PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICAPrimer Semestre 2015.

MAT 210E ∗ GUIA N◦15La primera derivada.

1. Determine todos los valores de a ∈ R para los cuales la funcion f(x) = x3 + ax2 + 3x− 1 ,

es siempre creciente en R.

2. Determine a , b ∈ R, de modo que la funcion f(x) =√a + bx + cx2 , alcance un maximo

en el punto (1, 2).

3. Demuestre que f(x) = x +1

x, tiene un maximo relativo y un mınimo relativo, pero que

el maximo relativo es menor que el mınimo relativo. Grafique.

4. Determine los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion

f(x) = 5 x2/3 − 2x5/3

5. Sea f(x) = (x− 1)n (x− 2) , con n ∈ N , n ≥ 2.

a) Demuestre que x = 1 es un punto crıtico de f .

b) ¿Para que valores de n , x = 1 es un maximo relativo, un mınimo relativo, o

ninguno de estos?

6. En cada caso, determine los valores extremos absolutos de la funcion dada en el intervaloindicado.

a) f(x) = −2x3 + 3x2 , en

[−1

2, 2

].

b) f(x) = x2/3 , en [−1 , 2 ].

c) f(x) = x3 − 3x + 1 , en

[−3

2, 3

].

d) f(x) =x

1 + x2, en [−1 , 4 ].

e) f(x) = |3x− 2| , en [−1 , 4 ].

7. Demuestre que ∀ a ∈ R, la funcion f(x) = x2 +a

xtiene un mınimo pero no tiene maximo.

8. Suponga que la funcion f(x) es tal que f ′(x) = 2 x para todo x ∈ R, determine f(2) si

f(0) = 0.

9. Determine los valores extremos de la funcion f(x) = 3x2 e−4x. Grafique.

10. Determine a , b ∈ R de modo que f(x) =ax + b

x2 − 1, tenga un extremo local en x = 3 y

clasifıquelo.

11. Si la derivada de la funcion f esta dada por: f ′(x) = (x− 1)2 (x− 2) determine en

que puntos tiene f un maximo local y un mınimo local.

12. Demuestre que f(x) = sen2(x)− 3x es siempre decreciente.

13. Determine los valores extremos y la monotonıa de la funcion:

f(x) =

x2 + 2x + 1 , x < −1

2x + 2 , −1 ≤ x ≤ 2

−x2 + 6x− 2 , 2 < x

14. Determine intervalos de crecimiento y decrecimiento y valores extremos de la funcion f , sigrafico de f ′ en R+ es: