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INSTRUCCIONES 1ºESO B – SEMANA 20-27 ABRIL

Hola a todos, espero que os encontréis bien. Esta semana os comento varias cosas:

1) En primer lugar, las tareas para esta semana son del libro de texto. Son todas para seguir

practicando el Teorema de Pitágoras. Además os doy la solución final de cada ejercicio (no

escribo las unidades, pero recordad que sí debéis escribirlas en las soluciones). No son para

enviarme, son para practicar. Si en las soluciones os dan unas décimas o centésimas distintas,

no pasa nada. Es válido igual.

-pág 206: ver ejemplo, 30,31,32

-pág 207: 33,34,36ab,37,39

-pág 212: 90ac,91,96,97a,98,102ab

Soluciones:

31) no 32)no 33)a)4,27 b)6 c)5,96 34)a)16 b)35 36)a)5,66 b) 7,21

37)3,99 39) 4,6 90)a)no c)no 91) a)9,8 b) 9,33 c) 5,26 d) 4,38

96) a)16,97 b) 9,48 c) 11,34 97a) 8,06 98) 28,28 102) a)13,86 b) 8,14

2) En segundo lugar, deciros que la tarea de la semana que viene será un EXAMEN. Os aviso una

semana antes para que os vayáis preparando.

El examen será únicamente del Teorema de Pitágoras, y los ejercicios serán prácticamente

iguales a los que os he marcado estas semanas (y de los cuales tenéis las soluciones). Será un

examen fácil, y la nota contará para el tercer trimestre.

3) ¿Cómo se va a hacer el examen? La próxima semana, como todos los lunes, se subirán a la web

del Instituto las tareas para todos los cursos. Para vosotros habrá un pdf que será el examen.

Lo hacéis en casa como si estuviérais en clase, es decir, lo hacéis a boli en folios. No hace falta

que copiéis las preguntas. Únicamente resolvéis los ejercicios. Cuando lo acabéis le sacáis foto

a las hojas con el móvil, o lo escaneáis, y me enviáis los archivos a mi mail (lo mismo que hago

yo cuando os envío las soluciones hechas a mano por mí). Os daré un plazo amplio para que

me lo enviéis. Si lo enviáis fuera de tiempo, no se corregirá.

4) Evidentemente podréis utilizar calculadora, libro, apuntes, los ejercicios que os fui pasando,

internet. Lo que queráis. Lo que no está permitido es que copiéis los unos por los otros, es un

examen individual. Recordad que en un examen de Mates, el profe detecta fácilmente si dos

exámenes han copiado, mas aun si hay errores. Así que, como os digo siempre, confío en

vuestra honradez. Es como el robar. Ser honrado no significa “no robar”, sino “no robar

aunque tengamos ocasión de hacerlo y nadie se vaya a enterar”. Creo que nos entendemos.

5) En todo caso, la semana que viene en las “INSTRUCCIONES” os lo vuelvo a detallar. Sin más, un

saludo para todos. No olvidéis que todos los días estoy disponible para dudas.

INSTRUCCIONES 3º ESO AC - SEMANA 20-27 ABRIL

Hola a todos, tal como os había informado, esta semana os dejo un examen en pdf que

tendréis que enviarme resuelto. Os explico:

1) El examen consta de preguntas de ecuaciones, sistemas y progresiones.

2) Lo que haréis es resolver (con bolígrafo) el examen en folios, como si estuviéramos en

clase. Y después, le sacáis foto y me lo enviáis a mi dirección de correo. Si preferís

escanearlo, también podéis. Recordad que, como siempre, no se corrigen exámenes a

lápiz. Importante también es, después de resolver un ejercicio, escribir la solución en

un recuadro.

3) Es importante que numeréis todas las hojas, porque a veces al enviarlo por mail no

salen ordenadas, y que indiquéis claramente qué ejercicio y qué apartado estáis

haciendo.

4) No hace falta que copiéis las preguntas. Únicamente responded. En el orden que

queráis, como siempre (pero, insisto, indicando ejercicio y apartado)

5) Evidentemente está permitido hacer uso de todo el material que queráis (libro,

cuaderno de clase, tareas resueltas de estas semanas, internet). Lo que sí os pido es

honradez a la hora de hacer de forma INDIVIDUAL el examen. Recordad que en un

examen de Matemáticas es muy fácil para el profesor detectar si dos o más personas

se han copiado los ejercicios, mas aun cuando están mal. No arriesguéis el curso.

Honradez no significa “no copiar”, sino “no copiar cuando sí se puede copiar”. Lo

mismo que el robar. Ser honrado no significa “no robar”, sino “no robar aunque

tengamos ocasión de hacerlo y aun sabiendo que nadie se iba a enterar”. Creo que

nos entendemos.

6) Sabéis que el Equipo Directivo publica todos los lunes en la web del Instituto las tareas

de la semana, de todos los departamentos. Si se publica en la web del Instituto esta

información que os estoy dando, junto con el examen, el lunes 20 de Abril, el tiempo

límite de entrega es el MARTES 21 a las 12h del mediodía. No se corregirá ningún

examen enviado fuera de plazo. En el caso excepcional de que esto se publique en la

web el martes 21, el plazo de entrega será el Miércoles 22 a las 12 h.

7) Las notas se las comunicaré personalmente a cada alumno. Estas notas se consideran

del tercer trimestre. Sé que todavía tenemos pendiente la recuperación del 2º

trimestre. Ya hablaremos de ello.

8) Ánimo y que espero que todo vaya yendo lo mejor posible en vuestras vidas. ¡Un

saludo!

EXAMEN 3º ESO – ECUACIONES, SISTEMAS Y PROGRESIONES

ABRIL/20

1) Resuelve las siguientes ecuaciones: (4 puntos)

a)

12

532

6

12

3

4x

xx e) 04123 234 xxxx

b)

02

)2(5

3

321

xx f) 034 24 xx

c) 0)6()32()3(2 2 xxxxx g) 22

1

2

3

x

x

x

x

d) 754)52()52()5(2 2 xxxx h) 0)2()2

1()5( 22 xxx

2) Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones, el primero por igualación y el segundo por

el método que quieras. (2 puntos)

a)

36

2

3

64)5(2)3(2

yx

yxyx

b)

043

7)()(

yx

yxyx

3) La edad de Eugenia es el triple que la edad de su hija Ana. Dentro de 12 años, la edad de

Eugenia será sólo el doble que la de Ana. Calcula la edad actual de cada una. (0,75 puntos)

4) Tenemos dos tipos de café. Uno de “calidad extra”, de 9 euros/kg y otro de “calidad

media”, de 7 euros/kg. Se quiere hacer una mezcla con los dos cafés, de forma que

obtengamos un total de 20 kg de café a 8,5 euros/kg. ¿Qué cantidad de cada café

utilizaremos para la mezcla? (0,75 puntos)

5) El primer término de una progresión aritmética (p.a) es 90 y la diferencia -3. (1,5 puntos)

a) calcula la fórmula del término general, na

b) calcula, a partir de la fórmula anterior, el término que ocupa el lugar 189, es decir,

189a

c) calcula la suma de los 30 primeros términos de la progresión.

6) Calcula, si se puede (debes explicar el por qué), estas sumas de infinitos términos:

(1 punto)

a) ...27

1

9

1

3

11 b) ...8421

2

1

7) Calcula la suma de los 250 primeros números naturales pares. (0,5 puntos)

INSTRUCCIONES SEMANA 20-27 ABRIL 1ºBACHILLERATO

Hola a todos, ¿cómo lo vais llevando? Antes de empezar, os envío un fuerte abrazo a todos, y

os deseo que estéis sanos y fuertes, de cuerpo y de mente.

Esta semana quiero empezar con la parte de DERIVADAS. Evidentemente, dadas las

circunstancias, intentaré centrarme en lo esencial, en lo básico, para que al menos tengáis una

mínima base para el curso que viene.

En el libro, son los temas 10 y 11. Pero, al menos en principio, lo que voy a hacer es pasaros

apuntes hechos por mí, manuscritos, como si lo estuviera explicando en la pizarra.

La parte de DERIVADAS tiene varios objetivos:

1) Lo primero, y en lo que nos vamos a centrar durante dos semanas, es aprender a

calcular la función derivada de una función. Es decir, a mí me van a dar una

función, y tendré que aprender a calcular su función derivada.

Esto de aprender a derivar NO ES COMPLICADO. Es aprender unas reglas, unas

fórmulas y practicar mucho. Es una parte muy mecánica, no requiere grandes

razonamientos matemáticos.

2) Lo segundo será, una vez que sabemos derivar, ENTENDER QUÉ SIGNIFICA

LA DERIVADA, es decir, su interpretación geométrica.

3) Y lo tercero será ver PARA QUÉ SIRVE LA DERIVADA, es decir, qué

aplicaciones tiene. Veremos que sobre todo la utilizaremos para problemas de

rectas tangentes, para calcular extremos de una gráfica (máximos y mínimos), para

estudiar el crecimiento y decrecimiento de una gráfica, para resolver problemas de

optimización, etc

Para esta semana, resumiendo, os envío:

- Apuntes manuscritos

- Solucionario para practicar

Los apuntes que os envío manuscritos se refieren al objetivo 1 (aunque no totalmente).

