capitulo iii - integrales multiples · en el estudio de integrales múltiples, en el cual se tratan...

1Integrales Múltiples

En el estudio de integrales múltiples, en el cual se tratan funciones de varias variables, se hará referencia a una integralde una función de una sola variable como integral simple. Para poder determinar la integral de una función, ésta debíaestar definida en el intervalo cerrado del conjunto de los números reales. Para la integral doble de una función de dosvariables, se pedirá que la función esté definida en una región cerrada de R2.

Las coordenadas cilíndricas y esféricas son generalizaciones de las coordenadas polares para el espacio tridimensional.Se estudiarán al inicio ya serán de utilidad en toda la unidad.

Coordenadas cilíndricas

En el sistema de coordenadas cilíndricas, un punto P en espacio tridimensional está representado por el triple ordenado(r, q, z), donde r y q son coordenadas polares de la proyección de P sobre el plano xy y z es la distancia dirigida desdeel plano xy a P.[1]

Para convertir de coordenadas cilíndricas a rectangulares, usamos las ecuaciones:

(1.1)x = r cosq y = r senq z= z

Para convertir de coordenadas rectangulares a cilíndricas, usamos las ecuaciones:

(1.2)r2 = x2 + y2 q = ArcTany

xsi x ∫ 0 z= z

Ejemplo 1.1.1

Localice el punto en coordenadas cilíndricas (2, p,1) y encuentre sus coordenadas rectangulares.

z

x

y

r=2

Θ=π

z=1

(2, π, 1)

0-=2

Coordenadas Cilíndricas

Para convertir de unas coordenadas a otras usamos las ecuaciones (1.1) y (1.2):

(2, p,1) ö r=2, q = p, z=1

x = r cosq fl x = 2 cosHpL = 2 H-1L = -2

y = r senq fl y = 2 senHpL = 2 H0L = 0

z= z fl z= 1

Hx, y, zL Ø H-2, 0, 1L

Ejemplo 1.1.2

Encuentre las coordenadas cilíndricas del punto en coordenadas rectangulares (3, -3, 7)

x=3 y=-3 z=7

r2 = x2 + y2 fl r2 = H3L2 + H-3L2 = 9+ 9 = 18 fl r = 18 = 3 2

q = Tan-1y

xfl q = Tan-1

-3

3= Tan-1H-1L =

-p

4= 2p -

p

4= 7

p

4

z= z fl z= -7

Nota: Tabla de ángulos más usados y algunas funciones trigonométricas.

2 Capitulo III - Integrales Multiples.nb

θ Sen(θ) Cos(θ) Tan(θ)

0 0 1 0

1

1 0 ∞

π 0 -1 0

Ejemplo 1.1.3 Dibuje la gráfica de cada una de las siguientes ecuaciones, expresada en coordenadas cilíndricas, donde c es una constante

a) r=c

En este caso nos dicen que el radio es un valor constante c, y el resto de los parámetros cilíndricos pueden variar, esocorresponde a la gráfica de un ccilindro con centro en (0,0,0) y r=|c|

z

x

y

r=|c|

0-

b) q=c

En este caso la variable que permanece fija es el ángulo en un valor constante, y las otras dos variables (r, z) puedenvariar, la gráfica que esto genera es un plano como el de la figura:

z

x

y

r=|c|

0-

θ=c

c) z=c

Si establecemos que la variable z coordenada es un valor constante, estamos refiriéndonos a un plano de altura c.

Capitulo III - Integrales Multiples.nb 3

z

x

y

z=c

0-

Ejemplo 1.1.4 Obtenga una ecuación en coordenadas cartesianas de:

a) r = 6 sen q

Para convertir esta ecuación en coordenadas cilíndricas a coordenadas cartesianas debmos tomar en cuenta:

r2 = x2 + y2 z= z

r = 6 senq ö Multiplicamosa ambos lados de la igualdad porr.

r * r = 6 * r senq ö r2 = 6 r senq Comoy = r senq y r2 = x2 + y2

x2 + y2 = 6 y ö Esta ecuación corresponde con un cilindro.

b) r ( 3 cos q + 2 sen q) + 6z =0

Aplicamosla misma lógica de la parte anterior,

rH3 cosq + 2 senqL + 6 z = 0 Resolvemos la multiplicación porr

r 3 cosq + r 2 senq + 6 z = 0

Reescribimos la ecuación para poder hacer la conversiónx = rcosq y = rsenq

3 r cosq + 2 r senq + 6 z= 0

3 x + 2 y + 6 z= 0 ö Esta es la ecuación en coordenadas cartesianas.

