Instituto Agrícola Pascual Baburizza Función Educacional Luksic

Guía Evaluada Primero Medio

Unidad 1: Números

Profesor: Gonzalo Donoso Gormaz

Objetivos: Resolver problemas y ejercicios que involucren propiedades de sistemas numéricos.

Números Racionales

Al dividir dos números enteros, no siempre resulta otro número entero. Esto llevó a la necesidad de ampliar el conjunto Z y dar paso a un nuevo conjunto, llamado de los Números Racionales y simbolizado por Q. Este conjunto incluye a Z y IN. Su definición es:

Q es el conjunto de los números de la forma , siendo a y b números enteros, con b distinto

de 0.

Obvio que b debe ser distinto de cero, ya habíamos visto que la división por 0 no está definida.

Analicemos el elemento 3/8 perteneciente al conjunto QEsta fracción indica que un entero ha sido dividido en 8 partes equivalentes y que se han considerado 3 partes de ella. (Ver figura)

En la fracción 3/8 el 3 recibe el nombre de numerador y el 8 de denominador

Si efectuamos la división 3: 8, obtenemos como resultado exactamente 0,375 3: 8 = 0,375 0// y los nombres al efectuar esta operación son: el 3 se llama dividendo, el 8 divisor, el 0,375 cuociente y el 0 resto.

Número Mixto

La fracción 5/3 se puede escribir como un número mixto, o sea un número con una parte entera y otra fraccionaria.

, esto resulta de efectuar la división 5:3 = 1 con resto 2.

Si queremos transformar, por ejemplo, , debemos multiplicar 53 y sumarle 4, resultando .

Fracción propia

Son aquellas cuyo numerador en menor que el denominador. En la recta numérica se ubican entre el 0 y el 1.

Por ejemplo, 2/3; 5/7; 12/37

Fracción impropia

Son aquellas cuyo numerador en mayor que el denominador, por lo tanto son mayores que 1. Para ubicarlas en la recta numérica se necesita transformarlas a número mixto.

Amplificación

Amplificar una fracción es multiplicar su numerador y denominador por un mismo número natural. La fracción obtenida es equivalente a la original.

Ejemplo: Amplifiquemos 2/5 por 7. Entonces debemos multiplicar el numerador y el denominador por 7 quedando la fracción como 14/35. Luego 2/5 y 14/35 son fracciones equivalentes.

Simplificación

Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número natural, para lo cual el numerador y el denominador deben ser múltiplos de ese número. De lo contrario, no se puede simplificar la fracción.

Si una fracción no se puede simplificar, decimos que se trata de una fracción irreductible. Como ser 3/7.

Ejemplo: 30/42 la podemos simplificar por 2, por 3, por 6. Lo más conveniente es por 6 así queda de inmediato irreductible. Al simplificarla se obtiene 5/7

Orden en Q

Esto se refiere a establecer cuándo un elemento de Q es mayor, menor o igual que otro elemento. Aquí se nos presentan dos casos:

a) Si los denominadores son iguales, resulta fácil, será mayor la fracción que tenga el numerador mayor.

Por ejemplo: 8/25, 3/25, 16/25Ordenadas de menor a mayor quedan así: 3/25 < 8/25 < 16/25

b) Si los denominadores son distintos, habrá que igualarlos. Primero determinamos el m.c.m. y luego se amplifica para que todos tengan el mismo denominador.

Por ejemplo, ordenar de menor a mayor 2/3, 1/6 y 5/8El m.c.m. es 24. Amplificamos cada fracción de modo que queden con denominador 24, resultando 4/24 < 15/24 < 16/24. O sea 1/6 < 5/8 < 2/3

Otro método es el de los productos cruzados ¿Cuál fracción es menor o´ ?

Se efectúa el producto 77 = 49 y 911 = 99, como 49 es menor que 99, se concluye que <

OPERATORIA EN Q

Siempre antes de operar, debemos revisar si todas las fracciones son irreductibles, si no lo son es conveniente simplificar.