Es lo primero que debéis mirar, intentad entender bien los ejemplos y preguntad dudas.

Aparte de los apuntes manuscritos, os dejo también un solucionario para que

practiquéis las derivadas. De este solucionario podéis practicar los siguientes ejercicios:

9,10,12,13,14a,15,16abcde,17,18,43ab,46bc,73acd,74,75,76a,77,78,80a,83abd,84abdef,85.

Os aconsejo que NO os salgáis esta semana de estos ejercicios, porque hay funciones

que todavía no sabemos derivar y os pueden confundir.

IMPORTANTE: preguntad todo lo que queráis, las veces que queráis.

¡Ánimo y un abrazo a todos!

Derivada de una función

473

10

ACTIVIDADES

[ ]( )(3

.)

.(2) 9 5

43 2 1

. 2, 3Tf

V Mf − −

= =−

=

[ ]( )(6) (2) 33 5

. . . 2,6 4

6 72

f fT V M

− −= = =

−

[ ]( )(4) (2) 15 5

. . . 2,4 2

4 52

f fT V M

− −= = =

− [ ]( )

(5) (3) 23 9. . . 3,

5 25 7

3

f fT V M

− −= = =

−

[ ]( )(5) (2) 23 5

. . . 2,5 3

5 62

f fT V M

− −= = =

− [ ]( )

(6) (3) 33 9. . . 3,

6 36 8

3

f fT V M

− −= = =

−

a) [ ]( )2 2(2 ) (2) (2 ) (2 ) 3 (4 2 3) 3

32

. . . 2, 2 2

f h f h h h hh

h hT V M h

h

+ − + − + + − − + += = =

+ −= ++

b) [ ]( )2 2(3 ) (3) (3 ) (3 ) 3 (9 3 3) 5

53

. . . 3, 3 3

f h f h h h hh

h hT V M h

h

+ − + − + + − − + += = =

+ −= ++

a) 0 0 0

1 1(2 ) (2) 12 3 2 3´(2) 12 2 1h h h

f h f hf lim lim limh h h→ → →

−+ − + − −= = = =−+ − − +

( )0 0 0

1 1( 1 ) ( 1) 4 4 11 3 1 3´( 1)

1 ( 1) 4 4 16h h h

f h f hhf lim lim limh h h h→ → →

−− + − − − +− + − − −− = = = =−− + − − − +

b) 2 2

0 0

(2 ) (2) 2(2 ) (2 ) (2 2 2)´(2)

2 2h h

f h f h hf lim lim

h h→ →

+ − + + + − ⋅ += = =

+ −

2 2

0 0 0

2(4 4 ) 2 10 2 9(2 9) 9

h h h

h h h h hlim lim lim h

h h→ → →

+ + + + − += = = + =

2 2

0 0

2( 1 ) ( 1 ) 2 ( 1) ( 1)( 1 ) ( 1)´( 1)

1 ( 1)h h

h hf h ff lim lim

h h→ →

− + + − + − ⋅ − + −− + − − − = = =− + − −

2 2

0 0 0

2(1 2 ) 1 1 2 3(2 3) 3

h h h

h h h h hlim lim lim h

h h→ → →

+ − − + − −= = = − =−

c) 22 2

20 0 0

1 1(2 ) (2) 4 (2 )(2 ) 2

´(2)2 2 4 (2 )h h h

f h f hhf lim lim limh h h h→ → →

−+ − − ++

= = = =+ − +

2 2

2 3 2 20 0 0

4 (4 4 ) 4 4 1

4 (4 4 ) 16 4 16 16 4 16 4h h h

h h h h hlim lim lim

h h h h h h h h→ → →

− + + − − − −= = = =−

+ + + + + +

2 22 2

2 2 20 0 0 0 0

1 1( 1 ) ( 1) 1 (1 2 ) 2 2( 1 ) ( 1)

´( 1) 21 ( 1) ( 1 ) (1 2 ) 1 2h h h h h

f h f h h h h hhf lim lim lim lim limh h h h h h h h h→ → → → →

−− + − − − − + − −− + −

− = = = = = =− + − − − + − + − +


474

10

a) 3 3 2 3

2

0 0 0

(1 ) 4 (1 4) 3 3´(1) (3 3 ) 3

h h h

h h h hf lim lim lim h h

h h→ → →

+ + − + + += = = + + =

b) 3 3 3 2

0 0

( 4 ) 4 ( 4) 4 ( 12 48 64) 4 ( 64 4)´( 4)

h h

h h h hf lim lim

h h→ →

− + + − − + − + − + − − + − = = =

2

0( 12 48) 48

hlim h h→

= − + =

c) 3 3 3 2

2

0 0 0

(2 ) 4 (2 4) 8 6 12 4 12´(2) ( 6 12) 12

h h h


h h→ → →

+ + − + + + + + −= = = + + =

d) 3 3 3 2

2

0 0 0

( 3 ) 4 ( 3) 4 27 9 27 4 ( 27 4)´( 3) ( 9 27) 27

h h h


h h→ → →

− + + − − + − + − + + − − + − = = = − + =

2 2 2 2

0 0 0

2 (2 ) (2 2 ) 2 (4 4 ) 2 4 3´(2) 3

h h h

h h h h h h hf lim lim lim

h h h→ → →

+ − + − − + − + + − + − − = = = =−

f(2) = 2 − 22 = −2

La ecuación de la recta tangente en el punto P(2, −2) es:

y − (−2) = f´(2) ⋅ (x − 2) → y + 2 = −3(x − 2) → y = −3x + 4

2 2 2 2

0 0 0

( 3 ) ( 3 ) 3 ( 3) 3 (9 6 ) 12 7´( 3) 7

h h h


h h h→ → →

− + − − + − − − − − + − + − + − + − = = = =

f(−3) = −3 − (−3) 2 = −12

La ecuación de la recta tangente en el punto P(−3, −12) es:

y − (− 12) = f´(−3) ⋅ (x − (−3))

y + 12 = 7(x + 3)

y = 7x + 9

Cortes con el eje X: (−1, 0), (−3, 0)

La derivada f´(a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)).

2 2 2 2

0 0 0

( 1 ) 4( 1 ) 3 ( 1) 4 ( 1) 3 1 2 4 4 3 1 4 3 2´( 1) 2

h h h


h h h→ → →

− + + − + + − − + ⋅ − + + − − + + − + − + − = = = =

2 2 2 2

0 0 0

( 3 ) 4( 3 ) 3 ( 3) 4 ( 3) 3 9 6 12 4 3 9 12 3 2´( 3) 2

h h h


h h h→ → →

− + + − + + − − + ⋅ − + + − − + + − + − − − = = = =−

Corte con el eje Y: (0, 3)

2 2 2

0 0

(0 ) 4(0 ) 3 (0) 4 (0) 3 4 3 3´(0) 4

h h

h h h hf lim lim

h h→ →

+ + + + − + ⋅ + + + − = = =


475

10

a) 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3

2

0 0 0 0

( ) ( ) 4( ) 4 4( 3 3 ) 4 12 12 4´( ) 12

h h h h

f x h f x x h x x x h xh h x x h xh hf x lim lim lim lim x

h h h h→ → → →

+ − + − + + + − + += = = = =

b) 0 0 0 0

( ) ( ) ( )( ) 1 1´( )

2( ) ( )h h h h

f x h f x x h x x h x x h xf x lim lim lim lim

h xh x h x h x h x x h x→ → → →

+ − + − + + + −= = = = =

+ + + + + +

c) 20 0 0 0

1 1( ) ( ) 3 ( 3) 13 3´( )

( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)h h h h

f x h f x x x h hx h xf x lim lim lim limh h x x h h x x h h x→ → → →

−+ − + − + + −+ + += = = = =−

+ + + + + + +

a) 3 2 3 2

0 0

( ) ( ) ( ) 4( ) ( 4 )´( )

h h

f x h f x x h x h x xf x lim lim

h h→ →

+ − + + + − += = =

3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2

2

0 0

3 3 4( 2 ) 4 3 3 4 83 8

h h

x x h xh h x h xh x x x h xh h h xhlim lim x x

h h→ →

+ + + + + + − − + + + += = = +

2 2

0 0

´( ) ´( ) 3( ) 8( ) (3 8 )´´( )

h h


h h→ →

+ − + + + − += = =

2 2 2 2

0 0

3( 2 ) 8 8 3 8 3 6 86 8

h h

x h xh x h x x h xh hlim lim x

h h→ →

+ + + + − − + += = = +

0 0 0

´´( ) ´´( ) 6( ) 8 (6 8) 6´´´( ) 6

h h h

f x h f x x h x hf x lim lim lim

h h h→ → →

+ − + + − += = = =

b) 2 2

0 0

( ) ( ) ( ) ( ) 5 ( 5)´( )

h h


h h→ →

+ − + − + + − − += = =

2 2 2

0 0

2 5 5( 2 1) 2 1

h h

x h xh x h x xlim lim h x x

h→ →

+ + − − + − + −= = + − = −

0 0 0

´( ) ´( ) 2( ) 1 (2 1) 2´´( ) 2

h h h

f x h f x x h x hf x lim lim lim

h h h→ → →

+ − + − − −= = = =

0 0

´´( ) ´´( ) 2 2´´´( ) 0

h h

f x h f xf x lim lim

h h→ →

+ − −= = =

a) ´( ) 0f x = c) 3 3 1

14 3 4 4 4

4

3 3 3( ) ´( )

