u1. integrales multiples

Cálculo de varias variables II Unidad 1. Integrales múltiples

Educación Abierta y a Distancia * Ciencias Exactas, Ingenierías y Tecnologías 1

Universidad Abierta y a Distancia de México

Licenciatura en Matemáticas

Cálculo de varias variables II

6° cuatrimestre

Unidad 1. Integrales múltiples

Clave:

050920622/060920622



Contenido

Licenciatura en Matemáticas ....................................................................................................... 1

Unidad 1. Integrales Múltiples ..................................................................................................... 4

Presentación de la unidad ............................................................................................................ 4

Propósitos de la unidad ................................................................................................................ 4

Competencia específica ................................................................................................................ 4

1.1. Integral doble ........................................................................................................................... 4

Actividad 1. Análisis de la integral doble ................................................................................. 5

1.1.1 Definición y propiedades .......................................................................................................... 5

1.1.2 Principio de Cavalieri y Teorema de Fubini ......................................................................... 8

1.1.4. Área, volumen, momentos de inercia y centros de masa ........................................... 16

1.1.5. Teorema de cambio de variable ........................................................................................... 20

1.1.6. Integrales dobles en forma polar (cambio de coordenadas) ....................................... 22

1.1.7. Integrales impropias ............................................................................................................... 24

Actividad 2. Solución de Integrales Dobles ......................................................................... 24

1.2. La Integral triple .................................................................................................................... 25

1.2.1. Definición y propiedades....................................................................................................... 25

1.2.2. Integrales triples sobre regiones acotadas y determinación de límites de

integración............................................................................................................................................ 26

1.2.3. Volumen de una región en el espacio ................................................................................ 30

1.2.4. Centros de masa y momentos de inercia en tres dimensiones .................................. 31

1.2.5. Valor promedio de funciones en el espacio ..................................................................... 32

1.2.6. Cambio de variable para integrales triples ....................................................................... 33

1.2.7. Integrales triples en forma esférica y cilíndrica .............................................................. 34

Actividad 3. Solución de Integrales Triples .......................................................................... 35

Autoevaluación ............................................................................................................................. 35



Evidencia de aprendizaje: Integrales múltiples .................................................................... 36

Autorreflexiones ........................................................................................................................... 37

Cierre de la unidad ....................................................................................................................... 37

Para saber más.............................................................................................................................. 37

Referencias Bibliográficas ......................................................................................................... 38



Unidad 1. Integrales Múltiples

Presentación de la unidad

Dentro de las aplicaciones del cálculo vectorial, las Integrales múltiples y sus propiedades nos

brindan las herramientas necesarias para resolver problemas que pueden estar relacionados

con volúmenes, áreas, centros de masa, momentos de inercia, valores promedio etc.

En la unidad 1 se estudian dos subtemas: Integrales dobles e Integrales triples.

El subtema de Integrales dobles nos muestra los teoremas de Fubini y de Cavalieri, así como

el cambio de variable, operaciones que permiten el cálculo de integrales dobles en regiones

rectangulares y no rectangulares. Después utiliza estos resultados para aplicarlos en problemas

específicos.

El segundo subtema corresponde a las Integrales triples, se retoman resultados de Integrales

dobles y se adaptan para integrales triples para facilitar la solución de problemas específicos.

A lo largo de la unidad, se presentarán en fondo color rosa las definiciones, teoremas y

propiedades, mientras que en fondo verde se mostrarán los ejemplos.

Propósitos de la unidad

Aplicar los teoremas (Fubini, Cavalieri y cambio de variable) y propiedades de la integral

doble y triple para resolver problemas de área, volumen, centros de masa, valor

promedio y momentos de inercia sobre regiones rectangulares y no rectangulares

(generales).

Representar en su forma polar integrales dobles y la representación cilíndrica y esférica

para integrales triples

Competencia específica

Utilizar los teoremas y propiedades de las integrales múltiples para resolver problemas

específicos.

1.1. Integral doble

En la asignatura de Cálculo integral, se define la integral de una variable como una suma de

Riemann, en esta asignatura la integral doble es un caso particular de ésta.



Debes tener presente los conceptos de continuidad, límite, teoremas y propiedades para

integrales de una variable, cambio en los límites de integración, derivadas de n-esímo

orden, derivadas parciales, funciones lineales y conocimientos sólidos de geometría

analítica.

1.1.1 Definición y propiedades

Imagina que la figura 1, muestra una curva sobre un rectángulo. Si vas a calcular el volumen

bajo la curva, es necesario obtener el volumen de cada uno de los rectángulos (fig. 2), es decir:

Actividad 1. Análisis de la integral doble A través de esta actividad podrás utilizar las definiciones y teoremas para interactuar con tus

compañeros en el foro.

instrucciones

1. Investiga el concepto general de una integral doble, sus aplicaciones y que es un

cambio de variable.

