Clculo para la ingenier a aSalvador Vera 9 de enero de 2005

ii Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

Indice general1. Conceptos bsicos a 1.1. La recta real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Orden, desigualdades e intervalos . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Valor absoluto y distancia . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. El plano y el espacio cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Sistema rectangular de coordenadas cartesianas . . . . 1.2.2. Distancia entre dos puntos . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. El c rculo y la esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Representacin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.3. Dominio impl cito de una funcin . . . . . . . . . . . . o 1.3.4. Restricciones y extensiones de funciones . . . . . . . . 1.3.5. Composicin de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.3.6. Funciones inyectivas e inversas . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Funciones suprayectivas y biyectivas . . . . . . . . . . 1.3.8. Imgenes directa e inversa de un conjunto . . . . . . . a 1.3.9. Funciones pares e impares . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.10. La funcin valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.4. L mite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Clculo de l a mites de sucesiones . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Sucesiones montonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.5. L mite y continuidad de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.1. Denicin de l o mite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.2. L mites laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.3. Propiedades de los l mites . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.4. Continuidad de una funcin en un punto . . . . . . . . o 1.5.5. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . 1.5.6. L mites innitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.7. L mites en el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5.8. Tcnicas elementales para el clculo de l e a mites . . . . 1.5.9. Innitsimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . e 1.5.10. Innitsimos ms frecuentes en z 0 . . . . . . . . . e a 1.6. Funciones hiperblicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6.1. Coseno y seno hiperblico . . . . . . . . . . . . . . . . o 1.6.2. Frmula fundamental de la Trigonometr hiperblica o a o 1.6.3. Signicado del trmino hiperblicas. . . . . . . . . . e o 1 1 1 7 15 15 16 17 22 22 26 30 32 32 36 43 43 44 45 46 49 54 56 56 65 66 66 68 69 75 78 82 83 85 85 86 86

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

iv1.6.4. Otras razones hiperblicas . . . . . . o 1.6.5. Frmulas del ngulo doble . . . . . . o a 1.6.6. El cuadrado del senh y del cosh . . . 1.6.7. Grca de las funciones hiperblicas a o 1.6.8. Funciones hiperblicas inversas . . . o 1.6.9. Identidad hiperblica . . . . . . . . . o 1.6.10. Frmula logar o tmica de las funciones 1.7. Problemas propuestos del Cap tulo 1 . . . .

INDICE GENERAL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . hiperblicas o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 87 88 88 89 90 90 91 93 93 93 97 102 104 110 118 119 119 119 121 123 126 130 132 133 136 145 146 149 149 149 150 152 152 152 153 154 156 156 158 158 159 159 160 162 164 166 168

2. Funciones de varias variables: L mites 2.1. Funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Dominio de una funcin de varias variables . . . . . . . . o 2.1.3. Operaciones con funciones de varias variables. . . . . . . . 2.1.4. Composicin de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.1.5. Grca de una funcin de dos variables . . . . . . . . . . a o 2.1.6. Otras representaciones de las funciones de varias variables 2.2. L mite y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 2.2.2. Entorno de un punto en el plano . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. L mite y continuidad en dos variables . . . . . . . . . . . 2.2.4. L mite de las funciones elementales . . . . . . . . . . . . . 2.2.5. Comprobando l mites aplicando la denicin . . . . . . . o 2.2.6. Clculo de l a mites mediante operaciones algebraicas . . . 2.2.7. Teorema del encaje y de la acotacin . . . . . . . . . . . . o 2.2.8. Innitsimos equivalentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.9. Inexistencia de l mites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.10. L mites en el innito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Problemas propuestos del Cap tulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . .

3. Derivada de Funciones de una variable 3.1. Derivada y continuidad. Tangente y normal . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Idea intuitiva de recta tangente. . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Rectas tangentes no intuitivas . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. La pendiente de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Denicin de derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.5. Otra forma de la derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.7. Derivada y continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.8. Signicado grco de la derivada: Suavidad. . . . . . . . . . a 3.1.9. La ecuacin de la recta tangente . . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.10. La ecuacin de la recta normal . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.1.11. Curvas de tangente horizontal y curvas de tangente vertical 3.2. Funcin derivada. reglas de derivacin. . . . . . . . . . . . . . . . . o o 3.2.1. Funcin derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.2. Reglas de derivacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.2.3. Derivadas de funciones con un punto aparte . . . . . . . . . 3.2.4. Derivada de funciones denidas a trozos . . . . . . . . . . . 3.2.5. Derivacin de funciones impl o citas . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6. Derivacin logar o tmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICE GENERAL3.2.7. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.8. Aproximacin lineal y notacin diferencial . . . . . . . . . . . o o L mite de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Innitsimos equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.3.2. Innitsimos ms frecuentes en z 0 . . . . . . . . . . . . . e a 3.3.3. Formas indeterminadas. Reglas de LHpital. . . . . . . . . . o L mite de sucesiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Estudio local de funciones. Polinomio de Taylor . . . . . . . . . . . . 3.5.1. Introduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 3.5.2. Algunas propiedades de los polinomios . . . . . . . . . . . . . 3.5.3. Polinomio de Taylor de una funcin no polinmica . . . . . . o o 3.5.4. Polinomio de Taylor de las funciones elementales . . . . . . . 3.5.5. Resto de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5.6. Aplicaciones de la frmula de Taylor a clculos aproximados . o a 3.5.7. Aplicaciones de la Frmula de Taylor al clculo de l o a mites . . Extremos de funciones de una sola variable . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1. Mximos y m a nimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2. Mximos y m a nimos relativos o locales . . . . . . . . . . . . . 3.6.3. Determinacin de funciones conocidos sus puntos cr o ticos . . 3.6.4. Problemas de aplicacin de mximos y m o a nimos . . . . . . . . Problemas propuestos del Cap tulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v169 170 172 172 172 173 181 183 183 184 187 189 192 193 195 196 196 200 203 204 208 211 211 211 212 214 216 218 219 220 222 227 227 231 233 233 237 239 239 243 244 246 248 249 249 249 251 254

3.3.

3.4. 3.5.

3.6.

3.7.

4. Derivacin de funciones multivariables o 4.1. Derivadas parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.2. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.3. La funcin derivada parcial . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.4. Funciones de ms de dos variables . . . . . . . . . . a 4.1.5. Razn de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.1.6. Interpretacin geomtrica de las derivadas parciales o e 4.1.7. Continuidad y derivadas parciales . . . . . . . . . . 4.2. Derivadas parciales de rdenes superiores . . . . . . . . . . o 4.3. Derivadas direccionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Derivada direccional y derivadas parciales . . . . . . 4.4. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Generalizacin del concepto de diferenciabilidad . . o 4.4.2. Diferenciabilidad y derivadas parciales . . . . . . . . 4.4.3. La diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.4. Diferenciabilidad y continuidad . . . . . . . . . . . . 4.4.5. Diferenciabilidad de funciones de n variables . . . . 4.4.6. Condicin suciente para la diferenciabilidad . . . . o 4.4.7. Caracterizacin de las funciones diferenciables . . . . o 4.4.8. Diferenciabilidad y derivadas direccionales . . . . . . 4.4.9. La derivada segn una direccin curva . . . . . . . . u o 4.5. Gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1. Denicin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.5.2. Vector gradiente y derivada direccional . . . . . . . . 4.5.3. Gradiente y curvas de nivel . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

INDICE GENERAL4.6. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1. Vectores normales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.2. Plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.3. Recta tangente y plano normal a una curva en el espacio . . 4.6.4. La diferencial como aproximacin del incremento . . . . . . o 4.7. Funciones vectoriales y matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.1. Funciones vectoriales de variable vectorial . . . . . . . . . . 4.7.2. Continuidad de las funciones vectoriales . . . . . . . . . . . 4.7.3. Derivadas parciales de funciones vectoriales . . . . . . . . . 4.7.4. Funciones vectoriales diferenciables . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.8.1. Funciones compuestas, inversas e impl citas de una variable 4.8.2. Composicin de funciones vectoriales . . . . . . . . . . . . . o 4.8.3. Regla de la cadena. Perspectiva terica: Diferencial . . . . . o 4.8.4. Regla de la cadena. Perspectiva prctica: Parciales . . . . . a 4.8.5. Regla de la cadena. Perspectiva general: Matriz jacobiana . 4.9. Funciones impl citas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.1. Funciones de una variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9.2. Funciones de dos variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Extremos de las funciones de varias variables . . . . . . . . . . . . 4.10.1. Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.10.2. Deniciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.10.3. Estudio de la naturaleza de los puntos cr ticos . . . . . . . 4.10.4. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange 4.10.5. Mximos y m a nimos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.11. Problemas propuestos del Cap tulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 254 257 261 263 268 268 269 271 272 276 276 277 280 282 290 296 296 301 305 305 305 307 315 321 326 329 329 329 334 340 343 347 350 350 351 352 356 359 359 360 367 367 369 371 371 372 375

5. Integral denida. Clculo de primitivas a 5.1. La estimacin de un area. Sumas de Riemann. . . . . . . . . o 5.1.1. Signicado geomtrico de la integral . . . . . . . . . . e 5.1.2. Clculo de l a mites utilizando el concepto de integral . 5.1.3. Propiedades de la integral denida . . . . . . . . . . . 5.2. El teorema fundamental del Clculo . . . . . . . . . . . . . . a 5.2.1. Regla de Barrow: La integral como una primitiva . . . 5.3. Integracin inmediata. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.3.1. Propiedades de la integral indenida . . . . . . . . . . 5.3.2. Tabla de integrales inmediatas . . . . . . . . . . . . . 5.4. Integracin mediante cambio de variable . . . . . . . . . . . . o 5.5. Integracin por partes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 5.6. Integracin de funciones racionales . . . . . . . . . . . . . . . o 5.6.1. Integracin de fracciones elementales . . . . . . . . . . o 5.6.2. Integracin mediante desarrollo en fracciones simples . o 5.7. Integracin de expresiones trigonomtricas . . . . . . . . . . . o e 5.7.1. Integracin de potencias de funciones trigonomtricas o e 5.7.2. Integracin de funciones racionales del sen y del cos . o 5.8. Integracin de funciones irracionales . . . . . . . . . . . . . . o 5.8.1. Radicales semejantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8.2. La sustitucin trigonomtrica . . . . . . . . . . . . . . o e 5.9. Problemas propuestos del Cap tulo 5 . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

INDICE GENERAL6. Aplicaciones de la integral. 6.1. Clculo del rea de una gura plana. . . . . . . . . . . . . . . . . . a a 6.2. Clculo del volumen de un cuerpo . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 6.2.1. Volumen de un cuerpo cualquiera: Mtodo de secciones . . e 6.2.2. Volumen de un slido de revolucin: Mtodo de discos . . . o o e 6.2.3. Volumen de un slido de revolucin: Mtodo de los cilindros o o e 6.3. L mite de sumas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Problemas propuestos del Cap tulo 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones a los ejercicios y problemas propuestos Bibliograf a Indice alfabtico e

vii377 377 380 380 381 381 387 388 389 393 394

. . . . . . .

Copyright c by Salvador Vera Ballesteros, 1998-2004.

Cap tulo 1

Conceptos bsicos a1.1. La recta real

Suponemos conocidos los nmeros reales, as como su representacin en la u o recta real. Los nmeros reales se pueden representar mediante expresiones deciu males nitas o innitas. Si la expresin decimal es nita o peridica innita, o o entonces el nmero real se puede expresar como el cociente de dos n meros u u enteros y se dice que el nmero real es racional. Rec u procamente cualquier nmero racional (cociente de dos enteros) se puede expresar mediante una u expresin decimal nita o innita peridica. Cuando la expresin decimal o o o tiene innitas cifras que no se repiten de manera peridica se dice que el o nmero real es irracional. u Los nmeros reales admiten una representacin geomtrica en una recta. u o e En dicha representacin cada nmero real se representa por un solo punto o u de la recta y cada punto de la recta representa un solo nmero real. En conu secuencia, hablaremos indistintamente de nmero o de punto. Por convenio, u los nmeros positivos se representan a la derecha del cero y los negativos a u la izquierda. Se llama recta real a una recta en la que se han representado los nmeros reales. u3 2 11 2

0

1 2

2

3

Figura 1.1: La recta real

1.1.1.