4 4 4f x x x f x x x

x

− −

= = → = = =

b) 4 1 3´( ) 4 4f x x x−= ⋅ = d) 5 5 1 6

5 6

1 1( ) ´( ) 5 5 5f x x f x x x

x x− − − −= = → =− =− =−

a) 4 4 3

17 4 7 7 7

7 3

4 4 4( ) ´( )


x

− −

= = → = = =

b) 8 1 7´( ) 8 8f x x x−= ⋅ =


476

10

c) 3 3 2

15 3 5 5 5

5 2

3 3 3( ) ´( )


x

− −

= = → = = =

d) 4 4 1 5

4 5

1 4( ) ´( ) 4 4f x x f x x x

x x− − − − −

= = → =− ⋅ =− =

a) ´( ) 2 ln 2xf x = b) ´( ) 3 ln 3xf x = c) ´( ) 4 ln 4xf x =

a) 1

´( )ln 2

f xx

=

b) 1

´( )ln 3

f xx

=

c) 1

´( )ln 4

f xx

=

a) 2´( ) 3 2 1f x x x= + − c) 2 1

3 4

43 2

1 3 1 3´( )

3 4 43f x x x

xx

− −

= + = +

b) 2

1´( ) 1f x

x=− + d)

2

1´( ) 3 ln 3

1xf x

x= −

+

a) 2´( ) 6 8 8f x x x= + − c) 2 1

3 4

43 2

1 3 7 9´( ) 7 3

3 4 43f x x x

xx

− −

= ⋅ − ⋅ = −

b) ´( ) 2 3( ) 2 3f x cos x sen x cos x sen x= − − = + d)

2

1´( ) 5

2f x

x=− −

a) 1 3 2

3 3 32 2 232 2 5

´( ) 13 3 3

xf x x x x x x

−

= ⋅ + ⋅ = + =

b) ´( ) 1 x xf x e x e= ⋅ + ⋅

c) ´( ) 1f x sen x x cos x= ⋅ + ⋅


477

10

d) 1

´( ) 1 ln ln 1f x x x xx

= ⋅ + ⋅ = +

e) 2 2´( ) ( )f x cos x cos x sen x sen x cos x sen x= ⋅ + ⋅ − = −

f) 2 2

2 2 2

1 1 1 1 1( ) ( 1) ´( ) 2 ( 1) 2 1 1f x x f x x x

x x x x x

−= + ⋅ → = ⋅ + + ⋅ = − − = −

g) 2´( ) (2 2) ( 2 )f x x sen x x x cos x= + ⋅ + + ⋅

h) ´( ) ( 1) lnx

x e xf x e x

x

−= − ⋅ +

a) 22 2

1 3´( ) 6 log 3 6 log

ln 2 ln 2

xf x x x x x x

x= ⋅ + ⋅ = +

b) ´( ) ( )x x xf x e sen x e cos x e sen x cos x= ⋅ + ⋅ = +

c) 3

3 2

1´( )

3f x cos x x sen x

x= ⋅ − ⋅

d) 2

2

2

1 1´( ) (1 )

sen xf x sen x tg x cos x tg x sen x tg x cos x cos x

cos x cos x cos x

−=− ⋅ + ⋅ + =− ⋅ + ⋅ = + =

e) 2 3 3 2´( ) 4 4 3 (4 ) (4 3 )f x sen x x cos x x cos x x sen x x sen x x x cos x= + + − = − + +

f) 2

4 5 5

1 1 4 1´( ) ln 2 (1 4 ln ) (2 )x x xf x x x e x e x x e x

x x x x

−= ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + +

g) 2´( ) ( ) ( )(1 )f x cos x sen x tg x sen x cos x tg x= + + − +

h) 2 2

1´( ) 4 4 6

2

cos x sen x cos x sen xf x x x x

x x x xx= ⋅ + ⋅ + − = + −

a) 2 2

1 ( 2) 1 2´( )

x xf x

x x

⋅ − + ⋅= =−

b) 2 2

1(3 4) 3

3 42´( )(3 4) 2 (3 4)

x xxxf x

x x x

⋅ + − ⋅− +

= =+ ⋅ +

c) 2 2

2 2

(2 1)( 1) ( 3) 1 2 4´( )

( 1) ( 1)

x x x x x xf x

x x

+ + − + − ⋅ + += =

+ +


478

10

a) 3 2

6 4

3 3´( )

cos x x sen x x x cos x sen xf x

x x

⋅ − ⋅ −= =

b) 2 2

1( )

22´( )2

cos x x sen xcos x x sen xxf x

cos x x cos x

⋅ − ⋅ −+

= =

c) 2 2

( 2) ( 3) ( 2 ) 1 ( 3) 6´( )

( 3) ( 3)

cos x x sen x x x cos x sen xf x

x x

+ ⋅ − − + ⋅ − ⋅ − −= =

− −

a) 2

2 1´( )

2

xf x

x x

+=

+ b)

( )2

2

3´( )

1

arc sen xf x

x=

− c)

1´( )f x

x=

a) ´( ) 2f x cos x sen x=− b)

( )2

2

5 1´( )

55

f xx xcos

x

−= ⋅

− −

c) ( )2 7 4´( ) 2 7x xf x e x+ −= ⋅ +

SABER HACER

2

2 4

3 (3 ) 2´( )

mx x m mxf x

m x

⋅ − + ⋅=

2

2 2

3 2 ( 3 m) 3 2 3´( 1) 2 5 1

m m m mf m

m m m

+ ⋅ − + − +− = = =− + = → =−

Una función es derivable si también es continua, así que primero analizamos si la función es continua en x = −1:

1

1

( ) 2

( )

x

x

lim f x k

lim f x k

−

+

→−

→−

=− + =

→ Para que sea continua −k + 2 = k → k = 1.

f(x) solo es continua para k = 1, por tanto, solo puede ser derivable para este valor. Analizamos la derivabilidad para este valor:

2

1 si 1´( )

3 1 si 1

xf x

x x

<= − ≥

1

1

´( ) 1

´( ) 2

x

x

lim f x

lim f x

−

+

→−

→−

= =

→ f(x) no es derivable para ningún valor de k.


479

10

2 1 3 3´ 2 2 1

3 3 3 2 2 2f cos sen π π π = + = ⋅ − + =− +

2 3 1

3 3 3 2f sen cos π π π − = − =

La ecuación de la recta tangente en el punto 3 1

,3 2

P π −

es:

3 1 31

2 2 3y x − π − = − + −

→ 3 3 3 11

2 3 6 2y x

π π − = − + − +

2´( ) 3 3 0 1f x x x= − = → =±

1 (1) 2 (1, 2)x f A= → =− → −

1 ( 1) 2 ( 1, 2)x f B=− → − = → −

2´( ) 3( 1) 2f x k x x k= − + − 1 1 2

´ ´( 1) 3( 1) 3( 1) 2 23 9 3

f f k k k k k = − → − + − = − − − → =

2

4 19

xy

= −

12 6

5 5x y= → =

2 2

1 8 4´( )

92 4 1 9 4 1

9 9

x xf x

x x

− = ⋅ =− − −

12 8´

5 9f =−

La ecuación de la recta tangente en el punto 12 6

,5 5

P

es:

6 8 12 8 96 6 8 10

5 9 5 9 45 5 9 3y x y x y x

− =− ⋅ − → =− + + → =− +

2 2 2´( ) 2 ´´( ) 4 ´´´( ) 8x x xf x e cos x f x e sen x f x e cos x= + → = − → = −


480

10

a) 2 2´( ) 3(4 5 2) (8 5)f x x x x= + − +

b) 4

5

5 4

1´( )

5 5

cos xf x sen x cos x

sen x

−

= ⋅ =

c) 2

4

3´( ) (1 )f x tg x

tg x=− +

d) ( ) ( )( )

42 3

423

1 7 2´( ) 7 12 2 7

3 7 12

xf x x x x

x x

−− −= − − ⋅ − =

− −

a) 23 2 1´( ) 5 ln 5 (6 2)x xf x x− += ⋅ −

b) 2 22 2´( ) 7 ln 7 2 ( ) 7 ln 7 2cos x cos xf x x sen x x sen x= ⋅ ⋅ − =− ⋅

a) 1 1 1

´( ) 222 2 2

f xxx x

= ⋅ ⋅ =

b) 3

2

1 2 2´( )

1f x

x xx

− −= ⋅ =

a) 2´( ) 2 1 (2 5)f x tg x = + − b) ( ) 1

´( )2

f x sen xx

=−

a) ( ) ( )ln (x) ln 1 ln 1x

f x x x = + = + b) ( ) ( )

3

2 3 2ln ( ) ln 1 ln 1x

f x x x x

= + = +

( )´( ) 1

1 ln 1( ) 1

f xx x

f x x= ⋅ + + ⋅

+ ( ) ( )

