integral definida -...

1

INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio nº 1.-

Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el área

Ejercicio nº 2.-

Halla gráficamente la siguiente integral:

Ejercicio nº 3.-

Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental.

Ejercicio nº 4.-

Halla el área limitada por la recta x + y = 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental.

Ejercicio nº 5.-

Calcula gráficamente la siguiente integral:

Teorema fundamental del cálculo

Ejercicio nº 6.-

función en [0, 2π].

Ejercicio nº 7.-

función en [0, 2π].

Ejercicio nº 8.-

Ejercicio nº 9.-

Dada la función:

Calcula F' (x)

abscisas. de eje el y7212

rectas las por limitada ==+= xxxy ,,

∫−−

3

3

29 dxx

∫−

−+

1

1

211 dxx

( ) ∫= esta de extremos puntos posibles los Obtén función la Dada 2 .dttsenxF


( ) ( ) ( )21

Calcula ' , siendo log ·x

F x F x sen t t dt= +∫

( ) ( )∫ +=x

dttcosxF0

21

2

Ejercicio nº 10.-

Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:

Regla de Barrow

Ejercicio nº 11.-

Halla el área limitada por la parábola y = x2 − 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6.

Ejercicio nº 12.-

Halla el área limitada por las parábolas y = 6x − x2, y = x2 − 2x.

Ejercicio nº 13.-

Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.

Ejercicio nº 14.-

Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6.

Ejercicio nº 15.-

Ejercicio nº 16.-

Halla el área limitada por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1.

Ejercicio nº 17.-

Halla el área limitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje de abscisas.

Ejercicio nº 18.-

Calcula el área limitada por la parábola y = x2 − 4x y la recta y = 3x − 6.

Ejercicio nº 19.-

Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x − 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas.

Ejercicio nº 20.-

Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x − 2|.

Cálculo de áreas y volúmenes Ejercicio nº 21.-

Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X.

Ejercicio nº 22.-

Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo.

( ) ( )∫ −=x

dt2tlnxF1

.2 y1 rectas las y2 función la por limitado recinto del área el Calcula === xxxy

3

Ejercicio nº 23.-

Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm.

Ejercicio nº 24.-

eje X.

Ejercicio nº 25.-

Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio.

Ejercicio nº 26.-

Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm.

Ejercicio nº 27.-

Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x = 0, x = 5, y = 0, x − 5y + 10 = 0 al girar alrededor del eje X.

Ejercicio nº 28.-

Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm.

Ejercicio nº 29.-

Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m.

Ejercicio nº 30.-

Ejercicio nº 31.-

Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5 m es 7,5 m2.

Ejercicio nº 32.-

Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm.

Ejercicio nº 33.-

Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x = 1, x = 2.

Ejercicio nº 34.-

Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral.

Ejercicio nº 35.-

Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm.

del alrededor girar al 14

elipse la por engendrado cuerpo del volumen el Halla 22

=+ yx

.Xyx eje del alrededor girar al 149

elipse la por engendrado volumen el Calcula22

=+

4

SOLUCIONES EJERCICIOS INTEGRAL DEFINIDA

Ejercicio nº 1.-

Mediante los métodos de la integral definida y geometría elemental calcula el área

Solución:

Geométricamente, se trata de un trapecio:

Ejercicio nº 2.-

Halla gráficamente la siguiente integral:

Solución:

El recinto cuya área queremos calcular es medio círculo de radio 3 u.

abscisas. de eje el y7212

rectas las por limitada ==+= xxxy ,,

27

2

27

2u

4653

477

41

2=−=

+=

+= ∫ xxdxxA

2u4

652

5·2

13

2

5·229

==

+

=A

∫−−

3

3

29 dxx

encia)(circunfer3999 22222222 =+→=+→−=→−= yxyxxyxy

222 u293·

21··

21

π=π=π= rÁrea

5

Ejercicio nº 3.-

Calcula el área del recinto comprendido entre el eje de abscisas, el eje de ordenadas, y la recta que pasa por el punto P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2, mediante los métodos de la integral definida y de la geometría elemental. Solución:

La ecuación de la recta que pasa por P (2, 3) y tiene de pendiente m = −2 es: y − 3 = −2 · (x − 2) → y = −2x + 7