Orden, desigualdades e intervalos

Denicin 1.1 (N meros positivos y n meros negativos). o u u 1) Para cada nmero real, a, est denida una y slo una de las siguientes u a o relaciones: 1

2

CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS a) a es mayor que cero (es positivo), a > 0; b) a es igual a cero, a = 0; c) a es menor que cero (es negativo), a < 0.

2) Si a y b son nmeros positivos, entonces: u a) Su suma es positiva, a + b > 0. b) Su producto es tambin positivo, ab > 0. e Denicin 1.2 (Orden en la recta real). Dados dos nmeros reales a y o u b. Se dice que a es menor que b y se denota a < b, si b a es positivo. a0Si a es menor que b, tambin se dice que b es mayor que a y se escribe b > a e El s mbolo a b signica que a es menor o igual que b. Si a < b, entonces a se representa en la recta a la izquierda de b. Proposicin 1.1 (Propiedades de las desigualdades). Si a, b, c y d o son nmeros reales, se tiene: u 1. Transitiva: Si a < b y b < c, entonces a < c 2. Aditiva: Si a < b y c < d, entonces a + c < b + d 3. Si a < b, entonces, para cualquier nmero real c u 4. Si a < b y p > 0, entonces ap < bp 5. Si a < b y n < 0, entonces an > bnNota: En consecuencia, podemos decir que con las desigualdades se pueden realizar las mismas transformaciones que con las igualdades, salvo que al multiplicar o dividir, ambos miembros, por un n mero negativo hay que invertir el sentido de la desigualdad. As u , 2x < 6 x > 3a+c4que puede hacerse eligiendo un punto cualquiera en cada uno de los intervalos y viendo el valor del polinomio en ese punto (puesto que en todo el intervalo el polinomio conserva el signo). As , p(0) = +8 > 0, p(3) = 9 18 + 8 = 1 < 0, p(5) = 25 30 + 8 = +3 > 0Como la desigualdad se cumple slo en el intervalo central, se concluye que o el conjunto solucin es o 2 < x < 4 es decir, el intervalo (2, 4)1ver Corolario 1.3 en la pgina 69 a1.1. LA RECTA REAL5Ejemplo 1.5 (Resolviendo inecuaciones racionales). Hallar el conjunto solucin de la desigualdad o x2 0 2x 3 1 < x+3 2 x > 3 4x 6 < x + 3 3x < 9 x < 3 3 3que no tiene solucin, puesto que ningn nmero x es, a la vez, x < 3 y o u u x > 3. En consecuencia se concluye que el conjunto solucin es: o 3 < x < 3, es decir, el intervalo (3, 3). Resolucin de desigualdades por factorizacin o o Las desigualdades polinmicas y las racionales tambin pueden resolverse o e por factorizacin, como se describe en los siguientes ejemplos. oo Ejemplo 1.7 (Resolviendo desigualdades por factorizacin). Resolver(x + 2)(x 1)(x 3) > 0 Solucin. Hallamos los ceros de cada uno de los factores: o x = 2, x = 1, x=3y consideramos los intervalos determinados por dichos ceros, (, 2), (2, 1), (1, 3), (3, +)Como el producto (x + 2)(x 1)(x 3) conserva el signo dentro de cada intervalo, se trata de estudiar el signo del mismo en cada uno de ellos. Sin embargo, en vez de elegir un nmero en cada intervalo y ver el signo del u producto para dicho valor, lo que hacemos es recorrer la recta de derecha a izquierda y tener en cuenta que cada factor cambia de signo al pasar por su ra correspondiente. En consecuencia tenemos la siguiente relacin de z o signos, 2 + 1 + + 3 + + +1.1. LA RECTA REAL7Multiplicando los signos en cada intervalo, resulta que el producto es positivo para los intervalos (2, 1) y (3, +), luego el conjunto solucin es o (2, 1) (3, +). Las desigualdades racionales se resuelven igual que las polinmicas. En o efecto, teniendo en cuenta que el signo del cociente de dos nmeros es el misu mo que el signo de su producto, resulta que el conjunto solucin del cociente o P (x)/Q(x) > 0 es el mismo que el del producto P (x) Q(x) > 0. En consecuencia, consideramos los ceros, tanto del numerador como del denominador, y repetimos el proceso del ejemplo anterior.1.1.2.Valor absoluto y distanciaEl valor absoluto de un nmero real x se designa por |x| y se dene del modo u siguiente: |x| = x si x > 0, |x| = x si x < 0, |0| = 0. Ahora bien, teniendo en cuenta que para x = 0 es vlida la igualdad |x| = x, a podemos escribir ms brevemente a |x| = x si x 0 x si x < 0En consecuencia, podemos dar la siguiente Denicin 1.4 (Valor absoluto). Se llama valor absoluto de un nmero o u real x, y se denota por el s mbolo |x|, a dicho nmero si es positivo o cero, u y a su opuesto si es negativo. | x |= x si x 0 x si x < 0Es decir, |x| representa la distancia desde el origen al punto x. Ejemplo, |3| = 3, |0| = 0, | 3| = 3.Nota: El valor absoluto de un n mero nunca es negativo. Puede sorprender que x sea u positivo, sin embargo, esto no es nada sorprendente, ya que podemos pensar en (3) = +3 que tambin es positivo, a pesar del signo menos inicial, ya que los dos signos menos e se compensan. Igual ocurre con x donde el signo menos que aparece de manera expl cita se compensa con el signo menos que x tiene impl citamente, ya que hemos supuesto, en el segundo apartado, que x es negativo. El valor absoluto tambin se puede denir de la siguiente forma. e |x| = mx{x, x} a Al valor absoluto de un nmero tambin se le llama su mdulo. u e o8 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.8. Eliminar el valor absoluto en las siguientes expresiones: (b) |1 + 2 10| (a) |1 + 2 3| Solucin. Tenemos que comprobar si la expresin que hay dentro del valor o o absoluto da como resultado un nmero positivo o negativo, si es positivo la u dejamos igual, y si es negativo la cambiamos de signo para convertirlo en positivo. En consecuencia: (a) |1 + 2 3| = 1 + 2 3 (b) |1 + 2 10| = (1 + 2 10) = 1 2 + 10 Propiedades del valor absoluto 1. |x| 0 El valor absoluto nunca es negativo. 2. |x| = 0 x = 0 El valor absoluto igualado a cero se puede suprimir. 3. |x|2 = |x2 | = x2 El valor absoluto elevado al cuadrado se puede suprimir. 4. |x| = | x| Dentro del valor absoluto se puede cambiar de signo. 5. x2 = |x| 6. |x| x |x| 7. |x + y| |x| + |y| 8. |xy| = |x| |y| 9. |x| = |y| x = y |x| < p p' k Si p es positivo, se tiene: 10. |x| p p x p 11. |x| p xp o x p0 |x| = pQ pEk Q |x| > p Aunque formalmente no es correcto, esta propiedad puede expresarse de la forma: |x| p p x p Habr que tener en cuenta que cada desigualdad va por separado. aNota: (Aclaraciones sobre la ra cuadrada). Veamos algunas aclaraciones acerca de z la ra cuadrada. En Matemticas, la ra cuadrada de un nmero se dene de la siguiente z a z u forma Denicin 1.5. El nmero b se llama ra cuadrada del nmero a si b2 = a. o u z u b = a b2 = a1.1. LA RECTA REALEsta denicin signica lo siguiente: o 1. 2. 3.9Si el n mero a es positivo, existen exactamente dos ra u ces cuadradas de a, una positiva y la otra negativa. Si a = 0, existe una sola ra cuadrada de a, la que es igual a cero. z Si el n mero a es negativo, no existe ninguna ra cuadrada de a. u zEn Clculo, esta denicin de ra cuadrada, si la aceptamos tal cual, presenta varias a o z dicultades: a o o a 1. La ecuacin y = x no representar una funcin ya que, dicha relacin, asignar o dos valores a un mismo n mero, por ejemplo, f (4) = 2, lo que no est permitido u a para las funciones como veremos en la Seccin 1.3. o a u u 2. Segn esta denicin 4 no ser un nmero, sino un conjunto de nmeros, ya que o u 4 = {2, 2}, y no tendr sentido hablar de la suma 3 + 4, ya que no sabr a amos si dicha suma es 1 o 5. Para resolver estos problemas, en Clculo, lo que se hace es diferenciar ambas ra a ces, introduciendo el concepto de ra aritmtica. z e Denicin 1.6 (Ra cuadrada aritmtica). Se llama ra cuadrada aritmtica de un o z e z e nmero positivo, a, a la ra cuadrada positiva de este nmero. u z u b = a b2 = a y b 0 En consecuencia, la armacin de que b es la ra cuadrada aritmtica de a es equio z e valente a un conjunto de dos armaciones: b2 = a y b 0; con esto se supone que a es un nmero positivo o cero. u En Clculo, cuando hablamos de ra cuadrada nos referimos, siempre, a la ra cuadraa z z da aritmtica. As por ejemplo, aunque 4 tenga dos ra cuadradas, 2 y -2, con el s e , ces mboz z lo 4 solamente nos referimos a la ra cuadrada positiva 4 = +2. Para indicar la ra cuadrada negativa tendremos que explicitarlo con un signo menos 4 = 2. Es de z cir, en Clculo, para evitar la ambivalencia, el s a mbolo x denota exclusivamente la ra no-negativa de x. 2 2 2 Tenemos que tanto x como x son ra ces cuadradas de x , ya que (+x) = x y 2 2 a u (x) = x . Sin embargo, en Clculo, x2 no es simplemente un n mero cualquiera que u elevado al cuadrado da x2 , sino que es indispensablemente un n mero positivo o cero. En consecuencia, x2 = |x| Lo que signica que, en general, no se va a poder compensar el cuadrado con la ra z cuadrada, salvo que el radicando sea positivo. x2 = x Por otro lado, la solucin de la ecuacin x2 = p no se puede expresar simplemente o o mbolo nos vamos a referir, exclusivamente, a una de las dos con x = p, ya que con este s posible soluciones. En consecuencia tendremos que indicar x2 = p x = xEjemplo 1.9 (Ecuaciones con valor absoluto). Resolver las siguientes ecuaciones: 1. |x 5| = 4, Solucin. o 2. |x 5| = 4, 3. |x 5| = 0, 4. |x + 1| = 3x 910 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS x5=4 o x 5 = 4 x=9 x=11. |x 5| = 4 2. |x 5| = 4 3. |x 5| = 0No tiene solucin. o x5=0 x=5x 1 10 = 2x x 1 8 = 4x x=5 x=5 No4.