Ejemplo 1.1.5 Obtenga una ecuación en coordenadas cilíndricas para:

a) x2 + y2 = z

Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas necesitamos saber que:

x = r cos q y= r sen q z=z

x2 + y2 = z fl Hr cosqL2 + Hr senqL2 = z

r2 cos2 q + r2 sen2 q = z


Sacamos factor común de r2:

r2Icos2 q + sen2 qM = z

Usamos la identidad trigonométrica cos2 q + sen2 q = 1

r2 = z

b) x2 - y2 = z

Para convertir de coordenadas cartesianas a coordenadas cilíndricas necesitamos saber que:

x = r cos q y= r sen q z=z

x2 - y2 = z fl Hr cosqL2 - Hr senqL2 = z

r2 cos2 q - r2 sen2 q = z

Sacamos factor común de r2:

r2Icos2 q - sen2 qM = z

Usamos la identidad trigonométrica cos2 q - sen2 q = cos 2q

r2 cos 2q = z

Coordenadas Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y elorigen se coloca en este punto. Por ejemplo, la esfera con centro en el origen y radio c tiene la muy sencilla ecuaciónr=c, ésta es la razón del nombre de coordenadas esféricas. La gráfica de la ecuación q=c representa un semicono conel eje z en su eje.

z

x

y

rθ

z

P(ρ, θ ,ϕ)

0-

ρ

ϕϕ

Las coordenadas rectangulares se pueden ver en la figura:

z= r cosf r = r senf

Pero x= r cos q y = r sen q

x = r senf cosq y = r senf cosq z= r cosf

Para convertir de coordenadas esféricas a rectangulares:


r2 = x2 + y2 + z2

Ejemplo 1.2.6 Localice el punto P(2, p4, p

3) y encuentre sus coordenadas cartesianas.

PI2, p

4, p

3M ö P(r, q, f)

r=2 q =p

4f =

p

3

x = r senf cosq = 2 senp

3cosKp

4O = 2

3

2

2

2=

6

2

y = r senf senq = 2 senp

3senKp

4O = 2

3

2

2

2=

6

2

z= r cosf = 2 cosp

3= 2µ

1

2= 1

Ejemplo 1.2.7 Obtener las coordenadas esféricas del punto P(0, 23 ,-2)

Para obtener las coordenadas esféricas necesitamos:

x = r senf cosq y = r senf cosq z= r cosf

Para determinar a r usamos:

r2 = x2 + y2 + z2

x = 0, y = 2 3 y z= -2

r = x2 + y2 + z2 = 02 + 4* 3+ 4 = 16 = 4

Ahora determinamos el valor de f:

z= r cosf Despejamosf

f = ArcCosz

r= ArcCos

-2

4= ArcCos

-1

2= p - ArcCos

1

2= p -

p

3= 2

p

3

Finalmente necesitamos determinar el valor de q, para ello podemos hacer uso de una de las dos ecuaciones restante:

x = r senf cosq De esta ecuación despejamosa q

q = ArcCosx

r senf= ArcCos

0

2 senI2 p

3M = ArcCosH0L = p

2

Coordenadascartesianasö K0, 2 3 , -2O


Coordenadasesféricas ö 4,p

2, 2

p

3

Definición de la integral doble

Sea f una función de dos variables definida en una región rectangular cerrada R. La integral doble de f en R, denotadapor Ÿ Ÿ

R

f Hx, yL dA está definida por

Ÿ ŸR

f Hx, yL dA = lím»»D»»Ø0⁄i=1

n f Hui, viL Di A

si este límite existe.

Si la integral doble de f en R existe, entonces se dice que f es integrable en R. El teorema siguiente,proporciona unacondición suficiente para que una función de dos variables sea integrable.

Teorema 1 Teorema

Si una función de dos variables es continua en una región rectangular cerrada R, entonces f es integrable en R.

Ejemplo 1.3.8 Obtenga un valor aproximado de la integral doble

Ÿ ŸR

I3 y- 3 x2M dA

donde R es la región rectangularque tiene vértices en (-1,1) y (2,3). Considere una partición de R generada por lasrectas x=0, x=1 y y=2, y tome el centro de la i-ésima subregión como Hui, viL.