2. Ingresa al foro y responde las siguientes preguntas.

¿Qué es una integral doble?, ¿Cuáles son sus aplicaciones? ¿Cómo ayuda a la solución de integrales dobles el cambio de variable?

3. Revisa las respuestas de tres de tus compañeros aceptando o rechazando su

respuesta.

Consulta la rúbrica general de la participación en foros, que se encuentra en la sección

Material de apoyo.



Figura 1 Figura 2

La integral doble se define de la siguiente forma:

∬ ( )

∑∑ ( )

Una función de dos variables es integrable si el límite de la definición anterior existe. La

expresión ∑ ∑ ( )

, se conoce como la doble suma de Riemann. Así, cada

rectángulo tiene área y altura (

), la suma de todas ellas es el volumen aproximado

de la curva.

Es importante señalar que dentro de la definición de integral, el punto muestra es cualquier

punto sobre R, algunos autores proponen usar como punto muestra, la esquina superior

derecha de cada rectángulo de R. En tal caso, la definición se escribe de la siguiente forma:

∬ ( )

∑∑ ( )

Ahora sabes cómo se define la integral doble, es momento de aplicarla en un ejemplo utilizando

sumas de Riemann. Recuerda que nuestra función debe ser positiva para que tenga sentido

hablar de volumen.

Ejemplo

Aplica la suma doble de Riemann, para encontrar el volumen aproximado del sólido

, divide el rectángulo , - , -, en cuadros de igual área. Toma como punto muestra, la esquina superior derecha de cada rectángulo y m,n = 3.

Solución:

Identifica qué tipo de sólido define la ecuación , en este caso es un paraboloide.



Propiedades

Sean f y g integrables sobre el rectángulo R, con k una constante. Las siguientes propiedades

son válidas para cualquier integral doble.

Localiza los puntos muestra en R, ya que con ellos obtendrás la aproximación.

Cuando en los ejercicios/problemas no se mencione el tamaño de los , es conveniente

establecer cuál vamos a utilizar, en este caso , es decir cada rectángulo tiene área 1. Evalúa los puntos muestra (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2) y (3,3), en la

ecuación . Escribe la definición que necesitas, y desarrolla:

∑ ∑ ( )

Solución de Integrales triples

f(1,1)∆A + f(1,2) ∆A+ f(1,3) ∆A+ f(2,1) ∆A+ f(2,2) ∆A+ f(2,3) ∆A+ f(3,1) ∆A+ f(3,2) ∆A+ f(3,3) ∆A= 23(1) + 20(1) + 15(1) + 20(1) + 17(1) + 12(1) + 15(1) + 12(1) + 7(1) = 141.□

∬, ( ) ( ) - ∬ ( ) ∬ ( )

La integral doble es lineal:



1.1.2 Principio de Cavalieri y Teorema de Fubini

El principio de Cavalieri, también conocido como el método de las secciones transversales, se

utiliza para aproximar el volumen de un sólido. En la asignatura de Cálculo Integral, el volumen

se obtiene usando la fórmula ∫ ( )

. Imagina que tienes un sólido cuya área de su

sección transversal es A(x), que se encuentra a una distancia d del plano de referencia, como

en la figura 1.

Figura 1

Al aplicar sumas de Riemann, se tiene que la aproximación anterior es igual a:

∬ ( ) ∬ ( )

∬ ( )

∬ ( )

∬ ( )

∑∬ ( )

Satisface homogeneidad:

Es monótona, siempre que f(x,y) ≥ g(x,y).

Es aditiva, cuando , de tal forma que f es acotada e integrable en cada

uno de los Rij.



∑ ( )( ) .

Para integrales dobles, el principio de Cavalieri toma como sección transversal, los cortes

perpendiculares a los planos x e y en cierto dominio como se muestra en la figura 2.

Figura 2

Sea ( ) sobre una región rectangular , - , -, fija un punto , al evaluarlo

en la función, obtenemos una nueva expresión ( ). Por estar sobre una región acotada

es continua en , entonces podemos definir al área de esta sección transversal como:

( ) ∫ ( )

De igual forma, el área de la sección transversal para el punto , en el plano es:

( ) ∫ ( )

El principio de Cavalieri afirma que ∫ ( )

, al aplicarlo a integrales dobles, el volumen

queda definido como:

∫ ( )

∫ ,∫ ( )

-

.

El procedimiento anterior también se conoce como Integrales Iteradas.

Ejemplo

Utiliza el criterio de Cavalieri para obtener el volumen de la región definida por la ecuación



∫ ,∫ -

.

Solución:

Resuelve primero la integral que está dentro de los corchetes:

∫

,( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )-

,( ( ) ) ( ( ) )- ,( ) ( )-

Y sustituye el resultado en la integral original ∫ ,∫ -

.

Ahora tienes una integral de una variable para resolver.

