integrales multiples calculo 3

Héctor Palma Valenzuela. Dpto. de Matemática UdeC. 1

1 Integrales múltiples.

1.1 Integrales dobles.

Para el caso de una variable, con una función f : [a, b] → R continua yno negativa, la integral

R baf(x)dx permite calcular el área de la región del

plano xy bajo la curva y = f(x). Por ejemplo, para f(x) = 3 − 12(x − 1)2,

con 0 ≤ x ≤ 3, el área de la región mostrada está dada por la integralR 30(3− 1

2(x− 1)2)dx = 15

2

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-1 1 2 3 4x

En el caso de una función de dos variables, (x, y) 7→ f(x, y), continua y nonegativa sobre el conjunto R = [a, b]× [c, d] (rectángulo del plano), la integraldoble

R RRf(x, y)d(x, y) nos permitirá calcular el volumen de la región del

espacio xyz bajo la gráfica de f.

0

1

2

3

4

0.51

1.52

y0.5

11.5

2

x

Así comom(I) = b−amide la longitud del intervalo I = [a, b] , el productom(R) = (b− a) (d− c) mide el área del rectángulo R = [a, b] × [c, d]. Enambos casos hablaremos de la medida del conjunto.


Dadas una partición Px = {x0, x1, ...., xn} de [a, b] y una particiónPy = {y0, y1, ..., ym} de [c, d]:

a = x0 < x1 < ... < xn = b

c = y0 < y1 < ... < ym = d

el conjunto P = Px × Py = {(x0, y0), ..., (x0, ym), (x1, y0), ........, (xn, ym)} sedenomina partición de R.Px divide [a, b] en n subintervalos: [xi−1, xi] , con i = 1, ..., n, cada uno de

longitud ∆i = xi − xi−1.Py divide [c, d] en m subintervalos: [yj−1, yj] , con j = 1, ..., n, cada uno

de longitud ∆j = yj − yj−1.P divide R = [a, b] × [c, d] en r = nm subrectángulos: Rk = [xi−1, xi] ×

[yj−1, yj] , con k = 1, ..., r, cada uno de área (medida) ∆(Rk) = ∆i ·∆j.Como la f es continua sobre cada Rk, existen:

mk = min {f(x, y) : (x, y) ∈ Rk} : valor mínimo de f en RkMk = max {f(x, y) : (x, y) ∈ Rk} : valor máximo de f en Rk

Los productos mk ·∆(Rk) yMk ·∆(Rk) representan, respectivamente, losvolúmenes de paralelepípedos de base Rk y altura mk y Mk. Estos permitendefinir:

la suma inferior de f asociada a P : s(f, P ) =rXk=1

mk ·∆(Rk)

la suma superior de f asociada a P : S(f, P ) =rXk=1

Mk ·∆(Rk).Desde un punto de vista geométrico, el volumen V de la región bajo la

gráfica de f debe verificar

s(f, P ) ≤ V ≤ S(f, P )y esto, cualquiera sea la partición P del rectángulo R.

La idea básica consiste en que mientras más pequeños sean todos lossubrectángulos determinados por la partición, las sumas inferior y superiordeben aproximar mejor el volumen de la región


Sean P y Q dos particiones de R. Se dice que Q refina a P cuandoP ⊂ Q. Esto significa que cada subrectángulo determinado por P se divideen varios subrectángulos según la partición Q.Se puede probar que, en este caso,

s(f, P ) ≤ s(f,Q) ≤ V ≤ S(f,Q) ≤ S(f, P )

O sea, al refinar la partición, la suma inferior crece y la superior decrece.Otro elemento importante acá es el concepto de norma de una partición