H-1,3L

H-1,1L

H2,3L

H2,1L

H-0.5,2.5L

H-0.5,1.5L

H0.5,2.5L

H0.5,1.5L

H1.5,2.5L

H1.5,1.5L

x

y

Solución:

Usando la definición anterior, sabemos que la integral doble se calcula:


Ÿ ŸR

I3 y- 3 x2M dA = ⁄i=1n f Hui , viL Di A

= f(-0.5,1.5).1 + f(0.5,1.5).1 + f(1.5,1.5).1 +

f(1.5,2.5).1 + f(0.5,2.5).1 + f(-0.5,2.5).1

= 4 . 1 + 4 . 1 + 0 . 1 + 3 . 7 + 7 . 1 + 7 . 1

= 25

Teorema 2 Teorema

Sea f una función de dos variables y continua en una región cerrada R del plano xy tal que f(x,y) ¥ 0 para todo (x,y) de R. Si V unidades cúbicas es el volumen del sólido S que tiene la región R como su base y cuya altura es f(x,y) unidades en el punto (x,y) de R, entonces

V = lím»»D»»Ø0⁄i=1

n f Hui, viLDi A

V = Ÿ ŸR

fHx, yL dA

Ejemplo 1.3.9 Exprese el volumen del sólido limitado por la superficief(x,y) = 4 - 19

x2 -116

y2

los planos x=3, y = 2 y los tres planos coordenados como una integral doble. Para resolver este problemaconsidere la partición de la región rectangular en cuadrados de área 1. y tome el centro de la i-ésima subregión comoHui, viL.

V = Ÿ ŸR

I4-1

9x2 -

1

16y2M dA

V = f(0.5,0.5).1 + f(0.5,1.5).1 + f(1.5,0.5).1 + f(1.5,1.5).1 + f(2.5,0.5).1 + f(2.5,1.5).1

V = 3.957 + 3.832 + 3.734 + 3.609 + 3.290 + 3.165

V = 21.59


Propiedades de la integral doble

Teorema 3 Teorema:

Si c es una constante y la función f es integrable en una región cerrada R, entonces cf es integrable en R y

Ÿ ŸR

cf Hx, yL dA = c Ÿ ŸR

f Hx, yL dA

Teorema 4 Teorema:

Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, entonces la función f+g es integrable en R y

Ÿ ŸR

@ f Hx, yL + gHx, yLD dA = Ÿ ŸR

f Hx, yL dA + Ÿ ŸR

gHx, yL dA

Teorema 5 Teorema:

Si las funciones f y g son integrables en una región cerrada R, y además f(x,y) ¥ g(x,y) para todo (x,y) de R, entonces

Ÿ ŸR

f Hx, yL dA ¥ Ÿ ŸR

gHx, yL dA

Teorema 6 Teorema:

Sea f una función integrable en una región cerrada R, y suponga que m y M son dos números tales que mf(x,y)M para todo (x,y) de R. Si A es la medida del área de la región R, entonces

mA Ÿ ŸR

f Hx, yL dA MA

Teorema 7 Teorema:

Suponga que la función f es continua en la región cerrada R y que la región R se compone de dos subregiones R1 y R2 que no tienen puntos en común excepto algunos puntos en parte de sus fronteras, entonces

Ÿ ŸR

f Hx, yL dA = Ÿ ŸR1

f Hx, yL dA + Ÿ ŸR2

f Hx, yL dA

Si a1 x b1 y a2 y b2, La integral doble también puede representarse


Ÿ ŸR

f Hx, yL dA = Ÿa2

b2Ÿa1

b1 f Hx, yL dx dy

= Ÿa2

b2BŸa2

b2 f Hx, yL dxF dy

Ejemplo 1.4.10 Evalúe la integral doble

Ÿ ŸR

I3 y- 2 x2M dA

Si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1x2 y 1y3.

Solución:

Con a1 = -1, b1 = 2, a2 = 1 y b2 = 3, se tiene según la ecuación previamente establecida que

Ÿ ŸR

I3 y- 2 x2M dA = Ÿ13Ÿ-12 I3 y- 2 x2M dxdy

= Ÿ13BŸ-12 I3 y- 2 x2M dxF dy

= Ÿ13A3 yx- 2

3x3E

-1

2dy

= Ÿ13H9 y- 6L dy

= 9

2y2 - 6 y 1

3

= 81

2- 18- 9

2+ 6

= 24

Ejemplo 1.4.11 Ejemplo: Evalúe la integral doble

Ÿ ŸR

H3 yx- 2 xL dA

Si R es la región del plano xy que consiste de todos los puntos (x,y) para los cuales -1x2 y 1y3.

Solución:

Si aplicamos las propiedas de las integrales dobles, podemos separar la integral original en dos integrales bajola misma región:

Ÿ ŸR

H3 yx- 2 xL dA = Ÿ ŸR

H3 yxL dA +Ÿ ŸR

H-2 xL dA

= Ÿ13Ÿ-12 H3 yxL dxdy + Ÿ13Ÿ-1

2 H-2 xL dxdy

= I1 + I2

I1 = Ÿ13Ÿ-12 H3 yxL dxdy

= Ÿ133 yBŸ-12

xdxF dy

= Ÿ133 yB J x2

2 -12 F dy

= Ÿ133 yA 4

2-

1

2E dy

= Ÿ133 yA 3

2E dy


= Ÿ13 9

2ydy

I1 = 9

2J y2

2 13 = 9

2I 9

2-

1

2M = 9

2I 8

2M = 18

I2 = Ÿ13Ÿ-12 H-2 xL dxdy

= Ÿ13H-2LBŸ-12

xdxF dy

= Ÿ13H-2LB J x2

2 -12 F dy

= Ÿ13H-2LA 4

2-

1

2E dy

= Ÿ13H-2LA 3

2E dy

= Ÿ13H-3L dy

I2 = -3 Iy 13 = H-3L H3- 1L = -6

Ÿ ŸR

H3 yx- 2 xL dA = I1 + I2

= 18 - 6 = 12

Integrales Iterativas

Teorema 8 Teorema:

(i) ŸabŸg1HxLg2HxL f Hx, yL dydx= ŸabBŸg1HxL

g2HxL f Hx, yL dyF dx

(ii) ŸcdŸh1HxLh2HxL f Hx, yL dxdy= ŸcdBŸh1HxL

h2HxL f Hx, yL dxF dy


Ÿ02Ÿx2

2 xIx3 + 4 yM dydx

‡0

2

‡x2

2 xIx3 + 4 yM dydx = ‡0

2B‡x2

2 xIx3 + 4 yM dyF dx

= Ÿ02Ax3 y+ 2 y2x22 xE dx

= Ÿ02Bx3H2 xL + 2 H2 xL2 - x3 x2 - 2 Ix2M2F dx

= Ÿ02A2 x4 + 8 x2 - x5 - 2 x4E dx

= Ÿ02A8 x2 - x5E dx

= J 8

3x3 -

x6

6 02 = 8

3*8 -

64

6=

32

3


Teorema:

(i) Sea R la región tipo I, si f es continua en R, entonces

Ÿ ŸR

f Hx, yL dA = ŸabŸg1HxLg2HxL f Hx, yL dydx

(ii) Sea R la región del tipo II, si f es continua en R, entonces

Ÿ ŸR

f Hx, yL dA = ŸcdŸh1HxLh2HxL f Hx, yL dxdy


Ÿ02Ÿy2

2 yH4 x - yL dxdy

Ÿ02Ÿy2

2 yH4 x- yL dxdy = Ÿ02BŸy2

2 yH4 x- yL dxF dy

= Ÿ02BJ2 x2 - yxy2

2 yF dy

= Ÿ02A8 y2 - 2 y2 - 2 y4 + y3E dy

= Ÿ02A6 y2 - 2 y4 + y3E dy

= J2 y3 -2

5y5 +

y4

4 02

= 36

5

Área y Volumen

En la sección anterior se vio que el volumen V de un sólido que se encuentra bajo la gráfica de z= f Hx, yL y sobre una

región del tipo I en el plano xy está dada por

V = ŸabAHxL dx= ŸabŸg1HxLg2HxL f Hx, yL dydx

donde A(x) es el área de una sección transversal típica del sólido. Estas integrales pueden considerarse límites desumas. Para determinar el volumen por secciones:

V = ŸabAHxL dx= lím»»p'»»Ø0⁄k AHukL Dxk

donde p' es una partición del intervalo [a,b],

uk es el k-ésimo subintervalo @xk-1, xkD de p'

AHukL Dxk es el volumen de una región laminar Lk con caras paralelas al plano xy.