Suma y Resta:

a) Fracciones con el mismo denominador: se suman (o restan) los numeradores y se conserva el denominador.

Ejemplo: 4/9 + 2/9 = 6/9 = 2/3

b) Fracciones con distinto denominador: lo primero es obtener fracciones equivalentes, basados en el mcm de los denominadores y luego resolver como en la situación anterior.

Ejemplo: 2/3 + 1/4 - 5/8 =

El m.c.m. entre 3, 4 y 8 es 24, por la tanto las fracciones equivalentes son:

16/24 + 6/24 - 15/24 = 37/24

Multiplicación: Para multiplicar fracciones se multiplican los numeradores entre sí y los denominadores entre sí.

Ejemplo:

División: Para dividir fracciones multiplicamos la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda fracción.

Ejemplo:

Otro método para dividir fracciones es multiplicando en forma cruzada.

Mitad de un racional

En múltiples ocasiones hemos tenido que utilizar el término mitad. Todos tenemos claro que su significado es dividir algo en dos partes iguales, pero cuando trabajemos con fracciones, especialmente en los problemas verbales, lo anotaremos de otro modo. Veamos:

La mitad de 3/7 es 3/7: 2, que al resolver resulta 3/7 · 1/2 = 3/14.

MITAD: Multiplicar por 1/2

Luego, la mitad de la mitad de 7/13 es 1/2 · 1/2 · 7/13 = 7/52.

Doble de un racional

El doble de 5/7 es dos veces 5/7, o sea 5/7 + 5/7, pero es mucho mejor traducirlo a 5/7 · 2 = 10/7

O sea, el doble nos indica que debemos multiplicar por 2.

DOBLE: Multiplicar por 2

Luego el doble de 1/3 es 1/3 · 2 = 2/3

Fracción de Fracción

Ya estamos claros con la mitad y el doble, pero ¿qué debemos hacer si nos piden, por ejemplo, las tres cuartas partes de 2/5?

La fracción de una fracción corresponde al producto entre ellas.Ejemplos:1. Determinar los 6/5 de 3/7

6/5 · 3/7 = 30/21, simplificando por 3 resulta 10/7

2. Determinar los 2/3 de los 5/9 de 4/7

2/3 · 5/9 · 4/7 = 40/189

Fracciones a decimales

Para transformar una fracción a la forma decimal, se divide el númerador por el denominador.

Así si queremos convertir a decimal tenemos que efectuar la división 1: 8

1: 8 = 0,125 o sea un decimal exacto

Efectuemos ahora la transformación de a forma decimal. _ 2: 3 = 0,66666...= 0,6 o sea un decimal periódico

Convirtamos a decimal la fracción _ 1: 6 = 0,166666...= 0,16 o sea un decimal semi periódico

Decimales a fracción

Decimal exacto: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 10; dependiendo la cantidad de ceros, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar.

Ejemplo: 0,4 = 4/10 = 2/5

0,36 = 36/100 = 9/25

3,2 = 32/10 = 16/5

Decimal Periódico: La fracción resultante tiene como denominador un múltiplo de 9; dependiendo la cantidad de nueves, de los lugares después de la coma que tenga el número a transformar. _ Ejemplo: 0,4 = 4/9 __ 0,17 = 17/99

Caso especial es cuando la parte entera no es cero, en ese caso se debe restar a todo el número la parte entera como lo indican los siguientes ejemplos: _2,7 = (27 - 2) / 9 = 25/9 _12,3 = (123 - 12) / 9 = 111/9Si el decimal es semiperiódico, se procede similarmente al caso anterior. _Ejemplo: 2,53 = (253-25)/90 = 228/90 =114/45 = 38/15

NÚMEROS IRRACIONALES

Corresponde al conjunto de los números que no pueden expresarse en forma fraccionaria, como decimales infinitos no periódicos, raíces inexactas y algunas constantes.