P , definido como: kPk igual a la mayor área de todos los subrectángulosdeterminados por la partición. Así, la partición P tiene norma kPk pequeñacuando todos los subrectángulos tienen área pequeña.Finalmente, se prueba que existe un número real I (único) que verifi-

ca:

dado ε > 0 existe δ > 0 tal que :

kPk < δ ⇒ |S(f, P )− I| < ε ∧ |s(f, P )− I| < ε

Este número I puede ser aproximado tanto como se quiera por una sumainferior y una suma superior, a condición que la partición escogida tenganorma suficientemente pequeña.Además este número satisface: s(f, P ) ≤ I ≤ S(f, P ), para todas las

particiones. Luego él permite definir el volumen de la región bajo la gráficade f y, más importante aún, define la integral doble de f sobre el rectánguloR :Para una función f : [a, b]× [c, d]→ R continua, la integral doble de f es:ZZ

R

f(x, y)d(x, y) = I = limkPk→0

s(f, P ) = limkPk→0

S(f, P )

Observación.- Si la f no es continua pero es acotada sobre el rectánguloR, se puede repetir la construcción anterior cambiando mínimo y máximopor ínfimo y supremo en la definición de los mk y Mk. En este caso no estágarantizada la existencia del número I que se aproxime simultáneamente porsumas inferiores y sumas superiores. Por esto aparece el concepto de funciónintegrable cuando existe I como antes y función no integrable cuando noexiste tal número. En todo caso tenemos claro que las funciones continuasson integrables.


Hemos dado una idea de la definición (teórica) del concepto de integral,pero lo más importante para nosotros será determinar cómo se calcula unaintegral doble. Antes de dar el teorema que permite evaluar, de manerapráctica, una integral, mencionaremos alguna propiedades importantes deella:

1. Si f, g : R→ R son funciones integrables sobre el rectánguloR = [a, b] × [c, d], entonces las funciones f + g y cf , donde c es unaconstante, son integrables yZZ

R

[f(x, y) + g(x, y)] d(x, y) =

ZZR

f(x, y)d(x, y) +

ZZR

g(x, y)d(x, y)ZZR

cf(x, y)d(x, y) = c

ZZR

f(x, y)d(x, y)

2. Si f, g : R→ R son funciones integrables sobre el rectánguloR = [a, b]× [c, d] , entonces

f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ R⇒ZZ

R

f(x, y)d(x, y) ≤ZZ

R

g(x, y)d(x, y)¯̄̄̄ZZR

f(x, y)d(x, y)

¯̄̄̄≤ZZ

R

| f(x, y)| d(x, y)

3. Si el rectángulo R se particiona en n subrectángulo R1, ...., Rn y f esintegrable sobre R, entoncesZZ

R

f(x, y)d(x, y) =

ZZR1

f(x, y)d(x, y) + ...+

ZZRn

f(x, y)d(x, y)

1.2 Integrales iteradas.

El siguiente teorema permite el cálculo de una integral doble mediante laevaluación de dos integrales iteradas simples (integrales de funciones de unavariable real).Sea f : [a, b]× [c, d]→ R una función continua sobre el rectángulo

R = [a, b]× [c, d]Para cada x ∈ [a, b], la función fx : [c, d] → R definida por fx(y) =

f(x, y) es continua (e integrable) y podemos evaluar Fx(x) =R dcfx(y)dy =R d

cf(x, y)dy. Análogamente, para cada y ∈ [c, d], podemos definir Fy(y) =R b

afy(x)dx =

R baf(x, y)dx.


Teorema 1 (de Fubini). Con las notaciones anteriores, la función Fx esintegrable sobre [a, b], la función Fy es integrable sobre [c, d] yZZ

R

f(x, y)d(x, y) =

Z b

a

Fx(x)dx =

Z d

c

Fy(y)dy

La fórmula anterior se escribeZZR

f(x, y)d(x, y) =

Z b

a

Z d

c

f(x, y)dydx =

Z d

c

Z b

a

f(x, y)dxdy

Las dos integrales a la derecha se llaman integrales iteradas. Note que elproceso de integración se puede efectuar en cualquiera de los dos órdenesposibles, dydx: primero con respecto a y y después con respecto a x, o alrevés dxdy.