Ejercicio nº 4.-

Halla el área limitada por la recta x + y = 5, el eje abscisas y las rectas x = 2 y x = 4, mediante la integral definida y por la geometría elemental. Solución:

Geométricamente, se trata de un trapecio:

Geométricamente, se trata de un triángulo:

( ) [ ] 22/7

02

27

0

227

0u

44977

22·72 =+−=

+−=+−= ∫ xxxxdxxA

( ) ( ) ( ) 24

2

24

2u4812210820

25·5 =−=−−−=

−=−= ∫

xxdxxA

2u42

2·)13(=

+=A

2u4

492

7·27

==A

6

Ejercicio nº 5.-

Calcula gráficamente la siguiente integral:

Solución:

Se trata de un rectángulo de base 2u y altura 1u más media circunferencia de radio 1u.

Teorema fundamental del cálculo

Ejercicio nº 6.-

función en [0, 2π]. Solución:

Aplicando el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = sen2x F'(x) = 0 → sen2x = 0 → x = 0, x = π y x = 2π.

Ejercicio nº 7.-

función en [0, 2π]. Solución:


F' (x) = sen2x F'(x) = 0 → sen2x = 0 → x = 0, x = π y x = 2π.

∫−

−+

1

1

211 dxx

encia)(Circunfer11 2222 =+→−= yxxy

22 u2

21··211·2 π

+=π+=Área



7

Ejercicio nº 8.-

Solución:


F' (x) = sen2x + logx

Ejercicio nº 9.-

Dada la función:

Calcula F' (x). Solución:

Por el teorema fundamental del cálculo:

F' (x) = f (x) = 1 + cos2x

Ejercicio nº 10.-

Sin necesidad de resolver la integral, indica dónde hay máximo o mínimo relativo en la función:

Solución:


F' (x) = lnx − 2 F' (x) = 0 → lnx − 2 = 0 → x = e2 En x = e2 tiene un mínimo (pues F'' (e2) >0).

Regla de Barrow

Ejercicio nº 11.-

Halla el área limitada por la parábola y = x2 − 7x + 6, el eje de abscisas y las rectas x = 2, x = 6. Solución:

( ) ( ) ( )21

Calcula ' , siendo log ·x

F x F x sen t t dt= +∫

( ) ( )∫ +=x

dttcosxF0

21

( ) ( )∫ −=x

dt2tlnxF1

8

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema).

G(6) = 72 − 126 + 36 = −18

Ejercicio nº 12.-

Halla el área limitada por las parábolas y = 6x − x2, y = x2 − 2x. Solución:

Los puntos de intersección de ambas curvas son:

6x − x2 = x2 − 2x → x = 0, x = 4 → (0, 0) y (4, 8)

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema)

G(0) = 0

Ejercicio nº 13.-

Calcula el área limitada por la curva xy = 36, el eje de abscisas y las rectas x = 3, x = 12.

( ) ( ) xxxdxxxxG 62

73

6723

2 +−=+−= ∫

( )321214

382 =+−=G

( ) ( )3

56321826 −=−−=−GG

2u3

563

56=−=A

( ) ( ) ( )[ ] ( )∫∫ +−

=+−=−−−= 23

222 4328226 xxdxxxdxxxxxxG

( )36464

31284 =+

−=G

( ) ( ) 2u36404 =−= GGA

9

Solución:


G(3) = 36 · ln3 G(12) = 36 · ln12 G(12) − G(3) = 36 · (ln12 − ln3) = 36 · ln4 A = 36 · ln4 u2

Ejercicio nº 14.-

Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x + 6. Solución:

Los puntos de intersección son:

x2 = x + 6 → P (3, 9), Q (−2, 4)


( ) ∫ == xlndxx

xG ·3636

( ) ( )∫ −+=−+=3

62

632

2 xxxdxxxxG

( )322

38102 −

=+−=−G

( )2

27918293 =−+=G

( ) ( ) AGG ==+=−− 2u6

125322

22723

10

Ejercicio nº 15.-

Solución:


Ejercicio nº 16.-

Halla el área limitada por las curvas y = ex, y = e−x y la recta x = 1. Solución:


