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UNIVERSIDAD

PRIVADA DEL NORTE

INGENIERÍA AMBIENTAL

APLICACIÓN DE LA PRIMERA Y LA

SEGUNDA DERIVADA EN LA DETERMINACIÓN

DEL VALOR MÁXIMO Y MÍNIMO DE LA PRODUCCIÓN

ANUAL DE ESPARRAGOS DE LA EMPRESA DANPER-

TRUJILLO

Integrantes:

Bobadilla Atao Leo E. Castillo Llanos Ivan López Briones Sandra I.

Mendoza Cordova Ingrid

Olivares Rodríguez Ligia E.

CALCULO 1

1

2

INDICE O CONTENIDOS

CAPITULO I

PLAN DEL PROYECTO

1.1 PROBLEMA…………………………………………………………………...4

1.2 HIPÓTESIS……………………………………………………………………4

1.3 OBJETIVOS……………………………………………………………….…..5

CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

Marco teórico……………………………..………………………………………….……7

2.1 Concepto de funciones…………………………………….………….…..….7

2.2 Rango y Dominio de funciones…………………………….……….…….…7

2.3 Continuidad……………………………………………………………..……..8

2.4 Derivadas………………………………………………………………..……10

CAPITULO III

DESARROLLO DEL PROYECTO

DESARROLLO DEL PROYECTO……………………………………….….…12

CONCLUSIONES ………………………………………………………………..14

BIBLIOGRAFÍA………………………………………………..……….…………15

ANEXOS………………………………………………………..…………………17

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INTRODUCCIÓN

El presente informe redacta una problemática en la empresa “DAMPER TRUJILLO S.A.C”, encargada de la producción de esparrago; para esto hemos realizado un análisis en la producción que se ha realizado en los últimos 4 años, con el fin de encontrar los valores máximos y mínimos de la Empresa. Para el desarrollo del presente trabajo, hemos procurado utilizar los conocimientos adquiridos a lo largo del ciclo en la materia del caldulo diferencial.

4

5

CAPITULO I

PLAN DEL PROYECTO

1.1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

REALIDAD PROBLEMATICA

Danper Trujillo SAC es una joint venture de capitales daneses y peruanos que comenzó sus operaciones en febrero del año 1994 en Trujillo - Perú. Las plantas de procesamiento están situadas en Trujillo y Arequipa. DANPER se dedica con mucho éxito a la actividad agroindustrial de producción y exportación de conservas de espárrago, alcachofa, pimiento del piquillo, hortalizas en general y frutas, así como

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espárragos frescos y congelados, pero en los últimos años, los ingresos varian constantemente, ya que depende de la producciòn.

FORMULACIÓN O DELIMITACIÓN DEL PROBLEMA

Decidimos enfocar nuestro trabajo en el aspecto Agrícola de la empresa Danper S.A.C, por lo que tuvimos que investigar y obtener los datos que nos ayuden a finalizar lo propuesto. Tras conseguir la información sobre la producción mensual de esparrago de los últimos años, trabajaremos nuestro trabajo. ENUNCIADO DEL PROBLEMA

¿Cuál es el valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de esparrago de la Empresa DANPER-TRUJILLO que se obtuvo durante los últimos cinco años?

1.2 HIPÓTESIS

Mediante el CRITERIO DE LA PRIMERA Y SEGUNDA DERIVADA se determinará el valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de esparrago de la Empresa DANPER-TRUJILLO durante los últimos cinco años.

1.3 OBJETIVOS

General

Determinar el valor máximo y mínimo del promedio de la producción mensual de esparrago de la Empresa DANPER-TRUJILLO en los últimos cinco años.

Específicos

Determinar la función matemática del promedio de la producción de esparrago

en los últimos 5 años. Aplicar el criterio de la primera y segunda derivada para máximo y mínimos Determinar e interpretar la gráfica de la función matemática de la producción

de esparrago.

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CAPITULO II

MARCO TEÓRICO

8

2.1 MARCO TEÓRICO

FUNCIÓN:

Una Función f de valores reales definida en un conjunto D de números reales es una regla que asigna a cada número x en D exactamente un número real, denotado por y=f(x).

x es la Variable Independiente.

y es la Variable Dependiente.