|x + 1| = 3x 9 x+10 x + 1 = 3x 9 o x+10 x 1 = 3x 9En general, el mtodo ms directo de atacar un problema referente a e a valores absolutos requiere la consideracin por separado de distintos casos, o con objeto de eliminar el valor absoluto. En particular, siempre habr que a considerar si lo que hay dentro del valor absoluto es positivo o es negativo. Esto hace que cuando aparecen varios valores absolutos, la casu stica se complique, ya que hay que considerar, por separado, todas las posibilidades, en cuanto al signo, de las expresiones que hay dentro de cada uno de los valores absolutos. Sin embargo, en ocasiones pueden emplearse otros mtodos ms sencillo e a que eliminen el valor absoluto, sin tener que acudir a la casu stica de los signos. Bien, acudiendo a las propiedades del valor absoluto, o bien, utilizando la representacin grca. Por ejemplo, la ecuacin |x + 1| = 3x 9 tambin o a o e puede resolverse grcamente, estudiando los puntos de corte de las grcas a a de las funciones f (x) = |x + 1| y g(x) = 3x 9. Otra manera de abordar esta ecuacin es resolviendo la ecuacin irracional: (x + 1)2 = 3x 9 o oNota: Al resolver una ecuacin con valores absolutos, cada caso supone resolver un sistema o formado por una inecuacin y una ecuacin. Evidentemente, la inecuacin no es necesario o o o resolverla, ya que podemos resolver la ecuacin y comprobar si las soluciones de la misma o cumplen o no la inecuacin. Si la cumplen la aceptamos como solucin y si no la cumplen o o la rechazamos. Puede ocurrir que una solucin rechazada en un caso, aparezca como solucin valida o o en otro de los casos. En tal caso se acepta la solucin (siempre est la posibilidad de o a comprobar las soluciones en la ecuacin inicial). o Cuando se trata de resolver una inecuacin con valores absolutos, entonces s que hay o que resolver todas las desigualdades, ya que se trata de encontrar la interseccin de los o conjuntos solucin. o Si aparecen varios valores absolutos cada sistema tendr varias inecuaciones que correa r la misma suerte de lo dicho anteriormente. anEjemplo 1.10. Resolver la ecuacin |x2 2x 8| = x + 2 o Solucin. Consideramos sucesivamente los dos casos: o a) x2 2x 8 0, b) x2 2x 8 < 0.1.1. LA RECTA REAL11a) x2 2x 8 0. En este caso resulta la ecuacin: x2 2x 8 = x + 2. o En consecuencia tenemos que resolver el sistema x2 2x 8 0 x2 3x 10 = 0 Para ello resolvemos la ecuacin y comprobamos las soluciones en la ino ecuacin. As o , 37 3 9 + 40 5 2 = = x 3x 10 = 0 x = 2 2 2 de donde, x = 5 52 2 5 8 = 25 10 8 = 7 > 0, x = 2 (2)2 2 (2) 8 = 4 + 4 8 = 0. Luego las dos soluciones son vlidas. a 2 2x 8 < 0. En este caso resulta la ecuacin: x2 + 2x + 8 = x + 2. o b) x En consecuencia tenemos que resolver el sistema x2 2x 8 < 0 x2 x 6 = 0 Para ello resolvemos la ecuacin y comprobamos las soluciones en la ino ecuacin. As o , 15 1 1 + 24 3 2 = = x x6=0 x= 2 2 2 de donde, x = 3 32 2 3 8 = 9 6 8 = 5 < 0, x = 2 (2)2 2 (2) 8 = 4 + 4 8 = 0. En este caso la primera solucin es valida y la segunda no. No obstante, o x = 2 es valida, por el caso anterior. En consecuencia las soluciones de la ecuacin inicial son x = 2, x = 3 o y x = 5. Ejemplo 1.11. Resolver la ecuacin x2 4|x| 5 = 0 o Solucin. En este ejemplo, para liberarnos del mdulo podemos considerar o o sucesivamente los dos casos x 0 y x < 0; o bien, teniendo en cuenta que x2 = |x|2 , transformar la ecuacin inicial en |x|2 4|x|5 = 0 que se resuelve o con un cambio de variable, o bien, directamente: 46 4 16 + 20 5x=5 o 5 2 = = |x| 4|x| 5 = 0 |x| = 1 no es solucin o 2 2 Luego la ecuacin inicial tiene dos soluciones x = 5 y x = 5. o12 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjemplo 1.12 (Desigualdades con valor absoluto). Resolver las siguientes desigualdades: 1. 4. Solucin. o |x 1| 3, |x 1| 2 2. 5. |2 4x| 6, |2x 3| 2, 3. 6. |x| 2 |2x 3| 21. |x 1| 3 3 x 1 3 2 x 4 x 2, 4 2. |2 4x| 6 6 2 4x 6 8 4x 4 2 x 1 1 x 2 x 1, 2 3. |x| 2 x2 x 2 x , 2 2, + x3 x 1 x , 1 3, + 4. |x 1| 2 2 x 1 2 1 x 3 5. |2x 3| 2 No tiene solucin. o 6. |2x 3| 2 Se cumple siempre, luego x (, +) Ejemplo 1.13 (Sistemas de desigualdades). Resolver el sistema de desigualdades: |2x 2| 4 |2x 3| 1 Solucin. Resolvemos cada desigualdad por separado y luego hallamos la o interseccin de los conjuntos solucin. o o |2x 2| 4 |2x 3| 1 4 2x 2 4 2 2x 6 1 x 3 1 2x 3 1 2 2x 4 1 x 2 x2 x1 x 1, 1 2, 3 Expresin de intervalos mediante valor absoluto o Cualquier intervalo se puede expresar en trminos de valor absoluto de la e siguiente forma:a, b = x R/ |x ba a+b | 2 2Si m es el punto medio del intervalo [a, b], y r el radio, entonces: |x m| r1.1. LA RECTA REAL13Nota: Para hallar el punto medio de un intervalo basta con hallar la media aritmtica de e sus extremos. Es decir, el punto medio del intervalo (a, b) es m= a+b 2Ejemplo 1.14 (Expresin de intervalos mediante valor absoluto). Expresar o mediante valor absoluto los siguientes intervalos: 1. 2, 2 , Solucin. o 1. 2. 3. 4.2. 1, 3 ,3. , 2 2, + , 4. , 1 5, + . 2, 2 = {x R/ 1, 3 = {x R/ |x| 2} |x 1| 2} |x| 2} |x 3| 2} , 2 2, +) = {x R/ , 1 5, +) = {x R/ Denicin 1.7 (Intervalo reducido de un punto). Se llama entorno o reducido de un punto a un entorno en el que se ha suprimido el punto.o Ejemplo 1.15 (Expresin mediante valor absoluto de un entorno reducido). Expresar mediante valor absoluto un entorno reducido de 4 de radio 2.Solucin. o (2, 4) (4, 6) = {x R/ 0 < |x 4| < 2} La manera de expresar que x = 4 es mediante la desigualdad 0 < |x 4| Distancia entre dos puntos de la recta real Denicin 1.8 (Distancia entre dos puntos de la recta real). La o distancia entre dos puntos x1 y x2 de la recta real, viene denida por el valor absoluto de su diferencia d = |x2 x1 | = (x2 x1 )2Nota: El orden en que se restan los puntos x1 y x2 no importa, ya que |x2 x1 | = |x1 x2 | A la diferencia de los n meros (sin el valor absoluto) se le llama distancia dirigida. u As , a) la distancia dirigida de x1 a x2 es x2 x1 ; y, b) la distancia dirigida de x2 a x1 es x1 x2 . En consecuencia, la distancia dirigida es positiva cuando se mide hacia la derecha (orden creciente de los n meros) y negativa cuando se mide hacia la izquierda (orden u decreciente de los nmeros). uEjemplo 1.16 (Distancia en la recta). Hallar la distancia entre -2 y 514 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSSolucin. a) La distancia entre -2 y 5 viene dada por: o d = |5 (2)| = |7| = 7 b) La distancia dirigida desde -2 a 5 es 5-(-2)=7 c) La distancia dirigida desde 5 a -2 es -2-5=-7Distancia = 73210123456Figura 1.2: Distancia en la recta realEjercicios propuestos de la seccin 1.1. La recta real oSoluciones en la pgina 389 a 1.1.1. Resolver las inecuaciones: a) 3x 4 1 b) 2 3x 111.1.2. Resolver los siguientes sistemas de inecuaciones a) 3x 2 7 5x 7 3 b) 4x 1 5 7x 1 13 c) 3 2x 1 3 2x 71.1.3. Resolver las desigualdades: a) x2 + 5 6x 1.1.4. Resolver las desigualdades: a) x < 1.1.5. Resolver las ecuaciones: 1 x b) 3 x2 6x + 8 8 b) 2x 3 0 c) x2 +y 2 +2x4y +6 < 01.2.7. Determinar la grca de la ecuacin: 2(x + y) (x + y)2 = (x y)2 a o 1.2.8. Hallar la ecuacin de una supercie esfrica que tiene a los puntos (3, 2, 3) y o e (1, 2, 1) como extremos de un dimetro. a1.3.1.3.1.FuncionesDenicionesEn la vida real nos encontramos con magnitudes que estn relacionadas entre a s bien, porque existe una relacin numrica entre ella, de manera que el , o e valor de una de ellas depende del valor de la otra. Por ejemplo la distancia recorrida por un automvil depende del tiempo que lleva circulando. La o demanda de un determinado producto depende de su precio; o bien, porque existe entre ellas una relacin no numrica, de cualquier naturaleza. Por o e ejemplo los ciudadanos y los pa ses del mundo estn relacionados por la a nacionalidad.1.3. FUNCIONES23De las causas de estas relaciones se ocupan las distintas ramas del saber (F sica, Econom Derecho, etc.). En Clculo nos ocupamos del estudio de a, a estas relaciones vistas en s mismas, desposeyndolas del signicado material e de las magnitudes que intervienen. Adems, nos limitamos, en gran medida, a a un tipo particular de relaciones denominadas funciones. Una funcin es una correspondencia entre dos magnitudes (numricas o e o no numricas). Ahora bien, cuando nos referimos a funciones, la correse pondencia siempre hay que entenderla en una direccin determinada, por o ejemplo, el espacio funcin del tiempo (el espacio ser la imagen y el tiemo a po el origen). No obstante, hay que advertir que no se considera funcin a o cualquier correspondencia, sino que para que una correspondencia sea funcin, la imagen de cada elemento tiene que ser unica y estar bien determio nada. Por ejemplo, la relacin entre los ciudadanos y los pa del mundo o ses mediante la nacionalidad no es una funcin, porque existen ciudadanos con o doble nacionalidad. Es decir, para que una correspondencia sea funcin, los o originales no pueden tener ms de una imagen, si bien, varios originales a distintos s que pueden tener la misma imagen. En consecuencia una corres pondencia puede ser funcin en un sentido y no serlo en el sentido contrario. oNota: Aunque el concepto de funcin nace del estudio de la relacin existente entre o o dos magnitudes que estn vinculadas por una relacin de causalidad (causa-efecto), y se a o establece la causa como variable independiente y el efecto como variable dependiente. Sin embargo, en Matemticas se pueden establecer funciones entre dos magnitudes, aunque a no exista ningn tipo de causalidad entre ellas. Es decir, se pueden establecer relaciones u de manera articial.La idea de ((funcin)) que se adquiere en los primeros contactos con el o Clculo, tanto en la Enseanza Secundaria como en el Bachillerato, por a n lo comn, suele identicar el concepto de funcin con una ((frmula)), por u o o ejemplo f (x) = x2 5x + 6, y se entiende que esta frmula asocia a cada nmero real x otro nmero real o u u f (x). Basta sustituir x por un nmero concreto y hacer las operaciones indiu cadas, para obtener su imagen. Tambin se comprende que ciertas frmulas, e o tales como g(x) = x 4, no estn denidas para todos los nmeros reales, y por tanto, que haya e u nmeros reales que no tengan imagen mediante dichas funciones, de ah el u estudio de los dominios. Sin embargo, el alumno de Secundaria, e incluso el de Bachillerato, se suele resistir a comprender que haya funciones denidas ((a trozos)), ((en partes)), o ((segn los casos)). Es decir, funciones en las que u no todos los nmeros tienen el mismo tratamiento, sino que segn sea el u u nmero se le aplica una frmula u otra para calcular su imagen. El ejemplo u o24 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSms caracter a stico de este tipo de funciones es la funcin valor absoluto o h(x) = |x| que se dene ((a trozos)) de la siguiente forma h(x) = x si x 0 x si x < 0Ms incomprensible suelen se las funciones que se denen ((con un punto a aparte)) como la funcin o k(x) =sen x x1si x = 0 si x = 0o las funciones denidas ((segn la naturaleza)) del punto, como por ejemplo u l(x) = x si x Q x si x R Qen donde a los nmeros racionales se les aplica una frmula y a los irrau o cionales otra. Dentro de esta asociacin de ideas, funcin versus frmula, todav es o o o a mucho ms incomprensible el hecho de que haya funciones para las que no a exista una ((frmula)) que las represente. o Otra asociacin de ideas que tambin suele resultar perniciosa a la hoo e ra de generalizar el concepto de funcin es el identicar la funcin con su o o ((grca)). Tanto la ((frmula)) como la ((grca)) son dos instrumentos que a o a nos ayudan, enormemente, a comprender el concepto de ((funcin)), pero no o debemos identicar los instrumentos