Volumen como límite de sumas dobles

V= lím»»D»»Ø0⁄k⁄j f Iuk, v jMDy j Dxk

V = ŸabŸg1HxLg2HxL f Hx, yL dydx

Ejemplo 1.6.14 Calcular el volumen V del sólido acotado por las gráficas de x2 + y2 = 9 y y2 + z2 = 9

-20

2X

-20

2Y

-2

0

2

Z

-20

2X

-20

2Y

Solución:

Las gráficas son cilindros de radio 3, por simetría basta con determinar el volumen que hay en un solo cuad-rante del espacio tridimensional

01

2

3X

0

1

23Y

0

1

2

3

Z

01

2

3X

0

1

2Y

Finalmente el volumen total estaría dado por el volumen de esta parte multiplicado por 8.

V=8Ÿ ŸR

I9- y2M 1

2 dA

Esa región que representa el área del sólido, está dada por:


x2 + y2 = 9

V = 8 Ÿ03Ÿ0 9-y2 I9- y2M 1

2 dxdy

V = 8 Ÿ03BI9- y2M1ê2 x 09-y2 F dy

V = 8 Ÿ03BI9- y2M1ê2 I9- y2M1ê2F dy

V = 8 Ÿ03A9- y2E dy

V = 8 J9 y-y3

3N0

3= 8 H27- 9L = 144

Ejemplo 1.6.15 Calcular el volumen V del sólido acotado por las gráficas de z= x2 + y2 + 1 y 2 x + y = 2

Veamos cuál es el dominio de la función:

y = 2 − 2 x

Por lo tanto el volumen será:

V = Ÿ01Ÿ02-2 xIx2 + y2 + 1M dydx

V = Ÿ01BJx2 y+y3

3+ yN

0

2-2 xF dx

V = Ÿ01B2 x2 - 2 x3 +H2-2 xL3

3+ 2- 2 xF dx

V = Ÿ01B 14

3- 10x+ 10x2 -

14x3

3F dx


V = I 14

3x- 5 x2 +

10

3x3 -

7

6x4

01

V = I 14

3- 5+

10

3-

7

6M = 11

6

Integrales dobles en coordenadas polares

Suponga que se desea evaluar una integral doble Ÿ ŸR f Hx, yL dA, donde R es una región parecida a la figura que se

muestra posteriormente. Resolver este tipo de integrales en coordenadas rectangulareses bastante complicada, pero alhacer una transformación a coordenadas polares, la dificultad disminuye.

x

yx2+y2=2 x2+y2=3

Recordemos que las coordenadas polares (r, q) de un punto se relacionan con la coordenadas rectangulares con lasecuaciones:

r2 = x2 + y2 x = r cosq y = r senq

Teorema 11 Cambio a coordenadas polares en una integral doble

Si f es continua en un rectángulo polar R dado por 0arb, aqb, donde 0b-a2p, entonces

Ÿ ŸR f Hx, yL dA= Ÿa b Ÿabf Hr cosq , r senq L r dr dq

[JS,5]

Ejemplo 1.7.16 Evalúe Ÿ ŸRI3 x + 4 y2M dA, donde R es la región del semiplano superior acotado por

los círculos x2 + y2 = 1 y x2 + y2 = 4

Primero debemos graficar la región R:

x

yx2+y2=1 x2+y2=4

Region acotada entre estas dos curvas corresponde a R. Ahora para efectuar el cambio de coordenadas, debemosconocer los límites de integración:


Para el ángulo 0qp

Para el radio 1r2

Y además:

x = r cos q y = r sen q

Hacemos las sustituciones:

‡ ‡RI3 x+ 4 y2M dA = ‡

0

p

‡1

2I3 r cosq + 4 Hr senqL2M r dr dq

= ‡0

p

‡1

2I3 r2 cosq + 4 r3 sen2 qM dr dq

= ‡0

p

‡1

2

3 r2 cosq dr dq + ‡0

p

‡1

2

4 r3 sen2 q dr dq

= ‡0

pB‡1

2

3 r2 cosq dr F dq + ‡0

pB‡1

2

4 r3 sen2 q dr F dq

= ‡0

pBr3 cosq 12 dq + ‡

0

pAr4 sen2 q 12 dq

= ‡0

pH8- 1L cosqdq + ‡0

pAH16- 1L sen2 qdq

= 7 senq 0p + 15

q

2-

sen 2q

40p

= H7 senp - 7 sen 0L + 15p

2-

sen2p

4- 15H0- sen 0L = 15

p

2

Ejemplo 1.7.17 Encuentre el volumen del sólido acotado por el plano z=0 y el paraboloide z= 1- x2 - y2