Ejemplo 2 Calcule el volumen de la región bajo el paraboloidez = 1

2(8− x2 − y2) sobre el rectángulo R = [0, 1]× [0, 2] .

2

4

0

2

y

0

1x

V =

ZZR

1

2(8− x2 − y2)d(x, y) =

Z 1

0

Z 2

0

1

2(8− x2 − y2)dydx

=

Z 1

0

(20

3− x2)dx = 19

3

Ejercicio 3 Evalúe la integralRR

Rx2 sin(xy)d(x, y), donde R = [0,π]×[0, 1]


1.3 Integrales triples y múltiples.

La misma construcción anterior puede hacerse con una función de n variables:Un rectángulo en Rn es un conjunto de la forma R = [a1, b1]× [a2, b2]×

... × [an, bn] y su medida es el producto de las longitudes de los intervalosque lo definen. Podemos también considerar particiones para el rectángulo ycon ellas definir sumas inferior y superior para una función f : R→ R, de nvariables x1, x2, ..., xn que sea acotada sobre el rectángulo.Se define así la integral de f sobre el rectángulo RZ

· · ·ZR

f(x1, ...xn) d(x1, ...xn)

El Teorema de Fubini continúa válido permitiendo calcular la integral anteriormediante n integrales iteradas:Z

· · ·ZR

f(x1, ...xn) d(x1, ...xn) =

Z bn

an

...

Z b1

a1

f(x1, ..., xn)dx1...dxn

Esta posibilidad incluye los n! órdenes de integración posibles.

Ejemplo 4 Calcular la integral tripleRRR

R(x2yz + 3y2)d(x, y, z) sobre el

rectángulo R = [0, 2]× [1, 2]× [0, 3] .

Hasta aquí sabemos que todas las funciones continuas sobre un rectán-gulo son integrables. Pero nos podemos preguntar ¿hay otras funciones queno sean continuas en todos los puntos del rectángulo y sin embargo seanintegrables? ¿Cómo reconocerlas?

Definición 5 Un conjunto C ⊂ Rn tiene contenido nulo cuando: dado ε > 0existen rectángulos R1, R2, ..., Rp tales que

C ⊂ R1 ∪R2 ∪ ... ∪Rp y m(R1) +m(R2) + ...+m(Rp) < ε

Algunas propiedades directas de la definición son:

1. Todo conjunto formado por un punto tiene contenido nulo.

2. La unión finita de conjuntos de contenido nulo tiene contenido nulo.

3. Todo conjunto finito tiene contenido nulo.


4. Un subconjunto de un conjunto de contenido nulo tiene contenido nulo.

5. Un rectángulo R para el cual uno de los intervalos que lo definen sereduzca a un punto ([ak, ak] = {ak}) tiene contenido nulo.

6. Las funciones de clase C1 preservan el contenido nulo. Esto es, si ϕ :A ⊂ Rn → Rn es de clase C1 en el abierto A y C es un conjunto decontenido nulo en Rn con C̄ ⊂ A , entonces ϕ(C) es de contenido nuloen Rn.

7. De la propiedad anterior se sigue que:a) una curva acotada C : y = f(x), donde f es de clase C1 es decontenido nulo en R2b) una superficie acotada S : z = f(x, y), donde f es de clase C1 es decontenido nulo en R3.

Teorema 6 Sea f : R→ R una función acotada en un rectángulo R ⊂ Rn.Si f es continua en todos los puntos de R−C, donde C ⊂ R es un conjuntode contenido nulo, entonces f es integrable en R.

Debe tenerse presente que aunque la clase de funciones determinada enel teorema anterior es bastante amplia, no incluye a todas las funciones inte-grables. Para caracterizar a todas las funciones integrables sobre un rectán-gulo R se necesita el concepcto de medida nula.