con el concepto mismo, ni sentirnos atrapados por los instrumentos a la hora de generalizar los conceptos. Estas identicaciones de ideas que realizan los alumnos de Secundaria y Bachillerato no nos deben de preocupar en demas ya que responden a las a mismas identicaciones de ideas que han realizado los matemticos a lo largo a de la historia de las Matemticas, pero es bueno explicitarlas y ponerlas de a maniesto con objeto de superarlas. Estas observaciones ponen de maniesto que el requisito de que una funcin sea una frmula es indebidamente restrictivo, y ms an, el identicar o o a u las funciones con sus grcas. Por otro lado, tambin resulta importante a e hacer una clara distincin entre la funcin misma y los valores de la funcin. o o o Es decir, una cosa es la funcin f y otra el valor f (x). o Una primera aproximacin al concepto de funcin podr ser la siguiente o o a denicin: o Una funcin f de un conjunto A a un conjunto B (A y B no necesariao mente distintos) es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento x de un cierto subconjunto D de A, un elemento (y slo uno) bien determio nado y de B (adems, ni A ni B pueden ser el conjunto vac a o).1.3. FUNCIONES Esto lo indicaremos de la siguiente forma, D A B o bien f : D A B f : x y, o bien y = f (x)f25Esta denicin admite la posibilidad de que la funcin pueda no estar o o denida para ciertos elementos de A, as como que haya elementos de B que no sean imgenes de elementos de A. Es decir, que tanto en A como en B a puede haber elementos no relacionados mediante la funcin f . Y adems, o a admite la consideracin de funciones para las cuales los conjuntos A y B no o son necesariamente de nmeros reales. Sin embargo, la denicin presenta u o un inconveniente y es que no es totalmente clara, ya que no se dene lo que deba interpretarse por ((regla de correspondencia)). Una forma ms precisa de denir el concepto de funcin consiste en a o imaginarla como el conjunto formado por las parejas de elementos que estn a relacionados entre s La funcin, as concebida, ser un conjunto de pares . o a ordenados f AB. Evidentemente cualquier conjunto de pares ordenados no dene una funcin, ya que el primer elemento de las parejas no se puede o repetir dentro del conjunto. La funcin, as concebida, ser un conjunto, y o a la podemos pensar como el conjunto de puntos que integran la grca de la a funcin. La denicin, en estos trminos, es la siguiente: o o e Denicin 1.10 (Funcin). Sean A y B conjuntos (no vac y no neceo o os sariamente distintos). Una funcin de A a B es un conjunto f de pares o ordenados de A B con la propiedad de que si (a, b) y (a, b ) son elementos de f , entonces b = b . f = {(a, b) A B / (a, b) f y (a, b ) f b = b } Resulta conveniente tener siempre presente esta doble concepcin de las o funciones: una esttica, como un conjunto de pares ordenados (a, b); y otra a dinmica, como una transformacin del primer elemento de cada par en el a o segundo b = f (a). Si (a, b) es un elemento de una funcin f , entonces, en vez de escribir o (a, b) f , se escribe: b = f (a) o f : abes decir, por lo general, se hace referencia al elemento b como el valor de f en el punto a, o la imagen de a bajo f . Al exigir que la imagen ha de estar bien determinada lo que estamos haciendo es eliminar la posibilidad de denir una funcin mediante la que o se estableciera, por ejemplo, que la imagen de 4 ser 2 o 2, segn nos a u convenga en cada caso. Dominio y recorrido de una funcin o26 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSDominio. Al conjunto de todos los elementos de A que pueden aparecer como primeros miembros de elementos de f se le llama dominio de f , y se denota por Df , o simplemente D. Es decir, el dominio est formado a por todos los elementos de A que tienen imagen. Recorrido. Al conjunto de todos los elementos de B que puedan aparecer como segundos miembros de elementos de f se le llama rango, recorrido, imagen o conjunto de valores de f y se denota por Rf , o simplemente R. Es decir, el recorrido est formado por todos los elementos a de B que son imagen. o o En el caso de que Df = A, la funcin se llama ((aplicacin)), y se dice que f mapea o proyecta A en B (o que es un mapeo o proyeccin de A en B) y o se escribe f : A B.Nota: No obstante, hay que advertir que algunos autores exigen en la denicin de funcin o o o que el dominio coincida con el conjunto inicial, Df = A, e identican ((funcin)) con ((aplicacin)). o Sin embargo, nosotros entendemos que no es necesario incluir dicha restriccin en la o denicin de funcin, y preferimos considerar las ((aplicaciones)) como un caso particular o o de las ((funciones)). Nosotros hablaremos indistintamente de la funcin f : A B con dominio D A, y o de la aplicacin f : D B, salvo que, por cualquier motivo, tengamos que diferenciarlas. o Y, en general, escribiremos f : D A B para hacer referencia a cualquiera de las dos funciones.En las funciones que se estudian en Clculo los conjuntos A y B son a subconjuntos de R o de Rn , y escribiremos: f : D R R f : x y o bien, y = f (x) En esta notacin se enfatiza el dominio D de la funcin, sin embargo, el o o rango no queda expl cito. En Clculo nos ocupamos mucho ms del dominio a a que del rango. Las funciones de este tipo se llaman funciones reales de una variable real (funciones reales porque las imgenes, f (x), son nmeros reales; a u de una variable real porque x R).1.3.2.Representacin de funciones oExisten diversas maneras de visualizar una funcin, las ms usuales son o a mediante las cuatro representaciones siguientes: 1. 2. 3. 4. Verbal mediante una descripcin con palabras. o Numrica mediante una tabla de valores. e Algebraica mediante una ecuacin. o Visual mediante una grca, a un diagrama de echas, una mquina. a1.3. FUNCIONES27Unas representaciones responden mejor a la concepcin esttica de la o a funcin, como conjunto de pares ordenados; y otras a la concepcin dinmio o a ca, como proyeccin o transformacin. o oNota: Si bien, una misma funcin puede representarse mediante todas las maneras posio bles, incluso, a veces, es conveniente utilizar varias representaciones de una misma funcin o para tener un conocimiento ms completo de la misma. Hay que tener en cuenta que a ciertas funciones se describen de manera ms natural con uno de los mtodos que con a e otro.a) Descripcin verbal. Una funcin puede venir denida mediante una o o descripcin verbal. Por ejemplo, la funcin que indica la relacin existente o o o entre el peso de las manzanas y el precio que hay que pagar por ellas, suponiendo que el kilo de manzanas cuesta 1.5 euros. b) Representacin tabular. Una manera importante de representar una o funcin es mediante una tabla. Es lo que hacemos, normalmente, cuando o vamos a representar grcamente una funcin: darle valores y formar una a o tabla con ellos. La tabla puede construirse de manera horizontal o vertical. x y x0 y0 x1 y1 . . . . . . x x0 x1 y y0 y 1 Este procedimiento es especialmente util cuando se trata de representar funciones no numricas. Por ejemplo, si queremos asociar una serie de pa e ses con sus capitales, podemos tener la siguiente funcin: o Pa s Argentina Chile Espaa n Mxico e Per u Capital Buenos Aires Santiago Madrid Mxico e Limac) Expresin algebraica. En Clculo la principal manera de representar o a una funcin es mediante una ecuacin que liga a las variables (dependiente e o o independiente). Para evaluar la funcin se a la variable dependiente en la o sla parte izquierda de la ecuacin, con objeto de obtener la relacin funcional. o o As si escribimos la ecuacin 3x + 2y = 1 de la forma , o y= 1 3x 2tenemos descrita y como funcin de x y podemos denotar la relacin funo o cional mediante la expresin o f (x) = 1 3x 228 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSLo que nos permite evaluar la funcin f en cualquier punto de su dominio, o sin ms que sustituir x por el valor concreto. As a , f (5) = 14 1 3(5) = = 7 2 2Esta manera de expresar las funciones permite denir funciones por secciones, es decir, mediante varias frmulas, de tal manera que segn los casos o u se aplica una u otra. Ejemplo 1.23 (Evaluando una funcin denida por varias frmulas). Dada o o la funcin denida por of (x) = Evaluar f (0), f (1) y f (2).x2 + 3 2x + 5si x 1 si x < 1Solucin. Lo que signica la expresin de f (x) es que antes de decidirnos por o o la frmula a aplicar hay que ver de qu nmero se trata. As para evaluar los o e u , nmeros mayores o iguales que 1 se aplica la expresin x2 + 3, y para evaluar u o los nmeros menores que 1 se aplica la expresin 2x + 5. En consecuencia, u o f (0) = 2 0 + 5 = 0 + 5 = 5 f (1) = 12 + 3 = 1 + 3 = 4 f (2) = 22 + 3 = 4 + 3 = 7 d) Grca. Una manera de visualizar una funcin es por medio de una a o grca. La grca de una funcin de una variable, por lo general, es una a a o curva en el plano. Sin embargo, no toda curva del plano es la representacin o de una funcin. Para que una curva represente una funcin no puede tener o o dos puntos en la misma vertical, ya que para que una correspondencia entre dos magnitudes sea funcin, la imagen tiene que ser unica. Por lo tanto, una o recta vertical puede cortar a la grca de una funcin a los sumo una vez a o (test de la recta vertical ).y T y = f (x) y x x EyT y2 y1 xx EFigura 1.9: Grca de una funcin de una variable. La circunferencia no es la grca de a o a una funcin (test de la recta vertical). o1.3. FUNCIONES29Nota: Aunque la grca de una funcin y la propia funcin son dos conceptos totalmente a o o diferentes (la grca no es ms que uno de los multiples instrumentos que podemos utilizar a a para visualizar la funcin), es usual identicar una funcin con su grca. As por ejemo o a , plo, es costumbre referirse a la parbola y = x2 , como si ambos conceptos fueran lo mismo. a (Nosotros, para evitar sutilezas, por lo general, diremos la parbola de ecuacin y = x2 ). a oDe lo dicho se desprende que existe una gran cantidad de ((curvas)) que quedan excluidas del concepto de funcin, entre ellas, la circunferencia y la o elipse. Sin embargo, no por ello quedan excluidas de nuestro estudio. Sino que aplicaremos las propiedades de las funciones a las correspondencias que no lo son descomponindolas en funciones. Por ejemplo, la ecuacin de una e o 2 + y 2 = 1 no representa (globalmente) una funcin, ya que circunferencia x o para cada valor de una de las variables hay dos valores de la otra, con lo cual se viola