42 2 3 2 2

2 2

´( ) 1 23 ln 1 2 3 ln 1

( ) 1 1

f x xx x x x x x

f x x x= ⋅ + + ⋅ ⋅ = + +

+ +

( ) ( )´( ) ln 1 11

xxf x x x

x

= + + + +

( ) ( )34

2 2 2

2

2´( ) 3 ln 1 1

1

xxf x x x x

x

= + + + +


481

10

a) ( )

2

23

3 1´( )

1

xf x

x x

+=

− + b)

2 2 2

1 1 1´( )

111

f xx x

x

− −= ⋅ =

+ +

a) 22´( ) 2 sen xf x x cos x e= b)

3 3 23 3

1 1 1 1´( )

32 ln 6 lnf x

x xx x x= ⋅ ⋅ =

ACTIVIDADES FINALES

[ ]( )( 1) ( 3)

. . .4 22

91 (

–3, – 13) 2

T V Mf f− − − −

= =−− − −

= [ ]( )(3) (0) 16 1

. . . 0,3 3

3 50

f fT V M

− −= = =

−

[ ]( )(2)

. .( 5) 7

. –5, 256

72 ( 5) 7

f fT V M

− − −= =−

− −= [ ]( )

(4) (1) 29 2. . . 1,

4 34 9

1

f fT V M

− −= = =

−


482

10

a) [ ]( )(1) ( 1) 1 ( 1)

11 ( 1) 1 ( 1

. . – 1)

. 1,f f

T V M− − − −

= =− − − −

=

b) [ ]( )(4) (3) 7 21

74 3

, 44

. . 34

.f f

T V M−

= == −−

c) ( )

0 1 22. . . ,

22 2

f fT V M

ππ − π − π = = =− π π π π−

d) [ ]( ). . . 2, 10 7 2 8 23T V M = + ⋅ =

( ) ( ) ( )( ) ( )

1 11 1 1 1 11 11 1 1 1

f h f hhh h h h h

−+ − − + −+= = =+ − + +

a) ( )

1 11

1 1 2h

−= → =−

+ c)

( )

1 14

1 4 5h

−= → =−

+

b) ( )

1 12

1 2 3h

−= → =−

+ d)

( )

1 19

1 9 10h

−= → =−

+

( ) ( ) ( )2 0 3 2 54 1 3

2 0 2

f f aa a

− + − −= = + = → =−

−


483

10

Respuesta abierta. Por ejemplo:

Porque la gráfica de la función es una recta de pendiente 2, y esta indica su variación en cualquier intervalo.

f) ( ) ( ) 3

0 0

0 5 5´(0) 0

h h

f h f hf lim lim

h h→ →

− + −= = =


484

10


485

10

a) ( ) ( ) ( )´ 2 2 ´ 2 8f x x f= + → =

d) ( ) ( )3 3

´ ´ 12 2 3 2 5

f x fx

−= → − =−

−

b) ( ) ( )´ 2 ´ 0 2f x f=− → =−

e) ( )( )

( )3

5 5´ ´ 8

542 1f x f

x

−= → =−

+

c) ( )( )

( )2

7 7´ ´ 1

94f x f

x

−= → =−

−

La parábola pasa por los puntos 3

0,2

, (1, 1), (3, 3). Sustituyendo estos puntos en la ecuación cuadrática

f(x) = ax2 + bx + c, obtenemos la función:

2

13

0 0 22

11

33 9 3

2

aa b c

ba b c

a b c c

= = ⋅ + ⋅ + → =−= + + = + + =

( ) ( )21 3´ 1

2 2f x x x f x x= − + → = −

a) ( )´ 1 2f − =−

b) ( )´ 0 1f =−

c) ( )´ 1 0f =

d) ( )´ 3 2f =


486

10

a) ( ) ( )´ 6 4 ´ 2 8f x x f= + → − =−

b) ( ) ( )2´ 3 2 1 ´ 3 22f x x x f= − + → =

c) ( ) ( )´ 8 1 ´ 0 1f x x f= − → =−

( )´ 2f x x=

La derivada f´(a) es la pendiente de la recta tangente en el punto P(a, f(a)).

Cortes con el eje X: (2, 0), (−2, 0).

( )´ 2 4f =

( )´ 2 4f − =−

Corte con el eje Y: (0, −4).

( )´ 0 0f =

La tangente a la curva f(x) es horizontal cuando la pendiente de la recta tangente es cero, es decir, cuando la derivada es cero.

a) ( ) ( )21 2´ 3 6 3 2 0 0, 2f x x x x x x x= + = + = → = =−

Es horizontal en los puntos (0, 0) y (−2, 4).

b) ( ) 21 2´ 3 6 3 0 1f x x x x x= + + = → = =−

Es horizontal en el punto (−1, −1).

c) ( ) 21 2´ 3 12 9 0 1, 3f x x x x x= + + = → =− =−

Es horizontal en los puntos (−1, −5) y (−3, −1).

a) ( ) ( )´ 6 ´ 1 6f x x f= → =

( )1 2f =

( ) ( ) ( )2 ´ 1 1 2 6 1 6 4y f x y x y x− = ⋅ − → − = ⋅ − → = −


487

10

b) ( ) ( )2´ 3 ´ 2 12f x x f= → =

( )2 8f =

( ) ( ) ( )8 ´ 2 2 8 12 2 12 16y f x y x y x− = ⋅ − → − = ⋅ − → = −

c) ( ) ( )´ 2 2 ´ 1 0f x x f= − → =

( )1 1f =−

( ) ( ) ( )1 ´ 1 1 1 0 1y f x y y− − = ⋅ − → + = → =−

d) ( ) ( )2

1´ ´ 1 1f x f

x=− → − =−

( )1 1f − =−

( ) ( ) ( ) ( )1 ´ 1 1 1 1 1 2y f x y x y x − − = − ⋅ − − → + =− ⋅ + → =− −

a) Tenemos que hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en x = 1.

( ) ( )´ 4 ´ 1 4f x x f= → =

( )1 2f =−

( ) ( ) ( ) ( )2 ´ 1 1 2 4 1 4 6y f x y x y x− − = ⋅ − → + = ⋅ − → = −

b) Tenemos que hallar la ecuación de la recta tangente a la curva en x = −1.

( ) ( )2´ 3 2 ´ 1 5f x x x f= − → − =

( )1 2f − =−

( ) ( ) ( ) ( )2 ´ 1 1 2 5 1 5 3y f x y x y x − − = − ⋅ − − → + = ⋅ + → = +

( )´ 2 2f x x= +

a) ( )´ 2 6f = (2) 3f = c) 21 22 2 5 1, 3x x x x− = + − → = =−

( )3 6 2 6 9y x y x− = ⋅ − → = −

( )´(1) 4 2 4 1 4 6f y x y x= → + = ⋅ − → = −

( )´( 3) 4 2 4 3 4 14f y x y x− =− → + =− ⋅ + → =− −

b) ( )´ 1 0f − = ( 1) 6f − =− d) El punto de corte con el eje Y es (0, −5):

( )6 0 6y y− − = → =− ( ) ( )´ 0 2 5 2 2 5f y x y x= → − − = ⋅ → = −


488

10

( ) 2´ 3 6f x x x= +

a) Los puntos de corte con el eje X son (0, 0) y (−3, 0).

El punto de corte con el eje Y es (0, 0).

( )´ 0 0f =

La recta tangente en (0, 0) es y = 0.

( ) ( )´ 3 9 0 9 3 9 27f y x y x − = → − = ⋅ − − → = +

b) ( )´ 1 9f = ( )1 4f =

( )4 9 1 9 5y x y x− = ⋅ − → = −

c) 3 21 2 34 3 1, 2x x x x x= + → = = =−

El caso x1 = 1 coincide con el apartado b).

( )´ 2 0 4 0 4f y y− = → − = → =

( ) ( )1

´ ´ 1 1f x fx

= → = ( )1 2f = ( )2 1 1 1y x y x− = ⋅ − → = +

Como tiene que ser paralela a la recta y = x + 1, la pendiente debe ser 1, es decir, la derivada debe valer 1.

( ) 21 2

1 1´ 3 1 ,

3 3f x x x x= = → = =−

1 1 1 1 2

3 3 3 3 3 3 3 3f y x y x = → − = − → = −

1 1 1 1 2

3 3 3 3 3 3 3 3f y x y x − =− → − − = − − → = +

Como y = 3x + 6, la pendiente de la recta es 3.

a) ( )1

´ 2 4 32

f x x x= + = → =−

1 15 15 1 93 3

2 4 4 2 4f y x y x

− =− → − − = ⋅ − − → = −


489

10

b) ( )( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )1

2 2

2

0 0 0 33 1 3 1 3´ 3

2 2 6 6 3 2 3 121 1

x f y xx xf x

x f y x y xx x

= → = → =− − ⋅ − = = = → = → =− → − − = − → = −− −

c) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

12

2

1 1 3 3 3 1 3 6´ 3 3

1 1 5 5 3 1 3 2

x f y x y xf x x

x f y x y x

= → =− → − − = − → = −= = → =− → − =− → − − = − − → = −

d) ( )2 2

2 2

2 2

6 3 1 3 1´ 3 3 1 3 1 0 No tiene solución.

x x x xf x x x

x x

⋅ − − −= = = → − = →− = →

Como y = x + 6, la pendiente de la recta es 1.

( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

1

2 2

2

3 3 3 3 3 1 3 1 3 33 3´ 1

3 3 3 3 3 3 3 1 4 2 3

x f y xx xf x

x x x f y x

=− + → − + =− + → − − + = − − ++ − = = = →+ + =− − → − − = + → = + +

Como la recta tangente al vértice es horizontal, la pendiente tiene que ser cero, es decir, la derivada tiene que ser cero.

a) ( ) ( )´ 2 4 0 2, 2 2f x x x f= − = → = = V(2, 2)

b) ( ) ( )´ 2 2 0 1, 1 0f x x x f=− + = → = = V(1, 0)

c) ( ) ( )´ 2 2 0 1, 1 2f x x x f=− + = → = = V(1, 2)

d) ( ) ( )´ 4 4 0 1, 1 5f x x x f= + = → =− − =− V(−1, −5)

e) ( ) ( )´ 6 6 0 1, 1 2f x x x f= − = → = = V(1, 2)

f) ( ) ( )( ) 21 2 5 2 3 5f x x x x x= − + = + −

( )3 3 49

´ 4 3 0 ,4 4 8

f x x x f = + = → =− − =−

3 49

,4 8

V − −

a) ( )´ 2 1f x x= −

( )

( )( )

´ 2 32 3 2 3 4

2 2

fy x y x

f

= → − = − → = −=

( )

( )

´ 0 1

0 0

fy x

f

=− → =−=

El punto de corte de las dos rectas es:

3 4 1, 1 (13

1)4

,Py x

x x x yy x

=− → − =− → = =− →= −

−


490

10

b) ( )´ 2 4f x x= −

( )

( )( )

´ 2 02 0 2

2 2

fy y

f

= → − − = → =−=−

( )

( )

´ 0 42 4 4 2

0 2

fy x y x

f

=− → − =− → =− +=


22, 1 ( )

4 21, 2P

yy x

y x

=− → =− = →=− +

−

c) ( )´ 2f x x=

( )´ 2 4f = ( )2 5f = ( )5 4 2 4 3y x y x− = − → = −

( )´ 0 0f = ( )0 1f = 1 0 1y y− = → =


( )1,14 3

1, 11

xx

yP

yy

= − → = = →=

d) ( )1

´1

f xx

=+

( )

( )( )

1´ 2 1 1 2

3 ln 3 2 ln 33 3 3

2 ln 3

fy x y x

f

= → − = − → = − +=

( )

( )

´ 0 1

0 0

fy x

f

= → ==


1 2ln 3 3 3 3

1 ln 3 1 ln 3, 1 ln 33 32 2 2

y xy x P

y x

= − + → = =− + → − + − + =

La recta tangente tiene pendiente 2 en los puntos en los que la derivada es 2.

( ) 21 2

1´ 3 2 1 2 1,

3f x x x x x= − + = → = =− ( )

1 13,

3 21,1 ,

7BA − −

( )( )

( ) ( )2 2

2 2 4´

2 2

x xf x

x x

+ − −= =

+ +

a) ( )( )

1 22

4´ 1 0, 4

2f x x x

x= = → = =−

+

La recta tangente a la curva tiene pendiente 1 en los puntos de abscisa 0 y −4.

b) ( )( )

1 22

4´ 4 1, 3

2f x x x

x= = → =− =−

+

La recta tangente a la curva tiene pendiente 4 en los puntos de abscisa −1 y −3.


491

10

c) ( )( )

2

4´ 0

2f x

x= ≠

+

No existen puntos en los que la recta tangente a la curva sea paralela al eje X.

d) ( )( )

1 22

4 1´ 2, 6

42f x x x

x= = → = =−

+

La recta tangente a la curva tiene pendiente 1

4 en los puntos de abscisa 2 y −6.

( )´ 2f x ax= ( )´ 2 3g x x= +

Necesitamos que coincidan en el punto x = 3, es decir, que ( ) ( )3 3f g= .

También necesitamos que la pendiente sea la misma en ese punto, es decir, que ( ) ( )´ 3 ´ 3f g= .

Resolvemos el sistema de ecuaciones:

9 1 9 9 3 11,

2 3 2 3 3 2 2

a ba b

a

− = + + → = =−⋅ = ⋅ +

a) ( )´ 2 2f x x= − ( )´ 2 2f = ( )2 0f =

La recta tangente es: ( )2 2y x= −

La recta normal es: ( )1

22

y x=− −

b) ( )´ 2f x x=− ( )´ 3 6f =− ( )3 7f =−

La recta tangente es: ( )7 6 3y x+ =− −

La recta normal es: ( )1 1 15

7 36 6 2

y x y x+ = − → = −

c) ( ) 2´ 3f x x= ( )´ 1 3f = ( )1 1f =

La recta tangente es: ( )1 3 1y x− = −

La recta normal es: ( )1 1 4

1 13 3 3

y x y x− =− − → =− +


492

10

d) ( )2

1´f x

x=− ( )´ 1 1f − =− ( )1 1f − =−

La recta tangente es: ( )1 1y x+ =− +

La recta normal es: 1 1y x y x+ = + → =

Como la pendiente de la recta paralela a la recta normal es 2, la pendiente de la recta tangente deberá ser 1

2− .

( )1 1

´ 22 4

f x x x= =− → =− 1 1

4 16f − =

La ecuación de la recta normal es: 1 1 9

2 216 4 16

y x y x − = + → = +

( ) 2´ 6 3f x x= − ( )´ 1 3f − = ( )1 1f − =

La recta tangente a la curva es: ( )1 3 1 3 4y x y x− = + → = +

La recta normal a la curva es: ( )1 1 2

1 13 3 3

y x y x− =− + → =− +

a) ( ) 3 8´ 3 2 ln 2xf x −= ⋅ ⋅

La ecuación de la recta tangente es: 2 6 ln 2( 2) 6 ln 2( 2) 2y x y x− = − → = − +

La ecuación de la recta normal es: 1 1

2 ( 2) ( 2) 26 ln 2 6 ln 2

y x y x− =− − → =− − +


493

10

d) ( ) 2 2

1 2´ 2

1 1

xf x x

x x= ⋅ =

+ +

La ecuación de la recta tangente es: 0y =

La ecuación de la recta normal es: 0x =

a) ( ) 3´ 12 4 7f x x x= − −

b) ( ) ( ) ( )3

´ 2 12 2 4 2 7 95f − = ⋅ − − ⋅ − − =− ( ) 3´ 0 12 0 4 0 7 7f = ⋅ − ⋅ − =− ( ) 3´ 1 12 1 4 1 7 1f = ⋅ − ⋅ − =

a) ( ) 3 2´ 12 15 1f x x x= − +

b) ( ) 3 2´ 3 12 3 15 3 1 190f = ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) ( )3 2

´ 2 12 2 15 2 1 155f − = ⋅ − − ⋅ − + =−

( ) 3 2´ 0 12 0 15 0 1 1f = ⋅ − ⋅ + =

c) ( ) ( ) ( )3 2

´ 4 8 12 4 15 4 1 1007f − = ⋅ − − ⋅ − + =−

( ) 3 2´ 4 12 4 15 4 1 529f = ⋅ − ⋅ + =

( ) 3 2´ 8 12 8 15 8 1 5 185f = ⋅ − ⋅ + =

( ) ( ) ( )´ 4 ´ 8 4 656 1007 ´ 4 8f f f− =− ≠− = −


494

10

a) 2´( ) 9 10 1f x x x=− + − c) 2´( ) 3 2f x x= +

b) 3´( ) 8 36 1f x x x=− + + d) 5

4

3´( ) 6 20f x x x

x= − +

a) ( ) 3 2´ 20 9 14 12f x x x x= + − +

b) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

6 5 1 3 5 3 6 5´

1 1

x x x x x xf x

x x

− + − − + −= =

+ +

c) ( )3 2 8

´ 3 42

xf x x

− ⋅ += =− +

a) ( ) ( )( ) ( )( )4 3 2 5 4 2´ 10 3 2 5 4 2 5 3 30 15 30 62 15f x x x x x x x x x x x= − − + + − − = − − + −

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 2

´ 3 30 3 15 3 30 3 62 3 15 8 976f − = ⋅ − − ⋅ − − ⋅ − + ⋅ − − =−

( ) 5 4 2´ 0 30 0 15 0 30 0 62 0 15 15f = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − =−

( ) 5 4 2´ 2 30 2 15 2 30 2 62 2 15 709f = ⋅ − ⋅ − ⋅ + ⋅ − =

a) ( ) ( )2 2´ 6 4 3 1 4 36 4f x x x x x= ⋅ + − ⋅ = −

b) ( ) ( ) ( )2

22 3 2 18 22 5´ 6 1 3 1

3 3 3

x x xf x x x x

− − + − = − + + − + − =

c) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )2 2 3 2´ 2 5 3 3 1 2 5 3 1 5 3 2 3 40 108 56 6f x x x x x x x x x x x x = − − + + − + + − − = − + −


495

10

a) ( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

2 22 2

3 5 3 1 2 5 3 2 5´

5 5

x x x x x xf x

x x x x

− − − − − + −= =

− −

b) ( )( ) ( )

( ) ( )

2

22

3 1 2 1 5 10 5´ 1

36 181 5 1f

− ⋅ − + ⋅ − −− = =− =−

− − ⋅ −

( )( )