Definición 7 Un conjunto C ⊂ Rn tiene medida nula cuando: dado ε > 0existe una sucesión de rectángulos R1, R2, ..., Rk, ... tales que

C ⊂∞[k=1

Rk y∞Xk=1

m(Rk) < ε

Propiedades que se deducen rápidamente de la definición son:

1. Todo conjunto formado por un punto tiene medida nula.

2. La unión numerable de conjuntos de medida nula tiene medida nula.

3. Todo conjunto numerable tiene medida nula.

4. Un subconjunto de un conjunto de medida nula tiene medida nula.


5. Todo conjunto de contenido nulo tiene medida nula. (el recíproco novale)

6. Todo conjunto de medida nula y compacto tiene contenido nulo.

Teorema 8 (de Lebesgue).- Sea f : R → R una función acotada en el rec-tángulo R. La función f es integrable en R si y sólo si, los puntos donde fes discontinua forman un conjunto de medida nula.

1.4 Conjuntos medibles.

Por ahora hemos trabajado el concepto de integral sobre rectángulos delespacio Rn. Para definir integral sobre conjuntos acotados más generales serequiere que éstos cumplan cierta condición.Para un conjunto B ⊂ Rn se define la función característica de B,

χB : Rn → R,

χB(X) =

½1 si X ∈ B0 si X /∈ B

Note que los puntos de discontinuidad de χB son los puntos de la fronterade B. Además, cuando B es acotado él está incluido en algún rectángulo R(B ⊂ R). Según el teorema de Lebesgue, χB es integrable sobre R si, y sólosi, Fr(B) tiene medida nula (o contenido nulo, por ser compacto).

Definición 9 Un conjunto B es medible (según Jordan) si es acotado yFr(B) tiene medida nula. Se define la medida de B por

m(B) =

ZR

χB(X) dX donde R es un rectángulo que contiene a B

Sea ahora f : B ⊂ Rn → R una función acotada sobre un conjuntomedibleB. Elejimos un rectánguloR tal queB ⊂ R y se define una extensiónde f

fB(X) =

½f(X) si X ∈ B0 si X /∈ B


Definición 10 f es integrable sobre B cuando fB es integrable sobre R y sedefine Z

· · ·ZB

f(X) dX =

Z· · ·ZR

fB(X) dX

Del criterio de Lebesgue, f es integrable sobre el conjunto medible B si,y sólo si, el conjunto de puntos de discontinuidad de f tiene medida nula.

1.5 Cálculo de integrales sobre conjuntos medibles.

Integrales dobles.Caso 1.-Para integrales dobles sobre el conjunto

B = {(x, y) : a ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)}, el cual se abrevia

B :

½a ≤ x ≤ b

ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)

Se puede probar que si ϕ y ψ son integrables en [a, b] (por ejemplo, cuandoson continuas), entonces B es medible. Si f es integrable en B, entoncesZZ

B

f(x, y)d(x, y) =

Z b

a

Z ψ(x)

ϕ(x)

f(x, y)dydx

Caso 2.- Para integrales dobles sobre el conjunto

B = {(x, y) : c ≤ y ≤ d, u(y) ≤ x ≤ v(y)}, el cual se abrevia

B :

½c ≤ y ≤ d

u(y) ≤ x ≤ v(y)Se puede probar que si u y v son integrables en [c, d] (por ejemplo, cuando

son continuas), entonces B es medible. Si f es integrable en B, entoncesZZB

f(x, y)d(x, y) =

Z d

c

Z v(y)

u(y)

f(x, y)dxdy

Note que en las dos fórmulas anteriores, la representación del conjuntoB, según se trate del caso 1 o 2, determina el orden de integración en lasintegrales iteradas. Hay casos en que el conjunto medible B permite las dosrepresentaciones (caso 1 y caso 2) y por lo tanto se puede escoger entre losdos posibles órdenes de integración. Muchas veces uno de los posibles órdeneses más conveniente que el otro.