La integral a resolver sería:

‡ ‡RI1- x2 - y2M dA

Para obtener el volumen de este sólido necesitamos conocer la base o la región R de integración, para ello haemos z=0:

z= 0 ö 0 = 1- x2 - y2 Corresponde con la ecuación de una circunferencia


Para llevar esto a coordenadas polares debemos tomar:

0 r 1 x = r cosq

0 q 2p y = r senq

Y la integral original

‡ ‡RI1- x2 - y2M dA = ‡

0

2p

‡0

1I1- Hr cosqL2 - Hr senqL2M rdr dq

= ‡0

2p

‡0

1I1- r2 cos2 q - r2 sen2 qM rdr dq

= ‡0

2p

‡0

1I1- r2I cos2 q + sen2 qMM rdr dq

= ‡0

2p

‡0

1I1- r2M rdr dq = ‡0

2p r2

2-

r4

4 0

1

dq = ‡0

2p 1

4dq

=1

4q

0

2p

= 2p

4- 0 =

p

2

Ejemplo 1.7.18 Ejercicio para resolver:

Encuentre el volumen del sólido que yace debajo del paraboloide z= x2 + y2, arriba

del plano xy y dentro del cilindro x2 + y2 = 2 x

Integrales triples

La definición dela integral triple es análoga a la extensión que se hace de la integral simple a la integral doble. En estecaso la región de integración está dada por un paralelepípedo rectangular limitado por seis planos:x= a1, x= a2, y= b1, y= b2, z= c1 y z= c2. con a1 < a2, b1 < b2 y c1 < c2. Sea f una función de tres variables y

suponga que f escontinua en una región S de este tipo. Una partición de esta región se forma al dividir Sen cajasrectangulares mediante planos paralelos a los planos coordenados.


La integral triple de f sobre la caja S es

Ÿ Ÿ ŸS

f Hx, yzL dV = líml,m,nØ¶

⁄i=1l ⁄j=1

m ⁄k=1n f Ixijk , yijk , zijk MDV

si este límite existe.

Teorema 12 De Fubini para integrales triples

Si f es continua en el cuadro rectangular S= @a1, a2D x@b1, b2D x@c1, c2D, enonces

Ÿ Ÿ ŸS

f Hx, y, zL dV = Ÿc1

c2Ÿb1

b2Ÿa1

a2 f Hx, y, zL dx dy dz

La integral iterada en el lado derecho del Teorema de Fubini significa que se integra primero con respecto a x(manteniendo y y z constante), luego se integra con respecto a y (manteniendo a z constante) y, por último, se integrarespecto a z.

Ejemplo 1.8.19 Evalúe la integral triple Ÿ Ÿ ŸRxyz2 dV, donde R es la caja rectangular dada por

R={(x,y,z) | 0£x£1, -1£y£2, 0£z£3}

Solución:

Se puede usar el teorema de Fubini para resolver esta integral en cualquiera de los seis ordenes:

‡ ‡ ‡Rxyz2 dV = ‡

0

3

‡-1

2

‡0

1

xyz2 dx dy dz

= ‡0

3

‡-1

2

yz2x2

2 0

1

dy dz = ‡0

3

‡-1

2 1

2yz2 dy dz

= ‡0

3 1

2z2

y2

2 -1

2

dz = ‡0

3 1

2z2

y2

2 -1

2

dz

= ‡0

3 1

2

3

2z2 dz =

3

4

z3

3 0

3

=3

4

27

3- 0 =

27

4

Ejemplo 1.8.20 Evalúe la integral triple Ÿ Ÿ ŸSxy senHyzL dV, si S es el paralelepípedo rectangular

limitado por los planos x=p, y =12p, z= 1

3p y los planos coordenados.

