a = X1 b = X2

Integración por cuadratura de Gauss

Gauss investigo y encontró que es factible disminuir el error en la integración cambiando la localización de los puntos sobre la curva de integración f(x). El investigador desarrollo su propio método conocido como cuadratura de Gauss.

La Cuadratura Gaussiana selecciona los puntos de la evaluación de manera óptima y no en una forma espaciada. Se escogen los nodos X1, X2,… Xn en el intervalo [a, b] y los coeficientes C1, C2,. . . , Cn para reducir en lo posible el error esperado que se obtiene al efectuar la aproximación:

∫a

b

f ( x )dx ≈∑i=1

n

Ci f (x i)

Para resolver cualquier problema por medio de la cuadratura de Gauss, primero tenemos que cambiar los límites de integración a [-1, 1] mediante la siguiente formula:

Z=2 x−(a+b)

2a

Posteriormente tenemos que efectuar un cambio de variable a la función para que quede en términos de “Z” mediante la siguiente formula:

f ( x )=f ( (b−a )Z2

+(b+a )2 )

Luego tenemos que cambiar nuestra “dx” a una “dz”, para que todos nuestros términos estén en función de “Z”.

dx=b−a2dz

Para tal caso queda la siguiente función:

∫a

b

f ( x )dx

¿ b−a2

∫−1

1

F ( b−a2 z+ a+b2 )dz

≈b−a2 {F( b−a2 (−0.57735 )+ a+b

2 )+F ( b−a2 (0.57735 )+ a+b2 )}

Este caso fue resuelto con dos puntos pero el método de Gauss puede extenderse a 3, 4 ó más puntos, el algoritmo general ya en función de z tiene la forma de:

∫−1

1

F ( z )dz=A≈w1F ( z1 )+w2F ( z2 )+w3 F ( z3 )+…+wn F ( zn )

Así también puede expresarse de la siguiente forma:

∫a

b

f ( x )dx=b−a2

∑i=1

n

w iF [ (b−a ) z i+b+a2 ]

Donde los valores de wi y zi se extraen de la siguiente tabla:

No. de Puntos

Coeficientes wi Raíces zi

2 w1 = w2 = 1.0 -z1 = z2 = 0.57735023 w1= w3 = 0.55555

w2 = 0.88888-z1 = z3 = 0.7745966z2 = 0.0

4 w1 = w4 = 0.3478548451w2 = w3 = 0.6521451549

-z1 = z4 = 0.861136311-z2 = z3 = 0.33998104

5 w1 = w5 = 0.2369268850w2 = w4 = 0.4786286705w3 = 0.56888888

-z1 = z5 = 0.90617984z3 = 0.0-z2 = z4 = 0.53846931

6 w1 = w6 = 0.1713244924w2 = w5 = 0.3607615730w3 = w4 = 0.4679139346

-z1=z6=0.9324695142-z2=z5=0.6612093865-z3=z4=0.2386191861

Por ultimo determinamos el número de puntos en que queremos dividir nuestro intervalo, mientras más puntos tomemos mejor será nuestra aproximación.

El método de cuadratura de Gauss está diseñado para que cuando se use dos puntos obtener exactitud en polinomios cúbicos, con tres puntos en polinomios de cuarto grado y así sucesivamente.

Ejemplo 01.

∫3

7

ln|x|dx

Resolviendo analíticamente, por el método de "integración por partes", se tiene

∫ vdu=uv−∫udvDonde elegimos v = ln(x), du = dx, (luego u = x y dv = dx/x) así que queda

∫ ln|x|dx=x ln|x|−∫ x dxx∫ ln|x|dx=x ln|x|−∫ dx

∫ ln|x|dx=x ln|x|−x+c∫ ln|x|dx=¿|x ln|x|−x|7

3¿

Se evalúa x tanto en 7 como en 3 y se tiene: ¿ (7∗1.945910149−7 )−(3∗1.0986122886−3)¿ (13.62137104338−7 )−(3.2958368660043−3)¿6.62137104338719313−0.2958368660043¿ ¿6.32553417738289313

❑❑

Se usa la fórmula:

∫a

b

f ( x )dx=b−a2

∑i=1

n

w iF [ (b−a ) z i+b+a2 ]

∫3

7

ln|x|dx=7−32

∑i=1

2

wi F [ (7−3 ) zi+7+32 ]

∫3

7

ln|x|dx=42∑i=1

2

wi F [ (4 ) zi+102 ]

∫3

7

ln|x|dx=2∑i=1

2

wi F [ (4 ) zi+102 ]

∫3

7

ln|x|dx=2[1∗F ( 4∗(−0.5773502 )+102 )+1∗F ( 4∗(0.5773502)+10

2 )]∫3

7

ln|x|dx=2[F( (−2.3094008 )+102 )+F( 2.3094008+102 )]

∫3

7

ln|x|dx=2[F( 7.69059922 )+F ( 12.30940082 )]∫3

7

ln|x|dx=2 [F (3.8452996 )+F (6.1547004 ) ]

∫3

7

ln|x|dx=2 [ ln|3.8452996|+ ln|6.1547004|]

∫3

7

ln|x|dx=2 [1.34685151929+1.81721608257 ]

∫3

7

ln|x|dx=2 [3.164067601867 ]