∫

,( ) ( ( ) ( ))-

,( ( )) (0 + (1))] = 2

Cuyo resultado es: ∫ ,∫ -

= □

Teorema de Fubini: Sea f una función continua, sobre el rectángulo , - , -,

entonces se cumple:

∬ ( ) ∫∫ ( ) ∫ ∫ ( )

Demostración:

Para demostrar: ∫ ∫ ( )

∬ ( )

Toma una partición de magnitudes iguales en , -, tales que , y

define la función.

( ) ∑ ∫ ( )

Ya que la función es acotada y continua porque así la definiste, aplica el teorema del valor

medio para integrales. Por lo tanto



∫ ( ) ( ( ))( )

Siempre que los pertenezcan a la partición .

Obtén el límite de las sumas de Riemann de la siguiente igualdad.

∫ ( )

∫ *∫ ( )

+

∑ ( )( )

Donde los de magnitudes iguales, pertenecen al intervalo , -,y el

punto , -.

Define el punto ( ( )) , y lo aplicas a F.

( ) ∑ ( )( ))

∫ ∫ ( )

∫ ( )

∑ ( )( )

Con esto queda demostrada la siguiente igualdad.

∫ ∫ ( )

∬ ( )

Para demostrar la segunda igualdad, el procedimiento es el mismo, por lo tanto es validada

siguiente igualdad:

∫ ∫ ( )

∬ ( )

Ejemplo

Calcula el volumen del sólido , si está sobre el rectángulo , - , - donde

son cualesquiera números reales.

Solución:

Escribe la integral que se ha de resolver:.

∫ ,∫ -



Resuelve la integral con respecto a

∫

( )

( )

Sustituye el resultado en la integral original.

∫ ( )

∫ ( )

0

( ) 1

□

El teorema de Fubini es utilizado para evaluar funciones positivas y negativas, sin embargo el

cálculo de volúmenes se restringe a rectángulos, en esta parte de la asignatura aprenderás a

integrar regiones no rectangulares (generales).

1.1.3. Integrales dobles sobre regiones acotadas no rectangulares

Definición: Si es una región no rectangular sobre el plano , tal que . Sea ( ) continua y acotada (excepto tal vez en la frontera de ), se define la integral de sobre , de

la siguiente forma:

( ) { ( ) ( ) ( )

En la demostración del teorema de Fubini, definiste a , que por construcción es continua

sobre . Las regiones del tipo I, II y III que estudiarás a continuación, se resuelven como

integrales iteradas.

Definición de integral iterada:

∬ ( ) ∬ ( )

Φ2

Regiones tipo I

Es momento de aplicar la integral doble en regiones no rectangulares (generales). La figura 4,

muestra algunos ejemplos de regiones tipo I.



Fig. 4

Definición:

Una función continua ( ), sobre una región del tipo I satisface:

Si *( ) ( ) ( ) +, entonces:

∬ ( ) ∫ ∫ ( )

( )

( )

Ejemplo

Sea ( ) la superficie cuya región son las rectas , y . Aplica la

definición anterior, para evaluar la integral.

Solución:

Primero escribe la integral a resolver, en este caso ∬ ( )

.

Establece los límites de integración para e . Ya que , entonces las funciones

( ) , y ( ) , serán los límites de integración para .

Recuerda que para saber dónde se intersectan dos funciones, debes igualarlas, ya que al

resolver la igualdad

, obtienes los límites de integración para .

Reescribe toda la integral con los datos que tienes y procede a resolverla.

∫ ,∫ -

∫ ,

-

∫ ( )

(

)

.



Regiones tipo II

Para una función continua ( ), sobre una región del tipo II que satisface:

*( ) ( ) ( ) +, entonces:

∬ ( ) ∫ ∫ ( ) ( ) ( )

La figura 5 muestra algunos ejemplos de regiones tipo II.

Fig. 5

Ejemplo

∫ ,∫ - ∫ ,

( )

- ∫

Encuentra el volumen bajo la curva de la siguiente ecuación: ( ) , que se encuentra

entre , 1, y .

En este ejemplo te proporcionan los límites de integración, por ello ya no es necesario

calcularlos.



Regiones del tipo III

Las regiones del tipo III son una combinación del tipo I y II, eso quiere decir que puedes

resolverla como una región del tipo I ó II.

Es importante que analices la información proporcionada al momento de resolver una integral,

ya que habrá métodos que te ayuden a simplificar los cálculos: Las regiones de tipo II son un

buen ejemplo de ello.

Ejemplo

Calcula el valor de la función ( ) , que se encuentra entre la parábola

y la recta .

Encuentra los límites de integración en términos de e , para determinar cuál de los dos es

más sencillo de evaluar en la integral.

Despeja √ , e iguala las funciones para obtener los límites con respecto a .

Eleva al cuadrado √ , ambos términos definen una ecuación de segundo grado, a

saber , ahora iguala a cero para obtener los puntos de intersección con respecto

los ejes e .

Los límites de integración son .

