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Coordinación de Matemática y Estadística ME-003 Cálculo I
Integrales Trigonométricas
Los ejercicios que se presentarán en este materialpretenden aclarar las dudas sobre integración deexpresiones trigonométricas.
Generalmente es necesario hacer una pequeñatransformación para resolver dichas expresiones.
La trigonometría será muy útil en la resolución deproblemas en áreas como electrónica yelectromecánica.
Presentación
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Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
Índice
Presentación 2
A manera de inicio 4Caso I 5Ejercicio 1 6Caso II 8Ejercicio 2 9Caso III 13Ejercicio 3 14Caso IV 18Ejercicio 4 19Cierre 24Créditos 25
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Para calcular integrales trigonométricas podemoshacer uso de una pequeña tabla de integrales básicaque nos será de mucha utilidad:
Dentro de los ejercicios que se le pueden presentar enintegrales de funciones trigonométricas es normalque aparezcan expresiones en términos de potenciasde las funciones seno y coseno, como tambiénpueden aparecer en términos de potencias de lasfunciones secante y tangente.
A manera de inicio
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Para un primer caso es importante recordar algunasde las identidades trigonométricas como lassiguientes:
Con las cuales se pueden transformar la mayoría delas expresiones trigonométricas y con ello podersimplificarlas con mayor facilidad.
Así como las pitagóricas:
!"#$ % + #'($ % = 1#'!$ % = 1 + +,($ %
Caso I
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Calcule la siguiente integral
!"#$ %&'( % )%
Paso 1 Se debe simplificar la expresión al máximo, en la medida de lo posible en términos de senos y cosenos.
!*+, -./0 - 1- = !
./, -03. -1
03. -1- =
!./, - 03. -03. - 1- = !./, - 1-
Ejercicio 1
Recuerde:
*+, - = 567 89:5 8 03. - = ;
569 8
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 2 Se calcula la integral
!"#$ % &% = ()" % + +
Paso 3 Respuesta
Ejercicio 1
()" % + +
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Integrales de la forma
!"#$$ % &'"( % )%
Para «m» imparComo el exponente del coseno es impar lo separamosde modo que quede *+, - multiplicando el otrocoseno que tendrá exponente par.
!"#$$ % &'"(./ % &'" % )%
Después se transforma la expresión de coseno a algoasí *+,0 - 1 , donde «r» es un número quemultiplicado por 2 da m−1 , se transforma laidentidad pitagórica
*+,0 - = 1 − ,560 -
Caso IITema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Calcule la siguiente integral
!"#$%& ' ()"* ' +'
Paso 1 Se separa la potencia de coseno para que quede un coseno elevado a la uno aparte.
!,-./0 1 23,4 1 51 = !,-./0 1 23,7 1 23, 1 51
Paso 2 Se coloca la potencia del coseno como 23,0 1 8, eneste caso : = 2.
! ,-./0 1 23,7 1 23, 1 51 =
!,-./0 1 23,0 1 023, 1 51
Ejercicio 2Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 3Se hace cambio por la expresión pitagórica
!"#$ % = 1 − #)*$ %+#)*,$ % !"#$ % $!"# % -% =
+#)*,$ % 1 − #)*$ % $!"# % -%
Paso 4 Se resuelve la fórmula notable 1 − #)*$ % $
+ #)*,$ % 1 − 2#)*$ % + #)*0 % !"# % -%
Ejercicio 2
Recuerde:#)*$ % + !"#$ % = 1
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 5Se multiplica la expresión∫"
#$%&'( ) *+$ ) − 2$%&'. ) *+$ ) +
$%&'0 ) *+$ ) 1)
Paso 6 Se separan los términos de la integral
2$%&'( ) *+$ ) 1) − 22$%&'. ) *+$ ) 1) + 2$%&'0 ) *+$ ) 1)
Paso 7 Se hace la sustitución de 3 = $%& ) y 13 =*+$ ) 1) para resolver la integral por sustitución
23'(13 − 223'.13 + 23'013
Ejercicio 2
Recuerde:3 = $%& )
13 = *+$ ) 1)
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 8Resolver las integrales que están separadas por lassumas o restas
!"#$%" − 2!"#(%" + !"#*%"
"##11 − 2 ,
"#-13 +
"#/15 + 1
Paso 9 Respuesta
Ejercicio 2
Recuerde:" = 345 6
%" = 783 6 %6
345## 611 − 2345
#- 613 + 345
#/ 615 + 1
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Integrales de la forma
!"#$$ % &'"( % )%
Para «n» imparComo el exponente del seno es impar lo separamosde modo que quede *+, - multiplicando el otroseno que tendrá exponente par.
!"#$$./ % "#$ % &'"( % )%
Después se transforma la expresión de seno a algo así*+,0 - 1 , donde «r» es un número que
multiplicado por 2 da , − 1 , se transforma laidentidad pitagórica *+,0 - = 1 − 56*0 -
Caso IIITema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Calcule la siguiente integral
!"#$% & '(")* & +&
Paso 1 Se separa la potencia de coseno para que quede un seno elevado a la uno aparte.