Ejemplo 11 Sea T el triángulo de vértices (0, 0), (2, 0) y (1, 1). Calcule laintegral doble ZZ

T

xyd(x, y)

usando los dos posibles órdenes de integración.R 1012(4y − 4y2) dy = 1

3

Ejemplo 12 Sea D la región del primer octante del espacio 3-d acotada porel cilindro parabólico z = 1− y2 y el plano x+ y = 2. Mediante una integraldoble calcule el volumen de D.R 1

0

R 2−y0

(1− y2) dxdy = 1312= 1. 083 333 333

Integrales triples.Caso 1.- Sobre un conjunto B de la forma

B :

a ≤ x ≤ bϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x)

u(x, y) ≤ z ≤ v(x, y)donde las funciones ϕ,ψ son continuas en [a, b] y u, v también son continuas.Si f es integrable en B, entoncesZZZ

B

f(x, y, z)d(x, y, z) =

Z b

a

Z ψ(x)

ϕ(x)

Z v(x,y)

u(x,y)

f(x, y, z)dzdydx

Observe que la proyección del conjunto B sobre el plano xy es el conjuntoa ≤ x ≤ b, ϕ(x) ≤ y ≤ ψ(x), el cual está representado según el caso 1 de lasintegrales dobles.Esta descripción del conjunto B determina el orden dzdydx en las inte-

grales iteradas. Existen otros 5 posibles órdenes de integración que puedenusarse según el conjunto B admita una representación que los permita. Sólomencionaremos uno más.Caso 2.- Sobre un conjunto B de la forma

B :

c ≤ y ≤ dϕ(y) ≤ z ≤ ψ(y)

u(y, z) ≤ x ≤ v(y, z)con las funciones como antes, se tieneZZZ

B

f(x, y, z)d(x, y, z) =

Z d

c

Z ψ(y)

ϕ(y)

Z v(y,z)

u(y,z)

f(x, y, z)dxdzdy


Ejemplo 13 Calcule la integralRRR

Tzd(x, y, z) donde T es tetraedro de vér-

tices (0, 0, 0), (2, 0, 0), (0, 3, 0) y (0, 0, 4), utilizando dos posibles órdenes deintegración.R 3−3

2x

012

¡4− 2x− 4

3y¢2dy = −x3 + 6x2 − 12x+ 8R 2

0(−x3 + 6x2 − 12x+ 8) dx = 4

Ejemplo 14 Escriba las integrales iteradas para calcular la integral tripleZ Z ZD

√x2 + z2dV

donde D es la región encerrada por el paraboloide y = x2 + z2 y el planoy = 4, usando los órdenes: dzdydx y dydzdx.

1.6 Cambio de variables.

Para integración en una variable es fácil obtener la fórmulaZ b

a

f (x) dx =

Z d

c

f (g (t)) g0 (t) dt

donde a = g (c) y b = g (d) . En efecto: si F es una antiderivada de f entoncesZ b

a

f (x) dx = F (b)− F (a)Z d

c

f (g (t)) g0 (t) dt = F (g (d))− F (g (c))

Por lo tanto, tenemos la fórmula del cambio de variablesZ g(d)

g(c)

f (x) dx =

Z d

c

f (g (t)) g0 (t) dt

Para integrales dobles también se tiene una fórmula de cambio de variables,para evaluar una integral de la formaZ Z

B

f (x, y) d (x, y)

con B un subconjunto medible del plano xy y f una función integrable, comouna nueva integral sobre un plano uv.


Más precisamente, considere una transformación T : A → B, (u, v) 7→T (u, v) = (x, y) , la que puede representarse por

x = x (u, v)

y = y (u, v)

que sea de clase C1, inyectiva de A sobre el conjunto B y tal que el Jacobianode T no se anule, esto es:

JT (u, v) ≡ ∂ (x, y)

∂ (u, v)=

¯̄̄̄¯̄̄ ∂x

∂u

∂x

∂v∂y

∂u

∂y

∂v

¯̄̄̄¯̄̄ 6= 0

para todo (u, v) ∈ A. En estas condiciones se puede probar queZ ZB

f (x, y) d (x, y) =

Z ZA

f (x (u, v) , y (u, v)) |JT (u, v)| d (u, v)