Ahora despeja con respecto a las ecuaciones y , al igualar tendrás que

, cuyas raíces son .

En la figura 6, se observar la región que vas a calcular, sin embargo si escoges √ te

enfrentas a que algunas de las soluciones son imaginarias, además de que el cálculo de la

integral ∫ ∫ √

√

, es más complicado que la integral ∫ ∫

.

Fig. 6



Escribe la integral a resolver:

∬ ∫ ∫

.

∫ ,∫ -

∫

∫ ( )

-

1.1.4. Área, volumen, momentos de inercia y centros de masa

En este subtema de la asignatura, usarás lo aprendido para calcular integrales dobles

relacionadas con aplicaciones.

Área:

Otra propiedad de las integrales dobles, para funciones del tipo ( ) , es el cálculo del

área de la región .

∬ ( )

Ejemplo

Obtén el área delimitada (Figura 1) por las rectas , y . Sustituyendo en la

fórmula de área, se tiene que ∫ ,∫ - ∫

.

Figura 1

Volumen:

Existen diferentes formas de encontrar el volumen de un sólido sobre una región .



Una de ellas se utiliza para funciones positivas ( ( ) ), sobre una región . Se calcula

como el volumen ∬ ( )

, utilizado en los ejemplos anteriores.

Para funciones del tipo ( ) ( ) , donde la región es la proyección

de las superficies y sobre el plano, la integral es:

∬ ( ) ∬ ( )

. La figura 2 muestra un ejemplo de este caso.

Fig. 2

Ejemplo

Hallar el volumen que se encuentra entre y los planos

y .

Solución:

La integral que vas a resolver es:

∬

∫ ,

-

∫

.

Centros de masa:

Definición: Las coordenadas ( ) del centro de masa de una región plana sobre , cuya

función de densidad se expresa como ( ). Tiene las siguientes ecuaciones.

∬ ( )

;

∬ ( )

y ∬ ( )



Es importante señalar que algunas regiones tienen la función de densidad constante, es decir

( ) , y se calcula de igual forma que la integral constante de una variable.

Ejemplo

Encuentra el centro de masa ( ) de una lámina plana triangular con vértices

( ) ( ) ( ), cuya función de densidad es ( ) .

Primero calcula todas las integrales que necesitas:

∫ ,∫

- ∫ ( )

∫ ∫ , ( ) -

∫

∫ ∫ , ( ) - ∫

Ahora sustituye en la fórmula original cada integral obtenida.

;

Las coordenadas del centro es la pareja .

/

Momentos de Inercia:

El momento de inercia de una superficie plana de masa alrededor de los ejes coordenados y

el origen se definen como:

∬

( ) ∬ ( )

∬( ) ( )

Ejemplo

Calcula el momento de inercia sobre el eje , de la región plana limitada por la parábola

y las rectas e , la función densidad es ( ) .

Primero obtén los límites de integración y después sustituye los datos en la fórmula para

resolver la integral.



∫ ,∫ ( )√

- ∫

( )

El teorema del valor medio, es una herramienta que te facilita conocer el valor aproximado de

una integral. La función sobre la que se trabaja debe ser continuay tener al menos un máximo y

mínimo sobre .

Teorema del valor medio para integrales dobles: Sea una región no rectangular, tal que

es continua, entonces para algún punto ( ) , se tiene.

∬ ( ) ( ) ( )

Ejemplo

Sea ( ) continua sobre *( ) +, ya que se

encuentra sobre una región cerrada y acotada, tiene máximo y mínimo.

Sigue el procedimiento del teorema del valor medio.

1. Primero encuentra el máximo y mínimo de ( ).

2. Obtén los puntos críticos de y , al compararlosse tiene que tiene un máximo

en ( ) y un mínimo en ( ) .

3. Evalúa la integral ∫ ∫

, cuya área de ( ) . Por lo tanto:

( ) ( ) ( )( ) y ( ) ( ) ( )( ).

De ahí que:

∫ ∫

Al calcular la integral sabes que el valor exacto es



El teorema del valor medio se utiliza para acotar el valor de la integral como en el ejemplo

anterior. Es importante recordarte que debes tener presente los conocimientos aprendidos en la

asignatura de Cálculo de varias variables I.

1.1.5. Teorema de cambio de variable

Algunas integrales necesitan un cambio de variable para que su cálculo sea más sencillo, así

que para que puedas aplicar dichos cambios de variable, es necesario establecer la teoría que

te permita hacerlo.

En la asignatura de Introducción al Álgebra estudiaste qué tipo de funciones existen (inyectiva,

suprayectiva y biyectiva), un ejemplo particular de ellas, son las funciones Inyectivas /uno a

uno, que te serán de gran ayuda en esta sección.

Sea subconjunto de , función definida como ( ) , es decir el conjunto de

puntos ( ) , tales que ( ) ( ) para algún ( ) .