el concepto de funcin. En consecuencia, la descomponemos en o dos funciones: una que toma el valor positivo (semicircunferencia superior), y otra el valor negativo (semicircunferencia inferior). En efecto, tenemos: y1 = +1 x2 2 2 2 2 2 x +y =1 y =1x y = 1x y2 = 1 x2y T x2 + y 2 = 1 x E y T y = + 1 x2 x EyT x E y = 1 x2Figura 1.10: La circunferencia no es una funcin, pero podemos descomponerla en dos ofunciones.e) Diagrama de echas. Existe otra manera de visualizar una funcin, o sobre todo a nivel terico, como una proyeccin de una parte del conjunto o o A hacia una parte del conjunto B. Para visualizarla se utiliza un diagrama de echas.f ar Df A r b Rf BFigura 1.11: Funcin vista como proyeccin o o Cuando (a, b) f , nos imaginamos que f toma el elemento a del subconjunto Df de A y lo proyecta o mapea en el elemento b = f (a) del subconjunto Rf de B.30 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSf ) La funcin como una mquina. Existe otra manera de visualizar una o a funcin, concebida como una transformacin, especialmente util para como o prender algunas propiedades tericas, y que consiste en imaginar la funcin o o como una ((mquina)) que acepta elementos de Df como materia prima proa duciendo elementos correspondientes de Rf como producto nal. x f f (x)Figura 1.12: La funcin como una mquina de transformacin. o a o Esta representacin aclara la diferencia entre f y f (x); lo primero es la o mquina y lo segundo el producto de la mquina al ser alimentada por x. a a1.3.3.Dominio impl cito de una funcin oEl dominio de una funcin puede venir expresado expl o citamente junto con la ecuacin que dene la funcin (dominio expl o o cito), o bien, no se expresa porque se entiende que viene determinado impl citamente en la ecuacin que o dene la funcin (dominio impl o cito). El dominio impl cito es el conjunto de todos los nmeros para los que est denida la ecuacin que dene la funcin. u a o o Por ejemplo, la funcin o f (x) = x + 3 x {1, 6, 13} tiene como dominio expl cito solamente Df = {1, 6, 13}, y por tanto slo se o debe aplica a los nmero indicados, mientras que la funcin u o f (x) = x + 3 tiene como dominio impl cito Df = {x / x 3} que son todos los nmeros u para los que tiene sentido la ecuacin que dene la funcin. o o En las aplicaciones prcticas del Clculo, cuando se conoce el signicado a a de las magnitudes que intervienen, el dominio de la funcin, por lo general, o queda determinado por el contexto del problema (dominio contextual). Ejemplo 1.24 (Hallando el dominio de una funcin). Encontrar el dominio o de las funciones a) f (x) = x 21 x b) g(x) = x1 x2 c) h(x) = x1 d) k(x) = ln xSolucin. a) Se trata de encontrar aquellos nmeros, x, para los cuales tiene o u sentido la frmula dada para f (x). Es decir qu valores pueden darse a o e x, de manera que al realizar las operaciones indicadas en la expresin que o dene f (x) se obtenga un valor numrico y no tropecemos con una operacin e o imposible?1.3. FUNCIONES31Es evidente que, en este caso, el dominio de la funcin es todo el cono junto R excepto los nmeros 1 y -1, es decir, Df = R {1, 1}, pues la u expresin puede ser calculada para cualquier nmero real, excepto para esos o u dos nmeros. En efecto, u 2 2 = 22 1 3 0 0 = =0 f (0) = 2 0 1 1 f (2) = Sin embargo, al sustituir cualquiera de los nmeros 1 o -1 tropezamos con u una operacin imposible, como es dividir por cero. o 1 1 = 1 0 1 1 = f (1) = 21 (1) 0 f (1) = 12 La determinacin de los nmeros 1 y -1 se realiza resolviendo la ecuacin o u o x2 1 = 0 x2 = 1 x = 1Tngase en cuenta que en una fraccin la unica limitacin que existe es que e o o el denominador no puede tomar el valor cero, mientras que el numerador puede tomar cualquier valor. b) Se trata de una ra cuadrada, luego el radicando no puede ser negativo. z En consecuencia x10 x1 Dg = [1, +)c) En esta caso, al estar la ra cuadrada en el denominador no puede tomar z el valor cero, luego el radicando ha de ser estrictamente positivo, En consecuencia x 1 > 0 x > 1 Dh = (1, +) d) El logaritmo slo est denida para los nmeros positivos. En consecueno a u cia Dk = (0, +)Nota: Al calcular el dominio de una funcin deben tenerse en cuenta, entre otras, las o siguientes circunstancias: 1. 2. 3. Que no se puede dividir por cero. Que las ra ces de ndice par slo estn denidas para los nmeros positivos y el o a u cero. Que los logaritmos slo estn denidos para los nmeros positivos. o a u32 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS1.3.4.Restricciones y extensiones de funcionesRestriccin Si f es una funcin con dominio Df y D1 es un subconjunto o o de Df , D1 Df , se puede denir una nueva funcin f1 con dominio o D1 por medio de f1 (x) = f (x) para cada x D1 . Esta funcin se llama o restriccin de f al conjunto D1 . Es decir, o f1 = {(a, b) f / a D1 } y se escribe f1 = f |D1 para denotar la restriccin de la funcin f al o o conjunto D1 . Extensin Si g es una funcin con dominio Dg y D2 Dg , entonces o o cualquier funcin g2 con dominio D2 tal que g2 (x) = g(x) para too o do x Dg se llama una extensin de g al conjunto D2 .Nota: Usualmente no nos referiremos expl citamente a las restricciones de una funcin, o sino que lo haremos de manera impl cita utilizando el siguiente lenguaje: Sea f una funcin o o denida en un entorno de x0 , entonces ... o bien, sea f una funcin denida y que cumple tal condicin en un conjunto D1 , entonces ... u otras expresiones similares. Entendemos o que, en dichos casos, la funcin puede tener un dominio superior, pero que el entorno o el o a conjunto D1 , respectivamente, estn contenidos en ese dominio. Sin hacer disquisiciones exquisitas sobre si nos estamos reriendo a la funcin o a una restriccin de la misma. o o1.3.5.Composicin de funciones. oComposicin de funciones, en general. Componer dos funciones cono siste en aplicar la segunda funcin al resultado de la primera. Es decir, para o e ((componer)) dos funciones se aplica primero f a cada x en Df y despus se aplica g a f (x), siempre que sea posible (es decir, cuando f (x) pertenezca a Dg ). x y z x f (x) g f (x)Por ejemplo, si f est denida en todo R por f (x) = x3 y g est denida slo para a a o x 0 por g(x) = x, entonces, la composicin g f slo se puede denir para x 0, y o o para estos nmeros reales deber tener el valor x3 . u af gEn consecuencia, para poder componer dos funciones el conjunto nal de la primera funcin tiene que coincidir, de alguna manera, con el conjunto o inicial de la segunda. f g A B C Denicin 1.11 (Composicin como aplicacin sucesiva de funo o o ciones). Sea f una funcin con dominio Df en A y rango Rf en B y o sea g una funcin con dominio Dg en B y rango Rg en C. La composicin o o g f (observe el orden) es la funcin desde A a C dada por o gf = {(a, c) AC / existe un elemento b B tal que (a, b) f y (b, c) g}1.3. FUNCIONES33De la propia denicin se desprende inmediatamente que si f y g son funo ciones, entonces la composicin g f es una funcin con o o Dgf = {x Df / f (x) Dg } Rgf = {g f (x) / x Dgf } La composicin de funciones tambin se puede interpretar como una sustio e tucin de una funcin en la otra. En este sentido, la composicin tambin o o o e se puede denir de la siguiente forma Denicin 1.12 (Composicin como sustitucin de la variable). o o o Sean f y g dos funciones cualesquiera. Se llama composicin de f con g, y o se representa por g f , a la funcin denida del siguiente modo: o g f (x) = g f (x)El dominio de g f es el conjunto de todas las x del dominio de f tales que f (x) est en el dominio de g e Dgf = {x Df / f (x) Dg } Obsrvese que el orden en que se escribe la composicin g f es el inverso e o al orden en que actan las funciones (primero f , despus g). u e La composicin de funciones se puede visualizar mediante un diagrama o de mquinas (Fig. 1.13) o un diagrama de echas (Fig. 1.14) a x f f (x) g g f (x)Figura 1.13: La mquina g f est compuesta por las dos mquinas. a a a f x g f (x) B g f (x)gf Figura 1.14: Composicin de funciones o De la denicin se deduce que la composicin de funciones no siempre o o est denida, siendo necesario y suciente para ello que el recorrido de la a primera tenga puntos comunes con en el dominio de la segunda. Es decir, Rf Dg = 34 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOScon objeto de que se pueda establecer la conexin o x f (x) g f (x) para algn elemento x Df . uNota: No obstante, en ocasiones, y sobre todo a nivel terico, nos va a interesar que o el dominio de la funcin compuesta no se reduzca a un conjunto de ((puntos aislados)), o sino que se trate de un ((conjunto abierto)), con objeto de poder asegurar determinados teoremas, por ejemplo, de derivacin. En el caso particular de que el recorrido de la primera o funcin est totalmente contenido en el dominio de la segunda, resultar que el dominio o e a de la composicin coincidir con el dominio de la primera funcin. o a ofg BDf ADg B C Figura 1.15: f D Dfgfg Dgf = DfSi no se da esta situacin, entonces exigiremos la posibilidad de poder restringir la o funcin f a un nuevo dominio Df , que cumpla las condiciones exigidas en el teorema o correpondiente, y para el que se cumpla f Df Dg , con objeto de que Dgf = Df . Ahora bien, en la prctica, cuando vamos a resolver un problema de composicin de a o funciones, para ver si es posible la composicin, simplemente nos jaremos en los conjuno tos inicial y nal de cada funcin, sin hacer referencia a los dominios. En consecuencia, o bastar observar si el conjunto nal de la primera funcin coincide (o se puede hacer coina o cidir, de alguna manera) con el conjunto inicial de la segunda, y posteriormente haremos referencia al dominio de la composicin obtenida. Es decir, para componer buscaremos la o posibilidad de la situacin: o A B para poder establecer:gffB CgA CPara representar la composicin de funciones, algunas veces, son cmodos o o los siguientes diagramas conmutativos: A Bh gfC Decir que el esquema es conmutativo signica que da lo mismo pasar de A a C por la derecha que por la izquierda. Lo que equivale a escribir: h = g f . Tambin es costumbre representar el diagrama anterior con un aspecto e ms lineal a f g A B C 1.3. FUNCIONES35Hay que advertir que, en general, la composicin de funciones no es o conmutativa, es decir, en la generalidad de los casos ser f g = gf , incluso, a puede suceder que est denida la composicin en un orden y no en el otro. e o Sin embargo, s se cumple la propiedad asociativa f (g h) = (f g) h. Composicin de funciones reales de una variable real. Componer dos o funciones consiste en aplicar la segunda funcin al resultado de la primera. o Ahora bien, desde el punto de vista anal tico, este concepto puede tener una segunda lectura. Anal ticamente, la composicin de funciones, tambin o e signica sustituir una funcin en la otra. Es decir, si tenemos la funcin o o y = f (x) que establece la dependencia entre y y x, y la funcin x = g(t), o que establece la dependencia entre x y t, podemos sustituir esta ultima en o a la primera y obtener y = f g(t) . A la funcin as obtenida (que env t a y) se le llama composicin de f con g y se denota por f g. Obsrvese que o e el orden en que se escribe la composicin f g es el inverso al orden en que o actan las funciones (primero g, despus f ). u e Conviene tener siempre presente esta doble visualizacin de la composio cin de funciones: como aplicacin sucesiva de dos funciones, y como sustio o tucin de la variable por una funcin de otra variable. En esquema ser lo o o a siguiente: (a) Como aplicacin sucesiva de funciones: o g tf x Byf g Figura 1.16: Composicin de funciones o (b) Como sustitucin de la variable: o y = f (x) x = g(t) y = f g(t)Es evidente, como ya se ha dicho, que para poder componer dos funciones, en su totalidad, el rango de la primera ha de estar contenido en el e dominio de la segunda g(Dg ) Df , en caso contrario, despus de aplicar g no podr amos aplicar f . Sin embargo, esta restriccin no es necesaria para o poder realizar, parcialmente, la composicin de las funciones, slo que, en o o este caso, habr que reducir el dominio de la composicin a los puntos del a o dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Desde el punto de vista formal la composicin, de funciones reales de una o variable real, puede enunciarse de la siguiente forma: Dadas las funciones36 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSg : I R R, f : J R R (tales que g(I) J), se llama composicin o de f con g y se denota f g : I R R, a la funcin (f g)(x) = f g(x) . o g:IRR f :J RR IJ R f g :I RRg f(f g)(x) = f g(x)En el caso de que no se cumpla la condicin g(I) J, la composicin tambin o o e es posible, siempre que g(I) J = . En tal caso habr que restringir las a funciones a aquellos puntos en los que la composicin sea posible. Es decir, o a los puntos del dominio de la primera que tienen su imagen en el dominio de la segunda. Ejemplo 1.25 (Componiendo funciones). Dada las funciones f (x) = 3x 1 Hallar f g(x) y g f (x) a Solucin. Tenemos que f g(x) = f g(x) , luego, bastar con sustituir en o f (x) el valor de x por g(x). As , f g(x) = f g(x) = 3g(x) 1 = 3(x2 + 2) 1 = 3x2 + 6 1 = 3x2 + 5 a Mientras que g f (x) = g f (x) , luego, bastar con sustituir en g(x) el valor de x por f (x). As , gf (x) = g f (x) = f (x) +2 = (3x1)2 +2 = 9x2 6x+1+2 = 9x2 6x+3Nota: Como se observa en este ejemplo, en general, la composicin de funciones no cumple o la propiedad conmutativa. Es decir, f g = g f .2yg(x) = x2 + 21.3.6.Funciones inyectivas e inversasFuncin inyectiva. Una funcin se dice que es inyectiva cuando elementos o o distintos tienen imgenes distintas, es decir, cuando no existen dos elementos a distintos con la misma imagen. Por tanto, f es inyectiva si y slo si: o f (a) = f (a ) a = a O bien, alternativamente, f es inyectiva si y slo si, para a y a en Df , se o tiene a = a f (a) = f (a ) Formalmente se puede establecer la siguiente denicin: o Denicin 1.13 (Funcin inyectiva). Sea f una funcin con dominio o o o Df en A y rango Rf en B. Se dice que f es inyectiva o uno a uno si, cada vez que (a, b) y (a , b) son elementos de f , entonces a = a1.3. FUNCIONES Si f es inyectiva se dice que f es una inyeccin. o37Funcin inversa. Se llama rec o proca de una funcin a la correspondencia o que se obtiene al intercambiar las imgenes por los correspondientes origia nales de dicha funcin. Evidentemente la rec o proca de una funcin no tiene o por qu ser otra funcin. En efecto, basta que dos elementos diferentes tene o gan la misma imagen, para que la rec proca asigne a esa imagen los dos originales, lo que contradice la denicin de funcin. Sin embargo, si la funo o cin es inyectiva, entonces la rec o proca es una funcin y, adems, es inyectiva. o a Es decir, si f es inyectiva desde A a B, entonces el conjunto de pares ordenados en B A que se obtienen al intercambiar las componentes de cada uno de los pares ordenados de f da una funcin g que tambin es inyectiva. o e Teorema 1.1 (Existencia de funcin la inversa). Una funcin posee o o funcin inversa si y slo si es inyectiva o o Las relaciones entre una funcin f y su inversa g son las siguientes: o f A B g Dg = Rf , Rg = Df (a, b) f (b, a) g o bien b = f (a) a = g(b)La funcin g se llama funcin inversa o rec o o proca de f y se denota por f 1 . En consecuencia: f A B f 1Df 1 = Rf , Rf 1 = Df (a, b) f (b, a) f 1 o bien b = f (a) a = f 1 (b)En consecuencia, se puede establecer la siguiente Denicin 1.14 (Funcin rec o o proca o inversa). Sea f una inyeccin o con dominio Df en A y rango Rf en B. Si g = {(b, a) B A / (a, b) f }, entonces g es una inyeccin con dominio Dg = Rf en B y con rango Rg = o Df en A. La funcin g se llama funcin inversa de f y se denota por f 1 o o Desde el punto de vista del mapeo, la funcin inversa se puede interpretar o de la siguiente forma: Si f es inyectiva mapea elementos distintos de Df hacia elementos distintos de Rf . De tal manera que cada elemento b de Rf es la imagen bajo f de un unico elemento a de Df . La funcin inversa f 1 mapea o el elemento b hacia este elemento unico a. Proposicin 1.7 (Composicin de funciones rec o o procas). Dos funciones son rec procas si y solamente si, al componerlas se obtiene la identidad. Es decir, f f 1 (x) = x para todo x del dominio de f 1 y f 1 f (x) = x para todo x del dominio de f38 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSf ar Df A rb Rf Bf 1Figura 1.17: Funcin inversa oNota: En consecuencia, para que dos funciones reales de variable real, f y g, sean inversas la una de la otra se ha de cumplir: 1. 2. 3. Dg = Rf , y Rg = Df . Que ambas sean inyectivas: f (x1 ) = f (x2 ) x1 = x2 y g(x1 ) = g(x2 ) x1 = x2 Que su composicin sea la identidad f g(x) = g f (x) = x oEjemplo 1.26 (Componiendo funciones rec procas). Comprobar que las siguientes funciones son rec procas f (x) = x3 + 1 y g(x) = 3 x1Solucin. Se tiene: o a) Los dominios y recorridos de ambas funciones coinciden con el conjunto de los nmeros reales. En consecuencia Dg = Rf , y Rg = Df u b) Ambas funciones son inyectivas. En efecto. f (x1 ) = f (x2 ) x3 + 1 = x3 + 1 x3 = x3 x1 = x2 1 2 1 2 g(x1 ) = g(x2 ) 3 x1 1 = 3 3 x2 1 x1 1 = x2 1 x1 = x2c) La composicin de f con g viene dada por o f g(x) = x13+1=x1+1=xy la composicin de g con f viene dada por o g f (x) =3x3 + 1 1 =3x3 + 1 1 = 3x3 = xLuego se tiene que f g(x) = g f (x) = x y, en consecuencia, podemos concluir que f y g son inversas una de otra. En la Figura 1.18 aparecen las grca de las funciones f y g. Como puede a verse, son simtricas respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, e o a y = x. Es decir, la grca de f 1 es una reexin de la grca de f en la a l nea y = x.1.3. FUNCIONES3 2 1 0 -139y y=xf (x) = x3 + 1 xg(x) =-2 -3 -3 -2 -1 0 1 3x123Figura 1.18: Proposicin 1.8 (Rec o proca de la rec proca). Si g es la inversa de f , entonces tambin f es la inversa de g. Es decir, la rec e proca de la rec proca es la propia funcin. o 1 f 1 =fNota: Hay que advertir que aunque para denotar a la funcin inversa se utiliza el expoo nente 1, no por eso se trata de una potencia. La utilizacin de esta notacin es cmoda o o o porque algunas propiedades de la funcin inversa recuerdan las propiedades de las poteno 1 = f. cias, como es que la rec proca de la rec proca coincide con la propia funcin f 1 o Sin embargo, hay que advertir que esta notacin puede inducir a engao, ya que, en general o nf 1 (x) =1 f (x)Clculo de la correspondencia rec a proca. Para calcular la rec proca de una funcin se pueden seguir dos procedimientos: o a) Deshaciendo operaciones. Consiste en deshacer las operaciones en el orden inverso al que estn realizadas en la funcin dada. Este mtodo soa o e lamente es aplicable a funciones que vienen denidas mediante ecuaciones sencillas, en las que aparece una sola vez la variable independiente x. Partiendo de x vemos qu operaciones hay que realizar para construir la funcin e o f (x). La inversa se obtiene deshaciendo las operaciones en el orden inverso al que estn realizadas en la funcin dada. a o b) Despejando la variable independiente. Consiste en despejar la variable independiente, x, en la ecuacin y = f (x), con objeto de obtener la o rec proca, x = g(y) (que puede expresarse en trminos de x intercambiando e x por y para obtener y = g(x)).Nota: Los pasos a seguir para calcular la funcin inversa son: o 1. 2. 