G(0) = 2

.2 y1 rectas las y2 función la por limitado recinto del área el Calcula === xxxy

( ) ∫ == 3

34·2 xdxxxG

( )341 =G

( ) 2·382 =G

( ) ( ) ( ) 2u122·34

342

3812 −=−=−GG

( ) ( )∫ −− +=−= xxxx eedxeexG

( )e

ee

eG 1112 +

=+=

( ) ( )e

eee

eGG 12210122 +−

=−+

=−

11

Ejercicio nº 17.-

Halla el área limitada por la curva y = x3 − 6x2 + 8x y el eje de abscisas. Solución:

La curva corta al eje de abscisas en los puntos:

x3 − 6x2 + 8x = 0 → x = 0, x = 2, x = 4


G(0) = 0 G(2) = 4 −16 + 16 = 4 G(4) = 64 − 128 + 64 = 0 G(2) − G(0) = 4 G(4) − G(2) = −4 A = 4 + |−4| = 8 u2

Ejercicio nº 18.-

Calcula el área limitada por la parábola y = x2 − 4x y la recta y = 3x − 6. Solución:

Los puntos de intersección son:

x2 − 4x = 3x − 6 → x = 1, x = 6 → (1, −3) y (6, 12)

22

u12e

eeA +−=

( ) ( )∫ +−=+−= 234

23 424

86 xxxdxxxxxG

12


G(6) = −72 + 126 − 36 = 18

Ejercicio nº 19.-

Halla el área del recinto limitado por la curva y = (x − 1) · (x + 2), las rectas x = 3, x = 2 y el eje de abscisas. Solución:

La curva corta al eje de abscisas en:

(x − 1) · (x + 2) = 0 → x = 1 y x = −2


( ) ( ) ( )∫ ∫ −+−

=−+−=+−−= xxxdxxxdxxxxxG 62

73

6746323

22

( )6176

27

311 −

=−+−

=G

( ) ( )6

1256

171816 =+=−GG

2u6

125=A

( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −+=−+=+−= xxxdxxxdxxxxG 223

22123

2

( )236

29

3273 =++

−=−G

( )3

1042382 =++

−=−G

( )672

21

311 −

=−+=G

13

Ejercicio nº 20.-

Calcula el área limitada por las curvas y = x2 e y = |x − 2|. Solución:

(La gráfica no es necesaria; se incluye para visualizar mejor el problema). y = x2

Puntos de intersección:

x2 = x − 2 → x2 − x + 2 = 0 No tiene solución

Área = 4,5 u2

( )3242

382 =−+=G

( ) ( )611

23

31032 =−=−−− GG

( ) ( )29

627

310

6721 −

=−

=−−

=−−GG

( ) ( )611

67

3212 =+=−GG

2u649

611

29

611

=+−

+=A

≥−

<+−=−=

2si2

2si22

xx

xxxy

−=

==−+→+−=

2

1022 22

x

xxxxx

( ) ( )∫ −+−=−+−=3

22

232

2 xxxdxxxxG

( )67

312

211 =−+−=G

( )3

1038422 −=+−−=−G

( ) ( ) 5,46

273

106721 ==+=−−GG

14

Cálculo de áreas y volúmenes

Ejercicio nº 21.-

Calcula el volumen engendrado por la curva y2 = 8x y la recta x = 2 al girar alrededor del eje X. Solución:

Ejercicio nº 22.-

Demuestra mediante el cálculo integral la fórmula del área de un rectángulo. Solución:

Calculemos el área bajo la recta y = a entre x = 0 y x = b.

Ejercicio nº 23.-

Halla, mediante el cálculo integral, el volumen de un elipsoide de radios 3 cm y 4 cm. Solución:

entre x = −3 y x = 3.

32

0

22

0u16

2·88· π=

π=π= ∫

xdxxV

[ ] baxadxaA bb·· 0

0=== ∫

2 2

2 2El volumen buscado es el engendrado por la curva 1 al girar alrededor del eje 3 4x y X+ =

[ ] 33

3

33

3

22 cm641313·16

27·16

91·4· π=−+−π=

−π=

−π=

−−∫

xxdxxV

15

Ejercicio nº 24.-

eje X. Solución:

Ejercicio nº 25.-

Deduce mediante el cálculo integral la fórmula del área de un trapecio. Solución:

La recta que pasa por (0, b) y (a, B) es:

Así:

Ejercicio nº 26.-

Calcula, mediante el cálculo integral, el volumen de un tronco de cono de radios 3 cm y 5 cm, y altura 6 cm.

del alrededor girar al 14

elipse la por engendrado cuerpo del volumen el Halla 22

=+ yx

32

0

32

0

22

2

2

u38

1216·2

12·2

41·2

41· π=

π=

−π=

−π=

−π= ∫∫−

xxdxxdxxV

bxa

bBy +−

=

abBababBbxxabBdxbx

abBA

aa·

2··

2·

2 0

2

0

+=+

−=

+

−=

+

−= ∫

16

Solución:

entre x = 0 y x = 6.