Recordando: una función es uno a uno sobre , si para todo ( ) y ( ) , la función

( ) ( ) implica que y .

Cuando se realiza un cambio de variable, se emplea un teorema que te permitirá realizar los

cambios necesarios para que los cálculos sean válidos.

Definición:

Sea con primera derivada continua, que define a ( ) y ( ). El

Jacobiano de , se define como:

( )

( ) |

|

Teorema: Cambio de variable para integrales dobles, Sea , tal que ( ) y

con su primera integral continua y es uno a uno en . La siguiente igualdad se satisface.

∬ ( ) ∬ ( ( ) ( ))

|

|



Ejemplo:

Sea la región acotada por las parábolas ( ) ( ), con ( ) y

( ) . Utiliza el cambio de variable y , para calcular la integral de

( ) y diseña la nueva superficie después del cambio de variable.

Solución:

Obtén los límites de integración para la región . Al igualar ambas parábolas, tendrás que

, y al resolver cada parábola por separado da como resultado que . Con

estos productos esboza la región (Figura 1).

Fig. 1

Resuelve el sistema de ecuaciones con los puntos que obtuviste de la intersección del eje

con el punto de intersección entre ambas parábolas además del origen.

Estos puntos son ( ) ( ) ( ) y ( ).

Por la forma en que está definido el cambio de variable, observa que el punto ( ) se envía al

( ) (origen del plano ); ya que el sistema , tiene como solución

.

Para el punto ( ) escribe el siguiente sistema de ecuaciones:

,

La solución del sistema es

Por lo tanto ( ) ( )



Siguiendo el mismo procedimiento, obtendrás que:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Cuando escribas los puntos obtenidos en el plano, se logra la nueva región como lo

muestra la figura 2.

Figura 2

Una vez que obtengas los límites de integración para el plano , escribe la fórmula para

calcular la integral.

∬ ∬

( )

( )

∫ ,∫ ( ) ( ) - ∫ ,∫ ( )

- ∫

Donde ( )

( ) ( ).

1.1.6. Integrales dobles en forma polar (cambio de coordenadas)

Ya que tienes la herramienta que te permite cambiar las variables de una integral, estudiarás

un caso particular de mucha ayuda en funciones que involucran circunferencias y otras regiones

similares.



Definición:

Sea ( ) continua sobre , - , -, tal que y , con

, se cumple:

∬ ( ) ∫ ∫ ( )

Para ( ) continua sobre una región con y ( ) ( ), y para toda pareja

ordenada ( ), se cumple la siguiente igualdad:

∬ ( ) ∫ ∫ ( )

( )

Ejemplo

Encuentra el área de los 4 pétalos de la flor .

Aplica el cambio de variable usando coordenadas polares:

; ( )

( )

∫ ∫

∫

( ) *(

( ))+

Ya que la función es , se tienen 8 pétalos de la flor (todos iguales), es suficiente

calcular el área de un solo pétalo para encontrar el área total. Los límites de integración se

obtienen al partir en tres el primer cuadrante del plano como se observa en la figura 2.



Fig. 2

1.1.7. Integrales impropias

En la asignatura de Cálculo Integral estudiaste las integrales impropias de una variable, este

tipo de método sirve para solucionar integrales de funciones que no son acotadas en ciertos

puntos de su dominio.

Definición:

Sea ( ) ; * ( ) ( )+ región no rectangular, cuyas derivadas de

primer grado son continuas, para . Si es integrable, entonces:

∫ ,

∫ ( ) - ∫ ∫ ( ) ( )

( )

( )

( )

Ejemplo

Sea ( )

para valores de en que esté definida la función, cuya región está

definida como * +. Evalúa la integral.

En Cálculo diferencial, estudiaste dónde está definida una función, y qué puedes utilizar en

caso de tener discontinuidades. La función no está definida en la frontera de la región ( ), en

este caso la frontera es el círculo y su denominador no está definido para todos los

puntos de .

Calculamos las integrales impropias iteradas, como sigue:

∫ ∫

√

√

√

∫ , (

√ )- √ √

∫ , ( ) ( )-

Actividad 2. Solución de Integrales Dobles Al finalizar esta actividad podrás encontrar áreas, centros de masa, momentos de inercia y

volumen de cuerpos que impliquen el uso de integrales múltiples, así como los cambios de

variable para facilitar su cálculo.

Instrucciones:



1.2. La Integral triple

Este subtema te permitirá definir y aplicar la integral triple a problemas específicos. Sus usos

son muy variados y entran en diferentes campos de estudio, siendo los más comúnes en física

e ingeniería.

1.2.1. Definición y propiedades

Definición:

Sea ( ) , continua sobre = {Dominio espacial limitado por una superficie cerrada +

La integral triple se define:

∑∑∑ (

)

∭ ( )

1. Analiza, cada uno de los planteamientos que a continuación se describen:

I. Demuestra el teorema de Fubini para integrales dobles.

II. El señor Wilfredo heredó un terreno sólo le notificaron que tiene la forma de

un pétalo ( ). Calcula el área del terreno.