3. Comprobar que la funcin es inyectiva y, en consecuencia, tiene funcin inversa o o (Teorema 1.1 pg. 37). a Despejar x en funcin de y: x = g(y) = f 1 (y). o Intercambiar x por y, con objeto de tener la funcin inversa en trminos de x: o e y = g(x) = f 1 (x).404. CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSDenir el dominio de f 1 como el recorrido de f .Ejemplo 1.27 (Deshaciendo operaciones). Calcular la recproca de las si guientes funciones a) f (x) = x + 3 b) f (x) = 3x b) f (x) = 5x3 + 2Solucin. Las tres funciones son inyectivas y estn denidas para todos los o a nmeros reales, en consecuencia, sus correspondencias rec u procas son funciones. Para calcularlas, partimos de x y deshacemos las operaciones, en el orden inverso al que estn dadas. As a , a) La funcin f supone sumar 3. En consecuencia, su rec o proca consistir en a restar 3. f (x) = x + 3 f 1 (x) = x 3 b) La funcin f supone multiplicar por 3. En consecuencia, su rec o proca consistir en dividir por 3. a f (x) = 3x c)La funcin f supone: o1o ) Elevar al cubo 1o ) Restar 2 2o ) Multiplicar por 5 3o ) Sumar 2f 1 (x) = x/3En consecuencia, su rec proca consistir en: a Luego, f 1 (x) =3x2 52o ) Dividir por 53o ) Extraer la ra cbica. z uo proca). Hallar, si existen, las funEjemplo 1.28 (Hallando la funcin rec ciones inversas de:a) f (x) = x2 b) f (x) = x2 con Df = {x R/ x 0} c) f (x) = x2 con Df = {x R/ x 0} Solucin. a) La funcin f (x) = x2 con dominio Df = R no es inyectiva y o o en consecuencia la correspondencia inversa no es una funcin. En efecto, la o a funcin f es la funcin f = {(x, x2 ); x R}, y fcilmente se ve que no es o o uno a uno. En efecto, f (2) = f (2) = 4, y en consecuencia los dos pares ordenados (2, 4) y (2, 4) pertenecen a f . En general, se tiene f (x1 ) = f (x2 ) x2 = x2 1 2 x1 = x2 x1 = x2b) En este caso, al haberse restringido el dominio de la funcin, exclusivao mente, a los nmeros no negativos, la funcin resulta inyectiva. En efecto, u o f (x1 ) = f (x2 ) x2 = x2 x1 = x2 1 21.3. FUNCIONES41En consecuencia, la funcin tiene inversa. El procedimiento para calcular la o funcin inversa consiste en expresar x en funcin de y. o o y = x2 x = y y Rf = {y R; y 0} xO bien, expresado en trminos de x, f 1 (x) = ec) Este caso es similar al caso anterior. La funcin tambin es inyectiva y, o e en consecuencia, tiene inversa. f 1 (x) = x Ejemplo 1.29 (Hallando la funcin rec o proca). Hallar, si existe, la funcin o rec proca de: 3x + 5 f (x) = x2 a Solucin. La funcin es inyectiva. En efecto, sea f (x1 ) = f (x2 ), ser; o o 3x2 + 5 3x1 + 5 = x1 2 x2 2 de donde, quitando denominadores y operando, resulta (3x1 + 5)(x2 2) = (3x2 + 5)(x1 2) 3x1 x2 6x1 + 5x2 10 = 3x1 x2 6x2 + 5x1 10 y simplicando, resulta x1 = x2 Despejando la variable x resulta, y= 3x 5 y(x 2) = 3y + 5 yx 2y = 3y + 5 x(y 3) = 2y + 5 x2 2y + 5 x= y3De donde, intercambiando la variables, se tiene y= 2x + 5 x3 f 1 (x) = 2x + 5 x3En lo que respecta al dominio y recorrido, se tiene: Df = Rf 1 = R {2} Rf = Df 1 = R {3}Nota: El proceso para obtener la ecuacin correspondiente a la rec o proca de una funcin, o suele ser complicado y en muchos casos imposible. As ,421. CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSMediante el procedimiento de deshacer operaciones solamente es posible hallar la ecuacin de la rec o proca de funciones sencillas, tales que en su frmula slo aparezca o o una vez la variable x. De manera que sea posible establecer una cadena lineal que vaya desde x hasta y. Con objeto de poder invertir el proceso. Mediante el despeje de la variable independiente es posible hallar la ecuacin correso pondiente a la funcin inversa de funcin con ecuaciones algo ms complejas que el o o a caso anterior. Sin embargo, no siempre es posible despejar la variable independiente en una ecuacin. o Existen muchas ecuaciones para las que no es posible encontrar la ecuacin que o corresponde a la funcin inversa, a pesar de que dicha funcin existe. Por ejemplo, o o o la funcin f (x) = ex + x es inyectiva y, en consecuencia, tiene funcin inversa, sin o embargo, no sabemos encontrar su ecuacin. o2.3.Proposicin 1.9 (Simetr de las correspondencias inversas). La o a grca de una correspondencia f y la de su rec a proca f 1 son simtricas e respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrante, y = x Demostracin. En efecto, por denicin de la inversa, se tiene o o (a, b) f (b, a) f 1y (b, a) f 1 (a, b) x f y=xFigura 1.19: Simetr de las correspondencias inversas a Para que la correspondencia rec proca f 1 de una funcin f sea otra o funcin, la funcin f ha de ser inyectiva. Grcamente puede determinarse o o a si una funcin es inyectiva o no mediante el criterio de la recta horizontal. o Una funcin es inyectiva si y slo si su grca no tiene nunca dos puntos o o a en la misma horizontal. Por tanto, una funcin f tiene funcin inversa si y o o slo si cada recta horizontal corta a la grca de f a lo sumo una vez. o aNota: En consecuencia se tienen los dos criterios: a) Criterio de la recta vertical. Para que una curva represente una funcin, no puede o tener dos puntos en la misma vertical. b) Criterio de la recta horizontal. Para que una funcin sea inyectiva y, en consecueno cia, tenga funcin inversa, su grca no puede tener dos puntos en la misma horizontal. o aProposicin 1.10 (Las funciones estrictamente montonas son ino o yectivas). Si una funcin f es estrictamente montona en un intervalo, o o entonces es inyectiva en ese intervalo.1.3. FUNCIONES43Demostracin. Una funcin es estrictamente montona en un intervalo si o o o es: o bien estrictamente creciente, en dicho intervalo; o bien estrictamente decreciente. Por otro lado, una funcin es inyectiva si puntos distintos tienen imgenes o a distintas. Es decir, x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) Elijamos x1 y x2 en el intervalo dado. Si x1 = x2 ser: o bien x1 < x2 ; o a bien x1 > x2 . Y al ser f estrictamente montona ser f (x1 ) < f (x2 ); o bien o a f (x1 ) > f (x2 ). En ambos casos f (x1 ) = f (x2 ). Por tanto f es inyectiva en el intervalo. x1 < x2 f (x1 ) < f (x2 ) o o x1 = x2 f (x1 ) = f (x2 ) f (x1 ) > f (x2 ) x1 > x2Nota: El rec proco de esta proposicin no es cierto. Es decir, una funcin inyectiva no o o tiene porqu ser estrictamente montona. Es ms, puede ser estrictamente creciente en un e o a intervalo y estrictamente decreciente en otro intervalo, con tal de que no haya dos puntos en la misma horizontalCorolario 1.1. Si una funcin es estrictamente montona, entonces tiene o o funcin inversa. o Demostracin. En efecto, si la funcin es estrictamente montona, entonces o o o ser inyectiva y, en consecuencia, tendr inversa. a a1.3.7.Funciones suprayectivas y biyectivasDenicin 1.15 (Funcin suprayectiva). Sea f una funcin con Df A o o o y rango Rf B. Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva cuando el rango coincide con el conjunto nal Rf = B Denicin 1.16 (Funcin biyectiva). Sea f una funcin con Df A y o o o a rango Rf B. Se dice que f es biyectiva si es, simultneamente, inyectiva y suprayectiva. Si una funcin es biyectiva, se dice que es una biyeccin. o o1.3.8.Imgenes directa e inversa de un conjunto aSea f una funcin arbitraria con dominio Df en A y rango Rf en B. Se o dene2 , Denicin 1.17 (Imagen directa de un conjunto). Si E es un subcono junto de A, entonces la imagen directa de E bajo f es el subconjunto de Rf dado por f (E) = {f (x); x E Df }2Para ms detalles sobre estos temas vase [3, Bartle], citado en la bibliograf a e a.44 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSSi E Df = , entonces f (E) = . Si E contiene un unico elemento p de Df , entonces el conjunto f (E) contiene un unico punto f (p) Denicin 1.18 (Imagen inversa de un conjunto). Si H es un subo conjunto de B, entonces, la imagen inversa de H bajo f es el subconjunto de Df dado por: f 1 (H) = {x; f (x) H}1.3.9.Funciones pares e imparesDenicin 1.19 (Funciones pares e impares). Una funcin y = f (x) o o se dice que es par si f (x) = f (x) Una funcin y = f (x) se dice que es impar si o f (x) = f (x)Nota: En las funciones pares al cambiar x por x se obtiene la misma expresin total. o En las funciones impares al cambiar x por x la expresin total cambia de signo. oEjemplo 1.30. Determinar si las siguientes funciones son pares o impares a) f (x) = x2 1 b) g(x) = x3 + x c) h(x) = x2 + xSolucin. a) Esta funcin es par ya que o o f (x) = (x)2 1 = x2 1 = f (x) b) Esta funcin es impar ya que o g(x) = (x)3 + (x) = x3 x = (x3 + x) = g(x) c) Esta funcin no es ni par ni impar. En efecto, o h(x) = (x)2 + (x) = x2 x = h(x) = h(x)Proposicin 1.11 (Simetr de las funciones pares e impares). La o a grca de una funcin par es simtrica respecto del eje vertical y la grca a o e a de una funcin impar es simtrica respecto del origen de coordenadas. o e1.3. FUNCIONESy (x, y) (x, y) x (x, y) x y (x, y)45Funcin par: f (x) = f (x) oFuncin impar: f (x) = f (x) oFigura 1.20: Simetr de las funciones pares e impares ad dyTd d x EFigura 1.21: Grca de la funcin valor absoluto f (x) = |x| a o1.3.10.La funcin valor absoluto oEjemplo 1.31. Representar la funcin f (x) = |x| o Solucin. Expresando la funcin por casos, se tiene: o of (x) =x si x 0 x si x < 0Luego, se trata de dos semirrectas con un origen com n (las bisectrices del u primer y segundo cuadrante que conuyen en el origen de coordenadas). Ejemplo 1.32. Representar la funcin f (x) = |x2 6x + 5| o Solucin. La grca de la funcin g(x) = x2 6x + 5, es una parbola. El o a o a valor absoluto convierte la parte negativa de esa parbola en positiva. En a consecuencia, lo que en la parbola est por debajo del eje horizontal se a a reeja por encima de dicho eje. y5 4 3 2 1 Tx E0 1 2 3 4 5 6Figura 1.22: Grca de la funcin f (x) = |x2 6x + 5| a o46 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSEjercicios propuestos de la seccin 1.3. Funciones o1.3.1. Dada la funcin f (x) = o a) f (2) Soluciones en la pgina 389 a x + 1, hallar b) f (1) c) f (3) d) f (x + x)1.3.2. Hallar el dominio de las funciones a) f (x) =x2 1b) g(x) = ln(x 3) c) h(x) = arc sen(x 1)1.3.3. Dadas las funciones f (x) = a) f g(1) b) f g(0)x y g(x) = x 1, Hallarc) f g(x)d) g f (1)e) g f (0)f) g f (x)1.3.4. Dadas las funciones: f (x) = hallar a) g f (x) b) f g(x)x4 x2 + 1g(x) = 2x + 31.3.5. Comprobar, mediante su composicin, que las siguientes funciones son rec o procas: f (x) = 3 x + 1, g(x) = (x 1)3 1.3.6. Hallar la rec proca de las funciones: a) f (x) = 1 x b) g(x) = 2x + 1 x11.3.7. Eliminar el valor absoluto de las siguientes ecuaciones, expresando las funciones por casos. a) f (x) = x2 3|x| + 2 b) g(x) = |x 2| + |x| + 31.4.L mite de sucesionesSucesin o Una sucesin es un conjunto de innitos nmeros ordenados segn algn o u u u criterio. Ejemplo, 1 1 1 1 1 {1, , , , , , , } 2 3 4 5 n n 1 2 3 4 5 ,} { , , , , , , 2 3 4 5 6 n+1 {1, 0, 1, 0, 1, , sen n , } 2 Las sucesiones se pueden considerar como funciones, donde el primer conjunto es el de los nmeros naturales. u 1 2 3 n { a1 a2 a3 an } N R1.4. L IMITE DE SUCESIONES47Aunque las sucesiones son funciones, es costumbre representarlas mediante sub ndices en lugar de la notacin funcional. As en vez de a(n) se escribe o , an .Nota: El motivo de esta notacin es que con an queremos enfatizar, ms que la imagen o a del nmero n, el trmino que ocupa en lugar n en la sucesin. u e oA los nmeros que componen la sucesin a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama u o trminos de la sucesin y a an se le llama trmino general o n-simo e o e trmino de la sucesin y denotaremos la sucesin por {an }. e o o o Denicin 1.20 (Sucesin). Una sucesin an es una funcin cuyo doo o o minio es el conjunto de los nmeros naturales, a : N R. A los valores de u e o e la funcin a1 , a2 , a3 , . . . , se les llama trminos de la sucesin y al trmio no an se le llama trmino general o n-simo trmino de la sucesin y e e o denotaremos la sucesin por {an }. o La grca de una sucesin es un conjunto de innitos puntos separados a o (aislados) unos de otros.1 an an = n T r 1 r r r r n E 0 1 2 3 4 5 -1 n an an = n+1 T 1 r r r r r n E 0 1 2 3 4 5 -1an an = sen n 2 T r r 1 n r r E 0 1 2 3 4 5 r -1Figura 1.23:L mite de una sucesin o Centraremos nuestra atencin en ver si los trminos de una sucesin se van o e o aproximando cada vez ms a algn valor. A ese valor se le llama l a u mite de la sucesin. Las sucesiones que tienen l o mite se llaman convergentes. 