2

22

3 1 2 1 5 6 3´ 1

16 81 5 1f

− ⋅ + ⋅ −= =− =−

− ⋅ ( )

( )

2

22

3 2 2 2 5 13´ 2

362 5 2f

− ⋅ + ⋅ −= =−

− ⋅

a) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2 3 3 2

2 2

21 2 2 7 2 4 14 42´

2 2

x x x x x xf x

x x

− − − − + −= =

− −

b) ( )( ) ( )

( ) ( )

3 2 4 5 4 3

2 22 2

24 7 3 6 14 1 84 18 72´

7 3 7 3

x x x x x x x xf x

x x x x

− + − − − += =

− + − +

c) ( )( ) ( )

2 22 2

4 8´ 2

1 1

xf x x

x x

− −= ⋅ =

− −

d) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2

2 22 2

2 1 2 3 4 1 12 3´

2 2

x x x x x x x xf x

x x x x

− − − − + − − += =

− −

( )( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 22

1 1 1 1 2 2 8´

1 1 1 1 1

x x x x xf x

x x x x x

+ − − − − += + = − =−

+ − + − −

a) ( )4 3 4

37 7

´3 3

xf x x= = c) ( ) ( )

4 310 75 5 10

5 104 3

1 7 1 7´

5 10 5 10f x x x f x x x

x x

− −

= − → = − = −

b) ( )41

52

5 4

3 3 3 3´

2 5 2 5

xf x x x

x

−

= − = − d) ( )( )

( ) ( )

3

3 23 2

2 26 73 3

1 11

2 33´

1 6 1

x xx x xxf x

x x x

⋅ − − ⋅ − − = =

− −


496

10

a) ( )( )( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 4 5 2 4 5 1 5 4 8 1´

2 25 2 5 2

x x x x x xf x

x xx x

− + − − + −= − = −

+ +

b) ( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 22 2

2 22 2 2

2 2 3 2 2 15 2 32 15 5 34 41´

3 2 3 2 3 2

x x x x x xx x x xf x f x

x x x x x x

+ − + − + − −+ − − + −= → = =

− + − + − +

c) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2 2

2 22 22 2

15

2 3 2 3 1 4 1 5 4 1 102 5´

2 52 2

x xx x x x x x x x xxf xx x xx x x x

− +− − − − − − + − ++

= + = −+− −

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

22

2 22 2 3 3

2 1 2 32 3 1 2 3 1 1 2 1 2´

1 1 2 3 1 2 2 3 12

1

x xx x x xf x f x

x x x x x xx x x xx

+ − ++ − + − + = + = + → = ⋅ − = − − + + + + + +

a) ( )1

´ xf x ex

= +

b) ( ) 2 1 1´ 2 log 2 log

ln10 ln10f x x x x x x

x

= + = +

c) ( )2

2

3´ 2 log

ln 2

xf x x x

x

+= +

d) ( )( )

2

1ln 4 1 ln 4

´

x x

x x

e x e x x xxf xe xe

⋅ − + ⋅ − −= =

e) ( )2

1ln 1 ln

´

x x

x x

e x e x xxf xe xe

⋅ − ⋅ −= =

f) ( )´ 5 3 ln 3x xf x e= −


497

10

a) ( ) 3 2´ 4 21f x x x= + ( ) 2´´ 12 42f x x x= + ( )´´´ 24 42f x x= +

b) ( )2

3

3 4´

2 4

xf x

x x

−=

− ( )

( )

4 2

33 2

3 24 16´´

4 4

x xf x

x x

− −=

−

( )( )

( )

6 4 2

53 2

3 20 80 64´´´

8 4

x x xf x

x x

− − − +=

−


498

10

c) ( ) 2´ 2f x x cos x= ( ) 2 2 2´´ 2 4f x cos x x sen x= − ( ) 2 3 2´´´ 12 8f x x sen x x cos x=− −

d) ( ) 2´ 2 xf x e= ( ) 2´´ 4 xf x e= ( ) 2´´´ 8 xf x e=

a) ( ) 2´ 3 4 1f x x x= + + ( )´´ 6 4f x x= + ( )´´´ 6f x =

b) ( )1

´2 2

f xx

=−

( )( )

3

1´´

4 2f x

x=−

− ( )

( )5

3´´´

8 2f x

x=

−

c) ( )1

´f xx

= ( )2

1´´f x

x=− ( )

3

2´´´f x

x=

d) ( ) ( )´ sen x cos xf x cos x sen x e += −

( ) ( ) ( )2

´´ sen x cos x sen x cos xf x cos x sen x e e sen x cos x+ += − − +

( ) ( ) ( ) ( )3 2 2´´´ 3sen x cos xf x e cos x sen x cos x sen x cos x sen x+ = − − − − −

a) ( ) 2´ 9 8 3f x x x=− + − ( )4

´´ 18 8 09

f x x x=− + = → =

b) ( ) 2

2´

2

xf x

x=

+ ( )

( )

2

22

2 4´´ 0 2

2

xf x x

x

− += = → =±

+

a) ( )( )

( ) ( )

2 2

1 22 2

2 3 6´ 0 0, 6

3 3

x x x x xf x x x

x x

+ − += = = → = =−

+ +

b) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( )

2 2

4 3

2 6 3 2 6 3 18´´ 0

3 3

x x x x xf x

x x

+ + − + += = ≠

+ +

No existe ningún valor de x que anule la segunda derivada.

Calculamos las primeras derivadas:

( ) ( )2

´ 2 1f x x−

=− ⋅ − ( ) ( )

3´´ 4 1f x x

−= −

( ) ( )4

´´´ 12 1f x x−

=− − ( ) ( )

548 1IVf x x

−= −

La derivada n-ésima es de la forma:

( ) ( ) ( )( )1

1 2 ! 1n nnf x n x

− += − ⋅ −


499

10

a) f(x) = g[h(x)], donde ( ) lng x x= y ( ) 22h x x= → ( )2

´f xx

=

b) f(x) = g[h(x)], donde ( ) 3logg x x= y ( ) 2 1h x x= − → ( )( )2

2´

1 ln 3

xf x

x=

−

c) f(x) = g[h(x)], donde ( ) 10 xg x = y ( ) 3h x x= + → ( ) 3´ 10 ln10xf x +=

d) f(x) = g[h(x)], donde ( ) xg x e= y ( ) 3h x x= → ( ) 3´ 3 xf x e=

e) f(x) = g[h(x)], donde ( )g x cos x= y ( ) 3 1h x x= − → ( ) ( )´ 3 3 1f x sen x=− −

f) f(x) = g[h(x)], donde ( )g x sen x= y ( ) 2 3h x x= − → ( ) ( )2´ 2 3f x x cos x= −

a) ( )( )

( ) ( )

2 3

23

3 2 1 22 1 4 3´

2 12 1

x x xx xf x

x x xx

+ −+ += ⋅ =

++

b) ( )´ lnx

x ef x e x

x= +


500

10

c) ( )( )2 223 1 3 1 2

2 2

6 3 1 3 1´

x xx x

x x x xf x e e

x x

− − ⋅ − − + = =

d) ( )( )

( )

( )

( )

4 1 4 3 4 1 4 1 3 4

2 24 4

4 1 4 4 1´

1 1

x x xe x x e e x xf x

x x

+ + ++ − − += =

+ +

e) ( )( )

( ) ( )

2

22

4 7 27 1 14´

2 ln 2 7 ln 27

x x xx xf x

x x xx

− −− −= ⋅ ⋅ =

−−

f) ( )( )4ln 2 3

4

1´ 3 ln 3 4

2

xf x x

x

+= ⋅ ⋅

+

g) ( )( ) ( )

2 22

2

3 2 3

2 2

3ln 2 1 3 2 ln

´

x x x x x x

x x

e x e x e x x xxf xxe

− − − − +

− −

− ⋅ ⋅ − − + + = =

h) ( )( ) ( )

1 13 31

2

23 2

13

1´ 3

x x x xx xx

x xx

e e e e e ee xf x

e e xe

− + − + ⋅ = = +

+

a) ( ) 2´ 6 3f x x cos x=

e) ( )2

1 1´

xf x sen

x x

− =−

b) ( ) ( )2´ 2 1f x x sen x=− +

f) ( ) ( )2 1´ 1 1

2 1f x tg x

x= + − ⋅

−

c) ( ) ( ) ( )2 2´ 1 3 2 3f x tg x x x = + − ⋅ − g) ( )

( )

4

24 4

3 1´

1 1

x xf x cos

x x x x

−=− ⋅ − + − − + −

d) ( ) ( )2

2

1´ 3 2 3

2 3f x cos x x x

x x= + ⋅ ⋅ +

+ h) ( )

( )

2

3

2 1´ 1

1 1f x tg

x x

= + ⋅ − −


501

10

a) ( ) ( ) ( )44 3´ 5 3 2 1 12 2f x x x x= − + −

b) ( )( )

( )

( )

( )

3 2 4 34

2 63 3 3

1 3 5 1 2´ 5

1 1 1

x x x x xxf x

x x x

− − ⋅ − + = = − − −

c) ( ) ( )2

2 3 3´ 5 1f x x x= −

d) ( ) ( )3

´ 8 1 2 x xf x e e= +

e) ( ) ( )( )