III. Una empresa de balones de fútbol, necesita determinar el volumen de los

nuevos modelos de éstos si los describe la función

.

IV. Un artesano de charolas rectangulares cuya región definen los puntos

( ) ( ) ( ) ( ) necesita encontrar la masa y su centro de masa de la

charola, si la función densidad está dada por ( ) .¿cuáles son

la masa y su centro de masa?

2. Resuelve cada una de las integrales triples dependiendo de su clasificación.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCVV2_U1_A2_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial

de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.



Al definir la integral doble en la sección anterior estudiaste las sumas de Riemman dobles,

en esta ocasión analizarás las sumas de Riemman triples.

Así mismo, harás uso de la propiedad de la integral que te permitirá resolver integrales triples

iteradas sobre regiones cuadradas.

Teorema: Para ( ) continua, sobre un cuadrado , - , - , -, se cumple:

∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ∫ ( )

∫ ∫ ∫ ( )

Ejemplo

Encuentra el valor de la integral, cuya región es el cubo ,

donde ( ) .

Considera que puedes resolver la integral por medio de integrales iteradas, te recomiendo que

primero resuelvas la integral con respecto a , cuyo resultado se detalla a continuación para

obtener una integral doble:∫ ∫ ,∫ - ∫ ,∫

- ∫

1.2.2. Integrales triples sobre regiones acotadas y determinación de límites

de integración

En el subtema anterior aprendiste que los dominios de integración se presentan como

regiones del tipo I, II y III respectivamente. Las integrales triples tienen una clasificación similar

a las integrales dobles en su dominio, salvo algunas restricciones que verás a continuación.

Definiciones:

Región Solida tipo I

Sea ( ) continua, uniforme casi en cualquier punto de su dominio y la proyección

(figura 1) sobre el plano , tal que *( ) ( ) ( ) ( )+.



Figura 1

La integral para regiones sólidas tipo I se escribe:

∭ ( ) ∬,∫ ( ) - ( )

( )

Debes tener en cuenta que los límites de integración de la proyección sobre el plano xy, se

calculan como en las regiones I, II y III que estudiaste en el subtema anterior.

Para *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+, como en la figura 2.

La integral se representa:

∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ( )

( )

( )

( )

Figura 2.



Cuando *( ) ( ) ( ) ( ) ( )+, como en la figura

3, la integral se expresa:

∭ ( ) ∫ ∫ ∫ ( ) ( )

( )

( )

( )

Figura 3.

Ejemplo:

Encuentra el valor de la integral ( ) , cuyos límites de integración se muestra en la

figura 4.

Figura 4.

Establece los límites de integración, escoge el tipo de región que reconozcas para resolver la

integral.

En este caso √ 1.

Escribe la integral con los datos anteriores y resuelve.



∫ ∫ ,∫ - ∫ ,∫ ( ) - ∫

√

√

Región Sólida tipo II

Sea ( ) continua, uniforme casi en cualquier punto de su dominio y la proyección

(figura 4) sobre el plano , tal que *( ) ( ) ( ) ( )+.

Figura 4.

La región del tipo II se representa:

∭ ( ) ∬,∫ ( ) - ( )

( )

Región Sólida tipo III

Sea ( ) continua uniforme casi en cualquier punto de su dominio y la proyección (figura

5) sobre el plano , tal que *( ) ( ) ( ) ( )+.

Figura 5.

La región del tipo II se formula:



∭ ( ) ∬,∫ ( ) - ( )

( )

Ejemplo:

Encuentra el volumen del paraboloide, acotado por . Es importante verificar

cómo tomarás los límites de integración, ya que de eso depende llegar al resultado por un

método más eficiente.

Con la información que te proporcionó el enunciado, esboza la región sólida donde se

encuentra el volumen a calcular (usa las herramientas que aprendiste en Cálculo de Varias

Variables I).

Paraboloide

Encontraste que ∫ ∫ ∫ √ √

√

√

√ Es una región sólida tipo III y llegar a su

solución es un proceso largo. Dejaremos pendiente la solución, hasta llegar al subtema de

Cambio de variable para integrales triples.

1.2.3. Volumen de una región en el espacio

El cálculo de volúmenes con integrales dobles ha sido aplicado en cada una de las regiones

anteriores. Cuando ( ) , el razonamiento es similar al cálculo de áreas para integrales

dobles.

La fórmula para calcular el volumen con integrales triples se define como:

( ) ∭ ∬, ( ) ( )-

Ejemplo:

Hallar el volumen del tetraedro que se encuentra acotado por los planos:



∫ ∫ ,∫ - ∫ ,∫ - ∫

( )

1.2.4. Centros de masa y momentos de inercia en tres dimensiones

El centro de masa nos permite conocer el punto donde actúan las fuerzas que se ejercen sobre

un objeto, en este caso son regiones sólidas de diversas formas.

