    vdvfdvvg

    )()(

    =

    +

    =

    zyzyxx dvdvvvmdvmvC )(2

    1exp

    2

    1exp 22

    2

    = xx dvmvC

    2

    21exp'

    2/1

    2')(

    ==

    mnCndvvg xxcmo hallamos C ?

    = xxxx dvmv

    mndvvg

    2

    2/1

    2

    1exp

    2)(

    vdem

    nvdvfmv

    22/3

    2

    1

    2)(

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

    33/48

    33

    Cul es el valor medio de vx ? se desplaza el gas?

    0)(1

    ==

    xxxx dvvvgn

    v

    -4 -2 0 2 40.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    2/

    )(

    mn

    vg x

    mvx

    xxxx dvmvm

    ndvvg

    =

    2

    2/1

    2

    1exp

    2)(

    Anchura cuadrtica media:

    mkTdvvvg

    nv xxxx ==

    22 )(1

    ( )m

    kTvx =

    2/12

  • 7/23/2019 interaccion termica

    34/48

    34

    Distribucin de los mdulos de las velocidades moleculares

    Buscaremos el n medio de molculas, por unidad de volumen,con el mdulo de la velocidad entre v y v+dv

    =

    A

    vdvfdvvF

    )()(A : zona de velocidadescuyo mdulo est entre

    v y v+dv

    v+v

    vx

    vy

    vz

    v

    Volumen de la corteza: ( )dvv 24

    dvvvfdvvF 2

    )(4)( =

    dvve

    m

    ndvveCdvvF

    mvmv2

    22/3

    22

    2

    1

    2

    1

    244)(

    ==

  • 7/23/2019 interaccion termica

    35/48

    35

    dvvem

    ndvvFmv

    22

    2/3

    2

    1

    24)(

    =

    Propiedades de la funcin de distribucin delos mdulos de las velocidades moleculares

    dvvekT

    mndvvF

    kTmv 222/3

    2/2)(

    =

    0 1 2 3 4 50.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.0

    mkT

    v

    /

    2/12

    )(

    kT

    mn

    vF

    cul es la velocidad media?

    cul es la velocidad ms probable?

    cul es la velocidad raiz cuadrticamedia?

    cul es la energa media por molcula?

  • 7/23/2019 interaccion termica

    36/48

    36

    dvvekT

    mndvvF

    kTmv 222/3

    2/2)(

    =

    velocidad media: dvvekT

    mdvvvF

    nv

    kTmv 322/3

    0

    2/2)(

    1

    ==

    velocidad ms probable, v*: mximo de F(v) 0)(=

    dv

    vFd

    velocidad raiz cuadrtica media:( )

    dvvekT

    mdvvvF

    nv

    vv

    kTmv

    rcm

    42

    2/3

    0

    22

    2/12

    2/2)(

    1

    ==

    energa media por molcula: ( )

    dvvekT

    mmdvvvF

    n

    mvm

    vvmv

    kTmv

    rcm

    42

    2/3

    0

    22

    2/122

    2/)(

    1

    22

    1

    ,2

    ===

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

    37/48

    37

    dvvekT

    mndvvF

    kTmv 222/3

    2/2)(

    =

    mkT

    v

    /

    2/1

    2

    )(

    kTmn

    vF

    0 1 2 3 4 50.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    kT

    mkTv

    m

    kTv

    mkTvrcm

    2

    3

    2

    8

    3

    *

    =

    =

    =

    =

    rcmvvv*

    Ejemplo: Nitrgeno, 1 atmsfera, 300K: m/s500*v

  • 7/23/2019 interaccion termica

    38/48

    38

    dvvekT

    mndvvF

    kTmv 222/3

    2/2)(

    =

    N2

    H2

    Efecto de la temperatura Efecto de la masa

    Por qu en la atmsfera terrestre hay mucho ms nitrgeno y oxgeno que hidrgeno?Por qu hay hidrgeno en la de Jpiter?

  • 7/23/2019 interaccion termica

    39/48

    39

    Validez del estudio clsico:

    Brogliededeondadelongitudrp

    r ,, 000

    0 >>>>

    Tkm

    h

    p

    h

    Tkmvmp

    22

    ,2

    0

    0

    *0

    =

    =

    3/1

    0

    30

    =

    =

    nr

    NVmolculaporvolumenr

    Lmite clsico:

    Gas: las distancias y velocidades tpicasasociadas a las molculas deben cumplir: >> 00 pr

    13/1

    0

    0

  • 7/23/2019 interaccion termica

    40/48

    40

    Efusin y haces moleculares

    Recipiente con gas en equilibrio.El gas escapa por un pequeo orificio de dimetroD, de formaque el gas sigue en equilibrio.

    cmo debe ser el agujero para que no se perturbe el equilibrio?

    El equilibrio se alcanza, y se perturba, mediante choques moleculares.Por tanto, no deber haber choques cerca del agujero:

    el tiempo que la molcula est por ah, t*, debe ser muchomenor que el tiempo medio entre choques, tc

  • 7/23/2019 interaccion termica

    41/48

    41

    Efusin y haces moleculares

    Dcuntas molculas escapan porunidad de tiempo?cmo es este flujo?