Solución:

‡ ‡ ‡Sxy senHyzL dV = ‡

0

1

2p

‡0

1

3p

‡0

p

xy senHyzL dx dz dy


= ‡0

1

2p

‡0

1

3pB‡

0

p

xy senHyzL dx F dz dy

= ‡0

1

2p

‡0

1

3p x2

2ysenHyzL

0

p

dz dy= ‡0

1

2p

‡0

1

3p p2

2ysenHyzL dz dy

= ‡0

1

2p

-p2

2y

cosHyzLy 0

1

3p

dy = ‡0

1

2p

-p2

2cosHyzL

0

1

3p

dy

= ‡0

1

2p

-p2

2cos

yp

3+p2

2cosH0L dy = ‡

0

1

2p p2

21- cos

yp

3dy

=p2

2y-

3

psen

p

3y

0

1

2p

=p2

2

1

2p -

3

psen

p2

6

=p3

4- 3

p

2sen

p2

6

Ahora discutiremos como determinar integrales triples en regiones de R3 diferentes de un paralelepípedorectangular.

Sea S la región tridimensional cerrada y limitada por los planos x=a y x=b, los cilíndros y= F1HxL y y= F2HxL, y las

superficies z= F1Hx, yL y z= F2Hx, yL, donde las funciones F1, F2, F1 y F2 son lisas. Trace planos paralelos a los

planos coordenados de modo que se forme un conjunto de paralelepípedos rectangulares que cubran toda la región S.Los paralelepípedos que se encuentran completamente dentro de S o en la frontera de S forman una partición D de S.Elija un sistema para numerar de 1 a n estos paralelepípedos. La norma ||D|| de esta partición de S es la longitud de ladiagonal más grande de los n paralelepípedos. El volumen del i-ésimo paralelepípeddo es Di V unidades cúbicas.

La integral triple puede resolverse usando integrales iteradas de la siguiente forma:

(1.3)‡a

b

‡F1

F2‡F1Hx,yL

F2Hx,yLf Hx, y, zL dz dy dx

Ejemplo 1.8.21 Calcule el volumen del sólido limitado por el cilindro x2 + y2 = 25, el plano

x + y+ z= 8 y el plano xy


En la gráfica se puede observar claramente cuál es el volumen que se desea determinar, ahora veamos cómo son loslímites de integración:

-5 x 5

- 25- x2 y 25- x2

0 z 8- x- y

Y la integral de volumen quedaría de la siguiente forma :

‡-5

5

‡- 25-x2

25-x2

‡0

8-x-y

dz dy dx = ‡-5

5

‡- 25-x2

25-x2

HzL08-x-ydy dx

= ‡-5

5

‡- 25-x2

25-x2

H8- x- yL dy dx

= ‡-5

5

8 y- xy-y2

2 - 25-x2

25-x2

dx

= ‡-5

5B H8- xL 25- x2 -1

2I25- x2M - -H8- xL 25- x2 -

1

2I25- x2M F dx

= 2‡-5

5H8- xL 25- x2 dx = 2‡-5

5

8 25- x2 dx - 2‡-5

5

x 25- x2 dx

Resolvemos las dos integrales por separado:

1L 2‡-5

5

8 25- x2 dx Aplicamos la sustitución trigonométricax = 5 senq

2‡-5

5

8 25- x2 dx = 16‡ 25- H5 senqL2 5 cosq dq

= 16‡ 25 cos2

q dq = 16 * 25q

2+

sen 2q

4

En este momento es recomendable usar la identidad trigonométrica: sen 2q = 2 senq cosq

= 16 * 25q

2+

2senq cosq

4

Ahora devolvemos el cambio de variable: q = ArcSen I x

5M sen q = xê5 cos q =

25-x2

5

= 16 * 25ArcSenHx ê 5L

2+Hx ê 5L 25-x2

5

2


= 1625 ArcSenHx ê 5L

2+

x 25- x2

2-5

5

= 1625

2

p

2+

25

2

p

2= 16* 25

p

2= 200p

2L 2‡-5

5

x 25- x2 dx Aplicamos un cambio de variableu = 25 - x2 du= -2 xdx

2‡-5

5

x 25- x2 dx = - ‡ u1ê2 du =-u3ê2

3 ê 2= -

2

325- x2

-5

5

= 0

Ahora la integral original:

‡-5

5

‡- 25-x2

25-x2

‡0

8-x-y

dz dy dx = 200p + 0 = 200p

Ejemplo 1.8.22 Determine el volumen del sólido que se encuentra por arriba del plano xy delimitado

por el paraboloide elíptico z= x2 + 4 y2 y el cilindro x2 + 4 y2=4.

Primero definimos los límites de integración:

0 z x2 + 4 y2

0 y 1-x2

4

0 x 2

Y la integral quedaría de la siguiente forma :

‡0

2

‡0

1-x2ë4‡

0

x2+4 y2

dz dy dx

RESOLVER!!!!