Los momentos de inercia estudian el movimiento (rotación) de cierto cuerpo sólido (ya que

estamos en tres dimensiones) sobre alguno de los ejes.

En este subtema, estudiarás algunas aplicaciones de las integrales triples, las definiciones

siguen el mismo camino que las integrales dobles.

Centros de masa

Definición:

Las coordenadas ( ) del centro de masa de una región plana sobre , cuya función de

densidad se expresa como ( ). Tienen las siguientes ecuaciones:

∭ ( )

∭ ( )

∭ ( ) ∭ ( )

( ) = (

,

)

Ejemplo:

Hallar las coordenadas del centro de masa de la siguiente integral

∫ ∫ ∫

, cuya función de densidad está dada por la función ( ) :

Calcula cada una de las integrales que necesitas para encontrar el centro de masa.

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫ ,∫

-



∫ ∫ ∫

∫ ,∫ -

∫ ∫ ∫

∫ ,∫ -

Por lo tanto, las coordenadas son: ( ) (

).

Momentos de Inercia

Los momentos de inercia de una región sólida, son importantes porque a través de las

integrales triples, se puede conocer el comportamiento de un sólido en rotación (sobre alguno

de sus ejes).

∭ ( )

∭ ( )

∬ ( )

El ejemplo relacionado con los momentos de inercia de una región sólida, lo dejaremos para

más adelante ya que es necesario aplicar un cambio de variable para realizarlo.

1.2.5. Valor promedio de funciones en el espacio

Para ( ) continua sobre una región , el valor promedio de dicha función se define

como:

∭ ( )

∭

Ejemplo:

Encuentra el valor promedio de la función ( ) sobre el cubo

, - , - , -.

Calcula primero el volumen del cubo:

∫ ∫ ∫

Y después determina la integral con todo y la función.



∫ ∫ ,∫

- ∫ ,∫

- ∫

1.2.6. Cambio de variable para integrales triples

El cambio de variable se usa para facilitar el cálculo de algunas integrales sobre regiones, en

las que intervienen coordenadas polares, esféricas y cilíndricas. Aunque es común cambiar los

límites de integración dentro de coordenadas rectangulares para mover un cuadrado u otra

región rectangular y así facilitar la solución de la integral.

Definición:

Sea uno a uno, con primera derivada continua tal que ( ) y

( ). El Jacobiano de , se define como:

( )

( ) |

|

|

|

Teorema: Cambio de variable para integrales triples, Sea , tal que (

) ,

con uno a uno sobre .

La siguiente igualdad se satisface.

∭ ( ) ∭ ( ( ) ( ) ( )) | ( )

( )|

Ejemplo:

Evalúa la siguiente integral.

∫ ∫ ∫ √ √

√

√

√

Considera que es de región sólida tipo III



∬ *∫ √

+

∫ ∫ (√ )√√

√√

√

√

√

Sea con . Con el cambio de variable para resolver la integral.

∫ ,∫ (√ √

)

- ∫ ( )

1.2.7. Integrales triples en forma esférica y cilíndrica

Definición:

El cambio a coordenadas esféricas se escribe:

∭ ( ) ∭ ( )

No olvides tomar en cuenta las condiciones para que ( ) sea continua y tenga sus

primeras derivadas continuas.

El cambio a coordenadas cilíndricas se escribe:

∭ ( ) ∭ ( )

Ejemplo:

Encuentra la masa que se ubica entre el cilindro

y el paraboloide . Si la función de densidad es ( ) .

Al utilizar el cambio de coordenadas cilíndricas . Obtendrás los

nuevos límites de integración.

La integral a resolver es:

∫ ∫ ∫ ∫

Recuerda que en cada cambio de variable, debes calcular el Jacobiano, en este caso es



Actividad 3. Solución de Integrales Triples

Al finalizar esta actividad podrás encontrar áreas, centros de masa, momentos de inercia,

volumen de cuerpos que impliquen el uso de integrales múltiples. Así como los cambios de

variable para facilitar su cálculo.

Instrucciones:

1. Analiza cada integral triple e identifica el método de solución de cada una de ellas.

I. En la clase de historia, se dejó como proyecto, calcular el volumen de una

pirámide que se encuentra limitada por los planos

.

II. El equipo de mantenimiento eléctrico de una empresa, ha decidido modelar

un nuevo tipo de lámpara, si los moldes se encuentran acotados por el cono

,y la esfera tal que .

III. Los estudiantes de ingeniería tecnológica están modelando un nuevo

ventilador con una sola hélice que consta de una sola placa de plástico. Si la

placa se encuentra al centro de

y la

función de densidad es constante. Localiza el momento de inercia , para la

función ( ) .

2. Resuelve cada una de las integrales triples dependiendo su clasificación.

3. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura MCVV2_U1_A2_XXYZ.

Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por la inicial

de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

4. Envía tu documento a tu Facilitador(a) y espera su retroalimentación.

Autoevaluación

Al finalizar esta actividad tendrás todas las herramientas necesarias para aplicar la integral múltiple en problemas específicos.

Instrucciones: Elige la respuesta correcta que corresponda a la pregunta planteada

1.- Calcula el volumen aproximado del paraboloide ( ) , sobre el rectángulo , - , -. Toma como punto muestra la esquina superior derecha, con .



Evidencia de aprendizaje: Integrales múltiples

Es momento de realizar tu Evidencia de aprendizaje, donde tendrás que resolver

problemas específicos de integrales múltiples con el auxilio de todas las herramientas

que aprendiste durante la unidad para encontrar la solución.

Instrucciones:

1. Descarga el documento llamado “Integrales múltiples”

a) 16 b) 1 c) 32 d) 64

2.- Evalúa la siguiente integral iterada ∫ ∫

, también intercambiando los límites de

integración, para comprobar que de ambas formas es el mismo resultado.

a)

b) 3 c)

d)

3.- Sean y , encuentra el volumen de estas superficies y el plano , usando el cambio de coordenadas polares.

a) b) c) d) 4.- Evalúa la siguiente integral usando coordenadas esféricas

∫ ∫ ∫ √

√ √

a)

b)

c)

d)

5.- Obtén el centro de masa de la siguiente región sólida.

a) (

) b) (

) c) (

) d) (

)

Para comparar tus respuestas revisa el archivo Respuestas autoevaluación U1 colocada en la

carpeta material de apoyo en la pestaña de la unidad 1.

RETROALIMENTACION

1-3 aciertos. Los conocimientos obtenidos no fueron suficientes, debes revisar nuevamente el

contenido de la unidad.

4-5 aciertos. Tienes un conocimiento claro del contenido de la Unidad, sigue adelante.



2. Argumenta tu respuesta en base a lo que aprendiste en la unidad.

3. Resuelve el ejercicio que se te plantea en el documento.

4. Guarda tu documento con la siguiente nomenclatura CVV2_U1_EA_XXYZ.

5. Sustituye las XX por las dos primeras letras de tu primer nombre, la Y por

la inicial de tu apellido paterno y la Z por la inicial de tu apellido materno.

6. Envía tu reporte al portafolio de evidencias y espera la retroalimentación de tu

Facilitador(a), atiende sus comentarios y reenvía la nueva versión de tu evidencia.

7. Consulta la Escala de Evaluación para conocer los criterios con que será

evaluado tu trabajo.

Autorreflexiones

Al finalizar, consulta el Foro: Preguntas de Autorreflexión para realizar el ejercicio

correspondiente y enviarlo a través de la herramienta Autorreflexiones. Recuerda que también

se toman en cuenta para la calificación final.

Cierre de la unidad

En esta unidad 1, aprendiste a calcular integrales múltiples, a través del uso de teoremas y

propiedades. Ahora sabes que las integrales múltiples tienen un uso específico en otras ramas

como la ingeniería y la física.

Para la unidad 2 la meta es aprender a calcular integrales sobre curvas y sus diferentes

aplicaciones.

Para saber más

Consulta la siguiente página de ejercicios resueltos de integrales dobles.

Usa el programa Wolfram para comprobar los resultados de los ejemplos utilizados en esta

unidad.

Consulta los videos para repasar la teoría que aprendiste en esta unidad.

http://personales.upv.es/aperis/docencia/int_multiple.pdf

http://calculoavanzado.usach.cl/Apunte/Integrales/Ejercicios%20Resueltos%20Integrales%20Dobles%20y%20Triples%202011.pdf

http://www.wolframalpha.com/



http://www.youtube.com/watch?v=E8XmJtKITO8 y http://www.youtube.com/watch?v=aWGsjvbJSnk

http://www.youtube.com/watch?v=Eu42dT6QVj4&feature=BFa&list=PLF26A283A163B9660

http://www.youtube.com/watch?v=8wGIsvZiSdQ&feature=BFa&list=PLF26A283A163B9660

Están tomados de la página de YouTube con autorización de su autor

Referencias Bibliográficas

Stewart, J. (2011). Cálculo: trascendentes tempranas. México D.F..Cengage Learning.

Zelada, Carlos (2010), integrales dobles partes 1 , 2, 3 y 4 extraído de Youtube.com,

Piskunov, N. (2008). Cálculo diferencial e integral. México. Limusa

http://www.youtube.com/watch?v=E8XmJtKITO8

http://www.youtube.com/watch?v=aWGsjvbJSnk

http://www.youtube.com/watch?v=Eu42dT6QVj4&feature=BFa&list=PLF26A283A163B9660

http://www.youtube.com/watch?v=8wGIsvZiSdQ&feature=BFa&list=PLF26A283A163B9660

u1. integrales multiples

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