!,-./ 0 12,34 0 50 = !,-.7 0 ,-. 0 12,34 0 50
Paso 2 Se coloca la potencia del seno como ,-.7 0 8, eneste caso : = 1.
! ,-.7 0 ,-. 0 12,34 0 50
Ejercicio 3Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 3Se hace cambio por la expresión pitagórica!"#$ % = 1 − )*!$ %
+ 1 − )*!$ % !"# % )*!,- % .%
Paso 4 Se multiplica la expresión
+ !"# % )*!,- % − !"# % )*!,$ % .%
Ejercicio 3
Recuerde:!"#$ % + )*!$ % = 1
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Paso 5 Se separan los términos de la integral
!"#$ % &'"() % *% − !"#$ % &'"(, % *%
Paso 6 Se hace la sustitución de - = &'" % y −*- ="#$ % *%, para resolver la integral por sustitución
!-() / −*- −!-(, / −*- =
−!-()*- + !-(, *- =
Ejercicio 3Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 7 Resolver las integrales que están separadas por lassumas o restas
−"#$%&# + "#$( &# =
−#*9 + #
$$
11 + -Paso 8Respuesta
Ejercicio 3
−./0* 19 + ./0
$$ 111 + -
Recuerde:# = ./0 1
&# = −023 1 &1−&# = 023 1 &1
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Integrales donde ambas potencias son pares
Como el exponente del seno es par es necesariotrabajar con la identidad:
!"#$ % = '$ 1 − *+! 2%
Como el exponente del coseno es par es necesariotrabajar con la identidad:
*+!$ % = 12 1 + *+! %
Caso IVTema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Calcule la siguiente integral
!"#$% & '&
Paso 1 Se hace el cambio de
()*+ , = 12 1 + ()* 2,
!()*1 , 2, =
! ()*+ , +2, =
! 1 + ()* 2,2
+2,
Ejercicio 4Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 2Se simplifica la expresión que resulta
! 1 + $%& 2(2
)*( = ! 1 + 2$%& 2( + $%&) 2(
4 *(
Paso 3 Se separan los términos de la integral y se simplifica
! 1 + 2$%& 2( + $%&) 2(4 *(
! 14 +
2$%& 2(4 + $%&
) 2(4 *(
!14*( + !$%& 2(
2 *( + !$%&) 2(4 *(
Ejercicio 4Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Paso 4 Hay que cambiar !"#$ 2& = ()*+, -.
$
/142& + /!"# 2&
2 2& + /!"#$ 2&4 2&
/142& + /!"# 2&
2 2& + /1 + !"# 4&8 2&
Ejercicio 4
Recuerde:
!"#$ & = 1 + !"# 2&2
!"#$ 2& = ()*+, -.$
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Paso 5Se separan los términos de la última integral
!14$% + !'() 2%
2 $% + !1 + '() 4%8 $%
!14$% + !'() 2%
2 $% + !18$% +18!'() 4% $%
Paso 6Se calculan las integrales, se aplica el método porsustitución
!14$% +12!'() 2% $% + !18$% +
18!'() 4% $%
%4 +
12!'() ,
$,2 + %8 +
18!'() -
$-4
Ejercicio 4
Recuerde:, = 2%
$, = 2$%$,2 = $%
Recuerde:- = 4%
$- = 4$%$-4 = $%
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Continúa paso 6
!4 +
12&'() *
+*2 + !8 +
18&'() -
+-4
!4 +
14 )./ * + !8 +
132 )./ - + 1
!4 +
)./ 2!4 + !8 +
)./ 4!32 + 1
Paso 7Respuesta
Ejercicio 4
!4 +
)./ 2!4 + !8 +
)./ 4!32 + 1
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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Espero que estos ejercicios le sean de utilidad pararesolver problemas de Integración trigonométrica,con los cuáles pueda construir los nuevosconocimientos que vendrán en Cálculo I.
Factorizar la expresión
A manera de cierre
«El estudio de las matemáticas,como el Nilo, comienza conminuciosidad pero termina conmagnificencia».
Charles Caleb Colton.
Tema: Integraciones Trigonométricas | Unidad XII
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CréditosUniversidad Técnica Nacional
Coordinación de Matemáticas y Estadística
ContenidoAutor: Gerardo Arroyo Brenes
Producción del recurso didáctico:Productora académica: Guadalupe Zúñiga Camacho
Diseño Gráfico y multimedia: Karol González Ugalde
Derecho de AutorQueda prohibida la reproducción, transformación,distribución y comunicación pública de la obra multimedia[Integrales Trigonométricas], por cualquier medio oprocedimiento, conocido o por conocerse, sin elconsentimiento previo de los titulares de los derechos, asícomo de las obras literarias, artísticas o científicasparticulares que contiene.
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