Centros de masas y momentos de inercia

En esta sección estudiaremos varias aplicaciones importantes de la integración relacionadas con la masa. La masa esuna medida de la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento y es independiente del sistema gravitato-rio particular donde se halle el cuerpo. Fuerza y masa están relacionadas por la ecuación:

(1.4)Fuerza = HmasaL HaceleraciónL = m a


Las integrales dobles pueden usarse para determinar la masa de una lámina de densidad variable.

Definición 2 Definición de la masa de una lámina plana de densidad variable

Si r es una función densidad continua de una lámina que corresponde a una región plana R, la masa m de la lámina viene dada por

m = ŸRŸ r Hx, yL dA Densidad variable

[6,LH]

Ejemplo 1.9.23 Hallar la masa de la lámina triangular de vértices (0,0), (0,3) y (2,3), si su densidad en (x,y) es r(x,y)=2x+y

Primero graficamos la lámina triangular:

En este caso nos piden determinar la masa, para ello empleamos la definición anterior:

m= ‡R‡ rHx, yL dA

m = ‡R‡ H2 x+ yL dA

Ahora para aplicar los conocimientos sobre integrales iteradas, necesitamos conocer los límites de integración:

0 y 3

0 x 2

3y

Retomando la integral original:

m = ‡R‡ H2 x+ yL dA = ‡

0

3

‡0

2

3yH2 x+ yL dx dy

m = ‡0

3B‡0

2

3yH2 x+ yL dx F dy = ‡

0

3Ix2 + xyM0

2

3ydy

m= ‡0

3 4

9y2 +

2

3y2 dy = ‡

0

3 10

9y2 dy =

10

9

y3

3 0

3


m=10

9

27

3= 10

Definición 3 Momentos y Centros de Masas de una lámina plana de densidad variable

Sea r una función densidad continua sobre la lámina plana R. Los momentos de masa respecto de los ejes x e y son, respectivamente,

Mx = ŸRŸ yr Hx, yL dA y My = ŸRŸ xr Hx, yL dA

Si la masa de la lámina es m, el centro de masa es

Hx, yL = JMy

m, Mx

mN

Si R representa una región plana en lugar de una lámina, el punto Hx, yL se llama el centroide de la región.

Ejemplo 1.9.24 Cálculo del centro de masas

Hallar el centro de masas de la lámina correspondiente a la región parabólica

0 y 4- x2

si la densidad en el punto (x,y) es proporcional a la distancia de (x,y) al eje x.

Solución:

Como la lámina es simétrica respecto del eje y, y

rHx, yL = ky

el centro de masa se encuentra en algún punto del eje y. Por tanto x= 0. Para determinar y calculamos previamente la

masa de la lámina.

m= ‡-2

2

‡0

4-x2

ky dy dx = ‡-2

2 ky2

20

4-x2

dx = ‡-2

2 kI4- x2M22

dx

m=k

2‡-2

2 I16- 8 x2 + x4M dx =k

216x-

8

3x3 +

x5

5 -2

2


m=k

2B 32-

64

3+

32

5- -32+

64

3-

32

5F = k 32-

64

3+

32

5

m=256k

15

Ahora si podemos determinar el momento:

y =Mx

m

Mx = ‡-2

2

‡0

4-x2

yHkyL dydx= ‡-2

2

‡0

4-x2

Iky2M dydx= ‡-2

2 ky3

30

4-x2

dx

Mx =k

3‡-2

2I4- x2M3 dx =k

3‡-2

2I64- 48x2 + 12x4 - x6M dx

Mx =4096k

105

Determinamos y:

y =Mx

m=

4096k

105

256k

15

=4096kH15L256kH105L =

16

7

El centro de masa de la lámina parabólica es I0, 16

7M.


Bibliografía[1] Louis Leithold, "EL CÁLCULO", 7ma edición

[2] Earl Swokowski, "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA", 2da edición

[3] N. Piskunov, "CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL", 3ra edición

[4] Roland Larson, "CÁLCULO Y GEOMETRÍA ANALÍTICA", 6ta edición

[5] James Stewart, "CÁLCULO MULTIVARIABLE".

[6] Larson, Hostetler "CÁLCULO CON GEOMETRÍA ANALÍTICA"


capitulo iii - integrales multiples · en el estudio de integrales múltiples, en el cual se tratan...

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