Ejemplo: ,, eNÚMEROS REALES

Es el conjunto determinado por la unión de los conjuntos Racionales e Irracionales.EJERCICIOS

1. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que 3 pero menor o igual que 4?

a) b) 3/4 c) 4/3 d) e)

2. + 7 es un número:

a) Racional b) Entero c) Irracional d) Entero positivo e) Periódico

3. Si x = . ¿Cuál de los números siguientes no posee inverso multiplicativo?

a) x2 b) x2 - c) x2 + d) x2 + 3 e) x2 - 3

4. equivale a:

a) 1/3 b) 2/3 c) 1/15 d) 10/15 e) 1/6

5. ¿Cuál(es) de los siguientes números es (son) racional(es)?

I) 3,1415 II) III)

a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo III d) Sólo I y II e) Sólo I y III

6. ¿Para qué valor de p, la expresión es un número irracional?

a) 5 b) 4 c) 1 d) -1 e) -4

7.

a) 0,9 b) 0,99 c) d) 1 e) 26/15

8. es racional si:

a) a = 2b b) b = 2a c) b = -1/a d) a = 1/b e) a=5 y b=4

9. El número 1a42 es divisible por 6, entonces a=

a) 0 b) 3 c) 6 d) 7 e) 8

10. ¿Qué valor debe tener x para que ?

a) 362 b) 36 c) 12 d) 6 e) 3

11. El cuociente de es:

a) 2,5 b) 0,8 c) 4 d) 0,4 e) 25/6

12. En una división, el dividendo es 8/9 y el cuociente 10/3. ¿Cuál es el divisor?

a) 10/3 b) 4/15 c) 3/10 d) 3,75 e) 2/15

GUÍA DE POTENCIAS

POTENCIAS: El producto de factores iguales se puede escribir como potencia.Ejemplos: 1) 8 · 8 · 8 · 8 · 8 = 85

bn = b · b · b · b ·............n veces ; con b 1 y b > 0

2)

4

3·

4

3·

4

3·

4

3 =

4

4

3

3) x · x · x · x · x · x · x = x7

Definición :

PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS

DESCRIPCIÓN PROPIEDAD OPERATORIA EJEMPLO

Potencia de exponente 1

A1 = A Exponente 1 no se escribe

91 = 9

Potencia de exponente 0

A0 = 1 Toda potencia de exponente 0 es igual a 1

(5k)0 = 1

Multiplicación de potencias de igual base

An · Am = An + m Se conserva la base y se suman los exponentes

72 · 73 = 72 +3 = 75

División de potencias de igual base

An : Am = An - m Se conserva la base y se restan los exponentes

57 : 53 = 57 – 3 = 54

Multiplicación de potencias de igual exponente

An · Bn = (A · B)nSe conserva el exponente y se multiplican las bases

65 · 55 = (6 ·5)5 = 305

División de potencias de igual exponente

An : Bn = (A : B)n Se conserva el exponente y se dividen las bases

85: 25 = (8:2)5 = 45

Potencia de una potencia

(An)m = An · m Se conserva la base y se multiplican los exponentes

(43)5 = 43 · 5 = 415

Potencia de exponente negativo A-n =

nA

1 Es el reciproco de la potencia, con el exponente con signo cambiado

4-2 = 24

1 = 16

1

Potencias de bases iguales An = Am n = m

Si las bases son iguales, entonces sus exponents son iguales

2x = 25 x = 5

Potencias de 10 Exponente positivo Exponente negativo

101 = 10 10-1 = 1/10 = 0,1102 = 100 10-2 = 1/100 = 0,01103 = 1.000 10-3 = 0,001

104 = 10.000 10-4 = 1/10.000 = 0,0001105 = 100.000 10-5 = 1/100.000 = 0,00001

Etc. Etc.

NOTACIÓN CIENTÍFICA

La notación científica es una forma abreviada de expresar cantidades extremadamente pequeñas, tal como 0,000000154, 0 muy grandes, tal como 7.850.000.000.000.