El teorema aún es válido si falla la inyectividad o la no anulación del jacobianoen un subconjunto de A de medida nula.

u

v

A

x

y

BT f

IR

Obs.- La transformación T anterior queda definida por

x = x (u, v)

y = y (u, v)

Un caso particular destacable corresponde al cambio de coordenadascartesianas x y a polares r θ según se describe a continuación


1.6.1 Coordenadas polares.

La transformación es T : R2 → R2, T (r, θ) = (r cos θ, r sin θ) es de clase C1con jacobiano

JT (r, θ) =

¯̄̄̄cos θ −r sin θsin θ r cos θ

¯̄̄̄= r

luego puede aplicarse el teorema en cualquier subconjunto medible A delplano r θ, incluido en el semiplano r ≥ 0, donde T sea inyectiva (salvo quizásen un conjunto de medida cero). Así, con B = T (A) se tieneZ Z

B

f (x, y) d (x, y) =

Z ZA

f (r cos θ, r sin θ) r d (r, θ)

Ejemplo 15 Calcular I =R R

B(4− x2 − y2) d (x, y) , donde B : x2+y2 ≤ 4.

En coordenadas polares I =R 2π0

R 20(4− r2) rdrdθ = 8π

Ejemplo 16 Calcular el volumen del sólido sobre el plano xy, en el interiordel cilindro x2 + y2 = 2y y bajo el paraboloide z = 4− x2 − y2.R 2 sin θ

0(4− r2) rdr = 4− 4 cos4 θR π

0(4− 4 cos4 θ) dθ = 5

2π

Otro caso importante lo constituyen las transformaciones lineales biyec-tivas (isomorfismos lineales).

1.6.2 Cambio de variables de tipo lineal.

Una transformación lineal T : R2 → R2 está definida por: (x, y) = T (u, v) =(au+ bv, cu+ dv), con a, b, c, d constantes. El jacobiano de T es el determi-nante de la matriz que representa a la transformación lineal:

JT (u, v) =

¯̄̄̄a bc d

¯̄̄̄= ad− bc

y él será no nulo cuando la transformación sea inyectiva. Luego, para cualquierA medible en el plano uv, con B = T (A) medible en el plano xy se tieneZ Z

B

f (x, y) d (x, y) =

Z ZA

f (au+ bv, cu+ dv) |JT (u, v)| d (u, v)


Note que en el caso que f (x, y) = 1, la fórmula queda

m (B) = |JT (u, v)|m (A)

siendo la medida del conjunto su área.

Ejemplo 17 Sea B el triángulo determinado en el primer cuadrante por losejes coordenados y la recta x+ y = 2. Calcule la integralZ Z

B

e(y−xy+x)d (x, y)

12

R v−v e

uv du = 1

2v (e2 − 1) e−1R 2

0

¡12v (e2 − 1) e−1¢ dv = (e2 − 1) e−1

Para integrales triples la fórmula del cambio de variables, para la trans-formación T

x = x (u, v, w)

y = y (u, v, w)

z = z (u, v, w)

con las mismas propiedades anteriores, quedaZ Z ZB

f (x, y, z) d (x, y, z, )

=

Z Z ZA

f (x (u, v, w) , y (u, v, w) , z (u, v, w)) |JT (u, v, w)| d (u, v, w)

Ejemplos importantes son el uso de las coordenadas cilíndricas y esféricasque se describen a continuación:

1.7 Coordenadas cilíndricas

x = r cos θ

y = r sin θ

z = z


J(r, θ, z) =

¯̄̄̄¯̄ cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 00 0 1

¯̄̄̄¯̄ = r

Para f : B → R integrable en B ⊂ R3, conjunto medibleZ Z ZB

f (x, y, z) d (x, y, z) =

Z Z ZA

f (r cos θ, r sin θ, z) rd (r, θ, z)

donde A es la descripción de B en coordenadas cilíndricas.

