Unidad III PRUEBA DE HIPÓTESIS Paquete Didáctico

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3.4 Prueba de Hipótesis para una proporción poblacional. (muestra grande)

Cuando se extrae una muestra aleatoria de n ensayos idénticos de una población binomial, la proporción muestral p̂ tiene una distribución aproximadamente normal cuando n es grande, con media p y error estándar, p̂ Cuando se prueba una hipótesis respecto a p, la proporción en la población que posee un cierto atributo, la prueba sigue la misma forma general que las pruebas de la media poblacional para muestra grande. Para probar una hipótesis de la forma 00 : ppHContra una alternativa de una o dos colas

0: ppH a o bien, 0: ppH a o bien, 0: ppH a

El estadístico de prueba se construye usando p̂ , el mejor estimador de la proporción poblacional verdadera p. La proporción muestral p̂ se estandariza, por medio de la media y el error estándar hipotético, para formar un estadístico de prueba z que tiene una distribución normal estándar si 0H es cierta. A continuación se resume esta prueba para muestra grande.

Prueba estadística para p en una muestra grande

1.Hipótesis nula: 00 : ppH

2. Hipótesis alternativa Prueba de una cola

0: ppH a o bien,

0: ppH a

Prueba de dos colas 0: ppH a

3. Estadístico de prueba

nqpppppz

p 00

0

ˆ

0 ˆˆ con

nxp̂

Donde x es el número de éxitos en n ensayos binomiales.

4. Región de rechazo: rechace 0H cuando

Prueba de una cola Prueba de dos colas zz

(o bien zz cuando la hipótesis alternativa es 0: ppH a )

O cuando el valor p<

2zz o bien 2zz

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0 z 2z 0 2z

Supuesto: El muestreo satisface los supuestos de un experimento binomial y no es bastante grande para que la distribución muestral de p̂ se pueda aproximar mediante una distribución normal 55 00 nqynp

Ejemplo 3.12 Sin tener en cuenta la edad, cerca de 20% de adultos estadounidenses participan en actividades de acondicionamiento físico por lo menos dos veces a la semana. Sin embargo, estas actividades cambian a medida que avanza la edad de las personas, y los participantes ocasionales abandonan estas actividades cuando envejecen. En un estudio local de n =100 adultos mayores de 40 años, un total de 15 personas indicó que participaban por lo menos dos veces a la semana en una actividad de acondicionamiento físico. ¿Estos datos indican que la tasa de participación para los adultos mayores de 40 años de edad es significativamente menor que la cifra de 20%? Calcula el valor de p y úsalo para sacar las conclusiones apropiadas.

Solución Se supone que el procedimiento de muestreo satisface los requisitos de un experimento binomial. Tú puedes contestar la pregunta propuesta mediante la prueba de hipótesis

2.0:0 pH contra 2.0: pH a

Se emplea una prueba dee que una cola porque se desea descubrir si el valor de p es menor que 0.2

El estimador puntual de p es nxp̂ , y el estadístico de prueba es

nqpppppz

p 00

0

ˆ

0 ˆˆ

Cuando 0H es verdadera, el valor de p es 2.00p y la distribución muestral de

p̂ tiene una media igual a 0p y una desviación estándar de nqp 00 . Por tanto en este

caso no se usa nqp ˆˆ para estimar el error estándar de p̂ por que el estadístico de

prueba se calcula bajo el supuesto de 0H es verdadera (Cuando s estima el valor de p

por medio del estimador p̂ no se conoce y se estima por medio de nqp ˆˆ ). El valor del estadístico de prueba es

25.1

10080.020.020.015.0ˆˆ

00

0

ˆ

0

nqpppppz

p

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El valor p asociado con esta prueba se encuentra como el área bajo la curva normal estándar a la izquierda de z = -1.25 como se muestra en la figura 3.5. Por consiguiente,

1056.0)3944.05.0(25.1zPp

-1.25 0 z Figura 3.5 valor de p para el ejemplo 3.12

Si se usan las pautas para evaluar los valores de p, entonces 0.1056 es mayor que 0.10, y tú no rechazarías 0H No hay ninguna prueba satisfactoria para concluir que el porcentaje de adultos mayor de 40 años que participan dos veces por semana en las actividades de aptitud es menor de 20%.