    Nmero medio de molculasque escapan por unidad de

    tiempo (flujo)

    Nmero medio de choques porunidad de tiempo sobre el rea del

    agujero=

    dtv

    ( ) vndtAdtvAn 611

    6

    10 =

    =

    [ ]

    dvvedvv

    vdvvFdvv

    kTmv 32 2/)(

    )(6

    1)(

    =

    0 1 2 3 4 50.0

    0.2

    0.4

    0.6

    0.8

    1.01.2

    mkT

    v

    /

    Cv)(

    mT

    p 0

    Debido a la efusin, el gas del interior secalienta, se enfra o sigue igual?

  • 7/23/2019 interaccion termica

    42/48

    42

    Leccin 10Aplicaciones de la distribucin cannica.

    El teorema de la equiparticin de la energa.

  • 7/23/2019 interaccion termica

    43/48

    43

    El teorema de la equiparticin de la energa.

    Tratamiento clsico de un sistema: su energa depende de la posicin de las partculasen el espacio de fases.

    }.....,,;.....,,{ 11 ff pprrEE=

    Hay casos (como el gas ideal) en que la energa es separable:

    iffii psalvotodosEpprrEpE :'},.....,,;.....,,{')( 11+=

    Cuando el sistema est en contacto con un foco trmico,cul es la contribucin a la energa total de cada uno de estos i?

    Usaremos la distribucin cannica:

    ( )

    ( )

    =

    pdrdE

    pdrdEi

    i

    exp

    exp

    El teorema de la equiparticin de la energa:

  • 7/23/2019 interaccion termica

    44/48

    44

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )=

    +

    +

    =

    =

    pdrdEpdrdE

    pdrdE

    pdrdE

    i

    iiii

    )'(exp

    )'(exp

    exp

    exp

    El teorema de la equiparticin de la energa:

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    =

    *

    *

    'exp

    'exp

    exp

    exp

    dprdE

    dprdE

    dp

    dp

    ii

    iii

    ipsalvotodosdp :

    *

    ( )

    ( )( )

    =

    =

    ii

    ii

    iii

    i dpdp

    dp

    expln

    exp

    exp

    Si i es cuadrtica, como la energa cintica: i = b pi2

    ( ) ( ) ( ) 222/12 ,expexpexp iiiii pbycondyybdppbdp ===

    ( )

    +

    =

    dyybi2

    explnln

    2

    1

    Tki2

    11

    2

    1==

    Teorema de la equiparticin de la energa: Si un sistema descrito por la mecnicaestadstica clsica est en equilibrio a la temperatura T, cada trmino cuadrticoindependiente en su energa contribuye a la energa total con un valor kT/2

    Aplicaciones del teorema de la equiparticin de la energa:

  • 7/23/2019 interaccion termica

    45/48

    45

    Aplicaciones del teorema de la equiparticin de la energa:

    Calor especfico del gas ideal monoatmico:

    ( )2222

    1zyx ppp

    m++=Para 1 molcula: kT

    2

    3=

    Para 1 mol: TkNE A2

    3= RkN

    T

    EC A

    V

    V2

    3

    2

    3==

    =

    Oscilador armnico:

    22

    2

    1

    2

    1xp

    m x +=masa m oscilando en 1D: kT=

    Calor especfico de slidos:tomos oscilando en 3D:

    22

    2

    1

    2

    1xp

    m xx += kT3= kNC AV 3=

    Ley de Dulong y Petit

    validez de esta aproximacin?

    Por tomo:

    /2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    0

    2

    0

    2

    kTrkTxm

    mkTpkTpm

    x

    =

    =

    =>>

    >>>>

    kT

    mkTpr

    /,00

  • 7/23/2019 interaccion termica

    46/48

    46

    Energa cinticade traslacin:

    Energa cinticade rotacin:

    Energa cinticade vibracin :

    Energa potencialde vibracin :

    222

    2

    1

    2

    1

    2

    1zyx vmvmvm ++

    222

    2

    1

    2

    1

    2

    1zzyyxx III ++

    222

    21

    21

    21 zyx vmvmvm ++

    222

    2

    1

    2

    1

    2

    1zkykxk ++

    Ejemplos

    Calor molar del gas ideal

  • 7/23/2019 interaccion termica

    47/48

    47

    Calor molar del gas ideal

    RT

    E

    nc

    V

    V2

    31=

    =

    1) Gas monoatmico.

    RRcT

    H

    nc v

    pp

    2

    51=+=

    =

    2) Gas diatmico.

    RT

    E

    nc

    V

    V2

    51=

    = RRc

    T

    H

    nc v

    pp

    2

    71=+=

    =

    3) Gas poliatmico. Grados de libertad, f = 6 ms,siendo traslaciones y rotaciones:

    RRT

    E

    nc

    V

    V 32

    61==

    =

    RRRRcT

    H

    nc v

    p

    p 431

    =+=+=

    =

  • 7/23/2019 interaccion termica

    48/48

    48

    Modelo del slido

    Cristal formado por tomos o molculas monoatmicas.Ordenados en el espacio.

    Cada partcula vibra sobre su posicin de equilibrio y

    tiene tres grados de libertad cinticos y trespotenciales:

    RRTE

    ncc

    V

    pV 3261 ==

    =