Ejemplo 18 Calcule el volumen del sólido B en el primer octante limitadopor el cilindro x2 + y2 = 2y, el cono z =

px2 + y2 y el plano xy

cartesianas cilíndricascilindro x2 + y2 = 2y r = 2 sin θ

cono z =px2 + y2 z = r

plano z = 0 z = 0La región B se describe en coordenadas cilíndricas por A :

0 ≤ θ ≤ π/2

0 ≤ r ≤ 2 sin θ0 ≤ z ≤ r

Luego,

V ol (B) =

Z Z ZB

d (x, y, z)

=

Z Z ZA

rd (r, θ, z)

=

Z π/2

0

Z 2 sin θ

0

Z r

0

rdzdrdθ

=16

9

1.8 Coordenadas esféricas.-

x = ρ sinφ cos θ

y = ρ sinφ sin θ

z = ρ cosφ


J(ρ, θ,φ) =

¯̄̄̄¯̄ sinφ cos θ −ρ sinφ sin θ ρ cosφ cos θsinφ sin θ ρ sinφ cos θ ρ cosφ sin θcosφ 0 −ρ sinφ

¯̄̄̄¯̄ = −ρ2 sinφ

Para f : B → R integrable en B ⊂ R3, conjunto medibleZ Z ZB

f (x, y, z) =

Z Z ZA

f (ρ sinφ cos θ, ρ sinφ sin θ, ρ cosφ) ρ2 sinφd (ρ, θ,φ)

donde A es la descripción de B en coordenadas esféricas.

Ejemplo 19 Calcule el volumen del sólido B limitado por la esfera x2+y2+(z − 1)2 = 1, y sobre el cono √3z =px2 + y2

cartesianas esféricasesfera x2 + y2 + z2 = 2z ρ = 2 cosφ

cono√3z =

px2 + y2 φ = π/3

La región B se describe en coordenadas esféricas por A :

0 ≤ φ ≤ π/3

0 ≤ θ ≤ 2π0 ≤ z ≤ 2 cosφ

Luego,

V ol (B) =

Z Z ZB

d (x, y, z)

=

Z Z ZA

ρ2 sinφd (r, θ, z)

=

Z π/3

0

Z 2π

0

Z 2 cosφ

0

ρ2 sinφdρdθdφ

=5

4π

Finalmente comentaremos algunos aspectos de las integrales múltiplesimpropias, en el caso de dos variables, mediante unos ejemplos:Cálculo de

R RR2 e

−x2−y2d (x, y) .La idea principal es cubrir el plano R2 mediante una sucesión creciente

de conjunto medibles:

Dn : x2 + y2 ≤ n2 , ∀n ∈ N


Calcular la integral sobre cada Dn, usando coordenadas polaresZ ZDn

e−x2−y2d (x, y) =

Z 2π

0

Z n

0

e−r2

rdrdθ

= π − πe−n2

y tomar límiteZ ZR2e−x

2−y2d (x, y) = limn→∞

Z ZDn

e−x2−y2d (x, y)

= limn→∞

³π − πe−n

2´

= π

Un aspecto importante de esta teoría es mostrar que el resultado obtenidono depende de la sucesión de conjuntos elegida. Esto ocurre al menos paralas funciones no negativas tales como f (x, y) = e−x

2−y2.Así, al tomar la sucesión de cuadrados Tn : [−n, n] × [−n, n] también se

tiene

limn→∞

Z ZTn

e−x2−y2d (x, y) = π

Ahora si consideramos queZ ZTn

e−x2−y2d (x, y) =

Z n

−n

Z n

−ne−x

2

e−y2

dydx

=

Z n

−ne−x

2

dx

Z n

−ne−y

2

dy

=

µZ n

−ne−x

2

dx

¶2se concluye que Z +∞

−∞e−x

2

dx =√π

También, dado que g (x) = e−x2es positiva y parZ ∞

0

e−x2

dx =

√π

2

integrales multiples calculo 3

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