Significación estadística e importancia práctica Es importante entender la diferencia entre resultados que son “significativos” y los que son prácticamente “importantes”. En el idioma estadístico, la palabra significativo no necesariamente indica “importante”, sino sólo que los resultados no podrían ocurrir por casualidad. Por ejemplo, suponiendo que en el ejemplo 3.12 el investigador había usado n = 400 adultos en su experimento y había observado la misma proporción muestral. El estadístico de prueba es ahora

50.2

40080.020.020.015.0ˆˆ

00

0

ˆ

0

nqpppppz

p

Con valor 0062.0)4938.05.0(50.2zPpAhora los resultados son altamente significativos: se rechaza 0H , y hay suficiente evidencia para indicar que el porcentaje de adultos mayores de 40 años que participan en las actividades de aptitud física es menor de 20%. Sin embargo, ¿es muy importante esta disminución en la actividad? Suponiendo que médicos sólo estarían interesados en una disminución de la actividad física mayor de 10%. ¿Dentro de qué límites queda en realidad el valor real de p? Con un intervalo de confianza de 95%, se tiene

035.015.0400

85.015.096.115.0ˆˆ

96.1ˆnqpp

0 bien 185.0115.0 p . La actividad física para los adultos de 40 años y más ha disminuido de 20% pero no a menos de 10% de modo que los resultados, aunque sonestadísticamente significativos, no son importantes desde el punto de vista práctico.

Valor de p = 0.1056

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Problemas que deberán resolver los alumnos

Ejercicios 3.3

1. Una muestra aleatoria de n = 1000 observaciones de una población binomial produjo x = 279.

a) Si su hipótesis de investigación es que p es menor de 0.3, Tú ¿qué elegirías como hipótesis alternativa e hipótesis nula?

b) ¿Cuál es el valor crítico con que se determina la región de rechazo para su prueba con 05.0 ?c) Los datos proporcionan suficiente evidencia para indicar que p es menor de 0.3? usa un nivel de significación de 5%

2. Una muestra aleatoria de n = 1400 observaciones de una población binomial produjo x = 529.

a) Si su hipótesis de investigación es que p difiere de 0.4, ¿qué hipótesis debe probar?

b) Calcula el estadístico de prueba y su nivel de significación observado. Usa el valor de p para evaluar la significación estadística de los resultados al nivel 1%

c) ¿Los datos proporcionan suficiente evidencia para indicar que p es diferente de 0.4?

3. De una población binomial se selecciono una muestra aleatoria de 120 observaciones, y se observaron 72 éxitos ¿Los datos proporcionan evidencia suficiente para indicar que p es mayor que 0.5? Emplea uno de los métodos de prueba y explica tus conclusiones.

4. Según informes alrededor de 60% de los hogares en Estados Unidos tienen dos o más televisiones y por lo menos la mitad de los estadounidenses a veces ven la televisión solos? Suponiendo que se realiza un muestreo de n = 75 casa, y de ésta, 49 tenían dos o más televisiones y 35 encuestados a veces ven la televisión solos.

a) Mediante la información muestral se pueden probar dos afirmaciones. ¿Cuáles son los dos conjuntos de hipótesis por probar?

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b) ¿Los datos presentan evidencia suficiente para contradecir la afirmación de que por lo menos la mitad de los estadounidenses a veces ven la televisión solos?

c) ¿Los datos presenta evidencia suficiente para mostrar que es incorrecta la cifra de 60% afirmada en el artículo de la revista?

5. Una rosa con pétalos rojos se cruzó con otra de pétalos rayados. Un genetista sostiene que 75% de la descendencia que resulta de esta cruza tendrá flores rojas. Para probar esta afirmación, se recolectaron y pusieron a germinar 100 semillas de esta cruza y 58 plantas tuvieron pétalos rojos.

a) ¿Qué hipótesis debe usar para probar la afirmación del genetista? b) Calcula el estadístico de prueba y su nivel de significación observado. Usa el

valor de p para evaluar la significación estadística de los resultados al nivel 1%.

6. Según el Centro Nacional de Estadísticas para la educación en Washington, D.C, alrededor de 16% de los maestros de primaria son hombres: Un investigador seleccionó al azar de una base de datos de todo el estado a 1000 maestros de primaria en California y encontró que 142 eran hombres. ¿Esta muestra proporciona evidencia suficiente de que el porcentaje de maestros de primaria hombres en California es diferente del porcentaje nacional?

Yo soy bastante pequeño como si fuera un ratón, pero cuido los hogares como si yo fuera un león

El candado.

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