1 1 1 1 1 {1, , , , , , , } 0 2 3 4 5 n n 1 2 3 4 5 ,} 1 { , , , , , , 2 3 4 5 6 n+1 mite {1, 0, 1, 0, 1, , sen n , } Sin l 2 Denicin 1.21 (L o mite de una sucesin). Se dice que el l o mite de la sucesin {an } es y escribimos onl an = mSi para cada > 0 existe k > 0 tal que |an | < siempre que n > k.48 l an = m CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS > 0 k > 0 n N n > k |an | < nLas sucesiones que tienen l mite nito se llaman convergentes y las dems a divergentes Grcamente, la denicin dice que desde un lugar en adelante (n > k), a o todos los trminos de la sucesin tienen que estar comprendidos dentro de e o la franja limitada por las rectas y = e y = + an Para n > k los trminos de la sucesin e o estn todos entre y + a+ n 1 2 3 ... knFigura 1.24: l an = mNota: Para que exista el l mite, , por muy estrecha que sea la franja ( , + ), siempre se ha de poder encontrar un trmino a partir del cual todos los que le siguen estn dentro e a de la franja.Ejemplo 1.33 (Determinando la convergencia o divergencia de una sucesin). o Determinar la convergencia o divergencia de las sucesiones a) an = 2 + (1)n b) bn = sen n 2Solucin. a) Los trminos de la sucesin an = 2 + (1)n son o e o 1, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 3, Como la sucesin siempre tiene trminos que oscilan entre 1 y 3, resulta que o e no tiene l mite y en consecuencia diverge (por oscilacin). o n b)Los trminos de la sucesin bn = sen e o son 2 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, Como la sucesin siempre tiene trminos que oscilan entre -1 y 1, resulta o e que no tiene l mite y en consecuencia diverge (por oscilacin). o1.4. L IMITE DE SUCESIONES491.4.1.Clculo de l a mites de sucesionesProposicin 1.12 (Propiedades algebraicas de los l o mites de sucesiones). Si l an = 1 y l bn = 2 m mn nentonces se cumplen las siguientes propiedades 1. l (an bn ) = mn n n 123. l an bn = m1 2 15. l (an )bn = ( 1 ) 2 , si m2. l ran = r 1 , r R m n an 1 4. l m = , bn = 0 y n bn 2 >02=0Reglas elementales para el clculo de l a mites. Las reglas ms frea cuentes para eliminar la indeterminacin del l o mite de una sucesin son las o siguientes: 1. Indeterminacin del tipo . Se suele eliminar dividiendo numerador y o denominador por un trmino que elimine uno de los dos innitos (por e ejemplo, mxima potencia de n). a 2. Cociente de dos polinomios. Es un caso particular de la anterior. Este caso se reduce al cociente de los trminos de mayor grado, y se simplie ca la n. ap np + ap1 np1 + + a0 ap np = l m n bq nq + bq1 nq1 + + b0 n bq nq l m 3. Indeterminacin del tipo . En el caso de que se trate de ra o ces cuadradas la indeterminacin se suele eliminar multiplicando y divio diendo por el conjugado, con objeto de tener suma por diferencia, de manera que al aplicar la diferencia de cuadrados se elimine la ra z cuadrada. u 4. Indeterminacin del tipo 1 . Se aplica el nmero e. onl m1+1 nn= e = 2,718que se generaliza para los l mites del tipo:nl m1+1 anan= e = 2,718o m siempre que l an = + l an = mn nEjemplo 1.34. Calcular los siguientes lmites: 1.nl mn+3 n = l m =0 n3 + 4 n n350 1 1 3n n2n CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS 1 1+ 3n3n 1 1 2n 3n 2 32. 3. 4.nl m= l m1n=e1 = 3 2 enl ma = l a n = a0 = 1 mn1 ln n ln n 1 = = l m = l m =1 n ln 5n n ln 5 + ln n n ln 5 0+1 +1 ln n l m3 3 ln n(1 + n ) ln n + ln(1 + n ) ln(n + 3) = l m = l m = 5. l m n n n ln n ln n ln n 3 ln(1 + n ) =1+0=1 = l m 1 + n ln6.nl mn(n + a)(n + b) = l m (a + b)n ab n+n2 n2 + (a + b)n + ab n+ = l m (n + a)(n + b) (a + b) 1+n== l mnn2 + (a + b)n + abnab n1+(a+b) n=ab n2+= Criterio de Stoltz.a+b 2Es un criterio relacionado con las Reglas de LHpital que slo se puede o o aplicar a las sucesiones. Y del que, sin nimo de demostrar nada, podemos a dar la siguiente justicacin: o an an+1 an an+1 an an an+1 = l m n bn n bn+1 bn bn+1 bn bn+1 bn l mNota: Tngase en cuenta que si dos fracciones son equivalente, entonces, al restar los e numeradores y los denominadores, tambin se obtiene otra fraccin equivalente. e o c a ca a = = b d b dbEl Criterio de Stoltz se puede resumir en el siguiente esquema: an 0 an+1 an o = = l m n bn n bn+1 bn 0 l m Formalmente el Criterio de Stoltz puede enunciarse de la siguiente manera Teorema 1.2 (Criterio de Stolz). Sean {an } y {bn } dos sucesiones.1.4. L IMITE DE SUCESIONES Si existe l m siempre que: o o 1. {bn } es una sucesin montona divergente, o bien, o 2. an 0, bn 0 y bn es montona. an+1 an an an+1 an , entonces l m = l m n bn n bn+1 bn bn+1 bn51n Ejemplo 1.35 (Aplicando el criterio de Stolz). Calcular los siguientes lmites: 1. 2 + 4 + + 2n = = n 3 + 9 + + 3n l m = l m (2 + 4 + + 2n + 2n+1 ) (2 + 4 + + 2n ) 2n+1 = l m n+1 = n (3 + 9 + + 3n + 3n+1 ) (3 + 9 + + 3n ) n 3 = l m 2. l m 2 3n+1n=2 3+=0n+1 ln n ln(n + 1) ln n = = l ln m =0 = l m n n n n n+1n n l m n ln n n = e = = n= ln(n + 1) ln n n+1 l m l ln m n n+1n n = eln 1 = e0 = 1 = en =e en l ln m n en l m ln(n2 + n) n n2 + n = en = l m ln (n + 1)2 + n + 1 ln(n2 + n) n+1n l ln m = n2 + 2n + 1 + n + 1 n2 + n = eln 1 = e0 = 1 n3.n4.nl mnl m = en= enNota: Hay que advertir que el Criterio de Stoltz, en general, no se puede aplicar de manera parcial dentro de un l mite. Por ejemplo, el siguiente l mite existe y vale 1. l m n2 =1 n2nSin embargo, una aplicacin incorrecta del Criterio de Stoltz puede producir un resultado o errneo. As o , l m n2 1 n2 = l m = 2 n n n n 1 (n + 1)2 n2 1 n2 + 2n + 1 n2 2n + 1 l m = l m = l m =2 n n n n n n+1n 1 nn52 CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSPor eso en el Teorema 1.2, en la pgina 50, se exige que el l a mite del cociente de las diferencias de los trminos consecutivos exista. As ser correcta la siguiente aplicacin e , a o del Criterio de Stoltz an an an+1 an = l cn l m m = l cn l m m = 1 2= l cn m n n n bn n n bn+1 bn bn a mite Ahora bien, si 1 o 2 no existen o son innito, no est permitido continuar con el l unicando nuevamente ambos factores.Teorema 1.3 (Criterio de la Ra n-sima). Sea {an } una sucesin esz o trictamente creciente tal que l an = +, entonces: mnan+1 an Demostracin: En efecto, aplicando el Criterio de Stolz a la ra resulta: o z ln an+1 ln n ln an l m l m l ln n an m n n n n n n+1n = =e =e l m an = e n an+1 l ln m n an = l an+1 m =e n annl m nan = l mnNota: En el criterio de la ra hay que hacer la misma advertencia que en el criterio de z Stotlz. No se puede hacer una aplicacin parcial. En este caso, o 1. La ra tiene que ser n-sima. z an+1 m l m 2n an = l n n an 2. La ra ha de estar sola z an+1 m l bn n an = l bn m n n anEjemplo 1.36 (Aplicando el criterio de la ra . Calcula los siguientes z) l mites: 1.nl mn(n + 1)(n + 2) (n + n) == l m 2. l m(n + 2)(n + 3) (n + n + 2) (2n + 1)(2n + 2) = l m = + n n (n + 1)(n + 2) (n + n) (n + 1) 1 nnn(3n + 1)(3n + 2) (3n + n) =n= l m(3n + 1)(3n + 2) (3n + n) = nn (3n + 4)(3n + 5) (3n + n + 4) (3n + 1) (3n + n) : = = l m n (n + 1)n+1 nn (3n + 4)(3n + 5) (3n + n + 4)nn = l m = n (3n + 1)(3n + 2) (3n + n)(n + 1)n+1 (3n + n + 1)(3n + n + 2)(3n + n + 3)(3n + n + 4)nn = l m = n (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1)(n + 1)n 43 (4n + 1)(4n + 2)(4n + 3)(4n + 4) 444 1 4 = 3 = l m n = n (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3)(n + 1) n+1 333 e 3 en n1.4. L IMITE DE SUCESIONES Simplicacin de sumas. o53Algunas sumas se pueden simplicar expresando sus trminos de forma e telescpica, es decir, como la diferencia de dos trminos consecutivos, de o e manera que al sumar se eliminan los trminos intermedios. e Ejemplo 1.37 (Simplicando sumas). Calcula el siguiente lmite. l m 1 1 1 + + + 12 23 n(n + 1) = l mnn= 1 1 1 1 1 + + + =1 2 2 3 n n+11Clculo de l a mites por acotacin. o Teorema 1.4 (Teorema del encaje para sucesiones). Sinl an = = l bn m mny existe un entero k tal que an cn bn para todo n > k, entoncesnl cn = mEsquemticamente podemos escribir, a an cn bn cn Ejemplo 1.38 (Encajando sucesiones). Calcular el siguiente lmite. (n 1)! 1)(1 + 2) (1 + n)nl m(1 +Solucin. Teniendo en cuenta las siguientes desigualdades, o (n 1)! 1 2 n 1 0 = (1 + 1)(1 + 2) (1 + n) (1 + 1)(1 + 2) (1 + n) 1 (1 + 1)(1 + 2) (1 + n 1) 0 = 1+ n (1 + 1)(1 + 2) (1 + n) Resulta:nl m(1 +(n 1)! =0 1)(1 + 2) (1 + n)54 La constante de Euler. CAP ITULO 1. CONCEPTOS BASICOSPara resolver algunos l mites puede tenerse en cuenta la siguiente igualdad: 1+ donde: 1. n 0 2. = Constante de Euler 0 5 Ejemplo 1.39 (Aplicando la constante de Euler). Calcular los siguientes l mites:1 + + n ln n + + n = l m =1+0+0=1 n n ln n ln n 1 1 e e 3 e n e e1 e1/2 e1/n e1+ 2 ++ n = l m = l m = 2. l m n n n n n n eln n++ n n e e n = l m = l m = e e0 = e n n n n1 1 + + = ln n + + 2 nn1.l m1+1 23.1 ln(1 + 1 + + n ) ln(ln n + + 2 = l m n n ln(ln n) ln(ln n)l mn)= l mln ln n 1 + ln(ln n)+ n ln n=+ n ln nn= l mln(ln n) + ln 1 + ln(ln n)n=11.4.2.Sucesiones montonas oDenicin 1.22 (Sucesin montona). Una sucesin {an } se dice que o o o o es montona si sus trminos son crecientes o e a1 a2 a3 an o decrecientes a1 a2 a3 an Ejemplo 1.40 (Determinando la monoton de una sucesin). Determinar a o la monoton de la sucesin a o an = 3n n+2Solucin. Determinar que una sucesin no es montona puede hacerse, de o o o una manera fcil, comparando tres trminos de la misma. Sin embargo, dea e terminar que es montona es algo ms complicado, ya que hay que determio a nar que sus trminos crecen o decrecen siempre, para todo valor de n. Para e determinar la monoton de una sucesin pueden seguirse varios mtodos. a o e1.4. L IMITE DE SUCESIONES55Veamos aqu varios de ellos. En primer lugar hallamos an y an+1 . En este caso, 3n 3(n + 1) an+1 = an = n+2 (n + 1) + 2 a) Construyendo comparativamente an y an+1 . (n + 1) + 2 > n + 2 1 1 < n+2 (n + 1) + 2 3n 3(n + 1) 3n < < an < an+1 n+2 (n + 1) + 2 (n + 1) + 2luego la sucesin es montona (estrictamente creciente). o o b) Deshaciendo comparativamente an y an+1 . Partimos del supuesto de que an < an+1 y deshacemos las operaciones. As , an = 3n 3(n + 1)