∫3

7

ln|x|dx=6.328135203735

Ahora se resuelve por cuadratura de Gauss por 3 puntos

∫a

b

f ( x )dx=b−a2

∑i=1

n

w iF [ (b−a ) z i+b+a2 ]

∫3

7

ln|x|dx=7−32

∑i=1

2

wi F [ (7−3 ) zi+7+32 ]

∫3

7

ln|x|dx=42∑i=1

2

wi F [ (4 ) zi+102 ]

∫3

7

ln|x|dx=2∑i=1

2

wi F [ (4 ) zi+102 ]

∫3

7

ln|x|dx=2[0.55555∗F ( 4∗(−0.7745966 )+102 )+0.88888∗F ( 4∗(0.0 )+10

2 )+0.55555∗F ( 4∗(0.7745966 )+102 )]

∫3

7

ln|x|dx=2[0.55555∗F (−3.0983864+102 )+0.88888∗F (102 )+0.55555∗F ( 3.0983864+102 )]∫3

7

ln|x|dx=2[0.55555∗F ( 6.90161362 )+0.88888∗F ( 102 )+0.55555∗F ( 13.09838642 )]∫3

7

ln|x|dx=2 [0.55555∗F (3.4508068 )+0.88888∗F (5 )+0.55555∗F (6.5491932 ) ]

∫3

7

ln|x|dx=2 [0.55555∗ln|3.4508068|+0.88888∗ln|5|+0.55555∗ln|6.5491932|]

∫3

7

ln|x|dx=2 [0.55555∗1.23860805877+0.88888∗1.609437912+0.55555∗1.879341866 ]

∫3

7

ln|x|dx=2 [0.688108707+1.43059717121+1.044068373656 ]

∫3

7

ln|x|dx=2 [3.1627742517 ]

∫3

7

ln|x|dx=6.3255485035546

Si se calcula de otra forma se puede ver como:

x=3=z=2 (3 )−(3+7)7−3

=6−104

=−44

=−1

x=7=z=2 (7 )−(3+7)7−3

=14−104

=44=1

ln|x|=f ( 7−32 z+ 3+72 )

ln|x|=f ( 42 z+ 102 )ln|x|=f (2 z+5 )ln|x|=ln|2 z+5|

dx=7−32dz=4

2dz=2 z

∫3

7

ln|x|dx=∫−1

1

ln|2 z+5|2dz=∫−1

1

ln|2 z+5|dz

Usando Gauss para 5 puntos:

∫−1

1

f ( z )dz=w1∗f ( z1)+w2∗f ( z2 )+w3∗f ( z3 )+w4∗f ( z 4 )+w5∗f ( z5 )

Aplicando el método

= 2 (0.2369268850 * [ln |2(-0.9061798459) + 5|] + 0.4786286705 * [ln |2(-0.5384693101) + 5|] + 0.5688888889 * [ln |2(0) + 5|] + 0.4786286705 * [ln |2(0.5384693101) + 5|] + 0.2369268850 * [ln |2(0.09061798459) + 5|] = =2(0.274664819+ 0.654224278 + 0.915591345 + 0.863685939 + 0.390263182)= 2(3.098429563) = 6.196859127

Se tiene la curva de la función f(x) que se desea integrar entre los límites a y b. La parte (a) de la figura muestra como se integraría usando un trapezoide: uniendo el punto A de coordenadas (a,f(a)) con el punto B (b,f(b)) mediante un segmento de recta P1(x) Esto forma un trapezoide de base h = (b-a) cuya área es:

T= h / 2 [f(a) + f(b)],

Y que podía escribirse como

T = W1 f(a) + W2 f(b)

Donde W1 = W2 = h / 2

Por otro lado en la aplicación de la cuadratura de Gauss en lugar de tomar los dos puntos A y B en los extremos del intervalo se escogen dos puntos interiores C y D

1

2 ∫ln |2z+5|dz

F(X)

F (X)

A

B C

D

A BX0

X1

METODO METODO TRAPEZOIDE DE GAUSS CON DOS PUNTOS

Gauss se propuso desarrollar una formula del tipo.

A = W1 F(Z1) + W2 F(Z2)Ya que esto simplificaría relativamente el cálculo del área. El problema planteado de esta manera consiste en encontrar los valores de Z1, Z2 W1 y W2 Entonces hay cuarto parámetros por determinar y por tanto cuatro condiciones que se pueden imponer. Si los límites son distintos se hace un cambio de variable para pasarlos a -1 y 1

En general si se desea calcular ∫a

b

f ( x ) dx se cambia el intervalo de integración

con la siguiente formula.

Z= 2x – (a + b) / b – a

Ya que si x = a, Z = - 1 y si X = b, Z = 1

El integrando f(x) en términos de la nueva variable queda

F(x) = F ( b – a / 2 (z) + a + b / 2)

dx= b – a / 2 dzUna cuestión importante es que el método de gauss puede extenderse a tres o más puntos en generar el algoritmo tienen la forma

∫a

b

f ( z )dz = A = W1 F (Z1) + W2 F(Z2) + W3 F (Z3) + ………+ Wn F (Zn)

Donde se han calculado los valores de Wi y Zi por usar la tabla muestra estas constantes. Con dos puntos el método de gauss esta diseñado para obtener exactitud en polinomios cúbicos con tres se tendrá exactitud en polinomio de cuarto grado y así sucesivamente.