Esta notación consiste en expresar la cantidad por medio de un producto entre un decimal con una cifra entera distinta de cero y una potencia de 10.

Ejemplos: 1) 0,000000154 = 1,54 · 10-7

2) 7.850.000.000.000 = 7,85 · 1012

EJERCICIOS

1) El valor numérico de: -62 – (43 – 92) + 2-3 es:

A) –25 D) 153/8B) –151/8 E) 425/8C) –423/8

2) El producto de 2,4 · 10-8 con 7,5 · 103 es:

A) 1,8 · 10-4 D) 1,8 · 104

B) 18 · 10-4 E) 1,8 · 10-3

C) 1,8 · 105

3) El valor de: -72 – (52 – 43) es:

A) 88 D) -10B) 10 E) -52C) –88

4) Respecto de las potencias se afirma lo siguiente:

I) an – bn = (a – b)n II) xp + q = xp + xq III) yr – s = yr : ys

Es(son) correctas:

A) Sólo I D) Sólo II y IIIB) Sólo II E) Sólo I y IIIC) Sólo III

5) 3 2

0,29 9, 02 1

0, 029 0, 0902 10

=

A) 1B) 10C) 100D)1000E) 0,1

6)

3

7

2

: 0

5

21

es igual a:

A) 8

343D) 329

8

B) 8

245E) N.A.

C) 0

7) 1 1

3

(0,2) 4

2

=

A) 403

D) 42

B) 10 E) 142

C) 1

10

8) En el rectángulo SRTQ de la figura , se tienen 3 triángulos con las dimensiones indicadas. Entonces, la razón entre los perímetros de los tres triángulos es

A) 2 : 3 : 4B) 2 : 3 : 5C) 1 : 2 : 3D) 1 : 3 : 5E) 3 : 4 : 5

9) El área del polígono de la figura , mide

S

Q

R

T

12

25

16

a

b

c

d

A) (a + b) (c + d)B) ab + cdC) cd + a (b – d) D) ab + d (c – a)E) ad + bc

10) Si el doble del área de un rectángulo es 2a2 - 16a + 30, entonces su perímetro es:

A) a – 8 D) 2a - 16B) 2a – 8 E) 4a - 16C) a - 4

11) La expresión 0,064 · 0,0004

16000000 · 0,08 es igual a:

A) 2 · 1011 D) 5 · 1010

B) 2 · 1010 E) 2 · 109

C) 5 · 1011

12) ¿Cuál de las siguientes opciones es equivalente con 2

6

2a

8a

?

A) 4a-4 D)14

a4

B)14

a-4 E) 16a4

C) 4a4

13) Si a = 0,25 ; b = 0, 3 y c = 1, entonces 1 1

1

a b

c

=

A) 8,125 D)7

1

B) 7 E) 0,58 3

C)7

12

14) Si 25m = 32, entonces 2-m =

A) -2 D) 12

B) 2 E) 14

C) -12

15) Si a + b = 1, entonces a3 + b3 - ab =A) (a - b)2 D) 1 - abB) (a + b) ( a - b) E) 1C) (a + b)2

16) Si (a + b)2 - (a - b)2 = 0, entonces ¿cuál de las siguientes opciones es verdadera?

A) a = b D) b = 0B) a + b = 0 E) a = 0 ó b = 0C) a = 0

17) Si x = -3 e y = -2, entonces x3 - y3 =

A) 2 D) 18B) 19 E) -19C) 16

18) Si x = -13

, entonces al ordenar de menor a mayor los números: x, x2, x3, x4 se

obtiene:

A) x4, x3, x2, x D) x3, x, x4, x2

B) x, x2, x3, x4 E) x, x3, x4, x2

C) x, x4, x2, x3

19) (-2,5)3 (-0,4)3 =

A) 3 D)1

10

B) 1 E) 52

C) -1

20) Si x = -3 e y = -2, entonces x3 - y3 =

A) 2 D) 18B) 19 E) -19C) 16