( )( )

33 23 23 2 2

3 22

24 ln 11´ 4 ln 1 3 1 2

11

x xf x x x x

xx

−= − ⋅ ⋅ − ⋅ =

−−

f) ( ) ( )5

´ 18 1 3x xf x e e=− −

g) ( ) 2 2 2´ 4 2 (2 )f x x sen x cos x x sen x= =

h) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2´ 3 7 1 7 1 2 7f x cos x x sen x x x=− − + ⋅ − + ⋅ −

i) ( ) ( ) ( )2 3 2 3´ 6 8 1 8f x x tg x tg x = − ⋅ + −

j) ( )2

2

3 1 1 1 1´f x sen cos sen cos

x x x x x

= + −


502

10

a) ( ) ( ) ( )21

1´

x xf x e

x

++

=

b) ( )2

2

2 2 2´

1

x xf x

x

− +=

−

c) ( )2

1 1´ 2

ln 22 2 log 3

x

xf x e

xe x

= + +

d) ( ) ( )1 1

´ 2 ln lnln

f x xx x

= ⋅ ⋅

e) ( ) 2´ 6 4f x x cos x sen x cos x= +

f) ( )( ) ( )

( )

23 3 2

22 3

6 1 1´

1

sen x x xf x

cos x

+ ⋅ +=

+

g) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2´ 2 1f x x sen sen tg x cos tg x tg x = +

h) ( )2 2

2

2 2 2 2´

2

x cos x cos x sen x sen xf x

sen x cos x

+=

i) ( ) 2 2 2 2´ 2 2x xf x e cos x xe sen x= −

j) ( )2 3

33

2´

x sen xf x

cos x

−=


503

10

a) ( )44 3 2 3 22 3 2 8 9 2 1

´ 55 2 3 2 3 5 2 3 2

x x x x x x xf x

= − − + + − − +

b) ( )

( ) ( )( )

( )

2 2

22 2

3 2

2

3 13 6 3 1 3 1 6 1

2 2´

32 3 1

2

sen x cos x cos x sen x x tgx x

f x

sen x cos x tgx

− + − − + + + + =−

− − ++

c) ( )

( )

( )

2

2 2 23 2

2

4 516 4 10 1

4 10 1 4 10 1 4 10 1´ 4 1

16 16 16

xx x x

x x x x x xf x tg tgx x x

+− − + − + − + − + − = + ⋅ − − −

d) ( )( )

2

22 22

2 2

1 2 2´ 1

1sen x

f x tg xsen x cos xtg x

sen x cos x

− = ⋅ + + − + −

e) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 41 1ln 4 ln 3 10 1 ln 4

3 2f x x x x x

= + − + − − −

( )

( )( )

( ) ( )

2 332

2 44

´ 3 10 1 6 10 42 ln 4

3 3 10 1 2 14

f x x x x xx x

f x x x xx

− + − − + = + + − − + − − −

( ) ( )( ) ( )

2 42 3 23 3

2

2 44 4

3 10 1 6 10 2 3 10 1´ 2 ln 4

3 3 10 1 14 4

x

x x x x x xf x x x

x x xx x

+ − + − − + − + − = + + − ⋅ − + − − − −


504

10

a) ( )4

2´

1

xf x

x=

− d) ( )

( )

( )22

2

1 2´

141

1

f xxx

x

−= ⋅

−−

−

b) ( )( )

( )4

4 2 1´

1 2 1

xf x

x

− −=

− − e) ( )

2

4

2´

1

x

x

ef x

e

−=

−

c) ( )1 1

´12

f xxx

= ⋅+

f) ( )( )2

1´

1 lnf x

x x=

+

a) ( ) ( )2ln 3 ln 1f x x x= +

( )

( )( )

22

2

´ 63 ln 1

1

f x xx

f x x= + +

+

( ) ( ) ( )2

32 2

2

6´ 3 ln 1 1

1

xxf x x x

x

= + + + +

b) ( ) ( )2ln 3 7 1 lnf x x x x= − −

( )

( )( )

2´ 3 7 16 7 ln

f x x xx x

f x x

− −= − +

( ) ( )2

23 7 13 7 1

´ 6 7 ln x xx xf x x x x

x− −

− − = − +

c) ( ) ( )2ln ln ln 3 1f x x x= +

( )

( )

( )2

2

ln 3 1´ 6ln

3 1

xf x xx

f x x x

+= + ⋅

+

( )( )

( )2

ln2

2

ln 3 1 6 ln´ 3 1

3 1

xx x xf x x

x x

+ = + + +

d) ( ) ( )2ln lnf x x sen x=

( )

( )( )

2 22

2

´ 2ln

f x x cos xsen x

f x sen x= +

( ) ( )2 2

2 2

2

2 cos´ ln xx xf x senx sen x

senx

= +


505

10

e) ( ) ( )ln 3 ln 2f x x cos x=

( )

( )( )

´ 23 ln 2 6

2

f x sen xcos x x

f x cos x= +

( ) ( ) 32´ 3 ln 2 6 2

2xsen x

f x cos x x cos xcos x

= +

f) ( ) ( )2

3ln ln 155

xf x x= − −

( )

( )( )

( )

43

3

´ 2 3ln 15

5 5 15

f x x xx

f x x= − − +

+

( ) ( )( )

( )24

3 5 3

3

2 3´ ln 15 15

5 5 15

xx xf x x x

x

= − − + − − +

g) ( ) ( )10 5ln ln 3 1f x sen x x x= − + −

( )

( )( )

( )9 4

10 5

10 5

10 15´ln 3 1

3 1

x x sen xf xcos x x x

f x x x

− += − + − +

− + −

( ) ( )( )

( )9 4

10 5 10 5

10 5

10 15´ ln 3 1 3 1

3 1

sen xx x sen xf x cos x x x x x

x x

− + = − + − + − + − − + −

h) ( ) 3ln 5 4 1f x x x=− + −

( )

( )2´

15 4f x

xf x

=− +

( ) ( )32 5 4 1´ 15 4 x xf x x e− + −= − +

( )0 3f c= =− ( )2 4 2 5f a b c= + + =

( )´ 2f x ax b= +

( )´ 1 2f a b− =− +

3

4 2 5 1, 2, 3

2 0

c

a b c a b c

a b

=− + + = → = = =−− + =


506

10

( )0 0f c= =

( ) 2´ 3 2f x x ax b= + + ( )´ 1 3 2 3f a b= + + =

( )´´ 6 2f x x a= + ( )´´ 1 6 2 0f a− =− + =

0

3 2 3 3, 6, 0

6 2 0

c

a b a b c

a

= + + = → = =− =− + =

( )3 27 9 3 0f a b c= + + + =

( ) 2´ 3 2f x x ax b= + + ( )´ 2 12 4 0f a b= + + = ( )´ 4 48 8 0f a b= + + =

27 9 3 0

12 4 0 9, 24, 18

48 8 0

a b c

a b a b c

a b

+ + + = + + = → =− = =−+ + =

( )1 1f a b c= + + =−

( ) 3´ 4f x ax b= + ( )´ 1 4 0f a b= + =

La pendiente de la recta y = 4x es 4, entonces:

( )´ 0 4f b= =

1

4 0 1, 4, 4

4

a b c

a cb a b c

b

+ + =− + = → =− = =−=

( )1 2 6f a b c= + + + =

( ) 2´ 6 2f x x ax b= + + ( )´ 1 6 2 0f a b= + + = ( )´ 2 24 4 0f a b= + + =

2 6

6 2 0 9, 12, 1

24 4 0

a b c

a b a b c

a b

+ + + = + + = → =− = =+ + =


507

10

a) ( )( )

2

1´ 0

3f x

x=− ≠

− c) ( )

( )2

9´ 0

3f x

x=− ≠

−

b) ( )( )

2

1 22

6 2 6 28´ 0 3 7, 3 7

23

x xf x x x x

x

− + ±= = → = → = + = −

− d) ( )

( )

2

22

1´ 0 1

1

xf x x

x

−= = → =±

+

La pendiente de la recta r es 2. Por tanto, para que una recta tangente a f(x) sea paralela a r debemos encontrar

la solución de la ecuación f´(x) = 2.

a) 2´( ) 3 1 2 1f x x x= − = → =±

c) 2

´( ) 2 1f x xx

= = → =

b) ´( ) 2 4 2 1f x x x= + = → =−

d) ( )

2

1´( ) 2 Sin solución.

3f x

x

−= = →

+

La bisectriz del primer y tercer cuadrantes tiene por ecuación y = x y su pendiente es 1, por tanto f´(x) = 1.

a) ( )´ 2 3 1 2f x x x= − = → =

c) ( ) 21 2

1´ 3 2 1 , 1

3f x x x x x= − = → =− =

b) ( )( )

1 22

1´ 1 0, 2

1f x x x

x= = → = =

− d) '( ) ln 1 1 1f x x x= + = → =

La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes tiene por ecuación y = −x y su pendiente es −1, por tanto f´(x) = −1.

a) ( )2

1´ 1 1f x x

x=− =− → =±

c) 2 3 3

´( ) 6 6 16

f x x x x±

= − =− → =

b) ( ) 21 2

1´ 3 4 1 , 1

3f x x x x x= + =− → =− =− d)

( )2

2 1 2´( ) 1

22 1f x x

x

− ±= =− → =

−


508

10

( )1

´f xx

=

a) : 2 2r y x y x− = → = + → La pendiente de la recta r es 1.