Ejercicio nº 27.-

Halla el volumen engendrado por el trapecio limitado por las rectas x = 0, x = 5, y = 0, x − 5y + 10 = 0 al girar alrededor del eje X. Solución:

Ejercicio nº 28.-

Obtén, utilizando el cálculo integral, el área de un trapecio de bases 3 cm y 5 cm, y de altura 4 cm. Solución:

Se trata de hallar el área comprendida entre la recta que pasa por los puntos (0, 3) y (4, 5) y las rectas x = 0 y x = 4.

1El volumen buscado es el engendrado por la recta 3 al girar alrededor del eje 3

y x X= +

36

0

26

0cm243

2313

31· π=

+π=

+π= ∫ xxdxxV

( ) ( ) ( ) =−π

=

+π=+

π=

+

π= ∫∫ 00013753·753

10·25

10255

10·5

0

35

0

25

0

2 xdxxdxxV

3u3

95753752 π

=π=

17

Ejercicio nº 29.-

Utilizando el cálculo integral, calcula el volumen de un cono de radio 5 m y altura 10 m. Solución:

x = 0 y x = 10.

Ejercicio nº 30.-

Solución:

( ) ( ) .321 es 5,4 y 3,0 por pasa que recta La += xy

24

0

24

0cm163

413

21

=

+=

+= ∫ xxdxxA

Xxy eje del alrededor girar al 21 recta la por engendrado el es buscado volumen El =

310

0

310

0

2

m3

250120001

12·

21· π=π=

π=

π= ∫

xdxxV

.Xyx eje del alrededor girar al 149

elipse la por engendrado volumen el Calcula22

=+

( ) 33

0

33

0

23

3

2

u1613827

·89

1429

1·4· π=−π=

−π=

−π=

−π= ∫∫−

xxdxxdxxV

18

Ejercicio nº 31.-

Demuestra, utilizando el cálculo integral, que el área de un triángulo rectángulo de base 3 m y altura 5 m es 7,5 m2. Solución:

Se trata de hallar el área limitada por la recta que pasa por los puntos (0, 5) y (3, 0) y los ejes de coordenadas.

Ejercicio nº 32.-

Utilizando el cálculo integral, obtén el volumen de una esfera de radio 2 cm. Solución:

El volumen buscado es el engendrado por la curva y2 = 4 − x2 al girar alrededor del eje X entre x = −2 y x = 2.

Ejercicio nº 33.-

Halla el volumen engendrado al girar alrededor del eje X el recinto limitado por y2 = 2x, x = 1, x = 2. Solución:

( ) ( ) .535 es 03, y 50, por pasa que recta La +

−= xy

23

0

23

0m5,7

21515

2155

655

35

==+−

=

+

−=

+

−= ∫ xxdxxA

( ) 32

2

32

2

2 cm3

32332·

388

388·

34·4· π

=π=

−+−π=

−π=−π=

−−∫

xxdxxV

[ ] 321

22

1u3··2· π=π=π= ∫ xdxxV

19

Ejercicio nº 34.-

Obtén la fórmula del área de un triángulo rectángulo mediante el cálculo integral. Solución:

Así:

Ejercicio nº 35.-

Obtén, mediante el cálculo integral, el volumen de un cilindro de radio 3 cm y altura 5 cm. Solución:

El volumen buscado es el engendrado por la recta y = 3 al girar alrededor del eje X entre x = 0 y x = 5.

. ecuación por tiene recta La xbay =

2·

·2·

2·

2

0

2

0

babba

baxdxx

baA

bb

==

== ∫

[ ] 350

5

0

2 cm459·3 π=π=π= ∫ xdxV

integral definida -...

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