Valor numérico de una función

Sea f(x)=2x3 – x + 3, x es un número real

Calcular f(0), f(-1) Resolución f(0) = 2(0)3 – 0 + 3 = 3

f(-1)= 2(-1)3 –(-1) + 3 = 2

DOMINIO Y RANGO

Si el dominio no está especificado, este se determina analizando todos los posibles valores que puede tomar x, tal que f(x) sea un valor real.

El rango de una función f se determina despejando la variable x en función de y, luego se analiza todos los posibles valores que puede tomar y, de tal manera que x sea un valor real, en el dominio de f.

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FUNCIONES POLINÓMICAS:

𝑓(𝑥) = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑎1𝑥 + 𝑎0

Las funciones polinómicas, tienen como 𝐷𝑓 = 𝑅, puesto que a partir de una expresión

polinómica, se puede sustituir el valor de “X” por cualquier número real que hayamos elegido y se puede calcular sin ningún problema el número real imagen “Y”.

Ejemplo: 𝑓(𝑥) = 3𝑥3 + 18𝑥2 − 20𝑥 + 15

FUNCIONES RACIONALES:

Una función racional es aquella cuya regla de correspondencia es el cociente de dos polinomios.

Se escribe:

𝑓(𝑥) =𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥); 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑞(𝑥) ≠ 0

Ejemplo:

𝑓(𝑥) =𝑥3 − 𝑥 − 42

𝑥2 − 3𝑥 − 10, 𝐷𝑓 : 𝑥 𝜖 𝑹 − {−2,5}

CONTINUIDAD

Una función f es continua en un punto x=a, si: 1. f(a) está definido. 2. Existe lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) y éste límite es finito.

3. El límite coincide con el valor de la función. lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎)

A

B

2

4

6

5

1

2

3

4

Si falla alguna de las 3 condiciones se dirá que la función es discontinua.

f

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EJEMPLOS

1) Determinar si la función: 𝑦 =𝑥2−3𝑥

𝑥−3, es continua en x=3.

Solución: No existe f(3), entonces f es discontinua en x=3. A pesar de que el límite si existe.

lim𝑥→3

𝑥 2 − 3𝑥

𝑥 − 3= lim

𝑥→3

𝑥(𝑥 − 3)

𝑥 − 3= lim

𝑥→3𝑥 = 3

DERIVADAS DE FUNCIONES

La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su derivada, si existe. Se expresa por f'(x).

𝑓´(𝑥) = limℎ→0

𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)

ℎ

La definición de función continua en un punto indica que la gráfica de la función no presenta ninguna interrupción.

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Ejemplos

Hallar la derivada de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 + 2𝑥 − 5 en x = 1.

𝑓´(𝑥) = limℎ→0

(𝑥 + ℎ)3 + 2(𝑥 + ℎ) − 5 − (𝑥 3 + 2𝑥 − 5)

ℎ=

= limℎ→0

𝑥 3 + 3𝑥 2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2𝑥 + 2ℎ − 5 − 𝑥 3 − 2𝑥 + 5

ℎ=

= limℎ→0

3𝑥 2ℎ + 3𝑥ℎ2 + ℎ3 + 2ℎ

ℎ= lim

ℎ→0

ℎ(3𝑥 2 + 3𝑥ℎ + ℎ2 + 2)

ℎ= 3𝑥 2 + 2

𝑓´(1) = 3(1)2 + 2 = 5

EXTREMOS DE UNA FUNCIÓN

Criterio de la primera derivada para puntos externos

NOTA:

Para encontrar todos los extremos de una función, se debe de resolver la ecuación.

𝑓´(𝑥) = 0

CRITERIOS PARA FUNCIONES MONÓTONAS (crecientes y decrecientes)

y=g (x)

y

x

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Sea f diferenciable en el intervalo ]a; b[: Si f ´(x) > 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es creciente en ]a; b[.

Si f ´(x) < 0 para todo x en ]a; b[, entonces f es decreciente en ]a; b[.

FUNCIONES NO CRECIENTES Y NO DECRECIENTES

No Creciente No Decreciente

𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) ≤ 𝑓(𝑥2) 𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓(𝑥1) ≥ 𝑓(𝑥2)

Observe el comportamiento de las siguientes curvas:

EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN:

x

y=

a b

x

y

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Se denomina valor extremo de una función f a un valor máximo o un valor mínimo de la misma.

Una función f tiene un máximo relativo o local en x = c, si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c sobre el cual f (c) > f (x) para todo x en el intervalo. El máximo relativo es f (c).

Una función f tiene un mínimo relativo o local en x = c, si existe un intervalo ]a; b[ que contenga a c, si f (c) < f (x) para todo x en el intervalo. El mínimo relativo es f (c).

Condición necesaria para extremos relativos

Si f tiene un extremo relativo en c, entonces f ´(c) = 0 o bien f ´(c) no existe

Valor crítico: Un número c del dominio de f tal que f es continua en c se denomina valor crítico de f si f ´(c) = 0 o f ´(c) no está definida.

Criterio de la 1ra derivada para extremos relativos Sea “c” un valor crítico para f (x). El punto crítico correspondiente (c; f (c)) es: Un máximo relativo si f (x) > 0 a la izquierda de “c” y f (x) < 0 a la derecha de “c” Un mínimo relativo si f (x) < 0 a la izquierda de “c” y f (x) > 0 a la derecha de “c”

EJEMPLO: Hallar los máximos y mínimos de 𝑓(𝑥) =𝑥2

2+

1

𝑥

𝐷𝑓 = 𝑅 − {0}

f

Fi

y

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𝑓´(𝑥) = 𝑥 −1

𝑥2 = 0 ↔ 𝑥3 − 1

𝑥2 = 0 ↔ (𝑥 − 1)(𝑥2 + 𝑥 + 1) = 0 ↔ 𝑥 = 1

𝑓´´(𝑥) = 1 +2

𝑥3 = 0 ↔ 𝑓´´(−1) = 1 +2

13 = 3 > 0

→ 𝑓(1) =(−1)2

2+

1

1=

3

2 𝑒𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

FUNCIÓN CÓNCAVA HACIA ARRIBA

Una función cuya primera derivada es creciente (f’’(x)>0) sobre un cierto intervalo abierto se llama cóncava hacia arriba en ese intervalo. Las funciones cóncavas hacia arriba quedan por encima de sus rectas tangentes y por debajo de sus cuerdas.

𝑓´´(𝑎) > 0 ⟹ 𝑓(𝑎) 𝑒𝑠 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

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CAPITULO III

DESARROLLO DEL PROYECTO

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3.1 DESARROLLO DEL PROYECTO

Datos de la Producción de Esparrago:

Producción Espárrago

MES / AÑO 2009 2010 2011 2012 2013

Enero 15 641 15128 16009 15956 15678

Febrero 18 634 17978 18034 18905 18340

Marzo 20 315 19890 20058 20567 19978

Abril 17 695 18045 18003 17478 17985

Mayo 17 150 17450 17230 17410 17540

Junio 16 337 16789 16456 16987 16239

Julio 15 141 14890 15109 14991 15012

agosto 14 629 15034 14984 14785 14998

septiembre 16 050 15980 16231 16002 15879

octubre 21 789 20899 20986 21540 21730

noviembre 27 036 27560 26984 27087 27201

diciembre 21 089 22009 21879 21458 21540

Promedio de la producciòn de espàrragos

MES / AÑO 2009 - 2013

enero 15682

febrero 18378

marzo 20162

abril 17841

mayo 17356

junio 16562

julio 15029

agosto 14886

septiembre 16028

octubre 21389

noviembre 27174

diciembre 21595

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Función polinomial:

𝑌 = −1.3691𝑋6 + 48.456𝑋5 − 664.42𝑋4 + 4542𝑋3 − 16494𝑋2 + 29859𝑋 − 1770.3

Cuyo Dominio es: [1;12] Coeficiente de correlación:

𝑅2 = 0.9784

Procedemos a encontrar el máximo y mínimo y concavidad

1. Hallamos la primera derivada:

15682

18378

20162

17841 1735616562

15029 1488616028

21389

27174

21595

y = -1.3691x6 + 48.456x5 - 664.42x4 + 4542x3 - 16494x2 + 29859x - 1770.3R² = 0.9784

0

5000

10000

15000

20000

25000

30000

PRO

DU

CCIÓ

N (

TON

ELA

DA

S)

MES

PROMEDIO MENSUAL DE PRODUCCIÓN DE ESPÁRRAGOS

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𝑦 = −1.3691𝑋6 + 48.456𝑋5 − 664.42𝑋4 + 4542𝑋3 − 16494𝑋2 + 29859𝑋 − 1770.3

𝑦′ = −8.2146 𝑋5 + 242.28𝑋4 − 2657 .68𝑋3 + 13626 𝑋2 − 32988𝑋 + 29859

2. Hallamos los valores de crecimiento y decrecimiento:

𝑦´ = 0 → −8.2146 𝑋5 + 242 .28𝑋4 − 2657 .68𝑋3 + 13626 𝑋2 − 32988𝑋 + 29859 = 0

𝑥 = 2.29109

𝑥 = 7.80758

𝑥 = 11.2324

3. Hallamos la segunda derivada:

𝑦′ = −8.2146 𝑋5 + 242.28𝑋4 − 2657 .68𝑋3 + 13626 𝑋2 − 32988𝑋 + 29859

y´´ = 0 → − 41.073 x4+ 969.12x3 − 7973.04x2 + 27252 x − 32988 = 0

4. Hallamos los puntos de concavidad

y´´ = − 41.073 x4+ 969.12x3 − 7973.04x2 + 27252 x − 32988

y´´ = 0 → − 41.073 x4+ 969.12x3 − 7973.04x2 + 27252 x − 32988 = 0

𝑥1 =3.1637

𝑥2 = 3.92146

𝑥3 = 6.40901

𝑥4 = 10.1008

INTERVALOS F`` CONCAVIDAD ⟨−∞; 3.1637⟩ - ∩

⟨3.1637; 3.92146⟩ + ∪

⟨3.92146; 6.40901⟩ +

Intervalos F´(x) Creciente / Decreciente

⟨−∞ ,2.29109⟩ + CRECIENTE

⟨2.29109 ,7.80758⟩ -

DECRECIENTE

⟨7.80758 ,11.2324⟩ +

CRECIENTE ⟨11.2324 ,∞ + ⟩ -

1

⟨ 6.40901; 10.1008⟩ +

⟨10.1008; +∞⟩ - ∩

CONCLUSIONES

Hay un máximo absoluto en el mes de noviembre, un máximo relativo en el mes de

febrero y un mínimo absoluto en agosto.

Hallamos la mejor función que exprese la variabilidad de los valores estudiados:

𝑌 = −1.3691𝑋6 + 48.456𝑋5 − 664.42𝑋4 + 4542𝑋3 − 16494𝑋2 + 29859𝑋 − 1770.3

RECOMENDACIONES

Usar programas matemáticos para que faciliten la obtención de la función

verdadera del problema, por medio de los datos que se tengan.

Tener cuidado al momento de realizar la primera y segunda derivada, ya que de

equivocarse en un dígito, saldrá mal el resto de la resolción del problema.

Siempre poner las unidades en las que se esta trabajando.

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BIBLIOGRAFIA

http://www.danper.com/Web/es/paginas/ProductoFresco1.aspx

http://www.profesorenlinea.cl/matematica/Relaciones_y_funciones.html

http://www.decarcaixent.com/actividades/mates/derivadas/derivadas4.htm http://www.fisicanet.com.ar/matematica/m3ap02/apm3_27e_Derivadas.php http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0295-01/punto5/pzunto5.html http://docencia.udea.edu.co/ingenieria/calculo/pdf/4_10_1.pdf

http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node24.html http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd97/UnidadesDidacticas/39-1-u-continuidad.html http://www.escolar.com/menumate.htm http://elcentro.uniandes.edu.co/cr/mate/estructural/libro/estructural/node21.html http://www.fi.uba.ar/materias/61107/Apuntes/Rel00.pdf

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ANEXOS