11 1x

x= → =

b) 3 1

: 4 34 4

s y x y x= − → = − → La pendiente de la recta s es 1

4− .

1 14

4x

x=− → =−

c) : 1 0 1t y x y x+ − = → =− + → La pendiente de la recta t es −1.

11 1x

x=− → =−

d) 1

: 2 4 22

u y x y x− =− → =− + → La pendiente de la recta u es 1

2.

1 12

2x

x= → =

( )( )

2

2´

3f x

x=−

+

a) ( )

21 22

2 16 5 0 1, 5

23x x x x

x− =− → + + = → =− =−

+

( )1 1f − = ( )

1 1 11 1

2 2 2y x y x− =− + → =− +

( )5 1f − =− ( )

1 1 71 5

2 2 2y x y x+ =− + → =− −

b) 2 2 0 2 2y x y x+ + = → =− − → La pendiente de la recta es −2.

( )( )

2

1 22

22 3 1 4, 2

3x x x

x− =− → + = → =− =−

+

Existen dos puntos donde la gráfica es tangente a la recta 2 2 0y x+ + = .


509

10

a) ( )

( )

´ 2 32 3 3 0

´ 3

f x xx x

g x

= + → + = → ==

c) ( )

( )

1´ 1

1 1

´ 1

f xxx

xg x

= → = → ==

Además, f(0) = g(0) = 2. Además, f(1) = g(1) = 0.

Sus gráficas son tangentes en el punto x = 0. Sus gráficas son tangentes en el punto x = 1.

b) ( )

( )

´1 0

´ 1

xxf x e

e xg x

= → = → ==

d) ( )

( )

´2 0

´ 2

f x sen xsen x x x

g x x

=− →− = → ==

Pero ( ) ( )0 1 0 0f g= ≠ = . Además, f(0) = g(0) = 1.

Sus gráficas no son tangentes en ningún punto. Sus gráficas son tangentes en el punto x = 0.

La de la recta es 5, por tanto ( )´ 2 5f = .

Como la recta es tangente a f en x = 2 ( )2 5 2 7 3f→ = ⋅ − =

62, 4

8 2

a ba b

a b

= + → = == +

La ecuación de la recta es y = 2x + 4.

( ) ( )0 0 4g y= = ( ) ( )´ 0 ´ 0 2g y= =


510

10

( )1

1´

2 5f x

x=−

− ( )2 ´f x a=

a) ( )1

1´ 1

4f =− ( )1 1 2f =

( )1 1 9

2 14 4 4

y x y x− =− − → =− + → 1 1

44

aa

− =− → =

b) ( )1

1´ 4

6f − =− ( )1 4 3f − =

( )1 1 7

3 46 6 3

y x y x− =− + → =− + → 1

6a=−


511

10

Consideramos la raíz positiva: 220y x= −

( )2

´20

xy x

x

−=

− ( )4 2y = ( )´ 4 2y =−

( )2 2 4 2 10y x y x− =− − → =− +

a) ( )´ 2 4f x x= −

La bisectriz del primer y tercer cuadrantes es y = x y tiene pendiente 1.

52 4 1

2x x− = → =

5 9

2 4f =

Llamando r a la recta paralela a la bisectriz del primer y tercer cuadrantes:

9 5 1:

4 2 4r y x y x− = − → = −

La bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes es y = −x y tiene pendiente −1.

32 4 1

2x x− =− → =

3 9

2 4f =

Llamando s a la recta paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrantes:

9 3 15:

4 2 4s y x y x

− =− − → =− +

b) El punto de corte entre las dos rectas, r y s, es:

1

7 742, 2,

15 4 4

4

y xx y P

y x

= − → = = → =− +

El punto de corte de la recta r con el eje X es: 1 1 1

0 , 04 4 4

y x x P = = − → = →

El punto de corte de la recta s con el eje X es: 15 15 15

0 , 04 4 4

y x x P = =− + → = →

c) La base mide 15 1 7

4 4 2− = y la altura mide 2. 27

u2 2

T

b hÁrea

⋅= =


512

10

a) ( ) 21 2´ 3 6 0 0, 2f x x x x x= + = → = =−

( )0 4f = ( )2 8f − =

Los puntos son (0, 4) y (−2, 8).

b) Si la ecuación de la recta es de la forma y = mx + n, tenemos:

4

2, 48 2

nm n

m n

= → =− ==− +

La ecuación de la recta es: y = −2x + 4

c) La pendiente de la recta es −2: ( ) 21 2

3 3´ 3 6 2 1 , 1

3 3f x x x x x= + =− → =− + =− −

( )( )

2

3´

3f x

x=

−

a) Corte con el eje X: 2 9 9

03 2

xx

x

−= → =

− Corte con el eje Y:

2 0 93

0 3

⋅ −=

−

b) 9 4

´2 3

f =

4

63

y x= − ( )1

´ 03

f = 1

33

y x= +

c) Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta 4

63

y x= − :

Corte con el eje Y: 0 6x y= → =− Corte con el eje X: 9

02

y x= → =

Área del triángulo que forman: 2T

9 6 27u

2 4 2

b hA

⋅ ⋅= = =

Calculamos los puntos de corte con los ejes de la recta 1

33

y x= + :

Corte con el eje Y: 0 3x y= → = Corte con el eje X: 0 9y x= → =−

Área del triángulo que forman: 2T

3 9 27u

2 2 2

b hA

⋅ ⋅= = =


513

10

a) ( ) ( )1 0 83,1 39

44,1 m/s1 0 1

h h− −= =

− b)

( ) ( )6 4 156,6 156,60 m/s

6 4 2

h h− −= =

− c)

( ) ( )13 11 0 00 m/s

13 11 2

h h− −= =

−

En el primer intervalo la pelota está subiendo, y por tanto la velocidad media es positiva; en el segundo intervalo la pelota recorre el mismo tramo hacia arriba y hacia abajo; en el último intervalo la pelota ya está en el suelo y no se mueve, por lo que la velocidad media es cero.

PARA PROFUNDIZAR

□ ( )´f x cos x= Toma valores entre −1 y 1, por tanto la mayor inclinación de la función es 1.

□ ( ) 2´ 3 4f x x x= − ( )´ 1 1f =− La recta tangente es: ( )1 1y x x=− − =− +

3 2 3 21 2 32 1 1 2 0 0, 1x x x x x x x x x− + =− + → − + = → = = = Corta también en el (0, 1).

□ ( )´ 2 3 3 3 1f x x x y= − = → = → = ( )1 3 3 3 8y x y x− = − → = −

La recta tangente es y = 3x − 8.

□ ( )2

1´f x

x=− ( )

3

2´´f x

x= ( )

4

6´´´f x

x=− ( )

5

24ivf xx

=

Por tanto: 1

!( ) ( 1)n n

n

nf x

x += − ⋅


514

10


515

10

Sea una función f(x) que no es continua en x = x0. ( ) ( )0

0x xlim f x f x→

→ ≠

Si la función es derivable en x = x0, entonces existe el límite:

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )0 0

0 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0

0h h h h h h

f x h f xlim l lim f x h f x l lim h lim f x h f x lim f x h lim f x

h→ → → → → →

+ −= → + − = ⋅ → + − = → + =

Esto no es cierto porque la función no es continua en x = x0, y la función no puede ser derivable en ese punto.

a) 2 2 2 33 ´ 2 2 2 ´ 9 3 ´y y y x yy x y x y− − = + b) 23 3 ´ 3 ´ 2y xy y y+ + =

( )2 3 2 2´ 3 4 3 9 2y y xy x x y y− − = +

( )2´ 3 3 2 3y x y y+ = −

2 2

2 3

9 2´

3 4 3

x y yy

y xy x

+=

− − 2

2 3´

3 3

yy

x y

−=

+

Derivamos implícitamente:

1 1 1´ 0 ´ 2

2 2 2y y y

x y x+ = → =− ⋅ ( ) 0

0

0

´y

y xx

=−

Calculamos la recta tangente que pasa por el punto P(x0, y0) :

( )0 0 0 0 00 0 1 1

0 0 0 0 02 2

0y y y x x x y y x

y y x xx y x y x

x y

− −− =− − → + = → + = +


516

10

Comprobamos que 1

0 0 2

0 0

y xa

y x+ = :

( ) 10 0 0 0 0 00 0 0 00 0 2

0 0

0 00 0 0 0

y x x y x yy x x yy xx y a

x yy x x y

+++ = = = + =

MATEMÁTICAS EN TU VIDA

El costo marginal es la derivada del costo total de producción con respecto a la producción.

Los insumos son todos los elementos necesarios para producir un bien.

Porque mide la tasa de variación del coste entre la variación de la producción.

Positivo.

Función costo: f(x) = 3ax2 + 2bx

Es una función cuadrática cuya representación es una parábola cóncava; en el eje de abscisas se representa la producción y en el eje de ordenadas los costes.

instrucciones 1ºeso b semana 20-27 abril · 2020-05-19 · instrucciones 3º eso ac - semana 20-27...

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